四边形复习讲义1

【讲义课题】： 四边形复习 【考点及考试要求】

一、学习目标：

1. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念, 了解它们之间的关系。

2. 探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的有关性质和常用判别方法，并能运用这些知识进行有关的证明和计算。 二、重点、难点：

重点：平行四边形的有关特征和识别，几种特殊平行四边形的特征以及它们之间的联系与区别，等腰梯形的特征。

难点：几种特殊平行四边形的联系与区别。

三、考点分析：

考试内容

考试要求

A

B

C 平行四边形 会识别平行四边形

掌握平行四边形的概念、判定

和性质，会用平行四边形的性质和判定解决简单问题 会运用平行四边形的知识解决有关问题 特殊的平行四边形

会识别矩形、菱形、正方形

掌握矩形、菱形、正方形的概

念、判定和性质，会用矩形、菱形、正方形的性质和判定解决简单问题

会运用矩形、菱形、正方形

的知识解决有关问题

梯形 会识别梯形、等腰梯形；了解等腰梯形的性质和判定

掌握梯形的概念，会用等腰梯形的性质和判定解决简单问题

知识梳理

一、几种特殊四边形的关系

四边形

平行四边形

梯形

矩形

菱形

正

方形

直角梯形

等腰梯形

二、平行四边形

1. 性质：

（1）平行四边形的对边相等且平行。 （2）平行四边形的对角相等。 （3）平行四边形的对角线互相平分。

（4）平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心。

2. 判定：

（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

（2）对角线互相平分的四边形是平行四边形。

（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

（4）两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

三、矩形

1. 性质：

（1）矩形的四个角是直角。

（2）矩形的对角线相等且互相平分。

（3）矩形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心。

矩形又是轴对称图形，过每一组对边中点的直线都是矩形的对称轴。

2. 判定：

（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形。

（2）对角线相等的平行四边形是矩形。

（3）有三个角都是直角的四边形是矩形。

四、菱形

1. 性质：

（1）菱形的对角相等。

（2）菱形的四条边相等。

（3）菱形的对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

（4）菱形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心。

菱形又是轴对称图形，两条对角线所在的直线都是它的对称轴。

2. 判定：

（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形。

（2）对角线互相垂直平分的四边形是菱形。

（3）四边都相等的四边形是菱形。

五、正方形

1. 性质：

（1）正方形的四条边相等。

（2）正方形的四个角都是直角。

（3）正方形的对边分别平行。

（4）正方形的对角线互相平分垂直且相等，每条对角线平分每一组对角。

（5）正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心。

正方形又是轴对称图形，两条对角线所在的直线，以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴。

2. 判定：

（1）有一组邻边相等的矩形是正方形。

（2）有一个角是直角的菱形是正方形。

（3）有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。

（4）对角线互相平分垂直且相等的四边形是正方形。

六、等腰梯形

1. 性质：

（1）等腰梯形的两腰相等。

（2）等腰梯形同一底上的两个角相等。

（3）等腰梯形的对角线相等。

（4）等腰梯形是轴对称图形，过两底中点的直线是它的对称轴。

2. 判定：

（1）两腰相等的梯形是等腰梯形。

（2）在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。

（3）对角线相等的梯形是等腰梯形。

知识梳理

知识点一：平行四边形的性质与判定

例1. 如图，BD是□ABCD的对角线，点E、F在BD上，要使四边形AECF是平行四边形，还需要增加的一个条件是______________。

1）题意分析：平行四边形的判定.

解题后的思考：借助平行四边形的性质进行线段或角相等的证明，或利用平行四边形的判定条件确定四边形的形状，是考查的重点。

知识点二：特殊四边形的性质与判定

例2.如图，已知AD平分∠BAC，DE∥AC，DF∥AB，AE=5。

（1）判断四边形AEDF的形状?

（2）它的周长是多少?

1）题意分析：本题考查菱形的判定。

解题后的思考：特殊平行四边形的判定一般都先验证它是平行四边形。

例3.四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG。

（1）求证：AE=CG；

（2）观察图形，猜想AE与CG之间的位置关系，并证明你的猜想。

1）题意分析：本题考查全等以及正方形的性质

解题后的思考：要熟练掌握四边形的性质和判定，并能运用其进行证明和计算。

例4. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM 的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，

（1）求证：四边形ADCE为矩形；

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明。

题意分析：此题考查特殊平行四边形的判定。

解题后的思考：在判定一个四边形是正方形时，容易忽视某个条件，致使判断失误，要避免这种错误的产生就必须认真熟记正方形的定义、特征和识别方法，认真区别各个特征、识别方法的条件，不要忽略隐含条件，避免错误的产生．

例5. 已知：如图，矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，CD=2，32=AD ，求BE 的长。 题意分析：本题考查利用矩形的性质进行计算

解题后的思考：矩形的性质较多，应牢记这些性质，以便分析题目时能灵活应用，特别是矩形特有的性质的应用，本题中AC=BD ，进一步推出OD OB OC OA ===是矩形常用的性质。

知识点三：梯形的性质与判定

例6. 已知：如图，梯形ABCD 中，DC DB AC AD AC AD CD AB ==⊥，，，//，AC 、BD 交于点E ，求证：CE=CB 。 题意分析：本题考查梯形常见辅助线

解题后的思考：此题证法中的辅助线，是梯形中的常用辅助线之一。将梯形问题转化为三角形和平行四边形问题来处理．

例7. 如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，E 是BC 的中点，AD =5，BC =12，CD =24， ∠C =45°，点P 是BC 边上一动点，设PB 的长为x ．

（1）当x 的值为____________时，以点P 、A 、D 、E 为顶点的四边形为直角梯形； （2）当x 的值为____________时，以点P 、A 、D 、E 为顶点的四边形为平行四边形； （3）点P 在BC 边上运动的过程中，以点P 、A 、D 、E 为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由．

题意分析：此题考查了以梯形为载体的动点问题。

P E

A

B

C

D

解题后的思考：动点问题是数学研究的一个重点问题，其综合性很强，经常与其他问题联系在一起，此类问题要注意动点在运动过程中的不同位置，通过数量关系求解，必要时需分类讨论。 13. 如图，在梯形中，

AD ∥BC ，，

，

AE ⊥BD 于E ，.

求梯形

的高。

14. 在矩形ABCD 中，点E 是BC 上一点，AE=AD ，DF ⊥AE 于F ，连结DE ，

求证：

DF=DC.

提分技巧

1. 转化思想（又叫化归思想）

转化思想就是将复杂的问题转化为简单的问题，或将陌生的问题转化为熟悉的问题来处理的一种思想，本章应用化归思想的内容主要有两个方面：

（1）四边形问题转化为三角形问题来处理．

（2）梯形问题转化为三角形和平行四边形问题来处理．

2. 代数法（计算法）

代数法是用代数知识来解决几何问题的方法，也就是说运用几何定理、法则，通过不等式、方程、方程组、恒等变形等代数方法，把几何问题转化成代数问题的解题方法．

3. 应注意的几个问题

（1）不能把判定方法与性质混淆，应加深对判定方法中条件的理解，重视判定方法中的基本图形，不要用性质代替判定．解题时不能想当然，更不要忽视重要步骤．（2）在判定一个四边形是正方形时，容易忽视某个条件，致使判断失误，要避免这种错误的产生就必须认真熟记正方形的定义、特征和识别方法，认真区别各个特征、识别方法的条件，不要忽略隐含条件，避免错误的产生．

（3）判别一个四边形是等腰梯形时，不要忽略应先判定四边形是梯形，且对梯形的概念、性质、判定的认识要清楚．

（4）纵横对比，分清各种四边形的从属关系，抓住其概念的内涵．

练习

1. 若顺次连接四边形各边中点所得四边形是菱形，则原四边形可能是__________。（写出两种即可）

2. 如图，已知平分，，，则________。

3. 如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP=BC，则∠ACP的度数是__________。

4.

如图，在平行四边形ABCD中，DB=DC、，CE BD于E，则

__________。

5. 如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AE∥DC，AB=6cm，则AE=__________cm。

6. 如图，大正方形网格是由16个边长为1的小正方形组成，则图中阴影部分的面积是__________。

7. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AC⊥BD，AD=6，BC=8，则梯形的高为__________。

8. 如图，四边形ABCD是一张矩形纸片，AD=2AB，若沿过点D的折痕DE将A角翻折，使点A落在BC上的A1处，则∠EA1B=______________度.

9. 如图，矩形纸片ABCD中，AD=9，AB=3，将其折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，那么折痕EF的长为________。

10. 如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是_________。