实变函数习题解答(1)
第一章习题解答
1、证明 A (B C)=(A B) (A C)
证明:设x∈A (B C),则x∈A或x∈(B C),若x∈A,则x∈A B,且x∈A C,从而x∈(A B) (A C)。若x∈B C,则x∈B且x∈C,于是x∈A B且x∈A C,从而x∈(A B) (A C),因此
A (B C) ? (A B) (A C) (1)
设x∈(A B) (A C),若x∈A,则x∈A (B C),若x∈A,由x∈A B 且x∈A C知x∈B且x∈C,所以x∈B C,所以x∈A (B C),因此
(A B) (A C) ? A (B C) (2)
由(1)、(2)得,A (B C)=(A B) (A C) 。
2、证明
①A-B=A-(A B)=(A B)-B
②A (B-C)=(A B)-(A C)
③(A-B)-C=A-(B C)
④A-(B-C)=(A-B) (A C)
⑤(A-B) (C-D)=(A C)-(B D)
(A-B)=A B
A-(A B)=A C(A B)=A (CA CB)
=(A CA) (A CB)=φ (A CB)=A-B
(A B)-B=(A B) CB=(A CB) (B CB)
=(A CB) φ=A-B
②(A B)-(A C)=(A B) C(A C)
=(A B) (CA CC)=(A B CA) (A B CC)=φ [A (B CC)]=
A (B-C)
③(A-B)-C=(A CB) CC=A C(B C)
=A-(B C)
④A-(B-C)=A C(B CC)=A (CB C)
=(A CB) (A C)=(A-B) (A C)
⑤(A-B) (C-D)=(A CB) (C CD)
=(A C) (CB CD)=(A C) C(B D)
=(A C)-(B D)
⑥A -(A -B)=A C(A CB)=A (CA B) =(A CA) (A B)=φ (A B)=A B 3、证明: (A B)-C =(A -C) (B -C)
A -(
B C)=(A -B) (A -C)
证明:(A B)-C =(A B) CC
=(A CC) (B CC)=(A -
(A -B) (A -C)=(A CB) (A CC)
=(A A) (CB CC)=A C(B C)=A -(B C) 4、证明:s C (∞
=1
i i A )=∞
=1
i s C i A
证明:设x ∈s C (∞
=1
i i A ),则x ∈∞
=1
i i A ,于是,i ?、x ∈i A ,从而x ∈C i A ,
所以,x ∈∞
=1
i C i A ,所以,s C (∞
=1
i i A )?∞
=1
i s C i A 。
设x ∈∞
=1
i s C i A ,则i ?、x ∈C i A ,即x ∈i A ,于是,x ∈∞
=1
i i A ,
即x ∈C (∞
=1
i i A ),所以∞
=1
i C i A ? C (∞
=1
i i A ),由以上两步得
s C (∞
=1
i i A ) = ∞
=1
i s C i A
N
∈αα
A )-
B =N
∈α (αA -B)
②(N
∈α αA )-B =N
∈α (αA -B)
证明:①(N
∈α
α
A )-
B =(N
∈α
α
A ) CB
=N
∈α (αA CB)=N
∈α (αA -B)
②(N
∈α αA )-B =(N
∈α αA ) CB
=N
∈α (αA CB)=N
∈α (αA -B)
6、设{n A }是一列集合,作1B =1A ,n B =n A -(1
1
-=n k k A )n >1。证明n B 是一列互
不相交的集,而且n
k 1
= k A =n
k 1
= k B ,n =1,2,3,…。
证明:设i ≠j ,不妨设i i B j B ?i A [j A -(1 1 -=j k k A )] =i A [j A (1 1 -=j k C k A )] =i A j A [C i A (1 1-≠=j i k k C k A )]=(i A C i A ) j A (11-≠=j i k k C k A )=φ j A (11-≠=j i k k k A )=φ ∴ i B j B =φ,{n B }互不相交。 ∵ i B ?i A ,∴ n k 1 = k A =n k 1 = k B 。 另一方面,设x ∈n k 1 = k A ,则存在最小的自然数i ,使x ∈i A ,x ∈1 1 -=i k k A ,∴ k A =i B ?n k 1 = k B , ∴ n k 1 = k A ?n k 1 = k B ∴ n k 1 = k A =n k 1 = k B 。 7、设12-n A =(0,n 1 ),n A 2=(0,n ),n =1,2,…,求出集列{n A }的上限集和下限集。 解:?n 。∵ 12-n A =(0,n 1 ),n A 2=(0,n ), ∴ 12-n A ?n A 2 。 ∞=n m m A =∞ =n m (12-m A m A 2)=∞=n m m A 2=∞ =n m (0,m )=(0,∞) ∞ →n lim n A =∞ =1n ∞ =n m m A =∞ =1 n (0,∞)=(0,∞) ∞=n m m A =∞ =n m (12-m A m A 2)=∞ =n m 12-m A =∞ =n m (0,m 1 )=φ ∴ ∞ →n lim n A =∞ =1n ∞ =n m n A =∞ =1 n φ=φ 。 8、证明:∞ →n lim n A =∞ =1n ∞ =n m m A 证明:x ∈∞ →n lim n A ??n ,?m ≥n ,有x ∈m A ??n ,x ∈∞ =n m m A ?? x ∈∞ =1n ∞ =n m m A ,∴ ∞→n lim n A =∞ =1n ∞ =n m m A 。 9、作出一个(-1,1)和(-∞,+∞)的1—1对应,并写出这一对应的解析表达式。 解:y=tg 2πx ,x ∈(-1,1),y(-∞,+∞)。 10、证明将球面去掉一点以后,余下的点所成的集合和整个平面上的点所成的集合是对等的。 证明:用P 表示在球面上挖去的那一点,P 与球心O 的连线交球面于M ,过M 作球面的切平面,过P 点和球面上任一点N 引直线,该直线与平面交于N ',将N 与N '对应,P 与M 对应,则球面上的点与整个平面上的点用上述方法构成一个一一对应,由对等的定义,挖去一点的球面与平面是对等的。 A 的元素,则A 至多为可数集。 证明:由有理数的稠密性知,在每一区间中至少含有一个有理数,在每一开区间中任取一有理数与该区间对应,由于开区间互不相交,故不同开区间对应不同的有理数,但有理数全体为一可数集,其子集至多是可数集,所以直线上互不相交的开区间作成的集至多是可数集。 12、证明所有系数为有理数的多项式组成一可数集。 证明:以A 表示这个集合,n A 表示n 次有理系数多项式的全体,则 A =∞ =0 n n A 。 n A 由n +1 个独立记号,即n 次多项式的n +1个有理系数所决定,其中首项 系数为异于0的有理数,其余系数可取一切有理数,因此,每个记号独立地跑遍一个可数集,所以,n A 是可数集,A 13、设A 是平面上以有理点为中心,有理数为半径的圆的全体,则A 是可数集。 证明:A 中任一元素由三个独立记号(a ,b ,r )所决定,其中(a ,b )是圆心的坐标,r 是圆的半径,a 、b 各自跑遍全体有理数,r 跑遍大于0的有理数,而且它们都是可数集,故A 是可数集。 14、证明单调增加函数的不连续点最多只有可数多个。 证明:设)(x f 是(-∞,+∞)上的单调增加函数,其不连续点的全体记为E ,设0x ∈E ,由数学分析知,0x 必为第一类不连续点,即其左、右极限)0(0-x f 、 )0(0+x f 必存在,且)0(0-x f <)0(0+x f ,这样,每个不连续点0 x 对应一个开区 间()0(0-x f ,)0(0+x f ),且这些开区间互不相交。由11题知,这些开区间最多有可数多个,所以,E 最多是一个可数集。 第一章习题解答 1、证明 A (B C)=(A B) (A C) 证明:设x∈A (B C),则x∈A或x∈(B C),若x∈A,则x∈A B,且x∈A C,从而x∈(A B) (A C)。若x∈B C,则x∈B且x∈C,于是x∈A B且x∈A C,从而x∈(A B) (A C),因此 A (B C) ? (A B) (A C) (1) 设x∈(A B) (A C),若x∈A,则x∈A (B C),若x∈A,由x∈A B 且x∈A C知x∈B且x∈C,所以x∈B C,所以x∈A (B C),因此 (A B) (A C) ? A (B C) (2) 由(1)、(2)得,A (B C)=(A B) (A C) 。 2、证明 ①A-B=A-(A B)=(A B)-B ②A (B-C)=(A B)-(A C) ③(A-B)-C=A-(B C) ④A-(B-C)=(A-B) (A C) ⑤(A-B) (C-D)=(A C)-(B D) (A-B)=A B A-(A B)=A C(A B)=A (CA CB) =(A CA) (A CB)=φ (A CB)=A-B (A B)-B=(A B) CB=(A CB) (B CB) =(A CB) φ=A-B ②(A B)-(A C)=(A B) C(A C) =(A B) (CA CC)=(A B CA) (A B CC)=φ [A (B CC)]= A (B-C) ③(A-B)-C=(A CB) CC=A C(B C) =A-(B C) ④A-(B-C)=A C(B CC)=A (CB C) =(A CB) (A C)=(A-B) (A C) ⑤(A-B) (C-D)=(A CB) (C CD) =(A C) (CB CD)=(A C) C(B D) =(A C)-(B D) 实变函数试题库及参考答案(5) 本科 一、填空题 1.设,A B 为集合,则___(\)A B B A A 2.设n E R ?,如果E 满足0 E E =(其中0 E 表示E 的内部),则E 是 3.设G 为直线上的开集,若开区间(,)a b 满足(,)a b G ?且,a G b G ??,则(,)a b 必为G 的 4.设{|2,}A x x n n ==为自然数,则A 的基数a (其中a 表示自然数集N 的基数) 5.设,A B 为可测集,B A ?且mB <+∞,则__(\)mA mB m A B - 6.设()f x 是可测集E 上的可测函数,则对任意实数,()a b a b <,都有[()]E x a f x b <<是 7.若()E R ?是可数集,则__0mE 8.设 {}()n f x 为可测集E 上的可测函数列,()f x 为E 上的可测函数,如果 .()() ()a e n f x f x x E →∈,则()()n f x f x ?x E ∈(是否成立) 二、选择题 1、设E 是1 R 中的可测集,()x ?是E 上的简单函数,则 ( ) (A )()x ?是E 上的连续函数 (B )()x ?是E 上的单调函数 (C )()x ?在E 上一定不L 可积 (D )()x ?是E 上的可测函数 2.下列集合关系成立的是( ) (A )()()()A B C A B A C = (B )(\)A B A =? (C )(\)B A A =? (D )A B A B ? 3. 若() n E R ?是闭集,则 ( ) (A )0 E E = (B )E E = (C )E E '? (D )E E '= 三、多项选择题(每题至少有两个以上的正确答案) 1.设{[0,1]}E =中的有理点 ,则( ) (A )E 是可数集 (B )E 是闭集 (C )0mE = (D )E 中的每一点均为E 的内点 实变函数试题库及参考答案(4) 本科 一、填空题 1.设,A B 为两个集合,则__c A B A B - . 2.设n E R ?,如果E 满足E E '?(其中E '表示E 的导集),则E 是 3.若开区间(,)αβ为直线上开集G 的一个构成区间,则(,)αβ满(i) )(b a ,G (ii),a G b G ?? 4.设A 为无限集.则A 的基数__A a (其中a 表示自然数集N 的基数) 5.设12,E E 为可测集,2mE <+∞,则1212(\)__m E E mE mE -. 6.设{}()n f x 为可测集E 上的可测函数列,且()(),n f x f x x E ?∈,则由______定理可知得,存在{}()n f x 的子列{}()k n f x ,使得.()() ()k a e n f x f x x E →∈. 7.设()f x 为可测集E (n R ?)上的可测函数,则()f x 在E 上的L 积分值存在且|()|f x 在E 上L 可积.(填“一定”“不一定”) 8.若()f x 是[,]a b 上的绝对连续函数,则()f x 是[,]a b 上的有 二、选择题 1.设(){},001E x x =≤≤,则( ) A 1mE = B 0mE = C E 是2R 中闭集 D E 是2R 中完备集 2.设()f x ,()g x 是E 上的可测函数,则( ) A 、()()E x f x g x ??≥??不一定是可测集 B 、()()E x f x g x ??≠??是可测集 C 、()()E x f x g x ??≤??是不可测集 D 、()() E x f x g x ??=??不一定是可测集 3.下列集合关系成立的是() A 、(\)A B B A B = B 、(\)A B B A = C 、(\)B A A A ? D 、\B A A ? 4. 若() n E R ?是开集,则 ( ) A 、E 的导集E ? B 、E 的开核E =C 、E E =D 、E 的导集E = 本试题参考答案由08统计班15号 李维提供 有问题联系 1、设 212(0,1/),(0,),0,1,2...,n n A n A n n -===n 求出集列{A }的上限集和下限集合。 2、证明:()f x 为[,]a b 上连续函数的充分必要条件是对任意实数c ,集{} ()E x f x c =≥和 {}1()E x f x c =≤都是闭集。 3、设n R E ?是任意可测集,则一定存在可测集 δ G 型集 G ,使得 E G ?,且 ()0=-E G m 4、设,n A B R ?,A B ?可测,且()m A B ?<+∞,若()**m A B m A m B ?=+, 则,A B 皆可测。 5、写出鲁津定理及其逆定理。并证明鲁津定理的逆定理。 6、设)(x f 是E 上的可测函数,G 为开集,F 为闭集,试问])(|[G x f x E ∈与 ])(|[F x f x E ∈是否是可测集,为什么? 7、设在Cantor 集0P 上定义函数()f x =0,而在0P 的余集中长为1 3n 的构成区间上定义为n (1,2,3,=L n ),试证()f x 可积分,并求出积分值。 8、设{}n f 为E 上非负可积函数列,若lim ()0,n E n f x dx →∞=? 则()0n f x ?。 9、设)(x f 是E 上. 有限的可测函数,+∞ 习题1.1 1.证明下列集合等式. (1) ()()()C A B A C B A \\=; (2) ()()()C B C A C B A \\\ =; (3) ()()()C A B A C B A \\\=. 证明 (1) )()C \B (c C B A A = )()( c c C B A A B A = c C A B A )()( = )(\)(C A B A = . (2) c C B A A )(C \B)(= )()(c c C B C A = =)\()\(C A C A . (3) )(\C)\(B \c C B A A = c c C B A )( = )(C B A c = )()(C A B A c = )()\(C A B A =. 2.证明下列命题. (1) ()A B B A = \的充分必要条件是:A B ?; (2) ()A B B A =\ 的充分必要条件是:=B A ?; (3) ()()B B A B B A \\ =的充分必要条件是:=B ?. 证明 (1) A B A B B B A B B A B B A c c ==== )()()()\(的充要条 是:.A B ? (2) c c c c B A B B B A B B A B B A ===)()()(\)( 必要性. 设A B B A =\)( 成立,则A B A c = , 于是有c B A ?, 可得.?=B A 反之若,?≠B A 取B A x ∈, 则B x A x ∈∈且, 那么B x A x ?∈且与c B A ?矛盾. 充分性. 假设?=B A 成立, 则c B A ?, 于是有A B A c = , 即.\)(A B B A = (3) 必要性. 假设B B A B B A \)()\( =, 即.\c C A B A B A == 若,?≠B 取,B x ∈ 则,c B x ? 于是,c B A x ? 但,B A x ∈ 与c C A B A =矛盾. 充分性. 假设?=B 成立, 显然B A B A \= 成立, 即B B A B B A \)()\( =. 3.证明定理1.1.6. 定理1.1.6 (1) 如果{}n A 是渐张集列, 即),1(1≥??+n A A n n 则{}n A 收敛且 ∞ =∞ →=1 ;lim n n n n A A (2) 如果{}n A 是渐缩集列, 即),1(1≥??+n A A n n 则{}n A 收敛且 ∞ =∞ →= 1 . lim n n n n A A 证明 (1) 设),1(1≥??+n A A n n 则对任意 ∞ =∈ 1 ,n n A x 存在N 使得,N A x ∈ 从而 ),(N n A x N ≥?∈ 所以,lim n n A x ∞ →∈ 则.lim 1 n n n n A A ∞→∞ =? 又因为 ∞ =∞ →∞ →??1 ,lim lim n n n n n n A A A 由此可见{}n A 收敛且 ∞ =∞ →= 1 ;lim n n n n A A (2) 当)1(1≥??+n A A n n 时, 对于, lim n n A x ∞ →∈存 )1(1≥?<+k n n k k 使得 ),1(≥?∈k A x k n 于是对于任意的,1≥n 存在0k 使得n n k >0, 从而,0 n n A A x k ?∈ 可见.lim 1 ∞ =∞ →?n n n n A A 又因为,lim lim 1 n n n n n n A A A ∞ →∞ →∞ =?? 所以可知{}n A 收敛且 ∞ =∞ →=1 .lim n n n n A A 4.设f 是定义于集合E 上的实值函数,c 为任意实数,证明: (1) ??? ???+≥=>∞ =n c f E c f E n 1][1 ; (2) ?? ? ???+<=≤∞ =n c f E c f E n 1][1 ; (3) 若))(()(lim E x x f x f n n ∈?=∞ →,则对任意实数c 有 ?????? ->=????? ?->=≥∞→∞=∞ =∞ =∞ =k c f E k c f E c f E n n k n N n N k 1lim 1][111 . 证明 (1) 对任意的[],c f E x >∈ 有,)(c x f > 则存在+ ∈Z n 使得n c x f 1)(+ ≥成 第一章习题解答 1、证明 A Y(B I C)=(A Y B)I(A Y C) 证明:设x∈A Y(B I C),则x∈A或x∈(B I C),若x∈A,则x∈A Y B,且 x∈A Y C,从而x∈(A Y B)I(A I C)。若x∈B I C,则x∈B且x∈C,于是x∈A Y B 且x∈A Y C,从而x∈(A Y B)I(A Y C),因此 A Y(B I C) ? (A Y B)I(A Y C) (1) 设x∈(A Y B) I(A Y C),若x∈A,则x∈A Y(B I C),若x∈A,由x∈A Y B 且x∈A Y C知x∈B且x∈C,所以x∈B I C,所以x∈A Y(B I C),因此 (A Y B)I(A Y C) ? A Y(B I C) (2) 由(1)、(2)得,A Y(B I C)=(A Y B)I(A Y C) 。 2、证明 ①A-B=A-(A I B)=(A Y B)-B ②A I(B-C)=(A I B)-(A I C) ③(A-B)-C=A-(B Y C) ④A-(B-C)=(A-B)Y(A I C) ⑤(A-B)I(C-D)=(A I C)-(B Y D) (A-B)=A I B A-(A I B)=A I C(A I B)=A I(CA Y CB) =(A I CA)Y(A I CB)=φY(A I CB)=A-B (A Y B)-B=(A Y B)I CB=(A I CB)Y(B I CB) =(A I CB)Yφ=A-B ②(A I B)-(A I C)=(A I B)I C(A I C) =(A I B)I(CA Y CC)=(A I B I CA)Y(A I B I CC)=φY[A I(B I CC)]= A I(B-C) ③(A-B)-C=(A I CB)I CC=A I C(B Y C) =A-(B Y C) ④A-(B-C)=A I C(B I CC)=A I(CB Y C) =(A I CB) Y(A I C)=(A-B)Y(A I C) ⑤(A-B)I(C-D)=(A I CB)I(C I CD) =(A I C)I(CB I CD)=(A I C)I C(B Y D) 实变函数试题库及参考答案(1) 本科 一、填空题 1.设,A B 为集合,则()\A B B U A B U (用描述集合间关系的符号填写) 2.设A 是B 的子集,则A B (用描述集合间关系的符号填写) 3.如果E 中聚点都属于E ,则称E 是 4.有限个开集的交是 5.设1E 、2E 是可测集,则()12m E E U 12mE mE +(用描述集合间关系的符号填写) 6.设n E ?? 是可数集,则* m E 0 7.设()f x 是定义在可测集E 上的实函数,如果1 a ?∈?,()E x f x a ??≥??是 ,则称()f x 在E 上可测 8.可测函数列的上极限也是 函数 9.设()()n f x f x ?,()()n g x g x ?,则()()n n f x g x +? 10.设()f x 在E 上L 可积,则()f x 在E 上 二、选择题 1.下列集合关系成立的是( ) A ()\ B A A =?I B ()\A B A =?I C ()\A B B A =U D ()\B A A B =U 2.若n R E ?是开集,则( ) A E E '? B 0E E = C E E = D E E '= 3.设(){} n f x 是E 上一列非负可测函数,则( ) A ()()lim lim n n E E n n f x dx f x dx →∞ →∞≤?? B ()()lim lim n n E E n n f x dx f x dx →∞ →∞ ≤?? C ()()lim lim n n E E n n f x dx f x dx →∞ →∞≤?? D ()()lim lim n n E E n n f x dx f x →∞→∞ ≤?? 三、多项选择题(每题至少有两个以上的正确答案) 1.设[]{}0,1E = 中无理数,则( ) A E 是不可数集 B E 是闭集 C E 中没有内点 D 1m E = 2.设n E ?? 是无限集,则( ) 实变函数综合练习题 《实变函数》综合训练题(一) (含解答) 一、选择题(单选题) 1、下列集合关系成立的是( A ) (A )(\)A B B A B ?=? (B )(\)A B B A ?= (C )(\)B A A A ?? (D )(\)B A A ? 2、若n E R ?是开集,则( B ) (A )E E '? (B )E 的内部E = (C )E E = (D )E E '= 3、设P 是康托集,则( C ) (A )P 是可数集 (B )P 是开集 (C )0mP = (D )1mP = 4、设E 是1R 中的可测集,()x ?是E 上的简单函数,则( D ) (A )()x ?是E 上的连续函数 (B )()x ?是E 上的单调函数 (C )()x ?在E 上一定不L 可积 (D )()x ?是E 上的可测函数 5、设E 是n R 中的可测集,()f x 为E 上的可测函数,若()d 0E f x x =?,则( A ) (A )在E 上,()f z 不一定恒为零 (B )在E 上,()0f z ≥ (C )在E 上,()0f z ≡ (D )在E 上,()0f z ≠ 二、多项选择题(每题至少有两个或两个以上的正确答案) 1、设E 是[0,1]中的无理点全体,则(C 、D ) (A )E 是可数集 (B )E 是闭集 (C )E 中的每一点都是聚点 (D )0mE > 2、若1E R ?至少有一个内点,则( B 、D ) (A )*m E 可以等于零 (B )* 0m E > (C )E 可能是可数集 (D )E 是不可数集 3、设[,]E a b ?是可测集,则E 的特征函数()E X x 是 (A 、B 、C ) (A )[,]a b 上的简单函数 (B )[,]a b 上的可测函数 (C )E 上的连续函数 (D )[,]a b 上的连续函数 4、设()f x 在可测集E 上L 可积,则( B 、D ) (A )()f z +和()f z - 有且仅有一个在E 上L 可积 (B )()f z + 和()f z - 都在E 上L 可积 (C )()f z 在E 上不一定L 可积 (D )()f z 在E 上一定L 可积 5、设()f z 是[,]a b 的单调函数,则( A 、C 、D ) (A )()f z 是[,]a b 的有界变差函数 (B )()f z 是[,]a b 的绝对连续函数 (C )()f z 在[,]a b 上几乎处处连续 (D )()f z 在[,]a b 上几乎处处可导 三、填空题(将正确的答案填在横线上) 1、设X 为全集,A ,B 为X 的两个子集,则\A B =C A B ? 。 2、设n E R ?,如果E 满足E E '?,则E 是 闭 集。 3、若开区间(,)αβ是直线上开集G 的一个构成区间,则(,)αβ满足(,)G αβ?、 ,G G αβ??。 4、设A 是无限集,则A 的基数A ≥ a (其中a 表示可数基数) 。 5、设1E ,2E 为可测集,2mE <+∞,则12(\) m E E ≥ 12mE mE -。 6、设()f x 是定义在可测集E 上的实函数,若对任意实数a ,都有[()]E x f x a > 是 可测集 ,则称()f x 是可测集E 上的可测函数。 试卷一: 一、单项选择题(3分×5=15分) 1、1、下列各式正确的是( ) (A )1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; (B )1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; (C )1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; (D )1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; 2、设P 为Cantor 集,则下列各式不成立的是( ) (A )=P c (B) 0mP = (C) P P =' (D) P P =ο 3、下列说法不正确的是( ) (A) 凡外侧度为零的集合都可测(B )可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集 (D )波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( ) (A )若()()n f x f x ?, 则()()n f x f x → (B) {}sup ()n n f x 是可测函数 (C ){}inf ()n n f x 是可测函数;(D )若()()n f x f x ?,则()f x 可测 5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数,则下面不成立的是( ) (A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数 (C ))(' x f 在],[b a 上L 可积 (D) ? -=b a a f b f dx x f )()()(' 二. 填空题(3分×5=15分) 1、()(())s s C A C B A A B ??--=_________ 2、设E 是[]0,1上有理点全体,则' E =______,o E =______,E =______. 3、设E 是n R 中点集,如果对任一点集T 都有 第二章 习题解答 0P ∈E '的充要条件是对任意含有0P 的邻域U(P ,δ)(不一定以0P 0 P 的点1P 属于E (事实上,这样的1 P 还有无穷多个)。而 0P ∈0 E 的充要条件则是有含0P 的邻域U(P ,δ)(同样,不一定以0P 为中心)存 在,使U(P ,δ)?E 。 证明:(1)充分性,用反证法,若0P ∈E ',则0P 的某一邻域U(0P ,0δ)中至多有有限个异于0P 的点1X ,2X ,…,n X 属于E ,令n i ≤≤1min d(0P ,i x )=δ', 在U(0P ,δ')中不含异于0P 的点属于E ,这与条件矛盾。 必要性,设U(P ,δ)是任意一个含有0P 的邻域,则d(0P ,E )<δ,令1δ=δ- d(0P ,P )>0,则U(0P ,1δ)?U(P ,δ)。因为0P ∈E ',所以,在U(0P ,1δ)中含于无穷多个属于E 的点,其中必有异于0P 的点1P ,即U(P ,δ)中有异于0P 的点1P 。 (20P 的邻域U(P ,δ)?E ,则d(0P ,P )<δ,令1δ=δ- d(0P ,P ),01)?U(P ,δ),从而U(0P , 1δ)?E ,故0P ∈0 E 。 2、设n R =R '是全体实数,1E 是[0,1]上的全部有理点,求1E ',0 1E ,1E 。 解:1E '=[0,1],0 1E =φ,1E =[0,1] 。 3、设n R =2 R 是普通的x o y 平面,2E ={(x ,y )|2 x +2 y <1},求2 E ',0 2E ,2E 。 解:2 E '={(x ,y )|2x +2y ≤1}, 0 2E ={(x ,y )|2x +2y <1}, 2E ={(x ,y )|2x +2y ≤1}。 4、设n R =2R 是普通的x o y 平面,3E 是函数y =?????=≠0 01 sin x x x 当当的图形上 的点作成的集合,求3 E ',0 3E 。 3 '={(x ,y )|x ≠0,y =sin x 1} {(0,y )|-1≤y ≤1} 《实变函数》期末考试试题汇编 目录 《实变函数》期末考试模拟试题(一) (2) 《实变函数》期末考试模拟试题(二) (7) 《实变函数》期末考试模拟试题(三) (13) 《实变函数》期末考试模拟试题(四) (18) 《实变函数》期末考试模拟试题(五) (27) 《实变函数》期末考试模拟试题(六) (30) 《实变函数》期末考试模拟试题(七) (32) 《实变函数》期末考试模拟试题(八) (36) 《实变函数》期末考试模拟试题(九) (41) 《实变函数》期末考试模拟试题(十) (47) 《实变函数》期末考试题(一) (57) 《实变函数》期末考试题(二) (63) 《实变函数》期末考试模拟试题(一) (含解答) 一、选择题(单选题) 1、下列集合关系成立的是( A ) (A )(\)A B B A B ?=? (B )(\)A B B A ?= (C )(\)B A A A ?? (D )(\)B A A ? 2、若n E R ?是开集,则( B ) (A )E E '? (B )E 的内部E = (C )E E = (D )E E '= 3、设P 是康托集,则( C ) (A )P 是可数集 (B )P 是开集 (C )0mP = (D )1mP = 4、设E 是1R 中的可测集,()x ?是E 上的简单函数,则( D ) (A )()x ?是E 上的连续函数 (B )()x ?是E 上的单调函数 (C )()x ?在E 上一定不L 可积 (D )()x ?是E 上的可测函数 5、设E 是n R 中的可测集,()f x 为E 上的可测函数,若()d 0E f x x =?,则( A ) (A )在E 上,()f z 不一定恒为零 (B )在E 上,()0f z ≥ (C )在E 上,()0f z ≡ (D )在E 上,()0f z ≠ 二、多项选择题(每题至少有两个或两个以上的正确答案) 1、设E 是[0,1]中的无理点全体,则(C 、D ) (A )E 是可数集 (B )E 是闭集 (C )E 中的每一点都是聚点 (D )0mE > 2、若1E R ?至少有一个内点,则( B 、D ) (A )* m E 可以等于零 (B )*0m E > (C )E 可能是可数集 (D )E 是不可数集 3、设[,]E a b ?是可测集,则E 的特征函数()E X x 是 (A 、B 、C ) (A )[,]a b 上的简单函数 (B )[,]a b 上的可测函数 (C )E 上的连续函数 (D )[,]a b 上的连续函数 4、设()f x 在可测集E 上L 可积,则( B 、D ) 《实变函数》试卷一 一、单项选择题(3分×5=15分) 1、下列各式正确的是( ) (A )1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; (B )1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; (C )1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; (D )1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; 2、设P 为Cantor 集,则下列各式不成立的是( ) (A )=P c (B) 0mP = (C) P P =' (D) P P =ο 3、下列说法不正确的是( ) (A) 凡外侧度为零的集合都可测(B )可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集 (D )波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( )(A )若()()n f x f x ?, 则()()n f x f x → (B) {}sup ()n n f x 是可测函数(C ){}inf ()n n f x 是可测函数;(D )若 ()()n f x f x ?,则()f x 可测 5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数,则下面不成立的是( )(A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数 (C ))(' x f 在],[b a 上L 可积 (D) ? -=b a a f b f dx x f )()()(' 二. 填空题(3分×5=15分) 1、()(())s s C A C B A A B ??--=_________ 2、设E 是[]0,1上有理点全体,则 ' E =______,o E =______,E =______. 3、设E 是n R 中点集,如果对任一点集T 都 _________________________________,则称E 是L 可测的 4、)(x f 可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.(填“充分”,“必要”,“充要”) 5、设()f x 为[],a b 上的有限函数,如果对于[],a b 的一切分划,使_____________________________________,则称()f x 为 [],a b 上的有界变差函数。 三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则举反例 第二章 复习题 一、判断题 1、对任意n E R ?,*m E 都存在。(√ ) 2、对任意n E R ?,mE 都存在。(× ) 3、设n E R ?,则* m E 可能小于零。(× ) 4、设A B ?,则**m A m B ≤。(√ ) 5、设A B ?,则**m A m B <。(× ) 6、**1 1()n n n n m S m S ∞∞===∑ 。(× ) 7、**1 1()n n n n m S m S ∞∞==≤∑ 。(√ ) 8、设E 为n R 中的可数集,则*0m E =。(√ ) 9、设Q 为有理数集,则*0m Q =。(√ ) 10、设I 为n R 中的区间,则*m I mI I ==。(√ ) 11、设I 为n R 中的无穷区间,则*m I =+∞。(√ ) 12、设E 为n R 中的有界集,则*m E <+∞。(√ ) 13、设E 为n R 中的无界集,则*m E =+∞。(× ) 14、E 是可测集?c E 是可测集。(√ ) 15、设{n S }是可测集列,则1n n S ∞= ,1n n S ∞= 都是可测集。(√ ) 16、零测集、区间、开集、闭集和Borel 集都是可测集。(√ ) 17、任何可测集总可表示成某个Borel 集与零测集的差集。(√ ) 18、任何可测集总可表示成某个Borel 集与零测集的并集。(√ ) 19、若E =?,则*0m E >。(× ) 20、若E 是无限集,且* 0m E =,则E 是可数集。(× ) 21、若mE =+∞,则E 必为无界集。(√ ) 22、在n R 中必存在测度为零的无界集。(√ ) 23、若A ,B 都是可测集,A B ?且mA mB =,则()0m B A -=。(× ) 24、?和n R 都是可测集,且0m ?=,n mR =+∞。(√ ) 25、设12,E E 为可测集,则12()m E E -≥12mE mE -。(× ) 26、设12,E E 为可测集,且12E E ?,则12()m E E -=12mE mE -。(× ) 二、填空题 1、若E 是可数集,则*m E = 0 ;E 为 可测 集;mE = 0 。 2、若12,,,n S S S 为可测集,则1 n i i m S = 小于或等于 1 n i i mS =∑;若12,,,n S S S 为两两不相交的可测集,则1n i i m S = 等于 1n i i mS =∑。 3、设12,E E 为可测集,则122()m E E mE -+ 大于或等于 1mE ;若还有2mE <+∞,则 12()m E E - 大于或等于 12mE mE -。 4、设12,E E 为可测集,且12E E ?,2mE <+∞,则12()m E E - 等于 12mE mE -。 5、设0x 为E 的内点,则*m E 大于 0。 6、设P 为康托三分集,则P 为 可测 集,且mP = 0 。 7、m ?= 0 ,n mR = +∞ 。 8、叙述可测集与G δ型集的关系 可测集必可表示成一个G δ型集与零测集的差集 。 9、叙述可测集与F σ型集的关系 可测集必可表示成一个F σ型集与零测集的并集 。 三、证明题 1、证明:若E 有界,则* m E <+∞。 证明:因为E 有界,所以,存在一个有限区间I ,使得E I ?,从而m E m I I **≤=<+∞。 2、证明:若* 0m E =,则E 为可测集。 实变函数与泛函分析试卷A 一、判断题 1.定义在区间),(+∞-∞上的单调函数的间断点所成之集至多可数。 2.赋范空间中的压缩映射一定存在不动点。 3.平面上所有点的集合的势不能与含在其中的直线上的点集的势相等。 4.直线上互不相交的开区间所成之集为不可数集。 5.赋范空间中上压缩映射一定存在不动点。 二、填空题 1.直线上任何____可表示成至多可数的个互不相交的构成区间的并集。 2.实数集中一集合的闭包是包含此集合的所有闭集的____。 3.有限维空间上的任何两个范数都是____。 4.一闭集中所有点都是此集合的聚点,则称此集合为____。 5.在半序集中,如果所有全序集都有上界,则此半序集中有____。 三、选择题 1.直线上的单调函数的不连续点集____。 A.可数 B.至多可数 C.不可数 D.有限 2.有限维赋范空间中____中点列有收敛子列。 A.开集 B.闭集 C.有界集 D.无界集 3.Banach 空间间的____线性算子必是连续的。 A.无界 B.开 C.闭 D.有界 4.可分赋范空间的共轭空间必是____。 A.可分的 B.完备的 C.不可分的 D.不完备的 5.闭区间上____函数是Riemann 可积的。 A.有界的几乎处处连续 B.有界 C.几乎处处连续 D.Lebesgue 可积函数 四、论述题 1.证明:设F 是n 维欧几里得空间),(ρn R 中的有界闭集,映射F F T →:满足: ),,)(,(),(y x F y x y x Tx Tx ≠∈?<ρρ.求证T 在F 中存在唯一的不动点。 2.证明:设集1R E ?有界,0*>E m ,则对于任意小于E m *的正数,恒有E 的子集1 E 使得c E m =1*。 3.设,...,21αα是一列数,∞ [0195]《实变函数论》 第一次作业 [单选题]1.开集减去闭集是() A:A.开集 B:B.闭集 C:C.既不是开集也不是闭集 参考答案:A [单选题]2.闭集减去开集是() A:开集 B:闭集 C:既不是开集也不是闭集 参考答案:B [单选题]3.可数多个开集的交是() A:开集 B:闭集 C:可测集 参考答案:C [单选题]4.可数多个闭集的并是() A:开集 B:闭集 C:可测集 参考答案:C [单选题]6.可数集与有限集的并是() A:有界集 B:可数集 C:闭集 参考答案:B [判断题]5.任意多个开集的并仍是开集。 参考答案:正确 [单选题]8.可数多个有限集的并一定是() A:可数集 B:有限集 C:以上都不对 参考答案:C [单选题]7.设f(x)是定义在[a,b]上的单调函数,则f(x)的间断点集是()A:开集 B:闭集 C:可数集 参考答案:C [单选题]9.设f(x)是定义在R上的连续函数,E=R(f>0),则E是 A:开集 B:闭集 C:有界集 参考答案:A [单选题]10.波雷尔集是() A:开集 B:闭集 C:可测集 参考答案:C [判断题]7.可数多个零测集的并仍是零测集合。 参考答案:正确 [单选题]1.开集减去闭集是()。 A:A.开集 B.闭集 C.既不是开集也不是闭集 参考答案:A [单选题]5.可数多个开集的并是() A:开集 B:闭集 C:可数集 参考答案:A [判断题]8.不可数集合的测度一定大于零。 参考答案:错误 [判断题]6.闭集一定是可测集合。 参考答案:正确 [判断题]10.开集一定是可测集合。 参考答案:正确 [判断题]4.连续函数一定是可测函数。 参考答案:错误 [判断题]3.零测度集合或者是可数集合或者是有限集。 参考答案:正确 [判断题]2.有界集合的测度一定是实数。 参考答案:正确 [判断题]1.可数集合是零测集 参考答案:正确 [判断题]9.任意多个闭集的并仍是闭集。 参考答案:错误 [判断题]9.任意多个闭集的并仍是闭集。 参考答案:错误 第二次作业 [单选题]4.设E是平面上边长为2的正方形中所有无理点构成的集合,则E的测度是A:0 B:2 C:4 参考答案:C [单选题]3.设E是平面上边长为2的正方形中所有有理点构成的集合,则E的测度是A:0 B:2 C:4 参考答案:A [单选题].2.[0,1] 中的全体有理数构成的集合的测度是() A:0 B:1 2011级实变函数积分理论复习题 一、判断题(判断正误,正确的请简要说明理由,错误的请举出反例) 1、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数,则1 ()()n n f x f x ∞ ==∑是[0,1]上的Lebesgue 可积函数。(×) 2、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数,则1 ()()n n f x f x ∞ ==∑是[0,1]上的Lebesgue 可测函数。(√) 3、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数,则 [0,1][0,1] lim ()d lim ()d n n n n f x x f x x →∞ →∞ =? ? 。 (×) 4、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数,则存在{}()n f x 的一个子列{} ()k n f x ,使得, [0,1][0,1] lim ()d lim ()d k k n n k k f x x f x x →∞ →∞ ? 。 (×,比如{}()n f x 为单调递增时,由Levi 定理,这样的子列一定不存在。) 5、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数,则存在{}()n f x 的一个子列{} ()k n f x ,使得, [0,1][0,1] lim ()d lim ()d k k n n k k f x x f x x →∞ →∞ =? ? 。 (×,比如课本上法都引理取严格不等号的例子。) 6、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数,则 [0,1][0,1] lim ()d lim ()d n n n n f x x f x x →∞ →∞ ≤?? 。 (√) 7、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数,则 [0,1][0,1] lim ()d lim ()d n n n n f x x f x x →∞ →∞ ≥? ? 。 (×) 8、设()f x 是[0,1]上的黎曼可积函数,则()f x 必为[0,1]上的可测函数。 (√,Lebesgue 积分与正常黎曼积分的关系) 9、设()f x 是[0,)+∞的上黎曼反常积分存在,则()f x 必为[0,)+∞上的可测函数。 (√,注意到黎曼反常积分的定义的前提条件,对任意自然数0n ,()f x 在[0,]n 上 黎曼可积,从而()f x 是[0,]n 上的可测函数,进而()f x 是1 [0,)[0,]n n ∞ =+∞= 上的可测函数) 10、设{}()n f x 是[0,1]上的一列单调递增非负可测函数,[0,1],n G f 表示()n f x 在 实变函数练习及答案 一、选择题 1、以下集合,( )是不可数集合。 .A 所有系数为有理数的多项式集合; .B [0,1]中的无理数集合; .C 单调函数的不连续点所成集合; .D 以直线上互不相交的开区间为元素的集。 2、设E 是可测集,A 是不可测集,0mE =,则E A U 是( ) .A 可测集且测度为零; .B 可测集但测度未必为零; .C 不可测集; .D 以上都不对。 3、下列说法正确的是( ) .A ()f x 在[,]a b L —可积?()f x 在[,]a b L —可积; .B ()f x 在[,]a b R —可积?()f x 在[,]a b R —可积; .C ()f x 在[,]a b L —可积?()f x 在[,]a b R —可积; .D ()f x 在(],a +∞R —广义可积?()f x 在[,]a b L —可积 4、设{}n E 是一列可测集,12......,n E E E ???则有( ) .A 1( )lim n n n n m E mE ∞→∞ =>U ; .B 1()lim n n n n m E mE ∞→∞==U ; .C 1 ()lim n n n n m E mE ∞→∞==I ; .D 以上都不对。 5、()()\\\A B C A B C =U 成立的充分必要条件是( ) .A A B ?; .B B A ?; .C A C ?; .D C A ?。 6、设E 是闭区间[]0,1中的无理点集,则( ) .A 1mE =; .B 0mE =; .C E 是不可测集; .D E 是闭集。 7、设mE <+∞, (){}n f x 是E 上几乎处处有限的可测函数列,()f x 是E 上几乎处处有限的可测函数,则(){}n f x 几乎处处收敛于()f x 是(){}n f x 依测度收敛于()f x 的( ) 1.若E有界,则m*E<正无穷 2.可数点集的外测度为零 3.设E是直线上一有界集合,m*E>0,则对任意小于m*E的正数c,恒有E的子集E1,使m*E=c 4.设S1,S2,…,Sn是一些互不相交的可测集合,Ei包含于Si,i=1,2,3...n,求证m*(E1并E2并E3...并En)=m*E1+m*E2+…+m*En 5.若m*E=0,则E可测。 6.证明康托尔(Cantor)集合的测度为0 7.设A,B包含于Rp,且m*B<正无穷,若A是可测集,证明m*(A并B)=mA+m*B-m*(A 交B) 8.证明:若E可测,则对于任意e〉0,恒有开集G及闭集F,使F包含于E包含于G,而m (G-E)〈e,m(E-F)〈e 9.设E包含于Rq,存在两列可测集{An},{Bn},使得An包含于E包含于Bn且m(Bn-An)--> 0(n-->无穷),则E可测。 10.设是一列可测集,证明和都是可测集且 11.设{En}是一列可测集,若求和m(En)<正无穷,证明m(En上极限)=0 12.设E是[0,1]中可测集,若m(E)=1,证明对任意可测集A包含于[0,1],m(E交A)=m(A) 13.设{En}是[0,1]中可测集列,若m(En)=1,n=1,2,...,则 定理5.6设E是任一可测集,则一定存在型集G,使G包含E,且m(G-E)=0。 设E是任一可测集,则一定存在型集F,使F包含于E,且m(E-F)=0。 次可数可加性证明 卡拉泰奥多里条件:m*T=m*(T交E)+m*(T交Ec)极限的测度等于测度的极限 1.证明:f(x)在E上为可测函数的充要条件是对任一有理数r,E[f〉r]可测,如果集E[f=r]可测,问f(x)是否可测?实变函数习题解答(1)
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