广西2018届中考数学专题复习题型 二一次函数与反比例函数的综合 Word版 含答案

题型（二）一次函数与反比例函数的综合

1.（2017东营）如图，一次函数y=kx+b的图象与坐标轴分别交于A、B两点，与反比例函数y=的图象在第一象

限的交点为C，CD⊥x轴，垂足为D，若OB=3，OD=6，△AOB的面积为3．

（1）求一次函数与反比例函数的解析式；

（2）直接写出当x＞0时，kx+b﹣＜0的解集．

【分析】（1）根据三角形面积求出OA，得出A、B的坐标，代入一次函数的解析式即可求出解析式，把x=6代入求出D的坐标，把D的坐标代入反比例函数的解析式求出即可；

（2）根据图象即可得出答案．

【解答】（1）∵S△AOB=3，OB=3，

∴OA=2，

∴B（3，0），A（0，﹣2），

代入y=kx+b得：，

解得：k=，b=﹣2，

∴一次函数y=x﹣2，

∵OD=6，

∴D（6，0），CD⊥x轴，

当x=6时，y=36﹣2=2

∴C（6，2），

∴n=632=12，

∴反比例函数的解析式是y=；

（2）当x＞0时，kx+b﹣＜0的解集是0＜x＜6．

【点评】本题考查了用待定系数法求出函数的解析式，一次函数和和反比例函数的交点问题，函数的图象的应用，主要考查学生的观察图形的能力和计算能力．

2.（2017张掖）已知一次函数y=k1x+b与反比例函数y=的图象交于第一象限内的P（，8），Q（4，m）两点，

与x轴交于A点．

（1）分别求出这两个函数的表达式；

（2）写出点P关于原点的对称点P'的坐标；

（3）求∠P'AO的正弦值．

【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题；KQ：勾股定理；T7：解直角三角形．

【分析】（1）根据P（，8），可得反比例函数解析式，根据P（，8），Q（4，1）两点可得一次函数解析式；

（2）根据中心对称的性质，可得点P关于原点的对称点P'的坐标；

（3）过点P′作P′D⊥x轴，垂足为D，构造直角三角形，依据P'D以及AP'的长，即可得到∠P'AO的正弦值．【解答】解：（1）∵点P在反比例函数的图象上，

∴把点P（，8）代入可得：k2=4，

∴反比例函数的表达式为，

∴Q （4，1）．

把P（，8），Q （4，1）分别代入y=k1x+b中，

得，

解得，

∴一次函数的表达式为y=﹣2x+9；

（2）点P关于原点的对称点P'的坐标为（，﹣8）；

（3）过点P′作P′D⊥x轴，垂足为D．

∵P′（，﹣8），

∴OD=，P′D=8，

∵点A在y=﹣2x+9的图象上，

∴点A（，0），即OA=，

∴DA=5，

∴P′A=，

∴sin∠P′AD=，

∴sin∠P′AO=．

3.（2017宜宾）如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象交于点A（﹣3，m+8），B（n，﹣6）两点．

（1）求一次函数与反比例函数的解析式；

（2）求△AOB的面积．

【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．

【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数求出m的值，从而得到点A的坐标以及反比例函数解析式，再将点B坐标代入反比例函数求出n的值，从而得到点B的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式求解；

（2）设AB与x轴相交于点C，根据一次函数解析式求出点C的坐标，从而得到点OC的长度，再根据S△AOB=S△AOC+S 列式计算即可得解．

△BOC

【解答】解：（1）将A（﹣3，m+8）代入反比例函数y=得，

=m+8，

解得m=﹣6，

m+8=﹣6+8=2，

所以，点A的坐标为（﹣3，2），

反比例函数解析式为y=﹣，

将点B（n，﹣6）代入y=﹣得，﹣=﹣6，

解得n=1，

所以，点B的坐标为（1，﹣6），

将点A（﹣3，2），B（1，﹣6）代入y=kx+b得，

，

解得，

所以，一次函数解析式为y=﹣2x﹣4；

（2）设AB与x轴相交于点C，

令﹣2x﹣4=0解得x=﹣2，

所以，点C的坐标为（﹣2，0），

所以，OC=2，

S△AOB=S△AOC+S△BOC，

=3233+3231

=3+1=4．

4.（2017宁夏）直线y=kx+b 与反比例函数y=（x ＞0）的图象分别交于点 A （m ，3）和点B （6，n ），与坐标轴分别交于点C 和点D ．

（1）求直线AB 的解析式；

（2）若点P 是x 轴上一动点，当△COD 与△ADP 相似时，求点P 的坐标．

【分析】（1）首先确定A 、B 两点坐标，再利用待定系数法即可解决问题；

（2）分两种情形讨论求解即可．

【解答】解：（1）∵y=kx+b 与反比例函数y=（x ＞0）的图象分别交于点 A （m ，3）和点B （6，n ）， ∴m=2，n=1，

∴A （2，3），B （6，1），

则有，

解得，

∴直线AB 的解析式为y=﹣x+94

（2）如图①当PA ⊥OD 时，∵PA ∥CC ，

∴△ADP ∽△CDO ，

此时p （2，0）．

②当AP ′⊥CD 时，易知△P ′DA ∽△CDO ，

∵直线AB 的解析式为y=﹣x+4，

∴直线P ′A 的解析式为y=2x ﹣1，

令y=0，解得x=，

∴P ′（，0），

综上所述，满足条件的点P 坐标为（2，0）或（，0）．

【点评】本题考查反比例函数综合题、一次函数的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．

5.（2017安顺）已知反比例函数1k y x

=的图象与一次函数2y ax b =+的图象交于点()1,4A 和(),2B m - .

（1）求这两个函数的表达式；

（2）根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值x 的取值范围.

【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．

【分析】（1）由A 在反比例函数图象上，把A 的坐标代入反比例解析式，即可得出反比例函数解析式，又B 也在反比例函数图象上，把B 的坐标代入确定出的反比例解析式即可确定出m 的值，从而得到B 的坐标，由待定系数法即可求出一次函数解析式；

（2）根据题意，结合图象，找一次函数的图象在反比例函数图象上方的区域，易得答案．

【解答】解：（1）∵A （1，4）在反比例函数图象上，

∴把A （1，4）代入反比例函数y 1=得：4=

，解得k 1=4，

∴反比例函数解析式为y 1=的，

又B （m ，﹣2）在反比例函数图象上，

∴把B （m ，﹣2）代入反比例函数解析式，

解得m=﹣2，即B （﹣2，﹣2），

把A （1，4）和B 坐标（﹣2，﹣2）代入一次函数解析式y 2=ax+b 得：

，

解得：， ∴一次函数解析式为y 2=2x+2；

（2）根据图象得：﹣2＜x ＜0或x ＞1．

6.（2017贵港）如图，一次函数24y x =- 的图象与反比例函数k y x

=

的图象交于,A B 两点，且点A 的横坐标为3 .

（1）求反比例函数的解析式；

（2）求点B 的坐标.

【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．

【分析】（1）把x=3代入一次函数解析式求得A 的坐标，利用待定系数法求得反比例函数解析式；

（2）解一次函数与反比例函数解析式组成的方程组求得B 的坐标．

【解答】解：（1）把x=3代入y=2x ﹣4得y=6﹣4=2，

则A 的坐标是（3，2）．

把（3，2）代入y=得k=6，

则反比例函数的解析式是y=；

（2）根据题意得2x ﹣4=，

解得x=3或﹣1，

把x=﹣1代入y=2x ﹣4得y=﹣6，则B 的坐标是（﹣1，﹣6）．

7.（2017天水）如图所示，一次函数y kx b =+与反比例函数m y x

=的图象交于()2,4A ，()4,B n -两点.

(1)分别求出一次函数与反比例函数的表达式；

(2)过点B作BC x

△的面积.

^轴，垂足为点C，连接AC，求ACB

【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．

【分析】（1）将点A坐标代入y=可得反比例函数解析式，据此求得点B坐标，根据A、B两点坐标可得直线解析式；

（2）根据点B坐标可得底边BC=2，由A、B两点的横坐标可得BC边上的高，据此可得．

【解答】解：（1）将点A（2，4）代入y=，得：m=8，

则反比例函数解析式为y=，

当x=﹣4时，y=﹣2，

则点B（﹣4，﹣2），

将点A（2，4）、B（﹣4，﹣2）代入y=kx+b，

得：，

解得：，

则一次函数解析式为y=x+2；

（2）由题意知BC=2，

则△ACB的面积=3236=6．

8.（2017岳阳）如图，直线y=x+b与双曲线y=（k为常数，k≠0）在第一象限内交于点A（1，2），且与x轴、y轴分别交于B，C两点．

（1）求直线和双曲线的解析式；

（2）点P在x轴上，且△BCP的面积等于2，求P点的坐标．

【分析】（1）把A（1，2）代入双曲线以及直线y=x+b，分别可得k，b的值；

（2）先根据直线解析式得到BO=CO=1，再根据△BCP的面积等于2，即可得到P的坐标．

【解答】解：（1）把A（1，2）代入双曲线y=，可得k=2，

∴双曲线的解析式为y=；

把A （1，2）代入直线y=x+b ，可得b=1，

∴直线的解析式为y=x+1；

（2）设P 点的坐标为（x ，0），

在y=x+1中，令y=0，则x=﹣1；令x=0，则y=1，

∴B （﹣1，0），C （0，1），即BO=1=CO ，

∵△BCP 的面积等于2，

∴BP 3CO=2，即|x ﹣（﹣1）|31=2，

解得x=3或﹣5，

∴P 点的坐标为（3，0）或（﹣5，0）．

9.（2017黄冈）已知：如图，一次函数y=-2x+1与反比例函数y=k x

的图像有两个交点A(-1，m)和B,过点A 作AE ⊥X 轴，垂足为点E ；过点B 作BD ⊥ｙ轴，垂足为点Ｄ，且点Ｄ的坐标为（0，-2），连接DE 。

⑴求k 的值；

⑵求四边形AEDB 的面积。

【思路分析】（1）先将A 点坐标代入一次函数解析式中求出m 的值，然后将A 点坐标代入反比例函数中求出k 的值；

（2）先求出一次函数与y 轴的交点坐标，然后将四边形AEDB 分成平行四边形和直角三角形面积之和来求.

【答案】解：（1）把A （-1，m ）代入y=-2x+1中，得m=2+1=3，∴A （-1,3）.

∵A （-1,3）在反比例函数y=k x

的图像上， ∴ 3.1k =-∴k=-3.

（2）设直线与y 轴的交点为M ，

∵一次函数的解析式为y=-2x+1，∴M(0，1)

∴MD=3，∵AE=3，

∴AE 与MD 平行且相等，∴四边形AEDM 为平行四边形.

∵D(0，-2），∴B(32

,-2) ∴S 四边形AEDB =S □AEDM +S ΔMDB =133+

13322??=214. 【点评】求反比例函数解析式一般需要通过待定系数法，求不规则图形的面积一般是转化为规则图形面积的和差问题解决．

10.（2017白银）已知一次函数1y k x b =+与反比例函数2k y x =的图象交于第一象限内的()1,8,4,2P Q m ?? ???

两点，

与x 轴交于A 点.

（1）分别求出这两个函数的表达式；

（2）写出点P 关于原点的对称点P '的坐标；

（3）求P AO '∠的正弦值

.

解：（1）∵点P 在反比例函数的图象上，

∴把点P (

12，8)代入k y x

=2可得：k 2=4， ∴反比例函数的表达式为4y x

=， 1分 ∴Q (4，1) ．

把P (12，8)，Q (4，1)分别代入1y k x b =+中，得 1118214k b k b ?=+???=+?， 解得129k b =-??=?，

∴一次函数的表达式为29y x =-+； 3分

（2）P ′(12

-,-8) 4分

（3）过点P ′作P ′D ⊥x 轴，垂足为D. 5分 ∵P ′(12-,-8), ∴OD =

12，P ′D =8， ∵点A 在29y x =-+的图象上， ∴点A （92，0），即OA =92

, ∴DA =5, ∴P ′A

6分

∴sin ∠P ′

AD P P D A ''=== ∴sin ∠P ′

AO ． 7分 11.（2017内江）已知A （﹣4，2）、B （n ，﹣4）两点是一次函数y=kx+b 和反比例函数

y=图象的两个交点．

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；

（2）求△AOB 的面积；

（3）观察图象，直接写出不等式kx+b

﹣＞0的解集．