利用洛必达法则求二元函数的极限
使用洛必达法则求极限的几点注意_图文(精)
硬闲洛密达法则求极限的儿点涅枣 口杨黎霞 (江南大学江苏?无锡214122 摘要如果当圹+口或r+*时,两个函数删与,M都趋于零或都趋于无穷大。那么极限l/m葡可能存在,也可能不存在。洛 ‘::, 必达法则是计算此类未定式极限行之有效的方法.然而。对于本科一年级的初学者来讲,若盲目使用此法则.会导致错误。本文就使用该法则解题过程中的几点注意作了分析与探讨。 关键词洛必达法则 极限未定式等价无穷小代换 变量代换 中图分类号:0172 文献标识码:A 在高等数学里.极限是大一新生一开始就要接触而且非常重要的内容。其中有一类未定式的极限不能用“商的极限等于极限的商”这一法则.而要用洛必达法则。洛必达法则内容很简单.使用起来也方便有效。但在具体使用过程中。一旦疏忽了以下几点.解题就可能出错。 首先,只有分子、分母都趋于零或都趋于无穷大时,才能直接使用洛必达法则。 其次,每次使用洛必达法则前都要检验是否满足次法则条件。只要满足此法则条件.就可连续使用此法则.直到求出结果或为无穷大。
例如:t/mx"。:坛,n.垡!;!j:以,n墨王翌::!.≥芝三:…:lira墨}==D(n仨z+ ,-.-e’r_? e’ Jr--JO e‘r_?e。 此题用了n次法则。 再者,使用洛必达法则求极限是应及时化简,主要指代数、三角恒等变形,约去公因子。具有极限不为零的因子分离出来,等价无穷小代换,变量代换等。下面通过例子说明。 土- 例:鲤【(J慨。7I叫】‘=塑【(J+÷eL÷】=纫型±笋=姆 号等力 此题先用了变量代换。当变量x趋于。时.t趋于0.这一点要注意。 例:矗。卑=f溉!堡:型Jim r.zim掣=f讹丝车堑 =lim S,ec气-I=li,n.]+co.sx-一2 本题用了多种方法:提出极限存在但不为零的因子。等价无穷小代换。洛必达法则,三角恒等变形约分等。 (J呵+{,一、/瓦芦 fJ目:lim———生—r_—一若直接使用洛必达法则,其分子
求多元函数极限的方法
求多元函数极限的方法 【摘要】对于大部分学生，尤其是初接触高等数学的同学而言,极限是一道很难过的关,因为那种“无限逼近”却又“无法达到”的抽象对于刚刚结束中学数学学习,习惯于具体图形分析、函数计算的同学来说,在思维上有了更高的要求。而对于高等数学来讲，极限又是相当重要的基础,不管是函数连续性的验证,亦或是单侧导数的求解，极限都是很重要的一个环节,它就相当于一条线惯于始终,所以说学好极限,是学好高等数学的一个起点。【1】 【关键词】多元函数;求极限多种方法；求极限常出现的错误 【引言】之前学过如连续、导数微分和积分等都要用极和秋极限的方法,例如：利用定义来求极限、用柯西收敛准则、利用两边夹定理等等。这些方法虽然简便易于理解和掌握,但对 于一些特殊的极限题目很难解决，例如：设0a >，10a >，2 12(3) 3n n n n a a a a a a ++=+求lim n n a →∞的问题题目尽给出了第n 项和第n +１项的关系若用利用定义来求极限、用柯西收敛准则 1 ! lim ! n k n k n =→∞ ∑及求一些复合函数极限的问题本文将探讨一些特殊的求极限的方法，对某些用常 见方法不易求解的题目运用此方法可以容易地解出。【2】本文将从多个方面，通过利用极限的性质及相关概念和几个典型例题对常用求极限的方法进行解析，并列出容易出错的地方。 1 利用极限定义的思想观察函数的极限 例1、讨论当x → 12时函数y =21 x x +的极限。我们列出了当x →12 时某些函数值,考察 从列表可以看出,当x 趋向于2时，y 就趋向于0.7,即x →2 时,y =21 x x +的极限是0．75。 2、利用四则运算法则求极限 例2(1)求2 3 32 1 lim(4)x x x →-+ （2）221 lim 21 x x x →-+ 解(2）2 21lim 21x x x →-+=2 2 2 lim(1)3lim(21)5 x x x x →→-=+ 3、利用无穷小量与无穷大量的关系及无穷小量的性质求极限 例3求0 1 lim sin x x x →
求二元函数极限地几种方法
精彩文档 1.二元函数极限概念分析 定义1 设函数f 在2D R ?上有定义，0P 是D 的聚点，A 是一个确定的实数.如果对于任意给定的正数ε，总存在某正数δ,使得00(;)P U P D δ∈时，都有 ()f P A ε-<, 则称f 在D 上当0P P →时，以A 为极限，记0 lim ()P P P D f P A →∈=. 上述极限又称为二重极限. 2．二元函数极限的求法 2.1 利用二元函数的连续性 命题 若函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续，则 0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=. 例1 求2 (,)2f x y x xy =+ 在点(1,2)的极限. 解： 因为2 (,)2f x y x xy =+在点(1,2)处连续，所以 12 212 2lim (,) lim(2) 12125.x y x y f x y x xy →→→→=+=+??= 例2 求极限()()2 21,1,21 lim y x y x +→． 解： 因函数在()1,1点的邻域内连续，故可直接代入求极限，即 ()()221,1,21 lim y x y x +→=3 1．
精彩文档 2.2 利用恒等变形法 将二元函数进行恒等变形，例如分母或分子有理化等. 例3 求 00 x y →→ 解： 00 x y →→ 00 x y →→= 00 x y →→= 00 1. 4 x y →→==-例4 ()() 2 2 220,0,321 )31)(21(lim y x y x y x +-++→． 解： 原式()() ( ) ) () () ,0,02 211lim 231x y x y →+= ++ ()( 22 ,0,0lim x y →= + 11022 = +=．
浅析洛必达法则求函数极限
本科学年论文论文题目：用洛必达法则求极限的方法 学生姓名：卫瑞娟 学号： 1004970232 专业：数学与应用数学 班级：数学1002班 指导教师：严惠云 完成日期： 2013 年 3月 8 日
用洛必达法则求未定式极限的方法 内容摘要 极限运算是微积分学的基础，在众多求极限方法中，洛必达法则是一种简单而又方便的求极限方法。但在具体使用过程中，一旦疏忽，解题就很可能出错。本文就针对利用此法则求极限的过程及解题过程中常见问题，对洛必达法则求函数极限的条件及范围、应用、何时失效做了整体分析与探讨，并举例说明。除此之外，还介绍了除洛必达法则之外其他求函数极限的方法以及同洛必达法则的比较，最后对洛必达法则进行小结。 关键词：洛必达法则函数极限无穷小量
目录 一、洛必达法则求极限的条件及适用范围 (1) （一）洛必达法则定理 (1) （二）洛必达法则使用条件 (2) 二、洛必达法则的应用 (2) （一）洛必达法则应用于基本不定型 (2) （二）洛必达法则应用于其他不定型 (3) 三、洛必达法则对于实值函数失效问题 (5) （一）使用洛必达法则后极限不存在 (5) （二）使用洛必达法则后函数出现循环 (6) （三）使用洛必达法则后函数越来越复杂 (6) （四）使用洛必达法则中求导出现零点 (6) 四、洛必达法则与其他求极限方法比较 (6) （一）洛必达法则与无穷小量替换求极限法 (7) （二）洛必达法则与利用极限运算和已知极限求极限 (8) （三）洛必达法则与夹逼定理求极限 (9) 五、洛必达法则求极限小结 (10) （一）洛必达法则条件不可逆 (10) （二）使用洛必达法则时及时化简 (11) （三）使用洛必达法则前不定型转化 (11) 参考文献 (13)
(整理)二元函数极限的求法.
二元函数极限的求法 数学与统计学院、数学与应用数学、0701班，湖北，黄石，435002 1.引言 多元函数的极限在高等数学中非常重要，但由于多元函数的自变量多,因此对于判断其极限存在与否及其求法，比起一元函数的极限就显得比较困难.求极限和证明极限的方法很多，一般我们常用定义法，初等变形法，两边夹准则，阶的估计等.在这几种方法中，定义法是基础，但是比较繁琐,其他方法有的较易，有的较难，让人不知道从何下手.因此，我们有必要总结探讨出比较容易好的方法去求多元函数的极限.多元函数极限在现在的生活中也有很大的用处，比如工程计算方面.从以上来看，研究归纳总结多元函数极限的求法问题是有意义和必要的.本文主要研究二元函数极限的定义以及二元函数极限求解的几种方法，并以实例加以说明. 2.二元函数极限的定义 定义1 设E 是2R 的一个子集，R 是实数集,f 是一个规律，如果对E 中的每一点(,)x y ,通过规律f ,在R 中有唯一的一个u 与此对应,则称f 是定义在E 上的一个二元函数,它在点(,)x y 的函数值是u ,并记此值为(,)f x y ，即(,)u f x y =. 有时,二元函数可以用空间的一块曲面表示出来,这为研究问题提供了直观想象.例如，二元函数222y x R x --=就是一个上半球面，球心在原点，半径为R ，此函数定义域为满足关系式222R y x ≤+的x ,y 全体,即 }|),{(222R y x y x D ≤+=.又如,xy Z =是马鞍面. 知道多元函数的定义之后,在我们求多元函数极限之前我们必须知道多
元函数极限的定义. 定义2 设E 是2R 的一个开集，A 是一个常数，二元函数()(,)f M f x y =在点()000,M x y E ∈附近有定义．如果0>?ε,0>?δ,当()00,r M M δ<<时,有()f M A ε-<,就称A 是二元函数在0M 点的极限.记为()0 lim M M f M A →=或 ()()0f M A M M →→. 定义的等价叙述 1 ：设E 是2R 的一个开集,A 是一个常数,二元函数 ()(,)f M f x y =在点()000,M x y E ∈附近有定义．如果0>?ε，0>?δ，当()() 22 000x x y y δ< -+-<时，有(,)f x y A ε-<，就称A 是二元函数在0 M 点的极限。记为()0 lim M M f M A →=或()()0f M A M M →→. 定义的等价叙述2： 设E 是2R 的一个开集,A 是一个常数,二元函数 ()(,)f M f x y =在点()000,M x y E ∈附近有定义．如果0>?ε，0>?δ，当 000,0x x y y δδ<-<<-<且()()00,,x y x y ≠时， 有(,)f x y A ε-<，就称A 是二元函数在0M 点的极限.记为 ()0 l i m M M f M A →=或 ()()0f M A M M →→. 注：（1）和一元函数的情形一样，如果0 lim ()M M f M A →=,则当M 以任何 点列及任何方式趋于0M 时,()f M 的极限是A ；反之,M 以任何方式及任何点列趋于0M 时，()f M 的极限是A .但若M 在某一点列或沿某一曲线0M →时，()f M 的极限为A ，还不能肯定()f M 在0M 的极限是A . 二元函数的极限较之一元函数的极限而言，要复杂得多,特别是自变量的变化趋势，较之一元函数要复杂.
数学分析下——二元函数的极限课后习题
第二节 二元函数的极限 1、试求下列极限（包括非正常极限）： （1）(,)(0,0)lim x y x 2y 2x 2+y 2 ； （2）(,)(0,0)lim x y 1+x 2+y 2x 2+y 2 ； （3） (,)(0,0) lim x y x 2+y 21+x 2+y 2 -1 ； （4）(,)(0,0)lim x y xy+1 x 4+y 4 ； （5）(,) (1,2)lim x y 12x-y ； （6）(,)(0,0)lim x y (x+y)sin 1 x 2+y 2 ； （7）(,)(0,0)lim x y sin(x 2+y 2)x 2+y 2 x 2+y 2 . 2、讨论下列函数在点(0,0)的重极限与累次极限： （1）f(x,y)=y 2x 2+y 2 ； （2）f(x,y)=(x+y)sin 1x sin 1y ； （3）f(x,y)=x 2y 2x 2y 2+(x-y)2 ； （4）f(x,y)=x 3+y 3 x 2+y ； （5）f(x,y)=ysin 1x ； （6）f(x,y)=x 2y 2 x 3+y 3 ； （7）f(x,y)=e x -e y sinxy . 3、证明：若1 。 (a,b) lim （x,y ）f(x,y)存在且等于A ；2。 y 在b 的某邻域内，有 lim x a f(x,y)= (y)则 y b lim a lim x f(x,y)=A. 4、试应用ε—δ定义证明 (x,y)(0,0)lim x 2y x 2+y 2 =0. 5、叙述并证明：二元函数极限的唯一性定理、局部有界性定理与局部保号性定理. 6、试写出下列类型极限的精确定义： （1） (x,y) ( ,) lim f(x,y)=A ； （2） (x,y) (0, ) lim f(x,y)=A. 7、试求下列极限： （1） (x,y) ( , )lim x 2+y 2 x 4+y 4 ； （2）(x,y)(, ) lim (x 2+y 2)e -(x+y)；
第一讲：数列的极限函数的极限与洛必达法则的练习题答案
第一讲：数列的极限函数的极限与洛必达法则的练习题答案 一、单项选择题（每小题4分，共24分） 3． 若()0lim x x f x →=∞，()0 lim x x g x →=∞，则下列正确的是 （ ） A ． ()()0lim x x f x g x →+=∞??? ? B ． ()()0lim x x f x g x →-=∞??? ? C ． ()() 01lim 0x x f x g x →=+ D ． ()()0 lim 0x x kf x k →=∞≠ 解： ()()000lim lim x x x x k kf x k f x k →→≠==?∞∞ ∴选D 6．当n →∞时， 1k n 与1k n 为等价无穷小，则k=（ ） A ．12 B ．1 C ．2 D ．-2 解：2 211sin lim lim 1,21 1n n k k n n k n n →∞→∞=== 选C 二 、填空题（每小题4分，共24分） 8．2112lim 11x x x →??-= ?--? ? 解：原式()()()112lim 11x x x x →∞-∞+--+ 111lim 12 x x →==+ 10 ．n =
解：原式n ≡有理化 32n ==无穷大分裂法 11．1201arcsin lim sin x x x e x x -→??+= ?? ? 解：11220011sin 1,lim 0lim sin 0x x x x e e x x -→→≤=∴=又00arcsin lim lim 1x x x x x x →→== 故 原式=1 12．若()220ln 1lim 0sin n x x x x →+= 且0sin lim 01cos n x x x →=-,则正整数n = 解： ()222200ln 1lim lim sin n n x x x x x x x x →→+?= 20420,lim 02 n x n x n x →<>2,4,n n ∴>< 故3n = 三、计算题（每小题8分，共64分） 14．求0 x → 解：原式有理化 0x →0tan (1cos )1lim (1cos )2 x x x x x →-=?- 0tan 111lim lim 222 x x x x x x →∞→=?==
求二元函数极限的几种方法二元函数极限定理
1 / 15 1.二元函数极限概念分析 定义1 设函数f 在2D R ?上有定义,0P 是D 的聚点,A 是一个确定的实数.如果对于任意给定的正数ε，总存在某正数δ,使得00(;)P U P D δ∈时,都有 ()f P A ε-<, 则称f 在D 上当0P P →时，以A 为极限,记0 lim ()P P P D f P A →∈=. 上述极限又称为二重极限． ２.二元函数极限的求法 2.1 利用二元函数的连续性 命题 若函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续，则 0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=． 例１ 求2 (,)2f x y x xy =+ 在点(1,2)的极限. 解： 因为2 (,)2f x y x xy =+在点(1,2)处连续,所以 12 212 2lim (,) lim(2) 12125. x y x y f x y x xy →→→→=+=+??= 例2 求极限()()2 21,1,21 lim y x y x +→. 解: 因函数在()1,1点的邻域内连续,故可直接代入求极限,即 ()()221,1,21lim y x y x +→=31 .
2 / 15 2．2 利用恒等变形法 将二元函数进行恒等变形,例如分母或分子有理化等. 例3 求 00 x y →→ 解 : 00 x y →→ 00 x y →→= 0x y →→= 00 1. 4 x y →→==-例4 ()() 2 2 220,0,321 )31)(21(lim y x y x y x +-++→． 解 : 原式 ()() ( ) )() () ,0,02 211lim 231x y x y →= + ()( 22 ,0,0lim x y →= + 11022 = +=．
洛必达法则求极限教学
洛必达法则求极限教学 摘要：本文结合教学实际对洛必达法则及其在求未定式极限方面的应用进行了分析，同时还分析了学生易错的洛必达法则求函数极限失效的情况。 关键词：洛必达法则；未定式；极限 求极限是微积分中的一项非常基础和重要的工作。教学中发现对于普通的求极限问题，学生解决起来问题不大，但是对于形如：■，■，∞-∞，0·∞，∞0，1∞，00的7种未定式，学生虽然能联系到洛必达法则，但是经常出错。 一、洛必达法则及应用 （一）洛必达法则 若函数f（x）与函数g（x）满足下列条件： 1. （或∞），（或∞）； 2.f（x）与g（x）在x=a点的某个去心邻域内可导； 3. （或∞）。则 洛必达法则所述极限结果对下述六类极限过程均适用： 。 （二）洛必达法则的应用 1. 基本类型：未定式直接应用法则求极限 解：这是■型未定式。直接运用洛必达法则有 解：这个极限是■型未定式，于是 2. 未定式的其他類型：0·∞、∞-∞、00、∞0、1∞型极限的
求解 除了■型或■这两种未定式外，还可以通过转化，来解其他未定式。 解：这是∞-∞型，设法化为■型： 解：这是1∞未定式 解：这是∞0未定式，经变形得， 故 例6 求 解：这是0·∞型未定式，可变形为，成了■ 型未定式，于是 解：这是00型未定式，由对数恒等式知，xx=exInx，运用例8可得 二、洛必达法则对于实值函数的失效问题 洛必达法则可谓是在求不定式极限中作用最为显赫的一种方法，当然，它也有失效的时候。“失效”的原因则是因为题目本身不满足可以使用洛必达法则的几个条件。所以，在要使用洛必达法则时，要检验该题目是否符合洛必达法则条件，洛必达法则失效的基本原因有以下几种。 （一）使用洛必达法则后，极限不存在（非∞），也就是不符合洛必达法则的条件（3） 例8 计算 解：，而不存在，
函数极限的求法和极限不存在的判断
万方数据
万方数据
二元函数极限的求法和极限不存在的判断 作者：唐新华 作者单位：山东政法学院 刊名： 科技信息 英文刊名：SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION 年，卷(期)：2009，""(18) 被引用次数：0次 参考文献(2条) 1.吴赣昌高等数学 2006 2.马顺业数学分析研究 1996 相似文献(10条) 1.期刊论文郭俊杰.GUO Jun-jie二元函数求极限的方法-衡水学院学报2006,8(1) 二元函数求极限是高数中的难点,现归纳了6种求二元函数极限的方法,分别为:直接证明、先估值后证明、利用二元函数的连续性、用无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量的结论、用重要极限limx>0sinx/x=1、用两边夹定理. 2.期刊论文王润桃关于二元函数的极限-株洲工学院学报2001,15(5) 讨论了二次极限与二重极限之间的区别与联系,二重极限不存在的判定方法以及齐次有理分式函数的极限存在的判别法. 3.期刊论文闫彦宗关于二元函数分析性质的讨论-宜宾学院学报2003,6(6) 讨论了二元函数的重极限与累次极限、可微性与偏导数的存在性及函数的连续性、重积分与累次积分之间的关系. 4.期刊论文王海燕二元函数求极限的方法-考试周刊2007,""(37) 二元函数的极限是在一元函数的基础上发展起来的,二者既有联系也有区别.本文通过部分例题的解析,以详细介绍二元函数极限的求法. 5.期刊论文王旭琴二重极限与累次极限的关系-南昌高专学报2010,25(2) 本文分析了二元函数的二重极限及累次极限的定义,并且讨论和总结了这两种极限之间的区别和内在联系. 6.期刊论文樊红云.张宏民.FAN Hong-yun.ZHANG Hong-min视一元函数为二元函数时的极限与连续-长春师范学院学报（自然科学版）2006,25(3) 本文讨论了视一元函数u=φ(x)为二元函数u=f(x,y)=φ(x)时的极限与连续. 7.期刊论文何鹏.俞文辉.雷敏剑二元函数连续、可偏导、可微等诸条件间关系的研究-南昌高专学报2005,20(6) 本文指出二元函数诸性质间的关系源于二元函数对极限的两种不同推广:二重极限和累次极限,并详细阐明了连续、偏导数存在、可微、偏导连续四者间的关系.在文章的最后,作者对偏导连续推出可微这一命题的条件作了减弱并予以证明. 8.期刊论文郭安学二元函数的极限-科学决策2008,""(11) 本文给出了二元函数的三种不同极限的概念,并讨论了三种极限的关系与差异. 9.期刊论文邹泽民.Zhou Zemin二元函数未定型极限问题的研究-广西梧州师范高等专科学校学报2002,18(1) 给出二元函数基本未定型极限的洛泌达法则及三种具体的求极限的运算定理. 10.期刊论文齐小忠关于二元函数二阶混合偏导数的注记-许昌学院学报2004,23(2) 大多数数学分析教科书讨论二元函数的二阶混合偏导数f'xy(x,y)、f"(x,y)与求导次序有无关系时,都是在其连续的情况下得出与次序无关的结论的.本文给出了较弱的与求导次序无关的几个结论. 本文链接：https://www.360docs.net/doc/fd913473.html,/Periodical_kjxx200918384.aspx 授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：6303e070-b0c9-4d3e-83e0-9dca0148959f 下载时间：2010年8月6日
用洛必达法则求下列极限
习题 3 2
1 用洛必达法则求下列极限 (1) lim ln(1 x)
x0 x (2) lim e x ex
x0 sin x (3) lim sin x sin a
xa x a (4) lim sin 3x
x tan5x
(5) lim ln sin x x ( 2x)2
2
(6) lim xm am xa x n a n
(7) lim ln tan 7x x0 ln tan 2x
(8) lim tan x x tan 3x
2
1
ln(1 )
(9) lim
x
x arc cot x
(10) lim ln(1 x2 ) x0 sec x cos x
(11) lim x cot 2x
x0
1
(12) lim x 2e x2 x0
(13) lim x 1
2 x2 1
1 x 1
(14) lim (1 a ) x x x
(15) lim xsin x x0
(16) lim ( 1 )tan x
x0 x
1
解 (1) lim ln(1 x) lim 1 x lim 1 1
x0 x
x0 1
x0 1 x
(2) lim e x ex lim e x ex 2 x0 sin x x0 cos x
(3) lim sin x sin a lim cos x cos a
xa x a
xa 1
(4) lim sin 3x lim 3cos 3x 3 x tan 5x x 5sec2 5x 5
(5) lim ln sin x lim
cot x
1 lim csc2 x 1
x ( 2x)2 x 2( 2x) (2) 4 x 2
8
2
2
2
(6) lim x m a m lim mxm1 mxm1 m a mn xa x n a n xa nx n1 na n1 n
(7) lim
ln tan 7x
lim
1 tan 7x
sec2
7x 7
7
lim
tan 2x 7
lim
sec2 2x 2 1
x0 ln tan 2x x0 1 sec2 2x 2 2 x0 tan 7x 2 x0 sec2 7x 7
tan 2x
(8) lim tan x lim sec2 x 1 lim cos2 3x 1 lim 2 cos 3x( sin 3x) 3
x tan 3x x sec2 3x 3 3 x cos2 x 3 x 2 cos x( sin x)
2
2
2
2
lim cos 3x lim 3sin 3x 3
x cos x
x sin x
2
2
1 ( 1 )
ln(1 1 )
1 1
(9) lim
x lim x
x2 lim 1 x2 lim 2x lim 2 1
x arc cot x x
1
x x x 2 x 1 2x x 2
1 x2
(10) lim ln(1 x2 ) lim cos x ln(1 x2 ) lim x2 (注
x0 sec x cos x x0 1 cos2 x
x0 1 cos2 x
lim
2x
lim x 1
x0 2 cos x( sin x) x0 sin x
cosx ln(1 x2)~x2)
(11) lim x cot 2x lim x lim 1 1
x 0
x0 tan 2x x0 sec2 2x 2 2
(12)
1
1
lim x 2e x2
e x2 lim
lim
et
lim
et
x0
x0 1 t t t 1
x2
(注
当 x0 时
求二元函数极限的几种方法
11 1.二元函数极限概念分析 定义1 设函数f 在2D R ?上有定义，0P 是D 的聚点，A 是一个确定的实数.如果对于任意给定的正数ε，总存在某正数δ,使得00(;)P U P D δ∈时，都有 ()f P A ε-<, 则称f 在D 上当0P P →时，以A 为极限，记0 lim ()P P P D f P A →∈=. 上述极限又称为二重极限. 2．二元函数极限的求法 利用二元函数的连续性 命题 若函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续，则 0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=. 例1 求2 (,)2f x y x xy =+ 在点(1,2)的极限. 解： 因为2 (,)2f x y x xy =+在点(1,2)处连续，所以 12 212 2lim (,) lim(2) 12125.x y x y f x y x xy →→→→=+=+??= 例2 求极限()()2 21,1,21 lim y x y x +→． 解： 因函数在()1,1点的邻域内连续，故可直接代入求极限，即 ()()221,1,21lim y x y x +→=31 ．
22 利用恒等变形法 将二元函数进行恒等变形，例如分母或分子有理化等. 例3 求 00 x y →→ 解： 00 x y →→ 00 x y →→= 00 x y →→= 00 1. 4 x y →→==-例4 ()() 2 2220,0,321 )31)(21(lim y x y x y x +-++→． 解： 原式()() ( )) () () ,0,02 211lim 231x y x y →+= + ()( 22 ,0,0lim x y →= + 11022 = +=．
用洛必达法则求下列极限
1 用洛必达法则求下列极限 (1) lim ln(1 x)
x0 x (2) lim e x ex
x0 sin x (3) lim sin x sin a
xa x a (4) lim sin 3x
x tan5x
(5) lim ln sin x x ( 2x)2
2
(6) lim xm am xa x n a n
(7) lim ln tan 7x x0 ln tan 2x
(8) lim tan x
x
tan 3x
2
ln(1 1 )
(9) lim
x
x arc cot x
(10) lim ln(1 x2 ) x0 sec x cos x
(11) lim x cot 2x
x0
1
(12) lim x 2e x2 x0
(13) lim x 1
2 x2 1
1 x 1
(14) lim (1 a ) x x x
(15) lim xsin x x0
(16) lim ( 1 )tan x
x0 x
1
解 (1) lim ln(1 x) lim 1 x lim 1 1
x0 x
x0 1
x0 1 x
(2) lim e x ex lim e x ex 2 x0 sin x x0 cos x
(3) lim sin x sin a lim cos x cos a
xa x a
xa 1
(4) lim sin 3x lim 3cos 3x 3 x tan 5x x 5sec2 5x 5
(5) lim ln sin x lim
cot x
1 lim csc2 x 1
x ( 2x)2 x 2( 2x) (2) 4 x 2
8
2
2
2
(6) lim x m a m lim mxm1 mxm1 m a mn xa x n a n xa nx n1 na n1 n
(7) lim
ln tan 7x
lim
1 tan 7x
sec2
7x 7
7
lim
tan 2x 7
lim
sec2 2x 2 1
x0 ln tan 2x x0 1 sec2 2x 2 2 x0 tan 7x 2 x0 sec2 7x 7
tan 2x
(8) lim tan x lim sec2 x 1 lim cos2 3x 1 lim 2 cos 3x( sin 3x) 3
x tan 3x x sec2 3x 3 3 x cos2 x 3 x 2 cos x( sin x)
2
2
2
2
lim cos 3x lim 3sin 3x 3
x cos x
x sin x
2
2
1 ( 1 )
ln(1 1 )
1 1
(9) lim
x lim x
x2 lim 1 x2 lim 2x lim 2 1
x arc cot x x
1
x x x 2 x 1 2x x 2
1 x2
(10) lim ln(1 x2 ) lim cos x ln(1 x2 ) lim x2 (注
x0 sec x cos x x0 1 cos2 x
x0 1 cos2 x
lim
2x
lim x 1
x0 2 cos x( sin x) x0 sin x
cosx ln(1 x2)~x2)
(11) lim x cot 2x lim x lim 1 1
x 0
x0 tan 2x x0 sec2 2x 2 2
(12)
1
1
lim x 2e x2
e x2 lim
lim
et
lim
et
x0
x0 1 t t t 1
x2
(注
当 x0 时
(整理)多元函数的极限与连续习题.
多元函数的极限与连续习题 1. 用极限定义证明:14)23(lim 1 2=+→→y x y x 。 2. 讨论下列函数在（0,0）处的两个累次极限，并讨论在该点处的二重极限的存在性。 （1）y x y x y x f +-=),(； (2) y x y x y x f 1s i n 1s i n )(),(+=； (3) y x y x y x f ++=23 3),(； (4) x y y x f 1 s i n ),(=。 3. 求极限 （1）2 20 ) (lim 22 y x x y x y +→→； （2）1 1lim 2 2 220 0-+++→→y x y x y x ； （3）2 20 01 sin )(lim y x y x y x ++→→； （4）22220 0) sin(lim y x y x y x ++→→。 4. 试证明函数?? ???=≠+=0 0)1ln(),(x y x x xy y x f 在其定义域上是连续的。
1. 用极限定义证明:14)23(lim 2 1 2=+→→y x y x 。 因为1,2→→y x ，不妨设0|1|,0|2|<-<-y x ， 有54|2||42||2|<+-≤+-=+x x x ， |22123||1423|2 2 -+-=-+y x y x |1|2|2|15|1|2|2||2|3-+-<-++-≤y x y x x |]1||2[|15-+-
求多元函数极限的方法
求多元函数极限的方法 【摘要】对于大部分学生,尤其是初接触高等数学的同学而言,极限是一道很难过的关,因为那种“无限逼近”却又“无法达到”的抽象对于刚刚结束中学数学学习,习惯于具体图形分析、函数计算的同学来说,在思维上有了更高的要求。而对于高等数学来讲,极限又是相当重要的基础,不管是函数连续性的验证,亦或是单侧导数的求解,极限都是很重要的一个环节,它就相当于一条线惯于始终,所以说学好极限,是学好高等数学的一个起点。【1】 【关键词】多元函数；求极限多种方法；求极限常出现的错误 【引言】之前学过如连续、导数微分和积分等都要用极和秋极限的方法，例如：利用定义来求极限、用柯西收敛准则、利用两边夹定理等等。这些方法虽然简便易于理解和掌握，但对 于一些特殊的极限题目很难解决，例如：设0a >，10a >，2 12(3) 3n n n n a a a a a a ++=+求lim n n a →∞的问题题目尽给出了第n 项和第n +1项的关系若用利用定义来求极限、用柯西收敛准则 1 ! lim ! n k n k n =→∞ ∑及求一些复合函数极限的问题本文将探讨一些特殊的求极限的方法，对某些用常 见方法不易求解的题目运用此方法可以容易地解出。【2】本文将从多个方面,通过利用极限的性质及相关概念和几个典型例题对常用求极限的方法进行解析，并列出容易出错的地方。 1 利用极限定义的思想观察函数的极限 例1、讨论当x → 12时函数y =21 x x +的极限。我们列出了当x →12 时某些函数值，考察 从列表可以看出，当x 趋向于2时，y 就趋向于0.7，即x →2 时，y =21 x x +的极限是0.75。 2、利用四则运算法则求极限 例2（1）求2 332 1 lim(4)x x x →-+ （2）221 lim 21 x x x →-+ 解（2）221lim 21x x x →-+=222 lim( 1)3lim(21)5 x x x x →→-=+ 3、利用无穷小量与无穷大量的关系及无穷小量的性质求极限 例3求0 1 lim sin x x x → 解因为0 lim x x →=0，且1sin 1x ≤即1sin x 有界，所以01lim sin x x x →=0
洛必达法则泰勒公式
洛必达法则泰勒公式 一、洛必达法则在第一章第七节中我们曾经讨论过无穷小的比较问题，并且已经知道两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，既使它存在也不能用商的极限运算法则去求解．而由无穷大与无穷小的关系知，无穷大之比的极限问题也是如此．在数学上，通常把无穷小之比的极限和无穷大之比的极限称为未定式，并分别简记为和．由于在讨论上述未定式的极限时，不能应用商的极限运算法则，这或多或少地都会给未定式极限的讨论带来一定的困难．今天在这里我们应用导数的理论推出一种既简便又重要的未定式极限的计算方法，并着重讨论当时，型未定式极限的计算，关于这种情形有以下定理．定理1设(1) 当时，函数及都趋于零；(2)在点的某去心邻域内，及都存在，且；(3)存在(或为无穷大)，则．也就是说，当存在时，也存在，且等于；当为无穷大时，也是无穷大．这种在一定条件下，通过分子分母分别求导，再求极限来确定未定式极限的方法称为洛必达(L’Hospital)法则．下面我们给出定理1的严格证明：分析由于上述定理的结论是把函数的问题转化为其导数的问题，显然应考虑微分中值定理．再由分子和分母是两个不同的函数，因此应考虑应用柯西中值定理．证因为求极限与及的取值无关，所以可以假定．于是由条件(1)和(2)知，及在点的某一邻域内是连续的．设是这邻域内一点，则在以及为端点的区间上，函数和满
足柯西中值定理的条件，因此在和之间至少存在一点，使得等式(在与之间)成立．对上式两端求时的极限，注意到时，则．又因为极限存在(或为无穷大)，所以．故定理1成立．注若仍为型未定式，且此时和能满足定理1中和所要满足的条件，则可以继续使用洛必达法则先确定，从而确定和，即．且这种情况可以继续依此类推．例1求．分析当时，分子分母的极限皆为零，故属于型不定式，可考虑应用洛必达法则．解、注最后一个求极限的函数在处是连续的．例2求．解、注例２中我们连续应用了两次洛必达法则．例3求．解、例4求、解、注(1) 在例4中，如果我们不提出分母中的非零因子，则在应用洛必达法则时需要计算导数，从而使运算复杂化．因此，在应用洛必达法则求极限时，特别要注意通过提取因子，作等价无穷小代换，利用两个重要极限的结果等方法，使运算尽可能地得到简化．课后请同学们自己学习教材136页上的例10 ．(2) 例４中的极限已不是未定式，不能对它应用洛必达法则，否则要导致错误的结果．以后在应用洛必达法则时应特别注意，不是未定式，不能应用洛必达法则．对于时的未定式有以下定理．定理2设(1)当时，函数及都趋于零；(2) 当时，与都存在，且；(3)存在(或为无穷大)，则．同样地,对于(或)时的未定式，也有相应的洛必达法则．定理3设(1)当(或)时，函数及都趋于无穷大；(2)在点的某去心邻域内(或当时)，及都存在，且；(3)存在(或为无穷大)，则．例5求、解、
求二元函数极限几种方法
1.二元函数极限概念分析 定义1 设函数f 在2D R ?上有定义，0P 是D 的聚点，A 是一个确定的实数.如果对于任意给定的正数ε，总存在某正数δ,使得00(;)P U P D δ∈I 时，都有 ()f P A ε-<, 则称f 在D 上当0P P →时，以A 为极限，记0 lim ()P P P D f P A →∈=. 上述极限又称为二重极限. 2．二元函数极限的求法 2.1 利用二元函数的连续性 命题 若函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续，则0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=. 例1 求 在点(1,2)的极限. 解： 因为在点(1,2)处连续，所以 例2 求极限()()2 21,1,21 lim y x y x +→． 解： 因函数在()1,1点的邻域连续，故可直接代入求极限，即 ()()221,1,21lim y x y x +→=31 ． 2.2 利用恒等变形法 将二元函数进行恒等变形，例如分母或分子有理化等.
例3 求 00 x y →→ 解： 00 x y →→ 00 x y →→= 0x y →→= 00 1. 4 x y →→==-例4 ()() 2 2 220,0,321 )31)(21(lim y x y x y x +-++→． 解： 原式()() ( ) ) ( ) () ,0,02 211lim 231x y x y →= + ()( 22 ,0,0lim x y →= + 11022 = +=． 2.3 利用等价无穷小代换 一元函数中的等价无穷小概念可以推广到二元函数.在二元函数中常见的 等价无穷小((,)0)u x y →，有 sin (,)(,)u x y u x y :； 2(,) 1cos (,)2 u x y u x y -:；
考研数学：极限计算法则——洛必达法则
考研数学：极限计算法则——洛必达法则 洛必达法则是计算极限最常用的方法之一，也是历年考研数学的一个高频考点，不仅能算出具体函数的极限，对于抽象函数求极限也同样适用。在大学阶段，同学们最喜欢一洛到底，但是洛必达法则也是有底线的，并不是所有的极限都能用洛必达求出来，接下来就介绍一下洛必达法则，正确认识洛必达，才可以理解其定理及科学有效地使用，吃透定理后进而找到它们的解题思路，才不至于在做这一题型时感到无从下手。 一、关于洛必达法则 洛必达法则有两类，分别是x a →和x →∞，现归为一种情况x → 进行介绍，定理如下:设(),)f x g x （满足ⅰ）()0lim ()0x f x g x →= 或∞∞ⅱ）(),)f x g x （在 的某去心邻域内可导且()0 g x '≠ⅲ）()lim () x f x g x →'' 存在或为∞则有()()lim lim .()()x x f x f x g x g x →→'=' 关于该法则需要注意的有两点： ①在使用洛必达法则时一定要注意检验条件，三个条件缺一不可，否则很容易得到错误的结果；②使用洛必达法则之前一定先对极限式化简（等替或者四则运算的函数分解）. 二、下面分别对每个条件进行分析：对于条件一，只需保证极限是00或∞∞ 的分式形式；对于条件二，需保证可导性，当已知极限式中的函数存在n 阶导数时，只能使用洛必达法则至出现1n -阶导数（如至n 阶，不能保证连续性），最后一步一般凑导数的定义；当已知极限式中的函数存在n 阶连续导数时，可以使用洛必达法则至出现n 阶导数。
例：已知 ()f x 二阶可导，求20))2)lim .h f x h f x h f x h →++--（（（解：2 00000))2) lim ))lim 2)()())lim 21)()1)()lim lim 22(). h h h h h f x h f x h f x h f x h f x h h f x h f x f x f x h h f x h f x f x h f x h h f x →→→→→++--''+--=''+-+--=''+---=+-''=（（（（（（（（（分析：二阶可导，可洛至一阶，之后凑二阶导数定义； 若该题中，已知 ()f x 二阶连续可导，解题过程如下;解：2 000))2) lim ))lim 2))lim 2 (). h h h f x h f x h f x h f x h f x h h f x h f x h f x →→→++--''+--=''''++-=''=（（（（（（（对于条件三，需保证求导之后的极限必须存在或为∞（后者情况较少），即当()lim ()x f x A g x →'=' 或∞时，方可使用洛必达。易错点如下：()lim ()x f x g x →'' 不存在，不能()lim () x f x g x →? 不存在；()lim x f x → 存在，不能()lim x f x →'?' 存在；正确说法为：()lim ()x f x g x → 存在()lim .()x f x g x →'?≠∞'