数列,平面向量,三角恒等变化,解三角形学情检测数学试题 (理科)

巴中市普通高中2015级年段学情检测数学试题（理科）

本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页。考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。满分150分。考试时间120分钟。

第Ⅰ卷 （选择题 共60分）

注意事项：

必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1．000016cos 46cos 46sin 16sin +=（ ）

A.

23 B.2

2

C.21

D.1

2．a =（－1，2），b =（1，－1），c =（3，－2）用a 、b 作基底可将c 表示为 c =p a ＋q b ，则实数p 、q 的值为 （ ） A ．p =4 q =1 B ． p =1 q =4 C ．p =0 q =4 D ． p =1 q =0

3．已知数列{a n }满足21n n n a a a ++=+，若151,8,a a ==则3a = （ )． A ．1

B ．2

C.3

D.

7

2

4．向量a =（1，－2），向量a 与b 共线，且|b |=4|a |．则b = （ ）

A ．（－4，8）

B ．（－4，8）或（4，－8）

C ．（4，－8）

D ．（8，4）或（4，8） 5. 已知x 为第三象限角，化简=-x 2cos 1（ ）

A. B. C. D. 6．．已知向量a 和b 满足|a |=1，|b |=2，a ⊥（a +b ）．则a 与b 的夹角为 （ ） A ．30o B ．45o C ．75o D ．135o

7．在△ABC 中，下列三式：0,0,0AB BC BC CA CA AB ?>?>?>

中能够成立的个数为

（ ） A.至多1个

B.有且仅有1个

x sin 2x sin 2-x cos 2x cos 2-

C.至多2个

D.至少2个

8．在各项均为正数的等比数列{a n }中，354a a ?=，则数列{}2log n a 的前7项和等于

（ )． A ．7

B ．8

C. 7

2

D. 8

2

9．已知正项数列{a n }中, 121,2,a a == 2

=+

(2)n ≥ ,则6a 等于 （ ）

A ．16

B ．8

C ．2

D ．4

10．在△ABC 中，已知|AB →|＝4，|AC →|＝1，S △ABC ＝ 3 ，则AB →·AC →等于 （ ）

A.－2

B.2

C.±2

D.±4

11．在△ABC 中，若(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，且sin A ＝2sin B cos C ，那么△ABC 是 （ ）

A.直角三角形

B.等边三角形

C.等腰三角形

D.等腰直角三角形

12．已知数列满足：a 1＝1，a n ＋1＝a n

a n ＋2，(n ∈N *)，若

b n ＋1＝(n －λ)????1a n ＋1，b 1＝－λ，且数列{b n }是单调递增数列，则实数λ的取值范围为 （ ）

A ．λ>2

B ．λ>3

C ．λ<2

D ．λ<3

第II 卷 （非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且,AB a AD b ==

，则BE = ___________.

14．求值：0

tan 22tan3822tan38+=_____________。 15．如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个

垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排的距离为106米，则旗杆的高度为_______米．

16．正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且242n n n S a a =+，若数列{}n b 满足2sin

3

n n n b a π

=?，{}n b 的前n 项和为n T ，则2016T =

三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17、（本小题10分） 设平面三点A （1,0），B （0,1），C(2，5)，

（1）求向量2AB AC +

的模;

（2）求与BC

垂直的单位向量的坐标.

18、（本小题12分）已知14

0,cos(),sin()2435

π

παβπβαβ<<

<<-=+=， (1)求sin 2β的值； (2)求cos()4

π

α+

的值．

19、（本小题12分）

在ABC ?中，点D 在BC

边上，已知cos CAD C ∠=∠=

（1）求ADC ∠

（2

）若6AB CD =，求BD.

20、（本小题12分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足24718,91a a S +==,递增等比数列{}n b 满足12166,128k k b b b b -+==，）

（*

∈<+-N k k k ,035122

. (1). 求数列{}{},n n a b 的通项公式. (2) 令1

1

n n n n n c a b a a +=+?，求数列{}n c 的前n 项和n T

21、（本小题12分）

在ABC ?中，角A,B,C 所对的边分别为,,.a b c

（1）设向量x =(sinB,sinC),向量y =(cosB,cosC),向量z =(cosB,-cosC),若z//(x+y), 求tanB+tanC 的值; (2)若sinAcosC+3cosAsinC=0,证明：2222a c b -=.

22、（本小题12分）

已知数列{}n a 的首项为1，n S 为数列{}n a 前n 项和，11n n S qS +=+ 其中0,q n N *

>∈.

(1). 若2322,,2a a a +成等差数列，求数列{}n a 的通项公式

(2) 令2

2

1,n n b a =+且25

,3b =设数列{}n b 的前n 项和n T ，试比较n T 与1433

n n n --的大小，

并说明理由.

一、选择题：ABCBB DAADC BC 二、填空题：13．12

b a -

14

15. 30 16

．-

三、解答题：

17、（本小题10分） 答案：（1

）， （2

）(,,5555

--. 18、（本小题12分）

答案：（1）2

7sin 2cos(2)2cos ()1249ππβββ=-=--=-;

（2）由02παβπ<<<<得33,,44422

ππ

πππ

βαβ<-<<+<

又由已知14

cos(),sin()435

π

βαβ-=+=

得

3

sin(),cos()435

π

βαβ-=+=-

，

则

2

3

c o s ()c 4

41

π

πααββ-??+

=

+--=????

. 19、（本小题12分）

答案：（1

）cos cos()2

ADC CAD C ∠=-∠+∠=-， 又0ADC π<∠<，故ADC ∠=

34

π

; （2）在ADC ?中，由正弦定理得：

AD=ABD ?中，

设BD=x

，由余弦定理得：

2

1018cos 4

x π

=+-，

即2

680x x -+=，解得4x =或2x =，即BD=4或BD=2.

20、（本小题12分）

答案：（1）43,2()n n n

a n

b n N *

=-=∈; （2）设11n n a a +?

?

?

???

的前n 项和为{},n n n A a b ?的前n 项和为n B ,由

111111111

()()444341

n n n n a a a a n n ++=-=--+得： 11111111

(1)(1)45594341441

n A n n n =

-+-++-=--++ ，又 232341

125292(43)22125292(43)2n n n n B n B n +=?+?+?++-?=?+?+?++-? 两式相减得：

23111

124(222)(43)24(12)24(43)212

(74)214

n n n n n n B n n n +-++-=++++--?-=+?--?-=-- ，

即

1

(4

7)2

n n B n +=-

?+

，

故1

11(1)(47)214441

n n

n n T A B n n +=+=-+-?++. 21、（本小题12分）

答案：（1）由已知得：sinBcosC+sinCcosB=-2cosBcosC, 由已知有cosBcosC ≠0,等式两边同除以cosBcosC 得tanB+tanC=-2; (2)由已知得：

sin(A+C)+2cosAsinC=0,

即

sinB+2cosAsinC=0,又由正弦定理和余弦定理有：

22220,2b c a b c bc

+-+?=即2

22

2a

c b

-=.

22、（本小题12分）

答案：（1）由1212

11(1),1n n n n n n S qS a qa n S qS +++++=+??=≥?=+?

又2

1211S qS a qa =+?=，

故1n n a qa +=对所有

n N *

∈都成立， 所以{}n a 是以首项为1，公比为q 的等比数列，

从而1

n n a q -=，又由2322,,2a a a +成等差得

32232(21)(2)0a a q q =+?+-=，又0,q >故q=2,

所以12()n n

a n N -*

=∈；

（2）n T >1433

n n

n --，证明如下：

由（1）知

1

n n a q

-=，又由已知有221

,n n b a =+

故1()n n b q n N -*==>=∈

又

由

25433

b q ==?=

，则

211231

143

113

n n n

n n n n q T b b b b q q q q ----=++++>++++==-