2016届高三数学复习第五章第一节平面向量的概念及坐标运算

第一节平面向量的概念及坐标运算

A 组专项基础测试三年模拟精选

一、选择题

1．(2015·浙江慈溪余姚模拟)在△ABC 中，设三边AB ，BC ，CA 的中点分别为E ，F ，D ，则

EC →＋FA →

＝( )

A.BD →

B.12

BD → C.AC →

D.12

AC →

解析如图，EC →＝12(AC →＋BC →)，FA →＝12(CA →＋BA →)，所以EC →＋FA →＝BD →

故选A. 答案 A

2．(2015·广东佛山模拟)如图，一直线EF 与平行四边形ABCD 的两

边AB ，AD 分别交于E ，F 两点，且交其对角线于K ，其中，AE →＝

AB →，AF →＝12

AD →

，AK →＝λAC →

，则λ的值为( )

A.29

B.27

C.25

D.23

解析 ∵AE →＝25AB →，AF →＝12AD →，则AB →＝52AE →，AD →＝2AF →

，由向量加法的平行四边形法则可

知，AC →＝AB →＋AD →

，

∴AK →＝λAC →＝λ(AB →＋AD →)＝λ? ????52AE →＋2AF →＝52λAE →

＋2λAF →，由E ，F ，K 三点共线可得，

λ＝2

9，故选A.

答案 A

3．(2014·福州二模)已知向量a ＝(1，1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与a －b 平行，则实数x 的值是( ) A ．－2

B ．0

C ．1

D ．2

解析由a ＝(1，1)，b ＝(2，x )，知a ＋b ＝(3，1＋x )，a －b ＝(－1，1－x )．若a ＋b

与a －b 平行，则3(1－x )＋(1＋x )＝0，即x ＝2，故选D. 答案 D

4．(2014·济宁3月模拟)设A ，B ，C 是圆x 2＋y 2

＝1上不同的三个点，且OA →·OB →＝0，若存在实数λ，μ使得OC →＝λOA →＋μOB →

，则实数λ，μ的关系为( ) A ．λ2

＋μ2

＝1 B.

1λ＋1

＝1 C ．λ·μ＝1

D ．λ＋μ＝1

解析由OC →＝λOA →＋μOB →得|OC →|2＝(λOA →＋μOB →)2＝λ2|OA →|2＋μ2|OB →|2

＋2λμOA →·OB →.因为OA →·OB →＝0，所以λ2＋μ2

＝1.所以选A. 答案 A 二、填空题

5．(2013·江苏苏州一模)如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点．过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →

，则m ＋n 的值为________．

解析连接AO ，则AO →＝12(AB →＋AC →)＝m 2AM →＋n 2AN →

，

∵M 、O 、N 三点共线，∴m 2＋n

2＝1， ∴m ＋n ＝2. 答案 2

一年创新演练

6．设x ，y ∈R ，向量a ＝(x ，1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)且a ⊥c ，b ∥c ，则x ＋y ＝( ) A ．0

B ．1

C ．2

D ．－2

解析 ∵a ⊥c ，b ∥c ，∴2x －4＝0，2y ＋4＝0，解得x ＝2，y ＝－2，∴x ＋y ＝0.故选A. 答案 A

7．在平面直角坐标系中，已知AB →＝(－1，3)，AC →＝(2，－1)，则|BC →

|＝________. 解析 BC →＝AC →－AB →＝(2，－1)－(－1，3)＝(3，－4)，∴|BC →

|＝5. 答案 5

B 组专项提升测试三年模拟精选

一、选择题

8．(2015·广东江门质检)给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →

，它们的夹角为90°，如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动，若

OC →＝xOA →＋yOB →

，其中x ， y ∈R ，则x ＋y 的最大值是( )

A ．1

B. 2

C. 3

D ．2

解析法一以O 为原点，向量OA →，OB →

所在直线分别为x 轴、y 轴建立直角坐标系，设

OA →，OC →

＝θ，θ∈?

???

0，π2

，则OA →＝(1，0)，OB →＝(0，1)，OC →

＝(cos θ，sin θ)．

由OC →＝xOA →＋yOB →， ∴???

?x ＝cos θ，y ＝sin θ.

∴x ＋y ＝cos θ＋sin θ＝2sin ? ????θ＋π4，

θ＋π4∈??????

π4，3π4，

∴x ＋y 的最大值为 2.

法二因为点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上，所以|OC →|2＝|xOA →＋yOB →|2＝x 2＋y 2＋2xyOA →·OB →

＝x 2

＋y 2

＝1≥（x ＋y ）2

2.所以x ＋y ≤ 2.当且仅当x ＝y ＝2

时等号成立．

答案 B

9．(2015·山东济南一模)O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足：OP →＝OA →

＋λ(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)，λ∈[0，＋∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的( )

A ．外心

B ．内心

C ．重心

D ．垂心

解析作∠BAC 的平分线AD . ∵OP →＝OA →＋λ? ??

???AB →|AB →

|＋AC →|AC →|，

∴AP →＝λ? ??

???AB →|AB →

|＋AC →|AC →| ＝λ′·AD

→

|AD →|(λ′∈[0，＋∞))，

∴AP →＝λ′|AD →|·AD →，∴AP →∥AD →.

∴P 的轨迹一定通过△ABC 的内心．答案 B

10．(2014·菏泽质检)如图，已知AB 是圆O 的直径，点C 、D 等分AB ︵

，已

知AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →

等于( ) A ．a －1

B.1

2a －b C ．a ＋1

D.1

a ＋

b 解析连接OC 、OD 、CD ，则△OAC 与△OCD 为全等的等边三角形，所以四边形OACD 为平行四边形，所以AD →＝AO →＋AC →＝12AB →＋AC →＝1

2a ＋b ，故选D.

答案 D 二、填空题

11．(2014·南通模拟)△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若p ＝(a ＋c ，

b )，q ＝(b －a ，

c －a )，且p ∥q ，则角C ＝________.

解析因为p ∥q ，则(a ＋c )(c －a )－b (b －a )＝0，

所以a 2

＋b 2

－c 2

＝ab ，a 2＋b 2－c 22ab ＝1

，

结合余弦定理知，cos C ＝1

2，又0°

答案 60°

12．(2013·微山一中模拟)已知向量a ＝(3，－2)，b ＝(x ，y －1)，若a ∥b ，则4x ＋8y

的最小值为________．

解析 ∵a∥b ，∴3×(y －1)－(－2)×x ＝0， ∴2x ＋3y ＝3.故4x

＋8y

＝22x

＋23y

≥22

2x ＋3y

＝223

＝42，当且仅当2x ＝3y ，即x ＝34

，y

＝1

2时等号成立．答案 4 2

一年创新演练

13．已知向量OA →，OB →满足|OA →|＝|OB →|＝1，OA →·OB →＝0，OC →＝λOA →＋μOB →

(λ，μ∈R )，若M 为AB 的中点，并且|MC →

|＝1，则点(λ，μ)在( )

A ．以? ??

??－12，12为圆心，半径为1的圆上 B ．以? ????1

2，－12为圆心，半径为1的圆上

C ．以? ????－1

，－12为圆心，半径为1的圆上

D ．以? ??

??12，12为圆心，半径为1的圆上

解析由于M 是AB 的中点， ∴在△AOB 中，OM →＝12(OA →＋OB →

)，

∴|MC →|＝|OC →－OM →|

＝??????? ????λ－12OA →＋? ????μ－12OB →＝1， ∴??????? ????λ－12OA →＋? ????μ－12OB →2

＝1， ∴? ????λ－122

＋? ????μ－122

＝1，故选D. 答案 D

14．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，向量a ＝(cos C ，3b －c )，向量b ＝(cos A ，a )，且a ∥b ，则tan A ＝________．

解析 a ∥b ?(3b －c )cos A －a cos C ＝0，即3b cos A ＝c cos A ＋a cos C ，再由正弦定理得3sin B cos A ＝sin C cos A ＋cos C sin A ?3sin B cos A ＝sin(C ＋A )＝sin B ，即cos A ＝33，所以sin A ＝63，tan A ＝sin A cos A ＝ 2. 答案

数学必修四人教A版 2.3.3平面向量的坐标运算(教、学案)

2.3.3平面向量的坐标运算【教学目标】 1．能准确表述向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则，并能进行相关运算，进一步培养学生的运算能力； 2．通过学习向量的坐标表示，使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力. 【教学重难点】教学重点: 平面向量的坐标运算．教学难点: 对平面向量坐标运算的理解．【教学过程】一、〖创设情境〗以前，我们所讲的向量都是用有向线段表示，即几何的方法表示。向量是否可以用代数的方法，比如用坐标来表示呢？如果可能的话，向量的运算就可以通过坐标运算来完成，那么问题的解决肯定要方便的多。因此，我们有必要探究一下这个问题：平面向量的坐标运算。二、〖新知探究〗思考1：设i 、j 是与x 轴、y 轴同向的两个单位向量，若设a =(x 1, y 1) b =(x 2, y 2) 则a ＝x 1i ＋y 1j ，b ＝x 2i ＋y 2j ，根据向量的线性运算性质，向量a ＋b ，a －b ，λa （λ ∈R ）如何分别用基底i 、j 表示？ a ＋ b ＝(x 1＋x 2)i ＋(y 1＋y 2)j ， a － b ＝(x 1－x 2)i ＋(y 1－y 2)j ， λa ＝λx 1i ＋λy 1j . 思考2：根据向量的坐标表示，向量a ＋b ，a －b ，λa 的坐标分别如何？ a ＋ b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2); a － b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2); λa ＝(λx 1，λy 1). 两个向量和与差的坐标运算法则：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差. 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 思考3：已知点A(x 1, y 1),B(x 2, y 2)，那么向量的坐标如何？

41平面向量的概念及线性运算

6. （2010浙江杭州调研）设a 、b 是两个不共线向量, AB = 2a + pb , BC = a + b , CD = a — 2b , 第四单元平面向量 4.1 平面向量的概念及线性运算、选择题 1.在厶 ABC 中，AB = c , AC = b ,若点 D 满足 BD = 2DC ，则 AD =( ) 2 1 A ?3b + 3c 5 2 B ?3c — 3b C.2b -3c 3 3 1 2 D ?1b + 3c …AD = AB + BD = c + 3( b — c) = §b + 3c 答案：A 2. （2010广东中山调研）已知a 、b 是两个不共线的向量，AB =入a b, AC = a +讥入此R ）, 那么 A 、B 、C 三点共线的充要条, 件是 ( ) A . ?+尸 2 B .入一 (i= 1 C . 入=—1 D . 入=1 解析由 AB =入 a b, AC = a + 3 b 人卩€ R ）及 A 、B 、 C 三点共线得AB = tAC (t € R), 入=t 所以入 t+ b^ t(a + ub ta +1 3, 「所以 1 ，即入 =1. 1 = t 3 答案 :D 3. （2009 ?东）设P 是厶ABC 所在平面内的一点， BC + BA = 2BP ，则（） A . PA + PB = 0 C . PB + PC =0 B . P C + PA = 0 D . PA + PB + PC = 0 V ----------- 」解析：如上图，根据向量加法的几何意义 Be + B A = 2B P ? P 是AC 的中点, 故 PA + PC = 0. 答案：B 4.已知平面内有一点 P 及一个△ ABC ，若PA + PB + PC = AB ，则（） A .点P 在厶ABC 外部 B .点P 在线段 AB 上 C .点P 在线段BC 上 D .点P 在线段AC 上解析：?/ PA + PB + PC = AB , ??? PA + PB + PC = PB — PA ??? PC = — 2PA.A 2PA = CP ，?点 P 在线段 AC 上. 答案：D 、填空题 5. （2009宁夏银川模拟）若AB = 3% CD = — 5e i ,且AD 与CB 的模相等，则四边形 ABCD 是解析：?/ AB = — 3CD , ??? AB // CD ，且 |AB|M |CD|. 5 答案：等腰梯形解析: D C =AC — AB = b- c , B D = 2BC = 2(b — c),

第一节平面向量的概念及运算性质

第一节平面向量的概念及其线性运算 [知识能否忆起] 一、向量的有关概念 1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模． 2．零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的． 3．单位向量：长度等于1个单位的向量． 4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线． 5．相等向量：长度相等且方向相同的向量． 6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．二、向量的线性运算平行四边形法则 1．定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下： ①|λa|＝|λ||a|； ②当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0. 2．运算律：设λ，μ是两个实数，则： ①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λ a＋μ a；③λ(a＋b)＝λa＋λb. 四、共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.

[小题能否全取] 1．下列命题正确的是( ) A ．不平行的向量一定不相等 B ．平面内的单位向量有且仅有一个 C ．a 与b 是共线向量，b 与c 是平行向量，则a 与c 是方向相同的向量 D ．若a 与b 平行，则b 与a 方向相同或相反解析：选A 对于B ，单位向量不是仅有一个，故B 错；对于C ，a 与c 的方向也可能相反，故C 错；对于D ，若b ＝0，则b 的方向是任意的，故D 错，综上可知选A. 2.如右图所示，向量a －b 等于( ) A ．－4e 1－2e 2 B ．－2e 1－4e 2 C ．e 1－3e 2 D ．3e 1－e 2 解析：选C 由题图可得a －b ＝BA ＝e 1－3e 2. 3．(教材习题改编)设a ，b 为不共线向量，AB ＝a ＋2b ，BC ＝－4a －b ，CD ＝－5a －3b ，则下列关系式中正确的是( ) A ．AD ＝BC B ．AD ＝2B C C ．A D ＝－BC D ．AD ＝－2BC 解析：选B AD ＝AB ＋BC ＋CD ＝a ＋2b ＋(－4a －b )＋(－5a －3b )＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC . 4．若菱形ABCD 的边长为2，则|AB －CB ＋CD |＝________. 解析：|AB －CB ＋CD |＝|AB ＋BC ＋CD |＝|AD |＝2. 答案：2 5．已知a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________. 解析：由题意知a ＋λb ＝k [－(b －3a )]，所以????? λ＝－k ， 1＝3k ，解得??? k ＝1 3 ，λ＝－13. 答案：－1 3 共线向量定理应用时的注意点 (1)向量共线的充要条件中要注意“a ≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个． (2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所

平面向量及其加减运算课后训练

数学《平面向量》复习卷一、填空题 1、向量的两个要素是：和。 2、A 、B 、C 是⊙O 上的三点，则向量OA 、OB 、OC 的关系是 . 3、下列命题：①若两个向量相等则起点相同，终点相同； ②若AB =DC ，则ABCD 是平行四边形；③若ABCD 是平行四边形，则 AB =DC ； ④a =b ，b =c 则a =c ；其中正确的序号是 . 4、如图所示，四边形ABCD 与ABDE 都是平行四边形，则 ①与向量AB 平行的向量有； ②若｜AB ｜=1.5,则｜CE ｜= . 5、如图，四边形ABCD 与ABDE 都是平行四边形 ①与向量AB 相等的向量有； ②若|AB |=3，则向量EC 的模等于。 6、已知正方形ABCD 的边长为1，AB =a ,AC =c , BC =b ,则｜a +b +c ｜为 7、在四边形ABCD 中，AC =AB +AD ，则ABCD 是形。 8、化简(AB -CD )+(BE -DE )的结果是。 9、化简：OM -ON +MN . 10、一架飞机向西飞行100km,然后改变方向向南飞行100km,飞机两次位移的和为。二、选择题 1、在四边形ABCD 中，AB ＝DC ，且｜AB ｜＝｜BC ｜，那么四边形ABCD 为( ) A ．平行四边形 B ．菱形 C ．长方形 D ．正方形 2、等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点P ，点E 、F 分别在两腰 AD 、BC 上，EF 过点P 且EF ∥AB ，则下列等式正确的是（） A.AD =BC B.AC =BD C.PE =PF D.EP =PF E C A B

第2章 4.1~4.2 平面向量线性运算的坐标表示

§4 平面向量的坐标 4.1 平面向量的坐标表示 4.2 平面向量线性运算的坐标表示学习目标 1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来. 知识点一平面向量的正交分解思考如果向量a 与b 的夹角是90°，则称向量a 与b 垂直，记作a ⊥b .互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？答案互相垂直的两个向量能作为平面内所有向量的一组基底. 梳理把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量正交分解. 知识点二平面向量的坐标表示思考1 如图，向量i ，j 是两个互相垂直的单位向量，向量a 与i 的夹角是30°，且|a |＝4，以向量i ，j 为基底，如何表示向量a ? 答案 a ＝23i ＋2j . 思考2 在平面直角坐标系内，给定点A 的坐标为(1，1)，则A 点位置确定了吗？给定向量a 的坐标为a ＝(1，1)，则向量a 的位置确定了吗？答案对于A 点，若给定坐标为A (1，1)，则A 点位置确定.对于向量a ，给定a 的坐标为a ＝(1，1)，此时给出了a 的方向和大小，但因为向量的位置由起点和终点确定，且向量可以任意平移，因此a 的位置还与其起点有关，所以不确定. 思考3 设向量BC →＝(1，1)，O 为坐标原点，若将向量BC →平移到OA →，则OA → 的坐标是多少？A 点坐标是多少？答案向量OA →的坐标为OA → ＝(1，1)，A 点坐标为(1，1). 梳理 (1)平面向量的坐标

①在平面直角坐标系中，分别取与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底.对于平面内的任意向量a ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j .我们把实数对(x ，y )叫作向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y ). ②在平面直角坐标平面中，i ＝(1，0)，j ＝(0，1)，0＝(0，0). (2)点的坐标与向量坐标的区别和联系知识点三平面向量的坐标运算思考设i ，j 是分别与x 轴，y 轴同向的两个单位向量，若设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＝x 1i ＋y 1j ，b ＝x 2i ＋y 2j ，根据向量的线性运算性质，向量a ＋b ，a －b ，λa (λ∈R )如何分别用基底i ，j 表示？答案 a ＋b ＝(x 1＋x 2)i ＋(y 1＋y 2)j ， a －b ＝(x 1－x 2)i ＋(y 1－y 2)j ， λa ＝λx 1i ＋λy 1j . 梳理设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).

平面向量的概念、运算及平面向量基本定理

05—平面向量的概念、运算及平面向量基本定理突破点(一)平面向量的有关概念知识点：向量、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、相反向量考点平面向量的有关概念［典例］⑴设a , b 都是非零向量，下列四个条件中，使向=而成立的充分条件是( ) A . a =- b B . a // b C . a = 2b D . a // b 且 |a|= |b| ⑵设a o 为单位向量，下列命题中：①若 a 为平面内的某个向量，贝U a = |a| a o ;②若a 与a o 平行，则 a = |a|a o ;③若a 与a o 平行且|a|= 1,则a = a o .假命题的个数是( ) A . o B . 1 C . 2 D . 3 ［解析］⑴因为向量合的方向与向量a 相同，向量￡的方向与向量b 相同，且￡，所以向量a 与 |a| |b| |a| |b| 向量b 方向相同，故可排除选项 A , B , D.当a = 2b 时，a =警=b ，故a = 2b 是耳=g 成立的充分条件. |a| |2b| |b| |a| |b| (2)向量是既有大小又有方向的量， a 与|a|a o 的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若 a 与a o 平行，则a 与a o 的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时 a =- |a|a o ，故②③也是假命题.综上所述，假命题的个数是 3. ［答案］(1)C (2)D _ _［易错提醒」_____________ _____________ 厂7i)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小［…(2)大小与方向是向量的两个要素?j 分别是向量的代数特征与几何特征； (3)向量可以自由平移，任意一组平行向量都可以移到同一直线上. 突破点(二)平面向量的线性运算 1. 向量的线性运算：加法、减法、数乘 2. 平面向量共线定理：向量b 与a(a ^ o )共线的充要条件是有且只有一个实数人使得b = 1 ［答案］(1)D ⑵1 —…_［方法技巧丄—――――_—_ _―_—_ _―_……_ _―_…_ _―_…_ _―_…_ _―_…「 i 1.平面向量的线性运算技巧： ⑴不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解. ⑵含图形的情况：将它们转化到］三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示岀来求解. 2?利用平面向量的线性运算求参数的一般思路： (1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置. (2)利用平行四边形法则或三角形法贝U 进行转化丄转化为要求的向量形式._ _ (3) 比较，观察可知所求.__________ 考点二平面向量共线定理的应用［例2Lu 设两个非零向J a 和b 不共鈿平面向量的线性运算 …uuur …"uLu r 考点一 ~~uuur ----- u uur ［例 1］ (1)在厶 ABC 中，AB = c , AC = b.若点 D 满足 BD = 2 DC 12 5 2 A.3b + 3C B.gC — 3b 2 1 2 1 C.gb — 3c D.gb + 3C uuuu 1 uuur ⑵在△ ABC 中，N 是AC 边上一点且 AN = NC , P 是BN 上一点, 数m 的值是 ______________ . uuur umr ［解析］(1)由题可知BC = AC - uuur + BD = c + 2 1 —c)= 3b + §c,故选 D. uuuu 1 uuur (2)如图，因为AN = 2 NC ，所以 uuur 2 uuuu m AB + 3 AN ?因为B ，P ，N 三点共线, ―uuur ，贝U AD =( ) UULT uuur 2 uuur 若 AP = m AB + 9 AC ，则实 2 uuir 2 uuir uur uuur uuur uuur UULT AB = b — c , '^BD = 2 DC ,「.BD = 3 BC = 3(b — c)，则 AD = AB uuuu 1 uuur AN = 3 AC ，所以 2 所以m +3= 1,则 UULT uuur 2 uuur AP = m AB + 9 AC = 1 m = 3.

[高二数学]平面向量的概念及运算知识总结

平面向量的概念及运算一．【课标要求】（1）平面向量的实际背景及基本概念通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示；（2）向量的线性运算 ①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义； ②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义； ③了解向量的线性运算性质及其几何意义（3）平面向量的基本定理及坐标表示 ①了解平面向量的基本定理及其意义； ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示； ③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算； ④ 理解用坐标表示的平面向量共线的条件二．【命题走向】本讲内容属于平面向量的基础性内容，与平面向量的数量积比较出题量较小。以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察向量的概念、向量的几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算等。此类题难度不大，分值5~9分。预测2010年高考：（1）题型可能为1道选择题或1道填空题；（2）出题的知识点可能为以平面图形为载体表达平面向量、借助基向量表达交点位置或借助向量的坐标形式表达共线等问题。三．【要点精讲】 1．向量的概念 ①向量既有大小又有方向的量。向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB 几何表示法AB ，a ；坐标表示法),(y x j y i x a =+= 。向量的大小即向量的模（长度），记作|AB |即向量的大小，记作｜a |。向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小 ②零向量长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0 ?｜a ｜＝0。由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。（注意与0的区别） ③单位向量模为1个单位长度的向量，向量0a 为单位向量?｜0a ｜＝1。 ④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相

高中数学_平面向量的正交分解及坐标运算教学设计学情分析教材分析课后反思

2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算一、导 1.轴上向量坐标及其运算 2.平面向量基本定理 3.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作向量的正交分解。我们通常放在直角坐标系中研究向量的正交分解。 4.以O 为起点,P(3,2)为终点的向量能否用坐标表示？如何表示？二、思（按照下面的导学提纲阅读教材，自学深思，完成下列问题。） 1.在平面直角坐标系内，起点不在坐标原点O 的向量如何用坐标来表示? 2.如何判断两个向量是互相垂直？ 3.什么叫做正交基底？ 4.什么叫做正交分解？ 5.向量的直角坐标运算),a ,a (21=)b ,b (21=，=+_______；=-_______； =λ -------------- 1122a e e λλ= +

6. 已知),y ,x (B ),y ,x (A 2211求向量的坐标。 7. 在直角坐标系中xOy 中，已知点),y ,x (B ),y ,x (A 2211求线段AB 中点的坐标。 8. 在直角坐标系xOy 中，已知点)4,2-(B ),2,3(A ，求向量+的坐标和长度。 9. 已知平行四边形ABCD 的三个顶点,4,3C ,3,1-B ,12-A ）（）（），（求顶点D 的坐标。三、议讨论“思”中的问题。四、展我展示！我补充！我质疑！五、评 1.如果两个向量的基线互相垂直，则称两个向量互相垂直。 2.若基底的两个基向量互相垂直，则称该基底为正交基底。 3.在正交基底下分解向量，叫做正交分解。 4.若)a ,a (A 21，)b ,b (B 21，则)a -b ,a -b (2211=，AB 中点坐标为)2 b b ,2a a (2121++ 六．检课本103页练习A 第2题、第4题七、练 1、《同步练习册》第52页基础巩固、第53页能力提升 2、整理笔记

32总复习：平面向量的概念及线性运算知识梳理

平面向量的概念、线性运算及坐标运算编稿：李霞审稿：孙永钊【考纲要求】 1．了解向量的实际背景；理解平面向量的概念及向量相等的含义；理解向量的几何表示. 2．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；了解向量线性运算的性质及其几何意义. 3．了解平面向量的基本定理及其意义，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示，会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算，理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 【知识网络】【考点梳理】【高清课堂：平面向量的概念与线性运算401193知识要点】考点一、向量的概念 1．向量:既有大小又有方向的量.通常用有向线段AB 表示，其中A 为起点，B 为终点. 向量AB 的长度|AB | 又称为向量的模；长度为0的向量叫做零向量，长度为1的向量叫做单位向量. 2．方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，规定零向量与任一向量平行. 平行向量可通过平移到同一条直线上，因此平行向量也叫共线向量. 3．长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.零向量与零向量相等. 4. 与a 长度相等，方向相反的向量叫做a 的相反向量，规定零向量的相反向量是零向量. 要点诠释：平面向量平面向量的概念平面向量的坐标表示平面向量的基本定理平面向量的线性运算

①有向线段的起、终点决定向量的方向，AB 与BA 表示不同方向的向量； ②有向线段的长度决定向量的大小，用|AB | 表示，|AB||BA |= . ③任意两个非零的相等向量可经过平移重合在一起，因此可用一个有向线段表示，而与起点无关. 考点二、向量的加法、减法 1．向量加法的平行四边形法则平行四边形ABCD 中（如图），向量AD 与AB 的和为AC ,记作:AD AB AC += .（起点相同） 2．向量加法的三角形法则根据向量相等的定义有:AB DC = ，即在ΔADC 中，AD DC AC += . 首尾相连的两个向量的和是以第一个向量的起点指向第二个向量的终点. 规定:零向量与向量AB 的和等于AB . 3. 向量的减法向量AB 与向量BA 叫做相反向量.记作:AB BA =- . 则AB CD AB DC -=+ . 要点诠释： ①关于两个向量的和应注意：两个向量的和仍是一个向量；使用三角形法则时要注意“首尾相连”；当两个向量共线时，三角形法则适用，而平行四边形法则不适用. ②向量减法运算应注意：向量的减法实质是加法的逆运算，差仍为一个向量；用三角形法则作向量减法时，记住“连结两个向量的终点，箭头指向被减向量”. 要点三、实数与向量的积 1．定义：一般地，实数λ与向量 a 的积是一个向量,记作λ a ，它的长与方向规定如下：（1）||||||λ=λ? a a ；（2）当λ>0时，λ a 的方向与 a 的方向相同；当λ<0时，λ a 的方向与 a 的方向相反；当λ=0时，0λ= a ； 2．运算律设λ，μ为实数，则（1）()()λμ=λμ a a ；（2）()λ+μ=λ+μ a a a ；

平面向量的基本概念

平面向量得实际背景及基本概念 1、向量得概念：我们把既有大小又有方向得量叫向量。２、数量得概念:只有大小没有方向得量叫做数量。数量与向量得区别：数量只有大小,就就是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小; 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小、 3.有向线段:带有方向得线段叫做有向线段。 4.有向线段得三要素:起点,大小,方向５、有向线段与向量得区别; （1)相同点:都有大小与方向 (2）不同点:①有向线段有起点,方向与长度，只要起点不同就就就是不同得有向线段比如：上面两个有向线段就就是不同得有向线段。 ②向量只有大小与方向,并且就就是可以平移得,比如：在①中得两个有向线段表示相同(等)得向量。 ③向量就就是用有向线段来表示得,可以认为向量就就是由多个有向线段连接而成 6、向量得表示方法: ①用有向线段表示； ②用字母a 、b (黑体,印刷用)等表示; ③用有向线段得起点与终点字母:; ７、向量得模:向量得大小(长度)称为向量得模,记作｜|、 8、零向量、单位向量概念：长度为零得向量称为零向量,记为:0。长度为1得向量称为单位向量。９、平行向量定义: ①方向相同或相反得非零向量叫平行向量;②我们规定0与任一向量平行、即:0 ∥a 。说明：(1)综合①、②才就就是平行向量得完整定义； (2)向量ａ、ｂ、c 平行,记作ａ∥b ∥c 、１0、相等向量长度相等且方向相同得向量叫相等向量、说明:(1）向量ａ与ｂ相等，记作a ＝b ;(２)零向量与零向量相等; (３)任意两个相等得非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有．． A(起点) B (终点) a

平面向量线性运算教案

适用
高中数学
适用年级
高一
学科
适用区域苏教版区域
课时时长（分钟）
2 课时
知识点向量的加法；向量的减法；向量的数乘.
教学目标
通过经历向量加法的探究，掌握向量加法概念，结合物理学实际理解向量加法的意义。能熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，并能作出已知两向量的和向量。通过探究活动，掌握向量减法概念，理解两个向量的减法就是转化为加法来进行，掌握相反向量。
教学重点向量的加减法的运算。
教学难点向量的加减法的几何意义。
【知识导图】
教学过程
一、导入
高考对本内容的考查主要以选择题或者是填空题的形式来出题，一般难度不大，属于简单题。
二、知识讲解
（考1）点向1量向加量法加的法三法角则形法则在定义中所给出的求象量和的方法就是向量加法的三角形法则。运用这一法则时要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量。0 位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型。
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（2）平行四边形法则以同一点 O 为起点的两个已知向量 A.B 为邻边作平行四边形，则以 O 为起点的对角线 OC 就是 a 与 b 的和。我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则。
由考于点方2向反向转量两的次减仍法回法到则原来的方向，因此 a 和 a 互为相反向量。于是 (a) a 。我们规定，零向量的相反向量仍是零向量. 任一向量与其相反向量的和是零向量，即 a (a) (a) a 0 。所以，如果 a, b 是互为相反的向量，那么 a= b,b= a, a b 0 。
考点 3 实数与向量的积的运算律设，为实数，那么 (1) ( a) ()a ； (2) ( )a a a ； (3) (a b) a b . 特别地，我们有 ()a (a) (a) ， (a b) a b 。向量共线的等价条件是：如果 a(a 0) 与 b 共线，那么有且只有一个实数，使 b a。
三、例题精析类型一平面向量的坐标表示
例题 1
已知边长为 1 的正方形 ABCD 中，AB 与 x 轴正半轴成 30°角．求点 B 和点 D 的坐标和 AB 与 AD 的坐标．
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《平面向量的坐标运算》听课反思

《平面向量的坐标运算》听课反思广东省肇庆市封开县江口中学数学科一、课堂随录探究一、平面向量的坐标运算思考：根据向量的坐标表示，向量λ,,-+的坐标分别如何表示？【学生参与讨论】问题：如何用数学语言描述上述向量的坐标运算？【学生参与讨论，并解决问题】【自我检测】例1、已知),4,3(),1,2(-==求43,,+-+的坐标。【师生解决问题】思考：如图，已知点A 、B 坐标，如何表示向量的坐标？【学生参与讨论，并解决问题】例2、已知A （1，3），B （2，1），则的坐标为。【师生解决问题】【变式训练】题目略；【学生解决问题】例3、如图，已知平行四边形ABCD 的三个顶点的坐标分别为A(-2,1),B(-1,3),C(3,4)，求点D 坐标。【学生解决问题】【学生板书】【变式训练】题目略；【学生解决问题】理论迁移例4、已知点M （1，5），N （5，17），点P 在直线MN 上，有||3||PN MP =，求点P 的坐标。【学生解决问题】【学生板书】【变式训练】题目略；【学生解决问题】课堂小结：（略）【学生参与归纳总结，并解决问题】【老师屏幕显示】二、听课反思《平面向量的坐标运算》这节课上得很好很精彩！在听课活动中，我看到了梁老师朝气蓬勃、充满激情的教学，还有她有着先进的教学理念和教学思想，并具有丰富的教学经验和清晰的教学思路。在这节课中，教师都重视创设贴近学生生活实际的教学情景，从情景中引入要学习的资料，激发学生探究的兴趣和欲望，使学生体会到数学知识就在我们身边，理解数学与生活的联系，有利于学生主动地进行观察，实践，猜测，验证，推理与交流等数学活动。这次听课学习，我在以后的教学中，要本着吃透教材，吃透学生，提升自身素质去努力，不断学习，博采众长，做到课前认真解读教材，根据学生的实际状况设计出合理的教学流程；课后认真反思，坚持写好教学后记；多看书学习，多做笔记，不断提高自我教学业务水平。

平面向量数量积及运算基础练习题

精品平面向量的数量积及运算练习题一、选择题： 1、下列各式中正确的是（）（1）(λ·a) ·b=λ·(a b)=a · (λb), （2）|a ·b|= | a |·| b |, （3）(a ·b)· c= a · (b ·c), （4）(a+b) · c = a ·c+b ·c A ．（1）（3） B ．（2）（4） C ．（1）（4） D ．以上都不对. 2、在ΔABC 中,若(CA CB)(CA CB)0+?-=,则ΔABC 为（） A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．无法确定 3、若| a |=| b |=| a －b |, 则b 与a+b 的夹角为（） A ．30° B ．60° C ．150° D ．120° 4、已知| a |=1,| b |=2 ,且(a －b)和a 垂直,则a 与b 的夹角为（） A ．60° B ．30° C ．135° D ．45° 5、若2AB BC AB 0?+=,则ΔABC 为（） A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形 D ．等腰直角三角形 6、设| a |= 4, | b |= 3, 夹角为60°, 则| a+b |等于（） A ．37 B ．13 C ．37 D ．13 7、己知 | a |= 1,| b |= 2, a 与的夹角为60, c =3a+b, d =λa －b ,若c ⊥d,则实数λ的值为（） A ． 74 B ．75 C ．47 D ．5 7 8、设 a,b,c 是平面内任意的非零向量且相互不共线,则其中真命题是（） ① (a ·b)·c －(c ·a)·b=0 ② | a | －| b |< | a －b | ③ (b ·c)·a －(c ·a)·b 不与c 垂直 ④ (3a+2b) ·(3a －2b)= 9| a | 2－4| b | 2 A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②④ 9.（陕西）已知非零向量AB 与AC 满足0AB AC BC AB AC ?? ?+?= ???且12AB AC AB AC ?=, 则ABC △为 .A 等边三角形 .B 直角三角形 .C 等腰非等边三角形 .D 三边均不相等的三角形 10(全国Ⅰ文）点O 是ABC △所在平面内的一点，满足OA OB OB OC OC OA ?=?=?，则点O 是ABC △的 .A 三个内角的角平分线的交点 .B 三条边的垂直平分线的交点 .C 三条中线的交点 .D 三条高的交点 11．已知向量a ＝(x ＋z,3)，b ＝(2，y －z )，且a ⊥b ，若x ，y 满足不等式|x |＋|y |≤1，则z 的取值范围为( )． A ．[－2,2] B ．[－2,3] C ．[－3,2] D ．[－3,3]

平面向量的坐标运算(教＼优秀教案)

2.3.3平面向量地坐标运算【教学目标】 1．能准确表述向量地加法、减法、实数与向量地积地坐标运算法则，并能进行相关运算，进一步培养学生地运算能力；2．通过学习向量地坐标表示，使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之间地相互联系，培养学生辨证思维能力.【教学重难点】教学重点: 平面向量地坐标运算．教学难点: 对平面向量坐标运算地理解．【教学过程】一、〖创设情境〗以前，我们所讲地向量都是用有向线段表示，即几何地方法表示.向量是否可以用代数地方法，比如用坐标来表示呢？如果可能地话，向量地运算就可以通过坐标运算来完成，那么问题地解决肯定要方便地多.因此，我们有必要探究一下这个问题：平面向量地坐标运算.二、〖新知探究〗思考1：设i 、j 是与x 轴、y 轴同向地两个单位向量，若设a =(x 1, y 1) b =(x 2, y 2)则 a ＝x 1i ＋y 1j ， b ＝x 2i ＋y 2j ，根据向量地线性运算性质，向量a ＋b ，a －b ，λa （λ ∈R ）如何分别用基底i 、j 表示？a ＋b ＝(x 1＋x 2)i ＋(y 1＋y 2)j ， a －b ＝(x 1－x 2)i ＋(y 1－y 2)j ， λa ＝λx 1i ＋λy 1j . 思考2：根据向量地坐标表示，向量a ＋b ，a －b ，λa 地坐标分别如何？ a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2); a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2); λa ＝(λx 1，λy 1). 两个向量和与差地坐标运算法则：两个向量和与差地坐标分别等于这两个向量相应坐标地和与差. 实数与向量地积地坐标等于用这个实数乘原来向量地相应坐标. 思考3：已知点A(x 1, y 1),B(x 2, y 2)，那么向量地坐标如何？

向量及向量的基本运算

向量及向量的基本运算一、教学目标：1．理解向量的有关概念，掌握向量的加法与减法、实数与向量的积、向量的数量积及其运算法则，理解向量共线的充要条件. 2．会用向量的代数运算法则、三角形法则、平行四边形法则解决有关问题．不断培养并深化用数形结合的思想方法解题的自觉意识. 二、教学重点：向量的概念和向量的加法和减法法则．三、教学过程：（一）主要知识： 1）向量的有关概念 ①向量：既有大小又有方向的量。向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：。向量的大小即向量的模（长度），记作||。 ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行。<注意与0的区别> ③单位向量：模为1个单位长度的向量。 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线上。相反向量：我们把与向量a 长度相等，方向相反的向量叫做a 的相反向量。记作-a 。 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量。相等向量经过平移后总可以重合，记为b a =。 2）向量加法 ①求两个向量和的运算叫做向量的加法。设b a ==,，则a +b =+=。向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”。说明：（1）a a a =+=+00；（2）向量加法满足交换律与结合律； 3)向量的减法 ① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量。记作a -,零向量的相反向量仍是零向量。关于相反向量有：（i ）)(a --=a ； (ii) a +(a -)=(a -)+a =0 ； (iii)若a 、b 是互为相反向量，则a =b -,b =a -,a +b =0 。 ②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差，记作：)(b a b a -+=-。求两个向量差的运算，叫做向量的减法。 b a -的作图法：b a -可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b 有共同起点）。注：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。（2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。 4)实数与向量的积 ①实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方向规定如下：

第1讲平面向量的概念及线性运算 (1)

第1讲平面向量的概念及线性运算一、选择题 1.已知下列各式：①AB →＋BC →＋CA →；②AB →＋MB →＋BO →＋OM →；③OA →＋OB →＋BO →＋ CO →；④AB →－AC →＋BD →－CD →.其中结果为零向量的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析由题知结果为零向量的是①④，故选B. 答案 B 2.设a 是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( ) A.a 与λa 的方向相反 B.a 与λ2a 的方向相同 C.|－λa |≥|a | D.|－λa |≥|λ|·a 解析对于A ，当λ＞0时，a 与λa 的方向相同，当λ＜0时，a 与λa 的方向相反；B 正确；对于C ，|－λa |＝|－λ||a |，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa |与|a |的大小关系不确定；对于D ，|λ|a 是向量，而|－λa |表示长度，两者不能比较大小. 答案 B 3.如图，在正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝( ) A.0 B.BE → C.AD → D.CF → 解析由题图知BA →＋CD →＋EF →＝BA →＋AF →＋CB →＝CB →＋BF →＝CF →. 答案 D 4.设a 0为单位向量，下述命题中：①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.假命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二

平面向量的概念练习(学生版)

1、下列说法正确的是（） A 、数量可以比较大小，向量也可以比较大小. B 、方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小. C 、向量的大小与方向有关. D 、向量的模可以比较大小. 2、给出下列六个命题： ①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若||||a b =，则a b =； ③若AB DC =，则四边形ABCD 是平行四边形； ④平行四边形ABCD 中，一定有AB DC =； ⑤若m n =，n k =，则m k =； ⑥a b ，b c ，则a c . 其中不正确的命题的个数为（） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 3、设O 是正方形ABCD 的中心，则向量,,,AO BO OC OD 是（） A 、相等的向量 B 、平行的向量 C 、有相同起点的向量 D 、模相等的向量 4、判断下列各命题的真假：（1）向量AB 的长度与向量BA 的长度相等；（2）向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；（3）两个有共同起点的而且相等的向量，其终点必相同；（4）两个有共同终点的向量，一定是共线向量；（5）向量AB 和向量CD 是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上；（6）有向线段就是向量，向量就是有向线段. 其中假命题的个数为（） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 5、若a 为任一非零向量，b 为模为1的向量，下列各式：①|a |＞|b | ②a ∥b ③|a |＞0 ④|b |＝±1，其中正确的是（） A 、①④ B 、③ C 、①②③ D 、②③

6、下列命中，正确的是（） A 、|a |＝|b |?a ＝b B 、|a |＞|b |?a ＞b C 、a ＝b ?a ∥b D 、｜a ｜＝0?a ＝0 7、下列物理量：①质量 ②速度 ③位移 ④力 ⑤加速度 ⑥路程，其中是向量的有（） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 8、平行向量是否一定方向相同？ 9、不相等的向量是否一定不平行？ 10、与零向量相等的向量必定是什么向量？ 11、与任意向量都平行的向量是什么向量？ 12、若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？ 14、如图所示，四边形ABCD 为正方形，△BCE 为等腰直角三角形，（1）找出图中与AB 共线的向量；（2）找出图中与AB 相等的向量；（3）找出图中与｜AB ｜相等的向量；（4）找出图中与EC 相等的向量. A B E C D

2016届高三数学复习 第五章 第一节 平面向量的概念及坐标运算