虹口一对一补习班恒高教育寒假班一次函数的概念与图像(学生版)

1、 一次函数的概念

（1） 一般地，解析式形如y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的函数叫做一次函

数（linear function ）；

（2） 一次函数y kx b =+的定义域是一切实数；

（3） 当0b =时，解析式y kx b =+就成为y kx =（k 是常数，且0k ≠）这时，y

是x 的正比例函数，所以，正比例函数是一次函数的特例；

（4） 一般地，我们把函数y c =（c 为常数）叫做常值函数（constant function ）．它

的自变量由所讨论的问题确定．

一次函数 知识结构

知识精讲

模块一：一次函数的概念及解析式的确定

一次函数的概念与图像 一次函数的概念以及函数解析式的确定

一次函数的图像画法及图像位置

一次函数与几何图形简单结合

【例1】下列函数中，哪些是一次函数，并指出各个函数的定义域？

（1）1

2y x =

； （2）2y x =-+； （3）2(21)y x x =-+ （4）5

y x

=；

（5）2y x x =-；

（4）()()y ax bx a a b =-+≠

【难度】★

【例2】根据变量x ，y 的关系式，判断下列函数是什么函数？

（1）1y x -=; （2）2xy =-； （3）33(1)x y +=+

【难度】★

【例3】已知一个一次函数，当自变量3x =时，函数值为1y =-；当2x =时，8y =．求

这个函数的解析式． 【难度】★

【例4】已知一次函数1()13f x x =

-，（1）求(9)f -，3()2

f ； （2）如果()1f a =，求实数a 的值．

【难度】★

例题解析

【例5】已知一次函数3y x b =+的图像经过(6,0)，求出b 的值． 【难度】★

【例6】已知一次函数y kx b =+的图像经过(2,0)、(0,2)-，求出k

b -的值． 【难度】★★

【例7】求出下列一次函数与坐标轴的交点．

（1）33y x =-； （2）24y x =-+； （3）323y x =-

【难度】★★

【例8】已知一次函数的解析式是(3)y a x a =-+（其中a 是常数），那么y 是x 的一次函

数吗？如果不是，那么是什么函数？ 【难度】★★

【例9】两个变量x 与y 的关系式是21

(2)2a y a x a -=--，当y 是关于x 的一次函数，那么函数是否经过(3,5)？(1,1)--呢？ 【难度】★★

1、 一次函数的图像：

一般地，一次函数y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的图像是一条直线．一

次函数y kx b =+的图像也称为直线y kx b =+，这时，我们把一次函数的解析式

y kx b =+称为这一直线的表达式．

画一次函数y kx b =+的图像时，只需描出图像上的两个点，然后过这两点作一条

直线．

2、 一次函数的截距：

一条直线与y 轴的交点的纵坐标叫做这条直线在y 轴上的截距，简称直线的截距， 一般地，直线y kx b =+（0k ≠）与y 轴的交点坐标(0,)b ．直线y kx b =+（0k ≠）的截距是b ．

3、 一次函数图像的平移：

一般地，一次函数y kx b =+（0b ≠）的图像可由正比例函数y kx =的图像平移

得到．当0b >时，向上平移b 个单位；当0b <时，向下平移b 个单位．

※一次函数()y k x a b =++（0b ≠）的图像可由函数y kx b =+的图像平移 得到．当0a >时，向左平移a 个单位；当0a <时，向右平移a 个单位． （函数平移口诀简记为：“上加下减，左加右减”） （※部分为拓展内容，非教材内容） 4、 直线位置关系：

如果12b b ≠，那么直线1y kx b =+与直线2y kx b =+平行．

反过来，如果直线11y k x b =+与直线22y k x b =+平行，那么12k k =，12b b ≠．

知识精讲

师生总结

1、函数51S t =+、3h n =是不是一次函数？

2、你学过哪些实际问题中含有一次函数关系的，请举例。如S=vt

模块二：一次函数的图像画法及图像位置

【例1】在下面平面直角坐标系xOy中，利用描点法画一次函数（1）

1

2

y x

=-；

（2）

11

22

y x

=-；并根据所画的图像求出两个函数交点坐标．

【难度】★

y

x O

【例2】先求出一次函数

3

9

4

y x

=-与

3

9

4

y x

=-+函数图像与坐标轴的交点坐标，然后再

根据交点坐标在坐标轴画出图像．

（有能力的同学可以证明这两个函数与x轴所形成的夹角相等）【难度】★★

y

x

O

例题解析

【例3】写出下列直线的截距：

（1）34y x =-；

（2）1

2

32

y x =-；

（3）333y x a =-+；

（4）32(1)y x -=+．

【难度】★

【例4】在同一直角坐标系中画出直线2

43

y x =

-与直线23y x =的图像，并判断这两条直

线之间的位置关系．

【难度】★

y

x

O

【例5】某一次函数解析式向下平移5个单位可得1

3

y x =-+

，（1）求该一次函数解析式；（2）求把原来一次函数向上平移3个单位后得到的解析式．

【例6】根据下列条件，求解相应的直线表达式．

（1） 直线经过(3,2)以及(1,1)-；

（2） 直线经过(7,0)以及截距是14； （3） 直线经过(2,1)-以及截距是2-；

（4） 直线经过(3,0)-以及截距是2-．

【难度】★★

【例7】已知直线y kx b =+经过点(1,2)A -和1(,3)2

B ，求这条直线的截距． 【难度】★★

【例8】根据已知条件求出一次函数解析式：

（1） 与直线3y x =-平行，且截距2016-;

（2） 经过(1,1)-，且与直线21y x =--; （3） 与直线2

13

y x =-

-平行，且与x 轴交点离原点相距为1． 【难度】★★

【例9】已知一次函数1y x =-+的图像向右平移3个单位后可得解析式为____________． 【难度】★★

【例10】某函数解析式通过向左平移1个单位，再向上平移4个单位可得直线

2y x =-+，求该函数解析式，并求出其截距．

【难度】★★★

1、一次函数y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）与x 轴交点坐标为(,0)b

k

-

，与y 轴交点坐标为(0,)b ，当0b ≠时，一次函数与坐标轴围成的三角形为直角三角形，且其面积公

式为2

2b S k

?=．

【例1】根据下列函数解析式，判断其是否能与坐标轴围成三角形，如果能，请求出该三角

形的面积．

（1）21y x =-；

（2）2y x =--； （3）1

2

y x =

； （4）2

13y x =

+； （5）1

2

22

y x =-． 【难度】★★

【例2】已知直线3y x b =+与坐标轴围成的三角形面积为18，求b 的值． 【难度】★★

例题解析

知识精讲

【例3】已知：一个正比例函数和一个一次函数的图像交于点(2,2)P -且一次函数的图像与

y 轴的交点Q 的纵坐标为4，（1）求这两个函数的解析式；（2）在同一坐标系中，分别画出这两个函数的图像；（3）求△PQO 的面积．

【难度】★★

【例4】求下列两组一次函数的交点坐标：

（1）2y x =-+与31y x =-；

（2）312x y -=

与3

2

y x =-． 【难度】★★

【例5】如图，直线AC 与直线BD 交于点E ，其中点(0,2)A 、点(0,1)B 、点(2,3)C ，

点3(2,)2

D ，求出△AB

E 的面积． 【难度】★★★

y

x

E

B

D

A C O

y

x O

【例6】如图，反比例函数2

y x

=

的图像与一次函数b kx y +=的图像交于点(,2)A m ，点(2,)B n -，一次函数图像与y 轴的交点为C ．

（1）求一次函数解析式； （2）求C 点的坐标； （3）求△AOC 的面积． 【难度】★★★

【习题1】根据下列x 与y 的关系式，判断是否y 是关于x 的一次函数？

（1）32-=+x y ； （2）12-=x xy ； （3）13-=+-y x ；

（4）2016

338.0y

x +

=； （5）x x y 23-=；

（6）b kx y +=．

【难度】★

【习题2】在同一直角坐标系内画出下列一次函数图像：

（1）32y x =-； （2）34y x =+； （3）34y x =-+ 【难度】★

y

x

O

随堂检测

【习题3】已知一次函数23()32f x x =

-，（1）求(1)f -，(3.3)f ；（2）如果5()2

f a =，求实数a 的值；（3）求该一次函数与坐标轴所围成三角形面积．

【难度】★

【习题4】下列说法正确的是（ ）

A ．正比例函数是一次函数

B ．一次函数是正比例函数

C ．正比例函数不是一次函数

D ．不是正比例函数就不是一次函数

【难度】★

【习题5】已知函数2(1)1y k x k =-+-，当k ________时，它是一次函数，当k _______?

时，它是正比例函数． 【难度】★

【习题6】在同一坐标系中，对于函数①1y x =--，②1y x =+，③1y x =-+，④2(1)y x =-+的图象，通过点（-1，0）的是___________，相互平行的是__________，两条函数图像交点在y 轴上的是___________．（填写序号） 【难度】★

【习题7】当m 为何值时，函数2

3(2)(4)m y m x m -=--+-是一次函数． 【难度】★

【习题8】在平面直角坐标系内，若下列直线都经过M 、N 两点，根据不同M 、N 的坐标，

分别求出对应的直线解析式：

（1）(3,1);(2,1)M N -； （2）(2,1);(5,3)M N --； （3）(2,2);(22,0)M N -；（4）( 1.2, 4.5);(2.4,2.7)M N --．

【难度】★

【习题9】已知直线m 与直线21y x =+的交点的横坐标为2，与直线2y x =-+的交点的

纵坐标为1，求直线m 的函数关系式． 【难度】★

【习题10】k 在为何值时，直线2154k x y +=+与直线23k x y =+的交点在第四象限？ 【难度】★★

【习题11】根据下列要求求一次函数解析式：

（1）一次函数经过(2,3)且其与y 轴的截距为-2；

（2）一次函数经过(3,3)-和(2,4)-； （3）一次函数经过原点和(23,6)；

（4）一次函数的截距为-5，且与31y x =--无交点；

（5）一次函数与y x =垂直，且经过(3,6)-；

（6）一次函数经过原点，且其经过(,3)(0)a a a ≠．

【难度】★★

【习题12】求下列一次函数与坐标轴所围成的三角形面积：

（1）13+-=x y ； （2）221

+-

=x y ； （3）23-=x y ；

（4）)23(3

2

--=x y ．

【难度】★★

【习题13】填空：

（1）当k _____________时，()2

323y k x x =-+-是一次函数；

（2）当m _____________时，()21345m y m x

x +=-+-是一次函数； （3）当m _____________时，()21

445m y m x

x +=-+-是一次函数；

【难度】★★

【习题14】一次函数y =(m 2－4)x +(1－m )和y =(m －1)x +m 2－3的图象与y 轴分别交于点P 和

点Q ，若点P 与点Q 关于x 轴对称，则m =______． 【难度】★★

【习题15】如图，△ACB 是边长为6的等边三角形，求（1）A 点的坐标；（2）直线AC 、

AB 的解析式． 【难度】★★

【习题16】如图，已知点(,4)A m ，(1,)B n -在反比例函数x

y 8

=

的图象上，直线AB 与x 轴交于点C ．如果点D 在y 轴上，且DA ＝DC ，求点D 的坐标． 【难度】★★

【习题17】一次函数14y k x =-与正比例函数2y k x =的图象经过点(2,1)-， （1）分别求出这两个函数的表达式；

（2）求这两个函数的图象与y 轴围成的三角形的面积； （3）求这两个函数的图象与x 轴围成的三角形的面积．

【难度】★★★

y

x

O

【习题18】如图，在平面直角坐标系中，有A （0，5），B （5，0），C （0，3），D （3，0）

且AD 与BC 相交于点E ，求△ABE 的面积． 【难度】★★★

y x

E

C A D

B

O

【习题19】如图所示，直线L 1的解析表达式为33y x =-+，且L 1与x 轴交于点D ，直线

L 2经过点A ，B ，直线L 1，L 2交于点C ．

（1）求点D 的坐标； （2）求直线L 2的解析表达式；（3）求△ADC 的面积；

（4）在直线L 2上存在异于点C 的另一点P ，使得△ADP 与△ADC 的面积相等，请直接写出点P 的坐标． 【难度】★★★

y

x

D -1.5

3C

A (4,0)

B

O

【习题20】已知直线3y x =+的图象与x 轴、y 轴交于A ，B 两点，直线l 经过原点，与线

段AB 交于点C ，把△AOB 的面积分为2：1的两部分，求直线l 的解析式． 【难度】★★★

y

x

A

B

O

【作业1】判断下列函数类型，并指出与坐标轴的交点情况： （1）33y x =-；

（2）3

2y x

=

； （3）52x y -=；

（4）3(1)y x =-；

（5）7

22

y x =-； （6）2016y x =．

【难度】★

【作业2】已知1()22f x x =

-，求（1）1

(3),()2

f f ；（2）若()1f a =，求a 的值． 【难度】★

【作业3】在同一坐标系内画出下列一次函数图像：（1）21y x =-；（2）23y x =+； 【难度】★

y

x

O

课后作业

【作业4】一次函数24y x =-+的图象与x 轴交点坐标是__________，与y 轴交点坐标是

__________，与坐标轴围成的三角形面积是___________． 【难度】★

【作业5】函数2

8

(3)m y m x m -=-+是一条倾斜的直线，求m 的值．

【难度】★

【作业6】直线y kx b =+与坐标轴只有一个交点，且其还经过(32,1)+，求k b +的值． 【难度】★★

【作业7】一次函数y kx b =+的截距为-2，且其与坐标轴所围成的三角形面积为1，求该一

次函数的解析式． 【难度】★★

【作业8】求经过下列AB 两点的直线表达式：

（1）(2,0)(0,1)A B - （2）(3,0)(1,2)A B -- （3）(0,0)(2,2)A B -

（4）(3,1)(1,1)A B -

【难度】★★

【作业9】根据下列条件求解相应函数解析式：

（1）直线经过(4,5)且与x 轴无交点；

（2）双曲线经过

(

)

32,32-+；

（3）直线与y 轴截距为3且经过(1,23)．

【难度】★★

【作业10】直线y kx b =+与直线54y x =-平行，且与直线3(6)y x =--相交，交点在y

轴上，求此直线解析式． 【难度】★★

【作业11】把直线32-=x y 先向上平移37个单位，求平移后的函数与坐标轴所围成的

三角形面积． 【难度】★★

【作业12】如图，已知一个正比例函数与一个一次函数的图象交于点A （3,4），B 为一次函

数与y 轴的交点，且OA=OB ．

（1） 求两个函数的解析式；（2）求△AOB 的面积．

【难度】★★

y

x

B

A

O

【作业13】直线与坐标轴所围成的三角形面积为2，且其经过(1,1)，求该一次函数解析式． 【难度】★★★

【作业14】已知平面上四点A （0,0），B （10,0），C （10,6），D （0,6），直线23+-=m mx y 将四边形ABCD 分成面积相等的两部分，则m 的值为______________． 【难度】★★★

【作业15】如图，在一次函数3+-=x y 的图象上取点P ，作P A ⊥x 轴，PB ⊥y 轴;垂足为B ，

且矩形OAPB 的面积为2，则这样的点P 共有多少个？ 求出其点坐标． 【难度】★★★