复变函数总练习题1
第一章练习题
1、已知方程i e z 31+=，则z Im 为 （ ）
A. ln2
B.
32π C. ,...1,0,2±=k k π D. ,...1,0,23
±=+k k ππ
2、设210z z ++=，则1173z z z ++= （ ） A.0 B. i C.－i D.1
3、设iy x z +=，则z
w 1
=将圆周222=+y x 映射为 （ ）
A ．通过0=w 的直线
B ．圆周2
1=
w
C ．圆周22=-w
D ．圆周2=w
4、已知方程(1+2i)z=4+3i ，则z 为 ( )
A. 2+i
B. -2+i
C. 2-i
D. -2-i
5、复数)3sin 3(cos z π
πi +-=的三角形式是 ( )
A. 32sin 32cos ππi +
B. 3sin 3cos ππi +
C. 32sin 32cos ππ-+i
D. 3sin 3cos ππ-+-i 6、方程1Re 2=z 所表示的平面曲线为 （ ） A.圆
B.直线
C.椭圆
D.双曲线
7、(1cos )(2sin ),02z t i t t π=+++≤≤所表示的曲线为
A. 直线
B. 双曲线
C. 抛物线
D. 椭圆 8、点集{}:5E z i i +- 表示的图形是（ ）
A.半平面
B.圆域
C.直线
D.点
9、下列集合为有界单连通区域的是（ ）
A. 10< B. 0Re >z C. 2<-i z D. ππ < 10、若13-=z 且0Im >z ，则Z 一定等于（ ） A ．-1 B. i 2321-- C. i 2 321+ D. i 31+- 11、2 11 lim z z +∞→的值为（ ） A ．0 B. i π2- C. 1 D.0 12、则3Im z =__________________________ 13、知方程(12)43i z i +=+，则z =___________； 14、31z =且Im 0z >，则z =___________； 15 、数()2arg(3)f z z =-在复平面除去实轴上一区间______ __ 外是连续解析函数。 16、映射i w z =下，圆周22(1)1x y +-=的像曲线为__________； 17、程z 3+1=0的所有复数根为___________. 18、程)0(>=k k z z 在复平面上表示的曲线为__________ 19、程cos sin (0t 2)z t i t π=+≤≤表示的曲线为__________ 20、1Re 2=z 所表示的平面曲线为______________ 21、则3Im z =____________ 22、31z i =-，则z =____________ 23、知 ,) 2)(3() 3)(2)(1(i i i i i z ++---= 则=z ___________ 24、3 arg 1π = z ，4 arg 2π = z ，则=)arg(21z z ____________ 25、___________ 26、ξ=∞ →n n z lim ，则=+++∞→n z z z n n (i) 21_____________ 27、C iy x z y x i xy x z f ∈+=?+-++=)),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f i z ____ 28、n n n i n n z )1 1(12++-+= ，则=∞→n n z lim _____________ 29、b a z a z =++-，其中a ，b 为正常数，则点z 的轨迹曲线是________ 30、{}n z 收敛的充要条件是{}n z Re 和{}n z Im 都收敛，判断此命题是否正确，并给出充分理由 31、证明函数z z z f = )(在0→z 时极限不存在. 32、方程2it t z +=，+∞<<∞-t 定义了什么样的曲线？ 33、证明)(21lim z z z z i z -→不存在. 34、求解方程组12122(1)43z z i i z iz i -=? ?++=-? 第二章练习题 1、设)cos(i z =，则z Re 等于 ( ) A. 211e e +-- B. 211e e +- C. 2 1 1e e -- D. 0 2、设)5cos(i z +=π，则z Re 等于 ( ) A. 2e e 55+-- B. 2e e 55+- C. 2 e e 5 5-- D. 0 3、设函数()f z u iv =+在区域D 内解析，则下列等式中错误的是 （ ） A./()f z = x u ??+i x v ?? B. /()f z = y v ??+i x v ?? C. /()f z = y u ??+i y v ?? D. /()f z =x u ??-i y u ?? 4、设函数f(z)=u+iv 在点z 0处可导的充要条件是( )。 A. u,v 在点z 0处有偏导数 B. u,v 在点z 0处可微 C. u,v 在点z 0处满足C-R 条件 D. u,v 在点z 0处可微，且满足C -R 条件 5、若()z f z e =，则下列结论不成立．．． 的是 （ ） A.()f z 在z 平面上解析 B. ()f z 为非周期函数 C. ()f z 在z 平面上无零点 D. ()f z 在z 平面上无界 6、映射i z z 2z 32-=+=ω在处的伸缩率为（ ） A.40 B.102 C. 10 D. 5 7、函数()f z = A ．复平面 B. 除去原点的复平面 C. 除去实轴的复平面 D. ( ) 8、设函数()f z u iv =+在区域D 内有定义，则在D 内（ ） A.由,u v 为调和函数可得()f z 解析 B. 由,u v 满足C.－R.条件可得()f z 解析 C.由v 为u 的共轭调和函数可得()f z 解析 D.以上三种都不成立 9、已知方程i e z 31+=，则z Im 为 （ ） A. ln2 B. 3 2π C. ,...1,0,2±=k k π D. ,...1,0,23 ±=+k k ππ 10、设2 ()f z z =，则()f z 在复平面上（ ） A ．原点处解析 B. 处处解析 C. 处处不解析 D. 原点处可导 11、设22()f z x iy =+，则()f z 在复平面上（ ） A ．直线y x =上可导 B. 处处解析 C. 直线y x =上解析 D. 原点处可导 12、函数)(z f 在一点处解析是)(z f 在这点可导（） A ．充分条件 B.必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要 13、)1log(i -的值是（ ） A ．i 42ln 21π+ B. i 42ln 21π- C. i 432ln 21π+ D. i 4 32ln 21π -- 14、log(1)-=_____________. 15、函数2(z 1)Ln +的支点是____________ 16____________ 17____________ 18、函数2w x ixy =+的可导范围为_____________ 19、复变函数z z f Im )(=在复平面上可导的点集为 20、复数2i +的模是__________ ，辐角是__________ 21 _____________值函数 22、设()f z ＝u iv +是解析函数，并且已知(x,y)1v x =-,则'(z)f =________. 23、函数()21f z z =+在z ＝10－i 处的伸缩率是__________； 24、函数ixy x w +=2在__________范围内可导 25、()i i +1=_____________________ 26、求解析函数()f z u iv =+，其中22 y v x y = +，并使得(2)0f =. 27、验证233),(xy x y x u u -==是复平面上的调和函数，并求一个以),(y x u 为实部的解析函数)(z f ，使得i f =)0(。 28、已知22u x y =-，求解析函数()f z ＝u iv +. 29、已知22u x y xy =-+，求解析函数()f z ＝u iv + 30、已知323y y x v -=，求相应的解析函数iv u f += 31、已知,2)4)((22xy y xy x y x v u -++-=+试确定解析函数iv u z f +=)( 32、设22cos x u e y x y =+-，求函数v ，使得iv u z f +=)(在Z 平面解析，且1)0(=f . 并写出()f z 的复数表达式. 33、设1 1 )(+-=z z Log z F ，求一单值解析分枝，使得0在割线上，且i f π=)0(上，求)2(f ，求)0(下f ? 34、设函数)1()(z z z F -=，求)(z F 的枝点及1 ( )>02f 上 的一个单值解析分枝在 1z =-,z i =处的值. 35、试说明)1()(z z z F -=在割去线段1Re 0≤≤z 的z 平面内能分出两个单值解 析分支，求出支割线1Re 0≤≤z 上岸取正值的那支在z=-1的值 36、设()F z =,求作一单值解析分支,使(2)f =并求(2)f -及 )(i f 的值. 37、设3232(z)(x lxy )f my nx y i =+++在复平面上解析，求,,l m n 。 38、讨论函数2 ()f z z =的解析性. 39、证明题：已知函数f 在区域D 内解析，如果f 在D 内解析，则f 在D 内恒 为常数 第三章练习题 1、设C ：｜z+3｜=1的正向，则dz i z C ?-1 等于( )。 A. 1 B. 0 C. 2πi D. 12πi 2、dz i z dz z ?=-3π等于（ ） A. 1 B. 0 C.i π2 D. i π12 3、设C 为正向圆周11z -=，那么dz z z C ? +-3 3)1()1(1 ＝（ ） A. 38i π B. 38i π- C. 34i π D. 34 i π- 4、设C 为从i -到i 的直线段,则?C dz z =（ ） A. i B. 2i C. i - D. （ ） 5、积分=+? =dz z z 2 1 2 1 1 （ ） A ．i π2 B. i π2- C. 1 D.0 6、设C 是正向圆周1,z =则积分dz z C ?21 = A. 2i π B. 1 C. 0 D.（ ） 7、设C 是正向圆周12,z +=n 为正整数，则积分dz i z C n ? +-1 )(1 A. 2i π B. 1 C. 0 D. 12i π 8、设C 是正向圆周1,z =则积分dz e z C z ? -1 sin = A. 2i π B. 1 C. 2i π- D. 2sin1i π 9、设(x,y)c u =（常数），则(x,y)u 的共轭调和函数为 A. 任意调和函数 B. 任意解析函数 C. 任意函数 D. 任意常数 10、设C 是正向圆周1,z =则积分dz z C ? 1 = _____________ 11、设C 是正向圆周1,z =则积分dz z z C +?1 (= _____________ 12、设C 是沿原点到点1i +的直线段，则2c zdz ?=____________ 13、设c 为|z|=2正向圆周，则?C z dz z e 2=______. 14、设为|z|=2正向圆周，则dz z e C z ?-2)1(=______. 15、设c 为|z|=1正向圆周，则dz z C ? -2 1 =______. 16、设()f z 是单连通区域D 内解析且不为零，C 为D 内任一条简单闭曲线，则 dz z f z f z f C ? +'+'') (1 )(2)(=________. 17、设c 为2=z 的正向圆周，则dz z z z c ?-+-1 1 22=_____________ 18、计算积分212(1)z C e dz i z z π-?，其中，C 为不经过0与1的正向简单闭曲线. 19、积分 dz z z z z ?=-2 2)1(sin 20、计算积分dz z z e z z ?=-22)1(. 21、计算积分2 252 (1)z z dz z z =--? 22、计算dz z I C ?=2，其中C 是从原点到2=z ，再从2=z 到i z +=2的直线段. 23、计算[]2Re C I z z dz =+?，其中C 是从(1,0)A 逆时针到B(1,0)-的上半单位圆周 24、已知()f z =23371 z d z ξξξξ=++-?，求'(1i)f + 25、计算dz z z z c ? ++)1(322，其中12 :=-i z c 26、设C 为正向圆周)1(≠=R R z ,计算积分dz z ze I C z ?-=3 )1( 27、计算积分[]dz z i z c ?+Im 2，其中c 是从点A （1,0）到点B(-1,0)的上半个圆周 28、证明2 21)!()! 2(21n n zi dz z z n z π =? ?? ?? +?= 第四章练习题 1、幂级数∑∞ =++012)31(n n z i 的收敛半径是 （ ） A.1 B. 1 2 2、级数n n n z n ])1([0 31--∑∞ =的收敛半径是 （ ） A. 1 B.43 C. 2 3 D. 2 3、罗朗级数 2 (3)n n n z ∞ -=-∞ -∑的收敛域为（ ） A.32z -< B.23z <-<+∞ C. 1 2 32z <-< D. 12 3z <-<+∞ 4、级数1 n n z ∞ =-∑的收敛域为（ ） A.1z < B.01z << C. 1z ≤ D. 01z ≤ 5、级数1n n i n ∞ =∑的敛散是（ ） A. 绝对收敛 B. 条件收敛 C. 发散 D. 不一定收敛 6、若幂级数0n n n a z +∞ =∑在12z i =+处收敛,那么该级数在2z =处的敛散性为 A. 绝对收敛 B. 条件收敛 C. 发散 D. （ ） 7、1 ()1 z f z e =-在z i π=处的泰勒级数的收敛半径为 A. i π B. 2i π C. π D. （ ） 8、设幂级数∑∞ =0n n n z a 的收敛半径R>0，则此幂级数的和函数（ ） A.在|z| B.在|z| C.在|z| D.在|z| 9、z z f cos 1 )(=的孤立奇点为 （ ） A. )(,,02Z k k ∈+ππ B. )(,,2Z k k ∈+∞ππ C. ) (,,,02Z k k ∈+∞ππ D. )(,2 Z k k ∈+ππ 10、tan ,0(z)1,0 z z f z z ?≠? =??=?的孤立奇点为 （ ） A. )(,,02Z k k ∈+ππ B. )(,,2Z k k ∈+∞ππ C. ) (,,,02Z k k ∈+∞ππ D. )(,2 Z k k ∈+ππ 11、下列级数中，绝对收敛的级数是（ ） A.11(1)n i n n ∞ =+∑ B. 2ln n n i n ∞ =∑ C. 1(1)2n n n i n ∞ =?? -+???? ∑ D. 1(8)! n n i n ∞ =∑ 12、设∞为)(z f 的可去奇点，则说法不正确．．． 的是 （ ） A.)(lim z f z ∞ →存在 B.0)),((Re =∞z f s C. )),((Re ∞z f s 不一定为零 D.)(z f 在∞有界 13、0=z 是)1(2 2-z e z 的 （ ） A. 5阶零点 B. 4阶零点 C. 3阶零点 D. 2阶零点 14、1z =是函数21 ()(1)sin 1 f z z z =--的（ ） A.可去奇点 B.本性奇点 C. 二阶极点 D.二阶零点 15、设1z =-时函数 4 cot() (1)z z π+的m 级极点，那么m =（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 16、0=z 是函数4)(z e z f z =的m 阶极点，则m=（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 17、以0z =为本性奇点的函数是（ ） A. sin z z B. 1 (1) z z - C. 1sin z D. ( ) 18、z=0是函数()f z = 3sin z z 的m 阶极点，则m = （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D.4 19、若∞是整函数(z)f 的n 阶极点，则(z)f 是（ ） A. 常数 B. n 次多项式 C. 有理函数 D. （ ） 20、(z a)(z b) (z)Log z(z c) F --=-在∞的邻域内（ ） A. 可以展成泰勒级数 B.可以展成洛朗级数 C. 不可以展成泰勒级数 D. 不可以展成洛朗级数 21、z=1是函数f(z)= 1 z 1e -的( )。 A. 解析点 B. 本性奇点 C. 可去奇点 D. 极点 22、设z=0为函数)(z f =21z + 31 z 的m 阶极点，则m = ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 23、设z=1为函数)(z f =1 1sin 1 z -的 ( ) A. 一阶极点 B. 可去奇点 C.零点 D. ( ) 24、z=0是函数2sin )(z z z f =的（ ） A. 非孤立奇点 B. 极点 C. 可去奇点 D. 本性奇点 25、幂级数1 11) 1()1(++∞ =+∑+-n n n z n n 的收敛半径为（ ） A.1 B.2 C. ∞+ D.e 26、幂级数0!n n n n z n +∞ =∑的收敛半径为___________ 27、函数 2 1 z 在1z =-处的泰勒展开式为________. 28、函数()f z =2 11 z +关于z 的幂级数展开式为___________； 29、若幂级数0 n n n C z ∞ =∑ 在1(1)2z = +处收敛，那么该级数在4 5 z i =处的敛散性为________. 30、若幂级数∑∞ =0n n n z c 在i z 21+=处收敛，则该级数在z=2处的敛散性为_______ 31、设z ＝0为()sin f z z z =-的m 阶零点，则m ＝ _____； 32、若函数()f z 在整个复平面上处处解析，则称它为_________ 33、设()f z 为整函数，且()0f ∞=，则()f z = _________ . 34、函数f(z )= z 1 关于1-=z 的展开式为___ ___ 35、设1lim 1,n n n a i a +→∞=+则幂级数01n n n a z n ∞ =+∑的收敛半径为_____________ 36、0=z 是4 2 cos 1)(z z z f -=的m 阶极点，则m =______. 37、3π=z 是函数π π --=z z z f 3) 3sin()(的奇点类型是______________ 38、函数3 1 1)(--=z e i z z f 在Z=0处的泰勒展开式收敛半径是____________ 39、函数3 21 )(+=z z f 在Z=0处的泰勒展开式为_____________ 40、将1 1 z z -+按1z -的幂展开，并指出其收敛范围. 41、将 2 1 (1) z z z +-在01,1z z <<<<∞内展开。 42、将函数2 1 2)(2-++=z z z z f 在21< 43、函数()()() 1 12f z z z = --在1=z 的各种去心邻域内的洛朗展式。 44、求函数) 1(1 )(2 z z z f -= 在（+∞< 1 ()(1)f z z =-展开为z i -的幂级数。 46、求函数2 11 )(z z f +=在指定圆环+∞<- ) 1(1 )(z z z f -=，求)(z f 在（1）圆环10< 48、 设函数f 在区域D 内解析，且在某一点0z D ∈有(n)0(z )0,n 1,2,f == ，证 明f 在区域D 内恒为常数 第五章练习题 1、z z z z f 53)(46+-=在1 A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 2、在复数范围内，方程0345=++z z 的根的个数为 ( ) A. 3 B. 6 C. 4 D. 5 3、13)(36+-=z z z f 在1 A. 6个 B. 5个 C. 3个 D. 1个 4、在复数范围内，方程30z z +=的根的个数是（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 5、设z=0为函数)(z f =21z + 31 z 的m 阶极点，则m = ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6、设2 1)(z e z z f z -+=，则Res[f(z)，0]=（ ） A. 0 B.2 1- C.i π D. i π- 7、已知,1 )(5 z e z f z -=则Res[f(z)，0]=（ ） A. 241 B.2 C. 121 D. 125 1 8、.设n 为偶数，则1cos Re ,0n z s z -?? ???? =（ ） A.等于0 B.等于1 C.等于2i π D.随n 变化 9、设z a =为解析函数()f z 的m 级零点,那么() () Re z a f z f z s ='=（ ） A. m B. -m C. m -1 D. 10、设z a =为()f z 的有限的可去奇点,则()Re z a f z s ==（ ） A. 2i π B. 1 C. 0 D. -2i π 11、若a z z g z f -=) ()(，且)(z g 在a 点解析，0)(≠a g 则]),([Re a z f s =（ ） A.)(a g B.)(/a g C.)(2a ig π D.0 12、24 1()z e f z z -=在0z =处的留数为______________ 13、z z z f sin )(= 在z =∞处的留数为___________ 14、函数?? ? ???+++++= 5)1(1...1111)(z z z z f 在0z =处的留数为______________ 15、积分?=n z zdz πtan =__________ 16、方程542510z z z +++=在单位圆内有________个根 17、方程636310z z z -+-=在1 20、)0,(Re n z z e s =_____________ 21、计算复积分dz z z z ? =1sin 1 22、如果f 在扩充复平面上除有限个孤立奇点n z z z ,...,,21外处处解析，则有限个 孤立奇点处的留数与),(Re ∞f s 之间有什么样的关系。试计算积分 ?Γ--)1)(3(2z z dz ，其中2:=Γz ，并验证此关系。 23、求函数2 )1)(1()(+-= z z z z f 在所有孤立奇点处的留数 24、计算积分20 54sin d π θθ+? . 2201 (p 0).12cos p I d p πθθ=-+? 25、计算积分2 4cos .9x I dx x +∞ -∞=+? ?+∞+=02.1cos dx x x I 20s i n .1x x I dx x +∞=+? 26、计算实积分dx x J ?+∞+=041 1 27、计算积分420416dx x x +∞++?、 28、计算积分dx x x x ?+∞∞-++5 4cos 2 29、用留数方法计算积分dz z z z z ?=--22 )1(2 5. 30、计算积分dz z z z ? =--25) 1)(3(1 31、判断下面的命题是否正确并给出理由：不存在一个在零点解析的函数)(z f ,v 使0)11( =+n f ，且n n f 21)21(=，,...2,1=n 32、证明，在Z=0解析，且满足n n f 21)121(=-，n n f 21 )21(=，,...2,1=n 的函数)(z f 不存在 33、证明:方程)1(1>=-λλz ze 在单位圆1z <内只有一个解，而且这个解是正实 数。 34、有同学为了计算实积分dx x J ? +∞ +=041 1 做了如图示的积分路径，请回答一下 问题：（1）运用该路径是否能够求解出上述实积分？如果能请求解 （2）如果不能求解出，请构造合理的积分路径求解 x 第六章练习题 1、直接解析开拓常用的方法有透弧开拓和解析开拓 第七章练习题 1、求上半平面0Im >z 到单位圆域内1 0)(arg ='i f 2、求将单位圆1 条件1)1(,0)2 1 (-==L L 3、求分式线性映照)(z f w =，使它将1 （1）0)21(=f ，0)21 (>'f （2）0)21(=f ，2 )21(arg π ='f 4、求分析线性映照)(z f w =使它将0Im >z 映为1 （1）0)(=i f ，1)1(=-f （2）0)(=i f ，0)(arg ='i f 5、求分析线性映照)(z f w =使它将0Im >z 映为R w w <-0，且满足0)(w i f =， 0)(>'i f 6、求分式线性映照)(z f w =，使它将1 7、求分式线性映照)(z f w =，使它将1 )21(i f =， 0)2 1 (>'f 8、求点i +2关于圆周（1）1=z ; (2) 3=-i z 的对称点 综合练习一 1、 设| |1,|| 1.a z <<证明： （i ）| |1; 1z a az -<- （ii ） 22 2 2 (1||)(1||) 1||;1|1| z a a z az az ----= -- （iii ）|||| ||||| || |1 1|||| 1|||| 1z a z a z a a z a z az --+≤≤ <-+- 2、 设12 12,,,,,,n n z z z ωωω 是任意2n 个复数，证明复数形式 的Lagrange 恒等式： 2 2 2 2 1 1 1 1||(||)(||)|| n n n j j j j j k k j j j j j k n z z z z ωωωω===≤<≤=- -∑∑∑∑ , 并由此推出Cauchy 不等式： 2 2 2 1 1 1 ||(||)(||). n n n j j j j j j j z z ωω===≤∑∑∑ 不等式中等号成立的条件是什么？ 3、设12,,,n z z z 是任意n 个复数，证明必有{1,2,,}n 的子集E 使得 1 1 ||||. 6 n j j j E j z z ∈=≥ ∑∑ 4、设无穷三角阵 11212231 32 33 a a a a a a 满足 （i ）对任意固定的k ，lim nk k n a a →∞ =存在； （ii ） 1 lim n nk n k a →∞ =∑存在； （iii ） 1 ||,. n nk k a M n =≤<∞?∈∑ 证明：若复数列{}n z 收敛，则1lim n nk k n k a z →∞=∑存在。 5、证明：若E ? 即是开集又是闭集，则E =?或.E = 6、设E 是非空点集，0ε>。若对于E 中的任意两个点,a b ， 存在E 中的有限个点 01,,,,n a z z z b == 使得 1||k k z z ε--<成立(1)k n ≤≤，则称E 为ε-连通的。证明：紧集连通的充要条件是，对任意0ε>它都是ε-连通的。举例说 明将紧集改为闭集后结论不再成立。 7、设D 是 中的域，()f H D ∈，f 在D 中不取零值。证明：对任意0,p >有 22 222 22|()||()||()|.p p f z p f z f z x y -????'+= ????? 8、设D 是 中的域，1 ()f u iv C D =+∈。证明： 2 2 ||| |. u u x y f f v v z z x y ??????=-?????? 特别地，当()f H D ∈时，有 2 ||. u u x y f v v x y ????'=???? 9、设f 在(0,1){1}B 上全纯，并且 ((0,1))(0,1),(1)1,f B B f ?= 证明(1)0.f '≥ 10、设((0,1)),f H B ∈如果存在0(0,1)\{0}z B ∈，使得 0000|||| ()0,()0,|()|max |()|, z z f z f z f z f z ≤'≠≠=且那么000() 0. () z f z f z '> 11、证明(0,1)B 是 2 ()1z f z z = -的单叶性域，并求出 ((0,1))f B 。 12、求一单叶全纯映射，把 11(,)22B - 和11 (,)22B 的外部除去线 段[2,0]i -所成的域映为上半平面。 13、设0,(0,)r R f B r <<在中全纯。证明： （i ） 20 1(0)(); 2i f f re d πθ θπ=? （ii ）2 ||1 (0)(). z r f f z dxdy r π<= ? 14、设 u 是 (0,)B R 中的调和函数， 0.r R <<证明： 20 1(0)(). 2i u u r e d π θ θπ = ? 15 、 （ Schwarz 积 分 公 式 ） 设 ((0,) ) (( 0, f H B R C B R f ∈=+ 证明： 20 1Re ()(Re )(0). 2Re i i i z f z u d iv z θ πθ θ θπ += +-? 16、设 f 是域 D 上的连续函数，如果对于任意边界和内部都位 于D 中的弓形域G ，总有()0 G f z dz ?=? ，那么f 是D 上 的全纯函数。如果把弓形域换成圆盘，结论是否仍然成立？ 17、证明：幂级数 00 () n n n a z z ∞ =-∑在域D 上一致收敛，当且仅 第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，50 75100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2 123+- 3．复数)2 (tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2sin()2[cos( sec θπθπ θ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得2 2 z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -43 （D ）i --4 3 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域 10．方程232= -+i z 所代表的曲线是（ ） （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 13．0 0) Im()Im(lim 0z z z z x x --→（ ） （A ）等于i （B ）等于i - （C ）等于0 （D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ） （A ）),(y x u 在),(00y x 处连续 （B ）),(y x v 在),(00y x 处连续 （C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续 复变函数与积分变换复习题汇总 一、填空题 1、31i +的三角函数表示为_____________________； i i +-12的指数函数表示为______________________； 2、=-)1ln(___________________； 3、i 有两个根，他们分别是_________________和_______________； 4、)3(3)(2323xy x i y x y z f -+-=，则=)(z f ___________________； 5、31z e z -的孤立奇点为Z=______________，其类型为_________________； 6、=-]01[Re 42，z e s z ________________； 7、)(2]1[ωπδ=g ，则=]2[cos t g __________________； 8、￡ =][0t s e ____________________; 9、n n n n z ∑∞ +313的收敛半径是_______________； 10、=+-?c z z dz 422_____________，其中C ：|z|=1 正向； 11、bi a Z +=，a 与b 是实数，且00> 2020届《复变函数与积分变换》练习题 填空题 1.若 ()f z u iv =+可导，则()f z ￠ = . 2.设()t d 是单位脉冲函数，则()t d 轾=臌 . 3.复变函数3()z f z e =的周期为 . 4.曲线积分3 4sin ()z z dz z p == -ò? . 5.已知复变函数 22()3326f z x y xyi =--+，若z x iy =+，则()f z 关于变量z 的 表达式为 . 6.复变函数()z f z e =的周期为 . 7. 若()f z u iv =+可导，则()f z ￠= . 8.计算乘幂 = . 9.曲线积分24cos ()z z dz z π== -?? . 10. 已知222211()(1)(1)f z x iy x y x y =+ +-++，若z x iy =+，则复变函数()z f 关于变 量z 的表达式为 . 11. ()=+51i ________. 12. 当=a ________，函数)72(2)(y x i y ax z f +-++=为复平面上的一个解析函数. 13. 复数6cos 6sin π πi z +-=的指数形式为=z ________________. 14. 函数t t f 7sin )(=的Fourier 变换为________________. 18. =?+∞ -tdt e t 2cos 04________________. 19. =i 1________. 20. 当=a ________，函数)9()(y x i ay x z f ++-=为复平面上的一个解析函数. 21. 复数32cos 32sin ππi z +=的指数形式为=z ________________. 22. 函数t t f 5sin )(=的Fourier 变换为________________. 23. =?+∞-tdt e t 2cos 03________________. 24.公式cos sin ix e x i x =+称为_____________________. 25.函数()f z Lnz =的奇点之集为_____________________. 26. ()+t dt δ∞∞=?— ___________. 27.复变函数3()z f z e =的周期为 . 28.若21(1)1n n n z i n n +=++-，则lim n n z =___________. 29.设34z i =+，则2z e = . 30.函数()cos 6f t t =的傅立叶变换[cos 6]F t = . 31.xyi y x z f 2)(22+-=的导数=')(z f . 32.已知复变函数 22()3326f z x y xyi =--+，若z x iy =+，则()f z 关于变量z 的 表达式为 . 33.=+i i )1(____________________. 34. 当=a _____，=b _____，函数)9()(2y x i ay bx z f ++-=为复平面上的一个解析函数. 35. =-)33(i Ln _______________. 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括 号内。错选、多选或未选均无分。 1．下列复数中，位于第三象限的复数是（ ） A. 12i + B. 12i -- C. 12i - D. 12i -+ 2．下列等式中，不成立的等式是（ ） 3．下列命题中，正确．．的是（ ） A. 1z >表示圆的内部 B. Re()0z >表示上半平面 C. 0arg 4 z π << 表示角形区域 D. Im()0z <表示上半平面 4．关于0 lim z z z z ω→=+下列命题正确的是（ ） A.0ω= B. ω不存在 C.1ω=- D. 1ω= 5．下列函数中，在整个复平面上解析的函数是（ ） 6．在复平面上，下列命题中，正确．．的是（ ） A. cos z 是有界函数 B. 2 2Lnz Lnz = 7 ．在下列复数中，使得z e i =成立的是（ ） 8．已知3 1z i =+，则下列正确的是（ ） 9．积分 ||342z dz z =-??的值为（ ） A. 8i π B.2 C. 2i π D. 4i π 10．设C 为正向圆周||4z =, 则10()z C e dz z i π-??等于（ ） A. 1 10! B. 210! i π C. 29! i π D. 29! i π- 11．以下关于级数的命题不正确的是（ ） A.级数0327n n i ∞ =+?? ?? ?∑是绝对收敛的 B.级数 212 (1)n n i n n ∞ =??+ ?-??∑是收敛的 C. 在收敛圆内，幂级数绝对收敛 D.在收敛圆周上，条件收敛 12．0=z 是函数(1cos ) z e z z -的（ ） A. 可去奇点 B.一级极点 C.二级极点 D. 三级极点 第一章 复变函数习题及解答 写出下列复数的实部、虚部；模和辐角以及辐角的主值；并分别写成代数形式，三角形式和指数形式．(其中,,R αθ为实常数) （1）1-； （2） ππ2(cos isin )33-； （3）1cos isin αα-+； （4）1i e +； （5）i sin R e θ ； （6）i + 答案 （1）实部－1；虚部 2；辐角为 4π2π,0,1,2,3k k +=±±L ；主辐角为4π 3； 原题即为代数形式；三角形式为 4π4π2(cos isin )33+；指数形式为4π i 32e ． （2）略为 5π i 3 5π5π 2[cos sin ], 233i e + （3）略为 i arctan[tan(/2)][2sin()]2c e αα （4）略为 i ;(cos1isin1)ee e + （5）略为：cos(sin )isin(sin )R R θθ+ （6）该复数取两个值 略为 i i isin ),arctan(1isin ),πarctan(1θθ θθθθθθ+=+=+ 计算下列复数 1）() 10 3 i 1+-；2）()3 1i 1+-； 答案 1）3512i 512+-；2） ()13π/42k π i 6 3 2e 0,1,2k +=； 计算下列复数 （1 （2 答案 （1 （2）(/62/3) i n e ππ+ 已知x 【解】 令 i ,(,)p q p q R =+∈，即,p q 为实数域(Real).平方得到 2 2 12()2i x p q xy +=-+，根据复数相等，所以 即实部为 ,x ± 虚部为 说明 已考虑根式函数是两个值，即为±值． 如果 ||1,z =试证明对于任何复常数,a b 有| |1 az b bz a +=+ 【证明】 因为||1,11/z zz z z =∴=∴=，所以 如果复数b a i +是实系数方程 ()011 10=++++=--n n n n a z a z a z a z P Λ的根，则b a i -一定也是该方程的根． 证 因为0a ，1a ，… ，n a 均为实数，故00a a =，11a a =，… ，n n a a =．且()() k k z z =， 故由共轭复数性质有：()() z P z P =．则由已知()0i ≡+b a P ．两端取共轭得 即()0i ≡-b a P ．故b a i -也是()0=z P 之根． 注 此题仅通过共轭的运算的简单性质及实数的共轭为其本身即得证．此结论说明实系数多项式的复零点是成对出现的．这一点在代数学中早已被大家认识．特别地，奇次实系数多项式至少有一个实零点． 证明： 2222 121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+,并说明其几何意义． 若 (1)(1)n n i i +=-，试求n 的值. 【解】 因为 22 2244444444(1)2(cos sin )2(cos sin ) (1)2(cos sin )2(cos sin )n n n n n n n n n n n n i i i i i i ππππππππ+=+=+-=-=- 所以 44sin sin n n ππ=- 即为4sin 0n π =所以 4 ,4,(0,1,2,)n k n k k ππ===±±L 将下列复数表为sin ,cos θθ的幂的形式 （1） cos5θ； （2）sin5θ 答案 53244235 (1) cos 10cos sin 5cos sin (2) 5cos sin 10cos sin sin θθθθθ θθθθθ-+-+ 证明：如果 w 是1的n 次方根中的一个复数根，但是1≠w 即不是主根，则必有 对于复数 ,k k αβ，证明复数形式的柯西(Cauchy)不等式： 第一章 复数与复变函数 一、选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足arg(2)3z π+=，5arg(2)6z π -=，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2 1 23+- 3．一个向量顺时针旋转3 π ，对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 4．使得2 2z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 5．方程232=-+i z 所代表的曲线是（ ） （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 6．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ） （A ）),(y x u 在),(00y x 处连续 （B ）),(y x v 在),(00y x 处连续 （C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续 （D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续 学号：____________ 姓名:______________ 班级:_____________ 二、填空题 1．设) 2)(3() 3)(2)(1(i i i i i z ++--+= ，则=z 2．设)2)(32(i i z +--=，则=z arg 3．复数2 2 )3sin 3(cos )5sin 5(cos θθθθi i -+的指数表示式为 4．方程i z i z +-=-+221所表示的曲线是连接点 和 的线 段的垂直平分线 5．=+++→)21(lim 421z z i z 三、将下列复数化为三角表达式和指数表达式： （1）i （2）13i -+ 四、求下列各式的值： （1）5( 3)i - （2）100100(1)(1)i i ++- （3）1i + 五、解方程：5 ()1z i += 《复变函数》试卷 第1页（共4页） 《复变函数》试卷 第2页（共4页） XXXX 学院2016—2017学年度第一学期期末考试 复变函数 试卷 一、单项选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分，请从每题备选项中选出唯一符合题干要求的选项，并将其前面的字母填在题中括号内。） 1. =)i Re(z ( ) A.)i Re(z - B.)i Im(z C.z Im - D.z Im 2. 函数2 ) (z z f =在复平面上 ( ) A.处处不连续 B. 处处连续，处处不可导 C.处处连续，仅在点0= z 处可导 D.处处连续，仅在点0=z 处解析 3.设复数a 与b 有且仅有一个模为1，则b a b a --1的值 ( ) A.大于1 B.等于1 C.小于1 D.无穷大 4. 设x y z f y x z i )(i +-=+=，，则=')(z f ( ) A.i 1+ B.i C.1- D.0 5.设C 是正向圆周 1=z ，i 2sin π=?dz z z C n ，则整数n 等于 ( ) A.1- B.0 C.1 D.2 6.0=z 是2 1 )( z e z f z -=的 ( ) A.1阶极点 B.2阶极点 C. 可去奇点 D.本性奇点 7.幂级数!2)1(0 n z n n n n ∑∞ =-的和函数是 ( ) A.z e - B.2 z e C.2 z e - D.z sin 8.设C 是正向圆周 2=z ，则 =?C z dz 2 ( ) A.0 B.i 2π- C.i π D.i 2π 9.设函数)(z f 在)0( 00+∞≤<<- 练习题 一、选择、填空题 1、下列正确的是（ A ）； A 1212()Arg z z Argz Argz =+； B 1212()arg z z argz argz =+； C 1212()ln z z lnz lnz =+； D 10z Ln Ln Lnz Lnz z ==-=. 2、下列说法不正确的是（ B ）； A 0()w f z z =函数在处连续是0()f z z 在可导的必要非充分条件； B lim 0n n z →∞=是级数1 n n z ∞=∑收敛的充分非必要条件； C 函数()f z 在点0z 处解析是函数()f z 在点0z 处可导的充分非必要条件； D 函数()f z 在区域D 内处处解析是函数()f z 在D 内可导的充要条件. 3、(34)Ln i -+=（ 45[(21)arctan ],0,1,2,3ln i k k π++-=±± ）， 主值为（ 4 5(arctan )3 ln i π+- ）. 4、2|2|1 cos z i z dz z -=? =（ 0 ）. 5、若幂级数0n n n c z ∞=∑ 在1(1)2z = +处收敛，那么该级数在45 z i =处的敛散性为（ 绝对收敛 ）. 6、 311z -的幂级数展开式为（ 30n n z ∞=∑ ），收敛域为（ 1z < ）； 7、 sin z z -在0z =处是（ 3 ）阶的零点； 8、函数221 (1)z z e -在0z =处是（ 4 ）阶的极点； 二、计算下列各值 1．3i e π+； 2．tan()4i π -； 3．(23)Ln i -+； 4 ． 5．1i 。 解：（略）见教科书中45页例2.11 - 2.13 1. 一个项目的输入输出端口是定义在 A 。 A. 实体中 B. 结构体中 C. 任何位置 D. 进程体 2. 描述项目具有逻辑功能的是 B 。 A. 实体 B. 结构体 C. 配置 D. 进程 3. 关键字ARCHITECTURE定义的是 A 。 A. 结构体 B. 进程 C. 实体 D. 配置 4. MAXPLUSII中编译VHDL源程序时要求 C 。 A.文件名和实体可以不同 B. 文件名和实体名无关 C. 文件名和实体名要相同 D . 不确定 5. 1987标准的VHDL语言对大小写是 D 。 A. 敏感的 B. 只能用小写 C. 只能用大写 D. 不敏感 6. 关于1987标准的VHDL语言中，标识符描述正确的是 A 。 A必须以英文字母开头B可以使用汉字开头C可以使用数字开D任何字符都可以 7. 关于1987标准的VHDL语言中，标识符描述正确的是 B 。 A下划线可以连用B下划线不能连用 C不能使用下划线 D可以使用任何字符 8. 符合1987VHDL标准的标识符是 A 。 A. A_2 B. A+2 C. 2A D. 22 9. 符合1987VHDL标准的标识符是 A 。 A. a_2_3 B. a_____2 C. 2_2_a D. 2a 10. 不符合1987VHDL标准的标识符是 C 。 A. a_1_in B. a_in_2 C. 2_a D. asd_1 11. 不符合1987VHDL标准的标识符是 D 。 A. a2b2 B. a1b1 C. ad12 D. %50 12. VHDL语言中变量定义的位置是 D 。 A. 实体中中任何位置 B. 实体中特定位置 C. 结构体中任何位置 D. 结构体中特定位置 13. VHDL语言中信号定义的位置是 D 。 A. 实体中任何位置 B. 实体中特定位置 C. 结构体中任何位置 D. 结构体中特定位置 14. 变量是局部量可以写在 B 。 A. 实体中 B. 进程中 C. 线粒体 D. 种子体中 15. 变量和信号的描述正确的是 A 。 A. 变量赋值号是:= B. 信号赋值号是:= C. 变量赋值号是<= D. 二者没有区别 16. 变量和信号的描述正确的是 B A. 变量可以带出进程 B. 信号可以带出进程 C. 信号不能带出进程 D. 二者没有区别 17. 关于VHDL数据类型，正确的是 C 。 A. 数据类型不同不能进行运算 B. 数据类型相同才能进行运算 C. 数据类型相同或相符就可以运算 D. 运算与数据类型无关 18. 下面数据中属于实数的是 A 。 A. 4.2 B. 3 C. ‘1’ D. “11011” 19. 下面数据中属于位矢量的是 D 。 A. 4.2 B. 3 C. ‘1’ D. “11011” 20. 关于VHDL数据类型，正确的是 B 。 A. 用户不能定义子类型 B. 用户可以定义子类型 C. 用户可以定义任何类型的数据 D. 前面三个答案都 第一章 复变函数习题及解答 1.1 写出下列复数的实部、虚部；模和辐角以及辐角的主值；并分别写成代数形式，三角形式和指数形式．(其中,,R αθ为实常数) （1）1-； （2） ππ2(cos isin )33-； （3）1cos isin αα-+； （4）1i e +； （5）i sin R e θ ； （6）i + 答案 （1）实部－1；虚部 2；辐角为 4π 2π,0,1,2,3k k +=±±；主辐角为4π 3； 原题即为代数形式；三角形式为 4π4π2(cos isin )33+；指数形式为4π i 32e ． （2）略为 5π i 3 5π5π 2[cos sin ], 233i e + （3）略为 i arctan[tan(/2)][2sin()]2c e αα （4）略为 i ;(cos1isin1)ee e + （5）略为：cos(sin )isin(sin )R R θθ+ （6）该复数取两个值 略为 i i isin ),arctan(1isin ),πarctan(1θθ θθθθθθ+=+=+ 1.2 计算下列复数 1）() 10 3 i 1+-；2）()3 1i 1+-； 答案 1）3512i 512+-；2） ()13π/42k π i 6 3 2e 0,1,2k +=； 1.3计算下列复数 （1 （2 答案 （1） （2）(/62/3) i n e ππ+ 1.4 已知x 的实部和虚部． 【解】 令 i ,(,)p q p q R =+∈，即,p q 为实数域(Real).平方得到 2 2 12()2i x p q xy +=-+，根据复数相等，所以 22 1,(p q pq p x q x ?-=??=??=±==±+ 即实部为 ,x ± 虚部为 说明 已考虑根式函数是两个值，即为±值． 1.5 如果 ||1,z =试证明对于任何复常数,a b 有| |1 az b bz a +=+ 【证明】 因为||1,11/z zz z z =∴=∴=，所以 1() ()1||||| |||||||1()az b az b az b z az b az b z bz a bz a z z bzz az b az b az +++++=====+++++ 1.6 如果复数b a i +是实系数方程 ()011 10=++++=--n n n n a z a z a z a z P 的根，则b a i -一定也是该方程的根． 证 因为0a ，1a ，… ，n a 均为实数，故00a a =，11a a =，… ，n n a a =．且()() k k z z =， 故由共轭复数性质有：()()z P z P =．则由已知()0i ≡+b a P ．两端取共轭得 ()( ) 00i i =≡+=+b a P b a P 即()0i ≡-b a P ．故b a i -也是()0=z P 之根． 注 此题仅通过共轭的运算的简单性质及实数的共轭为其本身即得证．此结论说明实系数多项式的复零点是成对出现的．这一点在代数学中早已被大家认识．特别地，奇次实系数多项式至少有一个实零点． 1.7 证明： 2222 121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+,并说明其几何意义． 1.8 若 (1)(1)n n i i +=-，试求n 的值. 成绩 西安交通大学考试题 课程复变函数（A） 系别考试日期 2007 年 7 月 5 日专业班号 姓名学号期中期末 1. 填空（每题3分， 2. 共30分） 1．＝ 2．＝0是函数的 （说出类型，如果是极点，则要说明阶数） 3. ,则＝ 4. 5. 函数在处的转动角为 6. 幂级数的收敛半径为 =____________ 7. 8．设C为包围原点在内的任一条简单正向封闭曲线，则 9．函数在复平面上的所有有限奇点处留数的和为___________ 10． 二．判断题（每题3分，共30分） 1．在解析。【】 2．在点可微，则在解析。【】 3．是周期函数。【】 4．每一个幂函数在它的收敛圆周上处处收敛。【】 5．设级数收敛，而发散，则的收敛半径为1。【】 6．能在圆环域展开成洛朗级数。【】 7．为大于1的正整数, 成立。【】 8．如果函数在解析，那末映射在具有保角性。【】 9．如果是内的调和函数,则是内的解析函数。【】10．。【】三．（8分）为调和函数，求的值，并求出解析函数。 四．（8分）求在圆环域和内的洛朗展开式。 五．（8分）计算积分。 六．（8分）设，其中C为圆周的正向，求。 七．（8分）求将带形区域映射成单位圆的共形映射。 复变函数与积分变换(A)的参考答案与评分标准 (2007.7.5) 一.填空(各3分) 1. ； 2. 三级极点； 3. ； 4. 0 ； 5. 0 ； 6. ； 7. ； 8. 0； 9. 0 ；10. 。 二.判断1.错；2.错；3.正确； 4. 错；5.正确；6.错； 7.错；8. 错；9. 正确；10. 错。 三(8分) 解: 1)在 -----4分 2) 在 --4分 四.(8分) 解:被积函数分母最高次数比分子最高次数高二次,且在实轴上无奇点,在上半平面有一个一级极点 -2+i, 故 --------3分 --------6分 故 ---------8分 五.(8分) 解: -------3分 由于1+i在所围的圆域内, 故 -------8分 六. (8分) 解:利用指数函数映射的特点以及上半平面到单位圆的分式线性映射,可以得到 (映射不唯一,写出任何一个都算对) 七.(8分) 解:对方程两端做拉氏变换: 代入初始条件,得 --------4分 故, ---------8分(用留数做也可以) 复变函数 (A)的参考答案与评分标准 (2007.7.5) 一.填空(各3分)1. ；2. 三级极点；3. ； 4. 0 ；5. 0 ；6. ；7. ；8. 0 ； 9. 0 ； 10. 0。 二.判断1.错；2.错；3.正确；4. 错；5.正确；6.错；7.错；8. 错；9. 正确；10. 错。 三.(8分) 解:因为是调和函数,则有 ,即故 ---------2分 1) 当时, , 由C-R方程, , 则 , 又由 ，故 , 所以。 则 ----------3分 2) 当时, , 由C-R方程, , 则 , 又由 ，故 , 所以。 则 复变函数卷答案与评分标准 一、填空题： 1．叙述区域内解析函数的四个等价定理。 定理1 函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析的充要条件： （1）(,)u x y ，(,)v x y 在D 内可微， （2）(,)u x y ，(,)v x y 满足C R -条件。（3分） 定理2 函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析的充要条件： （1）,,,x y x y u u v v 在D 内连续， （2）(,)u x y ，(,)v x y 满足C R -条件。（3分） 定理3 函数()f z 在区域D 内解析的充要条件：()f z 在区域D 内连续，若闭曲线C 及内部包含于D ，则()0C f z dz =? 。 （3分） 定理4 函数()f z 在区域D 内解析的充要条件：()f z 在区域D 内每一点a ，都能展成x a -的幂级数。（3分） 2．叙述刘维尔定理：复平面上的有界整函数必为常数。（3分） 3、方程2z e i =+的解为：11ln 5arctan 222 i k i π++，其中k 为整数。（3分） 4、设()2010sin z f z z +=，则()0Re z s f z ==2010。（3分） 二、验证计算题（共16分）。 1、验证()22,2u x y x y x =-+为复平面上的调和函数，并求一满足条件()12f i i =-+的解析函数()()(),,f z u x y iv x y =+。（8分） 解：（1）22u x x ?=+?，222u x ?=?；2u y y ?=-?，222u y ?=-?。 由于22220u u y x ??+=??，所以(,)u x y 为复平面上的调和函数。（4分） （2）因为()f z 为解析函数，则(),u x y 与(),v x y 满足C.-R.方程，则有 22v u x y x ??==+??，所以(,)2222()v x y x dy xy y C x =+=++? 2,v u y x y ??=-=??又2()v y C x x ?'=+? ，所以 ()0C x '=，即()C x 为常数。 复变函数与积分变换 第一章 练习题 1． 计算 (1)(2) i i i --； 解：（1） 10 3) 31)(31()31(312 3) 2)(1(2 i i i i i i i i i i i i i +-= +-+= -= +-= --； （2）10 310 ) 2)(1() 2)(2(1)1)(1()2)(1() 2)(1(i i i i i i i i i i i i i +-= ---= ----------= --。 2． 解方程组1212 2(1)43z z i i z iz i -=??++=-?； 解：消元法，)2()1(+?i 得：i z i 33)31(1-=+， 解得：5 63) 31)(31()31)(33(31331i i i i i i i z --= -+--= +-= ， 代入)1(得：5 1765 6322i i i z --= ---? =。 3．求1i --、13i -+的模与辐角的主值； 解：]arg arctan arctan ,arctan arg ππππ，（，，三 ，二一，四 -∈??? ? ? ???? -+=z x y x y x y z ， ?? ? ???-+-= --)43s i n ()43c o s (21ππi i ； [])3a r c t a n s i n ()3a r c t a n c o s (1031-+-= +-ππi i 。 4 ．用复数的三角表示计算3 12?? - ? ??? 、； 解：1)sin()cos()3cos()3cos(2313 3 -=-+-=??? ?? -+-=??? ? ??-ππππi i i ； 3,2,1,0,424 3s i n 4243c o s 2)43s i n 43(c o s 2283 4 1 =???? ? ? ? ? +++=?? ??? ? +k k i k i ππππππ， 第一章 复 数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 i （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 0) Im()Im(z z -） 1 1．设) 2)(3() 3)(2)(1(i i i i i z ++--+= ，则=z 2．设)2)(32(i i z +--=，则=z arg 3．设4 3)arg(,5π = -=i z z ，则=z 第一章例题 例1.1试问函数把平面上的下列曲线分别变成平面上的何种曲线？ （1）以原点为心，2为半径，在第一象项里的圆弧； （2）倾角的直线； （3）双曲线。 解设，则 因此 （1）在平面上对应的图形为：以原点为心，4为半径，在上半平面的半圆周。（2）在平面上对应的图形为：射线。 （3）因，故，在平面上对应的图形为：直线 。 例1.2设在点连续，且，则在点的某以邻域内恒不为0. 证因在点连续，则，只要，就有 特别，取，则由上面的不等式得 因此，在邻域内就恒不为0。 例1.3设 试证在原点无极限，从而在原点不连续。 证令变点，则 从而（沿正实轴） 而沿第一象限的平分角线，时，。 故在原点无确定的极限，从而在原点不连续。 第二章例题 例2.1在平面上处处不可微 证易知该函数在平面上处处连续。但 当时，极限不存在。因取实数趋于0时，起极限为1，取纯虚数而趋于零时，其极限为－1。故处处不可微。 例 2.2函数在满足定理2.1的条件，但在不可微。 证因。故 但 在时无极限，这是因让沿射线随 而趋于零，即知上式趋于一个与有关的值。 例2.3讨论的解析性 解因, 故 要使条件成立，必有，故只在可微，从而，处处不解析。例2.4讨论的可微性和解析性 解因, 故 要使条件成立，必有，故只在直线上可微，从而，处处不解析。 例2.5讨论的可微性和解析性，并求。 解因, 而 在复平面上处处连续且满足条件，从而在平面上处处可微，也处处解析。且 。 例2.6设确定在从原点起沿负实轴割破了的平面上且，试求 之值。 解设，则 由代入得 解得：，从而 。 例2.7设则 且的主值为。 例2.8考查下列二函数有哪些支点 (a) (b) 解（a）作一条内部含0但不含1的简单闭曲线, 当沿正方向绕行一周时,的辐角得到增量,的辐角没有改变, 即 从而 故的终值较初值增加了一个因子，发生了变化，可见0是的支点。同理1 也是其支点。 任何异于0，1的有限点都不可能是支点。因若设是含但不含0，1的简复变函数综合练习
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