2016年全国初中数学联合竞赛试题及答案详解
2016年全国初中数学联合竞赛试题
第一试 (3月20日上午8:30 - 9:30)
一、选择题（本题满分42分，每小题7分） (本题共有6个小题，每题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内. 每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.) 1.用[]x 表示不超过x 的最大整数，把[]x x -称为x 的小数部分.已知
t =a 是t 的小
数部分，b 是t -的小数部分，则
11
2b a
-= （ ）
.A
12 .B .C 1 .D 2.三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图书30本，
那么不同的购书方案有 （ ）
.A 9种 .B 10种 .C 11种 .D 12种
3(A). 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.如：
333321(1),2631,=--=- 2和26均为“和谐数”.那么，不超过2016的正整数中，所有的“和
谐数”之和为 （ ）
.A 6858 .B 6860 .C 9260 .D 9262
3(B ）.已知二次函数2
1(0)y ax bx a =++≠的图象的顶点在第二象限，且过点(1,0).当a b -为整数时，ab = （ ）
.A 0 .
B 14 .
C 3
4
- .D 2- 4.已知O 的半径OD 垂直于弦AB ,交AB 于点C ，连接AO 并延长交O 于点E ,若
8,AB =2CD =,则BCE ?的面积为 （ ） .A 12 .B 15 .C 16 .D 18
5.如图，在四边形ABCD 中，0
90BAC BDC ∠=∠=，
AB AC =,1CD =,对角线的交点为M ，则DM =
( )
.
A .
B .
C .
D 12
6.设实数,,x y z 满足1,x y z ++= 则23M xy yz xz =++的最大值为 ( )
.A
12 .B 23 .C 3
4
.D 1 二、填空题（本题满分28分，每小题7分）
(本题共有4个小题，要求直接将答案写在横线上.)
1.【1(A)、2（B ）】 已知ABC ?的顶点A 、C 在反比例函数y x
=
（0x >）的图象上，090ACB ∠=,030ABC ∠=,AB x ⊥轴，点B 在点A 的上方，且6,AB =则点C 的坐标
为 .
1(B).已知ABC ?的最大边BC 上的高线AD 和中线AM 恰好把BAC ∠三等分，AD ,则AM = .
2(A).在四边形ABCD 中，BC ∥AD ,CA 平分B C D ∠,O 为对角线的交点，
,CD AO =,BC OD =则ABC ∠= .
3.【3(A)、4(B)】 有位学生忘记写两个三位数间的乘号，得到一个六位数，这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的3倍，这个六位数是 .
3(B).若质数p 、q 满足：340,111,q p p q --=+<则pq 的最大值为 . 4(A).将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入一个数），使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2.考虑每列中各数之和，设这5个和的最小值为M ,则M 的最大值为 .
第二试
(3月20日上午9:50 — 11:20)
一、（本题满分20分）
已知,a b 为正整数，求2
2
324M a ab b =---能取到的最小正整数值.
二、（本题满分25分）
(A ).如图，点C 在以AB 为直径的O 上，CD AB ⊥于点D ,点E 在BD 上，,AE AC =四边形DEFM 是正方形，AM 的延长线与O 交于点N .证明:FN DE =.
(B ).已知：5,a b c ++= 22215,a b c ++= 3
3
3
47.a b c ++= 求222222()()()a ab b b bc c c ca a ++++++的值.
三、（本题满分25分）
(A ).已知正实数,,x y z 满足：1xy yz zx ++≠ ,且
222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)
4x y y z z x xy yz zx
------++= .
(1) 求
111
xy yz zx
++的值. (2) 证明:9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.
(B ).如图，在等腰ABC ?中,AB AC ==D 为BC 边上异于中点的点，点C 关于直线AD 的对称点为点E ,EB 的延长线与AD 的延长线交于点,F 求AD AF ?的值.
2016年全国初中数学联合竞赛试题及详解 第一试 (3月20日上午8:30 - 9:30)
一、选择题（本题满分42分，每小题7分） (本题共有6个小题，每题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内. 每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.)
1.用[]x 表示不超过x 的最大整数，把[]x x -称为x 的小数部分.已知
t =，a 是t 的
小数部分，b 是t -的小数部分，则
11
2b a
-= （ ）
.A
12 .B .C 1 .D 【答案】A .
【解析】22,
t =
=+<< 324,∴<< 即34,t <<
3 1.a t ∴=-=
又
221,t -=--<-423,∴-<-<-
(4)2b t ∴=---=111,
22b a ∴
-===故选A . 2.三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图书30
本，那么不同的购书方案有 （ ）
.A 9种 .B 10种 .C 11种 .D 12种 【答案】C . 【解析】设购买三种图书的数量分别为,,,x y z 则30
101520500x y z x y z ++=??
++=?
，
即30341002y z x y z x +=-??
+=-?，解得20210y x
z x
=-??=+? 依题意得，,,x y z 为自然数（非负整数），
故010,x ≤≤x 有11种可能的取值（分别为0,1,2,,9,10) ，对于每一个x 值，y 和z 都有唯一的值（自然数）相对应. 即不同的购书方案共有11种，故选C .
3(A). 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.如：3
3
3
3
21(1),2631,=--=- 2和26均为“和谐数”.那么，不超过2016的正整数中，所有的“和谐数”之和为 （ ）
.A 6858 .B 6860 .C 9260 .D 9262
【答案】B .
【解析】[]3322
(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)k k k k k k k k ??+--=+--+++-+-??
22(121)k =+ （其中k 为非负整数）
，由22(121)2016k +≤得，9k ≤ 0,1,2,,8,9k ∴= ，即得所有不超过2016的“和谐数”，它们的和为
33333333333
1(1)(31)(53)(1715)(1917)1916860.??--+-+-++-+-=+=??
故选B . 3(B ）.已知二次函数21(0)y ax bx a =++≠的图象的顶点在第二象限，且过点(1,0).当a b -为整数时，ab = （ ）
.A 0 .
B 14 .
C 3
4
- .D 2- 【答案】B .
【解析】依题意知0,0,10,2b
a a
b a
<-
<++= 故0,b < 且1b a =--， (1)21a b a a a -=---=+，于是10,a -<< 1211a ∴-<+<
又a b -为整数，210,a ∴+= 故1,2a b =-
=1
4
ab =，故选B . 4.已知O 的半径OD 垂直于弦AB ,交AB 于点C ，连接AO 并延长交O 于点E ,若
8,AB =2CD =,则BCE ?的面积为（ ）
.A 12 .B 15 .C 16 .D 18
【解析】设,OC x =则2,OA OD x ==+
OD AB ⊥ 于,C 1
4,2
AC CB AB ∴==
= 在Rt OAC ?中，2
2
2
,OC AC OA +=
即222
4(2),x x +=+解得3x =，即3OC = （第4题答案图）
OC 为ABE ?的中位线，2 6.BE OC ∴== AE 是O 的直径，90,B ∴∠=
11
4612.22
BCE S CB BE ?∴=?=??= 故选A .
5.如图，在四边形ABCD 中，0
90BAC BDC ∠=∠=，AB AC ==1CD =,对角线的交
点为M ，则DM = ( )
.
A 2 .
B 3
.
C 2
.D 12
（第5题答案图）
【答案】D . 【解析】过点A 作AH BD ⊥于点,H 则AMH ?～,CMD ?,AH AM
CD CM
∴
=1,CD =
,AM AH
CM ∴=
设,AM x = 则,CM x AH =∴=
在Rt ABM ?中，BM == 则AB AM
AH BM
?=
=
=
显然0x ≠，化简整理得22100x -+=
解得2
x =
（x =不符合题意，舍去）
，故
CM =
在Rt CDM ?中，12DM ==,故选D .
6.设实数,,x y z 满足1,x y z ++= 则23M xy yz xz =++的最大值为 ( )
.A
12 .B 23 .C 3
4
.D 1 【答案】C .
【解析】
22(23)(23)(1)34232M xy y x z xy y x x y x xy y x y =++=++--=---++
22
22
11122332222y x y x x x x ????????=-+-+--++-?? ? ? ???????????
222
211113322222244y x x x y x x ???
???=-+--++=-+---+≤ ? ? ????
???
当且仅当1,02
x y ==时，M
取等号，故max 3
4
M =
，故选C . 二、填空题（本题满分
28分，每小题7分）
(本题共有4个小题，要求直接将答案写在横线上.)
1.【1(A)、2（B ）】 已知ABC ?的顶点A 、C
在反比例函数y x
=
（0x >）的图象上，090ACB ∠=,030ABC ∠=,AB x ⊥轴，点B 在点A 的上方，且6,AB =则点C 的坐标
为 .
【答案】2?????
. 【解析】如图，过点C 作CD AB ⊥于点D . 在Rt ACB ?
中，cos BC AB ABC =?∠= 在Rt BCD ?
中，sin 2
CD BC B =?=
（第1题答案图） 9cos ,2BD BC B =?=32AD AB BD ∴=-=,
设,,,C m A n m n ???
? ?????
， 依题意知0,n m >>
故,CD n m AD =-=
，于是
23
2n m ?-=??=
解得
m n ?=???=?，故点C
的坐标为22?? ? ???.
1(B).已知ABC ?的最大边BC 上的高线AD 和中线AM 恰好把BAC ∠
三等分，AD ,
则AM = .
【答案】2. 【解析】
（第1题答案图1 ） （ 第1题答案图2）
依题意得BAD DAM MAC ∠=∠=∠,0
90,ADB ADC ∠=∠= 故ABC ACB ∠≠∠.
(1)若ABC ACB ∠>∠时，如答案图1所示，ADM ?≌,ADB ?1
,2
BD DM CM ∴== 又AM 平分,DAC ∠ 1,2AD DM AC CM ∴
==在Rt DAC ?中，即1
cos ,2
DAC ∠= 060,DAC ∴∠= 从而0090,30BAC ACD ∠=∠=.
在Rt ADC ?中，tan tan603,CD AD DAC =?∠== 1.DM =
在Rt ADM ?中，2AM =
=.
(2)若ABC ACB ∠<∠时，如答案图2所示.同理可得2AM =.综上所述，2AM =.
2(A).在四边形ABCD 中，BC ∥AD ,CA 平分B C D ∠,O 为对角线的交点，
,CD AO =,BC OD =则ABC ∠= .
【答案】126
.
【解析】设,OCD ADO αβ∠=∠=,
CA 平分BCD ∠,OCD OCB α∴∠=∠=,
BC ∥AD ,,ADO OBC DAO OCB βα∴∠=∠=∠=∠=, (第2题答案图) OCD DAO α∴∠=∠=,AD CD ∴=, ,CD AO =AD AO ∴=,
ADO AOD BOC OBC β∴∠=∠=∠=∠=,OC BC ∴=,
,BC OD =,OC OD ∴=ODC OCD α∴∠=∠=
,180BOC ODC OCD BOC OBC OCB ∠=∠+∠∠+∠+∠=
2,2180,βααβ∴=+=
解得36,72αβ==
，72DBC BCD ∴∠=∠=
,
,BD CD AD ∴==18054,2
ABD BAD β
-∴∠=∠=
= 故126ABC ABD DBC ∠=∠+∠=
.
3.【3(A)、4(B)】 有位学生忘记写两个三位数间的乘号，得到一个六位数，这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的3倍，这个六位数是 . 【答案】16733
4. 【解析】设两个三位数分别为,x y ，则10003x y xy +=，①
31000(31000),y xy x y x ∴=-=-故y 是x 的正整数倍，不妨设y tx =（t 为正整数），代入
①得10003,t tx +=1000,3t x t +∴=
x 是三位数，10001003t
x t
+∴=≥，解得 1000
,299
t ≤
t 为正整数，t ∴的可能取值为1,2,3.验证可知，只有2t =符合，此时 167,334.x y == 故所求的六位数为167334.
3(B).若质数p 、q 满足：340,111,q p p q --=+<则pq 的最大值为 .
【答案】1007.
【解析】由340q p --=得，34,p q =-2
224(34)343,33pq q q q q q ?
?∴=-=-=-- ??
?
因q 为质数，故pq 的值随着质数q 的增大而增大，当且仅当q 取得最大值时，pq 取得最大值. 又111p q +<，34111,q q ∴-+<3
28
4
q ∴<，因q 为质数，故q 的可能取值为 23,19,17,13,11,7,5,3,2，但23q =时，3465513p q =-==?不是质数，舍去.
当19q =时,3453p q =-=恰为质数.故max max 19,()53191007q pq ==?=.
4(A).将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入一个数），使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2.考虑每列中各数之和，设这5个和的最小值为M ,则M 的最大值为 .
【答案】10.
【解析】(依据5个1分布的列数的不同情形进行讨论,确定M 的最大值.
(1)若5个1分布在同一列，则5M =；
(2)若5个1分布在两列中，则由题意知这两列中出现的最大数至多为3，故 2515320M ≤?+?=,故10M ≤;
(3) 若5个1分布在三列中，则由题意知这三列中出现的最大数至多为3，故 351525330M ≤?+?+?=,故10M ≤;
(4) 若5个1分布在至少四列中，则其中某一列至少有一个数大于3，这与已知矛盾. 综上所述，10.M ≤
另一方面，如下表的例子说明M 可以取到10.故M 的最大值为10.
第二试
(3月20日上午9:50 — 11:20)
一、（本题满分20分）
已知,a b 为正整数，求2
2
324M a ab b =---能取到的最小正整数值.
【解析】解：因,a b 为正整数，要使得2
2
324M a ab b =---的值为正整数，则有2a ≥. 当2a =时，b 只能为1，此时 4.M =故M 能取到的最小正整数值不超过4. 当3a =时，b 只能为1或2.若1,18b M ==;若2b =，则7M =.
当4a =时，b 只能为1或2或3.若1,38b M ==;若2,24b M ==;若3,b =则2M =.
(下面考虑：22
324M a ab b =---的值能否为1？)
（反证法）假设1M =，则223241a ab b ---=，即22
325a ab b -=+，
2(3)25a a b b -=+ ①
因b 为正整数，故25b +为奇数，从而a 为奇数，b 为偶数， 不妨设21,2a m b n =+=，其中,m n 均为正整数，则
22222(3)(21)3(21)(2)4(332)3a a b m m n m m mn n ??-=++-=+--+??
即2(3)a a b -被4除所得余数为3，而252(2)141b n n +=+=+被4除所得余数为1， 故①式不可能成立，故1M ≠.因此，M 能取到的最小正整数值为2.
二、（本题满分25分）
(A ).如图，点C 在以AB 为直径的O 上，CD AB ⊥于点D ,点E 在BD 上，,AE AC =四
边形DEFM 是正方形，AM 的延长线与O 交于点N .证明:FN DE =.
(第2(A)题答案图) 【证明】：连接BC 、.BN AB 为O 的直径，CD AB ⊥于点D
90ACB ANB ADC ∴∠=∠=∠=
,,CAB DAC ACB ADC ∠=∠∠=∠ ,ACB ADC ∴??∽ ,AC AB
AD AC
∴
=2AC AD AB ∴=? 由四边形DEFM 是正方形及CD AB ⊥于点D 可知: 点M 在CD 上，DE DM EF MF ===
,,NAB DAM ANB ADM ∠=∠∠=∠ ,ANB ADM ∴??∽ ,AN AB
AD AM
∴
=,AD AB AM AN ∴?=?2,AC AM AN ∴=? ,AE AC = 2AE AM AN ∴=?
以点F 为圆心、FE 为半径作,F 与直线AM 交于另一点P ,则F 与AB 切于点E ,即
AE 是F 的切线，直线AMP 是F 的割线，故由切割线定理得2AE AM AP =?
AN AP ∴=,即点N 与点P 重合，点N 在F 上，FN FE DE ∴==.
(注：上述最后一段得证明用了“同一法”)
(B ).已知：5,a b c ++= 22215,a b c ++= 3
3
3
47.a b c ++= 求222222()()()a ab b b bc c c ca a ++++++的值. 【解析】由已知得22221()()52
ab bc ca a b c a b c ??++=
++-++=?? 由恒等式3332223()()a b c abc a b c a b c ab bc ca ++-=++++---得，
4735(155),abc -=?-1abc ∴=-
又22()()()5(5)55(1)a ab b a b c a b ab bc ca c c ++=+++-++=--=- 同理可得22225(4),5(4)b bc c a c ca a b ++=-++=-
∴原式=[]3
5(4)(4)(4)1256416()4()a b c a b c ab bc ca abc ---=-+++++-
125[6416545(1)]625.=?-?+?--=
【注：恒等式32()()()()()t a t b t c t a b c t ab bc ca t abc ---=-+++++-】 三、（本题满分25分）
(A ).已知正实数,,x y z 满足：1xy yz zx ++≠ ,且
222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)
4x y y z z x xy yz zx
------++= .
(3) 求
111
xy yz zx
++的值. (4) 证明:9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.
【解析】（1）解：由等式222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)
4x y y z z x xy yz zx
------++=，
去分母得222222
(1)(1)(1((1)(1)(1)4z x y x y z y z x xyz --+--+--=，
222222222222
()()()3()0,
x y z xy z x yz x y z y z x z x y xyz x y z xyz ??++-+++++++++-=??
()()()()0xyz xy yz zx x y z xy yz zx x y z xyz ++-+++++++-=，
∴[()](1)0xyz x y z xy yz zx -++++-=，1,10xy yz zx xy yz zx ++≠∴++-≠ ，
()0,xyz x y z ∴-++=xyz x y z ∴=++，∴原式=
1.x y z
xyz
++= （2）证明：由（1）得计算过程知xyz x y z ∴=++，又 ,,x y z 为正实数,
9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx ∴+++-++ 9()()()8()()x y y z z x x y z xy yz zx =+++-++++
222222()()()6x y z y z x z x y xyz =+++++- 222()()()0.x y z y z x z x y =-+-+-≥
∴9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.
【注：222222()()()2x y y z z x x y xy y z yz z x zx xyz +++=++++++
222222()()()2x y z y z x z x y xyz =++++++
222222()()3x y z xy yz zx x y xy y z yz z x zx xyz ++++=++++++
222222()()()3x y z y z x z x y xyz =++++++】
(B ).如图，在等腰ABC ?中,AB AC ==D 为BC 边上异于中点的点，点C 关于直线AD 的对称点为点E ,EB 的延长线与AD 的延长线交于点,F 求AD AF ?的值.
（第3（B ）题答案图）
【解析】如图，连接,,AE ED CF ,则,AB AC = ABD ACB ∴∠=∠
点C 关于直线AD 的对称点为点E ,,BED BCF AED ACD ACB ∴∠=∠∠=∠=∠
,ABD AED ∴∠=∠,,,A E B D ∴四点共圆,BED BAD ∴∠=∠(同弧所对得圆周角相等) BAD BCF ∴∠=∠,,,,A B F C ∴四点共圆，AFB ACB ABD ∴∠=∠=∠
,AFB ABD ∴??∽,AB AF
AD AB
∴
=2
2 5.AD AF AB ∴?===
（注：若共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆，也可以说成：若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆）
初中数学组卷可直接打印
初中数学组卷 一．选择题（共15小题） 1．下列各数，3.14159265，，﹣8，，，中，无理数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个 2．均匀地向一个容器注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中OABC为折线），这个容器的形状可以是（） A．B． C．D． 3．已知正比例函数y＝kx的图象经过第一、三象限，则一次函数y＝kx﹣k的图象可能是如图中的（） A．B． C．D． 4．已知点A（m+1，﹣2）和点B（3，m﹣1），若直线AB∥x轴，则m的值为（）
A．2B．﹣4C．﹣1D．3 5．若满足方程组的x与y互为相反数，则m的值为（）A．1B．﹣1C．11D．﹣11 6．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，D为AB边上一动点，连接CD，△ACD与△A′CD关于直线CD轴对称，连接BA′，则BA′的最小值为（） A．B．1C．D． 7．已知△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC边上的高AD＝8，则边BC的长为（）A．21B．15C．6D．21或9 8．下列图形中，表示一次函数y＝ax+b与正比例函数y＝（a，b为常数，且ab≠0）的图象的是（） A．B． C．D． 9．如图，数轴上点A表示的数为a，化简：a+的值是（）
A．2a﹣2B．2C．2﹣2a D．2a 10．若点P（x，y）在第四象限，且|x|＝2，|y|＝3，则x+y＝（） A．﹣1B．1C．5D．﹣5 11．小明同学解方程组时的解为，由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了“?”和“*”处的两个数，则“●”，“*”分别代表的数是（） A．﹣2，1B．﹣2，﹣1C．2，1D．2，﹣1 12．在如图所示的象棋盘上，建立适当的平面直角坐标系，使“炮”位于点（﹣3，2）上，“相”位于点（2，﹣1）上，则“帅“位于点（） A．（0，0）B．（﹣1，1）C．（1，﹣1）D．（﹣2，2）13．已知△ABC的三边分别为a、b、c，则下列条件中不能判定△ABC是直角三角形的是（） A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5B．a：b：c＝1：：2 C．∠C＝∠A﹣∠B D．b2＝a2﹣c2 14．已知正比例函数的图象经过点（﹣2，6），则该函数图象还经过的点是（）A．（2，﹣6）B．（2，6）C．（6，﹣2）D．（﹣6，2）15．李大爷要围成一个矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长应恰好为24米，要围成的菜园是如图所示的矩形ABCD，设BC的边长为x米，AB边的长为y米，则y与x之间的函数关系式是（） A．y＝﹣2x+24（0＜x＜12）B．y＝﹣x+12（0＜x＜24） C．y＝2x﹣24（0＜x＜12）D．y＝x﹣12（0＜x＜24）
2015年浙江省高中数学竞赛试卷含参考答案
2015年浙江省高中数学竞赛试卷参考答案 一、选择题（本大题共有8小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题6分，共48分） 1．“a =2， 2b =”是“曲线C ：22 221(,,0)x y a b R ab a b +=∈≠经过点 ( ) 2,1”的( A )． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案：A. 解答：当a =2， 2b =曲线C ：22 221x y a b +=经过 ( ) 2,1；当曲线C ：22 221x y a b +=经过 点 ( ) 2,1时，即有 2 221 1a b +=，显然2,2a b =-=-也满足上式。所以“a =2， 2b =”是“曲线C ：22 221x y a b +=经过点 ( ) 2,1”的充分不必要条件。 2．已知一个角大于120o的三角形的三边长分别为,1,2m m m ++，则实数m 的取值范围为( B )． A ． 1m > B ． 312m << C ．3 32 m << D ．3m > 答案：B. 解答：由题意可知： 222 (1)2(2)(1)(1) m m m m m m m m ++>+??+>++++?解得3 12m <<。 3． 如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为BB 1的中点， 则二面角M -CD 1-A 的余弦值为( C )． A ． 36 B ． 1 2 C ． 3 3 D ．63 答案：C. 解答：以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则 11 (0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,) 2 D A C D M ，且平面 1ACD 的法向量为 1n = (1,1,1)，平面1MCD 法向量为2(1,2,2)n =- 。因此123 cos ,3 n n <>= ，即二面角第3题图 M C 1 B 1D 1 A 1 C D A B
初中数学奥林匹克竞赛方法与测试试题大全
初中数学奥林匹克竞赛方法与试题大全
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初中数学奥林匹克竞赛教程
初中数学竞赛大纲（修订稿） 数学竞赛对于开发学生智力，开拓视野，促进教学改革，提高教学水平，发现和培养数学人才都有着积极的作用。目前我国中学生数学竞赛日趋规范化和正规化，为了使全国数学竞赛活动健康、持久地开展，应广大中学师生和各级数学奥林匹克教练员的要求，特制定《初中数学竞赛大纲（修订稿）》以适应当前形势的需要。 本大纲是在国家教委制定的九年义务教育制“初中数学教学大纲”精神的基础上制定的。《教学大纲》在教学目的一栏中指出：“要培养学生对数学的兴趣，激励学生为实现四个现代化学好数学的积极性。”具体作法是：“对学有余力的学生，要通过课外活动或开设选修课等多种方式，充分发展他们的数学才能”，“要重视能力的培养……，着重培养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力，要使学生逐步学会分析、综合、归纳、演绎、概括、抽象、类比等重要的思想方法。同时，要重视培养学生的独立思考和自学的能力”。 《教学大纲》中所列出的内容，是教学的要求，也是竞赛的要求。除教学大纲所列内容外，本大纲补充列出以下内容。这些课外讲授的内容必须充分考虑学生的实际情况，分阶段、分层次让学生逐步地去掌握，并且要贯彻“少而精”的原则，处理好普及与提高的关系，这样才能加强基础，不断提高。 1、实数 十进制整数及表示方法。整除性，被2、3、4、5、8、9、11等数整除的判定。 素数和合数，最大公约数与最小公倍数。 奇数和偶数，奇偶性分析。 带余除法和利用余数分类。 完全平方数。 因数分解的表示法，约数个数的计算。 有理数的表示法，有理数四则运算的封闭性。 2、代数式 综合除法、余式定理。 拆项、添项、配方、待定系数法。 部分分式。 对称式和轮换对称式。 3、恒等式与恒等变形 恒等式，恒等变形。 整式、分式、根式的恒等变形。 恒等式的证明。 4、方程和不等式 含字母系数的一元一次、二次方程的解法。一元二次方程根的分布。 含绝对值的一元一次、二次方程的解法。
2019年12月13日初中数学组卷
2019年12月13日初中数学组卷 一．选择题（共21小题） 1．如图，若一次函数y＝﹣2x+b的图象与两坐标轴分别交于A，B两点，点A的坐标为（0，3），则不等式﹣2x+b＞0的解集为（） A．x＞B．x＜C．x＞3D．x＜3 2．如图所示，直线l1：y＝x+6与直线l2：y＝﹣x﹣2交于点P（﹣2，3），不等式 x+6＞﹣x﹣2的解集是（） A．x＞﹣2B．x≥﹣2C．x＜﹣2D．x≤﹣2 3．如图，直线y＝x+b和y＝kx+2与x轴分别交于点A（﹣2，0），点B（3，0），则解集为（）A．x＜﹣2B．x＞3C．x＜﹣2或x＞3D．﹣2＜x＜3 4．如图，直线y＝kx+b（k≠0）经过点（﹣1，3），则不等式kx+b≥3的解集为（） A．x＞﹣1B．x＜﹣1C．x≥3D．x≥﹣1 5．如图，直线y＝kx+b（k≠0）经过点A（﹣2，4），则不等式kx+b＞4的解集为（）A．x＞﹣2B．x＜﹣2C．x＞4D．x＜4 6．如图，直线y＝kx+3经过点（2，0），则关于x的不等式kx+3＞0的解集是（）A．x＞2B．x＜2C．x≥2D．x≤2 7．一次函数y＝ax+b的图象如图所示，则不等式ax+b≥0的解集是（）A．x≥2B．x≤2C．x≥4D．x≤4
8．如图，函数y1＝﹣2x与y2＝ax+3的图象相交于点A（m，2），则关于x的不等式﹣2x＞ax+3的解集是（） A．x＞2B．x＜2C．x＞﹣1D．x＜﹣1 9．直线y＝kx+3经过点A（2，1），则不等式kx+3≥0的解集是（）A．x≤3B．x≥3C．x≥﹣3D．x≤0 10．如图，直线y＝ax+b过点A（0，2）和点B（﹣3，0），则方程ax+b＝0的解是（）A．x＝2B．x＝0C．x＝﹣1D．x＝﹣3 11．若一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、四象限，则下列不等式中总是成立的是（）A．ab＞0B．a﹣b＞0C．a2+b＞0D．a+b＞0 12．一次函数y＝3x+b和y＝ax﹣3的图象如图所示，其交点为P（﹣2， ﹣5），则不等式3x+b＞ax﹣3的解集在数轴上表示正确的是（） A．B． C．D． 13．如图，直线y＝﹣x+2与y＝ax+b（a≠0且a，b为常数）的交点坐标为（3，﹣1），则关于x的不等式﹣x+2≥ax+b的解集为（） A．x≥﹣1B．x≥3C．x≤﹣1D．x≤3 14．同一直角坐标系中，一次函数y1＝k1x+b与正比例函数y2＝k2x的图象如图所示，则满足y1≥y2的x取值范围是（）
2012年全国初中数学竞赛决赛试题及参考答案
中国教育学会中学数学教学专业委员会 2012年全国初中数学竞赛试题 一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．如果实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，||||a b b c ++可以化简为（ ）． （A ）2c -a （B ）2a -2b （C ）-a （D ）a 2．如果正比例函数y = ax （a ≠ 0）与反比例函数y =x b （b ≠0 ）的图象有 两个交点，其中一个交点的坐标为（－3，－2），那么另一个交点的坐标为（ ）． （A ）（2，3） （B ）（3，－2） （C ）（－2，3） （D ）（3，2） 3．如果a b ，为给定的实数，且1a b <<，那么1121a a b a b ++++，， ，这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（ ）． （A ）1 （B ） 21 4 a - （C ）12 （D ）14 4．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n 倍”；小玲对小倩说：“你若给我n 元，我的钱数将是你的2倍”，其中n 为正整数，则n 的可能值的个数是（ ）． （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 5．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的
概率为0123p p p p ，，，，则0123p p p p ，，，中最大的是（ ）． （A ）0p （B ）1p （C ）2p （D ）3p 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分） 6．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x ”到“结果是否>487？”为一次操作. 如果操作进行四次才停止，那么x 的取值范围是 . 7．如图，正方形ABCD 的边长为 E ， F 分别是AB ，BC 的中点，AF 与DE ，DB 分别交于点M ，N ，则△DMN 的面积是 . 8．如果关于x 的方程x 2+kx +4 3k 2－3k +9 2= 0的两个实数根分别为1x ，2x ， 那么 2012 2 20111x x 的值为 ． 9．2位八年级同学和m 位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场．记分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得0分；平局各得1分. 比赛结束后，所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则m 的值为 . 10．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是直径，AD = DC . 分别延长BA ，CD ，交点为E . 作BF ⊥EC ，并与 EC 的延长线交于点F . 若AE = AO ， BC = 6，则CF 的长为 .
2017年05月25日195048229的初中数学组卷 (1)
2017年05月25日195048229的初中数学组卷 一．选择题（共12小题） 1．如图，已知一商场自动扶梯的长l为13米，高度h为5米，自动扶梯与地面所成的夹角为θ，则tanθ的值等于（） A．B．C．D． 2． 3． 4．小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为（） A．（）米B．12米C．（）米D．10米 5．如图，在一个20米高的楼顶上有一信号塔DC，某同学为了测量信号塔的高度，在地面的A处测得信号塔下端D的仰角为30°，然后他正对塔的方向前进了8米到达地面的B处，又测得信号塔顶端C的仰角为45°，CD⊥AB于点E，E、B、A在一条直线上．信号塔CD的高度为（）
A．20B．20﹣8 C．20﹣28 D．20﹣20 6． 7．如图，在高出海平面100m的悬崖顶A处，观测海面上的一艘小船B，并测得它的俯角为30°，则船与观测者之间的水平距离为（） A．50B．100 C．100+D．100 8．如图，某教学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A处测得树顶C 的仰角为30°，然后沿AD方向前行10m，到达B点，在B处测得树顶C的仰角高度为60°（A、B、D三点在同一直线上）则这棵树CD的高度为（） A．10m B．5m C．5m D．10m 9．如图，一艘轮船以40海里/时的速度在海面上航行，当它行驶到A处时，发现它的北偏东30°方向有一灯塔B．轮船继续向北航行2小时后到达C处，发现灯塔B在它的北偏东60°方向．若轮船继续向北航行，那么当再过多长时间时轮船离灯塔最近？（） A．1小时B．小时C．2小时D．小时 10．如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=6km，某船从港口A出发，沿北
2014全国数学竞赛初三决赛试卷
2014年全国初中数学联赛决赛试卷 含参考答案 一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1．已知,x y 为整数，且满足22441 111211()()()3x y x y x y ++=--，则x y +的可能的值有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答】 C. 由已知等式得2244 224423x y x y x y xy x y x y ++-?=?，显然,x y 均不为0，所以x y +＝0或32()xy x y =-. 若32()xy x y =-，则(32)(32)4x y +-=-.又,x y 为整数， 可求得12, x y =-??=?，或21.x y =-??=?，所以1x y +=或1x y +=-. 因此，x y +的可能的值有3个. 2．已知非负实数,,x y z 满足1x y z ++=，则22t xy yz zx =++的最大值为 （ ） A ．47 B ．59 C ．916 D ．1225 【答】 A. 21222()2()()4 t xy yz zx x y z yz x y z y z =++=++≤+++ 212(1)(1)4x x x =-+-2731424x x =-++2734()477 x =--+， 易知：当37x =，27y z ==时，22t xy yz zx =++取得最大值47 . 3．在△ABC 中，AB AC =，D 为BC 的中点，BE AC ⊥于E ，交AD 于P ，已知3BP =，1PE =，则AE ＝ （ ） A ．2 B C D 【答】 B . 因为AD BC ⊥，BE AC ⊥，所以,,,P D C E 四点共圆，所以12BD BC BP BE ?=?=，又2B C B D =， 所以BD = DP =.
2014年初中数学组卷 10
一．选择题（共9小题）1．（2013?柳州）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4．AD平分∠BAC交BC于D，则BD的长为（） A．B．C．D． 2．（2010?台湾）如图，△ABC中，有一点P在AC上移动．若AB=AC=5，BC=6，则AP+BP+CP的最小值为（） A．8B．8.8 C．9.8 D．10 3．（2008?安徽）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN等于（） A．B．C．D． 4．（2005?萧山区二模）如图，已知∠B=∠C=∠D=∠E=90°，且AB=CD=3，BC=4，DE=EF=2，则A、F两点间的距离是（） A．14 B．6+C．8+D．10 5．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是∠BAC的平分线，若CD=2，那么BD等于（） A．6B．4C．3D．2
6．如图，在△ABC中，若AB=10，AC=16，AC边上的中线BD=6，则BC等于（） A．8B．10 C．11 D．12 7．△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是角平分线，交AC于D点，若BD=2，则AB的长是（）A．2B．C．2D．14 8．如图，AD，CE为锐角△ABC的两条高，若AB=15，BC=14，CE=11.2，则BD的长为（） A．8B．9C．11 D．12 9．如图所示，AC上BD，O为垂足，设m=AB2+CD2，n=AD2+BC2，则m，n的大小关系为（） A．m＜n B．m=n C．m＞n D．不确定 二．填空题（共9小题） 10．（2013?襄阳）在一张直角三角形纸片中，分别沿两直角边上一点与斜边中点的连线剪去两个三角形，得到如图 所示的直角梯形，则原直角三角形纸片的斜边长是_________． 11．（2013?桂林）如图，在△ABC中，CA=CB，AD⊥BC，BE⊥AC，AB=5，AD=4，则AE=_________．
历年初中数学竞赛真题库(含答案)
1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题 第一试 一、选择题 本题共有8个小题，每小题都给出了（A ）、（B ）（C ）、（D ）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内． １． 设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立，其中a ，x ，y 是 两两不同的实数，则2 22 23y xy x y xy x +--+的值是 （A ）3 ； （B ）31； （C ）2； （D ）3 5 ． 答（ ） ２． 如图，AB ‖EF ‖CD ，已知AB =20，CD =80，BC =100，那么EF 的值是 （A ） 10； （B ）12； （C ） 16； （D ）18． 答（ ） ３． 方程012=--x x 的解是 （A ） 251±； （B ）25 1±-； （C ） 251±或251±-； （D ）2 5 1±-±． 答（ ） ４． 已知：)19911991(2 11 1 n n x --=（n 是自然数）．那么n x x )1(2+-，的值是 （Ａ）11991-； （Ｂ）11991--； （Ｃ）1991)1(n -； （Ｄ）11991)1(--n ． 答（ ） ５． 若M n 1210099321=?????Λ，其中Ｍ为自然数，n 为使得等式成立的最大的自然数，则Ｍ （Ａ）能被２整除，但不能被３整除； （Ｂ）能被３整除，但不能被２整除； （Ｃ）能被４整除，但不能被３整除； （Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除．
答（ ） ６． 若a ，c ，d 是整数，b 是正整数，且满足c b a =+，d c b =+，a d c =+，那么 d c b a +++的最大值是 （Ａ）1-；（Ｂ）5-；（Ｃ）0；（Ｄ）１． 答（ ） ７． 如图，正方形OPQR 内接于ΔABC ．已知ΔAOR 、ΔBOP 和ΔCRQ 的面积分别是11=S ， 32=S 和13=S ，那么，正方形OPQR 的边长是 （Ａ）2；（Ｂ）3；（Ｃ）2 ；（Ｄ）3． 答（ ） ８． 在锐角ΔABC 中， 1= AC ，c AB =，ο60=∠A ，ΔABC 的外接圆半径R ≤1，则 （Ａ）21< c < 2 ； （Ｂ）0< c ≤2 1 ； 答（ ） （C ）c > 2； （D ）c = 2． 答（ ） 二、填空题 １．Ｅ是平行四边形ABCD 中BC 边的中点，AE 交对角线BD 于G ，如果ΔBEG 的面积是１，则平行四边形ABCD 的面积是 ． ２．已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么，=+a c b 32 ． 3．设m ，n ，p ，q 为非负数，且对一切x >０，q p n m x x x x )1(1)1(+=-+恒成立，则 =++q p n m 22)2( ． ４．四边形ABCD 中，∠ ABC ο135=，∠BCD ο120=，AB 6=，BC 35-=， CD = 6，则AD = ． 第二试 1 1=S 3S =1 32=S
2018年04月初中数学应用题难题组卷
2018年04月初中数学应用题难题组卷 一．填空题（共2小题） 1．如图，曲线AB是顶点为B，与y轴交于点A的抛物线y=﹣x2+4x+2的一部分，曲线BC是双曲线y=的一部分，由点C开始不断重复“A﹣B﹣C”的过程，形成一组波浪线，点P（2018，m）与Q（2025，n）均在该波浪线上，则mn= ． 2．心理学家研究发现：一般情形下，在一节40分钟的课中，学生的注意力随教师讲课的时间变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持为理想的稳定状态，随后学生的汪意力开始分散．经过实验分析，知学生的注意力指数y随时间x（分钟）的 变化规律为：y= 有一道数学竞赛题需要讲解16.5分钟，为了使效果更好，要求学生的注意力指数最低值达到最大．那么，教师经过适当安排，应在上课的第分钟开始讲解这道题． 二．解答题（共13小题） 3．重庆市的重大惠民工程﹣﹣公租房建设已陆续竣工，计划10年内解决低收入人群的住房问题，前6年，每年竣工投入使用的公租房面积y（单位：百万平方米），与时间x的关系是，（x单位：年，1≤x≤6且x为整数）；后4年，每年竣工投入使用的公租房面积y（单位：百万平方米），与时间x的关系是（x单位：年，7≤x≤10且x为整数）．假设每年的公租房全部出租完．另外，随着物价上涨等因素的影响，每年的租金也随之上调，预计，第x年投入使用的公租房的租金z（单位：元/m2）与时间x（单位：年，1≤x≤10且x为整数）满足一次函数关系如下表：
z（元/m2）5 5 2 5 4 5 6 5 8 … x（年）12345… （1）求出z与x的函数关系式； （2）求政府在第几年投入的公租房收取的租金最多，最多为多少百万元； （3）若第6年竣工投入使用的公租房可解决20万人的住房问题，政府计划在第10年投入的公租房总面积不变的情况下，要让人均住房面积比第6年人均住房面积提高a%，这样可解决住房的人数将比第6年减少1.35a%，求a的值． （参考数据：，，） 4．湖州素有鱼米之乡之称，某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势，一次性收购了20000kg淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售．已知每天放养的费用相同，放养10天的总成本为30.4万元；放养20天的总成本为30.8万元（总成本=放养总费用+收购成本）． （1）设每天的放养费用是a万元，收购成本为b万元，求a和b的值； （2）设这批淡水鱼放养t天后的质量为m（kg），销售单价为y元/kg．根据以往经验可知：m与t 的函数关系为；y与t的函数关系如图所示． ①分别求出当0≤t≤50和50＜t≤100时，y与t的函数关系式； ②设将这批淡水鱼放养t天后一次性出售所得利润为W元，求当t为何值时，W最大？并求出 最大值．（利润=销售总额﹣总成本）
2016年浙江省高中数学竞赛卷
2016年浙江省高中数学竞赛卷 一、选择题（每题6分，共48分） 1.曲线22(2)()0x y a x y ++-=为平面上交于一点的三条直线的充要条件是 （ ） A.0a = B.1a = C.1a =- D.a R ∈ 2.函数3 2()4sin sin 2(sin cos )22 x x f x x x =-+-的最小周期 （ ） A.2π B. 2 π C.23 π D.π 3.设双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左右焦点分别为1F 、2F ， 点A 是过2F 且倾斜角为4 π 的直线与双曲线的一个交点.若12F F A 为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为 （ ） A. 1 2 1 C. 1 2 1 4.已知正三棱锥S ABC -，底面是边长为1的正三角形，侧棱长为2.若过直线AB 的截面，将正三棱锥的体积分成两个相等的部分，则截面与底面所成二面角的平面角的余弦值为（ ） A. 10 B. 15 C. 15 D. 15 5.已知,a b R ∈，函数()f x ax b =-.若对任意[1,1]x ∈-，有0()1f x ≤≤，则 3122 a b a b +++-的取值范围为 （ ） A.1 [,0]2 - B.4 [,0]5 - C.12[,]27 - D.42[,]57 - 6.已知向量OA ，OB 垂直，且|||| 2O A O B == .若[0,1]t ∈，则5|||(1)|12 t AB AO BO t BA -+-- 的最小值为 （ ） A. B.26 C. D.24 7.设集合*{(,)| ,,} M x y x y N ==∈，则集合M 中的元素个数为 （ ） A.0 B.1 C.2 D.3 8.记[]x 为不超过x 的最大正数，若集合{(,)||[]||[]|1}S x y x y x y =++-≤，则集合S 所表示的平面区域的面积为 （ ） A. 5 2 B.3 C. 9 2 D.4
-2017年全国初中数学联赛决赛试卷B
2017年全国初中数学联赛决赛试卷B (3月26日 上午8:45—11:15） （本试卷由李庄中学 况永胜（QQ:369132130录入） 一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 本题共有6小题，每题均给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中有且仅有一个是正确的。将你选择的答案的代号填在题号的括号内，每小题选对得7分；不选、错选或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。 1、若q 是质数，且q +1 是完全平方数，就称q 为P 型质数，则P 型质数的个数是( ) A 、0 B 、1 C 、2 D 、无数个 2、已知k 为正实数，一次函数y =kx +1与反比例函数y = k x 的图象交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若||x 1-x 2=5，则k 的值是( ) A 、1 B 、 2 C 、 3 D 、2 3、已知AD 、BE 、CF 为锐角△ABC 三边上的高，若AB =26，EF BC = 513， 则BE 的长度是（ ） A 、10 B 、12 C 、13 D 、24 4、在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ABC =90°，E 是腰AD 的中点，若EC = 13，AB +BC +CD =226,则∠BCE = ( ) A 、30° B 、45° C 、60° D 、75° 5、若实数k 使得关于x 的方程(x 2–1)(kx 2–6x –8)=0恰有三个不同的实数根，则称k 为“好数”， 则“好数”k 的个数是( ) A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 6.记正整数m 的各位数字之和为S (m )，比如S (2017)=2+0+1+7=10，现从1，2，3，…,2016,2017这2017个正整数中，任意取出n 个不同的数，都能在这n 个数中找到a 1，a 2，…，a 7，a 8， 使得S (a 1) = S (a 2)= …= S (a 7) = S (a 8)，则正整数n 的最小值是（ ） A 、185 B 、187 C 、189 D 、191 二、填空题（本大题满分28分，每小题7分） 本题共有4小题，要求直接将答案写在横线上. 7、若x =3–2，则 –x 2–2x x 2–1÷ ( 1||x +1 + 1||x –1 )的值是 8、在平面直角坐标系中，点O （0，0）、A （0，6）、B （-3，2）、C （-2，9），点P 为线段OA （含端点）上任意一点，则PB +PC 的最小值是 9、有4只杯口全朝上的茶杯，现在每次翻转3只，翻动的茶杯允许再翻，经过n 次翻动后，使得杯口全朝下，则正整数n 的最小值是 (注：所谓一只茶杯的一次翻转是指将该茶杯的杯口朝上（下）翻为杯口朝下（上）) 10、设A 、B 为抛物线y = x 2上两点，该两点在y 轴两侧，满足AB =4，记△AOB 的面积为S ，其中O 为坐标原点，则S 的最大值是 三、解答题（本题满分20分） 11、设a 、b 、c 是任意三个互不相等的有理数，证明： 1(a –b )2 + 1(b –c )2 + 1(c –a )2 是有理数.
2016年初中数学中考试卷
2016年安徽省中考数学试卷 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的． 1. -2的绝对值是() A. -2 B. 2 C. ±2 D. 1 2 2. 计算a10÷a2(a≠0)的结果是() A. a5 B. a-5 C. a8 D. a-8 3. 2016年3月份我省农产品实现出口额8362万美元．其中8362万用科学记数法表示为() A. 8.362×107 B. 83.62×106 C. 0.8362×108 D. 8.362×108 4. 如图，一个放置在水平桌面上的圆柱，它的主(正)视图是() 5. 方程 2x＋1 x－1 ＝3的解是() A. - 4 5 B. 4 5 C. -4 D. 4 6. 2014年我国省财政收入比2013年增长8.9%，2015年比2014年增长9.5%.若2013和2015年我省财政收入分别为a亿元和b亿元，则a、b之间满足的关系式是() A. b＝a(1＋8.9%＋9.5%) B. b＝a(1＋8.9%×9.5%) C. b＝a(1＋8.9%)(1＋9.5%) D. b＝a(1＋8.9%)2(1＋9.5%) 7. 自来水公司调查了若干用户的月用水量x(单位：吨)，按月用水量将用户分成A、B、 C、D、E五组进行统计，并制作了如图所示的扇形统计图．已知除B组以外，参与调查的用户共64户，则所有参与调查的用户中月用水量在6吨以下的共有() 组别月用水量x(单位：吨) A 0≤x<3 B 3≤x<6 C 6≤x<9 D 9≤x<12 E x≥12 A. 18户 B. 20户 C. 22户 D. 24户 8. 如图，△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为() 第8题图 第7题图
2016温州初中数学竞赛卷
第 1 页 共 8 页 G F E'C' E A D B C 浙江省温州地区2016年初中数学竞赛选拔试卷 （检测范围：初中数学竞赛大纲要求所有内容） 一、单项选择题（本大题分4小题，每题5分，共20分） 1、设二次函数y 1=a (x -x 1)(x -x 2)(a ≠0,x 1≠x 2)的图象与一次函数y 2=dx +e (d ≠0)的图象交于点(x 1,0)，若函数y =y 2+y 1的图象与x 轴仅有一个交点，则( ). A ．a (x 1-x 2)=d B ．a (x 2-x 1)=d C ．a (x 1-x 2)2=d D ．a (x 1+x 2)2=d 2、如图，ΔABC 、ΔEFG 均是边长为2的等边三角 形，点D 是边BC 、EF 的中点，直线AG 、FC 相交于点M ．当ΔEFG 绕点D 旋转时，线段BM 长的最小值是( ). A ．32- B ．13+ C ．2 D ．13- 3、一名模型赛车手遥控一辆赛车，先前进1m ， 然后原地逆时针旋转α(0°<α<180°)，被称为一次操作．若5次操作后，发现赛车回到出发点，则α为( ). A ．72° B ．108° C ．144° D ．以上选项均不正确 4、方程()y x y xy x +=++322的整数解有( ). A 、3组 B 、4组 C 、5组 D 、6组 二、填空题（本大题分16小题，每题5分，共80分） 5、如图，在矩形ABCD 中，AB =64，AD =10，连接BD ，DBC ∠的角平分线BE 交DC 于点E ，现把BCE ?绕点B 逆时针旋转，记旋转后的BCE ?为''E BC ?，当射线'BE 和射线'BC 都与线段AD 相交时，设交点分别为F ，G ，若BFD ?为等腰三角形，则线段DG 长为 . 6、如图，在平面直角坐标系中，点M 是第一象限内一点，过M 的直线分别交x 轴，y 轴的正半轴于A 、B 两点，且M 是AB 的中点.以OM 为直径的⊙P 分别交x 轴，y 轴于C 、D 两点，交直线AB 于点E (位于点M 右下方)， 连结DE 交OM 于点K .设x OBA =∠tan (0 2014年全国初中数学联合竞赛试题参考答案 说明：第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准 规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，在评卷时请参照本评分标准划分 的档次，给予相应的分数. 第一试 一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1．已知,x y 为整数，且满足22441 111211()()()3x y x y x y ++=--，则x y +的可能的值有（ C ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2．已知非负实数,,x y z 满足1x y z ++=，则22t xy yz zx =++的最大值为 （ A ） A ．47 B ．59 C ．916 D ．1225 3．在△ABC 中，AB AC =，D 为BC 的中点，BE AC ⊥于E ，交AD 于P ，已知 3BP =，1PE =，则AE ＝ （ B ） A ．62 B ．2 C ．3 D ．6 4．6张不同的卡片上分别写有数字2，2，4，4，6，6，从中取出3张，则这3张卡片 上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是 （ B ） A ．12 B ．25 C ．23 D ．34 5．设[]t 表示不超过实数t 的最大整数，令{}[]t t t =-.已知实数x 满足33118x x + =，则1 {}{}x x += （ D ） A ．12 B ．35- C ．1(35)2 - D ．1 6．在△ABC 中，90C ∠=?，60A ∠=?，1AC =，D 在BC 上，E 在AB 上，使 得△A D E 为等腰直角三角形, 90ADE ∠=? ,则BE 的长为 （ A ） A ．423- B ．23- C ．1(31)2 - D ．31- 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分） 2012年12月七上数学度分秒的计算题组卷一．解答题（共30小题） 1．计算： （1）48°39′+67°31′（2）180°﹣21°17′×5 2．计算：18°36′12″+12°28′14″ 3．计算：72°35′÷2+18°33′×4． 4．计算： （1）76°35′+69°65′ （2）180°﹣23°17′57″ （3）19°37′26″×9 5．计算：48°39′+67°31′﹣21°17′×5 6．计算： （1）22°18′×5；（2）90°﹣57°23′27″．7．计算90°﹣18°26′59″ 8．计算： （1）51°37′11″﹣30°30′30″÷5； （2）13°53′×3﹣32°5′31″． 9．计算： （1）40°26′+30°30′30″÷6； （2）13°53′×3﹣32°5′31″． 10．计算： （1）48°39′+67°41′；（2）46°35′×3 11．计算：（1）18°15′17″×4；（2）109°24′÷8．12．（90°﹣21°31′24″）÷2 13．计算： ①28°32′46″+15°36′48″； ②（30°﹣23°15′40″）×3； ③108°18′36″﹣56.5°；（结果用度、分、秒表示） ④123°24′﹣60°36′．（结果用度表示） 14．计算： （1）45.4°+34°6′； （2）38°24′×4； （3）150.6°﹣（30°26′+59°48′）． 15．计算：90°﹣77°54′36″﹣1°23″16．180°﹣23°17′57″ 17．计算：① ②360°÷7（精确到分） 18．计算：32°16′×5﹣15°20′÷6 19．16°51′+38°27′×3﹣90° ２01５年浙江省高中数学竞赛试卷参考答案 一、选择题（本大题共有8小题,每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里,多选、不选、错选均不得分,每题6分,共4８分） 1．“a＝2， b=”是“曲线C： 22 22 1(,,0) x y a b R ab a b +=∈≠ 经过点)”的（A)． A．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：A. 解答:当a =2, b=曲线C: 22 22 1 x y a b += 经过)；当曲线Ｃ：22 22 1 x y a b += 经过点)时,即有22 21 1 a b +=, 显然2, a b =-=也满足上式。所以“a＝ 2, b=”是“曲线C： 22 22 1 x y a b += 经过点)”的充分不必要条件。 ２.已知一个角大于１20o的三角形的三边长分别为,1,2 m m m ++，则实数m的取值范围为( Ｂ)． Ａ．1 m>B．3 1 2 m < 初中数学奥林匹克竞赛题及答案 奥数题一 一、选择题（每题1分，共10分） 1．如果a，b都代表有理数，并且a＋b=0，那么 ( ) A．a，b都是0 B．a，b之一是0 C．a，b互为相反数 D．a，b互为倒数 答案：C 解析：令a=2，b=－2，满足2+(－2)=0，由此a、b互为相反数。 2．下面的说法中正确的是 ( ) A．单项式与单项式的和是单项式 B．单项式与单项式的和是多项式 C．多项式与多项式的和是多项式 D．整式与整式的和是整式 答案：D 解析：x2，x3都是单项式．两个单项式x3，x2之和为x3+x2是多项式，排除A。两个单项式x2，2x2之和为3x2是单项式，排除B。两个多项式x3+x2与x3－x2之和为2x3是个单项式，排除C，因此选D。 3．下面说法中不正确的是 ( ) A. 有最小的自然数 B．没有最小的正有理数 C．没有最大的负整数 D．没有最大的非负数 答案：C 解析：最大的负整数是-1，故C错误。 4．如果a，b代表有理数，并且a＋b的值大于a－b的值，那么 ( ) A．a，b同号 B．a，b异号 C．a＞0 D．b＞0 答案：D 5．大于－π并且不是自然数的整数有 ( ) A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 答案：C 解析：在数轴上容易看出：在－π右边0的左边（包括0在内）的整数只有－3，－2，－1，0共4个．选C。 6．有四种说法： 甲．正数的平方不一定大于它本身； 乙．正数的立方不一定大于它本身； 丙．负数的平方不一定大于它本身； 丁．负数的立方不一定大于它本身。 这四种说法中，不正确的说法的个数是 ( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 答案：B 解析：负数的平方是正数，所以一定大于它本身，故C错误。 7．a代表有理数，那么，a和－a的大小关系是 ( ) A．a大于－a B．a小于－a C．a大于－a或a小于－a D．a不一定大于－a 答案：D 解析：令a=0，马上可以排除A、B、C，应选D。 8．在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的两边( ) A．乘以同一个数 B．乘以同一个整式 C．加上同一个代数式 D．都加上1 答案：D 解析：对方程同解变形，要求方程两边同乘不等于0的数，所以排除A。我们考察方程x－2=0，易知其根为x=2．若该方程两边同乘以一个整式x－1，得(x－1)(x－2)=0，其根为x=1及x=2，不与原方程同解，排除B。同理应排除C．事实上方程两边同时加上一 个常数，新方程与原方程同解，对D，这里所加常数为1，因此选D． 9．杯子中有大半杯水，第二天较第一天减少了10%，第三天又较第二天增加了10%，那么，第三天杯中的水量与第一天杯中的水量相比的结果是( ) A．一样多 B．多了 C．少了 D．多少都可能 答案：C 解析：设杯中原有水量为a，依题意可得， 第二天杯中水量为a×(1－10%)=0.9a； 第三天杯中水量为(0.9a)×(1+10%)=0.9×1.1×a； 第三天杯中水量与第一天杯中水量之比为0.99∶1， 所以第三天杯中水量比第一天杯中水量少了，选C。2014年全国初中数学联赛决赛(初三)试题及答案解析
七上数学度分秒的计算题组卷
年浙江省高中数学竞赛试卷(word版-含答案)
初中数学奥林匹克竞赛题及答案