微分方程复习题(1)

常微分方程复习题

一、填空题 1．微分方程0)(22=+-+x y dx

dy dx dy n 的阶数是____________. 答：1

2．形如_ 的方程称为齐次方程. 答：

)(x

y g dx dy = 3．方程04=+''y y 的基本解组是 ． 答：cos 2,sin 2x x .

1. 二阶线性齐次微分方程的两个解)(),(21x y x y 为方程的基本解组充分必要条件是 ．

答：线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零） 2. 方程02=+'-''y y y 的基本解组是 ． 答：x

x

x e ,e

3. 若()t ?和()t ψ都是()X A t X ''=的基解矩阵，则()t ?和()t ψ具有的关系是 。

4.一阶微分方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 是全微分方程的充分必要条件是 。

5. 方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 有只含x 的积分因子的充要条件是 。有只含y 的积分因子的充要条件是 。

6. 一曲线经过原点，且曲线上任意一点()y x ,处 的切线斜率为y x +2，则曲线方程为 。

7. 称为n 阶齐线性微分方程。

8. 常系数非齐线性方程()(1)11()n n x n n m y a y a y a y e P x α--'+++=(其中()m P x 是m 次多项式)中，则方程有形如 的特解。

9. 二阶常系数线性微分方程32x

y y y e '''-+=有一个形如 的特解。

10. 微分方程4210y y y ''''''+-=的一般解为 。

9. 微分方程4

230xy y y ''''++=的阶数为 。

10. 若()(0,1,2,

,)i x t i n =为齐次线性方程的n 个线性无关解，则这一齐线性方程的

通解可表为 .

11. 设()x t 为非齐次线性方程的一个特解, ()(0,1,2,

,)i x t i n =是其对应的齐次线性

方程的一个基本解组, 则非齐线性方程的所有解可表为 .

12. 若()(0,1,2,

,)i x t i n =是齐次线性方程()(1)11()()()0

n n n n y a x y a x y a x y --'+++=的n 个解，)(t w 为其朗斯基行列式，则)(t w 满足一阶线性方程 。

答：1()0w a x w '+=

13. 函数 是微分方程02=-'-''y y y 的通解. 14. 方程02=+'-''y y y 的基本解组是 ．

15. 常系数方程有四个特征根分别为11,0,1λ=-(二重根)，那么该方程有基本解组 ．

16. ()Y A x Y '=一定存在一个基解矩阵()x Φ，如果()x ψ是()Y A x Y '=的任一解，那么()x ψ= 。

17.若)(t Φ是()X A t X '=的基解矩阵，则向量函数)(t ?= 是

()()X A t X F t '=+的满足初始条件0)(0=t ?的解；向量函数)(t ?= 是()()X A t X F t '=+的满足初始条件η?=)(0t 的解。

18. 设12(),()X t X t 分别是方程组1()()X A t X F t '=+，2()()X A t X F t '=+的解，则满足方程12()()()X A t X F t F t '=++的一个解可以为 。

19. 设*

X 为非齐次线性方程组()()X A t X F t '=+的一个特解, )(t Φ是其对应的齐次线性方程组()X A t X '=的基解矩阵, 则非齐线性方程组()()X A t X F t '=+的所有解可表为 .

20.方程组()X A t X '=的n 个解12(),(),

,()n X t X t X t 线性无关的充要条件

是 .

21. 若矩阵A 具有n 个线性无关的特征向量12,,

,n v v v ，它们对应的特征值分别是

12,,

,n λλλ，那么矩阵()t ψ= 是常系数线性方程组X AX '=的一个基

解矩阵。

二、单项选择题

1．n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（ A ）个． （A ）n ； （B ）n -1； （C ）n +1； （D ）n +2.

2．一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（ C ）．

（A ）不是其对应齐次微分方程组的解； （B ）是非齐次微分方程组的解； （C ）是其对应齐次微分方程组的解； （D ）是非齐次微分方程组的通解.

3．若)(1x y ?=，)(2x y ?=是一阶线性非齐次微分方程的两个不同特解，则该方程的通解可用这两个解表示为（ C ）．

（A ）)()(21x x ??-； （B ）)()(21x x ??+；

（C ）)())()((121x x x C ???+-； （D ）)()(21x x C ??+. 4．下列方程中为常微分方程的是（ ）

(A) 2

210x x -+= ； (B) 2

y xy '= ；

(C) 2222u u u t x y

???=+???； (D) 2 y x c =+(c 为常数）.

5. 下列微分方程是线性的是（ ）

(A)2

2

y x y '=+ ； (B)2

x

y y e '+= ； (C)2

0y x '+=； (D)2

y y xy '-=. 6. 方程2232x

y y y x e

-'''++=特解的形状为( )

(A)221x y ax ey -=； (B)221()x

y ax bx c e -=++； (C)2221()x y x ax bx c e -=++； (D)2221()x

y x ax bx c e -=++.

7. 下列函数组在定义域内线性无关的是（ ）

(A)4,x ； (B)2

,2,x x x ； (C)2

2

5,cos ,sin x x ； (D)2

1,2,,x x . 8. 下列方程中为常微分方程的是（ ）

(A)2

0t dt xdx +=； (B)sin 1x =；

(C) 1 y x c =++(c 为常数)； (D)22220u u

x y

??+=??.

9. 下列微分方程是线性的是（ ） (A)2

1y y '=+； (B)

11dy dx xy

=+； (C)2y by cx '+=； (D)4

0y xy '+=. 10. 方程22(cos 2sin )x

y y y e x x x '''-+=+特解的形状为( )

(A) 1[()cos sin ]x

y e Ax B x C x =++；

(B) y e Ax x C x x

1=+[cos sin ]；

(C)y e Ax B x Cx D x x

1=+++[()cos ()sin ] ； (D)y xe Ax B x Cx D x x

1=+++[()cos ()sin ]. 11. 下列函数组在定义域内线性无关的是（ ）

(A)3

1, ,x x ; (B)2

2

2,,x x x ；

(C)21,sin ,cos2x x ； (D)22

5,sin (1),cos (1)x x ++. 12. 下列方程中为常微分方程的是（ ）

(A)2

2

10x y +-=； (B)2

x y y

'=；

(C)222222u u u x y

???=+???； (D)2

x y c +=(c 为常数).

13. 下列微分方程是线性的是（ ）

(A)

dy dx y x

=； (B)261y y ''+=； (C)3sin y y x '=+； (D) 2

cos y y y x '+=. 14. 方程2sin y y x ''+=特解的形状为( )

(A) )sin cos (1x B x A x y +=； (B) y Ax x 1=sin ； (C)y Bx x 1=cos ； (D)y Ax x x 12=+(cos sin ). 15. 下列方程中为常微分方程的是（ ）

(A) 2220x y z +-=； (B)y ce x

=；

(C) 22

u u t x ??=??； (D) y=c 1cos t +c 2sin t (c 1, c 2为常数).

16. 下列微分方程是线性的是（ ）

(A) ()()x t x f t '-=； (B)3

cos y y x '+=； (C) 2

x y y '''+=； (D)41

3

y y y '+

=. 17. 方程23cos x

y y y e

x -'''-+=特解的形状为( )

(A)y A x B x 1=+cos sin ； (B) y Ae

x

1=-；

(C)y e A x B x x

1=+-(cos sin )； (D)y Axe x x

1=-cos . 18. 下列函数组在定义域内线性无关的是（ ）

(A)

23,,t t t e e e ； (B) 20,,t t ；

(C) )22cos(),1(sin 12

++t t ，

； (D) 4-t , 2t -3, 6t +8. 19. 下列方程中为常微分方程的是（ ）

(A) x 3

+1=0； (B)y ce x

=； (C)2

22

0u u a t x

??-=??； (D) 2x

y y e '''+=. 20. 下列微分方程是线性的是（ ）

(A)221y y x ''+=+； (B)2cos y y x '+=； (C) 2

22y y x '-=； (D) xdx+ydy =0.

21. 方程36916x

y y y e

'''-+=-特解的形状为( )

(A) 31x y Ae =； (B)y Ax e x

123=；

(C) y Axe x 13=； (D)y e A x B x x

1333=+(sin cos ). 22. 下列函数组在定义域内线性无关的是（ ）

(A)2,,x

x

x

e xe x e ； (B)2

2

2,cos , cos x x ； (C)2

1,2,x ； (D)542

0,,x

x

e x e x . 23. 微分方程y ''-3y '+2y =2x -2e x

的特解y *的形式是 ( )

(A) (ax+b)e x (B) (ax+b)xe x (C) (ax+b)+ce x (D) (ax+b)+cxe x 24. 微分方程230y y y '''--=的通解是y =( ) (A)33x x ++； (B) c x c x

123

+

； (C) c e c e x x 123+-； (D) c e c e x x

123-+. 25. 设y x y x y x 123(),(),()是线性非齐次方程()()()y a x y b x y f x '''++=的特解，则

y c c y x c y x c y x =--++()()()()11211223 ( )

(A) 是所给微分方程的通解； (B) 不是所给微分方程的通解；

(C) 是所给微分方程的特解；

(D) 可能是所给微分方程的通解 也可能不是所给微分方程的通解，但肯定不是特解.

26. 微分方程''+=y y x 421

2

cos 的特解的形式是y=（ ） (A) cos2a x ； (B) cos2ax x ；

(C)sin 2cos2a x b x +； (D)sin 2cos2ax x bx x +. 27. 下列方程中为常微分方程的是（ ）

(A)42

310x x x +-+=； (B) 2

"'y y x +=；

(C) 222222u u u t x y

???=+???； (D)2

u v w =+.

28. 下列微分方程是线性的是（ ）

(A)2

y xy y x '''++=； (B)2

2

y x y '=+; (C)2

()y xy f x ''-=； (D)3

y y y '''-=. 29.设123(),(),()y x y x y x 是二阶线性非齐次微分方程()()()y P x y Q x y f x '''++=的三个线性无关解，12,c c 是任意常数，则微分方程的通解为( )

(A)11223c y c y y ++; (B)1122123(1)c y c y c c y ++--; (C)1122123()c y c y c c y +-+; (D)1122123(1)c y c y c c y +---. 30. 若连续函数()f x 满足关系式20

()ln 22x t f x f dt ??

=

+ ???

?

，则()f x 为（ ） (A)ln 2x e ; (B)2ln 2x e ; (C)ln 2x

e + (D)2ln 2x

e

+.

31. 若3312,x x

y e y xe ==，则它们所满足的微分方程为（ ）

(A)690y y y '''++=; (B)90y y ''-=; (C)90y y ''+=; (D)690y y y '''-+=.

32. 设123,,y y y 是二阶线性微分方程()()()y p x y q x y f x '''++=的三个不同的特解，且

12

23

y y y y --不是常数，则该方程的通解为（ ）

(A)11223c y c y y ++ ; (B)1122231()()c y y c y y y -+-+; (C)11232c y c y y ++; (D)112223()()c y y c y y -+-.

33. 设12,y y 是方程()()0y p x y q x y '''++=的两个特解，则1122y c y c y =+（12,c c 为

任意常数）（ ）

(A)是此方程的通解; (B)是此方程的特解; (C)不一定是该方程的解; (D)是该方程的解.

34. 微分方程1x

y y e '''-=+的一个特解形式为（ ）

(A)x ae b +; (B)x axe bx +; (C)x ae bx +; (D)x

axe b +. 35. 方程2

2

()(2)0pxy y dx qxy x dy --+=是全微分方程的充要条件是（ B ）

(A)4,2p q ==; (B)4,2p q ==-; (C)4,2p q =-=; (D)4,2p q =-=-.

36. 表达式2

2

[cos()][cos()3]x y ay dx by x y x dy +++++是某函数的全微分，则（ ） (A)2,2a b ==; (B)3,2a b ==; (C)2,3a b ==; (D)3,3a b ==. 37. 方程x

y y y y xe

-''''''+++=是特解*

y 的形式为（ ）

(A)()x

ax b e

-+; (B)()x

x ax b e -+;

(C)2

()x

x ax b e -+; (D)[()cos 2()sin 2]x

e ax b x cx d x +++.

38. 方程2x

y y y xe '''-+=的特解*

y 的形式为（ ）

(A) x

axe ; (B)()x

ax b e +; (C)()x

x ax b e +; (D)2

()x

x ax b e +.

39. 已知1cos y wx =与23cos y wx =是微分方程2

0y w y ''+=的解,则1122

y c y c y =+是（ ）

(A)方程的通解; (B)方程的解, 但不为通解; (C)方程的特解; (D)不一定是方程的解.

40. 方程3232x

y y y x e '''-+=-的特解*

y 的形式为（ ）

(A) ()x

ax b e +； (B)()x

ax b xe +; (C)()x

ax b ce ++; (D)()x

ax b cxe ++. 41. 方程2232x

y y y x e -'''++=特解的形式为（ ）

(A) 22x

y ax e

-=; (B)2

2()x

y ax bx c e

-=++;

(C)22()x

y x ax bx c e

-=++; (D)2

2

2()x

y x ax bx c e

-=++.

42. 方程2

613(512)t

x x x e t t '''++=-+特解形状为（ ）

(A)21()t x At Bt c e =++; (B)1()t

x At B e =+;

（C)1t x Ate =; (D)1t

x Ae =.

43. 方程22cos x

y y y e

x -'''-+=的特解形状为（ ）

(A)1cos x y A xe -=; (B)1sin x

y A xe -=; (C)1(cos sin )x y e A x B x -=+; (D)1x

y Ae -=.

44. 方程22cos t

x x x te t '''-+=的特解形状为（ ）

(A)21()cos t x At Bt c e t =++; (B)21()sin t

x At Bt c e t =++;

(C)1(cos sin )t x e A t B t =+; (D)221()cos ()sin t t

x At Bt c e t Dt Et F e t =++++.

45. 方程432422

(22)(3)0y y xy e xy y dx x y e x y x dy +++--=的积分因子为（ ） (A)21()x x μ=

; (B)1

()x x

μ=

; (C)41()y y μ=; (D)21()y y μ=. 46. 方程(2)0y

y

e x xy e dy -+=的积分因子为（ ） (A)21()x x μ=

; (B) 1

()x x

μ=

; (C)21()y y μ=; (D) 1()y y μ=. 47. 方程2

(3)20x

e y dx xydy ++=的积分因子为（ ） (A) 1()x x

μ=

; (B)2()x x μ=; (C) 1()y y μ=; (D) 2

()y y μ=.

48. 方程(1)0y xy dx xdy --+=的积分因子为（ ） (A)()x

x e μ=; (B)()x

x e

μ-=; (C)()y y e μ=; (D)()y

y e

μ-=.

49. 方程23

(225)(22)0x y y dx x x dy ++++=的积分因子为（ ） (A) 1()x x μ=

; (B)2

1

()1x x μ=+; (C) 1()y y μ=; (D)21()1y y μ=+.

50. 方程3

2

2

2(1)0xy dx x y dy +-=的积分因子为（ ） (A) 1()x x μ=

; (B) 21

()x x

μ=; (C) 1()y y μ=; (D) 21()y y μ=.

51. 方程(2cos )0x

x

e dx e ctgx y y dy ++=的积分因子为（ ）

(A)()sin x x μ=; (B)()cos x x μ=; (C)()sin y y μ=; (D)()cos y y μ=. 52. 方程2

2

()0ydx x y x dy -++=的积分因子为（ ） (A)2

1

()x x

μ=

; (B)21()y y μ=; (C)221(,)x y x y μ=+; (D)1(,)x y x y μ=+. 53. 方程3

2

2

2()0y dx x xy dy +-=的积分因子为（ ） (A) 2

1

x μ=

; (B)1xy μ=; (C)221x y μ=; (D)21x y μ=.

54. 方程440y y y '''++=的一个基本解组是( ). (A) x

e

x 2,-; (B)x

e

2,1-; (C)x

e

x 22,-; (D)x x

xe e

22,--.

55. 方程23x

y x y e '=-是( ) .

(A)可分离变量方程; (B)齐次方程; (C)全微分方程; (D)线性非齐次方程.

三、证明题

1. 在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中，)(),(x q x p 在),(∞+-∞上连续，求证：若

)(x p 恒不为零，则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式)(x W 是),(∞+-∞上的严格单

调函数．

证明： 设)(1x y ，)(2x y 是方程的基本解组，则对任意),(∞+-∞∈x ，它们朗斯基行列式在),(∞+-∞上有定义，且0)(≠x W ．又由刘维尔公式 ?=-

x

0d )(0e

)()(x s s p x W x W ，),(0∞+-∞∈x （5分）

)(e

)()(x

0d )(0x p x W x W x s

s p ?='-

由于0)(0≠x W ，0)(≠x p ，于是对一切),(∞+-∞∈x ，有 0)(>'x W 或 0)(<'x W

故 )(x W 是),(∞+-∞上的严格单调函数． （10分） 2．设)(1x y ?=和)(2x y ?=是方程0)(=+''y x q y 的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式C x W ≡)(，其中C 为常数．

证明: 如果)(1x y ?=和)(2x y ?=是二阶线性齐次方程

0)()(=+'+''y x q y x p y 的解，那么由刘维尔公式有 ?=-

x

0d )(0e )()(x t

t p x W x W

现在，0)(≡x p 故有

C x W x W x W x t ==?=-)(e

)()(0d 00x

3．设n n ?矩阵函数)(1t A ，)(2t A 在区间I 上连续，试证明，若方程组X t A dt

dX

)(1=与

X x A dt

dX

)(2=在区间I 上有相同的基本解组，则12()()A t A t =，x I ∈. 证明：因为方程组与X x A dt dX

)(2=在区间I 上有相同的基本解组，所以可设)(t Φ是

其基本解矩阵。从而有：

1()

()(),d t A t t t I dt Φ=Φ∈， 2()

()(),d t A t t t I dt

Φ=Φ∈，

所以

12()()()(),

A t t A t t t I Φ=Φ∈，

又由于)(t Φ是其基本解矩阵，所以0)(det ≠Φt ，即)(t Φ可逆，故

12()()A t A t =，x I ∈.

4．设)(1x y ?=和)(2x y ?=是二阶线性齐次微分方程的两个线性无关解，求证：它们不能有共同的零点．

证明：因)(1x y ?=和)(2x y ?=是两个线性无关解，故它们的朗斯基行列式

0)()()

()()(21

21≠''=x x x x x W ???? (*)

反证。假如它们有共同零点，那么存在一个点0x ，使得 1020()()0x x ??== 于是

0)()(0

0)()()()()(02010201

02010=''=''=

x x x x x x x W ?????? 这与(*)式矛盾．所以它们不能有共同的零点．

5．给定方程32()x x x f t ''''''++=,其中()f t 在t -∞≤≤∞上连续,设12(),()t t ??是上述方程的两个解, 证明极限12lim[()()]t t t ??→+∞

-存在.

证明: 由条件知,12()()t t ??-是齐次线性方程320x x x ''''''++=的解, 因为

320x x x ''''''++= 的特征方程是 32320λλλ++=,特征根是1230,1,2λλλ==-=-,

所以320x x x ''''''++= 的基本解组为

1, ,t e - 2t

e -

从而12()()t t ??-可由基本解组1,,t

e -2t e -线性表示, 即

212123()()t t t t c c e c e ??---=++ 所以极限121lim

()()t t t c ??→+∞

-=存在.

6．设12(),(),

,()n y x y x y x 是n 阶齐线性方程

()(1)11()()()0n n n n y a x y a x y a x y --'++

++=

的任意n 个解，它们所构成的朗斯基行列式为()w x ，证明：

(1) ()w x 满足1()()()0w x a x w x '+=；

(2) 10()0()()x

x a t dt

w x w x e

-?=.

证明：(1) 设12(),(),,()n y x y x y x 是n 阶齐次线性方程的任意n 个解，它们所构成的

朗斯基行列式为

1231

2

3

(2)(2)(2)(2)123(1)(1)(1)(1)1

2

3

()n n

n n n n n n n n n n

y y y y y y y y w x y y y y y y y y --------''''

=

由行列式的求导公式得

1231231

2

3

1

2

3

(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)123123(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)1

2

3

1

2

3

()n n n

n

n n n n n n n n n n n n n n n n n n n

n

y y y y y y y y y y y y y y y y w x y y y y y y y y y y y y y y y y ----------------'''''''''''''''''=

+

1231231

2

3

1

2

3

(1)(1)(1)(1)(2)(2)(2)(2)123123(1)(1)(1)(1)()()()()1

2

3

1

2

3

n n n

n

n n n n n n n n n n n n n n n n n n n

n

y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y

y y y y y y y ------------''''''''+

+

+

1231

2

3

(2)(2)(2)(2)123()()()()1

2

3

n n

n n n n n n n n n n

y y y y y y y y y y y y y y

y

y -

---''''=

1231

231(2)(2)(

2)(

2)1

23(1)

(1)

(

1)

(

1)

1111123()()()()()()n n

n n n n n n n n n n y y y y y y y y a x w x y y y y

a x y

a x y a x y a x y

--

----

--''''=

所以

1231231

2

3

1

2

3

1(2)

(2)(2)(2)

(2)(2)(2)(2)123123()()()(1)

(1)

(1)

()(1)

11111

2

3

1

2

3

()()()()()()()n n n

n

n n n n n n n n n n n n n n n n n n n

n

y y y y y y y y y y y y y y y y w x a x w x y y y y y y y y y y y y a x y a x y a x y a x y ------------''''

''

''

'+=

+

1231

2

3

(2)

(2)

(2)

(2)

1

2

3

()(1)()(1)()(1)()(1)111111

22

33

()()()()n n

n n n n n

n n n n n n n n n n

y y y y y y y y y y y y y a x y y a x y y a x y y a x y --------''''=

++++

把这个行列式的第1行、第2行、……、第n 行分别乘以12(),(),,()n n a x a x a x -后加到最后一行上，最后一行全部变成0，所以1()()()0w x a x w x '+=.

(2)当()0w x =时，等式当然成立。 当()0w x ≠时，

1()()()0w x a x w x '+=

1()

()()

w x a x w x '=- 两端取x 0到x 的定积分，得

001()

()()x

x x x w t dt a t dt w t '=-?? 0011()()()x x

x x dw t a t dt w t =-??

1ln ()()x

x

x x w t a t dt =-?

01ln ()ln ()()x

x w x w x a t dt -=-?

10

()0()()x

x a t dt

w x w x e

-?=

7．设()A t 为区间I 上的连续n n ?实矩阵，()t Φ为方程()X A t X '=的基解矩阵，而

()X X t =为其一解. 试证：

① 对于方程()T Y A t Y '=-的任一解()Y Y t =必有()()T

Y t X t =常数.

②()t ψ为方程()T

Y A t Y '=-的基解矩阵的充要条件是存在非奇异的常数矩阵C ，使

()()T t t C ψΦ=.

证明: ①因()X X t =为方程()X A t X '=的解, ()Y Y t =方程()T

Y A t Y '=-的解，故

()()()X t A t X t '=,

()()()T Y t A t Y t '=- ? ()()()T T Y t Y t A t '=-

令()()()T

f t Y t X t =，则

()()()()()T T

f t Y t X t Y t X t '''=+

()()()()()()T T Y t A t X t Y t A t X t =-+ 0=

令由拉格郎日中值定理，()()()T

Y t X t f t ==常数。

②?：若存在非奇异的常数矩阵C 使得()()T

t t C ψΦ=，求导得：

()()()()0T T

t t t t ''ψΦ+ψΦ=

因()t Φ为方程()X A t X '=的基解矩阵，故()()()t A t t 'Φ=Φ，代入上式得

()()()()()0T T

t t t A t t 'ψΦ+ψΦ=

[()()()]()0T T t t A t t 'ψ+ψΦ=

()()()0T T t t A t 'ψ+ψ=

将上式转置，得

()()()0T t A t t 'ψ+ψ=

这就说明)(t ψ是方程()T Y A t Y '=-的解矩阵，而()()T

t t C ψΦ=非奇异，所以0)(d e t ≠ψt ，所)(t ψ是基解矩阵。

?：若)(t Φ、)(t ψ分别是这两个方程的基解矩阵，则

()()()t A t t 'Φ=Φ, ()()()T t A t t 'ψ=-ψ ? ()()()T T t t A t 'ψ=-ψ

从而

[()()]()()()()T T T

t t t t t t '''ψΦ=ψΦ+ψΦ

()()()()()()T T

t A t t t A t t =-ψΦ+ψΦ 0=

所以C t t T =Φψ)()(，而0)(det )(det det ≠Φ?ψ=t t C T

，以C 为非奇异的常数矩阵.