二维抛物线方程数值解法(ADI隐式交替法)方法
ADI隐式交替法三种解法及误差分析（一般的教材上只说第一种）
理论部分参看孙志忠：偏微分方程数值解法
注意：
1.最好不要直接看程序，中间很多公式很烦人的（一定要小心），我写了两天，终于写对了。
2.中间：例如r*(u(i-1,m1,k)+u(i+1,m1,k))形式写成分形式：r*u(i-1,m1,k)+r*u(i+1,m1,k)后面会出错，我也不是很清楚为什么，可能由于舍入误差，或者大数吃掉小数的影响。
3.下面有三个程序
4.具体理论看书，先仔细看书（孙志忠：偏微分方程数值解法）或者网上搜一些理论。
Matlab程序：
1.function [u u0 p e x y t]=ADI1(h1,h2,m1,m2,n)
%ADI解二维抛物线型偏微分方程(P-R交替隐式，截断)
%此程序用的是追赶法解线性方程组
%h1为空间步长，h2为时间步长
%m1,m2分别为x方向，y方向网格数，n为时间网格数
%p为精确解，u为数值解,e为误差
%定义u0(i,j,k)=u(i,j,k+1/2),因为矩阵中，i,j,k必须全为整数
x=(0:m1)*h1+0;%定义x0,y0,t0是为了f(x,t)~=0的情况%
y=(0:m2)*h1+0;
t=(0:n)*h2+0; t0=(0:n)*h2+1/2*h2;
for k=1:n+1
for i=1:m2+1
for j=1:m1+1
f(i,j,k)=-1.5*exp(0.5*(x(j)+y(i))-t0(k));
end
end
end
for i=1:m2+1
for j=1:m1+1
u(i,j,1)=exp(0.5*(x(j)+y(i)));
end
end
for k=1:n+1
for i=1:m2+1
u(i,[1 m1+1],k)=[exp(0.5*y(i)-t(k)) exp(0.5*(1+y(i))-t(k))]; u0(i,[1 m1+1],k)=[exp(0.5*y(i)-t0(k)) exp(0.5*(1+y(i))-t0(k))] ;
end
end
for k=1:n+1
for j=1:m1+1
u([1 m2+1],j,k)=[exp(0.5*x(j)-t(k)) exp(0.5*(1+x(j))-t(k))]; u0([1 m2+1],j,k)=[exp(0.5*x(j)-t0(k)) exp(0.5*(1+x(j))-t0(k))];
end
end
r=h2/(h1*h1);r1=2*(1-r);r2=2*(1+r);
for k=1:n %外循环，先固定每一时间层，每一时间层上解一线性方程组% for i=2:m2
a=-r*ones(1,m1-1);
c=a;a(1)=0;c(m1-1)=0;
b=r2*ones(1,m1-1);
d(1)=r*u0(i,1,k)+r*(u(i-1,2,k)+u(i+1,2,k))+r1*u(i,2,k)+...
h2*f(i,2,k);
for l=2:m1-2
d(l)=r*(u(i-1,l+1,k)+u(i+1,l+1,k))+r1*u(i,l+1,k)+...
h2*f(i,l+1,k);
%输入部分系数矩阵，为0的矩阵元素不输入%一定要注意输入元素的正确性
end
d(m1-1)=r*u0(i,m1+1,k)+r*(u(i-1,m1,k)+u(i+1,m1,k))...
+r1*u(i,m1,k)+h2*f(i,m1,k);
for l=1:m1-2 %开始解线性方程组消元过程
a(l+1)=-a(l+1)/b(l);
b(l+1)=b(l+1)+a(l+1)*c(l);
d(l+1)=d(l+1)+a(l+1)*d(l);
end
u0(i,m1,k)=d(m1-1)/b(m1-1); %回代过程%
for l=m1-2:-1:1
u0(i,l+1,k)=(d(l)-c(l)*u0(i,l+2,k))/b(l);
end
end
for j=2:m1
a=-r*ones(1,m2-1);
c=a;a(1)=0;c(m2-1)=0;
b=r2*ones(1,m2-1);
d(1)=r*u(1,j,k+1)+r*(u0(2,j-1,k)+u0(2,j+1,k))+r1*u0(2,j,k)+...
h2*f(2,j,k);
for l=2:m2-2
d(l)=r*(u0(l+1,j-1,k)+u0(l+1,j+1,k))+r1*u0(l+1,j,k)+... h2*f(l+1,j,k);
%输入部分系数矩阵，为0的矩阵元素不输入%一定要注意输入元素的正确性
end
d(m2-1)=r*u(m2+1,j,k+1)+r*(u0(m2,j-1,k)+u0(m2,j+1,k))...
+r1*u0(m2,j,k)+h2*f(m2,j,k);
for l=1:m2-2 %开始解线性方程组消元过程
a(l+1)=-a(l+1)/b(l);
b(l+1)=b(l+1)+a(l+1)*c(l);
d(l+1)=d(l+1)+a(l+1)*d(l);
end
u(m2,j,k+1)=d(m2-1)/b(m2-1); %回代过程%
for l=m2-2:-1:1
u(l+1,j,k+1)=(d(l)-c(l)*u(l+2,j,k+1))/b(l);
end
end
end
for k=1:n+1
for i=1:m2+1
for j=1:m1+1
p(i,j,k)=exp(0.5*(x(j)+y(i))-t(k)); %p为精确解
e(i,j,k)=abs(u(i,j,k)-p(i,j,k)); %e为误差end
end
end
2.function [u p e x y t]=ADI2(h1,h2,m1,m2,n)
%ADI解二维抛物线型偏微分方程(D'Yakonov交替方向隐格式)
%此程序用的是追赶法解线性方程组
%h1为空间步长，h2为时间步长
%m1,m2分别为x方向，y方向网格数，n为时间网格数
%p为精确解，u为数值解,e为误差
%定义u0(i,j,k)=u'(i,j,k)(引入的过渡层),因为矩阵中，i,j,k必须全为整数x=(0:m1)*h1+0;
y=(0:m2)*h1+0;
t=(0:n)*h2+0;t0=(0:n)*h2+1/2*h2;%定义t0是为了f(x,y,t)~=0的情况% for k=1:n+1
for i=1:m2+1
for j=1:m1+1
f(i,j,k)=-1.5*exp(0.5*(x(j)+y(i))-t0(k));
%编程时-t0(k)写成了+t0(k),导致错误;
end
end
end
%初始条件
for i=1:m2+1
for j=1:m1+1
u(i,j,1)=exp(0.5*(x(j)+y(i)));
end
end
%边界条件
for k=1:n+1
for i=1:m2+1
u(i,[1 m1+1],k)=[exp(0.5*y(i)-t(k)) exp(0.5*(1+y(i))-t(k))];
end
end
r=h2/(h1*h1);r4=1+r;r5=r/2;
for k=1:n
for i=2:m2
u0(i,[1 m1+1],k)=r4*u(i,[1 m1+1],k+1)-r5*(u(i-1,[1 m1+1],... k+1)+u(i+1,[1 m1+1],k+1));
end
end
for k=1:n+1
for j=1:m1+1
u([1 m2+1],j,k)=[exp(0.5*x(j)-t(k)) exp(0.5*(1+x(j))-t(k))];
end
end
r1=r-r*r;r2=2*(r-1)*(r-1);r3=r*r/2;
for k=1:n %外循环，先固定每一时间层，每一时间层上解一线性方程组% for i=2:m2
a=-r*ones(1,m1-1);
c=a;a(1)=0;c(m1-1)=0;
b=2*r4*ones(1,m1-1);
d(1)=r*u0(i,1,k)+r1*(u(i-1,2,k)+u(i,1,k)+u(i+1,2,k)+...
u(i,3,k))+r2*u(i,2,k)+r3*(u(i-1,1,k)+...
u(i+1,1,k)+u(i-1,3,k)+u(i+1,3,k))+2*h2*f(i,2,k);
for l=2:m1-2
d(l)=r1*(u(i-1,l+1,k)+u(i,l,k)+u(i+1,l+1,k)+...
u(i,l+2,k))+r2*u(i,l+1,k)+r3*(u(i-1,l,k)+...
u(i+1,l,k)+u(i-1,l+2,k)+u(i+1,l+2,k))+2*h2*f(i,l+1,k);
%输入部分系数矩阵，为0的矩阵元素不输入%一定要注意输入元素的正确性
end
d(m1-1)=r*u0(i,m1+1,k)+r1*(u(i-1,m1,k)+u(i,m1-1,k)+...
u(i+1,m1,k)+u(i,m1+1,k))+r2*u(i,m1,k)+...
r3*(u(i-1,m1-1,k)+...
u(i+1,m1-1,k)+u(i-1,m1+1,k)+u(i+1,m1+1,k))+2*h2*f(i,m1,k);
for l=1:m1-2 %开始解线性方程组消元过程
a(l+1)=-a(l+1)/b(l);
b(l+1)=b(l+1)+a(l+1)*c(l);
d(l+1)=d(l+1)+a(l+1)*d(l);
end
%回代过程%
u0(i,m1,k)=d(m1-1)/b(m1-1);
for l=m1-2:-1:1
u0(i,l+1,k)=(d(l)-c(l)*u0(i,l+2,k))/b(l);
end
end
for j=2:m1
a=-r*ones(1,m2-1);
c=a;a(1)=0;c(m2-1)=0;
b=2*r4*ones(1,m2-1);
d(1)=r*u(1,j,k+1)+2*u0(2,j,k);
for l=2:m2-2
d(l)=2*u0(l+1,j,k);
%输入部分系数矩阵，为0的矩阵元素不输入%一定要注意输入元素的正确性
end
d(m2-1)=2*u0(m2,j,k)+r*u(m2+1,j,k+1);
for l=1:m2-2 %开始解线性方程组消元过程
a(l+1)=-a(l+1)/b(l);
b(l+1)=b(l+1)+a(l+1)*c(l);
d(l+1)=d(l+1)+a(l+1)*d(l);
end
u(m2,j,k+1)=d(m2-1)/b(m2-1); %回代过程%
for l=m2-2:-1:1
u(l+1,j,k+1)=(d(l)-c(l)*u(l+2,j,k+1))/b(l);
end
end
end
for k=1:n+1
for i=1:m2+1
for j=1:m1+1
p(i,j,k)=exp(0.5*(x(j)+y(i))-t(k)); %p为精确解
e(i,j,k)=abs(u(i,j,k)-p(i,j,k)); %e为误差end
end
end
3.function [u u0 p e x y t]=ADI5(h1,h2,m1,m2,n)
%ADI解二维抛物线型偏微分方程(P-R交替隐式，未截断)
%此程序用的是追赶法解线性方程组
%h1为空间步长，h2为时间步长
%m1,m2分别为x方向，y方向网格数，n为时间网格数
%p为精确解，u为数值解,e为误差
%定义u0(i,j,k)=u(i,j,k+1/2),因为矩阵中，i,j,k必须全为整数
x=(0:m1)*h1+0;%定义x0,y0,t0是为了f(x,t)~=0的情况%
y=(0:m2)*h1+0;
t=(0:n)*h2+0; t0=(0:n)*h2+1/2*h2;
for k=1:n+1
for i=1:m2+1
for j=1:m1+1
f(i,j,k)=-1.5*exp(0.5*(x(j)+y(i))-t0(k));
end
end
end
for i=1:m2+1
for j=1:m1+1
u(i,j,1)=exp(0.5*(x(j)+y(i)));
end
end
for k=1:n+1
for i=1:m2+1
u(i,[1 m1+1],k)=[exp(0.5*y(i)-t(k)) exp(0.5*(1+y(i))-t(k))]; u1(i,[1 m1+1],k)=[exp(0.5*y(i)-t0(k)) exp(0.5*(1+y(i))-t0(k))] ;
end
end
r=h2/(h1*h1);r1=2*(1-r);r2=r/4;r3=2*(1+r);
for k=1:n
for i=2:m2
u0(i,[1 m1+1],k)=u1(i,[1 m1+1],k)-r2*(u(i-1,[1 m1+1],k+1)-...
2*u(i,[1 m1+1],k+1)+u(i+1,[1 m1+1],k+1)-u(i-1,[1 m1+1],k)+...
2*u(i,[1 m1+1],k)-u(i+1,[1 m1+1],k));
end
end
for k=1:n+1
for j=1:m1+1
u([1 m2+1],j,k)=[exp(0.5*x(j)-t(k)) exp(0.5*(1+x(j))-t(k))];
end
end
for k=1:n %外循环，先固定每一时间层，每一时间层上解一线性方程组%
for i=2:m2
a=-r*ones(1,m1-1);
c=a;a(1)=0;c(m1-1)=0;
b=r3*ones(1,m1-1);
d(1)=r*u0(i,1,k)+r*(u(i-1,2,k)+u(i+1,2,k))+r1*u(i,2,k)+... h2*f(i,2,k);
for l=2:m1-2
d(l)=r*(u(i-1,l+1,k)+u(i+1,l+1,k))+r1*u(i,l+1,k)+...
h2*f(i,l+1,k);
%输入部分系数矩阵，为0的矩阵元素不输入%一定要注意输入元素的正确性
end
d(m1-1)=r*u0(i,m1+1,k)+r*(u(i-1,m1,k)+u(i+1,m1,k))...
+r1*u(i,m1,k)+h2*f(i,m1,k);
for l=1:m1-2 %开始解线性方程组消元过程
a(l+1)=-a(l+1)/b(l);
b(l+1)=b(l+1)+a(l+1)*c(l);
d(l+1)=d(l+1)+a(l+1)*d(l);
end
u0(i,m1,k)=d(m1-1)/b(m1-1); %回代过程%
for l=m1-2:-1:1
u0(i,l+1,k)=(d(l)-c(l)*u0(i,l+2,k))/b(l);
end
end
for j=2:m1
a=-r*ones(1,m2-1);
c=a;a(1)=0;c(m2-1)=0;
b=r3*ones(1,m2-1);
d(1)=r*u(1,j,k+1)+r*(u0(2,j-1,k)+u0(2,j+1,k))+r1*u0(2,j,k)+...
h2*f(2,j,k);
for l=2:m2-2
d(l)=r*(u0(l+1,j-1,k)+u0(l+1,j+1,k))+r1*u0(l+1,j,k)+... h2*f(l+1,j,k);
%输入部分系数矩阵，为0的矩阵元素不输入%一定要注意输入元素的正确性
end
d(m2-1)=r*u(m2+1,j,k+1)+r*(u0(m2,j-1,k)+u0(m2,j+1,k))...
+r1*u0(m2,j,k)+h2*f(m2,j,k);
for l=1:m2-2 %开始解线性方程组消元过程
a(l+1)=-a(l+1)/b(l);
b(l+1)=b(l+1)+a(l+1)*c(l);
d(l+1)=d(l+1)+a(l+1)*d(l);
end
u(m2,j,k+1)=d(m2-1)/b(m2-1); %回代过程%
for l=m2-2:-1:1
u(l+1,j,k+1)=(d(l)-c(l)*u(l+2,j,k+1))/b(l);
end
end
end
for k=1:n+1
for i=1:m2+1
for j=1:m1+1
p(i,j,k)=exp(0.5*(x(j)+y(i))-t(k)); %p为精确解 e(i,j,k)=abs(u(i,j,k)-p(i,j,k)); %e为误差end
end
end
[up e x y t]=ADI2(0.01,0.001,100,100,1000);surf(x,y,e(:,:,1001)) t=1的误差曲面
下面是三种方法的误差比较：
1.[u u0 p e x y t]=ADI1(0.1,0.1,10,10,10)((P-R交替隐式，截断)截断中间过渡层用u(i,j,k+1/2）代替）（t=1时的误差）
2.[u u0 p e x y t]=ADI5(0.1,0.1,10,10,10)(P-R交替隐式，未截断)
(未截断过渡层u(i,j,)’=u(i,j,k+1/2)-h2^2/4*dy^2dtu(i,j,k+1/2);)
3.[u p e x y t]=ADI2(0.1,0.1,10,10,10)(D'Yakonov交替方向隐格式) surf(x,y,e(:,:,11))(表示t=1时的误差）
下面是相关数据：
1: [u u0 p e x y t]=ADI1(0.1,0.1,10,10,10)((P-R交替隐式，截断)
截断中间过渡层用u(i,j,k+1/2)代替）
e(:,:,11) =
Columns 1 through 6
0 0 0 0 0 0
0 0.00040947 0.00025182 0.00019077 0.00017112 0.00017604
0 0.00057359 0.00042971 0.00035402 0.00032565 0.00033628
0 0.00066236 0.00054689 0.00047408 0.00044596 0.00046267
0 0.00072152 0.00062001 0.00055081 0.00052442 0.00054553
0 0.00076164 0.0006576 0.00058522 0.00055732 0.00057984
0 0.00078336 0.00065993 0.00057557 0.00054161 0.00056209
0 0.00078161 0.00061872 0.00051646 0.00047429 0.00048964
0 0.00073621 0.0005148 0.00039979 0.00035439 0.00036313
0 0.00056964 0.00031688 0.00022051 0.0001884 0.00019192
0 0 0 0 0 0
2.[u u0 p e x y t]=ADI5(0.1,0.1,10,10,10)(P-R交替隐式，未截断)
(未截断过渡层u(i,j,)’=u(i,j,k+1/2)-h2^2/4*dy^2dtu(i,j,k+1/2);)
e(:,:,11) =
Columns 1 through 6
0 0 0 0 0 0
0 0.00027006 0.00016305 0.00012104 0.0001071 0.00010995
0 0.00037754 0.00027817 0.0002253 0.00020483 0.00021116
0 0.00043539 0.00035386 0.00030207 0.00028124 0.0002914
0 0.00047398 0.00040104 0.00035113 0.00033111 0.00034405
0 0.0005003 0.00042535 0.00037309 0.0003519 0.00036571
0 0.00051479 0.00042699 0.00036681 0.00034164 0.0003541
0 0.00051415 0.00040056 0.00032887 0.0002985 0.00030764
0 0.00048504 0.0003335 0.00025411 0.0002221 0.00022706
0 0.00037609 0.00020532 0.00013956 0.00011718 0.00011902
0 0 0 0 0 0
3.[u p e x y t]=ADI2(0.1,0.1,10,10,10)(D'Yakonov交替方向隐格式)
e(:,:,11) =
Columns 1 through 6
0 0 0 0 0 0
0 8.6469e-006 1.4412e-005 1.8364e-005 2.091e-005 2.2174e-005
0 1.4412e-005 2.4777e-005 3.2047e-005 3.6716e-005 3.8961e-005
0 1.8364e-005 3.2047e-005 4.1789e-005 4.8054e-005 5.1008e-005
0 2.091e-005 3.6716e-005 4.8054e-005 5.5353e-005 5.8764e-005
0 2.2174e-005 3.8961e-005 5.1008e-005 5.8764e-005 6.2389e-005
0 2.2118e-005 3.8698e-005 5.0523e-005 5.8126e-005 6.171e-005
0 2.055e-005 3.5581e-005 4.6157e-005 5.2942e-005 5.6197e-005
0 1.707e-005 2.8951e-005 3.7128e-005 4.2365e-005 4.4952e-005
0 1.0851e-005 1.7698e-005 2.2265e-005 2.5203e-005 2.672e-005
0 0 0 0 0 0
1.[u u0 p e x y t]=ADI1(0.1,0.1,10,10,10)((P-R交替隐式，截断)
截断中间过渡层用u(i,j,k+1/2)代替）
Columns 7 through 11
0 0 0 0 0
0.00020348 0.00026228 0.00038338 0.00066008 0
0.00038607 0.00048321 0.00064717 0.00091668 0
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0.00022735 0.00030946 0.00049004 0.00092402 0
0 0 0 0 0
2.[u u0 p e x y t]=ADI5(0.1,0.1,10,10,10)(P-R交替隐式，未截断)
(未截断过渡层u(i,j,)’=u(i,j,k+1/2)-h2^2/4*dy^2dtu(i,j,k+1/2);)
Columns 7 through 11
0 0 0 0 0
0.00012826 0.00016798 0.00024986 0.00043637 0
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0 0 0 0 0 3.[u p e x y t]=ADI2(0.1,0.1,10,10,10)(D'Yakonov交替方向隐格式) Columns 7 through 11
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2.2118e-005 2.055e-005 1.707e-005 1.0851e-005 0
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(整理)二维波动方程第一类吸收边界条件c++实现代码.
精品文档 #include "stdafx.h" #include 用计算器解方程的方法 高中时发现一个用计算器来解方程的方法，前一阵用到计算器就想起来了，习惯性地谷歌之、百度之，居然没有发现类似的方法，于是就想把它写下来。 说明下对计算器的要求，只要是个带有"Ans"键的计算器就行，一般我们用的都是这种计算器。对于要解的方程，无论是超越方程还是高次方程，基本上都一样。 先来初步尝试一下。如果要解的方程是：exp(x)=-x+3 (注：exp(x) 是表示e的x次方) ，你要按的键就像下面一样： 0 = ln ( - Ans + 3 ) = = = = ?? 如你所知，Ans键有保存上一次计算结果的功能，所以第一条语句就是给Ans赋初值的意思，初值要选在解的附近，大概估计下就可以。第二条我没有打错，你在连续按了十几次"=" 后，是不是发现再按的时候屏幕上的数值不变了？这就是方程的解。看起来好像很晕，还是解释解释这样做的原因： 看见上面的图了吗？小赵(高一数学老师)曾经给我们介绍过一种有趣的现象，一般情况下两函数图象在交点附近有这种类似螺旋的收敛特性。灵感正是来自这里。是不是有点眉目了？ 假设上面的图中两个图象分别是y=f(x) 和 y=g(x) ，而我们要解的方程是f(x)=g(x)。为了方便，这里把F(x)和G(x)分别记做f(x)和g(x)的反函数。于是这个方程可以等价变换为 x=F(g(x)) 和x=G(f(x)) 。这两个式子的右半边就是我们要输入计算器然后不断按"="的，当然，输入计算器的时候所有的x都用Ans代替。再看看上面的图，其实这两个式子中，一个的代表顺时针螺旋，另一个代表逆时针螺旋；一个能使螺旋收敛于交点，另一个会使螺旋扩张。不幸滴是，我们不知道哪个式子能使螺旋扩张，哪个能使收敛，所以两个式子都得试试，在我们按了若干次 "=" 后如果屏幕上数值稳定了，就说明这是收敛式，并且这个稳定的值就是解。比如前面的例子，方程可以变成 x=ln(-x+3) 和 x=-exp(x) +3 ，其中-exp(x)+3使值扩散，而ln(-x+3)使值收敛，就想一开始做的那样。 如果这个方程有好几个解呢？那你就使用不同的初值，一般来说，它总会收敛于离初值比较近的那个解。要注意的是，使方程各个解收敛的螺旋方向可能不同，也就是说对于每个解，你还是需要代两个式子。上面说的是理想情况，比如遇到x^5+x^2 = x^4-x+5 这样的方程，总不可能去求两边的反函数吧，累都累死。这时候，提取两边最能体现原本特征的一部分就可以了，比如这里就是x^5 和x^4 ，变换后的式子是 x=5次根号下的(x^4-x+5-x^2) 和 x=4次根号的(x^5+x^2+x-5) 。 最后不得不说，比如x=-x+3 这种情况，这种方法无效。 一、解方程专题 7+=19 X+120=176 58+X=90 X+150=290 79.4+X=95.5 2X+55=129 7 X=63 X× 9=4.5 4.4X=444 X × 4.5=90 X × 5=100 6.2X=124 X-6=19 X-3.3=8.9 X-25.8=95.4 X-54.3=100 X-77=275 X-77=144 X ÷7=9 X÷4.4=10 X÷78=10.5 X÷2.5=100 X÷3=33.3 X÷2.2=8 9-X=4.5 73.2-X=52.5 87-X=22 66-X=32.3 77-X=21.9 99-X=61.9 3.3÷X=0.3 8.8÷X=4.4 9÷X=0.03 7÷X=0.001 56÷X=5 39÷X=3 3×(X-4)=46 (８+X)÷5=15 (X+5) ÷3=16 15÷(X+0.5)=1.5 12X+8X=40 12X-8X=40 12X+X=26 X+ 0.5X=6 X-0.2X=32 1.3X+X=26 3X+5X=48 14X-8X=12 6×5+2X=44 20X-50=50 28+6X=88 32-22X=10 24-3X=3 10X×（5+1）=60 99X=100-X X+3=18 X-6=12 56-2X=20 4X+2=6 X+32=76 3X+6=18 16+8X=40 2X-8=8 4X-3×9=29 8X-3X=105 X-6×5=42 X+5=7 2X+3=10 X-0.8X=6 12X+8X=4.8 7(X-2)=49 4×8+2X=36 (X-2)÷3=7 X÷5+9=21 (200-X)÷5=30 48-27+5X=31 3X-8=16 3X+9=27 5.3+7X=7.4 3X÷5=4.8 抛物线及其标准方程 一、教学目标 1．知识目标：①掌握抛物线的定义、方程及标准方程的推导；②掌握焦点、焦点位置与方程关系；③进一步了解建立坐标系的选择原则. 2. 能力目标：使学生充分认识到“数与形”的联系，体会“数形结合”的思想。 二、教学过程 （一）、复习引入 问题1、 椭圆、双曲线的第二定义如何叙述？其离心率e 的取值范围各是什么？ 平面内，到一个定点F 的距离和一条定直线l 的距离的比是常数e 的轨迹，当0＜e ＜1时是椭圆，当e ＞1时是双曲线。自然引出问题：那么，当1 e 时，轨迹是什么形状的曲线呢? （二）.创设情境 问题2、用制作好的教具实验：三角板ABC 的直角边BC 边上固定一个钉子，一根绳子连接钉子和平面上一个固定点F ，并且使绳子的长度等于钉子到直角顶点C 的距离。用笔尖绷紧绳子，并且使三角板AC 在定直线l 上滑动，问笔尖随之滑动时，在平面上留下什么图形？如何用方程表示该图形？ 设计意图：从实际问题出发，激发学生的求知欲，将问题交给学生，充分发挥学生的聪明才智，体现学生的主体地位，同时引入本节课的内容． 师生活动： (1) 你们如何把这个实际问题抽象成数学问题吗? (2) 学生不一定能正确抽象出来，教师可适当引导：当笔 尖滑动时，笔尖到定点F 的距离等于到定直线l 的距离，在满足这样条件下，笔尖画出的图形。并抽象数学问题： （三）、新课讲授： （1）抛物线定义：平面内，到一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线，F 到直线l 的距离简 称焦准距。 特别提醒：定点F 在定直线l 外。（并假设F 在直线l 上） 小学五年级解方程计算步骤 小学阶段解方程计算题一般有以下几个步骤，大家要认真把这几个步骤记住，看到相关题型就按照下面的方法去做就可以了。 一．移项 所谓移项就是把一个数从等号的一边移到等号的另一边去。注意，加减法移项和乘除法移项不一样，移项规则：当把一个数从等号的一边移到另一边去的时候，要把这个数原来前面的运算符号改成和它相反的运算符号，比如“+”变成“-”，或是“×”变成“÷” 请看例题： 加减法移项： x + 4 = 9 x-8=19 x=9-4 x=19+8 x=5 x=27 乘除法移项： 3x=27 x÷6=8 x=27÷3 x=8×6 x=9 x=48 1.常规题目，第一步，把所有跟未知数不能直接运算的数字，转移到与未知数相反的等号 那一边。比如： 3x - 4 = 8 5x + 9 = 24 3x=8+4 5x=24 - 9 3x=12 5x=15 x=4 x=3 2.第二种情况请记住，当未知数前面出现“－”或是“÷”的时候，要把这两个符号变成 “＋”或是“×”，具体如何改变请看下面例题： 20 – 3x=2 20=2 + 3x -----(注意：也就是前面提过的移项问题，改变符号在方程里面就是移项) 20-2=3x 18=3x x=6 36÷4x = 3 36=3×4x ----(注意：也就是前面提过的移项问题，改变符号在方程里面就是移项) 36=12x x=3 3.未知数在小括号里面的情况，注意，这种情况要分两种，第一种是根据乘法分配律先把 小括号去掉 例如：3(3x+4) = 57 9x + 12=57 9x=57-12 9x=45 x=5 第二种情况就是，要看括号前面的那个数跟等号后面的那个数是否倍数关系，如果是倍数关系，可以互相除一下，当然，用这一种方法的前提就是等号另一边的数只有一个数字，如果有多个，则先要计算成一个。 例如 3(3x+4) = 57 2(4x - 6) = 30+9-3 3x+4 = 57÷3 2(4x-6) = 36 3x+4 = 19 4x – 6=36÷2 3x = 19-4 4x-6=18 3x = 15 4x=18+6 x = 5 4x=24 x=6 4.第四种情况就是未知数在等号的两边都有，这种情况就是要把未知数都移项到一边，把 其它的数字移项到另一边，具体规则，如果两个未知数前面的运算符号不一样，要把未知数前面是“－”的移到“＋”这一边来，如果两个未知数前面的运算符号一样，则要把小一点的未知数移到大一点的未知数那一边去。 例如： 3x +12 = 48 – 6x 3x + 48 = 8 + 5x 3x + 6x = 48-12 48-8 = 5x – 3x 9x = 36 40 = 2x x = 4 x = 20 解方程计算题 2x+8=16 x÷5=10 x+7x=8 9x-3x=6 6x-8=4 5x+x=9 x-8=6x 4÷5x=20 2x-6=12 2x+8=16 x÷5=10 x+7x=8 9x-3x=6 6x-8=4 5x+x=9 x-8=6x 4÷5x=20 2x-6=12 7x+7=14 6x-6=0 5x+6=11 2x-8=10 1÷2x-8=4 x-5÷6=7 3x+7=28 3x-7=26 9x-x=16 24x+x=50 6÷7x-8=4 3x-8=30 6x+6=12 3x-3=1 5x-3x=4 2x+16=19 5x+8=19 14-6x=8 15+6x=27 5-8x=4 7x+8=15 7x+7=14 6x-6=0 5x+6=11 2x-8=10 2x-8=4 x-5÷6=7 3x+7=28 3x-7=26 9x-x=16 24x+x=50 6÷7x-8=4 3x-8=30 6x+6=12 3x-3=1 5x-3x=4 2x+16=19 5x+8=19 14-6x=8 15+6x=27 5-8x=4 7x+8=15 9-2x=1 4+5x=9 10-x=8 8x+9=17 9+6x=14 x+9x=4+7 2x+9=17 8-4x=6 6x-7=12 7x-9=8 x-56=1 8-7x=1 x-30=12 6x-21=21 6x-3=6 9x=18 4x-18=13 5x+9=11 6-2x=11 x+4+8=23 7x-12=8 = 15 5X-2X=18 ×2= x 26×= 2x ×16―16×=4x －X= ÷X=0. 3 X÷= x＋13＝33 3 － 5x＝80 6x＝5 4 －＝ 9 ＋4x ＝40 －＋＝ －＝ 12 －4x＝20 1/3 x＋5/6 x＝ 12 x＋34 x=1 18x－14 x= 12 抛物线的标准方程及性质2018/11/25 题型一、抛物线的标准方程： 例题： 1、 顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线过点(－2,3)，则它的方程是 _______ 2、 已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，其上的点)3,(-m P 到焦点的距离为5，则抛物线方程为 3、 以抛物线y 2＝2px (p >0)的焦半径|PF |为直径的圆与y 轴的位置关系为 4、 点M 与点F (4,0)的距离比它到直线:50x +=的距离小1,则点M 的轨迹方程是 _______ 5、 抛物线x y =2上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为 _______ 练习： 1、 抛物线的顶点在原点,对称轴是x 轴,点(－到焦点距离是6,则抛物线的方程为 _______ 2、 顶点在原点，以坐标轴为对称轴，且焦点在直线3x-4y =12上的抛物线方程是 _______ 3、 已知圆07622=--+x y x ，与抛物线)0(22>=p px y 的准线相切，则=p ________ 4、 若点A 的坐标是（3，2），F 为抛物线y 2=2x 的焦点，点M 在抛物线上移动时，使|MA |+|MF |取最小值的M 的坐标为 _______ 题型二、抛物线性质： 例题： 1、 抛物线x y 122=截直线12+=x y 所得弦长等于 2、 抛物线y 2＝4x 与直线2x ＋y －4＝0交于两点A 与B ，F 是抛物线的焦点，则|FA |＋|FB |＝________ 3、 如果过两点)0,(a A 和),0(a B 的直线与抛物线322 --=x x y 没有交点，那么实数a 的取值范围是 4、 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x 轴，且与圆x 2+y 2=4相交的公共弦长等于23，则这抛物线的方程是 练习： 1、 过A （－1，1），且与抛物线22y x =+有一个公共点的直线方程为 2、 边长为1的等边三角形AOB ，O 为原点，AB ⊥x 轴，则以O 为顶点，且过A 、B 的抛物线方程是________ 3、 若直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点，与抛物线交于A ，B 两点，且线段AB 中点的横坐标为2，则线段AB 的长 4、 过点Q (4,1)的抛物线y 2＝8x 的弦AB 恰被点Q 平分，则AB 所在直线方程是 题型三、抛物线的应用 例题： 1、 已知圆2290x y x +-=与顶点原点O ，焦点在x 轴上的抛物线交于A 、B 两点，△AOB 的垂心恰为抛物线的焦点，求抛物线C 的方程。 告实验报学生 偏微分方程数值解实验课程名称 开课实验室数统学院 信计02班专业班院数统年级2013 学 学号姓学生名 学年第2016 2 学期开课时间2015 至 总成绩 教师签名 数学与统计学院制 开课学院、实验室：数统学院实验时间2016年6月20日： kkjikkk1kk?1k?kkk u??2uuu?2u?2u?uu?u ,j?,iji,,ijj1ij?1,i,ij,jii?1,jj,?1i??（2）?????kk?1k21kkkk2）3（uu???u??u?ruuu?24r 222?hh整理得到： j,ij,i1?j,i1?j,ij1,?ij1,?ij,i ????，差分格式为：kkkk（4）,140?0,k?0,1,u?u?u?u N0,0,N0,N,0N 考虑初始条件y?sinsinuxx,y,0 ????????0????（5）,10usin?sin0,1,xjsinjh?y,?sini,ih jjii,2??????，利用二阶差商近似：考虑初始条件0,1?,y,0,?0,yuxx t1?1u?u j,jii,?0,i,j?0,1,,10（6）?2设时刻的点为内点，则满足差分格式（2），代入上式得到：0k? ????002211?000（7）u?uu?u4?ur??u2?r?u j,iii,,jj?j?i1?1,j1i,?1,jjii,11?uu?代入（将（6）得到的结果7）中，整理得到：ji,ji,1????01202000）（8?u?1??u2rru?uu?u j,j?1i,1,jjii,j?1?i1,j,ii?2 8）得到三层显格式的差分格式为：（4）、（5）、（综上（2）、??????1kk2kkk2kk?1u?u???uu4?urr?2u?u i,ij?1,,ii,,jj?1i?1,jji?1,jji?i,j?1,2,,9,k?1,2,,139??kkkk?u?u?u?u,1 40?0,k?0,1,（9）N0,N,0NN0,0,? ????????0?????,i,jih?u?sinsinx0,1,sin,10jhy?sin jji,i? 1?????02102000,10?0,1,uu,?ui?1?2ru?,ruj?u? ?1j?1i,ijii?,j1,j,j?ii,j?1,?2? ??22?0.1?r?其中，局部截断误差为ho?。h 四．实验环境（所用软件、硬件等）及实验数据文件 Matlab %二维波动方程数值计算（关键：怎么运用i,j,k三个指标建立循环） clc; %可以将代码换成函数m文件 h=0.1;tau=0.1*h;%定义步长 r=tau/h;%网比 空间网格剖分[x,y,t]=meshgrid(0:h:1,0:h:1,0:tau:1.4);%． 学习资料[文档副标题] [日期] 世纪金榜 [公司地址] 抛物线及其标准方程 （45分钟 100分） 一、选择题(每小题6分,共30分) 1.(2013·大理高二检测)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2),则它的标准方程为 ( ) A.y2=8x B.y2=-8x C.x2=8y D.x2=-8y 2.如果抛物线y2=ax的准线是直线x=1,那么它的焦点坐标为( ) A.(1,0) B.(2,0) C.(3,0) D.(-1,0) 3.(2013·遵义高二检测)以坐标轴为对称轴,以原点为顶点且过圆x2+y2-2x+ 6y+9=0的圆心的抛物线的方程是( ) A.y=3x2或y=-3x2 B.y=3x2 C.y2=-9x或y=3x2 D.y=-3x2或y2=9x 4.抛物线y2=12x上与焦点的距离等于8的点的横坐标是( ) A.5 B.4 C.3 D.2 5.(2013·汝阳高二检测)一个动圆的圆心在抛物线y2=8x上,且动圆恒与直线x+2=0相切,则动圆必过定点( ) A.(0,2) B.(0,-2) C.(2,0) D.(4,0) 二、填空题(每小题8分,共24分) 6.(2013·安阳高二检测)抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是. 7.已知抛物线y2=2px的准线与圆(x-3)2+y2=16相切,则p的值为. 8.(2012·陕西高考)如图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降1米后,水面宽米. 三、解答题(9题,10题14分,11题18分) 9.(2013·宜春高二检测)已知抛物线的顶点在原点,它的准线过-=1的左焦点,而且与x轴垂直,又抛物线与此双曲线交于点(,),求抛物线和双曲线的方程. 10.平面上动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1,求动点P的轨迹方程. 11.(能力挑战题)已知抛物线的方程为x2=8y,F是焦点,点A(-2,4),在此抛物线上求一点P,使|PF|+|PA|的值最小. 答案解析 1.【解析】选D.由条件可知,抛物线的焦点在y轴负半轴上,且=2,∴p=4,所以它的标准方程为x2=-8y. 【举一反三】把题中条件改为“准线方程为x=-7”,它的标准方程如何? 波动方程或称波方程（英语：wave equation）是一种重要的偏微分方程，主要描述自然界中的各种的波动现象，包括横波和纵波，例如声波、光波和水波。波动方程抽象自声学，电磁学，和流体力学等领域。 历史上许多科学家，如达朗贝尔、欧拉、丹尼尔·伯努利和拉格朗日等在研究乐器等物体中的弦振动问题时，都对波动方程理论作出过重要贡献。 波动方程是双曲形偏微分方程的最典型代表，其最简形式可表示为：关于位置x 和时间t 的标量函数u（代表各点偏离平衡位置的距离）满足： 这里c通常是一个固定常数，代表波的传播速率。在常压、20°C的空气中c为343米/秒（参见音速）。在弦振动问题中，c 依不同弦的密度大小和轴向张力不同可能相差非常大。而在半环螺旋弹簧（一种玩具，英文商标为 Slinky）上，波速可以慢到1米/秒。 在针对实际问题的波动方程中，一般都将波速表示成可随波的频率变化的量，这种处理对应真实物理世界中的色散现象。此时，c 应该用波的相速度代替： 实际问题中对标准波动方程的另一修正是考虑波速随振幅的变化，修正后的方程变成下面的非线性波动方程： 另需注意的是物体中的波可能是叠加在其他运动（譬如介质的平动，以气流中传播的声波为例）上的。这种情况下，标量u 的表达式将包含一个马赫因子（对沿流动方向传播的波为正，对反射波为负）。 三维波动方程描述了波在均匀各向同性弹性体中的传播。绝大多数固体都是弹性体，所以波动方程对地球内部的地震波和用于检测固体材料中缺陷的超声波的传播能给出满意的描述。在只考虑线性行为时，三维波动方程的形式比前面更为复杂，它必须同时考虑固体中的纵波和横波: 式中： 和被称为弹性体的拉梅常数（也叫“拉梅模量”，英文Lamé constants 或 Lamémoduli），是描述各向同性固体弹性性质的参数； 表示密度； 是源函数（即外界施加的激振力）； 表示位移； 注意在上述方程中，激振力和位移都是矢量，所以该方程也被称为矢量形式的波动方程。其他形式的波动方程还能在量子力学和广义相对论理论中用到。 标量形式的一维波动方程 [编辑]波动方程的推导 一维波动方程可用如下的方式推导：一列质量为m的小质点，相邻质点间用长度h的弹簧连接。弹簧的弹性系数（又称“倔强系数”）为k： ` 课时作业(十二) [学业水平层次] 一、选择题 1．(2014·广东省茂名)准线与x 轴垂直，且经过点(1，－2)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝－2x B ．y 2＝2x C ．x 2＝2y D ．x 2＝－2y 【解析】 本题考查抛物线标准方程的求法．由题意可设抛物线的标准方程为y 2＝ax ，则(－2)2＝a ，解得a ＝2，因此抛物线的标准方程为y 2＝2x ，故选B. 【答案】 B ; 2．(2014·人大附中高二月考)以双曲线x 216－y 2 9 ＝1的右顶点为焦 点的抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝16x B ．y 2＝－16x C ．y 2＝8x D ．y 2＝－8x 【解析】 因为双曲线x 216－y 2 9＝1的右顶点为(4,0)，即抛物线的 焦点坐标为(4,0)，所以抛物线的标准方程为y 2＝16x . 【答案】 A 3．已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为2， 且右焦点与抛物线y 2＝43x 的焦点重合，则该双曲线的离心率等于 ( ) C ．2 D ．23 | 【解析】 抛物线的焦点为(3，0)，即c ＝ 3.双曲线的渐近 线方程为y ＝b a x ，由b a ＝2，即 b ＝2a ，所以b 2＝2a 2＝ c 2－a 2，所以 c 2＝3a 2，即e 2＝3，e ＝3，即离心率为 3. 【答案】 B 4．抛物线y 2＝12x 的准线与双曲线y 23－x 2 9＝－1的两条渐近线所 围成的三角形的面积为( ) A ．3 3 B ．2 3 C ．2 【解析】 本题主要考查抛物线和双曲线的基本量和三角形面积的计算．抛物线y 2＝12x 的准线为x ＝－3，双曲线的两条渐近线为y ＝± 3 3 x ，它们所围成的三角形为边长为23的正三角形，所以面积为33，故选A. 【答案】 A 二、填空题 5．(2014·绵阳高二月考)抛物线y 2＝2x 上的两点A 、B 到焦点的距离之和是5，则线段AB 的中点到y 轴的距离是________． · 【解析】 抛物线y 2 ＝2x 的焦点为F ? ?? ??12，0，准线方程为x ＝－12， 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则|AF |＋|BF |＝x 1＋12＋x 2＋1 2＝5，解得x 1 ＋x 2＝4，故线段AB 的中点横坐标为2.故线段AB 的中点到y 轴的距离是2. 小学四年级解方程的方法详解 方程：含有未知数的等式叫做方程。如4x-3=21，6x-2(2x-3)=20 方程的解：使方程成立的未知数的值叫做方程的解。如上式解得x=6 解方程：求方程的解的过程叫做解方程。 解方程的依据：方程就是一架天平，―=‖两边是平衡的，一样重！ 1. 等式性质：（1）等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立； （2）等式两边同时乘以或除以同一个非零的数，等式仍然成立。 2. 加减乘除法的变形： (1) 加法：a + b = 和则 a = 和－b b = 和－a 例：4+5=9 则有：4=9-5 5=9-4 (2) 减法：被减数a –减数b = 差则： 被减数a = 差＋减数b 被减数a－差= 减数b 例：12-4=8则有：12=8+4 12-8=4 (3) 乘法：乘数a ×乘数b = 积则： 乘数a = 积÷乘数b 乘数b= 积÷乘数a 例：3×7=21则有：3=21÷7 7=21÷3 (4) 除法：被除数a ÷除数b = 商则： 被除数a= 商×除数b 除数b=被除数a ÷商例：63÷7=9 则有：63=9×7 7=63÷9 解方程的步骤： 1、去括号：（1）运用乘法分配律；（2）括号前边是―－‖，去掉括号要变号；括号前边是―＋‖，去掉括号不变号。 2、移项：法1——运用等式性质，两边同加或同减，同乘或同除；法2——符号过墙魔法，越过―=‖时，加减号互变，乘除号互变。 注意两点：（1）总是移小的；（2）带未知数的放一边，常数值放另一边。 3、合并同类项：未知数的系数合并；常数加减计算。 4、系数化为1：利用同乘或同除，使未知数的系数化为1。 课时作业(十二) [学业水平层次] 一、选择题 1．(2014·广东省茂名)准线与x 轴垂直，且经过点(1，－2)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝－2x B ．y 2＝2x C ．x 2＝2y D ．x 2＝－2y 【解析】 本题考查抛物线标准方程的求法．由题意可设抛物线的标准方程为y 2＝ax ，则(－2)2＝a ，解得a ＝2，因此抛物线的标准方程为y 2＝2x ，故选B. 【答案】 B 2．(2014·人大附中高二月考)以双曲线x 216－y 2 9＝1的右顶点为焦 点的抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝16x B ．y 2＝－16x C ．y 2＝8x D ．y 2＝－8x 【解析】 因为双曲线x 216－y 2 9＝1的右顶点为(4,0)，即抛物线的 焦点坐标为(4,0)，所以抛物线的标准方程为y 2＝16x . 【答案】 A 3．已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为2， 且右焦点与抛物线y 2＝43x 的焦点重合，则该双曲线的离心率等于 ( ) A. 2 B. 3 C ．2 D ．23 【解析】 抛物线的焦点为(3，0)，即c ＝ 3.双曲线的渐近线方程为y ＝b a x ，由b a ＝2，即b ＝2a ，所以b 2＝2a 2＝c 2－a 2，所以 c 2＝3a 2，即e 2＝3，e ＝3，即离心率为 3. 【答案】 B 4．抛物线y 2 ＝12x 的准线与双曲线y 23－x 2 9＝－1的两条渐近线所 围成的三角形的面积为( ) A ．3 3 B ．2 3 C ．2 D.3 【解析】 本题主要考查抛物线和双曲线的基本量和三角形面积的计算．抛物线y 2＝12x 的准线为x ＝－3，双曲线的两条渐近线为y ＝±3 3x ，它们所围成的三角形为边长为23的正三角形，所以面积 为33，故选A. 【答案】 A 二、填空题 5．(2014·绵阳高二月考)抛物线y 2＝2x 上的两点A 、B 到焦点的距离之和是5，则线段AB 的中点到y 轴的距离是________． 【解析】 抛物线y 2 ＝2x 的焦点为F ? ?? ??12，0，准线方程为x ＝－1 2， 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则|AF |＋|BF |＝x 1＋12＋x 2＋1 2＝5，解得x 1 ＋x 2＝4，故线段AB 的中点横坐标为2.故线段AB 的中点到y 轴的距离是2. 【答案】 2 6．对标准形式的抛物线，给出下列条件： 抛物线的标准方程及性质 一、抛物线定义 平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.其中定点F 叫做抛物线的焦点,定直线l 叫做抛物线的准线 想一想: 定义中的定点与定直线有何位置关系? 点F 不在直线L 上,即过点F 做直线垂直于l 于F ，|FK|=P 则P>0 求抛物线的方程 解：设取过焦点F 且垂直于准线l 的直线为x 轴，线段KF 的中垂线y 轴设︱KF ︱= p 则F （ 0,2p ），l ：x = -2 p 。 设抛物线上任意一点M （X ，Y ）定义可知 |MF|=|MN| 即：2 )2(22p x y P x +=+- 化简得y 2 = 2px （p ＞0） 二、标准方程 把方程y 2 = 2px （p ＞0）叫做抛物线的标准方程，其中F （ 2P ，0），l ：x = - 2 P 而p 的几何意义是: 焦 点 到 准 线 的 距 离|FK| 一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其它形式. 1．四种抛物线的标准方程对比 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 ) 0(22>=p px y ?? ? ??0,2p 2 p x - = ) 0(22>-=p px y ?? ? ??-0,2p 2 p x = ) 0(22>=p py x ? ?? ? ?2,0p 2 p y - = ) 0(22>-=p py x ??? ? ? -2,0p 2 p y = 2、怎样把抛物线位置特征（标准位置）和方程的特点（标准方程）统一起来？ 顶点在原点 三、抛物线的性质 设抛物线的标准方程y 2=2px (p ＞0)，则 （1）范围：抛物线上的点(x ,y )的横坐标x 的取值范围是x ≥0.,在轴右侧抛物线向右上方和右下方无限延伸。 （2）对称性：这个抛物线关于轴对称，抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点. （3）顶点：抛物线和它的交点叫做抛物线的顶点，这个抛物线的顶点是坐标原点。 （4）离心率：抛物线上的点与焦点的距离和它的准线的距离的比叫做抛物线的离心率，其值为1. （5）在抛物线y 2＝2px （p ＞0）中，通过焦点而垂直于x 轴的直线与抛物线两交点的坐标分 别为),2 (),,2(p p p p -，连结这两点的线段叫做抛物线的通径，它的长为2p . （6）平行于抛物线轴的直线与抛物线只有一个交点. 但它不是双曲线的切线. （7）焦点弦长公式：过焦点弦长121222 p p PQ x x x x p =+++=++ 四、例题讲解 例1.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程 (1)y 2=6x （2）y x 2 1 2 =（3）2x 2+5y=0 解：（1）因为2p=6，p=3，所以焦点坐标是（ 23，0）准线方程是x=-2 3 （2）因为2p=21，p=41，所以焦点坐标是（0，8 1 ），准线方程是Y=-81 《数值计算方法》实验报告 实验名称：实验1 非线性方程的简单迭代法和Steffensen 迭代法 实验题目：分别用简单迭代法和Steffensen 迭代法求方程 010423=-+x x 在 [1, 2] 内的一个实根. 实验目的：理解并掌握简单迭代法和Steffensen 迭代法 基础理论：简单迭代法和Steffensen 迭代法 1）.简单迭代法的原理：将一元非线性方程：0)(=x f 改写成等价方程：)(x x ρ= ，对此，从某个初始值x0开始，对应式)(x x ρ= 构成迭代公式 ,...1,0),(1==+k x x k k ρ ，这样就可以确定序列 {}k x （k=0，1，2…）。如果 {}k x 有极限 *lim x x k k =∞→ ，由式 ,...1,0),(1==+k x x k k ρ 两边取极限可得 )(**x x ρ= ，可知 * x 为方程0)(=x f 的近似解。 2）Steffensen 迭代法的原理： 通过把改进的Aitken 方法应用于根据不动点迭代所得到的线性收敛序列，将收敛速度加速到二阶。 ()???? ?????+---===+k k k k k k k k k k k x y z x y x x y z x y 2) ()(21ρρ []x x x x x x x +---=)(2)(()()(2ρρρρψ 实验环境：操作系统：Windows 7； 实验平台：Turbo C++ 实验过程：写出算法→编写程序→调试运行程序→计算结果 1）简单迭代法的算法： Input:初始近似值x0,精度要求del,最大迭代次数N Output:近似解x 或失败信息 1. n ←1 2. While n ≤N do; 3. x ←f(x0); 4. if | x-x0| 抛物线的标准方程 主备：陆卫杰审核：李晓峰 【学习目标】 1、掌握抛物线中的定义和标准方程及其推导过程，理解抛物线中的基本量； 2、能够熟练画出抛物线的草图，进一步提高学生“应用数学”的水平；【学习过程】 一、复习旧知： 1、回顾椭圆和双曲线的定义： 二、学习新知： 1、抛物线定义： 2、推导抛物线方程 三、讲解范例： 例1：已知抛物线的标准方程是（1）212y x =，（2）212y x =，（3）y=ax 2(a ）0≠ 求它的焦点坐标和准线方程 （1）y 2＝8x （2）x 2＝4y （3）2y 2＋3x ＝0 （4）26 1x y -= （5）x 2=ay(a 0≠) 例2 :求满足下列条件的抛物线的标准方程： （1）焦点坐标是F （－5，0） （2）焦点在直线4x-3y-12=0上 （3）经过点A （2，－3） （1）焦点是F （－2，0） （2）准线方程是3 =y （3）焦点到准线的距离是4，焦点在y 轴上 （4）经过点A （6，－2） 例3；某河上有座抛物线形拱桥,当水面距拱顶5m 时,水面宽为8m ,一木船宽4m ,高2m , 载货后木船露在水面的部分高为34 m ,问水面上涨到与拱顶相距多少时,木船开始不能通航? 课后作业： 班级 姓名 1、（1）y 2=-x 焦点坐标 准线方程 （2）x 2=8y 焦点坐标 准线方程 (3) y 2=ax(a>0) 焦点坐标 准线方程 (4)2y 2+7x=0焦点坐标 准线方程 2、如果抛物线y 2=ax 的准线是直线x =-1，那么它的焦点坐标为 3、抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4,则点A 与抛物线焦点的距离为______ 4、抛物线y=ax 2的准线方程是y=2，则a= 5、求适合下列条件的抛物线的标准方程 （1）焦点坐标为（6,0） （2）焦点坐标为（0，-5） （3）准线方程为3 2=y （4）较低啊到准线的距离为5 （5）经过点（1，-2） 6、求以直线2x-3y+6=0与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程 山西大学计算机与信息技术学院 实验报告 姓名学号专业班级 课程名称计算方法实验实验日期 成绩指导老师批改日期 实验名称实验三解线性方程组的迭代法 一、实验目的： 用雅可比和高斯—赛德尔迭代法解线性方程组A x=b，式中A为非奇异实矩阵。在给定迭代初值的情况下，进行迭代，直到满足精度要求。 二、实验方法 (1)雅可比迭代法设系数矩阵A为非奇异矩阵，且a ij0≠ ，（i=1,2,3，......，n），从第i个方程中解出 x i ， 得其等价形式： ) ( 1 ,1 x a a x i n i j j ij ii i b∑ ≠ = - = ，取初始向量 ) ,...., , , ()0( )0( 3 )0( 2 )0( 1 )0(x x x x x n = ，可建立相应的 迭代公式： ) ( 1)( ,1 )1 (b x a a x i k j n i j j ij ij k i + - =∑ ≠ = + (2)高斯—赛德尔迭代法 每计算出一个新的分量便立即用它取代对应的旧分量进行迭代，可能收敛更快，据此思想课构造高斯 —赛德尔迭代法，其迭代公式为 ) ,...., 2,0 (), ( 11 11 ) ( )1 ( )1 (n i b x a x a a x j i j n i j k j ij k j ij ij k i = + - - =∑∑ - =+ = + + 三、实验内容 求使|| x x k k) ( )1 (- + ||20001 .0 ≤的近视解及相应的迭代次数。初值选为向量b。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - - - - - - - - - - - - - 6 2 5 2 5 4 1 1 1 4 1 1 1 4 1 1 1 1 4 1 1 1 4 1 1 1 4 6 5 4 3 2 1 x x x x x x 四、实验程序 雅可比迭代法代码：#include"stdio.h" #include"math.h" #define n 6 #define Nmax 100 如何解初中出现的几种方程 一 、一元一次方程解法步骤： 使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。 一般解法： 1.去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数（不含分母的项也要乘）； 2.去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号；(记住如括号外有减号的话一定要变号） 3.移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边；移项要变号 4.合并同类项：把方程化成ax=b(a ≠0)的形式； 5.系数为成1：在方程两边都除以未知数的系数a ，得到方程的解x=b/a. 一元一次方程具体解题例题： 例1小船在静水中速度为12千米每小时，水流速度是3千米每小时。小船先从上游甲点顺流而下到乙点，又从乙点逆流而上到丙点（丙在甲的上游），两段行程共花费2小时，已知甲丙相距10千米，求甲乙相距多远？】 分析： 本题关键句为两段行程共花费2小时，就是甲->乙，乙->丙两段时间和是2小时。 上游 >>-------------->>-------->> 下游 丙 10 千米 甲 ? 乙 顺水船速=静水船速+水流速度...........船从甲到乙的速度是（12+3）千米每小时 逆水船速=静水船速- 水流速度......... 船从乙到丙的速度是（12-3）千米每小时 解：设甲乙相距距离为x 由题意得到这个方程 ： 23 1210312=-+++x x 看看如何解这个方程，我们套用上面的步骤， 1.去分母2.去括号3.移项4.合并同类项5.系数为成1。这个方程应该先整理方程，在去分母，但是去分母之后没有括号，则这一步省略，然后移项，再合并同类项，最后系数化为1，所以说我们不要生搬硬套解一元一次方程的解法，该省则省，要灵活变通，活学活用。 23 1210312=-+++x x （整理方程） 拋物线及其标准方程 一、教学内容分析 《抛物线及其标准方程》是全日制普通高级中学教科书（必修）数学第二册（上）第八章《圆锥曲线》第三节第一课时内容。本节在教材中的地位和作用：在初中阶段，抛物线为学生学习二次函数y ax2 bx c提供直观的图象感觉；在高中阶段，它在一元二次不等式的解法、求最大（小）值等方面有着重要的作用。但学生并不清楚这种曲线的本质，随着学生数学知识的逐渐完备，尤其是学习了椭圆、双曲线的第二定义之后，已具备了探讨这个问题的能力。从本章来讲，这一节放在椭圆和双曲线之后，一方面是三种圆锥曲线统一定义的需要，拋物线是离心率e 1的特例；另一方面也是解析几何“用方程研究曲线”这一基本思想的再次强化。本节对拋物线定义的研究，与初中阶段二次函数的图象遥相呼应，体现了数学的和谐之美。教材的这种安排，是为了分散难点，符合认知的渐进性原则。 二、学生学习情况分析 我校是省一级达标学校，有优越的多媒体设备，学生的数学基础较好，有强烈的求知欲，具备一定的分析、观察等能力。在此之前，学生已经熟练掌握二次函数图象、椭圆、双曲线的第二定义与求轨迹方程等内容，迫切想了解抛物线的本质特征。但是在动手操作与合作学习等方面，发展不均衡，有待加强。 三、设计思想 为了培养不仅能“学会”知识，而且能“会学”知识的人才以及根据我校提出的“创设情景、激发情感、主动发现、主动发展”的教学模式，在课堂设计上，教师应学会如何创设情景，激发学生学习的兴趣；围绕教材的重难点，比如本节的“拋物线的标准方程及其推导”和“拋物线概念的形成” ，教师应学会如何设计不同的活动环节，设置由浅入深、环环相扣的问题，通过教师适时的引导，通过生生间、师生间的交流互动，通过学生自己的发现、分析、探究、反思，使学生真正成为学习的主人，不断完善自己的知识体系，提高获取知识的能力，尝试合作学习的快乐，体验成功的喜悦。 四、教学目标1．理解拋物线的定义，掌握拋物线的标准方程及其推导。明确拋物线标准方程中p 的几何意义，能解决简单的求拋物线标准方程问题。普通计算器用计算器解方程的方法
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