含边端半圆孔有限宽平板的理论应力集中系数与孔径板宽的变化关系
有限元作业报告
含边端半圆孔有限宽平板的理论应力集中系数与孔径/板宽的变化关系
2013年11月
目录
目录 ............................................................................................................................................................ I 第1章目的和意义 . (1)
1.1 应力集中 (1)
1.2 理论应力集中系数 (1)
1.3 平面问题的应力集中 (1)
1.4 利用有限元分析 (1)
第2章软件介绍 (2)
2.1 MSC.PATRAN (2)
2.2 MSC.NASTRAN (2)
第3章基本模型和数据 (4)
3.1 基本模型 (4)
3.2 基本数据 (4)
第4章计算分析 (5)
学习体会和建议 (11)
第1章 目的和意义
第1章 目的和意义
1.1 应力集中
应力集中是应力在固体局部区域内显著增高的现象。多出现于尖角、孔洞、缺口、沟槽以及有刚性约束处及其邻域。应力集中会引起脆性材料断裂；使物体产生疲劳裂纹。在应力集中区域，应力的最大值（峰值应力）与物体的几何形状和加载方式等因素有关。局部增高的应力值随与峰值应力点的间距的增加而迅速衰减。由于峰值应力往往超过屈服极限而造成应力的重新分配，所以，实际的峰值应力常低于按弹性力学计算出的理论峰值应力。
1.2 理论应力集中系数
工程上，用应力集中系数来表示应力增高的程度。它是峰值应力max σ与不考虑应力集中时适当选取的基准应力n σ的比值，恒大于1且与载荷大小无关。峰值应力可根据弹性力学的理论或有限元计算得到，也可根据光弹性实验或其他实验应力分析方法测定。其中基准应力是人为规定的，取值方式不唯一，在后面的分析中给出两种常用表达方式。本文将用α来表示理论应力集中系数，其表达式为：
n
σσαmax
=
1.3 平面问题的应力集中
由弹性理论可知，对于平面问题的应力集中问题，应力分布只取决于构建的形状以及边界上的载荷条件，而与材料的弹性常数无关，于是在实验应力分析中，利用力学性质不同的材料制作模型，以替代真实构件进行应力分析，对平面问题是精确的。
1.4 利用有限元分析
早起理论应力集中系数通过复杂的计算，可以得到精确解。随着实验手段的发展，如电测法、光弹性法、散斑干涉法、云纹法等实验手段（见实验应力分析）均可测出物体的应力集中。随着科技的进步，计算机和有限元法以及边界元法的迅速发展，为寻找应力集中的数值解开辟了新途径。本文利用PATRAN 进行有限元方法的数值计算便是一种快速有效的方法。
第2章软件介绍
2.1 MSC.PATRAN
图 2-1 MSC.PATRAN软件
MSC.PATRAN最早由美国宇航局(NASA)倡导开发的, 是工业领域最著名的并行框架式有限元前后处理及分析系统，其开放式、多功能的体系结构可将工程设计、工程分析、结果评估、用户化身和交互图形界面集于一身，构成一个完整CAE集成环境。
MSC.PATRAN提供了功能全面, 方便灵活的可满足各种分析精度要求的复杂有限元的建模能力。其综合全面、先进的网格划分技术,为用户根据不同的几何模型提供了多种不同的生成和定义有限元模型工具, 包括:多种网格划分器、有限元模型的编辑处理、单元设定、任意梁截面建模、边界和载荷定义、及交互式计算结果后处理。
MSC.PATRAN提供了多种计算分析结果可视化工具,帮助工程师灵活、快速地理解结构在载荷作用下复杂的行为, 如结构受力、变形、温度场、疲劳寿命、流体流动等。分析的结果同时可与其它有限元程序联合使用。
2.2 MSC.NASTRAN
作为世界CAE工业标准及最流行的大型通用结构有限元分析软件,
MSC.NASTRAN的分析功能覆盖了绝大多数工程应用领域,并为用户提供了方便的模块化功能选项,MSC.NASTRAN的主要功能模块有:基本分析模块(含静力、模态、屈曲、热应力、流固耦合及数据库管理等)。动力学分析模块、热传导模块、非线性分析模块、设计灵敏度分析及优化模块、超单元分析模块、气动弹性分析模块、 DMAP用户开发工具模块及高级对称分析模块。除模块化外, MSC.NASTRAN 还按解题规模分成10,000节点到无限节点,用户引进时可根据自身的经费状况和功能需求灵活地选择不同的模块和不同的解题规模, 以最小的经济投入取得最大效益。MSC.NASTRAN及MSC的相关产品拥有统一的数据库管理,一旦用户需要可方便地进行模块或解题规模扩充, 不必有任何其它的担心。
MSC.NASTRAN以每年一个小版本, 每两年一个大版本的速度更新, 用户可不断获得当今 CAE发展的最新技术用于其产品设计。目前MSC.NASTRAN的最新版本是1999年发布的V70.5版。新版本中无论在设计优化、 P单元、热传导、非线性还是在数值算法、性能、文档手册等方面均有大幅度的改进或突出的新增功能。
第3章基本模型和数据
第3章基本模型和数据
3.1 基本模型
本报告建立的模型为含边端半圆孔有限宽平板，并且是两边都有的对称情况。其形状如下：
图3-1 含边端半圆孔有限宽平板模型
3.2 基本数据
基本数据如下：
平板的几何特性：长度为200mm，宽度为100mm，厚度为3mm
平板的材料特性：选用钢，定义弹性模量E为200 GPa，泊松比为0.3，
半圆孔的半径分别选：1mm,3mm,5mm，10mm ，20mm ，30mm ，40mm ，48mm 在两边施加等大的载荷10N/mm，平板被拉伸。
建模的过程中，会随着孔径的变化，在孔附近撒种的数量进行变化，目的是为了达到一定的精确度，提高结果的准确性。
第4章计算分析
从图中可以看出我们要分析的模型具有对称性，这里我们将利用模型的1/4进行分析，从而可以得出整体的结果。事实上如果不采用这种方法，在进行分析时得不到结果。利用对称性，可以得到两个位移约束条件。
如图，对于左面来说，没有X方向的位移;对于上面来说，没有Y方向的位移。在施加约束约束时也要固定Z方向的位移（否则可以发生Z方向的平动，得不出结果来）。
有趣的是这个1/4模型与研究中心圆孔有限宽平板的模型是一样的，不过由于位移约束条件的差异，结果自然是有区别的。
图4-1 1/4模型的示意图
建模的过程首先是几何作图，这个模型的建立有多种方法。先画出矩形平面，在上面挖去1/4的圆，即扇形便可得到模型。也可先画出整体模型，再用Break的方法逐渐得到1/4的部分。也可建立体模型，这样就不用在后面定义厚度了。
下面划分网格，网格的值设为2，在圆弧周围撒种可以根据不同情况确定不同的数目，这样可提高计算的精度。
施加位移、应力约束条件，定义材料，赋予属性。模型建立就完成了。利用相似的方法完成其他几种情况的建模，计算并分析结果。
得到的图如下：
图4-2 R=1mm
图4-3 R=3mm
图4-4 R=5mm
图4-5 R=10mm
图4-6 R=20mm
图4-7 R=30mm
图4-8 R=40mm
图4-9 R=48mm
上图是对整个左面的应力分布图，可以看出在靠近应力集中地地方，应力变化
很剧烈，远离应力集中的地方，应力变化不大则比较平滑。应力集中的地方是左面上圆孔的边界处。
下面计算理论应力集中系数，给出两种表达式：
n σσαmax = 其中 d F n =σ d 是板厚
n σσα'='max 其中 ()d R B FB n 2-=
'σ
下面列出表：
圆孔半径R/mm
1 3 5 10 20 30 40 48
σmax 5.92 8.23 9.28 9.68 10.3 11.8 19 84.1 2R/B 0.02 0.06 0.1 0.2 0.4 0.6 0.8 0.96 σn 3.33 3.33 3.33 3.33 3.33 3.33 3.33 3.33 σ'n 3.40 3.55 3.70 4.17 5.55 8.33 16.67 83.33 α 1.78 2.47 2.78 2.90 3.09 3.54 5.7 25.23 α'
1.74
2.32
2.51
2.32
1.85
1.42
1.14 1.01
根据表格作图可以得到如下曲线：
在两种表达方式中，其中一种在半径接近半宽时，应力集中系数迅速增大，半径小时，变化缓和。另外一种随半径增大，应力集中系数先增大后减小。可以发现应力集中系数始终大于1。
学习体会和建议
有限元的学习是基于之前弹性静力学和线性梁理论的学习，这门课一方面进行了理论学习，另一方面学习了软件分析。理论方面确实有一定的难度，但是这是有限元分析的基础。我认为软件的学习是很有用的，尤其是对实际工程应用来说。受到课时的限制，学到的只是基本的操作，希望有机会深化自己的软件操纵能力，并真正解决一些实际问题。
。
应力集中分析
应力集中与失效分析 刘一华 （合肥工业大学土木建筑工程学院工程力学系，安徽合肥 230009） 1 引言 由于某种用途，在构件上需要开孔、沟槽、缺口、台阶等，在这些部位附近， 因截面的急剧变化，将产生局部的高应力，其应力峰值远大于由基本公式算得的 应力值。这种现象称为应力集中，引起应力集中的孔、沟槽、缺口、台阶等几何 体称为应力集中因素[1]。 因孔、沟槽、缺口、台阶等附近存在应力集中，从而，削弱了构件的强度， 降低了构件的承载能力。应力集中处往往是构件破坏的起始点，应力集中是引起 构件破坏的主要因素[2-9]。应力集中现象普遍存在于各种构件中，大部分构件的 破坏事故是由应力集中引起的。因此，为了确保构件的安全使用，提高产品的质 量和经济效益，必须科学地处理构件的应力集中问题。 2 产生应力集中的原因[1] 构件中产生应力集中的原因主要有： (1) 截面的急剧变化。如：构件中的油孔、键槽、缺口、台阶等。 (2) 受集中力作用。如：齿轮轮齿之间的接触点，火车车轮与钢轨的接触点 等。 (3) 材料本身的不连续性。如材料中的夹杂、气孔等。 (4) 构件中由于装配、焊接、冷加工、磨削等而产生的裂纹。 (5) 构件在制造或装配过程中，由于强拉伸、冷加工、热处理、焊接等而引 起的残余应力。这些残余应力叠加上工作应力后，有可能出现较大的应力集中。 (6) 构件在加工或运输中的Array意外碰伤和刮痕。 3 应力集中的物理解释[1] 对于受拉构件，当其中无裂 纹时，构件中的应力流线是均匀 分布的，如图1a所示；当其中有
一圆孔时，构件中的应力流线在圆孔附近高度密集，产生应力集中，但这种应力集中是局部的，在离开圆孔稍远处，应力流线又趋于均匀，如图1b 所示。 4 应力集中的弹性力学理论 根据弹性力学理论，可以求得圆孔、裂纹尖端以及集中力附近的应力分布情况，分别如下： 4.1 圆孔边缘附近的应力[10] 圆孔附近A 点（图2）的应力为 ???????????? ??---=???????????? ??--+=???????????? ??-+=θθστθθσσθθσσ4sin 322sin 24cos 322cos 3224cos 322cos 2442222442222 442222r a r a r a r a r a r a r a r a r a xy y x (1) 式中a 为圆孔的半径。 由(1)式可见，在孔边a r =、0=θ处，σσ3=y 。 4.2 裂纹尖端附近的应力[11] I 型裂纹尖端A 附近（图3）的应力为 ??? ??-=23sin 2sin 12cos 2I θθθπσr K x ?? ? ??+=23sin 2sin 12cos 2I θθθπσr K y (2) 23cos 2sin 2cos 2I θ θ θ πτr K xy = 式中I K 称为I 型裂纹的应力强度因子，它是裂纹尖端应力强度的度量，与载荷的大小、构件与裂纹的尺寸与形状有关，对于无限大板，a K πσ=I 。 (2)式表明，裂纹尖端附近的应力与r /1成比例，即当0→r 时，x σ、y σ、 ∞→xy τ。
应力集中的分析
1.应力集中的现象及概念 材料在交变应力作用下发生的破坏称为疲劳破坏。通常材料承受的交变应力远小于其静载下的强度极限时，破坏就可能发生。另外材料会由于截面尺寸改变而引起应力的局部增大，这种现象称为应力集中。对于组织均匀的脆性材料，应力集中将大大降低构件的强度，这在构件的设计时应特别注意。 承受轴向拉伸、压缩的构件，只有在寓加力区域稍远且横截面尺寸又无急剧变化的区域内，横截面上的应力才是均匀分布的。然而工程中由于实际需要，某些零件常有切口、切槽、螺纹等，因而使杆件上的横截面尺寸发生突然改变，这时，横截面上的应力不再均匀分布，这已为理论和试验所证实。 如图 2-31[a] 所示的带圆孔的板条，使其承受轴向拉伸。由试验结果可知 : 在圆孔附近的局部区域内，应力急剧增大，而在离开这一区域稍远处，应力迅速减小而趋于均匀( 图 2 — 31[b]) 。这种由于截面尺寸突然改变而引起的应力局部增大的现象称为应力集 中。在 I — I 截面上，孔边最大应力与同一截面上的平均应力之比，用表示 称为理论应力集中系数，它反映了应力集中的程度，是一个大于 1 的系数。而且试验结果还表明 : 截面尺寸改变愈剧烈，应力集中系数就愈大。因此，零件上应尽量避免带尖角的孔或槽，在阶梯杆截面的突变处要用圆弧过渡。
在静荷作用下，各种材料对应力集中的敏感程度是不相同的。像低碳钢那样的塑性材料具有屈服阶段，当孔边附近的最大应力达到屈服极限时，该处材料首先屈服，应力暂时不再增大。如外力继续增加，增加的应力就由截面上尚未屈服的材料所承担，使截面上其它点的应力相继增大到屈服极限，该截面上的应力逐渐趋于平均，如图2-32 所示。因此，用塑性材料制作的零件，在静荷作用下可以不考虑应力集中的影响。而对于组织均匀的脆性材料，因材料不存在屈服，当孔边最大应力的值达到材料的强度极限时，该处首先断裂。因此用脆性材料制作的零件，应力集中将大大降低构件的强度，其危害是严重的。这样，即使在静载荷作用下一般也应考虑应力集中对材料承载能力的影响。然而，对于组织不均匀的脆性材料，如铸铁，其内部组织的不均匀性和缺陷，往往是产生应力集中的主要因素，而截面形状改变引起的应力集中就可能成为次要的了，它对构件承载能力不一定会造成明显的影响。 要想搞明白这个问题，我想先要搞明白什么是荷载力、什么是应力？简单地来说荷载力来源于动力源作用于工作终端，其力的大小为工作终端负荷加传动损耗，而应力则是由材料内部的分子发生错位（部分分子受拉力或热力作用其分子链被拉长、而有些分子则受压缩力或冷凝力的作用其分子被压缩，同时这两种变形的分子又相互作用在其过渡区域就会受两种作用力的影响，分子链也会受到破坏产生裂纹）而产生的作用力。人们在生产实践中发现材料在受力情况下都会发生变形，其变形量与受力的大小及受力的区城大小有关，卸载后的剩余应力与局剖的变形量成正比，对台阶轴而言若不加任何措施、由于作用区域小其作用力仅在轴的圆周面上产生作用，轴芯部分并不受力，这种现象本人称它为集肤效应。因此此时的轴肩处的圆周面受到剪切变形，分子链相继受到破坏并向轴芯延伸最终导至轴颈断裂。若在轴肩处采用圆弧过度等措施，相对来说增加了作用区域（两作用力之间的距离增加，材料所允许的扭转角度就变大，随着轴的扭转角度的增加使得轴芯部分有更多的分子链来参加传递动力，这样每个分子链的负荷也就变小很多，轴的寿命也得以延长，值得注意的是这并不意味着此轴可永久使用，因为材料在受力的情况下都会受损，只不过程度不同，程度大的寿命短、程度小的寿命长，这也就是人们常说的疲劳寿命。 现在再来解释过盈配合为什么在边缘处产生应力集中？ 因为是过盈，所以内外圈在接触表面都要产生变形，而不接触的其它表面不会变形。这样接触面区域是压应力，而在接触边缘处轴的材料必然出现拉应力以阻止轮毂边缘和接触区外的材料进一步变形。但配合面的母线是直线，在外力作用下必然要产生相同的变形量，为了协
基于有限元理论的疲劳热点应力集中系数计算方法研究
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第十五届中国海洋（岸）工程学术讨论会论文集
基于有限元理论的疲劳热点应力集中系数 计算方法研究*
黄怀州，尹光荣，孟庆政，宋晓秋，王海龙
（海洋石油工程股份有限公司，天津 300451） 摘要：疲劳损伤是造成海洋结构物破坏的主要形式之一。主要讨论了基于有限元理论的疲劳热点应力的不同计算方法的优 劣，研究并分析在不同计算方法下的结果合理性。通过运用 ANSYS 有限元软件计算对比实验结果和公式推导，首次提出并 验证了利用高斯点积分应力外推热点应力的方法， 并运用最小二乘法推导出应力集中系数外推值与实验值的线性关系， 对利 用有限元方法分析海洋结构物的疲劳寿命具有一定的指导意义和参考价值。 关键词：疲劳；热点应力；有限元；应力集中系数 随着海洋石油工业的发展，通常要在恶劣的海况条件下建造各种平台，以适应海上钻井采油作业的需 要。海洋平台在工作时受到的环境包括风、波、流、潮汐、冰等情况，其中波浪力不仅能引起巨大的水平 方向交变荷载，且循环次数也非常频繁，是造成结构疲劳破坏的主要因素。如图 1 所示典型的管结构的疲 劳破坏。 可靠的疲劳热点应力的获得，一直都是工程界的难点。在文献[1]实验数据基础上，用有限元方法分析 了八种不同的疲劳热点应力集中系数计算方法的优劣，对比验证高斯点积分应力外推热点应力方法的准确 性和稳定性，并运用最小二乘法推导出应力集中系数外推值与实验值的线性关系，得到一套可靠的分析方 法。
图 1 管结构的疲劳破坏
1 基本理论和基本假定
1.1 基本理论 通常疲劳分析建立在 S-N 曲线和线性损伤假设基础上，公式为：
D =
∑
k
i=1
式中： D 为累积疲劳损伤； a 为设计 S ? N 曲线在 log N 轴上的截距；m 为 S ? N 曲线斜率的负倒数；k 为应力组块数量； ni 为应力组 i 的应力循环次数； Ni 为常应力幅值 Δσ i 作用下的疲劳失效循环次数；η 为 利用率，设计疲劳系数的倒数[2-3]。 理论上应力幅值 Δ σ 是由局部应力 σ local 决定，但是由于局部应力非常难以获得，工程上常采用热点
*
ni 1 = N i a
∑
k
i=1
n i ? (Δ σ
i
)m
≤ η
（1）
作者简介：黄怀州，男，结构工程师，主要从事导管架结构设计工作。Email：huanghz@https://www.360docs.net/doc/9b7723479.html,
有效应力集中系数 Kσ
有效应力集中系数Kσ、Kτ σb (MPa ) 螺纹 (Kτ=1 ) Kσ 键槽花键横孔配合 KσKτ Kσ KτKσKτH7/r6 H7/k6 H7/h6 A 型 B 型 A、 B 型 矩 形 渐 开 线 型 d0/d=0.05-0.1 5 d0/d=0.15-0.2 5 d0/d=0.05-0.2 5 KσKτKσKτKσKτ 400 1.45 1.5 1 1.3 1.2 1.3 5 2.1 1.4 1.90 1.70 1.70 2.0 5 1.5 5 1.5 5 1.2 5 1.3 3 1.1 4 500 1.78 1.6 4 1.3 8 1.3 7 1.4 5 2.2 5 1.4 3 1.95 1.75 1.75 2.3 1.6 9 1.7 2 1.3 6 1.4 9 1.2 3 600 1.96 1.7 6 1.4 6 1.5 4 1.5 5 2.3 5 1.4 6 2.00 1.80 1.80 2.5 2 1.8 2 1.8 9 1.4 6 1.6 4 1.3 1 700 2.20 1.8 9 1.5 4 1.7 1 1.6 2.4 5 1.4 9 2.05 1.85 1.80 2.7 3 1.9 6 2.0 5 1.5 6 1.7 7 1.4 800 2.32 2.0 1 1.6 2 1.8 8 1.6 5 2.5 5 1.5 2 2.10 1.90 1.85 2.9 6 2.0 9 2.2 2 1.6 5 1.9 2 1.4 9 900 2.47 2.1 4 1.6 9 2.0 5 1.7 2.6 5 1.5 5 2.15 1.95 1.90 3.1 8 2.2 2 2.3 9 1.7 6 2.0 8 1.5 7 1000 2.61 2.2 6 1.7 7 2.2 2 1.7 2 2.7 1.5 8 2.20 2.00 1.90 3.4 1 2.3 6 2.5 6 1.8 6 2.2 2 1.6 6 1200 2.90 2.5 1.9 2 2.3 9 1.7 5 2.8 1.6 2.30 2.10 2.00 3.8 7 2.6 2 2.9 2.0 5 2.5 1.8 3 1.滚动轴承与轴的配合按H7/r6选择计算。螺纹的Kτ=1。 2. 蜗杆螺旋根部有效应力集中系数Kσ=2.3～2.5Kτ=1.7～1.9
应力集中分析
应力集中分析 假设应力在整个横截面上均匀分布而且整个杆件是均匀的，则有公式A F =σ，F 为该截面上的拉内力，A 为材料该截面的横截面积。而实际上，构件并不是如此理想的，由于某种用途，在构件上经常需要有些孔洞、键槽、缺口、轴肩、螺纹或者是其他杆件在几何外形上的突变。所以在实际工程中，这些看似细小的变形可能导致构件在这些部位产生巨大的应力，其应力峰值远大于由基本公式算得的应力值，这种现象称为应力集中，从而可能产生重大的安全隐患。 应力集中削弱了构件的强度，降低了构件的承载能力。应力集中处往往是构件破坏的起始点，是引起构件破坏的主要因素。同时，应力集中的存在降低了整个构件的材料利用率，因为可能为了一部分结构的稳定而采用较高的等级的材料，与此同时构件其他部分的强度并不需要如此高的性能。因此，为了确保构件的安全使用，提高产品的质量和经济效益，必须科学地处理构件的应力集中问题。 一、 应力集中的表现及解释（主要分析拉压应力） 1、 理论应力集中系数： 工程上用应力集中系数来表示应力增高的程度。应力集中处的最大应力与基准应力之比，定义为理论应力集中系数，简称应力集中系数，即 (4) 在(4)式中，最大应力可根据弹性力学理论、有限元法计算得到，也可由实验方法测得；而基准应力是人为规定的应力比的基准，其取值方式不是唯一的，大致分为以下三种： (1) 假设构件的应力集中因素（如孔、缺口、沟槽等）不存在，以构件未减小时截面上的应力为基准应力。 (2) 以构件应力集中处的最小截面上的平均应力作为基准应力。 (3) 在远离应力集中的截面上，取相应点的应力作为基准应力。 max σn σn max σσα=max σn σ
应力集中系数的计算
应力集中系数的计算 1第一步：建立模型 先建长为200mm，宽为200mm，高20mm的长方体模型，即H=100mm。然后在用布尔运算除去t分别为10mm，20mm，30mm,40mm,50m，60mm，70mm，80mm，90mm和r分别为10mm和40mm的部分。 2第二步：定义单元类型和材料模型 定义单元类型为SOLID187—10节点，定义弹性模量E=1e6，泊松比u=0.3。 3第三步:划分网格 采用智能划分网格的方法，划分网格大小为最小1,网格单元为四面体。如图: 4第四步：添加约束和载荷
将长方体的右端面设置为全约束，在左端面施加大小为-1e4的拉力载荷。 5第五步：计算结果 6第六步：计算结果如下 我们选取实用应力集中手册中图5.1d的例子。选取r/H=0.1和r/H=0.4两条曲线来计算，结果如下： r/H=0.1,t/H=0.1 r/H=0.1,t/H=0.2 r/H=0.1,t/H=0.3 r/H=0.1,t/H=0.8
r/H=0.1，t/H=0.9 最大应力值σ，有限元分析算出的应力集中值K1和应力集中手册中的K值如下：r/H 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 t/H 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 σ29826 39359 49008 56329 64772 73731 85468 106009 156907 K1 2.68 3.15 3.43 3.38 3.24 2.95 2.6 2.12 1.57 K 2.74 3.2 3.47 3.5 3.39 3.13 2.75 2.22 1.6 误差% 2.2% 1.6% 1.2% 3.4% 4.4% 3.4% 5.5% 4.5% 1.9% 从表中也可看出，随着应力集中系数的增大，计算误差也增大，此时应将网格划分的更密，约束条件应由对其右端全约束改为约束其中点使模型更接近实际情况，从而减少误差使结果更接近实际情况。 2） r /H=0.4 t/H=0.1 r /H=0.4 t/H=0.3
应力集中系数的光弹性测定
实验十一应力集中系数的光弹性测定 一、实验目的 1．了解光弹性实验原理和光弹仪的使用方法； 2．用光弹法测定带孔拉板（或带槽拉板）的应力集中系数α。 二、光弹性实验的基本原理与方法 光弹性实验法是实验应力分析中的重要方法之一，在设计产品或科研中有着广泛的应用。它有许多种方法，例如模型法，贴片法等，这里着重介绍模型法。模型法是利用透明的塑料制成构件模型，其尺寸与构件几何相似，所加载荷也与实际构件上所受载荷相似，当模型受载时，模型中任一点沿其两个主应力方向的折射率不同，即产生暂时双折射现象。当此种受力模型置于偏振光场中，就会观察到由于这种暂时双折射而引起的干涉条纹。研究表明，这些干涉条纹与各点的主应力差及主应力方向有关，因而通过对这些条纹图（称为应力光图）的观察并借助于一些辅助手段可以测得模型内的应力，然后，由相似理论可将模型应力换算成实际构件中的应力。 1．光弹性实验仪的光路如图16所示，光源发出的光束经准光镜变为平行光。通过起偏振镜后，变成只在一个平面内振动的平面偏振光，再通过第一个1/4波片，成为圆偏振光。模型后面依次为第二个1/4波片、检偏振镜、成象透镜、滤色镜、光栏等，最后在屏幕上成像。通常起偏振镜与检偏振镜的偏振轴是正交的，而相应的两个1/4波片的快、慢轴分别与偏振镜的偏振轴成±45°角。这样组成正交圆偏振光场，在屏幕上光场背景是暗的，称为暗场，若两偏振镜的偏振轴相平行，此时背景是亮的，称为明场。 图16 光弹仪光路 2．光弹性实验基本原理 当图16中的一对1/4波片取下时，模型处于平面偏振光场中，起偏振镜后的平面偏振光入射受力模型某点时，光波将沿着该点的两个主应力方向分解为两支平面偏振光，而且这两支平面偏振光传播的速度不相等（此即暂时双折射现象），因此，在通过模型后，这两支平面偏振光波使产生了光程差δ如图17。 -31-
2017.07.22c拉弯扭作用下的台肩应力集中系数计算
——————————————— 本文于2015-09-11收到. 1) 国家自然科学基金项目(11502051)，高等学校博士学科点专项科研基金项目(20132322110003) 台肩过渡圆角应力集中系数的有限元计算1) 张强*,2) 蒋豹* 蒋婷? 丁宇奇* *(东北石油大学机械科学与工程学院，大庆 163318) ?(中海石油有限公司天津分公司，天津 300452) 摘要 有过渡圆角的台肩是工程中常见的结构，承受轴力、弯矩和扭矩载荷作用，在圆角处产生应力集中现象。将台肩离散成实体单元，使用多点约束方法实现集中力和集中力矩的施加。首先进行影响因素分析，然后研究圆角半径与台肩小端直径的比值对应力集中的影响。数值结果表明：在轴力、弯矩和扭矩作用下，台肩过渡圆角处的应力集中系数和最大应力的作用位置与光弹性实验的结果吻合较好。 关键词 台肩圆角，应力集中，有限元，多点约束 中图分类号：TE21 文献标志码：A finite element calculation of stress concentration factors for a shaft with a shoulder fillet 1) ZHANG Qiang *,2) AN Chao * XU Jie ? GAO Lei * *(Mechanical Science and Engineering College, Northeast Petroleum University, Daqing 163318, China) ?(CNOOC Ltd, Tianjin 300452, China) Abstract The shaft with a shoulder fillet is a common project structure, is subjected to the action of axial force, bending moment and torque loading. At shoulder fillet, the stress concentration occures. The shaft is discretized into solid elementes. The method of multi-point constraint is used to apply the force and moment. First, the influence factor analysis is carried out, then the influence of the ratio of the radius to the small end of the shaft on the stress concentration factor is investigated The results show that the stress concentration factor and the place of the maximum stress are consistent with the results of the light elastic experiment. Key words shoulder fillet, stress concentration, finite element, multi-point constraint 在生活与工程中随处可见轴结构，而轴上常常有槽、孔或圆角等结构，在外力作用下，这些结构产生应力集中，使结构产生疲劳破坏，造成生命和财产的损失。其中，有过渡圆角的台肩是常见的结构，研究有过渡圆角的台肩的应力集中现象对工程设计与应用具有重要的意义。 应力集中现象很早就引起了各国学者的注意，纷纷进行研究，1898年德国的G .基尔施首先得出圆孔附近应力集中的结果。1909年俄国的G .V .科洛索夫求出椭圆孔附近应力集中的公式。20世纪20年代末，苏联的N.I.穆斯赫利什维利等人把复变函数引入弹性力学，用保角变换把一个不规则分段光滑 的曲线变换到单位圆上，导出复变函数的应力表达式及其边界条件，进而获得一批应力集中的精确解。国内学者也进行了一些理论研究，其中，荆广生[1]提出一种由应力集中处附近已知的三点应力或应变值推求最大应力值的方法。王启智[2]、罗林[3]分别用近似解析和半解析半经验的方法推导了拉伸正交各向异性有限宽板偏心圆孔的应力集中系数和偏心椭圆孔板应力集中系数的解析公式。官英平[4]通过对构件一侧有圆角过渡的矩形截面悬臂梁应力集中系数的计算，应用材料力学方法，推导出一种计算应力集中系数的方法。 实验手段的发展也很快，电测法、光弹性法、
含边端半圆孔有限宽平板的理论应力集中系数与孔径板宽的变化关系讲解
有限元作业报告 含边端半圆孔有限宽平板的理论应力集中系数与孔径/板宽的变化关系 2013年11月
目录 目录 ............................................................................................................................................................ I 第1章目的和意义 . (1) 1.1 应力集中 (1) 1.2 理论应力集中系数 (1) 1.3 平面问题的应力集中 (1) 1.4 利用有限元分析 (1) 第2章软件介绍 (2) 2.1 MSC.PATRAN (2) 2.2 MSC.NASTRAN (2) 第3章基本模型和数据 (4) 3.1 基本模型 (4) 3.2 基本数据 (4) 第4章计算分析 (5) 学习体会和建议 (11)
第1章 目的和意义 第1章 目的和意义 1.1 应力集中 应力集中是应力在固体局部区域内显著增高的现象。多出现于尖角、孔洞、缺口、沟槽以及有刚性约束处及其邻域。应力集中会引起脆性材料断裂；使物体产生疲劳裂纹。在应力集中区域，应力的最大值（峰值应力）与物体的几何形状和加载方式等因素有关。局部增高的应力值随与峰值应力点的间距的增加而迅速衰减。由于峰值应力往往超过屈服极限而造成应力的重新分配，所以，实际的峰值应力常低于按弹性力学计算出的理论峰值应力。 1.2 理论应力集中系数 工程上，用应力集中系数来表示应力增高的程度。它是峰值应力max σ与不考虑应力集中时适当选取的基准应力n σ的比值，恒大于1且与载荷大小无关。峰值应力可根据弹性力学的理论或有限元计算得到，也可根据光弹性实验或其他实验应力分析方法测定。其中基准应力是人为规定的，取值方式不唯一，在后面的分析中给出两种常用表达方式。本文将用α来表示理论应力集中系数，其表达式为： n σσαmax = 1.3 平面问题的应力集中 由弹性理论可知，对于平面问题的应力集中问题，应力分布只取决于构建的形状以及边界上的载荷条件，而与材料的弹性常数无关，于是在实验应力分析中，利用力学性质不同的材料制作模型，以替代真实构件进行应力分析，对平面问题是精确的。 1.4 利用有限元分析 早起理论应力集中系数通过复杂的计算，可以得到精确解。随着实验手段的发展，如电测法、光弹性法、散斑干涉法、云纹法等实验手段（见实验应力分析）均可测出物体的应力集中。随着科技的进步，计算机和有限元法以及边界元法的迅速发展，为寻找应力集中的数值解开辟了新途径。本文利用PATRAN 进行有限元方法的数值计算便是一种快速有效的方法。
应力集中分析
应力集中与失效分析 1 引言 由于某种用途，在构件上需要开孔、沟槽、缺口、台阶等，在这些部位附近， 因截面的急剧变化，将产生局部的高应力，其应力峰值远大于由基本公式算得的 应力值。这种现象称为应力集中，引起应力集中的孔、沟槽、缺口、台阶等几何 体称为应力集中因素[1]。 因孔、沟槽、缺口、台阶等附近存在应力集中，从而，削弱了构件的强度， 降低了构件的承载能力。应力集中处往往是构件破坏的起始点，应力集中是引起 构件破坏的主要因素[2-9]。应力集中现象普遍存在于各种构件中，大部分构件的 破坏事故是由应力集中引起的。因此，为了确保构件的安全使用，提高产品的质 量和经济效益，必须科学地处理构件的应力集中问题。 2 产生应力集中的原因[1] 构件中产生应力集中的原因主要有： (1) 截面的急剧变化。如：构件中的油孔、键槽、缺口、台阶等。 (2) 受集中力作用。如：齿轮轮齿之间的接触点，火车车轮与钢轨的接触点 等。 (3) 材料本身的不连续性。如材料中的夹杂、气孔等。 (4) 构件中由于装配、焊接、冷加工、磨削等而产生的裂纹。 (5) 构件在制造或装配过程中，由于强拉伸、冷加工、热处理、焊接等而引 起的残余应力。这些残余应力叠加上工作应力后，有可能出现较大的应力集中。 (6) 构件在加工或运输中的意外碰伤和刮痕。 3 应力集中的物理解释[1] 对于受拉构件，当其中无裂Array纹时，构件中的应力流线是均匀 分布的，如图1a所示；当其中有 一圆孔时，构件中的应力流线在 圆孔附近高度密集，产生应力集 中，但这种应力集中是局部的，
在离开圆孔稍远处，应力流线又趋于均匀，如图1b 所示。 4 应力集中的弹性力学理论 根据弹性力学理论，可以求得圆孔、裂纹尖端以及集中力附近的应力分布情况，分别如下： 4.1 圆孔边缘附近的应力[10] 圆孔附近A 点（图2）的应力为 ???????????? ??---=???????????? ??--+=???????????? ??-+=θθστθθσσθθσσ4sin 322sin 24cos 322cos 3224cos 322cos 2442222442222 442222r a r a r a r a r a r a r a r a r a xy y x (1) 式中a 为圆孔的半径。 由(1)式可见，在孔边a r =、0=θ处，σσ3=y 。 4.2 裂纹尖端附近的应力[11] I 型裂纹尖端A 附近（图3）的应力为 ??? ??-=23sin 2sin 12cos 2I θθθπσr K x ?? ? ??+=23sin 2sin 12cos 2I θθθπσr K y (2) 23cos 2sin 2cos 2I θ θ θ πτr K xy = 式中I K 称为I 型裂纹的应力强度因子，它是裂纹尖端应力强度的度量，与载荷的大小、构件与裂纹的尺寸与形状有关，对于无限大板，a K πσ=I 。 (2)式表明，裂纹尖端附近的应力与r /1成比例，即当0→r 时，x σ、y σ、 ∞→xy τ。 4.3 集中力附近的应力[10]
有效应力集中系数Kσ
有效应力集中系数K^K T (MPa ) 螺纹 (K =1 ) K < 键槽花键横孑L 配合 K < K T K < K T K < K T H7/r6 H7/k6 H7/h6 A 型 B 型 A B 型 矩 形 渐 开 线 型 d0/d=0.05-0.1 5 d0/d=0.15-0.2 5 d0/d=0.05-0.2 5 K < K T K < K T K < K T 400 1.45 1.5 1.3 1.2 1.3 2.1 1.4 1.90 1.70 1.70 2.0 1.5 1.5 1.2 1.3 1.1 1 0 5 0 5 5 5 5 3 4 500 1.78 1.6 1.3 1.3 1.4 2.2 1.4 1.95 1.75 1.75 2.3 1.6 1.7 1.3 1.4 1.2 4 8 7 5 5 3 9 2 6 9 3 1.7 1.4 1.5 1.5 2.3 1.4 2.5 1.8 1.8 1.4 1.6 1.3 600 1.96 6 6 4 5 5 6 2.00 1.80 1.80 2 2 9 6 4 1 700 2.20 1.8 1.5 1.7 1.6 2.4 1.4 2.05 1.85 1.80 2.7 1.9 2.0 1.5 1.7 1.4 9 4 1 0 5 9 3 6 5 6 7 0 800 2.32 2.0 1.6 1.8 1.6 2.5 1.5 2.10 1.90 1.85 2.9 2.0 2.2 1.6 1.9 1.4 1 2 8 5 5 2 6 9 2 5 2 9 2.1 1.6 2.0 1.7 2.6 1.5 3.1 2.2 2.3 1.7 2.0 1.5 900 2.47 4 9 5 0 5 5 2.15 1.95 1.90 8 2 9 6 8 7 1000 2.61 2.2 1.7 2.2 1.7 2.7 2.20 2.00 1.90 3.4 2.3 2.5 1.8 2.2 1.6 6 7 2 2 0 8 1 1 6 6 6 2 6 1200 2.90 2.5 1.9 2.3 1.7 5 2.8 黑 2.30 2.10 2.00 3.8 2.6 2.9 2.0 2.5 1.8 2 9 0 7 2 0 5 0 3 1?滚动轴承与轴的配合按H7/r6选择计算。螺纹的K尸1。 2.蜗杆螺旋根部有效应力集中系数K <=2.3?2.5K =1.7?1.9
ansys读取 某点应力和应力集中系数的问题
ansys读取某点应力和应力集中系数的问题 2009-10-13 10:20提问者：我浩然哦|浏览次数：3086次 热应力计算结束后后处理我想查看模型某点的热应力，该怎么操作？ 还有应力集中部位有多个但我想查看其中某个位置的应力集中系数可以查看吗？怎么操作？ 我来帮他解答 精彩回答 2009-10-13 22:33 GUI操作：在General Postproc——Query Results——Subgrid Solu，选择你想显示的节点。 命令流： 1. 最简单的办法是使用NSORT，打印出结果，可以通过控制使其输出到文件 2. 使用apdl能复杂一点，下面是以前经常用的一段命令流，参考着修改一下吧 *CREATE,GET_node_inf,mac, *GET,Nnod,NODE,0,COUNT !获取所选择的节点总数 *DIM,S_Xyz,ARRAY,NNOD,5 !定义1个数组存放数据 *GET,Nd,NODE,0,NUM,MIN !获取最小的节点编号 *DO,I,1,Nnod,1 S_Xyz(I,1)=Nd !将节点列表放数组第1列 S_Xyz(I,2)=NX(Nd) !节点的X坐标放数组第2列 S_Xyz(I,3)=NY(Nd) !节点的Y坐标放数组第3列 S_Xyz(I,4)=NZ(Nd) !节点的Z坐标放数组第4列 !*GET,S_Xyz(I,5),NODE,ND,S,EQV !节点的von mises值放数组第5列 *GET,S_Xyz(I,5),NODE,ND,U,SUM !节点的总变形值值放数组第5列 Nd=NDNEXT(Nd) !读出下一个节点编号 *ENDDO *END *CREATE,OUT_node_inf,mac, *CFOPEN,node_info,txt,, *VWRITE,S_Xyz(1,1),S_Xyz(1,2),S_Xyz(1,3),S_Xyz(1,4),S_Xyz(1,5) (F10.0,3F15.4,E15.5) *CFCLOS *END GET_node_inf OUT_node_inf /delete,GET_node_inf,mac /delete,OUT_node_inf,mac
应力集中
理论应力集中系数只与结构形式、尺寸精度有关，因此应尽量不影响零件的工作和工艺要求的前提下，改变零件的局部几何形状，来降低理论应力集中系数，也叫尺寸系数。 降低措施主要有以下几种： 第一、改善机械零件的几何形状 1.避免使用尖角，使用圆角，但要考虑加大圆角半径的限度，不能过大，否则会产 生害处，圆弧过长也不好。 2.加卸载槽，并适当提高局部刚度。车轴、十字轴都可以使用。 在与车轴配合的齿轮、车轮等工作时，由于车轴受扭矩的作用，因而在轮毂与车轴接触部分产生根大的接触应力。在实践中，由于这种缘故，除了车轴产生疲劳断裂外，特别是接触部分的疲劳腐蚀也大大加快。为避免这种情况，有时在轮毂面上，这不仅可以降低轮毂扭转接触端B的集中压力，形成较均匀的压力分布，而且可以轮毂圆周部A点的应力集中系数，从而可以提高轴和轮毂两者的疲劳强度。但轮毂的刚度会受到一定损失。为保持刚度不变，必须加大轮毂的厚度t. 图1.轮毂轴设计 3.采用流线型型线 有时在凹口、圆角等部分，不用圆弧，而采用降低应力集中系数的特殊的曲线形状更为有利。如图2a所示的圆角， 图2b的凹口，为避免其底部A点的最大应力，可将A点的曲率半径取得大些，而在凹口的两侧使曲率半径依次减小。这些都是为了沿应力增大的边界使正应力恒定而寻求适当的边界形状。在圆角部分，一般认为内部产生的应力比边界上的最大应力还要小，所以只要研究边界应力就可以了。在工程实践中往往利用顺次变化曲率半径（stream line fillet）以降低应力集中系数。
4.采用双曲率型线 5.适当采用椭圆孔和类椭圆孔 第二、适当选择开孔（应力集中因素）的位置 结构性能上理想的位置并且是避免应力集中最理想的位置，来统筹兼顾选出最佳形状。当应力集中因素的尺寸与物体大小相比不小的情况下，由于应力集中因素的存在会使物体的基本应力分布变化，所以此时必须慎重的考虑应力集中。而当应力集中因素的尺寸比物体明显的小时，物体的基本应力分布不会由于应力集中因素的存在而发生很大的变化。 对应力集中的位置，必须考虑两个基本原则： (1)选择开在物体应力低的部位； (2)应力集中因素的存在不会导致与物体的相互干扰而引起的应力上升。 a.物体的应力分布 应努力避免将圆孔、凹口等应力集中因素配置在梁或轴的最大弯矩位置附近。 b.应力集中因素与物体表面的干扰 第三、根据载荷情况选择适当的开孔方向 应避免将椭圆孔或长孔的长轴配置在垂直与拉伸或压缩应力的方向上，尽量平行。 第四、孔边局部加强 图3 在平板上开一小圆孔，单向拉伸，应力集中系数偏大，接近3.如果在圆孔周围焊上一个加
应力集中
应力集中 耿建辉 （山东理工大学交通与车辆工程学院能源与动力工程1402） 摘要：应力集中式影响金属材料及构件疲劳性能的主要因素之一，是目前各工程领域广泛研究的课题。文章通过查找相关资料就应力集中的概念描述，程度描述，影响因素，及其在工程生活中的应用与避免做了系统阐述。 关键词：应力集中；理论应力集中系数；集中程度；影响因素；应用于避免。 引言：实际工程中，有些零件必须有切口、切槽、油孔、螺纹、轴肩等，以致在这些部位上截面尺寸发生突然变化，将产生局部的高应力其应力峰值远大于由基本公式算得的应力值，这种现象称为应力集中。应力集中降低了构件的承载能力，应力集中处往往是构件破坏的起始点，是引起构件破坏的主要因素。应力集中现象普遍存在于各种构件中，因此，为了确保构件的安全使用，提高产品的质量和经济效益，必须科学地处理构件的应力集中问题。 一、应力集中概念 应力集中是指结构或构件的局部区域的最大应力值比平均应力值高的现象。因杆件外形突然变化而引起的局部应力急剧增大的现象称为应力集中。 例如开有圆孔或切口的板条（如图a,b） 板条受拉时在圆孔或切口附近的局部区域应力将局部增大，但在离开圆孔或者切口稍远处应力就迅速降低而趋于均匀。灰 二、应力集中的计算 σ，同一截面上的平均盈利为σ，则设发生应力集中的截面上的最大应力为max 比值
称为理论应力集中系数，其值大于1，反映了应力集中的程度。实验结果表明：截面尺寸改变的越急剧，角越尖，孔越小，应力集中地程度就越严重。因此零部件上应尽可能的避免带尖角的孔和槽，在阶梯轴的轴肩处要用圆弧过渡，而且尽量使圆弧半径大一些。（如下图） 二、 三三 三、产生应力的原因 1. 受集中力作用。如：梁的支撑点，齿轮轮齿之间的接触点，火车车轮与钢轨 的接触点等。 2. 材料本身的不连续性。钢材中的非金属杂质、混凝土中的气孔、木材中的树 脂穴等，会使构件产生高度的应力集中。例如，铸铁构件中的夹砂与气孔是产生应力集中的根源，于是铸铁构件常取较大 的安全系数。 3. 构件截面的急剧变化。如：构件中的油孔、键槽、缺口、台阶等。 4. 构件中由于装配、焊接、冷加工、磨削等而产生的裂。 5. 构件在制造或装配过程中，由于强拉伸、冷加工、热处理、焊接等而引起的 残余应力。这些残余应力叠加上工作应力后，有可能出现较大的应力集中。 6. 构件在加工或运输中的意外碰伤和刮痕。 四、各种材料对应力集中的敏感程度 σ σmax =K
带孔平板的应力集中分析
有限元方法 Finite Element Method ——基于ANSYS的有限元建模与分析 姓名吴威 学号20100142 班级10级土木茅以升班2班 西南交通大学 2014年4月
综合练习——带孔平板的应力分布及应力集中系数的计算一、问题重述 计算带孔平板的应力分布及应力集中系数。 二、模型的建立与计算 在ANSYS中建立模型，材料的设置属性如下 分析类型为结构（structural），材料为线弹性（Linear Elastic），各向同性（Isotropic）。弹性模量、泊松比的设定均按照题目要求设定，以N、cm为标准单位，实常数设置中设板厚为1。
采用solid 4 node 42板单元，Element Behavior设置为Plane strs w/thk。 建立模型时先建立完整模型，分别用单元尺度为5cm左右的粗网格和单元尺度为2cm左右的细网格计算。 然后取四分之一模型计算比较精度，为了使粗细网格单元数与完整模型接近，四分之一模型分别用单元尺度为2.5cm左右的粗网格和单元尺度为1cm左右的细网格计算。 (1) 完整模型的计算 ①粗网格
单元网格的划分及约束荷载的施加如图（单元尺度为5cm） 约束施加时在模型左侧边界所有节点上只施加x方向的约束，即令U X=0，在左下角节点上施加x、y两个方向的约束，即U X=0、U Y=0。荷载施加在右侧边界上，大小为100。 对模型进行分析求解得到： 节点应力云图（最大值222.112）
单元应力云图（最大值256.408） 可看出在孔周围有应力集中现象，其余地方应力分布较为均匀，孔上部出现最大应力。 ②细网格 单元网格的划分及约束荷载的施加如图（单元尺度为2cm）
应力集中和残余应力
应力集中 材料在交变应力作用下发生的破坏称为疲劳破坏。通常材料承受的交变应力远小于其静载下的强度极限时，破坏就可能发生。另外材料会由于截面尺寸改变而引起应力的局部增大，这种现象称为应力集中。对于组织均匀的脆性材料，应力集中将大大降低构件的强度，这在构件的设计时应特别注意。(材料在交变应力作用下发生的破坏称为疲劳破坏。通常材料承受的交变应力远小于其静载下的强度极限时，破坏就可能发生。另外材料会由于截面尺寸改变而引起应力的局部增大，这种现象称为应力集中。 一，应力集中： 在零件截面尺寸突然改变时，应力分布并不均匀，如在开口，尖角处应力剧烈增大这种现象称为--应力集中 二．静载荷 1.塑性材料由于有屈服阶段，可以使应力集中趋于平均，因此不会发生脆性断裂。 2. 脆性材料没有屈服阶段，当最大应力达到材料强度极限时，发生脆性断裂。 三．交变载荷 在此载荷下塑性材料也可发生脆性断裂：（以下为《材料力学》语） “在长期交变应力作用下，应力较高的点，逐步形成细微裂纹，裂纹尖端应力严重集中，使裂纹逐步扩大，构件截面不断削弱，在偶尔的超载冲击下，构件就会发生突然的脆性断裂。”)承受轴向拉伸、压缩的构件，只有在寓加力区域稍远且横截面尺寸又无急剧变化的区域内，横截面上的应力才是均匀分布的。然而工程中由于实际需要，某些零件常有切口、切槽、螺纹等，因而使杆件上的横截面尺寸发生突然改变，这时，横截面上的应力不再均匀分布，这已为理论和试验所证实。 如图 2-31[a] 所示的带圆孔的板条，使其承受轴向拉伸。由试验结果可知 : 在圆孔附近的局部区域内，应力急剧增大，而在离开这一区域稍远处，应力迅速减小而趋于均匀( 图 2 — 31[b]) 。这种由于截面尺寸突然改变而引起的应力局部增大的现象称为应力集 中。在 I — I 截面上，孔边最大应力与同一截面上的平均应力之比，用表示