数学思想方法教学

数学思想方法教学

摘要：全面推进素质教育是当今学校教育的发展方向，本文针对农村中学数学教育的思想方法，结合具体实际，提出自己一些有效的方法和措施。其中包括初中数学蕴含的数学思想、、数学思想和方法的教学原则、数学思想和方法的教学策略及自己在山区中学数学教学中一些行之有效的方法和措施。

关键词：思想方法、教学原则、教学策略

数学教学大纲指出“初中数学的基础知识，主要是概念、法则、性质、公式、公理、定理以及由其内容所反映出来的数学思想和方法。”由此看来，掌握好数学思想和方法的学习，对培养学生的数学素养，提高数学素质非常重要。

令人遗憾的是，在数学教学的过程中，老师们并没有引起足够的重视，在数学教学中注重知识的传授，忽视知识发生过程中的数学思想方法的教学的现象比较普遍。数学思想方法具有普遍性，掌握好数学思想，比掌握好形式化的数学知识更加重要，学生在未来的生活和工作中将终生受益。

一、初中数学蕴含的数学思想

初中数学中蕴含的数学思想方法很多，最基本的数学思想方法有化归的思想、数形结合的思想、分类讨论的思想、方程的思想、函数的思想等，突出这些基本思想方法，就相当于抓住了中学数学知识的精髓。

1、化归的思想方法

“化归”就是转化和归结，它是数学解决问题的基本方法：在解决数学问题时，人们常常是将需要解决的问题，通过某种转化手段，归结为另一个相对较容易解决的或者已经有解决程式的问题，以求得问题的解答。中学数学处处都体现出化归的思想，如化繁为简、化难为易，化未知为已知，化高次为低次等，它是解决问题的一种最基本的思想。在具体内容上，有加法与减法的转化，乘法与除法的转化，乘方与开方的转化，以及添加辅助线，增设辅助元等等都是实现转化的具体手段。因此，在教学中首先要让学生认识到，常用的很多数学方法实质上就是转化的方法，从而确信转化是可能的，而且是必须的。其次要结合具体教学内容进行有意识的训练，使学生掌握这一具有重大价值的思想方法。在具体教学过程中设出问题让学生去观察，探索转化的路子。

例如在求解分式方程时，运用化归的方法，将分式方程转化为整式方程，进而求得分式方程的解，又如求解二元一次方程组时的“消元”，解一元二次方程时的“降次”都是化归的具体体现。

2、数形结合的思想方法

数形结合的思想，可以使学生从不同的侧面理解问题，加深对问题的认识，提供解决问题的方法，有利于培养学生将实际问题转化为数学问题的能力。

数形结合的载体是数轴，依靠数轴反映出数与点的对应关系，是学生学习数学的一大飞跃。运用数形结合的思想方法思考问题，能给抽象的数量关系以形象的几何直观，也能把几何图形问题转化为数量关系问题去解决。通过数形结合的数学思想方法来学习相反数，绝对值的定义，有理数大小比较的法则，函数等，可以大大减轻学生学习这些知识的难度，数形结合思想的教学应贯穿于整个数学教学的始终。

3、分类讨论的思想方法

“分类”源于生活，存在于生活，分类思想是自然科学乃至社会科学中的基本逻辑方法，也是研究数学问题的重要思想方法，它始终贯穿于整个数学教学中。从整体布局上看，中学数学分代数、几何两大类，采用不同方法进行研究，就是分类思想的体现；从具体内容上看，初中数学中实数的分类，式的分类，三角形的分类，方程的分类，函数的分类等等，也是分类思想的具体体现。对学习内容进行分类，降低了学习难度，增强了学习的针对性，在教学需要启发学生按不同的情况去对同一对象进行分类，帮助他们掌握好分类的方法原则，形成分类的思想。

如当a取任意实数时，对|a-3|的值的分类讨论：

当a≥3时|a-3|=a-3,

当a≤3时|a-3|=3-a.

4、函数的思想方法

函数思想是客观世界中事物运动变化、相互联系、相互制约的普遍规律在数学中的反映。它的本质是变量之间的对应。辩证唯物主义认为，世界上一切事物都是处在运动、变化和发展的过程中，这就要求我们教学中重视函数的思想方法的教学。初中代数中的正比例函数、反比例函数、一次函数和二次函数虽然安排在初三学习，但函数思想从初一就已经开始渗透。这就要求教师在教学上要有意识、有计划、有目的地进行函数思想方法的培养。

如用直角三角形边与边的比值定义的锐角三角函数；在直角坐标系中，由角的终边上一点引出的三个量x,y,r中任意两个量之比定义任意角的三角函数等，一系列的知识体系，自始至终贯穿了函数、映射、对应的思想方法。

当然，初中数学学习的思想方法还有很多，象观察与实验、分析与综合、归纳与类比以及集合论的思想方法，几何变换的思想方法等等。我们在教学实践中应立足于数学思想方法教学，充分挖掘教材中的数学思想方法，有目的、有意识、有计划的渗透、介绍和强调数学思想方法，减少盲目性和随意性，去精新设计每一个单元、每一堂课的教学目标以及问题提出、情景创设等教学过程的各个环节。只有让学生掌握了这把金钥匙，才能使学生学好数学，提高数学素养，增强创新意识，提高创新能力。

二、中学数学教科书中应该传授的基本数学思想

中学数学教科书担负着向学生传授基本数学思想的责任，在程度上有“渗透”、“介绍”和“突出”之分。

1.渗透。“渗透”就是把某些抽象的数学思想逐渐“融进”具体的、实在的数学知识中，使学生对这些思想有一些初步的感知或直觉，但还没有从理性上开始认识它们。要渗透的有集合思想、对应思想、公理化与结构思想、抽样统计思想、极限思想等。前三种基本数学思想从初中一年级就开始渗透了，并贯彻于整个中学阶段；抽样统计思想可从初中三年级开始渗透，极限思想也可从初中三年级的教科书中安排类似于“关于圆周率π”这样的阅读材料开始渗透。至于公理化与结构思想，要注意根据人类的认识规律，一开始就采取扩大的公理体系。例如，教科书既可以把“同位角相等，两直线平行”和它的逆命题都当作公理，也可以把判定两个三角形全等的三个命题“边角边”、“角边角”和“边边边”都当作公理。这种渗透是随年级逐步深入的。

2.介绍。“介绍”就是把某些数学思想在适当时候明确“引进”到数学知识中，使学生对这些思想有初步理解，这是理性认识的开始。要介绍的有符号与变元表示的思想、数形结合的思想、化归的思想、函数与方程的思想、抽样统计思想、极限思想等。这种介绍也是随年级逐步增加的。有的思想从初中一年级起就开始介绍(例如前四种基本数学思想)，有的则是先渗透后介绍(例如后两种基本数学思想)。“介绍”与“渗透”的基本区别在于：“渗透”只要求学生知道有什么思想和是什么思想，而“介绍”则要求学生在此基础上进而知道为什么叫做思想(含思想的要素和特征)、用什么思想(含思想的用途)并学会运用。作为补充，也可以就问题适时地向学生介绍如何运用一分为二的思想和整体思想。

3.突出。“突出”就是把某些数学思想经常性地予以强调，并通过大量的综合训练而达到灵活运用。它是在介绍的基础上进行的，目的在于最大限度地发挥这些数学思想的功能。要突出的有数形结合的思想、化归的思想、函数与方程的思想等。这些基本数学思想贯穿于整个中学阶段，最重要、最常用，是中学数学的精髓，也最能长久保存在人一生的记忆之中。“介绍”与“突出”的基本区别在于：“介绍”只要求学生知道用什么和会用，而“突出”则要求学生在此基础上进而知道选用和善用。作为补充，也可以就数学问题经常向学生突出分类思想的运用。

三、数学思想和方法的教学原则

进行数学思想方法的教学，除了应符合通常的教学原则外，根据教学实践及大量实验研究，应该遵循下列几条原则。

1、化隐为显原则。

知识教学中虽然蕴含着丰富的数学思想和方法，但由于数学思想和方法与具体的数学知识是一个有机整体，它们互相依存，相互关联，协同发展，是具体数学知识的本质和内在联系的反映，具有高度的抽象性和概括性，如果说数学方法尚具有某种外在形式或模式，那么作为一类数学方法的概括的数学思想，却只表现为一种意识或观念，很难找到外在的固定的形式。因此，进行数学思想方法教学时必须以数学知识为载体，把藏于知识背后的思想方法显示出来，使之明朗化，才能通过知识传授过程达到思想方法教学之目的。

2、循序渐进原则。

数学思想方法的形成难于知识的理解与掌握。学生学习数学思想和方法一般要经历三个阶段，一是模仿形成阶段，它们往往只注意了数学知识的学习，而忽视了联结这些知识的观点，以及由此产生的解决问题的方法和策略，即使有所觉察，也是处于朦朦胧胧、似有所悟的境界。二是初步应用阶段，即学生对数学思想方法的认识开始已经明朗，开始理解解题过程中所使用的探索方法和策略，也会概括总结出来。三是自觉应用阶段，学生能根据数学问题，恰当运用某种思想方法进行探索，以求得问题的解决。学生数学思想方法的学习过程，决定了数学思想方法的教学不可能一步到位，也有一个相应的循序渐进、由浅入深的过程，因此要按照反复教育、初步形成、应用发展的顺序来完成某一数学思想方法的教学。

3、螺旋上升原则。

学生对每种数学思想方法的认识都是在反复理解和运用中形成的，也必须遵循认识的一般规律，即从个别到一般，从具体到抽象，从感性到理性，从低级到高级的螺旋上升过程。如对同一数学思想，应注意在不同知识阶段的再现，以加强对数学思想方法的认识。例如数形结合思想，在初中讲数轴时，涉及数形结合思想，学生要会借助数轴表示相反数、绝对值、比较有理数的大小等，讲不等式组的解法时，要求学生用数轴找出不等式的公共解集等，逐渐地，学生逐步形成借助于图形性质解决代数问题的观念，到了高中，通过对函数图象和性质，平面解析几何、复数等有关知识的学习，加深对数形结合思想的理解和应用，平时，注重技巧与方法的教学，到了一定阶段，应当上升为较高层次的数学思想，促使学生在反复渗透中，对数学思想方法的认识，螺旋上升，并能主动应用。

4、系统教学原则。

与具体的数学知识一样，数学思想方法只有形成一定结构的系统，才能更好地发挥其整体功能。在数学思想方法的教学中，要将该思想所概括的一类数学方法，所串联的具体数学知识，形成一定的结构体系，才能为学生理解和掌握。遵循这一原则进行教学，一方面要研究在每一具体数学知识的教学中可进行那些思想方法的教学；另一方面，又要研究一些重要的数学思想方法，可以在那些知识点的教学中进行渗透，从而在纵横两个维度上整理出数学思想方法的系统。如数学中的化归思想，它是把数学中待解决或未解决的问题，通过某种转化过程，归结到某个(或某些)已经解决或者比较容易解决的问题，最终求得原问题的解决。在学生学习化归这种思想时，应明确化归的三个基本要素：化归的对象、化归的目标和化归的方法。当前需要解决的问题是化归的对象；熟悉化、简单化和直观化是一切化归应遵循的基本原则；实施化归的关键是实现问题的规范化(即已经具有确定的解决方法和程序的问题)；化未知为已知，化难为易，化繁为简，化一般为特殊，化抽象为具体是化归的方向；实现问题转化的途径和转化的手段称为化归的方法。中学中常用的化归方法有恒等变换法，具体包括分解法、配方法，待定系数法等；其二是映射反演法，具体包括换元法、对数法、生标法和仿射法等。

5、学生参与原则。

由于数学思想方法比数学知识更抽象，不可能照搬、复制。数学思想方法的教学是数学活动过程的教学，重在思辩操作，离开教学活动过程，数学思想方法也就无从谈起。只有组织学生积极参与教学过程，在老师的启发引导下逐步领悟、形成、掌握数学思想方法。因此，要通过教学，让学生在学习数学知识过程中，根据自己的体验，用自己的思维方式构建出数学思想方法的体系。

四、数学思想和方法的教学策略

1、转变观念，提高认识

数学教学中存在的重结论、轻过程，重形式、轻内容，重技巧、经思想，重解题、轻应用的弊端，严重影响了数学教学质量的提高，束缚了学生思维能力的发展，从而导致学生学习数学的兴趣不浓。为此，每一位数学教育工作者，要站在培养跨世纪人才的高度来改进数学教学(还数学教学的本来面目)，用现代教学观指导教

学，把数学思想和方法的教学提到应有的高度，通过数学知识这个载体循序渐进，有层次地培养学生的数学思想和方法，使数学教学迈上新的台阶，使数学知识和数学思想方法成为人的学习和工作不可缺少的文化素质。

数学思想和数学方法，既要理解为数学中深层次的基础知识，又要理解为解决问题时的思维策略。心理学家认为，人们在学习思考时，注意力要在高层次的策略性知识与低层次的描述性知识及程序性知识之间不断转换，不仅要注意到自己加工的材料，而且要注意到自己的加工过程和加工方法，不断反省自己的策略是否恰当，优化自己的加工过程。而在数学学科中，这种策略性知识与事实性知识的结合是非常紧密的，是相互渗透、相互融洽的，只要教师在教学中有意识地渗透、传授，学生就可以通过课堂教学获得大量的关于解决数学问题的一般和特殊的策略性知识。在教学中挖掘与渗透数学思想，是使传统的知识型教学向能力型培养转化，造就开拓型、创造型人才的有力工具和重要手段。

2、分析教材，细划目标。

数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象概括，它蕴涵于数学知识的发生、发展和应用过程中，有的数学思想方法与内容溶于一体，如化归思想、分类讨论思想、数形结合思想；有的数学思想方法则与相关的内容溶为一体，如配方法、换元法、待定系数法，数学归纳法作为单调内容作为一节单独列出来以外，其余的数学思想方法均隐含于教材中，因此都需要教师在教学中去挖掘其中的数学思想方法。然而在一章或一单元的教学中，将涉及很多的数学思想方法，就需要教师根据教材内容有意识突出一种或几种思想方法的教学，如在不等式单元教学中将涉及代换思想、函数方程思想、数形结合思想、分类思想和化归思想；在指数函数的学习中将涉及函数思想、分类思想、数形结合思想、化归思想等，即使是同一数学思想，在不同教学阶段，不同的教学内容，也应提出不同的要求。为此，在进行教学目标设计时要注意其教学侧重点，细划目标，从教学思想领域和认知领域两个方面分别设置目标。

3、打破传统的教学方法，尝试不同的教学方法

长期以来，“教师教，学生学”是教学过程中的一个传统模式，这样的教学法已不再适应新的教学观，应将教师的作用从“教”提高到“导”，“导”就是引导，即教师的作用不应该是死板的“教”学生，而是引导学生，充分地使学生展示自己的思维能力和想象能力，尽可能让学生自己发现、归纳、总结知识。也就是不要一成不变的将讲授法放到首位，要采取各种教学方法，如：讨论法、谈话法、实验法等有利于引导学生的教学方法，创造出高素质、高能力的新一代人才。