高等数学作业题及参考答案

高等数学作业题（一）

第一章 函数

1、填空题

（1）函数1

1

42-+-=x x y 的定义域是 2、选择题

(1)下列函数是初等函数的是（ ）。 A.3sin -=x y B.1sin -=x y C.???

??=≠--=1

,

01,

11

2x x x x y D. ??

?≥<+=0

,

0,

1x x x x y

(2)x

y 1

sin

=在定义域内是（ ）。 A. 单调函数 B. 周期函数 C. 无界函数 D. 有界函数 3、求函数2)1ln(++-=x x y 的定义域

4、设,1)(2+-=x x x f 计算x

f x f ?-?+)

2()2(

5、要做一个容积为250立方米的无盖圆柱体蓄水池，已知池底单位造价为池壁单位造价的两倍，设池底单位造价为a 元，试将总造价表示为底半径的函数。

6、把一个圆形铁片，自中心处剪去中心角为α的一扇形后，围成一个无底圆锥，试将此圆锥体积表达成α的函数。

第二章 极限与连续

1、填空题 （1）3

2

+=

x y 的间断点是 （2）0=x 是函数x x y +=1的第 类间断点。

（3）若极限a x f x =∞

→)(lim 存在，则称直线a y =为曲线=y ()x f 的 渐近线。

（4）有界函数与无穷小的乘积是

（5）当0→x ，函数x 3sin 与x 是 无穷小。 （6）x

x x 1)21(lim 0

+→=

（7）若一个数列{}n x ，当n 时，无限接近于某一个常数a ，则称a 为数列{}n x 的极限。 （8）若存在实数0>M ，使得对于任何的R x ∈，都有()M x f <，且()0lim 0

=→x g x ，

则()()=→x g x f x 0

lim

（9）设x y 3sin =，则=''y (10) x

x x

)211(lim -

∞

→= 2、选择题 （1）x

x

x sin lim

0→的值为（ ）。

A.1

B.∞

C.不存在

D.0

（2）当x →0时，与3

100x x +等价的无穷小量是( )。

A. 3x B x C. x D. 3

x

（3）设函数x

x x f 1

sin )(?=，则当0)(>-x f 时，)(x f 为 ( )

A. 无界变量

B.无穷大量

C. 有界，但非无穷小量

D. 无穷小量

（4）lim

sin

sin x x x x

→0

21

的值为（ ）。

A.1

B.∞

C.不存在

D.0 （5）下列函数在指定的变化过程中，（ ）是无穷小量。 A ．e 1

x

x ,

()→∞ B.

sin ,()x

x

x →∞ C. ln(),

()11+→x x D.

x x x +-→11

0,()

（6）当+∞→x 时，下列变量中无穷大量是（ ） A ．)1ln(x + B ．

1

2

+x x C ．1+-x

e

D ．5x x cos

（7）x

x

a x sin lim

-∞→等于 ( )。

A. a

B. 0

C. -a

D. 不存在 （8）当0→x 时，变量( )是无穷小量。

A.x sin ln

B.x 1cos

C.x

1sin D.21

x e -

（9）x

x f x 1

)(0=

=是的（ ）。 A. 连续点； B. 跳跃间断点； C.可去间断点； D. 无穷间断点. （10）x

x x f x 1)1()(0+==是的（ ）。

A. 连续点；

B. 跳跃间断点；

C.可去间断点；

D. 无穷间断点.

（11）函数x

x x f 1

sin )(=在点0=x 处（ ）

A.有定义且有极限

B.有定义但无极限

C.无定义但有极限

D.无定义且无极限 （12）=→x

x x 0

lim

（ ）

A. 0

B. 不存在

C. 1

D. 1- （13）无穷小量是（ ）

A 趋于∞-的一个量

B 一个绝对值极小的数

C 以零为极限的量

D 以零为极限且大于零的量

（14）1

1

lim 21--→x x x =( )

A. -2

B. 2

C. 3

D. 1 (15) 设4

1

)(2

-=

x x f ，则2-=x 是)(x f 的（ ） A ．可去间断点 B.跳跃间断点 C ．无穷间断点 .D.以上答案都不对

(16) 3

9

lim 23--→x x x =（ ）

A . -6 B. 6 C. 0 D. 2 (17) 2

4

lim 22--→x x x =（ ）

A . -6 B. 4 C. 0 D . 2

(18) x

x

x 2sin lim

0→

A. 1

B. 2

C. 0

D. 1-

3、计算题

（1）1

1

2lim 221-+-→x x x x

（２）4

586lim 221+-+-→x x x x x

（３）x

x x x )1

1(

lim -+∞

→ （4）x

x

x 23tan lim 0→

（5）2

)

2

1(lim -∞

→-x x x

（6）2

24sin lim 0

-+>-x x x

（7）)1

2

11(

lim 21

---→x x x （8）2

cos lim x x

x ∞→

（9）)1

2

1(lim 1

--

→x x

（10）x x x x x 5sin 2sin lim

+-→

（11）1

31

0)2

1(lim -→-x x x

（12）1

3lim 242+-+∞→x x x x x

（13）)

1311(

lim 31

x x x ---→

（14）1

214lim -∞→?

??

??+-x x x x

（15）x

x x x sin 1

sin

lim

20

→

（16）x

x

x arctan lim ∞→

4、求下列函数的间断点，并指出其类型。

(1) 2

31

2+--=x x x y

（2）x

y 1

cos =

(3) 1

132--=x x y

5、x x f 1)(=，求x

x f x x f x ?-?+→?)()(lim 0

高等数学作业题（二） 第三章 导数与微分

1、 填空题

（1）抛物线2

x y =在点 处的切线平行于直线0142=-+x y 。 （2）曲线3

x y =在点)1,1(--的法线方程是

（3）设函数)(x f y =在点x 可导，则函数)()(x kf x g =（k 是常数）在点x （可导、不可导）。

（4）一物体的运动方程为1023

+=t s ，此物体在2=t 时瞬时速度为

(5) 2)12(+=x y ，则y '= (6) 设2)13(+=x y ，则y '= 。 (7) )2ln(2x y +=，=dy 。 (8) 设12+=x y ，

dx

dy

= 。 (9) )2ln(2x y +=，=dy 。 2、选择题

（1）在抛物线2x y =上过??

?

??41,21点的切线是（ ） A ．平行于ox 轴 B ．与ox 轴构成45

C ．与ox 轴构成135

； D ．平行于oy 轴。 （2）过点)3,1(，且切线斜率为x 2的曲线方程)(x y y =应满足的关系是（ ）

A ．x y 2='

B ．x y 2=''

C ．31

(2=='），y x y D ．3)1(,2==''y x y (3) )12ln(-=x y ，则)1(f '=（ ） A . 0 B. 2 C. 1 D. 3 (4) 3ln -=y ，则dy =（ ）

A . dx 3

B . dx 31- C. dx 31

D. 0

(5) x e x f 2)(=，则)1(f '=（ ）

A . 2

e B . 2

2e C. e D. 2 (6) 22)(2-=x x f ，)1(f '=（ ） A. 1 B. -4 C. 0 D. 4 3、求下列函数的导数

dx

dy （1）38)1ln(cos x x x y ++?=

（2）21sin x y +=

（3）5ln cos sin 2+?+=x x x x y

（4） x

e x

x y ++=1cos sin 2

（5）)(sec ln 2x y = （6）2

2

1x

a y -=，()

a x <

(7) ()2

1arccos x y -=

(8) x

e y 1sec 2

-=

（9） )1ln(sin x

y =

（10）x y 31arcsin +=

(11)a y x =+，求

dx

dy

(12)?????-=+=t

y t x 11 , 求dx dy

（13）cos sin x a t

y b t

=??=?,求dx dy 。

(14) 0233=+-x y y

(15) x x y sin )(tan =

(16) ?????-=-=2321t

t y t

x ,求dx dy

(17) ?????-==2332t

t y t

x ，求dx dy

(18) 2)23ln(+=x y

4、求下列函数的微分 （1）5555++=x x y

（2）x

x

y sin 1cos 1+-=

(3) )2ln(3-=x y

5、求下列函数的二阶导数x

d y d 22

（1）22x y x +=

（2）求()

21ln x x y ++=的二阶导数。

6、求由参数方程()

?

??-=+=t t y t x arctan 1ln 2

所确定的函数的二阶

7、求抛物线()022>=p px y ，在点??

?

??p p M ,2处的切线方程为与法线方程

高等数学作业题（三） 第四章 中值定理与导数应用

１、填空题

(1) )1ln(+-=x x y 在区间 内单调减少，在区间

内单调增加。

（2）若曲线3)(b ax y -=在))(,1(3b a -处有拐点，则a 与b 应满足关系

（3）函数x

x y +=12

在]1,21[-上的最小值是

(4) 设在),(b a 内曲线弧是凸的，则该曲线弧必位于其上每一点处的切线的 方。 ２、选择题

（1）若函数 )(x f 在 0x 点取得极小值，则必有（ ）

A ．0)('0=x f 且 0)(''=x f

B ．0)('0=x f 且 0)(''0

C ．0)('0=x f 且 0)(''0>x f

D ．0)('0=x f 或不存在 (2) 极限e

x x e x --→1

ln lim

的值为 ( )。

A. 1

B. 1

-e C. e D. 0

(3) 若))(,(00x f x 为连续曲线 )(x f y =上的凹弧与凸弧分界点,则 ( )。 A. ))(,(00x f x 必为曲线的拐点 B. ))(,(00x f x 必定为曲线的驻点 C. 0x 为)(x f 的极值点 D. 0x 必定不是)(x f 的极值点 （4）函数12+=x y 在区间[0，2]上（ ）

A. 单调增加

B. 单调减少

C. 不增不减

D. 有增有减 （5）如果0)('0=x f ，则0x 一定是（ ）

A. 极小值点

B. 极大值点

C. 驻点

D. 拐点 （6）函数)(x f y =在点0x x =处取得极值，则必有（ ） A. 0)("0

0)("0>x f C. 0)('0=x f 或)('0x f 不存在 D. 0)("0=x f

（7）（ ）为不定式。 A ．

0∞ B. ∞

0 C. ∞

0 D. 0∞ 3、求极限 (1) x

x

x 3ln 2ln lim 0

+

→

(2) x

x x sin 0

lim +

→

(3) 2

1

2

lim x x e x →

(4) x

x x ln 1

)(cot lim +

→

(5)??

?

??-+∞

→x x x arctan 2lim π

（6）x

x

x 2tan cos 1lim

+→π

（7）x n

x e

x λ+∞→lim ()0>λ

(8) x

x x

x x sin sin lim -++∞

→

（9） )1(lim 1-∞

→x

x e x

（10）x

arc x x cot )

11ln(lim

++∞→

4、求函数323x x y -=的单调区间

5、点（1，3）是曲线23bx ax y +=的拐点，求b a ,

6、讨论函数x x y -=arctan 的单调性并求极值。

7、讨论2332x x y -=单调性并求极值。

8、讨论曲线55332++-=x x x y 的凹凸性,并求拐点。

9、求)1ln(4+=x y 在[]2,1-上的最大值与最小值。

10、试确定,,,c b a 使 c bx ax x y +++=23有一拐点)1,1(-,且在0=x 处有极大值1。

11、求函数323x x y -=的单调性

12、某车间靠墙盖一间长方形小屋,现有存砖只够砌20米长的墙壁,问应围成怎样的长方形,才能使这间小屋的面积最大?

13、在边长为a 2的正方形铁皮上，四角各减去边长为x 的小正方形，试问边长x 取何值时，它的容积最大？

14、要做一个底面为长方形的带盖的箱子，其体积为3

72cm ，其底边成2:1的关系，问各边的长怎样，才能使表面积为最小

第五章 积分

1、填空题

（1）设()x f 的一个原函数为()12cos +x ，则()=x f ___________；

（2）

=?-dx x x 1

1

23sin

(3）dx e x

?

2= (4) =?-dx x x 1

1

2arcsin

(5) ?xdx 2cos =

(6) =+?-dx x x 114arctan )1( (7)

=?

dx xe x 2

1

2

。

2、选择题

（1）若()()x f x F ='，则()()=?dx x f d

（ ）

A. ()x f

B. ()dx x f

C. ()x F

D. ()dx x F

（2）设)(x f 为可导函数，则（ ）

A.()()?=x f dx x f

B.()()?='x f dx x f

C.

()()()x f dx x f ='? D. ()()()C x f dx x f +='?

（3）?

=dx e x

( )

A ．2C e x +

B ．2

C e x + C ．C e x +

D ．C

e x 1+ （4）曲线()x

f y =在点x 处的切线斜率为2+-x ，且曲线经过点()5,2，则该曲线方程为（ ）

A ．22+-=x y

B ．x x y 2212+-

= C ．322

1

2++-=x x y D ．522++-=x x y （5）若v u ,都是x 的可微函数，则?udv =（ ）

A. ?-vdu uv B .?-udv v vu ' C .?

-dv u vu ' D .?-du vu uv ' (6) 下列等式正确的是（ ） A

)()(x f dx x f dx d

=?

B )()('x f dx x f =?

C )()(x f x df =?

D )()(x f dx x f d =?

(7) 设)(x f '存在且连续,则?'])([x df =（ ）

A. )(x f

B. )(x f '

C. c x f +')( D .c x f +)( (8)

?-2

0)22(dx x =( )

A 、1

B 、2

1

C 、0

D 、 1- 3、求下列不定积分 （1）()?

dx x 3

cos （2）dt t t ?sin

（3）

?+

dx x

x 1

（4）21x

x

e dx e

+?

（5）?dx x

x

2ln

（6）?++dx x x 1

23

（7）?

dx x sin

（8）?

+dx e x 1

（9）xdx ?2ln

（10）?

xdx x arctan

（11）?

xdx x 2

sin

（12）dx x x ?+1

2

3

（13

）

（14）dx x x ????

?

?

?-++22

13

11

（15）3x x e dx ?

（16）

dx x ?

-231

23

（17）?

+20

sin 1cos π

dx x

x

（18）

?-

-22

3cos cos π

π

dx x x

（19）

?

e xdx 1

ln

（20）

dx x

x ?

+21

2)1

(

（21）dx x ?-20

1

（22）

dx xe x ?

10

2

4、判断下列各广义积分的敛散性，若收敛，计算其值。 （1）?

∞+1

x

dx

（2）?

∞+-0

2dx xe x

（3）dx x

e x

?

∞+-

（4）?+∞

∞-++dx x x 841

2

高等数学作业题（四） 第六章 定积分的应用

１、求由抛物线2x y =及其在点)4

1,21(处的法线所围成的平面图形的面积。

2、求曲线3,2,0y x x y ===所围成的区域分别绕x 轴及y 轴旋转所产生的旋转体的体积。

3、 求由曲线22x y =，2x y =与2=y 所围成的平面图形面积。

4、求直线x y =与曲线2

y x =所围成的平面图形绕y 轴旋转所产生的旋转体的体积。

第七章 多元函数微分学分

1、填空题 （1）y

x y

x z -+

+=

11的定义域为___________；

（2）在空间直角坐标系OXYZ 下，方程422=+y x 表示的图形为___________；

（3）()y x z +=ln ，则=???x

y z

2___________；

（4）xy e y x z +=2在点()1,1处的=dz ___________；

（5）如果()y x f z ,=在点()y x ,处有极值，则当0A 时，有______值； (6) )ln(y x z +=的定义域为 (7) y

x z = ，

y

z

??= 。 (8) y x z = ，x

z

?? = 。 2、选择题

（1）二元函数的几何图形一般是（ ）

A. 一条曲线

B. 一个曲面

C. 一个平面区域

D. 一个空间区域

（2） 函数2

22

211arcsin

y x y

x z --++=的定义域为（ ） A. 空集 B. 圆域 C. 圆周 D. 一个点 （3）设,xy z =

则

=??)

0,0(x

z （ ）

A. 0

B. 不存在

C. 1-

D. 1 （4）二元函数221y x z +-

=的极大值点是（ ）

A. ()1,1

B. ()1,0

C. ()0,1

D. ()0,0 3、求下列函数的一阶偏导数 （1）设()22,y x y x y x f +-+=，求()4,3x f '，()4,3y f '。