四年级数学 简单的容斥原理 练习(含解析答案)
简单的容斥原理]
交叉的部分是什么意思？
4人
]
把数学满分的25人加上语文的22人，这样多算了
第二十讲 容斥原理讲解学习
第二十讲容斥原理
第二十讲容斥原理（2） [知识提要] 前面讲述过简单的容斥原理，“容”就是相容，相加，而“斥”就是相斥，相减，容斥原理作为一种计数方法，说简单点，就是从多的往下减，减过头了在加回来，加多了再减，减多了再加……最终得到正确结果。对于计数中容易出现重复的题目，我们常常采用容斥原理，去掉重复的情况。应用于计数集合划分有重叠，无法简单应用加法原理的情况下。 在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。 如果被计数的事物有A、B两类，那么，具体公式为: A类或B类元素个数= A类元素个数+ B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。 如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，具体公式为: A类或B类或C类元素个数= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。 有了以上的容斥原理,一些看起来头绪很多的问题就可以比较方便地得到解决。 [经典例题]
[例1]五（1）班有学生42人，参加体育代表队的有30人，参加文艺代表队的25人，并且每个人都至少参加了一个队，这个班两队都参加的有几个人？ [分析]我们可以画一个图帮助思考，画两个相交的圆圈: 其中一个表示体育代表队，另一个表示文艺代表队，那么两圆的内部共有42人，而体育代表队的圆中有30人，文艺代表队的图中有25人，但： 30+25=55>42，这是因为两队都参加的人被计算了两次，因此55-42=13，即是两队都参加的人数。 [解答]解：（30+25）-42=13（人） 答：两队都参加的有13人。 [评注]可能有很多同学还是刚刚接触容斥原理，所以我们用图形来形象地描绘整个问题。当容斥原理的题目做多了之后，很多基本的题目就不再需要一个一个的画图了。但是，当遇到复杂的问题时，图形还是帮助我们理解和解决问题的一个帮手。 [举一反三] 1、某班学生每人家里至少有空调和电脑两种电器中的一种，已知家中有空调的有41人，有电脑的有34人，二者都有的有27人，这个班有学生多少人？
7-7-5 容斥原理之最值问题.教师版
1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容； 2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用． 一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分， C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积． 包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进 来，加在一起)； 第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)． 二、三量重叠问题 A 类、 B 类与 C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下： 教学目标 知识要点 7-7-5.容斥原理之最值问题 1．先包含——A B + 重叠部分A B 计算了2次，多加了1次； 图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数， 1．先包含：A B C ++ 重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次， 多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++---
北师大版四年级下册数学找规律专题练习
找规律专题练习姓名： 1、用火柴棒搭成下面的图形. （1）填表 （2）如果摆6和8个三角形,分别要用多少根火柴棒? （3）摆n个三角形,要用多少根火柴棒?如果用31根火柴棒,能搭成多少个三角形? 2、用小棒搭成下面的图形. 摆一个长方形用4根小棒，增加一个长方形后，共用小棒根数是4+3 增加两个长方形后，共用小棒根数是4+3×（） 增加三个长方形后，共用小棒根数是4+（） 增加a个长方形后，共用小棒根数是（） 如果a=100时，共用小棒多少根？ 摆n个长方形共用多少根小棒？用31根小棒可以摆多少个长方形？
3、用火柴棒按下面得方式搭图形： （1）填写下表： （2）第n个图形共有多少根火柴棒？ 4、实验学校有一条40米的走道，计划在道路一旁栽树，每隔10米栽一棵。 （1）如果只有一端栽树，共需要（）棵。 （2）如果两端都不栽树，共需要（）棵。 （3）如果两端都各栽一棵树，共需要（）棵。 5、实验二小有一条40米的走道，计划在道路两旁栽树，每隔5米栽一棵。 （1）如果只有一端栽树，共需要（）棵。 （2）如果两端都不栽树，共需要（）棵。 （3）如果两端都各栽一棵树，共需要（）棵。
6、从小兰家到少年宫有3条路，从少年宫到文化宫也有3条路，那么从小兰家到文化宫一共有几条路可走？ 7、四（1）、四（2）、四（3）、四（4）班四支足球队，每两个球队都要比赛一场，一共要比赛多少场？先在下面用线连一连，再回答。 四（1） · ·四（2） 四（3） · ·四（4） 8、 世界杯有32支足球队参加，分成8个小组先打小组赛，小组里面每两支球队要进行一场比赛，你知道世界杯小组赛一共打了多少场比赛吗？ 9、找规律 . . . . . . . . 1÷11=0.0 9 2÷11=0.1 8 3÷11=0.2 7 4÷11=0.3 6……. . . 9÷11=0.8 1 5÷11= 6÷11= 7÷11= 8÷11= 15÷11= 26÷11= · · · 小兰家 少年宫 文化宫
小学奥数之容斥原理
五．容斥原理问题 1．有100种赤贫.其中含钙的有68种,含铁的有43种,那么,同时含钙和铁的食品种类的最大值和最小值分别是( ) A 43,25 B 32,25 C32,15 D 43,11 解：根据容斥原理最小值68+43-100＝11 最大值就是含铁的有43种 2．在多元智能大赛的决赛中只有三道题.已知:(1)某校25名学生参加竞赛,每个学生至少解出一道题;(2)在所有没有解出第一题的学生中,解出第二题的人数是 解出第三题的人数的2倍:(3)只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多1人;(4)只解出一道题的学生中,有一半没有解出第一题,那么只解出第二题的学生人数是( ) A，5 B，6 C，7 D，8 解：根据“每个人至少答出三题中的一道题”可知答题情况分为7类：只答第1题，只答第2题，只答第3题，只答第1、2题，只答第1、3题，只答2、3题，答1、2、3题。 分别设各类的人数为a1、a2、a3、a12、a13、a23、a123 由（1）知：a1+a2+a3+a12+a13+a23+a123＝25…① 由（2）知：a2+a23＝（a3+ a23）×2……② 由（3）知：a12+a13+a123＝a1－1……③ 由（4）知：a1＝a2+a3……④ 再由②得a23＝a2－a3×2……⑤ 再由③④得a12+a13+a123＝a2+a3－1⑥ 然后将④⑤⑥代入①中，整理得到 a2×4+a3＝26 由于a2、a3均表示人数，可以求出它们的整数解： 当a2＝6、5、4、3、2、1时，a3＝2、6、10、14、18、22 又根据a23＝a2－a3×2……⑤可知：a2>a3 因此，符合条件的只有a2＝6，a3＝2。 然后可以推出a1＝8，a12+a13+a123＝7，a23＝2，总人数＝8+6+2+7+2＝25，检验所有条件均符。 故只解出第二题的学生人数a2＝6人。 3．一次考试共有5道试题。做对第1、2、3、、4、5题的分别占参加考试人数的95%、80%、79%、74%、85%。如果做对三道或三道以上为合格，那么这次考试的合格率至少是多少？ 答案：及格率至少为71％。 假设一共有100人考试 100-95＝5 100-80＝20 100-79＝21 100-74＝26 100-85＝15 5+20+21+26+15＝87（表示5题中有1题做错的最多人数）
第31讲___容斥原理
第31讲容斥原理 例题与方法 例1 在1～100的自然数中，不能被3也不能被5整除的数有多少个？ 例2 某班有52人，其中会下棋的有48人，会画画的有37人，会跳舞的有39人，这三项都会的至少有几人？ 例3 100名学生中，每人至少懂一种外语，其中75人懂法语，83人懂英语，65人懂日语，懂三种语言的有50人，懂两种外语的有多少人？ 例4 在1～143这143个自然数中，与143互质的自然数共有多少个？ 例5 某班学生参加语文、数学、英语三科考试，语文、数学、英语都得满分的分别有21人、19人、20人。语文、数学都得满分的有9人；数学、英语都得满分的有7人；语文、英语都得满分的有8人；另有5人三科都未得满分。这个班最多能有多少人？ 思考与练习 1．某班有学生46名，其中爱好音乐的有17人，爱好美术的有14人，既爱好音乐又爱好美术的有5人。问：两样都不爱好的有多少人？ 2．分母是105的最简真分数共有多少个？ 3．一个家电维修站有80%工人精通修彩电，有70%的人精通修空调，10%的人两项不熟悉。问：两项都精通的人占白分之几？ 4．在1～100的自然数中，既不能被5整除也不能被9整除的数的和是多少？ 5．在1～200的自然数中，能被2整除，或能被3整除，或能被5整除的数共有多少个？ 6．在100名学生中，爱好音乐的有56人，爱好体育的有75人，那么既爱好音乐又爱好体育的最少有多少人，最多有多少人？ 7．64人订A、B、C三种杂志，订A杂志的有28人，订B杂志的有41人，订C杂志的有20人，订A、B两种杂志的有10人，订B、C两种杂志的有12人，订A、C两种杂志的有12人。三种杂志都订的有多少人？ 8．有100位旅客，其中有10人既不懂英语又不懂俄语，有75人懂英语，有83人懂俄语，那么这100位旅客中既懂英语懂俄语的有多少人？
2015国家公务员考试行测：数学运算-容斥原理和抽屉原理
【导读】国家公务员考试网为您提供：2015国家公务员考试行测：数学运算-容斥原理和抽屉原理，欢迎加入国家公务员考试QQ群：242808680。更多信息请关注安徽人事考试网https://www.360docs.net/doc/1d992984.html, 【推荐阅读】 2015国家公务员笔试辅导课程【面授+网校】 容斥原理和抽屉原理是国家公务员考试行测科目数学运算部分的“常客”，了解此两种原理不仅可以提高做题效率，还可以提高自己的运算能力，扫平所有此类计算题。中公教育专家在此进行详细解读。 一、容斥原理 在计数时，要保证无一重复，无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，在不考虑重叠 的情况下，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数 目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。 1.容斥原理1——两个集合的容斥原理 如果被计数的事物有A、B两类，那么，先把A、B两个集合的元素个数相加，发现既是 A类又是B类的部分重复计算了一次，所以要减去。如图所示： 公式：A∪B=A+B-A∩B 总数=两个圆内的-重合部分的 【例1】一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、 数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人? 数学得满分人数→A，语文得满分人数→B，数学、语文都是满分人数→A∩B，至少有一 门得满分人数→A∪B。A∪B=15+12-4=23，共有23人至少有一门得满分。 2.容斥原理2——三个集合的容斥原理 如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，将A、B、C三个集合的元素个数相加后发现 两两重叠的部分重复计算了1次，三个集合公共部分被重复计算了2次。 如图所示，灰色部分A∩B-A∩B∩C、B∩C-A∩B∩C、C∩A-A∩B∩C都被重复计算了1 次，黑色部分A∩B∩C被重复计算了2次，因此总数A∪B∪C=A+B+C-(A∩B-A∩B∩C)-(B∩ C-A∩B∩C)-(C∩A-A∩B∩C)-2A∩B∩C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C。即得到： 公式：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C
第十讲 容斥原理小学五年级奥数
點算的奧秘：容斥原理基本公式 「容斥原理」(Principle of Inclusion and Exclusion)(亦作「排容原理」)是「點算組合學」中的一條重要原理。但凡略為複雜、包含多種限制條件的點算問題，都要用到這條原理。現在首先從一個點算問題說起。 例題1：設某班每名學生都要選修至少一種外語，其中選修英語的學生人數為25，選修法語的學生人數為18，選修德語的學生人數為20，同時選修英語和法語的學生人數為8，同時選修英語和德語的學生人數為13 ，同時選修法語和德語的學生人數為6，而同時選修上述三種外語的學生人數則為3，問該班共有多少名學生？ 答1：我們可以把上述問題表達為下圖： 其中紅色、綠色和藍色圓圈分別代表選修英語、法語和德語的學生。根據三個圓圈之間的交叉關係，可把上圖分為七個區域，分別標以A至G七個字母。如果我們用這七個字母分別代表各字母所在區域的學生人數，那麼根據題意，我們有以下七條等式：(1) A+D+E+G = 25；(2) B+D+F+G = 18；(3) C+E+F+G = 20；(4) D+G = 8； (5) E+G = 13；(6) F+G = 6；(7) G = 3。現在我們要求的是A+B+C+D+E+F+G。如何利用以上資料求得答案？ 把頭三條等式加起來，我們得到A+B+C+2D+2E+2F+3G = 63。可是這結果包含了多餘的D、E、F和G，必須設法把多餘的部分減去。由於等式(4)－(6)各有一個D、E和F，若從上述結果減去這三條等式，便可以把多餘的D、E和 F減去，得A+B+C+D+E+F = 36。可是這麼一來，本來重覆重現的G卻變被完全減去了，所以最後還得把等式(7)加上去，得最終結果為A+B+C+D+E+F+G = 39，即該班共有39名學生。□ 在以上例題中，給定的資料是三個集合的元素個數以及這些集合之間的交集的元素個數。在該題的解答中，我們交替加上及減去這些給定的資料。如果我們用 S 1、S 2 和S 3 分別代表選修英語、法語和德語學生的集合，那麼我們要求的答案就 是|S 1∪ S 2 ∪ S 3 |，而該題的解答則可以重新表達為
容斥原理问题
容斥原理问题——基础学习 一、解答题
2、两个集合容斥原理例1：四年级一班有54人，定阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人，订阅《小学生优秀作文》的有45人每人至少订阅一种读物，订阅《数学大世界》的有多少人？（） A．13 B．22 C．33 D．41 【答案】B 【解题关键点】设A={定阅《小学生优秀作文》的人}，B={订阅《数学大世界》的人}，那么A∩B={同时订阅两本读物的人}，A∪B={至少订阅一样的人}，由容斥原则，B= A∪B+A∩B-A=54+13-45=22人。 【结束】 3、两个集合容斥原理例2：五年级有122名同学参加语文、数学考试，每个至少有一门功课取得优秀成绩，其中语文成绩优秀的有65人，数学成绩优秀的有87人。语文、数学都优秀的有多少人？（） A． 30 B．35 C．57 D．65 【答案】A
【解题关键点】此题是典型的两个集合的容斥问题，因此，可以直接有两个集合的容斥原理得到，语文和数学都优秀的学生有65+87-122=30人。 【结束】 4、两个集合容斥原理例3：学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手提琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中两样都会的有8人。这个文艺组共有多少人？（）A．25 B．32 C．33 D．41 【答案】C 【解题关键点】设A={会拉手提琴的}，B={会弹电子琴的}，因此A∪B ={文艺组的人}，A∩B={两样都会的}，由两个集合的容斥原理可得：A∪B=A+B- A∩B=24+17-8=33。 【结束】 5、两个集合容斥原理例4：某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的人有23人，两题都答对的有15人，问多少个同学两道题都没有答对？（）A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解题关键点】有两个集合的容斥原理得到，至少答对一道题的同学有25+23-15=33人，因此两道题都没有答对的同学有36-33=3人。 【结束】
四年级数学下册(苏教版)找规律
1.从5个人中选出3各人参加书法比赛，有多少种选法？（要列算式、列举、和为什么用这个算式的解释） 1、5*4*3=60种 选第一个人的时候有5种选择，选第二个人时4种，第三个人时3种 2.在1个5角、2个2角、3个1角种取6角钱，有几种取法？？（要列算式、列举、和为什么用这个算式的解释） 2、包括5角，则取法为1个5角1个1角，有3种 不包括5角，则为2个2角2个1角，3*2*3*2=36种 一共为38种 3.小华小明小刚小强这4个好朋友玩老鹰抓小鸡，1个人当老鹰，其他3人当小鸡，有多少种玩法？？（要列算式、列举、和为什么用这个算式的解释） 3、这个问题我不是很明白，要是小鸡的顺序也是在考虑范围内的就是4*3*2*1=24种 4 玩具小汽车十万个什么字典玩具熊猫 4、4*3*2=24种 在这4种礼物选3种，有哪几种选择的方法？？（要列算式、列举、和为什么用这个算式的解释） 5.汉堡包冰淇淋牛奶汽水 小明要从上面的食品中任选2种，他一共有几种选法？？（要列算式、列举、和为什么用这个算式的解释） 5、3*2=6种 5. 3+2+1=6(种) 如1：汉堡包冰淇淋2汉堡包牛奶3汉堡包汽水4冰淇淋牛奶5冰淇淋汽水6牛奶汽水 因为从汉堡包开此每个食品的选2个的选法（个数-1）都比前一个少1，这里有4种就=3+2+1+0，但是那个0可以去掉就=3+2=1 6.在空格中填运算符号和小括号，使等式成立 6 6 6 6=1 6 6 6 6=0 6、（1）（6+6-6）/6=1或者6*6/6/6=1 （2）6+6-6-6=0或者（6-6）*6*6=0或者（6-6）/6/6=6或者（6-6）*6/6=0 6. 6-6+6除6=1 （2）6-6+6-6=0或（6+6）-6-6=0
第二十讲容斥基本知识
第二十讲容斥原理（2） [知识提要] 前面讲述过简单的容斥原理，“容”就是相容，相加，而“斥”就是相斥，相减，容斥原理作为一种计数方法，说简单点，就是从多的往下减，减过头了在加回来，加多了再减，减多了再加……最终得到正确结果。对于计数中容易出现重复的题目，我们常常采用容斥原理，去掉重复的情况。应用于计数集合划分有重叠，无法简单应用加法原理的情况下。 在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。 如果被计数的事物有A、B两类，那么，具体公式为: A类或B类元素个数= A类元素个数+ B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。 如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，具体公式为: A类或B类或C类元素个数= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A 类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。 有了以上的容斥原理,一些看起来头绪很多的问题就可以比较方便地得到解决。 [经典例题] [例1]五（1）班有学生42人，参加体育代表队的有30人，参加文艺代表队的25人，并且每个人都至少参加了一个队，这个班两队都参加的有几个人？ [分析]我们可以画一个图帮助思考，画两个相交的圆圈:
其中一个表示体育代表队，另一个表示文艺代表队，那么两圆的内部共有42人，而体育代表队的圆中有30人，文艺代表队的图中有25人，但：30+25=55>42，这是因为两队都参加的人被计算了两次，因此55-42=13，即是两队都参加的人数。 [解答]解：（30+25）-42=13（人） 答：两队都参加的有13人。 [评注]可能有很多同学还是刚刚接触容斥原理，所以我们用图形来形象地描绘整个问题。当容斥原理的题目做多了之后，很多基本的题目就不再需要一个一个的画图了。但是，当遇到复杂的问题时，图形还是帮助我们理解和解决问题的一个帮手。 [举一反三] 1、某班学生每人家里至少有空调和电脑两种电器中的一种，已知家中有空调的有41人，有电脑的有34人，二者都有的有27人，这个班有学生多少人？ 2、六年级共有96人，两种刊物每人至少订其中一种，有2 3的人订《少年报》，有1 2 的 人订《数学报》，两种刊物都订的有多少人？ 3、森林中住着很多动物，据说狮子大王派仙鹤去统计鸟的种数，蝙蝠跑去说：“我有翅膀，我算鸟类。”仙鹤把蝙蝠统计进去了，结果得出森林中共有80种鸟类，狮子大王又派大象去统计兽类的种数，蝙蝠又跑去说：“我没有羽毛，我应该算兽类。”大家又把蝙蝠算为兽类，统计出森林中共有70种兽类。最后狮子大王问：森林中共有鸟类和兽类多少种？狐狸军师听了仙鹤和大象的统计结果，向狮子大王报告：“森林中鸟类与兽类共计150种。”
容斥原理练习题解析版
容斥原理练习题 【练习 1】47 名学生参加数学和语文考试，其中语文得分 95 分以上的 14 人， 数学得分 95 分以上的 21 人，两门都不在 95 分以上的有 22 人．问：两门都在 95 分以上的有多少人？ 【解析】如图，用长方形表示这47 名学生， A 圆表示语文得 分95 分以上的人数，B 圆表示数学得95 分以上的人数，A 与 B 重合的部分表示两门都在95 分以上的人数，长方形内两圆外的部分表示两门都不在95 分以上的人数． 由图中可以看出，全体人数是至少一门在95 分以上的人数与两门都不在95 分以 上的人数之和，则至少一门在95 分以上的人数为： 47 - 22 = 25 (人)．根据包含排除法，两门都在95 分以上的人数为：14 + 21 - 25 = 10 (人)． 【练习 2】某班有 42 人，其中 26 人爱打篮球，17 人爱打排球，19 人爱踢足球， 9 人既爱打篮球又爱踢足球，4 人既爱打排球又爱踢足球，没有一个人三种球都爱好，也没有一个人三种球都不爱好．问：既爱打篮球又爱打排球的有几人？ 【解析】由于全班42 人没有一个人三种球都不爱好，所以全班至少爱好一种球的有42 人．根据包含排除法， 42 =（26 + 17 + 19）-（9 + 4 + 既爱打篮球又爱打排球的人数）+ 0 ，得到既爱打篮球又爱打排球的人数为： 49 - 42 = 7 (人)． 95分以上的 数学95分以上的 B 不在 两门95分以上的 语文95分以上的 A 两门都
【练习 3】四(二)班有48 名学生，在一节自习课上，写完语文作业的有30 人，写完数学作业的有20 人，语文数学都没写完的有6 人． （1）问语文数学都写完的有多少人？ （2）只写完语文作业的有多少人？ 【解析】（1）由题意，有48 - 6 = 42 (人)至少完成了一科作业，根据包含排除原理，两科作业都完成的学生有：30 + 20 - 42 = 8 (人)． （2）只写完语文作业的人数=写完语文作业的人数-语文数学都写完的人数，即30 - 8 = 22 (人) 【练习 4】某班学生手中分别拿红、黄、蓝三种颜色的小旗，已知手中有红旗的共有34 人，手中有黄旗的共有26 人，手中有蓝旗的共有18 人．其中手中有红、黄、蓝三种小旗的有6 人．而手中只有红、黄两种小旗的有9 人，手中只有黄、蓝两种小旗的有4 人，手中只有红、蓝两种小旗的有3 人，那么这个班共有多少人？ 【解析】如图，用A 圆表示手中有红旗的，B 圆表示手中有黄旗的，C 圆表示手中有蓝旗的．如果用手中有红旗的、有黄旗的与有蓝旗的相加，发现手中只有红、黄两种小旗的各重复计算了一次，应减去，手中有三种颜色小旗的重复计算了二次，也应减去，那么，全班人数为：（34+ 26 +18）-（9+ 4 + 3）- 6 ? 2 = 50 (人)． A B C
苏教版四年级下册数学找规律练习
找规律 一、填空： 1、从6个学生中选3个人让他们排成一排照相，有（）种不同的排法。 2、从7名男生和5名女生中，选出2人，选法共有（）种。 3、用1、2、3、 4、5可以组成（）个没有重复的三位数。 4、题库种有三种类型的题目，数量分别为30道、40道、45道，每次考试要从 三种类型的题目中各取一道组成一张试卷，该题库共可组成（）种不同的试卷。 5、4人站成前后2排，每排2人，有（）种排法。 6、有12名同学进行乒乓球的单循环赛，共要进行（）场比赛。 7、有23支足球队进行淘汰赛，共要进行（）场比赛。 8、在一个圆周上有8个点，以这些点为三角形的顶点，可以画出（）个三 角形。 二、混合计算，能简便的要简便。 150－（50－30÷5） 450＋450÷9×5 〔368－（132＋129）〕×34 5×64×25×125 1998＋997＋5 908－（308－159） 568－138－62 779＋198 581－303 三、画图题 1、过点N分别画出底边A、B的高 2、在平行线之间再画1个平行四边形 和已知平行四边形等底等高。
1、从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船，一天中，火车 有四班，汽车有2班，轮船有3班，那么，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？ 2、旗杆上最多挂两面信号旗，现在又红色、蓝色和黄色的信号旗各一面，如果 用挂信号旗表示信号，最多能表示出多少种不同的信号？ 3、书架的第一层放有4本不同的计算机书，第二层放有3本不同的文艺书，第 三层放有2本不同的体育书。（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？(2)从书架上的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？ 4、某班的8名同学见面，他们之间每两名同学之间都要握手一次，他们一共要 握多少次手？ 5、要从甲、乙、丙三人中选2名工人分别上白班和晚班，有多少种不同的选法？ 6、4人排成一排拍照片，一共有多少种排法？ 6、有4名学生，分配到3个不同的车间实习，共有多少种分配方法？ 7、一列火车从上海到南京，中途要经过6个站，这列火车要准备多少种不同的 火车票？ 8、有3封不同的信，投入4个邮筒，一共有多少种不同的投法？ 9、有4、5、6、7四个数字，要组成不同的四位数，一共可以组成多少种不重 复的四位数？ 10、两次掷一枚骰子，两次出现的数字之和为偶数的情况有多少种？
行测答题技巧：容斥原理之三者容斥问题
行测答题技巧：容斥原理之三者容斥问题 中公教育考试研究院宋丽娜：容斥原理是行测数学运算中常考知识点。容斥原理是指在计数时，必须注意无一重复，且无遗漏。这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。 例1：一个班级的学生数学和语文每人至少喜欢其中一种，其中喜欢数学课的有49人，喜欢语文课的有52人，二者都喜欢的有21人，则这个班级有多少人? 中公点拨：本题就是一个容斥问题，解决此问题的方法就是先算：49+52=101(把含于某内容中的所有对象的数目先计算出来)，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去即： 101-21=80人，则整个班级的人数就有80人。 三者容斥问题是行测数学运算中常考也相对较复杂的容斥问题。所谓三者容斥是指在题干中有三种集合(集合就是具有共同属性所以元素的的整体，例如上题中喜欢数学的人构成一个集合)。 三者容斥问题有一个基本公式：A，B，C代表三个集合，则有 A∪BUC=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+ A∩B∩C 这个公式表达的含义是，A+B+C再减去两两相交之后，中间E(即A∩B∩C)这部分被减没
了。而容斥原理的基本思想是计数时不重复不漏掉，故要再加回来，所以又加了一个A∩B∩C。例2. 实验小学的小记者对本校100名同学进行调查，调查他们对三种大球(篮球、足球、排球)的与否。结果显示：他们都至少喜欢三种大球中的一种，其中有58人喜欢篮球，有68人喜欢足球，有62人喜欢排球，而且，篮球和足球都喜欢的有45人，足球和排球都喜欢的有33人，三种球都喜欢的有12人。篮球和排球都喜欢的多少人? 中公教育解析：由题意可画图如下： 则有上述公式可知： 58+68+62-45-33-篮球和排球都喜欢+12=100人 故喜欢篮球和排球的人有22人。 例3. 实验小学的小记者对本校100名同学进行调查，调查他们对三种大球(篮球、足球、排球)的与否。结果显示：其中有58人喜欢篮球，有68人喜欢足球，有62人喜欢排球，而且，篮球和足球都喜欢的有45人，足球和排球都喜欢的有33人，三种球都喜欢的有12人，还有5人三种球都不喜欢，则篮球和排球都喜欢的多少人?
国考行测暑期每日一练数学运算：容斥原理和抽屉原理精讲
2015国考行测暑期每日一练数学运算：容斥原理和抽屉原理精讲 容斥原理和抽屉原理是国家公务员测试行测科目数学运算部分的“常客”，了解此两种原理不仅可以提高做题效率，还可以提高自己的运算能力，扫平所有此类计算题。中公教育专家在此进行详细解读。 一、容斥原理 在计数时，要保证无一重复，无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，在不考虑重叠的情况下，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。 1.容斥原理1——两个集合的容斥原理 如果被计数的事物有A、B两类，那么，先把A、B两个集合的元素个数相加，发现既是A类又是B类的部分重复计算了一次，所以要减去。如图所示： 公式：A∪B=A+B-A∩B 总数=两个圆内的-重合部分的 【例1】一次期末测试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人? 数学得满分人数→A，语文得满分人数→B，数学、语文都是满分人数→A∩B，至少有一门得满分人数→A∪B。A∪B=15+12-4=23，共有23人至少有一门得满分。 2.容斥原理2——三个集合的容斥原理 如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，将A、B、C三个集合的元素个数相加后发现两两重叠的部分重复计算了1次，三个集合公共部分被重复计算了2次。 如图所示，灰色部分A∩B-A∩B∩C、B∩C-A∩B∩C、C∩A-A∩B∩C都被重复计算了1次，黑色部分A∩B∩C被重复计算了2次，因此总数A∪B∪C=A+B+C-(A∩B-A∩B∩C)-(B∩C -A∩B∩C)-(C∩A-A∩B∩C)-2A∩B∩C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C。即得到：公式：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C
容斥原理讲解
容斥原理 在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重 复，这种计数的方法称为容斥原理。 例、一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人 语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班 至少有一门得满分的同学有多少人？ 结论：（公式一） 如果被计数的事物有A、B两类，那么： （A类和B类）事物个数＝ A个数＋ B个数—既是A类又是B类的事物个数。 A∪B=A+B－A∩B 例题1、某班学生每人家里至少有空调和 电脑两种电器中的一种，已知家中有空调 的有41人，有电脑的有34人，二者都有 的有27人，这个班有学生多少人？ 例题2、一个班有45名学生，订阅《小学生数学报》 的有15人，订阅《今日少年报》的有10人， 两种报纸都订阅的有6人。 （1）订阅报纸的总人数是多少？ （2）两种报纸都没订阅的有多少人？ 例题3、在1到1000的自然数中，能被3或5整除的数共有多少个？不能被3或5整除的数共有多少个？ 例、某校5（1）班，每人在暑假里都参加体育训练队， 其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人， 参加游泳队的有34人，足球、排球都参加的有12人， 足球、游泳都参加的有18人，排球、游泳都参加 的有14人，三项都参加的有8人，这个班有多少人？
那么根据题意，我们有以下七条等式： (1)A+D+E+G =25； (2) B+D+F+G =34； (3) C+E+F+G = 22； (4) D+G =18； (5) E+G =12； (6) F+G =14； (7) G = 8。 现在我们要求的是A+B+C+D+E+F+G=？ 把头三条等式加起来，我们得到： A+B+C+2D+2E+2F+3G = 81 结果包含了多余的D、E、F和G，必须设法把多余的部分减去。 由于等式(4) (5) (6)各有一个D、E和F， 减去这三条等式，便可以把多余的D、E和 F减去， 得A+B+C+D+E+F = 37。可是这么一来， 本来重复重现的G却变被完全减去了，所以最后还得把等式(7)加上去， 得最终结果为A+B+C+D+E+F+G = 45，即该班共有45名学生。 结论（公式二） 如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类事物个数= A类事物个数+ B类事物个数+C类事物个数—既是A类又是B类的事物个数—既是A类又是C类的事物个数—既是B类又是C类的事物个数+既是A类又是B类而且是C类的事物个数。 A∪B∪C=A+B+C－A∩B－A∩C－B∩C＋ A∩ B∩C 例题4、设某班每名学生都要选修至少一种外语，其中选修英语的学生人数为25，选修法语的学生人数为18，选修德语的学生人数为20，同时选修英语和法语的学生人数为8，同时选修英语和德语的学生人数为13 ，同时选修法语和德语的学生人数为6，而同时选修上述三种外语的学生人数则为3，问该班共有多少名学生？ 例题5、在一个炎热的夏日，几个小朋友去冷饮店，每人至少要了一样冷饮，其中有6人要了冰棍，6人要了汽水， 4人要了雪碧，只要冰棍和汽水的有3人，只要冰棍和雪碧的没有，只要汽水和雪碧的有1人；三样都要的有1人。问：共有几个小朋友去了冷饮店？
(完整版)容斥原理习题加答案
1.现有50名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种实验都错的有4人，则两种实验都做对的有( ) A、27人 B、25人 C、19人 D、10人 【答案】B 【解析】直接代入公式为：50=31+40+4－A∩B 得A∩B=25，所以答案为B。 2.某服装厂生产出来的一批衬衫大号和小号各占一半。其中25％是白色的，75％是蓝色的。如果这批衬衫共有100件，其中大号白色衬衫有10件，小号蓝色衬衫有多少件？（） A、15 B、25 C、35 D、40 【答案】C 【解析】这是一种新题型，该种题型直接从求解出发，将所求答案设为A∩B，本题设小号和蓝色分别为两个事件A和B，小号占50%，蓝色占75%，直接代入公式为：100=50+75+10－A∩B，得：A∩B=35。 3.某高校对一些学生进行问卷调查。在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种考试都准备参加的有24人，准备只选择两种考试都参加的有46人，
不参加其中任何一种考试的都15人。问接受调查的学生共有多少人？（）A．120 B．144 C．177 D．192 【答案】A 【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字24，再推其他部分数字： 根据每个区域含义应用公式得到： 总数=各集合数之和－两两集合数之和＋三集合公共数＋三集合之外数 ＝63+89+47－{(x+24)+(z+24)+(y+24)}+24+15 ＝199－{（x+z+y）+24+24+24}+24+15 根据上述含义分析得到：x+z+y只属于两集合数之和，也就是该题所讲的只选择两种考试都参加的人数，所以x+z+y的值为46人；得本题答案为120. 4.对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的有多少人（） A.22人 B.28人 C.30人 D.36人 【答案】A 【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字12，再推其他部分数字： 根据各区域含义及应用公式得到： 总数=各集合数之和－两两集合数之和＋三集合公共数＋三集合之外数 100＝58+38+52－{18+16+（12+ x）}+12+0,因为该题中，没有三种都不喜欢的人，所以三集合之外数为0，解方程得到：x＝14。52＝x+12+4+Y＝14+12+4+Y，得到Y＝22人。
【苏教版】四年级下册数学积的变化规律
【苏教版】四年级下册数学积的变化规 律 教学目标： 1.探索、发现“一个因数不变，另一个因数乘几，得到的积就等于原来的积乘几”的变化规律；能运用积的变化规律灵活地进行计算。 2.经历观察、比较、猜想、验证和归纳等一系列的数学活动，体验探索和发现数学规律的经验，发展思维能力。 3.通过参与学习活动，培养学生合作交流的能力，并在探索活动中感受数学结论的严谨性与正确性。 教学重点：探索、发现积的变化规律。 教学难点：经历自主探究发现规律、验证规律并应用规律的过程。 教学准备：课件 教学过程： 一、谈话引入 1.创设问题。 小明在计算“42×5”时，将因数5写成了50并进行了计算。 问题一：小明能算出这个算式的正确答案吗？ 问题二：那他算出的积和正确的答案之间会有什么关系呢？ 让学生自由发言，充分表达自己的观点。 2.导入新课。 在乘法里面，两个因数相乘就得到了积，那因数的变化是否也会引起积的变化呢？它们之间会有怎样的变化规律呢？今天这节课我们就一起来探索积的变化规律。（板书课题） 二、交流共享 1.课件出示教材第33页例题4的表格。 （1）让学生独立计算，填写表格。 （2）指名汇报，课件出示学生完成的表格。 2.观察比较，发现规律。 （1）独立观察。 请同学们自己观察表格中的因数和积的变化情况，想一想：一个因数不变，
另一个因数乘几，得到的积怎样变化？你有什么发现？ （2）小组交流。 学生将自己的发现在四人小组内进行交流。教师巡视全班，了解各小组的交流情况。 （3）全班汇报交流。 指名汇报交流，教师可以让参与汇报的学生到讲台前运用实物投影进行汇报。 汇报预测： ①第一个因数不变，第二个因数乘2，得到的积等于原来的积乘2。 ②第一个因数不变，第二个因数乘10，得到的积等于原来的积乘10。 ③第二个因数不变，第一个因数乘4，得到的积等于原来的积乘4。 ④第二个因数不变，第一个因数乘5，得到的积等于原来的积乘5。 （4）概括规律。 提问：谁能将刚才四位同学的发言进行概括，说一说积的变化有什么规律？ 学生交流后得出积的变化规律：一个因数不变，另一个因数乘几，得到的积就等于原来的积乘几。 3.验证规律。 引导：刚才大家发现的规律是不是具有普遍性呢？研究数学问题一般不要急于得出结论。请同学们再找一些例子算一算、比一比，看看积的变化是不是有同样的规律，在小组内交流。 （1）学生在四人小组内验证规律。 （2）交流验证的情况。 4.解决课堂导入时的问题。 提问：小明在计算“42×5”时，将因数5写成了50，他算出的积和正确的答案之间会有什么关系呢？ 指名汇报交流，教师进行必要的纠正。 引导学生发现：小明在计算时，一个因数不变，另一个因数乘10，所以他算出的积也就等于原来的积乘10。 三、反馈完善 1.完成教材第33页“练一练”第1题。 先让学生说说一个因数是怎样变化的，再直接填出积。 集体交流时，让学生分别说说自己的想法。 2.完成教材第33页“练一练”第2题。 让学生先观察每组中各个算式之间因数的联系，再根据每组第1题的积直接
集合与容斥原理
第一讲集合与容斥原理 数学是一门非常迷人的学科，久远的历史，勃勃的生机使她发展成为一棵枝叶茂盛的参天大树，人们不禁要问：这根大树到底扎根于何处？为了回答这个问题，在19世纪末，德国数学家康托系统地描绘了一个能够为全部数学提供基础的通用数学框架，他创立的这个学科一直是我们数学发展的根植地，这个学科就叫做集合论。它的概念与方法已经有效地渗透到所有的现代数学。可以认为，数学的所有内容都是在“集合”中讨论、生长的。 集合是一种基本数学语言、一种基本数学工具。它不仅是高中数学的第一课，而且是整个数学的基础。对集合的理解和掌握不能仅仅停留在高中数学起始课的水平上，而要随着数学学习的进程而不断深化，自觉使用集合语言(术语与符号)来表示各种数学名词，主动使用集合工具来表示各种数量关系。如用集合表示空间的线面及其关系，表示平面轨迹及其关系、表示方程(组)或不等式(组)的解、表示充要条件，描述排列组合，用集合的性质进行组合计数等。集合的划分反映了集合与子集之间的关系，这既是一类数学问题，也是数学中的解题策略——分类思想的基础，在近几年来的数学竞赛中经常出现，日益受到重视，本讲主要介绍有关的概念、结论以及处理集合、子集与划分问题的方法。 1．集合的概念 集合是一个不定义的概念，集合中的元素有三个特征： （1）确定性设A是一个给定的集合，a是某一具体对象，则a或者是A的元素，或者不是A的元素，两者必居其一，即a∈A与a?A仅有一种情况成立。 （2）互异性一个给定的集合中的元素是指互不相同的对象,即同一个集合中不应出现同一个元素. （3）无序性 2．集合的表示方法 主要有列举法、描述法、区间法、语言叙述法。常用数集如：R , ,应熟记。 N, Z Q 3．实数的子集与数轴上的点集之间的互相转换，有序实数对的集合与平面上的点集可以互相转换。对于方程、不等式的解集，要注意它们的几何意义。 4．子集、真子集及相等集 （1）A?? B A?B或A＝B； （2）A?B?A?B且A≠B； （3）A＝B?A?B且A?B。 5．一个n阶集合（即由个元素组成的集合）有n2个不同的子集，其中有n2－1个非空子集，也有n2－1个真子集。 6．集合的交、并、补运算 x∈} A B={A |且B x∈ x x∈} A B={A |或B x x∈ x?} A∈ {且A =| I x x 要掌握有关集合的几个运算律： （1）交换律A B＝B A，A B＝B A； （2）结合律A （B C）＝（A B） C， A （ B C）＝(A B) C；