2015年北京市中考二模朝阳区数学试卷及答案
北京市朝阳区九年级综合练习（二）
数学试卷 2015.6
学校 班级 姓名 考号
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个．．
是符合题意的． 1．某种埃博拉病毒（EBV ）长0.000 000 665nm 左右．将0.000 000 665
用科学记数法表示 应为
A ．0. 665×10-6
B ．6.65×10-7
C ．6.65×10-8
D ．
0. 665×10-9
2
A
B C D 3．在下面的四个几何体中，它们各自的左视图与主视图不相同的是
A B C D
4．如图，在△ABC 中，D 为AB 边上一点，DE ∥BC 交AC 于点E ， 若
2
3
AD DB ，AE =6，则EC 的长为 A . 6 B. 9 C. 15 D. 18
5．在一个不透明的盒子中装有n 个小球，它们除了颜色不同外，其余都相同，其中有4个 白球，每次试验前，将盒子中的小球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中. 大量重复上述试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4，那么可以推算出n 大约是 A . 10 B. 14 C. 16 D. 40
6．某射击
教练对甲、乙两个射击选手的5次成绩（单位：环）进行了统计，如下表 所示：
设甲、乙两人射击成绩的平均数分别为x 甲、x 乙，射击成绩的方差分别为2s 甲、2s 乙，则 下列判断中正确的是
A ．x 甲＜x 乙，2s 甲＞2s 乙
B ．x 甲=x 乙，2s 甲＜2s 乙
C ．x 甲=x 乙，22=s s 甲乙
D ．x 甲=x 乙，2s 甲＞2s 乙
7．一个隧道的横截面如图所示，它的形状是以点O 为圆心， 5为半径的圆的一部分，M 是⊙O 中弦CD 的中点，EM 经过圆心O 交⊙O 于点E ，若CD =6，则隧道的高（ME 的 长）为
A ．4
B ．6
C ．8
D ．9
8．某数学课外活动小组利用一个有进水管与出水管的容器 模拟水池蓄水情况：从某时刻开始，5分钟内只进水不出 水，在随后的10分钟内既进水又出水，每分钟的进水量和 出水量是两个常数．容器内的蓄水量y （单位：L ）与时间x （单位：min ）之间的关系如图所示，则第12分钟容器内的 蓄水量为
A. 22
B. 25
C. 27
D. 28
9. 如图，点M 、N 分别在矩形ABCD 边AD 、BC 上，将 矩形ABCD 沿MN 翻折后点C 恰好与点A 重合，若 此时
BN CN =1
3
,则△AM D′ 的面积与△AMN 的面积的比为 A ．1:3 B ．1:4 C ．1:6 D ．1: 9
10. 如图，矩形ABCD 中，E 为AD 中点，点F 为BC 上的动点（不 与B 、C 重合）．连接EF ，以EF 为直径的圆分别交BE ，CE 于点G 、H . 设BF 的长度为x ，弦FG 与FH 的长度和为y ，则 下列图象中，能表示y 与x 之间的函数关系的图象大致是
A B C D
二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．若分式
1
6
2+-x x 的值为0，则x 的值为 ． 12．分解因式：22312x y - = ．
13．用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径
为 ．
14. 如图，△ABC 中，AB=AC ，AD 是BC 边中线，分别以点A 、C 为圆心，以大于
1
2
AC 长为半径画弧，两弧交点分别为点E 、F ，直线EF 与AD 相交于点O ，若OA =2，则△ABC 外接圆的面积为 ．
(第14题) (第15题)
15．如图，点B 在线段AE 上，∠1=∠2，如果添加一个条件，即可得到△ABC ≌△ABD ，那
么这个条件可以是 (要求：不在图中添加其他辅助线，写出一个条件即可 )． 16．如果一个平行四边形一个内角的平分线分它的一边为1:2的两部分，那么称这样的平
行四边形为“协调平行四边形”，称该边为“协调边”．当“协调边”为3时，它的周长为 ．
三、解答题（本题共30分，每小题5分） 17．已知：如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC=BC ，BE ⊥CE 于点E ，
AD ⊥CE 于点D . 求证：BE=CD ．
18．计算：-2
018cos60(2π??
- ???
．
19．解不等式1221
2333
x x --≥，并把它的解集在数轴上表示出来.
20．已知a b -2(2)(2)4(1)a b b a a -+-+-的值．
21．如图，一次函数y kx b =+()0≠k 的图象与反比例函数 m
y x
=
()0≠m 的图象交于A (-3，1)，B (1，n )两点. （1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）设直线AB 与y 轴交于点C ,若点P 在x 轴上，使
BP =AC ，请直接写出点P 的坐标．
22．列方程或方程组解应用题：
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
23．如图，点F 在□ABCD 的对角线AC 上，过点F 、 B 分别作AB 、
AC 的平行线相交于点E ，连接BF ，∠ABF=∠FBC+∠FCB ． （1）求证：四边形ABEF 是菱形； （2）若BE=5，AD=8，2
1
sin =∠CBE ，求AC 的长.
24．某校为了更好的开展“学校特色体育教育”，从全校八年级的各班分别随机抽取了5名男
生和5名女生，组成了一个容量为60的样本，进行各项体育项目的测试，了解他们的身
体素质情况.下表是整理样本数据，得到的关于每个个体的测试成绩的部分统计表、图:
（说明：40---55分为不合格，55---70分为合格，70---85分为良好，85---100分为优秀） 请根据以上信息，解答下列问题： （1）表中的a = ，b= ；
（2）请根据频数分布表，画出相应的频数分布直方图；
（3）如果该校八年级共有150名学生，根据以上数据，估计该校八年级学生身体素质
良好及以上的人数为 ．
25．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB= AC ，BD 是⊙O
的直径，P A ∥BC ，与DB 的延长线交于点P ，连接AD ． （1）求证：PA 是⊙O 的切线；
（2）若BC =4 ，求AD 的长．
26．阅读下面材料：
小凯遇到这样一个问题：如图1，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，
正正正
正
某校60名学生体育测试成绩 频数分布表
AC =4，BD =6，∠AOB =30°，求四边形ABCD 的面积．
小凯发现，分别过点A 、C 作直线BD 的垂线，垂足分别为点E 、F ，设AO 为m ，通过计算△ABD 与△BCD 的面积和使问题得到解决（如图2）．
请回答：（1）△ABD 的面积为 （用含m 的式子表示）． （2）求四边形ABCD 的面积．
参考小凯思考问题的方法，解决问题：
如图3，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于 点O ，AC =a ，BD =b ，∠AOB =α（0°＜α＜90°），则四边形 ABCD 的面积为 （用含a 、b 、α的式子表示）．
五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 27. 已知：关于x 的一元二次方程22(1)20(0)ax a x a a --+-=>． （1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根分别为1x ，2x （其中1x ＞2x ）．若y 是关于a 的函数，且
21y ax x =+，求这个函数的表达式；
（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：若使231y a ≤-+，则自变量a 的取值范围为 ．
28．数学活动课上，老师提出这样一个问题:如果AB =BC ,∠ABC =60°,∠APC =30°,连接
PB ，那么P A 、PB 、PC 之间会有怎样的等量关系呢？
图1 图2
图3
经过思考后，部分同学进行了如下的交流：
小蕾：我将图形进行了特殊化，让点P 在BA 延长线上（如图1），得到了一个猜想: P A 2+PC 2=PB 2 .
小东：我假设点P 在∠ABC 的内部，根据题目条件，这个图形具有“共端点等线段”的特点，可以利用旋转解决问题，旋转△P AB 后得到△P′C B ,并且可推出△PBP′ ,△PCP ′ 分别是等边三角形、直角三角形，就能得到猜想和证明方法. 这时老师对同学们说，请大家完成以下问题： （1）如图2，点P 在∠ABC 的内部，
①P A =4，PC
=PB= .
②用等式表示P A 、PB 、PC 之间的数量关系，并证明.
（2）对于点P 的其他位置，是否始终具有②中的结论？若是，请证明；若不是，请举例
说明.
29.如图，顶点为A （－4,4）的二次函数图象经过原点（0,0），点P 在该图象上，OP 交其对称轴l 于点M ，点M 、N 关于点A 对称，连接PN ，ON . （1）求该二次函数的表达式； （2）若点P 的坐标是（－6,3），求△OPN 的面积； （3）当点P 在对称轴l 左侧的二次函数图象上运动时，
请解答下面问题：
① 求证：∠PNM ＝∠ONM ；
② 若△OPN 为直角三角形，请直接写出所有符合 条件的点P 的坐标.
草稿纸
图1
图2
北京市朝阳区九年级综合练习（二）
数学试卷答案及评分参考 2015.6
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
二、填空题 （本题共18分，每小题3分） 11. 3
12. )2)(2(3y x y x -+
13. 2
14. π4
15. 答案不惟一，例如D C ∠=∠ 16. 8或10（写出一个正确结果给1分）
三、解答题（本题共30分，每小题5分） 17. 证明：∵BE ⊥CE ，AD ⊥CE ，
∴∠BEC=∠CDA ＝90°. ………………………1分 ∴∠EBC ＋∠ECB ＝90°.
又∵∠DCA ＋∠ECB ＝90°，
∴∠EBC=∠DCA . ………………………………2分 又∵BC=AC ，……………………………………3分
∴△BEC ≌△CDA . ………………………………………………………………4分 ∴BE ＝CD . ………………………………………………………………………5分
18. 解：原式 ＝12
1
8324-?
-+. ………………………………………………………4分 ＝132-. ……………………………………………………………………5分
19. 解：2443-≥-x x .……………………………………………………………………1分
4243+-≥-x x .……………………………………………………………………2分
2≥-x . …………………………………………………………………………3分
解得2-≤x . ………………………………………………………………………4分
…………………………5分
20. 解：)1(4)2()2(2
-+-+-a a b b a
＝442442
2
-+-++-a ab b a a . ……………………………………………3分 ＝ab b a 22
2
-+
＝2
)(b a -.……………………………………………………………………………4分 ∵2=-b a ，
∴原式＝2)2(2=. ………………………………………………………………5分
21. 解：（1）把A (-3，1)代入，有3
1-=
m
， 解得3-=m .
∴反比例函数的表达式为x
y 3
-=. ……………………………………1分 当1=x 时，31
3
-=-
=y . ∴B （1，－3）. …………………………………………………………2分 把A (-3，1)，B （1，－3）代入b kx y +=，有
?
?
?+=-+-=b k b
k 331， 解得???-=-=2
1b k .
∴一次函数的表达式为2--=x y . ……………………………………3分 （2）（4，0）或（－2，0）. ……………………………………………………5分
22. 解：设小白家这两年用水的年平均下降率为x . …………………………………………1分
由题意，得
12
64000
)1(%3630002=-?x . ………………………………………2分 解得 8.11=x ，2.02=x . ……………………………………………3分 ∵8.1=x 不符合题意，舍去. ………………………………………………4分 ∴%.20=x
答：小白家这两年用水的年平均下降率为%.20 ………………………………5分
四、解答题（本题共20分，每小题5分） 23.（1）证明：∵EF ∥AB ，BE ∥AF ，
∴四边形ABEF 是平行四边形．
∵∠ABF=∠FBC ＋∠FCB ，∠AFB=∠FBC ＋∠FCB ，
∴∠ABF=∠AFB ． …………………………………………………………………1分 ∴AB ＝AF .
∴□ABEF 是菱形． ………………………………………………………………2分 （2）解：作DH ⊥AC 于点H ，
∵
2
1
sin =
∠CBE ， ∴?=∠30CBE . ∵BE ∥AC ， ∴CBE ∠=∠1. ∵AD ∥BC ， ∴12∠=∠.
∴?=∠=∠302CBE .
Rt △ADH 中，
342cos =∠?=AD AH .………………………………………………3分 42sin =∠?=AD DH .
∵四边形ABEF 是菱形， ∴CD= AB=BE=5， Rt △CDH 中，
322=-=DH CD CH . ………………………………………………4分
∴334+=+=CH AH AC .…………………………………………5分
24.（1）18，50%. …………………………………………………………………………2分 （2）
…………………………………………4分
（3）120. ………………………………………………………………………………5分
25.（1）证明：连接OA 交BC 于点E ，
由AB =AC 可得OA ⊥BC ．………………………1分 ∵PA ∥BC ， ∴∠PAO =∠BEO =90°. ∵OA 为⊙O 的半径，
∴PA 为⊙O 的切线. …………………………… 2分 （2）解：根据（1）可得CE =
2
1
BC=2． Rt △ACE 中，122=-=CE AC AE . ………………………………3分
∴tan C =
2
1
=CE AE ． ∵BD 是直径，
∴∠BAD =90°．…………………………………………………………4分 又∵∠D =∠C ， ∴AD =
52tan =D
AB
.………………………………………………………5分 26. 解：（1）3
2
m ；……………………………………………………………………………1分
（2）由题意可知∠AEO =90°．
∵ AO = m ，∠AOB =30°， ∴AE =1
2
m ．
∴S △ABD =
m AE BD 2
3
21=?． 同理，CF =1
(4)2
m -．
∴S △BCD =
m CF BD 2
3
621-=?．…………………………………………………2分 ∴S 四边形ABCD = S △ABD ＋S △BCD 6=．…………………………………………………3分
解决问题：αsin 2
1
?ab ．………………………………………………………………5分
五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 27. （1）证明：22(1)20(0)ax a x a a --+-=>是关于x 的一元二次方程，
2[2(1)]4(2)a a a ∴?=---- ·················································································· 1分
=4． 即0?>．
∴方程有两个不相等的实数根． ·········································································· 2分 （2） 解：由求根公式，得2(1)22a x a
-±=
． ∴1x =或21x a
=-
． ······························································································ 3分 0a >，1x ＞2x ，
11x ∴=，221x a
=-
． ···························································································· 4分 211y ax x a ∴=+=-．
即1(0)y a a =->为所求．………………………………………………………5分
（3）0＜a ≤2
3
．…………………………………………………………………………7分
28. （1）①72；……………………………………………………………………………1分
②2
2
2
PB PC PA =+. …………………………………………………………2分
证明：作∠PBP ′＝∠ABC ＝60°，且使BP ′＝BP ，连接P ′C 、P ′P . ……………3分
∴∠1＝∠2. ∵AB ＝CB ，
∴△ABP ≌△CBP ′. …………………………4分 ∴PA ＝P ′C ，∠A ＝∠BCP ′. 在四边形ABCP 中，
∵∠ABC ＝60°，∠APC ＝30°， ∴∠A ＋∠BCP ＝270°.
∴∠BCP ′＋∠BCP ＝270°.
∴∠PCP ′＝360°－(∠BCP ′＋∠BCP )＝90°. ……………………………………5分 ∵△PBP ′是等边三角形. ∴PP ′＝PB .
在Rt △PCP ′中，2
2
2
''P P PC C P =+.……………………………………………6分 ∴22
2
PB PC PA =+.
（2）点P 在其他位置时，不是始终具有②中猜想的结论，举例： 如图，当点P 在CB 的延长线上时，
结论为2
2
2
PC PB PA =+. （说明：答案不惟一）
……………………………………………………………………………………………7分
29.（1）解：设二次函数的表达式为4)4(2++=x a y ， 把点（0,0）代入表达式，解得4
1
-=a . ………………………………………1分 ∴二次函数的表达式为4)4(4
1
2++-
=x y ， 即x x y 24
12
--
=. ……………………………………………………………2分 （2）解：设直线OP 为y kx =，
将P （－6,3）代入y kx =，解得12
k =-， ∴12
y x =-
. 当4-=x 时，2=y .
∴M （－4,2）. ……………………………………………………………………3分 ∵点M 、N 关于点A 对称， ∴N （－4,6）. ∴MN ＝4.
∴12=+=???PMN O MN PO N S S S . ……………………………………………………4分 （3）①证明：设点P 的坐标为)24
1,(2
t t t --
， 其中4- 设直线OP 为x k y '=， 将P )241,(2t t t -- 代入x k y '=，解得 '=k ∴x t y 4 8 +-=. 当4-=x 时，8+=t y . ∴M （－4,8+t ）. ∴AN ＝AM ＝)8(4+-t ＝4--t . 设对称轴l 交x 轴于点B ，作PC ⊥l 于点C ， 则B （－4,0），C )24 1,4(2 t t -- -. ∴OB ＝4，NB ＝)4(4--+t ＝t -，PC ＝-NC ＝)24 1(2 t t t -- --＝t t +241. 则44412 t t t t PC NC -=--+=， 44t t OB NB -=-=. ∴OB NB PC NC =. 又∵∠NCP ＝∠NBO ＝90°， ∴△NCP ∽△NBO . ∴∠PNM ＝∠ONM . …………………………………………………………………6分 ② （4,244---）. ………………………………………………………………8分 其他正确解法，请参考标准给分.