最新全国初中数学竞赛决赛试题及答案
中国教育学会中学数学教学专业委员会 “《数学周报》杯”2011年全国初中数学竞赛试题
答题时注意：
1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交.
一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）
1．设1a ，则代数式32312612a a a +--的值为( ).
（A ）24 （B ）25 （C ）10 （D ）12 2．对于任意实数a b c d ，，，，定义有序实数对a b （，）与c d （，）之间的运算“△”为：（a b ，）△（c d ，）＝（ac bd ad bc ++，）．如果对于任意实数u v ，， 都有（u v ，）△（x y ，）＝（u v ，），那么（x y ，）为( ).
（A ）（0，1） （B ）（1，0） （C ）（﹣1，0） （D ）（0，-1）
3．若1x >，0y >，且满足3y y x
xy x x y
==，，则x y +的值为( ).
（A ）1 （B ）2 （C ）
92 （D ）112
4．点D E ，分别在△ABC 的边AB AC ，上，BE CD ，相交于点F ，设1234BDF BCF CEF EADF S S S S S S S S ???====四边形，，，，则13S S 与24S S 的大小关系为
( ).
（A ）1324S S S S < （B ）1324S S S S = （C ）1324S S S S > （D ）不能确定
5．设333
3
1111
12399S =
++++
，则4S 的整数部分等于( ). （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7
二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）
6．若关于x 的方程2(2)(4)0x x x m --+=有三个根，且这三个根恰好可 以作为一个三角形的三条边的长，则m 的取值范围是 .
7．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8. 同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数的概率是 .
8．如图，点A B ，为直线y x =上的两点，过A B ，两点分别作y 轴的平行线交双曲线1
y x
=
（x ＞0）于C D ，两点. 若2BD AC =，则224OC OD -
的值为 .
9．若y =的最大值为a ，最小值为b ，则22a b +的值为 .
10．如图，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为35，正方形CDEF 内接于△ABC ，且其边长为12，则△ABC 的周长为 .
三、解答题（共4题，每题20分，共80分）
11．已知关于x 的一元二次方程20x cx a ++=的两个整数根恰好比方程
20x ax
b +
+=的两个根都大1，求
a b c ++的值
.
12．如图，点H 为△ABC 的垂心，以AB 为直径的⊙1O 和△BCH 的外接圆⊙2O 相交于点D ，延长AD 交CH 于点P ，求证：点P 为CH 的中点.
13．如图，点A 为y 轴正半轴上一点，A B ，两点关于x 轴对称，过点A 任作直线交抛物线2
23
y x =
于P ，Q 两点. （1）求证：∠ABP =∠ABQ ；
（2）若点A 的坐标为（0，1），且∠PBQ =60o，试求所有满足条件的直线PQ 的函数解析式.
14．如图，△ABC 中，60BAC ∠=?，2AB AC =．点P 在△ABC
内，且
52PA PB PC ===，，求△ABC 的面积．
中国教育学会中学数学教学专业委员会
“《数学周报》杯”2011年全国初中数学竞赛试题参考答案
一、选择题 1．A
解：
因为1a =-，
1a +=， 262a a =-， 所以
3223126123621262612
61260
662126024.
a a a a a a a a a a a +--=-+---=--+=---+=（）（）（）
2．B
解：依定义的运算法则，有ux vy u vx uy v +=??+=?，，即(1)0(1)0
u x vy v x uy -+=??-+=?，
对任何实数
u v ，都成立. 由于实数u v ，的任意性，得
（x y ，）=（1，0）．
3．C
解：由题设可知1
y y x -=，于是
341y y x yx x -==，
所以 411y -=，
故1
2
y =，从而4x =．于是92x y +=．
4．C
解：如图，连接DE ，设1D E F
S S ?'=，则14
23
S S EF S BF S '==，从而有1324S S S S '=．因为11S S '>，所以1324S S S S >．
5．A
解：当2 3 99k =，，，时，因为
()()()32111112111k k k k k k k ??
<=-??-+-??
，
所以 333111111511123
992299100
4S ?
?<=+
+++
<+-< ????. 于是有445S <<，故4S 的整数部分等于4．
二、填空题 6．3＜m ≤4
解：易知2x =是方程的一个根，设方程的另外两个根为12 x x ，，则124x x +=，12x x m
=．显然1242x x +=>，所以
122x x -<， 164m ?=-
≥0，
即2<，164m ?=-≥0，所以
2<， 164m ?=-≥0，
解之得 3＜m ≤4.
7．1
9
解： 在36对可能出现的结果中，有4对：（1，4），（2，3），（2，3），（4，1）的和为5，所以朝上的面两数字之和为5的概率是41369
=. 8．6
解：如图，设点C 的坐标为a b （，），点D 的坐标为c d （，）,则点A 的坐标为a a （，），点B 的坐标为.c c （，） 因为点C D ，在双曲线1
y x
=
上，所以11ab cd ==，． 由于AC a b =-，BD c d =-， 又因为2BD AC =，于是
22222242c d a b c cd d a ab b -=--+=-+，（），
所以 22224826a b c d ab cd +-+=-=（）（），
即2
24OC OD -=6.
9．
3
2
解：由1x -≥0，且12x -≥0，得1
2
≤x ≤1．
21122y =
+=+ 由于
13
124
<<，所以当34x =时，2y 取到最大值1，故1a =．
当12x =
或1时，2y 取到最小值1
2
，故2b =．
所以，223
2
a b +=． 10．84
解：如图，设BC ＝a ，AC ＝b ，则
22235a b +=＝1225． ①
又Rt △AFE ∽Rt △ACB ，所以
F E A F
C B A C
=
，即1212
b a b
-=
，故 12()a b ab +=． ② 由①②得
222
2122524a b a b a b a b +=++=++（）（），
解得a ＋b ＝49（另一个解－25舍去），所以
493584a b c ++=+=．
三、解答题
11．解：设方程20x ax b ++=的两个根为αβ，，其中αβ，为整数，且
α≤β，则方程20x cx a ++=的两根为11αβ++，，由题意得
()()11a a αβαβ+=-++=，，
两式相加得 2210αβαβ+++=， 即 (2)(2)3αβ++=，
所以 2123αβ+=??+=?，； 或232 1.αβ+=-??+=-?，
解得 11αβ=-??=?，； 或53.αβ=-??=-?
，
又因为[11]a b c αβαβαβ=-+==-+++（），，（）（），
所以 012
a b c ==-=-，，；或者
81
5a b c ===
，
，， 故3a b c ++=-，或29.
12．证明：如图，延长AP 交⊙2O 于点Q ，
连接 AH BD QB QC QH ，，，，.
因为AB 为⊙1O 的直径，
所以∠ADB =∠BDQ =90°，
故BQ 为⊙2O 的直径.
于是CQ BC BH HQ ⊥⊥，.
又因为点H 为△ABC 的垂心，所以.AH BC BH AC ⊥⊥，
所以AH ∥CQ ，AC ∥HQ ，四边形ACQH 为平行四边形.
所以点P 为CH 的中点.
13．解：（1）如图，分别过点P Q ，
作y 轴的垂线，垂足分别为C D ， . 设点A 的坐标为（0，t ），则点B 的坐标为（0，-t ）.
设直线PQ 的函数解析式为y kx t =+,并设P Q ，的坐
标分别为 P P x y （，）,Q Q x y （，）.由
223y kx t y x =+??
?=??
，，
得 2203
x kx t --=，
于是 32P Q x x t =-，即 23
P Q t x x =-.
于是
222323
P P Q Q
x t y t BC BD y t x t ++==++22222
()333.222()333P P Q P P Q P Q Q P Q Q Q P x x x x x x x x x x x x x x --===--- 又因为
P Q x PC QD x =-，所以BC PC BD QD
=. 因为∠BCP =∠90BDQ =?，所以△BCP ∽△BDQ ， 故∠ABP =∠ABQ .
（2）解法一 设PC a =，DQ b =，不妨设a ≥b >0，由（1）可知
∠ABP =∠30ABQ =?，BC
，BD
，
所以 AC
2-，AD
=2.
因为PC ∥DQ ，所以△ACP ∽△ADQ . 于是
PC AC
DQ AD
=
，即a b ，
所以a b +=．
由（1）中3
2P Q x x t =-，即32ab -=-
，所以32ab a b =+=，
于是可求得2a b ==
将b =
代入22
3y x =，得到点Q
，12）
.
再将点Q 的坐标代入1y kx =+
，求得k = 所以直线PQ
的函数解析式为1y =+. 根据对称性知，所求直线PQ
的函数解析式为13y x =-
+
，或13
y x =+. 解法二 设直线PQ 的函数解析式为y kx t =+,其中1t =. 由（1）可知，∠ABP =∠30ABQ =?，所以2BQ DQ =.
故
2Q x =.
将2
23
Q Q y x =
代入上式，平方并整理得 4241590Q Q x x -+=，即22(43)(3)0Q Q x x --=.
所以
Q x =
又由 (1)得332
2
P Q x x t =-=-，32
P Q x x k +=.
若Q x =
代入上式得
P x = 从而
2()3P Q k x x =+=.
同理，若Q x =
可得P x = 从而
2()3P Q k x x =+=.
所以，直线PQ
的函数解析式为1y =+
，或1y +. 14．解：如图，作△ABQ ，使得
QAB PAC ABQ ACP ∠=∠∠=∠，，则△ABQ ∽△ACP .
由于2AB AC =，所以相似比为2. 于是
224AQ AP BQ CP ====．
60QAP QAB BAP PAC BAP BAC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=?.
由:2:1AQ AP =知，90APQ ∠=?
，于是3PQ ==．
所以 22225BP BQ PQ ==+，从而90BQP ∠=?．
于是
222()28AB PQ AP BQ =++=+.
故 213s i n 602ABC S AB AC AB ?=??==．