四边形讲义1

1在一次数学探究活动中，小强用两条直线把平行四边形ABCD 分割成四个部分，使含有一组对顶角的两个图形全等．

（１）根据小强的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上全等关系的直线有组；

（２）请在图９的三个平行四边形中画出满足小强分割方法的直线；

（３）由上述实验操作过程，你发现所画的两条直线有什么规律？

2如图，正方形ABCD 的边长为1，G 为CD

边上的一个动点（点G 与C ，D 不重合），以CG 为一边向正方形ABCD 外作正方形GCEF ，连结DE 交BG 的延长线于H ． (1)求证：① BCG △≌DCE △；② BH ⊥DE ．

(2)试问当点G 运动到什么位置时，BH 垂直平分DE ?请说明理由．

3设四边形ABCD 是边长为１的正方形，以对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以对角线AE 为边作第三个正方形AEGH ，如此下去．

（１）记正方形ABCD 的边长为11a ，按上述方法所作的正方形的边长依次为2a ，3a ，4a ，，n a ，请求出2a ，3a ，4a 的

值；

（１）根据以上规律写出n a 的表达式．

4现将三张形状、大小完全相同的平行四边形透明纸片，分别放在方格纸中，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，并且平行四边形纸片的每个顶点与小正方形的顶点重合（如图1、图2、图3）．

分别在图1、图2、图3中，经过平行四边形纸片的任意一个顶点画一条裁剪线，沿此裁剪线将平行四边形纸片裁成两部分，并把这两部分重新拼成符合下列要求的几何图形．要求：

（1）在左边的平行四边形纸片中画一条裁剪线，然后在右边相对应的方格纸中，按实际大小画出所拼成的符合要求的几何图形；

ＡＤＢＤＢＡ

Ｂ（图9） F

（

）所画出的几何图形的各顶点必须与小正方形的顶点重合．

5在88?的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知(24)A ，，(42)B ，，C 是第一象限内的一个格点，由点C 与线段AB 组成一个以AB 为底，且腰长为无理数的等腰三角形．

（1）填空：C 点的坐标是_______，ABC △的面积是_______；

（2）将ABC △绕点C 旋转180得到11A B C △，连结1AB ，1BA ，试判断四边形11AB A B 是何种特殊四边形，请说明理由；

（3）请探究：在x 轴上是否存在这样的点P ，使四边形ABOP 的面积等于ABC △面积的2倍．若存在，请直接写出点P 的坐标（不必写出解答过程）；若不存在，请说明理由．

6．在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等．

（1）设菱形相邻两个内角的度数分别为m 和n ，将菱形的“接近度”定义为m n -，于是，m n -越小，菱形越接近于正方形．

①若菱形的一个内角为70，则该菱形的“接近度”等于； ②当菱形的“接近度”等于时，菱形是正方形．图1

矩形（非正方形）

图2

正方形

图3

有一个角是135°的三角形

（2）设矩形相邻两条边长分别是a 和b （a b ≤），将矩形的“接近度”定义为a b -，于是a b -越小，矩形越接近于正方形．

你认为这种说法是否合理？若不合理，给出矩形的“接近度”一个合理定义．

7我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．

（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称，；

（2）如图16（1），已知格点（小正方形的顶点）(00)O ，，(30)A ，，(04)B ，，请你画出以格点为顶点，OA OB ，为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB ；

（3）如图16（2），将ABC △绕顶点B 按顺时针方向旋转60，得到DBE △，连结AD DC ，，

30DCB =∠．

求证：2

DC BC AC +=，即四边形ABCD 是勾股四边形．

8如图所示，在ABC △中，分别以AB AC BC ，，为边在BC 的同侧作等边ABD △，等边ACE △，等边BCF △．

（1）求证：四边形DAEF 是平行四边形；（2）探究下列问题：（只填满足的条件，不需证明）

①当ABC △满足________条件时，四边形DAEF 是矩形；

②当ABC △满足________条件时，四边形DAEF 是菱形； ③当ABC △满足________条件时，以D A E F ，，，为顶点的四边形不存在．

图（1） A

（2）

图

9如图，等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，点E 是线段AD 上的一个动点（E 与A D ，不重合），G F H ，，分别是BE ，BC ，CE 的中点．

（1）试探索四边形EGFH 的形状，并说明理由．

（2）当点E 运动到什么位置时，四边形EGFH 是菱形？并加以证明．

（3）若（2）中的菱形EGFH 是正方形，请探索线段EF 与线段BC 的关系，并证明你的结论．

10如图，正方形ABCD 的周长为40米，甲、乙两人分别从A B ，同时出发，沿正方形的边行走，甲按逆时针方向每分钟行55米，乙按顺时针方向每分钟行30米．

（1）出发后______分钟时，甲乙两人第一次在正方形的顶点处相遇．

（2）如果用记号（a b ，）表示两人行了a 分钟，并相遇过b 次，那么当两人出发后第一次处在正方形的两个相对顶点位置时，对应的记号应是______．

11在△ABC 中，AB =AC ，CG ⊥BA 交BA 的延长线于点G ．一等腰直角三角尺按如图15-1所示的位置摆

放，该三角尺的直角顶点为F ，一条直角边与AC 边在一条直线上，另

一条直角边恰好经过点B ．

（1）在图-1中请你通过观察、测量BF 与CG 的

长度，猜想并写出BF 与CG 满足的数量关系，然后证明你的猜想；（2）当三角尺沿AC 方向平移到图-2所示的位置时，一条直角边仍与AC 边在同一直线上，另一条

直角边交BC 边于点D ，过点D 作DE ⊥BA 于点E ．此时请你通过观察、测量DE 、DF 与CG 的长度，猜想并写出DE ＋DF 与CG 之间满足

的数量关系，然后证明你的猜想；

（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC 方向继续平

移到图-3所示的位置（点F 在线段AC 上，且点F 与点C 不重合）时，（2）中的猜想是否

仍然成立？（不用说明理由）

12在平面直角坐标系中，小方格都是边长为1的正方形，图①、②、③、④的形状和大小均相同.请你解答下列问题（根据变换需要可适当标上字母）：（1）写出图①中点A 关于原点对称的点的坐标；

（2）指出图②通过怎样的变换可与图①重合？图④通过怎样的变换可与图③拼成一个矩形？

甲乙

图-3 图-1 A

D E G H B

13如图所示，在4×4

ABCD的边

长为2，E是AD的中点，按CE将菱形ABCD剪成①、②两部分，用这两部分可以分别拼成直角三角形、等腰梯形、矩形，要求所拼成图形的顶点均落在格点上．

（1）在下面的菱形斜网格中画出示意图；

（2）判断所拼成的三种图形的面积（s）、周长（l）的大小关系（用“=”、“＞”或“＜”连接）：

面积关系是；

周长关系是．

14我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形．请

解答下列问题：

（1）写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；

（2）探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60时，这对60角所对的两边之和与其中一条对

角线的大小关系，并证明你的结论．

解：（1）

（2）

（直角三角形）（等腰梯形）（矩形）

15如图-1，已知P 为正方形ABCD 的对角线AC 上一点（不与A 、C 重合），PE ⊥BC 于点E ，PF ⊥CD 于点F ．

（1）求证：BP =DP ；

（2）如图-2，若四边形PECF 绕点C 按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP =DP ？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明；

（3）试选取正方形ABCD 的两个顶点，分别与四边形PECF 的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边形PECF 绕点C 按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论． 16如图－1，P 为Rt ABC △所在平面内任意一点（不在直线

AC 上）

，90ACB ∠=，M 为AB 边中点．操作：以PA PC ，为邻边作平行四边形PADC ，连结PM

到点E ，使ME PM =，连结DE ．探究：（1）请猜想与线段DE 有关的三个结论；

（2）请你利用图14－2，图14

－3选择不同位置的点P 法操作；（3）经历（2）之后，如果你认为你写的结论是正确的，请加以

证明；如果你认为你写的结论是错误的，请用图14－2或图14－3加以说明；（注意：错误的结论，只要你用反例给予说明也得分）

（4）若将“Rt ABC △”改为“任意ABC △”，其他条件不变，利用图14－4操作，并写出与线段DE 有关的结论（直接写答案）．

17直角三角形通过剪切可以拼成一个与该直角三角形面积相等的矩形．方法如下：

请你用上面图示的方法，解答下列问题：

M M A

图－2

图－3

图－4

B 中点中点 ① ② ③ ① ② ③

（2）对任意四边形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原四边形面积相等的矩形．

18请阅读下列材料：

问题：现有5个边长为1的正方形，排列形式如图1，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．

小东同学的做法是：设新正方形的边长为(0)x x >．依题意，割补前后图形的面积相等，有

25x =，解得x =

成的矩形对角线的长．于是，画出如图2所示的分割线，拼出如图3所示的新正方形．

请你参考小东同学的做法，解决如下问题：

现有10个边长为1的正方形，排列形式如图4，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：在图4中画出分割线，并在图5的正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．

说明：直接画出图形，不要求写分析过程．解：图1 图2 图3

19如图（1），凸四边形ABCD ，如果点P 满足APD APB α∠=∠=，且B P C CP D β∠=∠=，则称点P 为四边形ABCD 的一个半等角点．

（1）在图（3）正方形ABCD 内画一个半等角点P ，且满足αβ≠．

（2）在图（4）四边形ABCD 中画出一个半等角点P ，保留画图痕迹（不需写出画法）．（3）若四边形ABCD 有两个半等角点12P P ，（如图（2）），证明线段12P P 上任一点也是它的半等角点．

20已知ABC △，904BAC AB AC BD ===∠，，是AC 边上的中线，分别以AC AB ，所在直线为x 轴，y 轴建立直角坐标系（如图）．

（1）在BD 所在直线上找出一点P ，使四边形ABCP 为平行四边形，画出这个平行四边形，并简要叙述其过程；

（2）求直线BD 的函数关系式；

（3）直线BD 上是否存在点M ，使AMC △为等腰三角形？若存在，求点

M 的坐标；若不存在，说明理由．

图（1）

A C D B

P α α β

图（2）

图（3）

图（4）

（1）

（２）

21如图，M 为正方形ABCD 边AB 的中点，E 是AB 延长线上的一点，MN DM ⊥，且交CBE ∠的平分线于N ．

（1）求证：MD MN =；

（2）若将上述条件中的“M 为AB 边的中点”改为“M 为AB 边上任意一点”，其余条件不变，则结论“MD MN =”成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由．

22如图1，在正方形ABCD 中，点E F ，分别为边BC CD ，的中点，AF DE ，相交于点G ，则可得结论：①AF DE =；②AF DE ⊥．（不需要证明）

（1）如图2，若点E F ，不是正方形ABCD 的边BC CD ，的中点，但满足CE DF =，则上面的结论①，②是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”）

（2）如图3，若点E F ，分别在正方形ABCD 的边CB 的延长线和DC 的延长线上，且CE DF =，此时上面的结论1，2是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由．

（3）如图4，在（2）的基础上，连接AE 和EF ，若点M N P Q ，，，分别为AE EF FD

AD ，，，的中点，请判断四边形MNPQ 是“矩形、菱形、正方形、等腰梯形”中的哪一种？并写出证明过程．

A B E D

C N

M B

E G

F A

D C 图1

E G

F A D C

图2

G F

A D

C 图3

G F

图4

N M P Q

23如图，已知平面直角坐标系，A B ，两点的坐标分别为()()2341A B --，，，．

（1）若()0P p ，是x 轴上的一个动点，则当____p =时，PAB △的周长最短；

（2）若()()030C a D a +，，，是x 轴上的两个动点，则当____a =时，四边形ABDC 的周长最短；（3）设M N ，分别为x 轴和y 轴上的动点，请问：是否存在这样的点()0M m ，，()0N n ，，使四边形ABMN 的周长最短？若存在，请求出____m =，_____n =（不必写解答过程）；若不存在，请说明理由．

24如图（1），把一个等腰直角ABC △沿斜边上的中线CD （裁剪线）剪一刀，把分割成的两部分拼成一个四边形A BCD '，如示意图（1）（以下有画图要求的，工具不限，不必写画法和证明）（1）猜一猜：四边形A BCD '一定是，

（2）试一试：按上述的裁剪方法，请你拼一个与图（1）不同的四边形，并在图（2）中画出示意图．【探究】

在等腰直角ABC △中，请你沿一条中位线（裁剪线）剪一刀，把分割成的两部分拼成一个特殊四边形．（1）想一想：你能拼得的特殊四边形分别是

；

（写出两种）

（2）画一画：请分别在图（3）、图（4）中画出你拼得的这两个特殊四边形的示意图．【拓广】

在等腰直角ABC △中，请你沿一条与中线、中位线不同的裁剪线剪一刀，把分割成的两部分拼成一个特殊四边形．（1）变一变：你确定的裁剪线是，（写出一种）拼得的特殊四边形是．

（2）拼一拼，请在图（5）中画出你拼得的这个特殊四边形的示意图．

（1）

（2）

ＣＢ

（3）

ＣＢ

（4）

25如图甲，四边形ABCD 是等腰梯形，AB DC ∥．由4个这样的等腰梯形可以拼出图乙所示的平行四边形．

（1）求四边形ABCD 四个内角的度数；

（2）试探究四边形ABCD 四条边之间存在的等量关系，并说明理由；

（3）现有图甲中的等腰梯形若干个，利用它们你能拼出一个菱形吗？若能，请你画出大致的示意图．

26如图1，在四边形ABCD 中，已知AB BC CD ==，BAD ∠和CDA ∠均为锐

角，点P 是对角线BD 上的一点，PQ BA ∥交AD 于点Q ，PS BC ∥交DC 于点S ，四边形PQRS 是平行四边形．

（1）当点P 与点B 重合时，图1变为图2，若90ABD ∠=，求证：ABR CRD △≌△；

（2）对于图1，若四边形PRDS 也是平行四边形，此时，你能推出四边形ABCD 还应满足什么条件？

27我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．

（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；（2）如图，在ABC △中，点D E ，分别在AB AC ，上，设CD BE ，相交于点O ，若60A ∠=°，1

DCB EBC A ∠=∠=

∠．请你写出图中一个与A ∠相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；

（3）在ABC △中，如果A ∠是不等于60°的锐角，点D E ，分别在A B A C

，上，且12

D C B

E B C A ∠=∠=

∠．探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论．

A B

图甲

图乙图1 A B C

Q P

S R

图2

B C D R

B O A D

28已知：在Rt △ABC 中，AB =BC ；在Rt △ADE 中，AD =DE ；连结EC ，取EC 的中点M ，连结DM 和BM ．

（1）若点D 在边AC 上，点E 在边AB 上且与点B 不重合，如图①，

求证：BM =DM 且BM ⊥DM ；

（2）如果将图8-①中的△ADE 绕点A 逆时针旋转小于45°的角，如

图②，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．

29在平面直角坐标系xOy 中，OEFG 为正方形，点F 的坐标为(11)

，

的直角三角形纸片的直角顶点放在对角线FO 上．

（1）如图，当三角形纸片的直角顶点与点F 重合，一条直角边落在直线FO 上时，这个三角形纸片与正方形OEFG 重叠部分（即阴影部分）的面积为；

（2）若三角形纸片的直角顶点不与点O F ，重合，且两条直角边与正方形相邻两边相交，当这个三角形纸片与正方形OEFG 重叠部分的面积是正方形面积的一半时，试确定三角形纸片直角顶点的坐标（不要求写出求解过程），并画出此时的图形．

图-②

A C

D B A

图①

1（1）无数

（2）只要两条直线都过对角线的交点就给满分．

（3）这两条直线过平行四边形的对称中心（或过对角线的交点）． 2解：(1)①∵四边形ABCD 和四边形GCEF 均为正方形， ∴BC =DC ，CG =CE ，BCG DCE ∠=∠， ∴BCG DCE △≌△

②证法1：∵BCG DCE △≌△，∴GBC EDC ∠=∠． ∵BGC DGH ∠=∠，∴GBC GDH △∽△． ∴90DHG BCG ∠=∠=，即BH ⊥DE ．

证法2：∵BCG DCE △≌△，∴GBC EDC ∠=∠．又∵90EDC CED ∠+∠=，

∴90GBC CED ∠+∠=． ∴90BHE ∠=， ∴ BH ⊥DE ． (2)方法1：当点G 运动到

CG 1=

时，BH 垂直平分DE ．

∵要使BH 垂直平分DE ，若连结BD ，则必有BD =BE ， ∵1BC CD ==

，BD =

1CE BE BC =-=，

∴CG =CE

1．因此，当CG

1时，BH 垂直平分DE ．

方法2：连结DB ，当点G 运动到距离C

1时，BH 垂直平分DE ．

1CG CE ==∵

，11BE BC CE =+==∴

BD =

∵BD =BE ，

又∵BH ⊥DE ，∴BH 垂直平分DE ．

方法3：连结DB ，当点G 运动到DBC ∠的平分线与DC 的交点时，BH 垂直平分DE ． ∵BH 平分DBE ∠，∴DBH EBH ∠=∠．

∵BH ⊥DE ，∴90BHD BHE ∠=∠=．又∵BH =BH ，

∴(ASA)BHD BHE △≌△． ∴DH =EH ，∴BH 垂直平分DE ． 3解：∵四边形ABCD 为正方形，

190AB BC B ∴==∠=，， ∴在Rt ABC △中，

AC ===．

同理：2AE EH =

=，

即：2342a a a ===，；

（２）1n n a -=（n 为正整数） 4

5解：（1）(11)

，，4 4分

（2）四边形AB A B 是矩形，

图1 矩形（非正方形）

图2 正方形

图3 有一个角是135°的三角形

1AC A C =，1BC B C =，

又AC BC =，

11AA BB ∴=．

∴四边形11AB A B 是矩形．

4分

（3）(20)，(10)-，． 2分 6 解：（1）①40． 2分 ②0．

4分（2）不合理．例如，对两个相似而不全等的矩形来说，它们接近正方形的程度是相同的，但a b -却不相等．合理定义方法不唯一，如定义为b a ．b a 越小，矩形越接近于正方形；b

越大，矩形与正方形的形状差异越大；当

=时，矩形就变成了正方形． 6分 7（1）正方形、长方形、直角梯形．（任选两个均可）

2分（填正确一个得1分）

（2）答案如图所示．(34)M ，或(43)M ，．

（没有写出不扣分）

2分（根据图形给分，一个图形正确得1分）

（3）证明：连结EC ABC DBE △≌△

5分 AC DE ∴=，BC BE =

6分 60CBE =∠ EC BC ∴=，60BCE =∠

7分 30DCB =∠ 90DCE ∴=∠ 222DC EC DE ∴+= 8分

222DC BC AC ∴+=，即四边形ABCD 是勾股四边形

9分

8（1）ABD △和FBC △都是等边三角形

60DBF FBA ABC FBA ∴∠+∠=∠+∠= D B F A B

∴∠=∠ 又

BD BA =，BF BC = ABC DBF ∴△≌△ 2分 AC DF AE ∴== 3分同理ABC EFC △≌△

∴四边形ADFE 是平行四边形．

6分（2）①150BAC ∠= 7分 ②AB AC BC =≠ 8分 ③60BAC ∠=

9分

9 解：（1）四边形EGFH 是平行四边形．

理由是：G F H ，，分别是BE BC CE ，，的中点， G F E H G F E H ∴=∥，． ∴四边形EGFH 是平行四边形． 3分（2）当点E 是AD 的中点时，四边形EGFH 是菱形．证明：四边形ABCD 是等腰梯形，

AB DC A D ∴=∠=

∠，． ..AE DE ABE DCE BE CE =∴∴=，△≌△

6分 G H ，分别是BE CE ，的中点，EG EH ∴=． 7分又由（1）知四边形EGFH 是平行四边形， ∴四边形EGFH 是菱形． 9分

（3）1

EF BC EF BC =⊥，．证明：

四边形EGFH 是正方形，

90EG EH BEC ∴=∠=，． 11分

G H ，分别是BE ，CE 的中点，EB EC ∴=．

F 是BC 的中点，1

EF BC EF BC ∴=⊥，． 14分

10（1）2分钟； 2分（2）(613)，． 3分

11（1）BF =CG ；

…………………（1分）

证明：在△ABF 和△ACG 中，

∵∠F =∠G =90°，∠F AB =∠GAC ，AB =AC ， ∴△ABF ≌△ACG （AAS ），

∴BF =CG ．……………………………………………（4分）（2）DE +DF =CG ；…………………………………（5分）证明：过点D 作DH ⊥CG 于点H （如图7）．……（6分） ∵DE ⊥BA 于点E ，∠G =90°，DH ⊥CG ，

∴四边形EDHG 为矩形，∴DE =HG ，DH ∥BG ．∴∠GBC =∠HDC ． ∵AB =AC ，∴∠FCD =∠GBC =∠HDC ．又∵∠F =∠DHC =90°，CD =DC ， ∴△FDC ≌△HCD （AAS ），∴DF =CH ． ∴GH +CH =DE +DF =CG ，即DE +DF =CG ． …………（9分）

（3）仍然成立．

………………………（10分）

12（1）点A 关于原点对称的点的坐标为（4，–3）………………………（1分）（2）变换中，平移时说出平移方向、单位长度；旋转时，

A D

E G H B F

说出旋转中心、方向和旋转角度(三个方面各1分，此问3分)，并且能使变换后的图形达到题目要求均给满分.②与①重合（3分）；

④与③拼成矩形（3分）…………………………………………………………… （7分）（3）如图，图形清楚、正确，涂上其中任意两块……………………………………（10分） 13（1）每画一个正确给2分． ………………………………6分

（2） =S =S S 矩形直角三角形等腰梯形；……………………………1分

l 直角三角形＞l 等腰梯形＞ l 矩形． ……………………1分

14解：（1）略．

（2）结论：等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60时，这对60角所对的两边之和大于或等于一条对角线的长．

已知：四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，AC BD =，

且60AOD ∠=．

求证：BC AD AC +≥．

证明：过点D 作DF AC ∥，在DF 上截取DE ，使DE AC =．连结CE ，BE ．

故60EDO ∠=，四边形ACED 是平行四边形．所以BDE △是等边三角形，CE AD =．所以DE BE AC ==．

①当BC 与CE 不在同一条直线上时（如图1），在BCE △中，有BC CE BE +>．所以BC AD AC +>．

②当BC 与CE 在同一条直线上时（如图2），则BC CE BE +=．因此BC AD AC +=．

综合①、②，得BC AD AC +≥．

即等对角线四边形中两条对角线所夹角为60时，这对60角所对的两边之和大

于或等于其中一条对角线的长．

15 ⑴ 解法一：在△ABP 与△ADP 中，利用全等可得BP =DP . 2分

解法二：利用正方形的轴对称性，可得BP =DP . 2分 ⑵ 不是总成立 . 3分

当四边形PECF 绕点C 按逆时针方向旋转，点P 旋转到BC 边上时，DP >DC >BP ，此时BP =DP 不成

A D

F C

图2 A D

E F

C B

O 图1

说明：未用举反例的方法说理的不得分. ⑶ 连接BE 、DF ，则BE 与DF 始终相等. 6分在图8-1中，可证四边形PECF 为正方形， 7分

在△BEC 与△DFC 中，可证△BEC ≌△DFC . 从而有 BE =DF . 8分 16解：（1）DE BC ∥，DE BC DE AC =⊥，．（2）如图1，如图2（每图1分）．

（3）方法一：如图3，连结BE ， PM ME AM MB PMA EMB ==∠=∠，，，

PMA EMB ∴△≌△．

PA BE MPA MEB PA BE =∠=∠∴，，∥． PADC ，PA DC PA DC ∴=，∥． BE DC BE DC ∴=，∥，

∴四边形DEBC 是平行四边形． DE BC DE BC ∴=，∥．

90ACB BC AC DE AC ∠=∴⊥∴⊥，，．

方法二：

如图4，连结BE PB AE ，，， PM ME AM MB ==，，

∴四边形PAEB 是平行四边形． PA BE PA BE ∴=，∥．

余下部分同方法一．方法三：

如图5，连结PD ，交AC 于N ，连结MN ，

PADC ，AN NC PN ND ∴==，． AM BM AN NC ==，，

MN BC MN BC ∴=

，∥．又PN ND PM ME ==，， MN DE ∴∥，1

MN DE =．

DE BC DE BC ∴=，∥．

90ACB ∠=，BC AC ∴⊥．DE AC ∴⊥．（4）如图6，DE BC ∥，DE BC =．

（说明：（1）问写错一个结论，后来能找出反例加以说明，

M A

图3

M A

图4

M A

图5

C D

图2 C D

B E M

A P 图1

（1）问得1分，（3）问也得1分，此时，其他证明得5分）

17（1）如图所示：

（2）如图所示：

18 解：所画图形如图所示．

说明：图4与图5中所画图形正确各得2分．分割方法不唯一，正确者相应给分． 19解：（1）所画的点P 在AC 上且不是AC 的中点和AC 的端点，．

（2）画点B 关于AC 的对称点B '，延长DB '交AC 于点P ，点P 为所求（不写文字说明不扣分）．（说明：画出的点P 大约是四边形ABCD 的半等角点，而无对称的画图痕迹，给1分）（3）连1111

PA PD PB PC ，，，和22P D P B ，，根据题意， 11APD APB ∠=∠，11DPC BPC ∠=∠， 11

180APB BPC ∴∠+∠=． 1P ∴在AC 上，同理，2P 也在AC 上．在12DPP △和12BPP △中， 2121DP P BP P ∠=∠，1212DPP BPP ∠=∠，12P P 公共，

1212DPP BPP ∴△≌△．

所以11DP BP =，22DP BP =，于是B D ，关于AC 对称．设P 是12P P 上任一点，连结PD

PB ，，由对称性，得DPA BPA ∠=∠，DPC BPC ∠=∠，所以点P 是四边形的半等角点．

20（1）正确画出平行四边形ABCP 叙述画图过程合理

方法一：在直线BD 上取一点P ，使PD BD = 连结AP PC ，

所以四边形ABCP 是所画的平行四边形

中点

中点 ① ②

③

①

② ③ 中点中点

① ② ③ ④ ⑥ 中点中点

⑤

① ② ③ ④ ⑥

⑤

图4 图5

1P 2P P

连结PC

所以四边形ABCP 是所画的平行四边形（2）（4分）

4AB AC BD ==，是AC 边上的中线 2AD DC ∴==

(04)(20)B D ∴，，，

设直线BD 的函数关系式：y kx b =+，得

420b k b =??+=? 解得4

b k =??

=-? ∴直线BD 的函数关系式：24y x =-+

（3）（6分）设(24)M a a -+，分三种情况： ①AM AC =

2222(24)16AM a a AC =+-+=， 22(24)16a a ∴+-+= 解得121605

a a ==

， 1(04)M ∴， 21612

5M ??- ???，

②MC AC =

2222(4)(24)16MC a a AC =-+-+=， 22(4)(24)16a a ∴-+-+= 解得344

a a ==

， 3(44)M ∴-， 4412

55M ?? ???

，

③AM MC =

222222(24)(4)(24)AM a a MC a a =+-+=-+-+， 2222(24)(4)(24)a a a a ∴+-+=-+-+ 解得52a = 5(20)M ∴，，这时5M 点在AC 上，构不成三角形，舍去．综上所述，在直线BD 上存在四点，即1(04)M ，

，2161255M ??- ???，，3(44)M -，

，441255M ??

???

，，符合题 21证明：（1）取AD 的中点F ，连结FM ．

易证FDM BMN DFM MBN DF MB ∠=∠∠=∠=，，，

经典特殊的平行四边形讲义

特殊的平行四边形一、知识回顾矩形、菱形、正方形 1、菱形的性质：①菱形的四条边都相等．②菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角． ③具有平行四边形所有性质． 2．菱形的判定：①对角线互相垂直的平行四边形是菱形．②一组邻边相等的平行四边形是菱形． ③四条边都相等的四边形是菱形． 3．矩形的性质：①矩形的四个角都是直角．②矩形的对角线相等．③矩形具有平行四边形的所有性质． 4．矩形的判定：①有一个角是直角的平行四边形是矩形．②对角线相等的平行四边形是矩形． ③有三个角是直角的四边形是矩形． 5．正方形的性质：①正方形的四个角都是直角，四条边都相等． ②正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角． 6．正方形的判定：①有一个角是直角的柳是正方形．②有一组邻边相等的矩形是正方形． ③对角线相等的菱形是正方形．④对角线互相垂直的矩形是正方形．课前练习: 1．已知平行四边形ABCD 的周长是28cm ，CD-AD=2cm ，那么AB=______cm ，BC=______cm ． 2．菱形的两条对角线分别是6cm ，8cm ，则菱形的边长为_____，一组对边的距离为_____ 3．在菱形ABCD 中，∠ADC=120°，则BD ：AC 等于________ 4．已知正方形的边长为a ，则正方形内任意一点到四边的距离之和为_____． 5．矩形ABCD 被两条对角线分成的四个小三角形的周长之和是86cm ，对角线长是13cm ，则矩形ABCD 的周长是_____________ 6．如图，有一张面积为1的正方形纸片ABCD ，M ，N 分别是AD ，BC 边的中点，将C 点折叠至MN 上，落在P 点的位置，折痕为BQ ，连结PQ ，则PQ 二、例题讲解矩形例1．如图，已知矩形ABCD 的纸片沿对角线BD 折叠，使C 落在C ’处，BC ’边交AD 于E ，AD=4，CD=2 （1）求AE 的长（2）△BED 的面积巩固练习： 1．如图，矩形ABCD 中，AD=9，AB=3，将其折叠，使其点D 与点B 重合，折痕为 EF,求DE 和EF 的长。 2．如图，已知将矩形ABCD 沿EF 所在直线翻折，使点A 与C 重合，AB=6，AD=8,求折痕EF 的长ＭＤＱＢＡC ’ D A B C E F D A B C E C ’ E A D

八年级四边形经典证明题

1. 已知：如图，点E 、G 在平行四边形ABCD 的边AD 上，EG ＝ED ，延长CE 到点F ，使得EF ＝EC 。求证：AF ∥BG 。 2. 如图所示，平行四边形ABCD 内有一点E ，满足ED ⊥AD 于D ，∠EBC ＝∠EDC ，∠ECB ＝45°。请找出与BE 相等的一条线段，并给予证明。 A B C D E 3. 如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝12cm ，∠ABC ＝80°，BD 是∠ABC 的平分线，点E 是AB 边的中点。（1）求∠EDB 的度数；（2）求DE 的长。

4. 已知：如图，等边△ABC 的边长为a ，D 为AC 边上的一个动点，延长AB 至E ，使BE ＝CD ，连接DE ，交BC 于点P 。（1）求证：DP ＝PE ；（2）若D 为AC 的中点，求BP 的长。 5. 如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD ＝32°。分别以BC 、CD 为边向外作△BCE 和△DCF ，使BE ＝BC ，DF ＝DC ，∠EBC ＝∠CDF ，延长AB 交边EC 于点G ，点G 在E 、C 两点之间，连接AE 、AF 。（1）求证：△ABE ≌△FDA ；（2）当AE ⊥AF 时，求∠EBG 的度数。 6. 如图所示，在△ABC 中，AC ＝4cm ，把△ABC 沿AC 方向平移1cm 到△A'B'C'的位置，则四边形ABB'C'的面积是△ABC 面积的多少倍？ A C'

7. 已知：如图，在矩形ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、AB 上的点，且EF ＝ED ，EF ⊥ED 。求证：AE 平分∠BAD 。 8 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为边BC 上一点，以AB ，BD 为邻边作平行四边形ABDE ，连接AD ，EC 。（1）求证：△ADC ≌△ECD ；（2）若BD ＝CD ，求证：四边形ADCE 是矩形。 E C B A 9. 如图，以△ABC 的三边为边，在BC 的同侧分别另作三个等边三角形，即△ABD ，△BCE ，△ACF 。（1）求证：四边形ADEF 是平行四边形；（2）在△ABC 满足什么条件时，四边形ADEF 是矩形；（3）对于任意△ABC ，四边形ADEF 是否总存在？

2018四边形特殊四边形经典习题(附答案)

2018年暑假作业精编《四边形》第一部分基础题 1.如图，在平行四边形ABCD 中，AD =2AB ，CE 平分∠BCD 交AD 边于点E ，且AE =3，则AB 的长为（）A ．4 B ．3 C ． 2 5 D ．2 2.如图所示，如果 ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，?那么图中的全等三角形共有（） A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对 3.如图所示，点E 在AC 的延长线上，下列条件中能判断AB ∥CD 的是（） A ． ∠3=∠4 B ． ∠1=∠2 C ． ∠D =∠DCE D ． ∠D +∠ACD =180° 4.如图,△ABC 中,AB =AC =10,BC =8,AD 平分∠BAC 交BC 于点D ,点E 为AC 的中点,连接DE , 则△CDE 的周长为( ) A.20 B.12 C.14 D.13 5.如果三角形的两条边分别为4和6,那么连接该三角形三边中点所得三角形的周长可能是( ) A.6 B.8 C.10 D.12 6.如图，在△ABC 中，D ,E 分别是边AB ,AC 的中点，已知BC =10，则DE 的长为（） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 7.矩形各内角的平分线围成一个( ) A ．平行四边形 B ．正方形 C ．矩形 D ．菱形 8.下列命题中正确的是( ) A ．对角线相等的四边形是矩形 B ．对角线互相垂直的四边形是矩形

C ．对角线相等的平行四边形是矩形 D ．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 9.下列命题中错误的是( ) A ．对角线相等的平行四边形是矩形 B ．对角线互相垂直的矩形是正方形 C ．对角线互相平分的菱形是正方形 D ．对角线平分一组对角的矩形是正方形 10.下列命题中，错误的是（） A ．矩形的对角线互相平分且相等 B ．对角线互相垂直的四边形是菱形 C ．三角形的三条角平分线相交于一点，并且这点到三条边的距离相等 D ．到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 11.在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60o，AC ＝4，则BD 的长为． 12.若点O 为□ABCD 的对角线AC 与BD 交点，且AO ＋BO ＝11cm ，则AC ＋BD ＝ cm ． 13.在平行四边形ABCD 中, ∠A =40o,则∠B = o. 14.如图，四边形 ABCD 的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是___________ ____．（只需写出一个） 15. 如图，口ABCD 中，AE ⊥ BD 于 E .∠EAC =30°,AE =3 则AC 的长等于 16.如图, ABCD 中,DB =DC ,∠C =70°,AE ⊥BD 于E ,则∠DAE =_____度. 17.如图，在□ABCD 中，∠A ＝120°，则∠D ＝_ _°． 18. 顺次连接菱形四边中点所得四边形是_________. 19.20. 已知菱形的两对角线长分别为6和8,则菱形的面积为

四边形复习讲义1

【讲义课题】：四边形复习【考点及考试要求】一、学习目标： 1. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念, 了解它们之间的关系。 2. 探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的有关性质和常用判别方法，并能运用这些知识进行有关的证明和计算。二、重点、难点：重点：平行四边形的有关特征和识别，几种特殊平行四边形的特征以及它们之间的联系与区别，等腰梯形的特征。难点：几种特殊平行四边形的联系与区别。知识梳理一、几种特殊四边形的关系四边形平行四边形梯形矩形菱形正方形直角梯形等腰梯形二、平行四边形 1. 性质：（1）平行四边形的对边相等且平行。（2）平行四边形的对角相等。（3）平行四边形的对角线互相平分。（4）平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心。 2. 判定：（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

（2）对角线互相平分的四边形是平行四边形。（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。（4）两组对边分别平行的四边形是平行四边形。三、矩形 1. 性质：（1）矩形的四个角是直角。（2）矩形的对角线相等且互相平分。（3）矩形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心。矩形又是轴对称图形，过每一组对边中点的直线都是矩形的对称轴。 2. 判定：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形。（2）对角线相等的平行四边形是矩形。（3）有三个角都是直角的四边形是矩形。四、菱形 1. 性质：（1）菱形的对角相等。（2）菱形的四条边相等。（3）菱形的对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角。（4）菱形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心。菱形又是轴对称图形，两条对角线所在的直线都是它的对称轴。 2. 判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形。（2）对角线互相垂直平分的四边形是菱形。（3）四边都相等的四边形是菱形。五、正方形 1. 性质：（1）正方形的四条边相等。（2）正方形的四个角都是直角。（3）正方形的对边分别平行。（4）正方形的对角线互相平分垂直且相等，每条对角线平分每一组对角。（5）正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心。正方形又是轴对称图形，两条对角线所在的直线，以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴。 2. 判定：（1）有一组邻边相等的矩形是正方形。（2）有一个角是直角的菱形是正方形。（3）有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。（4）对角线互相平分垂直且相等的四边形是正方形。六、等腰梯形 1. 性质：（1）等腰梯形的两腰相等。（2）等腰梯形同一底上的两个角相等。

平行四边形的证明题

平行四边形的证明题一．解答题（共30小题） 1．如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．（1）求证：BE=DF；（2）若M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN，试判断四边形MENF的形状（不必说明理由）． — 2．如图所示，?AECF的对角线相交于点O，DB经过点O，分别与AE，CF交于B，D．求证：四边形ABCD是平行四边形． $ 3．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若AC与BD交于点O，求证：AO=CO． #

4．已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、AD．求证：EF=AD． ~ 5．如图，已知D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB，DE交AC于点O，且OA=OC，猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系，并加以证明．： 6．如图，已知，?ABCD中，AE=CF，M、N分别是DE、BF的中点．求证：四边形MFNE是平行四边形． ! 7．如图，平行四边形ABCD，E、F两点在对角线BD上，且BE=DF，连接AE，EC，CF，FA．求证：四边形AECF是平行四边形．

8．在?ABCD中，分别以AD、BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE、DF．求证：四边形BEDF是平行四边形．！ 9．如图所示，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中点，求证：BC=DE． 10．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=24cm，BC=30cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截梯形为两个四边形．问当P，Q同时出发，几秒后其中一个四边形为平行四边形？ ; 11．如图：已知D、E、F分别是△ABC各边的中点，

中考数学四边形经典证明题含答案

1．如图，正方形ABCD 和正方形A ′OB ′C ′是全等图形，则当正方形A?′OB ′C ′绕正方形 ABCD 的中心O 顺时针旋转的过程中．（1）四边形OECF 的面积如何变化．（2）若正方形ABCD 的面积是4，求四边形OECF 的面积．解：在梯形ABCD 中由题设易得到： △ABD 是等腰三角形，且∠ABD=∠CBD=∠ADB=30°．过点D 作DE ⊥BC ，则DE=1 2BD=23，BE=6 ．过点A 作AF ⊥BD 于F ，则AB=AD=4．故S 梯形ABCD =12+43． 2．如图，ABCD 中，O 是对角线AC 的中点，EF ⊥AC 交CD 于E ，交AB 于F ，问四边形AFCE 是菱形吗？请说明理由．解：四边形AFCE 是菱形． ∵四边形ABCD 是平行四边形． ∴OA=OC ，CE ∥AF ． ∴∠ECO=∠FAO ，∠AFO=∠CEO ． ∴△EOC ≌△FOA ，∴CE=AF ．而CE ∥AF ，∴四边形AFCE 是平行四边形．又∵EF 是垂直平分线，∴ AE=CE ．∴四边形AFCE 是菱形． 3．如图，在△ABC 中，∠B=∠C ，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，?垂足分别为E 、F ．求证：（1）△BDE ≌CDF ．（2）△ABC 是直角三角形时，四边形AEDF 是正方形．

19．证明：（1）,90D BC BD CD DE AB DF AC BED CFD B C 是的中点 △BDE ≌△CDF ．（2）由∠A=90°，DE ⊥AB ，DF ⊥AC 知： AEDF BED CFE DE DF 四边形是矩形矩形AEDF 是正方形．4．如图，ABCD 中，E 、F 为对角线AC 上两点，且AE=CF ，问：四边形EBFD 是平行四边形吗？为什么？解：四边形EBFD 是平行四边形．在 ABCD 中，连结BD 交AC 于点O ，则OB=OD ，OA=OC ．又∵AE=CF ，∴OE=OF ． ∴四边形EBFD 是平行四边形．5．如图，矩形纸片ABCD 中，AB ＝3 cm ，BC ＝4 cm ．现将A ，C 重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF ，试求AF 的长和重叠部分△AEF 的面积．【提示】把AF 取作△AEF 的底，AF 边上的高等于AB ＝3．由折叠过程知，EF 经过矩形的对称中心，FD ＝BE ，AE ＝CE ＝AF ．由此可以在△ABE 中使用勾股定理求AE ，即求得AF 的长．【答案】如图，连结AC ，交EF 于点O ，由折叠过程可知，OA ＝OC ， ∴O 点为矩形的对称中心．E 、F 关于O 点对称，B 、D 也关于O 点对称． ∴BE ＝FD ，EC ＝AF ，

勾股定理一对一专题讲义

知识点梳理１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += ２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，221 4()2 ab b a c ?+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221 422 S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+?+梯形，211 2S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形，化简得证３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征。４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ?中， 90 C ∠=?，则c ，b ，a ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。 ① 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形； ② 若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ， b ， c 为三边的三角形是锐角三角形； ③ 定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边６.勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222 ,2,m n mn m n -+c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b a b c c b a E D C B A

平行四边形讲义

平行四边形（讲义）课前预习 1.已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC．（1）求证：AB=CD且AD=BC．（2）连接AC，BD，设AC，BD的交点为O．求证：OA=OC 1.平行四边形的定义：__________________________________． 2.平行四边形的性质边：________________________________________________；角：________________________________________________；对角线：____________________________________________．3.平行四边形的判定 ???①_____________________________________________；边 ②_____________________________________________．角：________________________________________________．对角线：____________________________________________． 4.夹在平行线之间的________________相等．

精讲精练 1. 已知□ABCD 的周长是100，且AB :BC =4:1，则AB 的长为______________． 2. 如图，在□ABCD 中，∠DAB 的平分线AE 交CD 于点E ，若AB =5，BC =3，则EC 的长为（） A ．1 B ．1.5 C ．2 D ．3 3. 在□ABCD 中，∠A :∠B :∠C :∠D 的值可以是（） A ．1:2:3:4 B ．1:2:2:1 C ．1:1:2:2 D ．2:1:2:1 4. 在□ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，若△ABO 的周长为15，AB =6，则AC +BD =____________． 5. 在周长为20cm 的□ABCD 中，AB

四边形经典试题50题及答案

经典四边形习题50道（附答案） 1．已知：在矩形ABCD中，AE?BD于E， ∠DAE=3∠BAE ，求：∠EAC的度数。 2．已知：直角梯形ABCD中，BC=CD=a 且∠BCD=60?，E、F分别为梯形的腰AB、 DC的中点，求：EF的长。 3、已知：在等腰梯形ABCD中，AB∥DC， AD=BC，E、F分别为AD、BC的中点，BD 平分∠ABC交EF于G，EG=18，GF=10 求：等腰梯形ABCD的周长。 4、已知：梯形ABCD中，AB∥CD，以AD， AC为邻边作平行四边形ACED，DC延长线交BE于F，求证：F是BE的中点。 5、已知：梯形ABCD中，AB∥CD，AC?CB， AC平分∠A，又∠B=60?，梯形的周长是 20cm, 求：AB的长。 6、从平行四边形四边形ABCD的各顶点作对角线的垂线AE、BF、CG、DH，垂足分别是E、F、G、H，求证：EF∥GH。 7、已知：梯形ABCD的对角线的交点为E 若在平行边的一边BC的延长线上取一点F， _B_C _A_B _A_B _E _A _B _B _B

使S ABC ?=S EBF ?，求证：DF ∥AC 。 8、在正方形ABCD 中，直线EF 平行于对角线AC ，与边AB 、BC 的交点为E 、F ，在DA 的延长线上取一点G ，使AG=AD ，若EG 与DF 的交点为H ，求证：AH 与正方形的边长相等。 9、若以直角三角形ABC 的边AB 为边，在三角形ABC 的外部作正方形ABDE ， AF 是BC 边的高，延长FA 使AG=BC ，求证：BG=CD 。 10、正方形ABCD ，E 、F 分别是AB 、AD 延长线上的一点，且AE=AF=AC ，EF 交BC 于G ，交AC 于K ，交CD 于H ，求证：EG=GC=CH=HF 。 11、在正方形ABCD 的对角线BD 上，取BE=AB ，若过E 作BD 的垂线EF 交CD 于F ，求证：CF=ED 。 12、平行四边形ABCD 中，∠A 、∠D 的平分线相交于 E ，AE 、DE 与DC 、AB 延长线交于G 、F ，求证：AD=DG=GF=FA 。 13、在正方形ABCD 的边CD 上任取一点E ，延长BC 到F ，使CF=CE ，求证：BE?DF _C _B _F _B _C _F _C _D _B _F _ F _G _B _D _A _E

《四边形》讲义

八年级下册数学讲义第19章四边形知识脉络：两组对边平行四边行

一基本概念：四边形，四边形的内角，四边形的外角，多边形，平行线间的距离，平行四边形，矩形，菱形，正方形，中心对称，中心对称图形，梯形，等腰梯形，直角梯形，三角形中位线，梯形中位线. 二公式： 1．S 菱形 = 2 1 ab=ch.（a 、b 为菱形的对角线 ,c 为菱形的边长，h 为c 边上的高） 2．S 平行四边形 =ah. a 为平行四边形的边，h 为a 上的高）三常识： ※1．若n 是多边形的边数，则对角线条数公式是：2 )3n (n -. 2．规则图形折叠一般“出一对全等，一对相似”. 3．如图：平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系. n 边形的的性质：（1）n 边形的内角和等于 180)2(?-n ．（2）任意多边形的外角和等于 360 （3）n 边形共有 2 ) 3(-n n 条对角线（4）在平面内，内角都相等且边都相等的多边形叫做正多边形。（5）正多边形的每个内角等于 n n 180 ).2(- 平行四边形矩形菱形正方形

图1 F E D C B A 图2 F E D C B A 四边形：四边形的内角和等于360°, 外角和等于360° 1、四边形内角中最多有三个钝角，四个直角，三个锐角； 2、四边形外角中最多有三个钝角、四个直角、三个锐角，最少没有钝角，没有直角，没有锐角； 3、四边形内角与同一个顶点的一个外角互为邻补角．平行四边形的性质: (1)平行四边形的邻角互补，对角相等． (2)平行四边形的对边平行且相等． (3)夹在两条平行线间的平行线段相等． (4)平行四边形的对角线互相平分．平行四边形的判定: (1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． (2)定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形． (3)定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． (4)定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形． (5)定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．两条平行线的距离两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离．平行线间的距离处处相等平行四边形的面积： ABCD S =BC·AE=CD·BF 同底(等底)同高（等高）的平行四边形面积相等. ABCD S =BCFE S 矩形的性质： (1)对边平行且相等。 (2)矩形的四个角都是直角． (3)矩形的对角线相等． (4)矩形是轴对称、中心对称图形． (5) 矩形面积＝长×宽矩形的判定： (1)定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． (2)定理1：有三个角是直角的四边形是矩形． (3)定理2：对角线相等的平行四边形是矩形．

四边形的证明与计算

热点四边形的证明与计算（时间：100分钟总分：100分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1．下列命题正确的是（） A ．对角线互相平分的四边形是菱形； B ．对角线互相平分且相等的四边形是菱形 C ．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形； D ．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形. 2．平行四边形ABCD 中，∠A 、∠B 、∠C 、∠D 四个角的度数比可能是（） A ．1：2：3：4 B ．2：3：2：3 C ．2：2：3：3 D ．1：2：2：3 3．如果菱形的边长是a ，一个内角是60°，那么菱形较短的对角线长等于（） A ． 12a B a C ．a D 4．用形状、大小完全相同的图形不能进行密铺的是（） A ．任意三角形 B ．任意四边形 C ．正五边形 D ．正四边形 5．已知一个等腰梯形的下底与上底之差等于一腰长，?则这个等腰梯形中的较小的角的度数为（） A ．30° B ．60° C ．45° D ．75° 6．已知四边形ABCD 中，在①AB ∥CD ；②AD=BC ；③AB=CD ；④∠A=∠C 四个条件中，不能推出四边形ABCD 是平行四边形的条件是（）． A ．①② B ．①③ C ．①④ D ．②③ 7．如图1，ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，如果AC=12，BD=10，则AB 的长m?取值范围是（） A ．1

(完整)初中数学经典四边形习题50道(附答案)

经典四边形习题 50道（附答案） 1．已知：在矩形ABCD 中，A E ⊥BD 于E ， ∠DAE=3∠BAE ，求：∠EAC 的度数。 2．已知：直角梯形ABCD 中，BC=CD=a 且∠BCD=60度，E 、F 分别为梯形的腰AB 、 DC 的中点，求：EF 的长。 3、已知：在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ， AD=BC ，E 、F 分别为AD 、BC 的中点，BD 平分∠ABC 交EF 于G ，EG=18，GF=10 求：等腰梯形ABCD 的周长。 4、已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，以AD ， AC 为邻边作平行四边形ACED ，DC 延长线交BE 于F ，求证：F 是BE 的中点。 5、已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AC ⊥CB ， AC 平分∠A ，又∠B=60度，梯形的周长是 20cm, 求：AB 的长。 6、从平行四边形四边形ABCD 的各顶点作对角线的垂线AE 、BF 、CG 、DH ，垂足分别是E 、F 、G 、H ，求证：EF ∥GH 。 7、已知：梯形ABCD 的对角线的交点为E _ D _ C _B _ C _ A _ B _ A _ B _ E _A _ B

若在平行边的一边BC 的延长线上取一点F ，使S ABC ?=S EBF ?，求证：DF ∥AC 。 8、在正方形ABCD 中，直线EF 平行于对角线AC ，与边AB 、BC 的交点为E 、F ，在DA 的延长线上取一点G ，使AG=AD ，若EG 与DF 的交点为H ，求证：AH 与正方形的边长相等。 9、若以直角三角形ABC 的边AB 为边，在三角形ABC 的外部作正方形ABDE ， AF 是BC 边的高，延长FA 使AG=BC ，求证：BG=CD 。 10、正方形ABCD ，E 、F 分别是AB 、AD 延长线上的一点，且AE=AF=AC ，EF 交BC 于G ，交AC 于K ，交CD 于H ，求证：EG=GC=CH=HF 。 11、在正方形ABCD 的对角线BD 上，取BE=AB ，若过E 作BD 的垂线EF 交CD 于F ，求证：CF=ED 。 12、平行四边形ABCD 中，∠A 、∠D 的平分线相交于E ，AE 、 DE 与DC 、AB 延长线交于G 、F ，求证：AD=DG=GF=FA 。 13、在正方形ABCD 的边CD 上任取一点E ， _B _ C _B _ F _ B _ C _ F _ C _ D _ B _ F _ F _ G _ B _A _ E

四边形讲义

四边形（一）多边形 1.多边形：一般地，由n 条线段首尾顺次相接组成的平面图形称为n 边形，又称为多边形。 2.对角线：联结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。 3.正多边形：像正方形这样，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。 4.定理： n 边形的内角和为_(n-2)180°,外角和为_360°. 例：如果一个多边形的每个内角都相等，它的一个外角等于一个内角的三分之二，这个多变性是几边形？解：设这个多边形的边数为n.有多边形的内角和与外角和定理，得出这个多边形的一个内角=（n-2）*180°/n, 一个外角=360°/n. 由已知，得360°/n=2/3*[(n-2)*180°]/n 解得n=5 （二）平行四边形 1.概念平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。正方形：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。正方形、矩形、菱形和平行四边形四者之间关系 2.平行四边形、菱形、矩形、正方形的有关性质图形边角对角线平行四边形对边平行且相等对角相等对角线互相平分菱形对边平行，四条边相等对角相等两对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角矩形对边平行且相等四个角都是直角对角线互相平分且相等正方形对边平行、四条边都相等四个角都是直角两条对角线互相平分、垂直、相等，每一条对角线平分一组对角对角线相等对角线互相垂直有一个角是直角一组邻边相等平行四边形矩形菱形正方形

2.判断一个四边形是正方形可以有以下几种思路： ① 先判定四边形是菱形，再确定这个菱形有一个角是直角 ② 先判定四边形是矩形，再确定这个矩形有一组邻边相等 ③ 先判定四边形是平行四边形，再确定这个平行四边形有一个角是直角，并且有一组邻边相等 ④ 判定一个四边形是对角线相等，并且互相垂直平分 8.特殊四边形的判定 1．四边形的内角和与外角和定理：（1）四边形的内角和等于360°；（2）四边形的外角和等于360°. 2．多边形的内角和与外角和定理：（1）n 边形的内角和等于(n-2)180°；（2）任意多边形的外角和等于360°. 3．平行四边形的性质：因为ABCD 是平行四边形?????? ????. 54321）邻角互补（）对角线互相平分；（）两组对角分别相等；（）两组对边分别相等；（）两组对边分别平行；（ 4.平行四边形的判定：是平行四边形）对角线互相平分（）一组对边平行且相等（）两组对角分别相等（）两组对边分别相等（）两组对边分别平行（ABCD 54321??? ? ? ? ? ?? . A B C D 12 34 A B D O C A B D O C

四边形的性质及证明

儒洋教育学科教师辅导讲义教学目标综合运用平行四边形、特殊的平行四边形和三角形的有关知识进行四边形或多边形的有关证明重点、难点考点及考试要求教学容：一、多边形多边形的角和：多边形角和等于0 180)2n (- 多边形的外角和：多边形外角和等于360 过n 边形的一个顶点共有(n －3）条对角线，n 边形共有2 ) 3(-n n 条对角线．过n 边形的一个顶点将n 边形分成(n －2)个三角形．二、平行四边形 1．平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，平行四边形的定义要抓住两点，即“四边形”和“两组对边分别平行”． 2.两条平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做两条平行线间的距离．两条平行线间的距离是一个定值，不随垂线段位置改变而改变，两条平行线间的距离处处相等． 3．平行四边形的性质：文字表达：①平行四边形的两组对边分别平行； ②平行四边形的两组对边分别相等； ③平行四边形的两组对角分别相等； ④平行四边形的对角线互相平分．符号语言表达：四边形ABCD 是平行四边形 O D

4．平行四边形的判定：文字表达： ①两组对边分别平行的四边形是平行四边形．②两组对边分别相等的四边形是平行四边形． ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．④两组对角分别相等的四边形是平行四边形． ⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言表达： AB∥CD，BC∥AD?四边形ABCD是平行四边形 AB=CD，BC=AD?四边形ABCD是平行四边形． AB平行且相等CD或BC平行且相等AD?四边形ABCD是平行四边形． OA=OC，OB=OD?四边形ABCD是平行四边形． ∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB?四边形ABCD是平行四边形．三、矩形、菱形、正方形 1、菱形的性质：①菱形的四条边都相等．②菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角．③ 具有平行四边形所有性质． 2．菱形的判定：①对角线互相垂直的平行四边形是菱形．②一组邻边相等的平行四边形是菱形． ③四条边都相等的四边形是菱形． 3．矩形的性质：①矩形的四个角都是直角．②矩形的对角线相等．③矩形具有平行四边形的所有性质． 4．矩形的判定：①有一个角是直角的平行四边形是矩形．②对角线相等的平行四边形是矩形．③有三个角是直角的四边形是矩形． 5．正方形的性质：①正方形的四个角都是直角，四条边都相等．②正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角． 6．正方形的判定：①有一个角是直角的柳是正方形．②有一组邻边相等的矩形是正方形．③对角线相等的菱形是正方形．④对角线互相垂直的矩形是正方形．四、梯形 1．定义：一组对边平行，另一组对进不平行的四边形叫梯形．两腰相等的梯形叫等腰梯形．一腰和底垂直的梯形叫做直角梯形． 2、等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个角相等;等腰梯形的对角线相等．

四边形经典题型整理

四边形经典题型 1、下列条件中，能确定一个四边形是平行四边形的是（） A、一组对边相等 B、一组对角相等 C、两条对角线相等 D、两条对角线互相平分 2、（2017?温州）四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH．已知AM为Rt△ABM较长直角边，AM=2 EF，则正方形ABCD的面积为（） 2题图3题图 A、12S B、10S C、9S D、8S 3、在探索“尺规三等分角”这个数学名题的过程中，曾利用了如图，该图中，四边形ABCD是矩形，E是BA 延长线上一点，F是CE上一点，∠ACF=∠AFC，∠FAE=∠FEA。若∠ACB=21°，则∠ECD的度数是（） A、7° B、21° C、23° D、24° 4、（2017·嘉兴）一张矩形纸片，已知，，小明按所给图步骤折叠纸片，则线段长为（） A、B、C、D、 5、（2017·嘉兴）如图，在平面直角坐标系中，已知点，．若平移点到点，使以点，，，为顶点的四边形是菱形，则正确的平移方法是（） 5题图6题图 A、向左平移1个单位，再向下平移1个单位 B、向左平移个单位，再向上平移1个单位 C、向右平移个单位，再向上平移1个单位 D、向右平移1个单位，再向上平移1个单位 6、（2017·丽水）如图，在□ABCD中，连结AC，∠ABC=∠CAD=45°，AB=2，则BC的长是（） A、B、2 C、2 D、4

7、下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（） A、AB∥CD，AD∥BC B、AD=BC，AB=CD C、AB∥CD，AD=BC D、∠A=∠C，∠B=∠D 8、如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠CBD=90°，BC=4，BE=ED=3，AC=10，则四边形ABCD的面积为（） 8题图9题图 A、6 B、12 C、20 D、24 9、能判定四边形ABCD是平行四边形的题设是（） A、AD=BC，AB∥CD B、∠A=∠B，∠C=∠D C、AB=BC，AD=DC D、AB∥CD，CD=AB 10、已知四边形ABCD，下列说法正确的是（） A、当AD=BC，AB∥DC时，四边形ABCD是平行四边形 B、当AD=BC，AB=DC时，四边形ABCD是平行四边形 C、当AC=BD，AC平分BD时，四边形ABCD是矩形 D、当AC=BD，AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形 11、四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（） 12题图13题图14题图15题图 A、AB∥DC，AD∥BC B、AB=DC，AD=BC C、AO=CO，BO=DO D、AB∥DC，AD=BC 12、（2017?宁波）如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E在边AB上，BE＝4，过点E作EF∥BC，分别交BD、CD于G、F两点．若M、N分别是DG、CE的中点，则MN的长为（） A、3 B、 C、 D、4 13、（2017·台州）如图，矩形EFGH四个顶点分别在菱形ABCD的四条边上，BE=BF，将△AEH，△CFG分别沿边EH，FG折叠，当重叠部分为菱形且面积是菱形ABCD面积的时，则为（） A、B、2 C、D、4 14、（2017·衢州）如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE 交AD于点F，则DF的长等于（）A、B、C、D、 15、如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD为正方形，点G在对角线BD上，GE⊥CD，GF⊥BC，AD=1500m，小敏行走的路线为B→A→G→E，小聪得行走的路线为B→A→D→E→F.若小敏行走的路程为3100m，则小聪行走的路程为________m.

(完整版)平行四边形复习一对一讲义

八年级下册章末复习---平行四边形一、学习目标复习平行四边形、特殊平行四边形性质与判定，能利用它们进行计算或证明. 二、学习重难点重点：性质与判定的运用；难点：证明过程的书写。三、本章知识结构图 1．平行四边形是特殊的；特殊的平行四边形包括、、。 2．梯形（是否）特殊平行四边形，（是否）特殊四边形。 3．特殊的梯形包括梯形和梯形。 4、本章学过的四边形中，属于轴对称图形的有；属于中心对称图形的有。四、复习过程（一）知识要点1：平行四边形的性质与判定 1.平行四边形的性质：（1）从边看：对边，对边；（2）从角看：对角，邻角；（3）从对角线看：对角线互相；（4）从对称性看：平行四边形是图形。 2、平行四边形的判定：（1）判定1：两组对边分别的四边形是平行四边形。（定义）（2）判定2：两组对边分别的四边形是平行四边形。（3）判定3：一组对边且的四边形是平行四边形。（4）判定4：两组对角分别的四边形是平行四边形。（5）判定5：对角线互相的四边形是平行四边形。【基础练习】 1.已知□ABCD 中，∠B =70°，则∠A =____，∠C =____，∠D =____． 2.已知O 是ABCD 的对角线的交点，AC =38 mm ，BD =24 mm,AD =14 mm ，那么△BOC 的周长等于__ __. 3.如图1，ABCD 中，对角线AC 和BD 交于点O ，若AC =8，BD =6，则边AB 长的取值范围是（）. A.1＜AB ＜7 B.2＜AB ＜14 C.6＜AB ＜8 D.3＜AB ＜4 4.不能判定四边形ABCD 为平行四边形的题设是（） A.AB=CD,AD=BC B.AB CD C.AB=CD,AD ∥BC D.AB ∥CD,AD ∥BC 5.在ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ，AE=4，AF=6，ABCD 的周长为40，则ABCD 的面积是（） A 、36 B 、48 C 、 40 D 、24 【典型例题】例1、若平行四边形ABCD 的周长是20cm,△AOD 的周长比△ABO 的周长大6cm.求AB,AD 的长. F D A O A B C D O A B C D