2015江门一模数学

江门市2015年高考模拟考试

数学（理科）

参考公式：锥体的体积公式Sh V 3

1

=

，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 如果事件A 、B 互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+．

用最小二乘法求线性回归方程系数公式，∑∑==-?-=

n i i n

i i i x

n x y

x n y

x b 1

2

2

1

，x b y a

-=．

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的．

1． i 是虚数单位，=+2

)

1 (1

i A ．

2i B ．2

i

- C ．21 D ．i 2 2．函数)(x f 的定义域为实数集R ，“)(x f 是奇函数”是“|)(|x f 是偶函数”的

A ．充分非必要条件

B ．必要非充分条件

C ．非充分非必要条件

D ．充要条件

3．{}n a 是等差数列，1a 与2a 的等差中项为1，2a 与3a 的等差中项为2，则公差=d A ．2 B ．

23 C ．1 D ．2

1

4．函数)sin()(?+=x x f 在区间3

2

, 3

(π

π

上单调递增，常数?的值可能是 A ．0 B ．

2

π

C ．π

D ．23π

5．双曲线C ：14

22

=-y x 的两条渐近线夹角（锐角）为θ，则=θtan A ．158 B ．8

15

C ．43

D ．34

6．一个四面体如图1，若该四面体的正视图（主视图）、 侧视图（左视图）和俯视图都是直角边长为1的等腰 直角三角形，则它的体积=V

A ．21

B ．31

C ．61

D ．12

1 7．16)(

y

x x

y -

的二项展开式17个项中，整式的个数是

A ．1

B ．3

C ．5

D ．7

8．设1≥>b a ，集合{}a x Z x x A <<∈=0 , |，{}b x b Z x x B <<-∈= , |，记“从

集合A 中任取一个元素x ，B x ?”为事件M ，“从集合A 中任取一个元素x ，

B x ∈”为事件N ．给定下列三个命题： ①当5=a ，3=b 时，2

1

)()(==N P M P ； ②若1)(=M P ，则2=a ，1=b ； ③1)()(=+N P M P 恒成立． 其中，为真命题的是

A ．①②

B ．①③

C ．②③

D ．①②③

二、填空题：本大题共7小题，考生作答4小题，每小题5分，满分30分． (一)必做题（9～13题）

9．不等式5|2||1|≥-++x x 的解集为 ．10．已知抛物线C ：x y 82

=的焦点为F ，P 是C 若P 在第一象限，8||=PF ，则点P 11．若变量x 、y 满足约束条件??

?

??≥≥≤+001

22y x y x ，则y x z 2+=的最大值=M ．

12．运行如图2所示的程序框图，输出的结果S

13．已知x 与y 之间的几组数据如下表：

假设根据上表数据所得线性回归方程为a x b y +=，根据中间两组数据（4，3）和（5，4）求得的直线方程为a bx y +=，则b b ____

，a a ____

．（填“>”或“<”）

(二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）

14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线2=ρ上到直线1

)4

cos(=-

π

θρ的距离为1的点的个数是 ．

15．（几何证明选讲选做题）如图3，圆O 的弦AB 、CD 相交于

点P ，若2==AD AC ，3=PB ，则=AB ．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）

已知ABC ?顶点的直角坐标分别是)5 , 3(A 、)1 , 0(B 、)7 , 8(-C ． ⑴求B cos 的值；

⑵若)5 , 2(--=，证明：B 、C 、D 三点共线． 17．（本小题满分13分）

某树苗培育基地为了解其基地内榕树树苗的长势情况，随机抽取了100株树苗，分别测出它们的高度（单位：cm ），并将所得数据分组，画出频率分布表如下：

⑵估计该基地榕树树苗平均高度；

⑶基地从上述100株榕树苗中高度在[108，112)范围内的树苗中随机选出5株进行育种研究，其中在[110，112)内的有X 株，求X 的分布列和期望． 18．（本小题满分14分）

设数列{}n a 的前n 项和6

)

14)(1(-+=n n n S n ，*N n ∈．

⑴求1a 的值；

⑵求数列{}n a 的通项公式；

⑶证明：对一切正整数n ，有4

5

412

22

2

2

1

<+

++

n

a n a a ． 19．（本小题满分13分）

如图4，直四棱柱1111D C B A ABCD -的底面是菱形，侧面是正方形，060=∠DAB ，E 是棱CB 的延长线上一点，经过点A 、1C 、E 的平面交棱1BB 于点F ，BF F B 21=．

⑴求证：平面⊥E AC 1平面11B BCC ； ⑵求二面角C AC E --1的平面角的余弦值．

20．（本小题满分14分）

平面直角坐标系xOy 中，椭圆∑：12222=+b

y a x （0>>b a ）的离心率为36

，焦

点为1F 、2F ，直线l ：02=-+y x 经过焦点2F ，并与∑相交于A 、B 两点．

⑴求∑的方程；

⑵在∑上是否存在C 、D 两点，满足AB CD //，D F C F 11=？若存在，求直线CD 的方程；若不存在，说明理由．

21．（本小题满分14分）

设函数)(ln )(a x e x f x -=，e 是自然对数的底数， 718.2≈e ，R a ∈为常数． ⑴若)(x f y =在1=x 处的切线 l 的斜率为e 2，求a 的值；

⑵在⑴的条件下，证明切线 l 与曲线)(x f y =在区间)2

1

, 0(至少有1个公共点； ⑶若]3ln , 2[ln 是)(x f y =的一个单调区间，求a 的取值范围．

评分参考

A

A 1

一、选择题 BACD DCBB

二、填空题 ⒐) , 3[]2 , (∞+--∞ 或{}32|≥-≤x x x 或（每个区间2分，在此基

础上正确用区间或集合表示1分；若混淆闭区间与开区间则扣该区间1分。）

⒑)34 , 6(（若写成)34 , 6(±或)34 , 6(-给3分，其他不给分）

⒒ 5 ⒓62 ⒔<，>（若两空一对一错，给3分） ⒕3 ⒖4 三、解答题

⒗⑴（方法一）5)51()30(22=-+-=

AB ，13=AC ，28=BC ……3分

102

2

85213)28(52cos 222222-

=??-+=??-+=BC AB AC BC AB B ……6分（公式2分） （方法二）)4 , 3(=，)8 , 8(-=……2分

10

2

2

858483|

|||cos -

=??-?=

?=

BC BA B ……6分（公式2分） ⑵（方法一）)8 , 8(-=BC ，)1 , 1(-=+=AD BA BD ……9分

∵8=，∴、共线……11分

∵BC 、BD 有共同的始点，∴B 、C 、D 三点共线……12分

（方法二）经过)1 , 0(B 、)7 , 8(-C 两点的直线BC 的方程为

80

171--=---x y （即1=+y x ）……9分

设) , (n m D ，由)5 , 2(--=AD 得)5 , 2()5 , 3(--=--y x ……10分 解得)0 , 1(D ……11分 ∵

80

11710--=---（或101=+），∴(D 在BC 上)B 、C 、D 三点共线……12分

⒘⑴3236241817100=-----=a ，32.0100

32

==b ……2分 ⑵估计该基地榕树树苗平均高度为

02.105100

3

111610932107241051810317101=?+?+?+?+?+?(cm )……6分

（列式2分，求值1分，文字说明与单位完整1分。）

⑶由频率分布表知树苗高度在[108，112)范围内的有9株，在[110，112)范围内的

有3株，因此X 的所有可能取值为0，1，2，3……7分

，，

，

……11分

X 的分布列为

……12分

X 的期望为3

542532110214512110=?+?+?+?

=EX ……13分（列式正确1分）

⒙⑴16

3

2111=??=

=S a ……1分 ⑵1>n 时，)12(6

)

54()1(6)14)(1(1-=----+=

-=-n n n n n n n n S S a n n n

……4分（上式每个等号1分）

1=n 时，11)12(a n n ==-，所以*N n ∈?，)12(-=n n a n ……5分

⑶由⑵知，1>n 时，

)1(41

1441)12(12

22

2-<+-=-=

n n n n n a n n

……7分 )

1(41

23411241141222

2

2

1

-+

+??+??+

<+

++

n n a n a a n

……9分 ]41

)1(41[)341241()24141(1n n --?++?-?+?-+= ……11分

)4141(1n -+=……12分，4

5

411=+<……13分

∵

2

22

2

2

1

41n

a n a a +

++

单调递增，∴*

N n ∈?，

4

5

412

22

2

2

1

<+

++

n

a n a a ……14分

⒚⑴设四棱柱1111D C B A ABCD -的棱长为a

∵BF F B 21=，F C B 11?∽BEF ?，∴2

a

BE =

……1分 由ABE DAB ∠==∠060，0120=∠ABC ，得2

3a

AE =，a AC 3=……2分

∵2

3a

CE =，∴222AC CE AE =+，CE AE ⊥……3分

1111D C B A ABCD -是直四棱柱，ABCD C C ⊥1，又A B CD AE ?，∴AE C C ⊥1，∵C CC CE =1 ，∴⊥AE 平面11B BCC ……4分

∵?AE 平面E AC 1，∴平面⊥E AC 1平面11B BCC ……5分

⑵（方法一）过C 作1AC CG ⊥于G ，F C CH 1⊥于H ，连接GH ……6分 由平面⊥E AC 1平面11B BCC ，平面 E AC 1平面E C B BCC 111=， ⊥CH 平面E AC 1……7分 ∴1AC CH ⊥，又1AC CG ⊥，C CH CG = ，∴⊥1AC 平面CGH ，GH AC ⊥1，CGH ∠是二面角C AC E --1的平面角……9分

在1ACC Rt ?中，a AC 3=，a CC =1，a AC 21=，a CG 2

3

=，在1E C C Rt ?中，a CE 23=，a CC =1，a EC 2131=，a CH 13133=（a CG 23=、a CH 13

133=求

得任何一个给2分，两个全对给3分）……12分

a CH CG GH 263922=-=，13

13

cos =

=∠CG GH CGH ……13分 （方法二）以E 为原点，EC 、EA 所在直线为x 轴、y 轴，平行于1BB 的直线1EE 为z 轴建立空间直角坐标系……6分，则

)0 , 0 , 0(E ，)0 , 2

3

, 0(a A ，) , 0 , 23(1a a C ……7分

设平面1EAC 的一个法向量为) , , (r q p n =，则???

????=+=?==?0

23 023 1ar ap EC n aq EA n ……9分，即???=+=0230r p q ，不妨取)3 , 0 , 2( -=n ……10分，由⑴知)0 , 0 , 21

(a B ，

)0 , 23

, (a a D ……11分，平面11B BCC 的一个法向量为)0 , 2

3

, 21(1a a n == ……12分，二面角C AC E --1的平面角的余弦值13

13

|

|||cos 11=

?=

n n θ……13分

⒛⑴依题意)0 , 2(2F ，2=c ……2分，由36

=

=

a c e 得6=a ……3分 22

2=-=c a b ，椭圆∑的方程为12

622=+

y x ……4分 ⑵（方法一）若存在满足条件的直线CD ，∵AB CD //，∴1-==AB CD k k ，设直线CD 的方程为m x y +-=……5分

由??

???+-==+

m x y y x 1262

2……6分，得06)(322=-+-+m x x ……7分 0)63(6422=-+-m mx x ，01296)63(44)6(222>-=-??--=?m m m （*）

……8分

设) , (11y x C ，) , (22y x D ，则2321m x x =+，4

6

3221-=m x x ……9分

由已知D F C F 11=，若线段CD 的中点为E ，则CD E F ⊥1，11

1=-=CD

E F k k ……

10分

)0 , 2(1-F ，)2

, 2(

2121y y x x E ++即)4 , 43(m

m E ……11分

由124

341=+=m m

k E F ……12分，解得4-=m ……13分 4-=m 时，09612962<-=-m ，与（*）矛盾，∴不存在满足条件的直线CD

……14分

（方法二）假设存在) , (11y x C ， ) , (22y x D ，线段CD 的中点为) , (00y x E ，则2y y ,2210210y x x x +=+=

，12

12

1-=--x x y y ……5分 由???????=+=+126

12622222121y x y x 两式相减得：0))((21))((6121212121=+-++-y y y y x x x x ……7分，代入、化简得：03

1

00=-y x ①……8分

由已知D F C F 11=，则CD E F ⊥1，11

1=-=CD

E F k k ……9分 由12

00

1=+=x y k E F 得，200+=x y ②……10分

由①②解得1,300-=-=y x ，即)1,3(--E ……11分

直线CD 的方程为：)4(+-=x y ……12分

联立??

???--==+

412

62

2x y y x 得 0422442=++x x ……13分 ∵0964244242<-=??-=?，方程（组）无解，∴不存在满足条件的直线CD ……14分

21．⑴)1(ln )(/x

a x e x f x

+-=……1分

依题意，e a e f k 2)1

11(ln )1(1/=+-==，解得1-=a ……2分 ⑵由⑴e f =)1(，直线 l 的方程为)1(2-=-x e e y ，即e ex y -=2……3分

作e ex x e e ex x f x g x +-+=--=2)1(ln )2()()(， 则0)2ln 1()2

1(>-=

e g ……4分，0323)(344

<+-<+--=---e e e e e g e (5)

分（用其他适当的数替代4-e 亦可）

因为)(x g y =在)21 , (4-e 上是连续不断的曲线，0)2

1()(4

<-g e g ，)(x g y =在

)21 , (4-e 内有零点，)2

1

, 0()21 , (4?-e ，从而切线 l 与曲线)(x f y =在区间)21 , 0(至

少有1个公共点……6分

⑶)1(ln )(/x

a x e x f x

+-=，]3ln , 2[ln 是)(x f y =的一个单调区间当且仅当

)(/x f 在]3ln , 2[ln 上恒大于等于零，或恒小于等于零，由0>x e ，作x

x x h 1

ln )(+

= 2/11)(x x x h -=

，由01

1)(2/=-=x

x x h 得1=x ……7分

)(x h 在]3ln , 2[ln 上的最小值为1=m ，所以，当且仅当1≤a 时，)(x f y =在

]3ln , 2[ln 上单调递增……11分

下面比较)2(ln h 与)3(ln h 的大小

（方法一）由3

2332e <<，e <<3

232，13ln 3

2

2ln <<以及)(x h 在)1 , 2[ln 上单调递减得)3ln 3

2()2(ln h h >……12分

3

ln 249

ln

3ln 13ln 21

32ln )3(ln )3ln 32()3(ln )2(ln -=

+=->-h h h h ……13分

1)(ln 4

1

)7(ln 41)427(ln 41)49ln 3(ln 4149ln 3ln 22222=<<=+

∴)3(ln )2(ln h h >，当且仅当2

ln 1

2ln ln +≥a 时，)(x f y =在]3ln , 2[ln 上单

调递减，综上所述，a 的取值范围为) , 2

ln 1

2ln [ln ]1 , (∞++-∞ ……14分 （方法二）由1)26ln ()23ln 2ln (

3ln 2ln 22<=+<，13

ln 1

2ln 0<<<，以及x x x h 1ln )(+=的单调性知，3ln 3ln ln 2

ln 1

2ln ln +->+……12分

由0)11()1(12)1ln 2(22/≤--=--=+-x x x x x x 知，x

x x x p 1

ln 2)(+-=单调递

减……13分

由13ln >得0)1(3ln 13ln 3ln ln 2=<+

-p x ，3

ln 13ln ln 3ln 3ln ln +>+-，3ln 13ln ln 2ln 12ln ln +>+

，∴)3(l n )2(l n h h >，当且仅当2

ln 1

2ln ln +≥a 时，)(x f y =在]3ln , 2[ln 上单调递减，综上所述，a 的取值范围为

) , 2

ln 1

2ln [ln ]1 , (∞++

-∞ ……14分 （“单调递增……11分”以下，若直接写?

?????

++≥3ln 13ln ln , 2ln 12ln ln max a ，再给1分）