2013年珠海一模,茂名一模,肇庆一模,揭阳一模文科数学试卷及答案(纯word版)

珠海市2013学年度第一学期期末学生学业质量监测（一模）

高三文科数学试题

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项. 1．已知集合),1(+∞-=M ，集合{}0)2(|≤+=x x x N ，则N M ?=

A ．]2,0[

B ． ),0(+∞

C ． ]0,1(-

D ． )0,1(-

2．已知a ，b 是实数，则“?

??>>32

b a ”是“5>+b a ”的

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

3．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是 A ．4 B ．5 C ．6 D ．7

4. 已知直线l ，m 和平面α， 则下列命题正确的是 A ．若l ∥m ，m ?α，则l ∥α B ．若l ∥α，m ?α，则l ∥m C ．若l ⊥m ，l ⊥α，则m ∥α D ．若l ⊥α，m ?α，则l ⊥m 5．已知是虚数单位，复数

i

i

+3＝

A ．

i 103101+ B ．i 103101+- C ．i 8

3

81+- D ．i 8381-- 6． 函数y ＝sin (2x ＋π4

)的图象可由函数y ＝sin 2x 的图象

A ．向左平移

π8个单位长度而得到 B ．向右平移π8个单位长度而得到 C ．向左平移

π4

个单位长度而得到 D ．向右平移

π4

个单位长度而得到

7．已知a 、b 均为单位向量,)2()2(b a b a -?+=2

3

3-，a 与b 的夹角为

A ．30°

B ．45°

C ．135°

D ．150°

(第3题图)

8．在递增等比数列{a n }中，4,2342=-=a a a ，则公比q ＝ A ．-1 B ．1 C ．2 D ．2

1

9．若实数x ，y 满足不等式组??

?

??≤≥+≥+-3005x y x y x 则2x ＋4y 的最小值是

A ．6

B ．4

C ．2-

D ．6-

10．对于直角坐标平面内的任意两点11(,)A x y 、22(,)B x y ，定义它们之间的一种“距离”： ‖AB ‖=1212x x y y -+-，给出下列三个命题：

①若点C 在线段AB 上，则‖AC ‖+‖CB ‖=‖AB ‖；

②在△ABC 中，若∠C =90°，则‖AC ‖+‖CB ‖=‖AB ‖；

③在△ABC 中，‖AC ‖+‖CB ‖>‖AB ‖. 其中真命题的个数为

A. 0

B. 1

C. 2

D.3

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置. （一）必做题（11-13题）

11．某学校三个社团的人员分布如下表（每名同学只参加一个社团）：

学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，

按分层抽样的方法从社团成员中抽取30人，结果合唱社被抽出12人，则这三个社团人数共有_______________.

12．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，

已知C ＝

3

π

，3=b ，若△ABC 的面积为

2

33 ，则

c = ．

13．如图，F 1，F 2是双曲线C ：

222

2

1x y a

b

-

=(a ＞0，b ＞0)

的左、右焦点，过F 1的直线与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点．若 | AB | : | BF 2 | : | AF 2 |＝3 : 4 : 5，则双曲线的离心率为 .

x

y O

A B

F 1

F 2

(第13题图)

(第15题图）

（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）

14．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系x O y 中，已知曲线

1C ：??

?-=+=t y t x 212 , (为参数）与曲线2C ：???==θ

θ

sin 3cos 3y x ,（θ为参数）相交于两个点A 、B ，则线段AB 的长为 .

15．（几何证明选讲选做题）如图，PAB 、PCD 为⊙O 的两条割线，若PA=5，AB=7，CD=11，AC=2，则BD 等于 .

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）

设向量a ＝)sin ,2(θ，b ＝)cos ,1(θ，θ为锐角． （1）若a ·b ＝

13

6

，求sin θ＋cos θ的值； （2）若a ∥b ，求sin(2θ＋π

3)的值．

17．（本小题满分12分）

某种零件按质量标准分为5,4,3,2,1五个等级.现从一批该零件中随机抽取20个，对其等 级进行统计分析，得到频率分布表如下：

（1）在抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，求n m ,；

（2）在（1）的条件下，从等级为3和5的所有零件中，任意抽取2个，求抽取的2个零

件等级恰好相同的概率.

18．（本小题满分14分）

已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，

（1）求证：N B C BC 11//平面；（2）求证：BN 11C B N ⊥平面； （3）求此几何体的体积

.

19．(本题满分14分)

已知椭圆C ：)0(122

22

>>=+b a b

y

a x ，左、右两个焦点分别为1F 、2F ，

上顶点),0(b A ，21F AF ?为正三角形且周长为6.

（1）求椭圆C 的标准方程及离心率；

（2）O 为坐标原点，直线A F 1上有一动点P ，求||||2PO PF +的最小值． 20．（本题满分14分） 已知函数()ln a x f x x x

-=+

，其中a 为常数，且0>a .

（1）若曲线()y f x =在点（1，(1)f ）处的切线与直线12

1+=x y 垂直，求a 的值；

（2）若函数()f x 在区间[1，2]上的最小值为2

1，求a 的值.

21.（本题满分14分）

在数列{}n a 中，*)(1

,111N n a a a a n n n ∈+=

=+.

（1）求证：数列?

??

???n a 1是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；

（2）设n

n

n a b ?=

21，求数列}{n b 的前n 项和n T ；

（3）设∑

=+++=

2013

1

2

121i i i a a P ，求不超过P 的最大整数的值.

主视图 侧视图

俯视图

4

珠海市2012~2013学年第一学期普通高中学生学业质量监测高三文科数学试题参考答案及评分标准

一、选择题：CABDA AACDB

二、填空题：

11、150 12、713、1314、 4 15、 6

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．

16．（本小题满分14分）

解：（1）因为a·b＝2＋sinθcosθ＝13

6

，所以sinθcosθ＝

1

6

．………………3分

所以(sinθ＋cosθ)2＝1＋2 sinθcosθ＝4 3．

又因为θ为锐角，所以sinθ＋cosθ＝23

3

．………………6分

（2）解法一因为a∥b，所以tanθ＝2．………………8分

所以sin2θ＝2 sinθcosθ＝2 sinθcosθ

sin2θ＋cos2θ

＝

2 tanθ

tan2θ＋1

＝

4

5

cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ－sin2θ

sin2θ＋cos2θ

＝

1－tan2θ

tan2θ＋1

＝－

3

5

．………………10分

所以sin(2θ＋π

3

)＝

1

2

sin2θ＋

3

2

cos2θ

＝

1

2

×

4

5

＋

3

2

×(－

3

5

)＝

4－33

10

．………………12分

解法二因为a∥b，所以tanθ＝2．………………8分

所以sinθ＝25

5

，cosθ＝

5

5

．

因此sin2θ＝2 sinθcosθ＝4

5

，cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝－

3

5

．………………10分

所以sin(2θ＋π

3

)＝

1

2

sin2θ＋

3

2

cos2θ

＝

1

2

×

4

5

＋

3

2

×(－

3

5

)＝

4－33

10

．………………12分

17．（本小题满分12分）

某种零件按质量标准分为5,4,3,2,1五个等级.现从一批该零件中随机抽取20个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如下：

M

B 1

C 1

N

C

B

A

（Ⅰ）在抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，求n m ,；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，从等级为3和5的所有零件中，任意抽取2个，求抽取的2个零

件等级恰好相同的概率.

参考答案：

（Ⅰ）解：由频率分布表得 0.050.150.351m n ++++=，

即 0.45m n +=. ………………2分 由抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个， 得 1.020

2==

n . ………………4分

所以0.450.10.35m =-=. ………………5分

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得，等级为3的零件有3个，记作123,,x x x ；等级为5的零件有2个，

记作12,y y .

从12312,,,,x x x y y 中任意抽取2个零件，所有可能的结果为：

12131112232122313212(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)x x x x x y x y x x x y x y x y x y y y

共计10种. ………………9分 记事件A 为“从零件12312,,,,x x x y y 中任取2件，其等级相等”.

则A 包含的基本事件为12132312(,),(,),(,),(,)x x x x x x y y 共4个. ………………11分

故所求概率为 4()0.410

P A =

=.

………………12分

18.解：（1）证明： 该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，∴1,,BB BC BA 两两互相垂直。

∵11//C B BC ，N B C C B 1111平面?，N B C BC 11平面?， ∴N B C BC 11//平面…… 4分

（2）连BN ，过N 作1BB NM ⊥，垂足为M ， ∵N ABB C B 111平面⊥，N ABB BN 1平面?，

∴BN C B ⊥11，… 5分

由三视图知，BC=4，AB=4，BM=AN=4，AN BA ⊥， ∴ 24442

2=+=

BN ，2

22

12144+=+=

M

B NM N B =24，… 6分

∵643232,64822121=+=+==BN N B BB ，

∴N B BN 1⊥，…… 7分

∵N C B N N ，，C B C B 1111111平面平面??，1111B C B N B =?

∴BN 11C B N ⊥平面 ……………… 9分

（3）连接CN ，

3

32442

14313

1=

???

?=

??=

?-ABN BCN C S BC V … 11分

∴1111BB B ANB CB C B =⊥平面，1BB NM ⊥，CB C B NM 11平面?， ∴ CB C B NM 11平面⊥，

3

1288443

13

11111=

???=

??=

-CB C B CB C B N S NM V 矩形… 13分

此几

何

体的

体

积323

643

3211=+=+=--CB C B N BCN C V V V 3

1603

128

33211=+

=

+=--CB C B N BCN C V V V …14分

19、(本题满分14分)

解：（Ⅰ）解：由题设得??

?

??+==++=222622c b a c a a c a ……………… 2分

解得： 3,2==b a ，1=c … 4分

故C 的方程为

13

4

2

2

=+

y

x

. ……… 5分 离心率e 2

1=

…… 7分

（2）直线A F 1的方程为)1(3+=

x y ，…… 8分

设点O 关于直线A F 1对称的点为),(00y x M ，则

???

?

??

?

=-=???????

?+=-=?2323)12(32

130000

y x x y x y （联立方程组正确，可得至10分）

所以点M 的坐标为 )2

3,

2

3(-

……………………………… 11分

∵PM PO =，222MF PM PF PO PF ≥+=+，… 12分

||||2PO PF +的最小值为7)

02

3(

)12

3(||2

2

2=-+--=

MF …………… 14分

20．解：2

2

2

1()

1'()x a x a x a f x x x

x

x

x

----=

+

=

-

=

(0x >) ………………… 2分

（1）因为曲线()y f x =在点（1，(1)f ）处的切线与直线12

1+=x y 垂直，

， 所以'(1)-2f =，即12, 3.a a -=-=解得 ……………………………………4分

(2)当01a <≤时，'()0f x >在（1，2）上恒成立，

这时()f x 在[1，2]上为增函数

min ()(1)1f x f a ∴==- ………………………………………6分 当12a <<时，由'()0f x =得，(1,2)x a =∈

对于(1,)x a ∈有'()0,f x <()f x 在[1，a ]上为减函数，

对于(,2)x a ∈有'()0,f x >()f x 在[a ，2]上为增函数，

min ()()ln f x f a a ∴== …………………………………8分

当2a ≥时，'()0f x <在（1，2）上恒成立，

这时()f x 在[1，2]上为减函数，

min ()(2)ln 212

a f x f ∴==+-.…………………………………10分

于是，①当01a <≤时，min ()1f x a =-0≤ ②当12a <<时，min ()ln f x a =，令2

1ln =a ，得e a =

…11分

③当a ≤2时，min ()ln 212

a f x =+-2

12ln >≥…12分

综上，e a =

……………………………14分

21、【解】：（1）由知得：

1111

+=+n

n a a ，即

1111

=-+n

n a a

所以数列}1{

n

a 为首项为1，公差为1的等差数列，……2分

n n a n

=?-+=∴

1)1(11

从而 n

a n 1= …………………………………4分

（2）n

n

n

n n a b 2

21=

?=

……5分

所以 2

3

12322

2

2

n n

n T =

++++

……………① ， 2

3

4

1

112322

2

2

2

n n n T =

+++++

，……………②

由①-②，

得2311111

1[1()]

11111122

21()11222222222212

n

n n n n n n n n n n n T -=-=-=--=--

+++++++++． 所以222

n n

n T =-

+． ……………………………………………9分

（3） =+++2

12

1n n a

a =

(1)111111(1)

(1)

1

n n n n n n n

n ++=

=+

=+

-

+++，……11分

2014

12014)20141201311()41311()3121

1()211

11(12013

1

2

12-

=-+++-++-++-+

=++=

∑

=+ i i i a a P

所以，不超过P 的最大整数为2013． ………………………………14分

广东省茂名市2013年第一次高考模拟考试

数学试卷（文科）

第一部分选择题（共50分）

一、选择题（本大题共1 0小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的）

1．已知{}

0,1P =，{}|11Q x x =-≤≤，则P Q = ( )

A ．{}

0,1 B ．{}0,1 C ．

D ．{}0

2．气象台预报“茂名市明天降雨的概率是80%”，下列理解正确的是( )。 A ．茂名市明天将有80%的地区降雨 B ．茂名市明天将有80%的时间降雨 C ．明天出行不带雨具肯定要淋雨 D ．明天出行不带雨具淋雨的可能性很大 3．计算：2(1)i i +=( )

A ．-2

B ．2

C ．2i

D ．-2i 4．已知双曲线

2

2

1(0)5

x

y

m m

-

=>的右焦点F(3，o)，则此双曲线的离心率为( )

A ．6

B ．

2

C ．

32

D ．

34

5．已知向量(1,2),(2,1)a x b =-=

,则a b ⊥ 的充要条件是（ ）

A ．12

x =-

B ．1x =-

C ．5x =

D ．x =0

6．函数1

21()()2

x

f x x =-的零点个数为( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

7．某程序框图如图所示，该程序运行后， 输出的x 值为31，则a 等于( ) A ．0 B ．1

C ．2

D ．3

8．若某一几何体的正视图与侧视图均为边长是1的正方 形，且其体积为12

，则该几何体的俯视图可以是

( )

9．函数1()ln()f x x x

=-

的图象是

( )

10．设向量12(,)a a a = ，12(,)b b b = ，定义一运算：12121122(,)(,)(,)a b a a b b a b a b ?=?=

已知1

(,2)2

m = ，11(,sin )n x x = 。点Q 在()y f x =的图像上运动，且满足O Q m n =?

（其中O 为坐标原点），则()y f x =的最大值及最小正周期分别是( ) A ．1,2

π B ．

1,42

π C ．2,π D ．2,4π

第二部分 非选择题（共100分）

二、填空题（本大题共5小题，第14、15小题任选一道作答，多选的按第14小题给分，共20分）

（一）必做题：第1 1至1 3题为必做题，每道试题考生都必须作答。 11．在区间[]1,2-上任意取一个数x ，则[]0,1x ∈的概率为 。 12．已知函数tan ,2010()3

2010,2010x x f x x x π?

=??->?

，则[](2010)f f = 。

13．目标函数3z x y =+在约束条件302300x y x y +-≤??

-≥??≥?

下取得的最大值是 。

（二）选做题（14 -15题，考生只能从中选做一题；两题全答的，只计第一题的分）。

14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的参数方程为2cos sin x y θθ

=+??

=? (θ为参数)，则曲线

C 上的点到直线3x-4y+4=0的距离的最大值为 。

15．（几何证明选讲选做题）如图，⊙O 的直径AB ＝6cm ，P 是AB

延长线上的一点，过P 点作⊙O 的切线，切点为C ，连接AC ， 若∠CPA ＝30°，PC ＝_____________

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明， 证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分）

如图所示，角A 为钝角，且4cos 5

A =

，点P 、Q 分别在角A

的两边上.

（1）已知A P =5，AQ =2，求PQ 的长； （2）设)

2sin(,13

12cos ,,βααβα+==∠=∠求且AQP APQ 的值.

17.（本小题满分1 2分）

某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取40名学生的笔试成绩，按成绩共分成 五组：第1组[)75,80，第2组[)80,85，第3组[)85,90，第4组[)90,95，第5组[]95,100， 得到的频率分布直方图如图所示，同时规定成绩在9()分以上（含90分）的学生为“优秀”， 成绩小于90分的学生为“良好”，且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格。

(1)求“优秀”和“良好”学生的人数：

(2)如果用分层抽样的方法从“优秀”和 “良好”的学生中选出10人，求“优 秀”和“良好” 的学生分别选出几人？ (3)若甲是在(2)选出的 “优秀”学生中 的一个，则从选出的“优秀”学生中再 选2人参加某专项测试，求甲被选中的

概率是多少？

18．（本小题满分14分）

在如图所示的多面体ABCDE 中，AB ⊥平面ACD ，D E ⊥平面ACD,

1A B C D ==，AC =

，AD=DE=2，G 为AD 的中点。

(1)求证：A C D E ⊥；

(2)在线段CE 上找一点F ，使得BF//平面ACD 并证明； (3)求三棱锥G B C E V -的体积。

19．（本小题满分14分）

已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n a 是n S 与2的等差中项，而数列{}n b 的首项为1， 120n n b b +--=． (1)求1a 和2a 的值；

(2)求数列{}n a ，{}n b 的通项n a 和n b ；

(3)设n n n c a b =?，求数列{}n c 的前n 项和n T 。 20.（本小题满分14分）

已知椭圆1C ：

222

2

1x

y

a b

+

= （0a b >>）过点A 3

。

（1）求椭圆1C 的方程；

（2）设椭圆1C 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，直线1l 过点1F 且垂直于椭圆的长轴，动

直线2l 垂直1l 于点P ，线段2P F 的垂直平分线交2l 于点M ，求点M 的轨迹2C 的方程；

（3）已知动直线l 过点(4,0)Q ，交轨迹2C 于R 、S 两点，是否存在垂直于x 轴的直线m

被以RQ 为直径的圆1O 所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出m 的方程；如果说不存在说明理由．

21.（本小题满分14分）

已知函数32

1

()223

g x ax x x =

+-，函数()f x 是函数()g x 的导函数.

（1）若1a =，求()g x 的单调减区间；

（2）当(0,)a ∈+∞时，若存在一个与a 有关的负数M ，使得对任意[],0x M ∈时，

4()4f x -≤≤恒成立，求M 的最小值及相应的a 值。

肇庆市中小学教学质量评估 2013届高中毕业班第一次模拟试题

数 学（文科）

本试卷共4页，21小题，满分150分. 考试用时120分钟.

注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写在答题

卡的密封线内.

2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；

如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷上. 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷

各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 参考公式：锥体的体积公式13

V Sh =

其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分. 在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的. 1．设i 为虚数单位，复数i a z 31-=，bi z +=22，其中a 、b ∈R. 若12z z =，则ab =

A ．1-

B ．5

C ．6-

D ．6

2．已知全集{2,1,0,1,2,3,4,5,6}U =--，集合M ={大于2-且小于5的整数}，则=M C U

A ．?

B ．{6}

C ．{2,6}-

D ．{2,5,6}- 3．命题“?x ∈R ，12

A ．,21x

x ?∈≥R B ．,21x

x ?∈∈?x

R x

4．甲、乙两种水稻试验品种连续5年的单位面积平均产量如下（单位：t/hm 2

），根据这组

数据下列说法正确的是

A ．甲品种的样本平均数大于乙品种的样本平均数

B ．甲品种的样本平均数小于乙品种的样本平均数 C. 甲品种的样本方差大于乙品种的样本方差 D. 甲品种的样本方差小于乙品种的样本方差

5．已知等差数列{n a }，满足398a a +=，则此数列的前11项的和11S =

A ．44

B ．33

C ．22

D ．11

6．平面上有三个点A （2，2）、M （1，3）、N （7，k ），若向量AM 与AN 垂直，则k =

A ．6

B ．7

C ．8

D ．9 7．阅读如图1的程序框，并判断运行结果为

A ．55

B ．-55

C ．5

D ．-5 8．设变量,x y 满足2

0403x y x y y -≤??

≤+≤??≤≤?

，则32z x y =+的最大值为

A ．1

B ．9

C ．11

D ．13 9．△ABC

中，3,4A B B C A C ==

=，则△ABC 的面积是

A ．2

3 B

．

2

C ．3 D

．10．设集合{}012345,,,,,M A A A A A A =，在M 上定义运算“?”为：i j k A A A ?=，其

中k 为i j +被4除的余数，,0,1,2,3,4,5i j =．则满足关系式20()a a A A ??=的

()a a M ∈的个数为

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. （一）必做题（11～13题） 11

．函数()ln f x x =

的定义域为__▲__.

12．若圆心在直线y x =

M 与直线4x y +=相切，

则圆M 的方程是__▲__.

13．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图2所示，则其表面积．．．

等于__▲__.

（ ） ▲

14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆2ρ=上的点到直线

(

)

6s i n 3c o s =+

θθρ的距离的最小值为__▲__.

15．（几何证明选讲选做题）如图3，D 是⊙O 的直径AB 延长线上一点，PD 是⊙O 的切线，

P 是切点，∠D =30°，4,2AB BD ==，则PA =__▲__.

三、解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．（本小题满分12分）

已知函数1cos

2)6

2cos()3

2sin()(2

-+-

+-

=x x x x f π

π

，x ∈R ．

（1）求函数)(x f 的最小正周期； （2）求函数)(x f 在区间]4

,4[π

π-上的最大值和最小值．

17．（本小题满分13分）

某市电视台为了宣传举办问答活动，随机对该市15～65岁的人群抽样了n 人，回答问题统计结果如下图表所示：

（1）分别求出a ，b ，x ，y 的值；

（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2，3，4组每组各抽取多少人?

（3）在（2）的前提下，电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．

18．（本小题满分13分）

如图4，PA 垂直于⊙O 所在平面ABC ，AB 为⊙O 的直径，PA =AB =2，

14BF BP =

，C

是弧AB 的中点.

（1）证明：BC ⊥平面PAC ；

（2）证明：CF ⊥BP ；

（3）求四棱锥C —AOFP 的体积. 19．（本小题满分14分）

已知S n 是数列{}n a 的前n 项和，且11=a ，)(2*1N n S na n n ∈=+. （1）求234,,a a a 的值； （2）求数列{}n a 的通项n a ； （3）设数列{}n b 满足2(2)n n

b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .

20．（本小题满分14分）

已知圆C 的方程为22270x y x ++-=，圆心C 关于原点对称的点为A ，P 是圆上任一点，线段A P 的垂直平分线l 交P C 于点Q .

（1）当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹L 方程； （2）过点B （1，

2

1）能否作出直线2l ，使2l 与轨迹L 交于M 、N 两点，且点B 是线

段MN 的中点，若这样的直线2l 存在，请求出它的方程和M 、N 两点的坐标；若不存在，请说明理由.

肇庆市中小学教学质量评估 2013届高中毕业班第一次模拟试题

数 学（文科）参考答案

一、选择题

10B 解析：设i a A =，则20()a a A A ??=等价于22i +被4除的余0，等价于i 是奇数.故a 可取135,,A A A

二、填空题

11．(0,1] 12．22(1)(1)2x y -+-=或22(3)(3)2x y -+-=（对1个得3分，对2个得5分）

13．24+ 14．1 15．三、解答题

16．（本小题满分12分） 解：（1）x x x x x x f 2cos 6

sin

2sin 6

cos

2cos 3sin

2cos 3cos

2sin )(+++-=π

π

π

π

（3分）

x x 2cos 2sin += （4分）

)4

2sin(2π

+

=

x （5分） 所以函数)(x f 的最小正周期ππ==2

2T . （6分）

（2）因为)(x f 在区间]8

,4[π

π-上是增函数，在区间]4

,8[

π

π上是减函数， （8分）

又1)4

(-=-

π

f ，2)8

(

=π

f ，1)4

(

=π

f ， （11分）

故函数)(x f 在区间]4

,

4

[π

π-上的最大值为2，最小值为-1. （12分）

17．（本小题满分13分）

解：（1）由频率表中第1组数据可知，第1组总人数为5100.5

=，

再结合频率分布直方图可知10010

01.010=?=

n . （1分）

∴a =100×0.020×10×0.9=18， （2分）

b=100×0.025×10×0.36=9， （3分）