初三数学竞赛讲义 三角与几何(一)

三角与几何(一)

例1已知2cos cos 1θθ+=求24682sin sin sin sin θθθθ+++的值.

例2若α为锐角，求证：111

4sin cos sin cos αααα

++>.

例3．设221x y +=，且1x ≠-，2y ≠-，求证：y

x

x y y x x y +-+=++-111)(2.

例4已知正实数x 、y 、z 满足方程组

2

222

22125319

316x xy y z y x zx z ?++=??

?+=??

?++=??

求23xy yz xz ++的值.

例5 求证：在ABC ?中，a b >的充要条件是sin sin A B >

C

例6．在ABC ?中，已知5

tan 12

A =，BC 边上高的垂足为K 3K

B =，17K

C =，试求ABC ?的周长.

例7．已知矩形ABCD , 过C 作对角线BD 的垂线，垂足为P ; 过P 作PE

AD ⊥PF AB ⊥,

垂足分别为E 、F

=.

例8．已知ABC ?中H 是垂心，求证：

C CH

B BH A AH cos cos cos )

1(=

=

)(

2)2(CH c BH b KH a ++HF c HF b HD a ++=.

B

例9 在ABC ?中，若tan tan tan tan A B c b

A B c

--=+

，且:1):2b c =，求C ∠的度数.

例10 在ABC ?中，cos c a B =，sin b a C =

，三角形周长为96+

例11设P 是正方形内边一点，P 到顶点A 、B 、C 的距离分别是1、2、3，求正方形的面积

例12已知60MON ∠=?，Q 是MON ∠内的一点，它到角的两边的距离分别是2和11，求OQ 的长

A

例13 在ABC ?中，90C ∠=?，D 是BC 边上一点，45ADC ∠=?，作DE AB ⊥于E ，且

:10:3AE BE =

，若DE =，求C ∠的平分线CF 的长

例14 设AD 为ABC ?的角平分线，设其长为a t ，求证：2cos

2a A bc t b c

=+

例15平行四边形ABCD 两条临边长3和5，一条对角线长是6，求另一条对角线的长

例16在ABC ?中，90C ∠=?，E 、F 分别在AB 边上，且AF FE EB ==，已知sin CF α= cos CE α=，求AB 的长

C

D

A

B