同济第六版《高等数学》教案WORD版-第11章 无穷级数
第十一章 无穷级数
教学目的：
1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。
2．掌握几何级数与P 级数的收敛与发散的条件。
3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。 4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法。
5．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。 6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。
7．理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。 8．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和。
9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。
10．掌握,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)a α+的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。
11. 了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在[-l ，l]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0，l]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。 教学重点 ：
1、级数的基本性质及收敛的必要条件。
2、正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别；
3、交错级数的莱布尼茨判别法；
4、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域；
5、,sin ,cos x
e x x ，ln(1)x +和(1)a α
+的麦克劳林展开式； 6、傅里叶级数。 教学难点：
1、比较判别法的极限形式；
2、莱布尼茨判别法；
3、任意项级数的绝对收敛与条件收敛；
4、函数项级数的收敛域及和函数；
5、泰勒级数；
6、傅里叶级数的狄利克雷定理。
§11. 1 常数项级数的概念和性质
一、常数项级数的概念 常数项级数: 给定一个数列 u 1, u 2, u 3, ? ? ?, u n , ? ? ?, 则由这数列构成的表达式 u 1 + u 2 + u 3 + ? ? ?+ u n + ? ? ?
叫做常数项)无穷级数, 简称常数项)级数, 记为∑∞
=1
n n u , 即
3211
???++???+++=∑∞
=n n n u u u u u ,
其中第n 项u n 叫做级数的一般项. 级数的部分和: 作级数∑∞
=1
n n u 的前n 项和
n n
i i n u u u u u s +???+++==∑= 3211
称为级数∑∞
=1
n n u 的部分和.
级数敛散性定义: 如果级数∑∞
=1
n n u 的部分和数列}{n s 有极限s , 即s s n n =∞
→lim ,
则称无穷级数∑∞
=1
n n u 收敛, 这时极限s 叫做这级数的和,
并写成
3211
???++???+++==∑∞
=n n n u u u u u s ;
如果}{n s 没有极限, 则称无穷级数∑∞
=1
n n u 发散.
余项: 当级数∑∞
=1
n n u 收敛时, 其部分和s n 是级数∑∞
=1
n n u 的和s 的近似值, 它们之间的差值
r n =s -s n =u n +1+u n +2+ ? ? ? 叫做级数∑∞
=1n n u 的余项.
例1 讨论等比级数(几何级数)
20
???++???+++=∑∞
=n n n aq aq aq a aq
的敛散性, 其中a ≠0, q 叫做级数的公比. 例1 讨论等比级数n n aq ∑∞
=0(a ≠0)的敛散性.
解 如果q ≠1, 则部分和 q
aq q a q aq a aq
aq aq a s n n n n ---=--=+???+++=-111 1
2
. 当|q |<1时, 因为q a s n n -=∞→1lim , 所以此时级数n n aq ∑∞
=0
收敛, 其和为q a
-1.
当|q |>1时, 因为∞=∞
→n n s lim , 所以此时级数n n aq ∑∞
=0
发散.
如果|q |=1, 则当q =1时, s n =na →∞, 因此级数n n aq ∑∞
=0
发散;
当q =-1时, 级数n n aq ∑∞
=0
成为
a -a +a -a + ? ? ?,
时|q |=1时, 因为s n 随着n 为奇数或偶数而等于a 或零, 所以s n 的极限不存在, 从而这时级数n n aq ∑∞
=0也发散.
综上所述, 如果|q |<1, 则级数n n aq
∑∞
=0收敛,
其和为q a
-1; 如果|q |≥1, 则级数n n aq ∑∞
=0
发散.
仅当|q |<1时, 几何级数n n aq ∑∞
=0
a ≠0)收敛, 其和为q a
-1.
例2 证明级数 1+2+3+? ? ?+n +? ? ? 是发散的.
证 此级数的部分和为
2
)
1( 321+=
+???+++=n n n s n . 显然, ∞=∞
→n n s lim , 因此所给级数是发散的. 例3 判别无穷级数
)
1(1 431321211???+++???+?+?+?n n
的收敛性. 解 由于 1
1
1)1(1+-=+=n n n n u n ,
因此 )
1(1
431321211++???+?+?+?=
n n s n
1
11)111( )3121()211(+-=+-
+???+-+-=n n n
从而
1)1
11(lim lim =+-
=∞
→∞
→n s n n n , 所以这级数收敛, 它的和是1. 例3 判别无穷级数∑∞
=+1)
1(1n n n 的收敛性. 解 因为 )
1(1
431321211++???+?+?+?=
n n s n
1
11)111( )3121()211(+-=+-+???+-+-=n n n , 从而
1)1
11(lim lim =+-
=∞
→∞
→n s n n n ,
所以这级数收敛, 它的和是1. 提示: 1
1
1)1(1+-=+=n n n n u n .
二、收敛级数的基本性质
性质1 如果级数∑∞
=1
n n u 收敛于和s , 则它的各项同乘以一个常数k 所得的级数∑∞
=1
n n ku 也收敛,
且其和为ks .
性质1 如果级数∑∞
=1
n n u 收敛于和s , 则级数∑∞
=1
n n ku 也收敛, 且其和为ks .
性质1 如果s u n n =∑∞=1
, 则ks ku n n =∑∞
=1
.
这是因为, 设∑∞
=1
n n u 与∑∞
=1
n n ku 的部分和分别为s n 与σn , 则
) (lim lim 21n n n n ku ku ku ???++=∞
→∞
→σks s k u u u k n n n n ==???++=∞
→∞
→lim ) (lim 21.
这表明级数∑∞
=1
n n ku 收敛, 且和为ks .
性质2 如果级数∑∞
=1
n n u 、∑∞
=1
n n v 分别收敛于和s 、σ, 则级数)(1
n n n v u ±∑∞
=也收敛, 且其和为s ±σ.
性质2 如果s u n n =∑∞
=1
、σ=∑∞
=1n n v , 则σ±=±∑∞
=s v u n n n )(1
.
这是因为, 如果∑∞=1
n n u 、∑∞
=1
n n v 、)(1
n n n v u ±∑∞
=的部分和分别为s n 、σn 、τn , 则
)]( )()[(lim lim 2211n n n n n v u v u v u ±+???+±+±=∞
→∞
→τ
)] () [(lim 2121n n n v v v u u u +???++±+???++=∞
→
σσ±=±=∞
→s s n n n )(lim .
性质3 在级数中去掉、加上或改变有限项, 不会改变级数的收敛性. 比如, 级数
)
1(1 431321211???+++???+?+?+?n n 是收敛的,
级数
)
1(1 43132121110000???+++???+?+?+?+n n 也是收敛的,
级数
)
1(1 541431???+++???+?+?n n 也是收敛的.
性质4 如果级数∑∞
=1
n n u 收敛, 则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛, 且其和不变.
应注意的问题: 如果加括号后所成的级数收敛, 则不能断定去括号后原来的级数也收敛. 例如, 级数
1-1)+1-1) +? ? ?收敛于零, 但级数1-1+1-1+? ? ?却是发散的. 推论: 如果加括号后所成的级数发散, 则原来级数也发散. 级数收敛的必要条件:
性质5 如果∑∞
=1n n u 收敛, 则它的一般项u n 趋于零, 即0lim 0
=→n n u .
性质5 如果∑∞
=1n n u 收敛, 则0lim 0
=→n n u .
证 设级数∑∞
=1
n n u 的部分和为s n , 且s s n n =∞
→lim , 则
0lim lim )(lim lim 110
=-=-=-=-∞
→∞
→-∞
→→s s s s s s u n n n n n n n n n .
应注意的问题: 级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件. 例4 证明调和级数
1
3121111
???++???+++=∑∞
=n n n 是发散的.
例4 证明调和级数∑
∞
=11n n
是发散的. 证 假若级数∑
∞
=1
1n n 收敛且其和为s , s n
是它的部分和.
显然有s s n n =∞
→lim 及s s n n =∞
→2lim . 于是0)(lim 2=-∞
→n n n s s .
但另一方面, 2
121 212121 21112=+???++>+???++++=
-n n n n n n s s n n , 故0)(lim 2≠-∞
→n n n s s , 矛盾. 这矛盾说明级数∑
∞
=11n n
必定发散.
§11. 2 常数项级数的审敛法 一、正项级数及其审敛法
正项级数: 各项都是正数或零的级数称为正项级数.
定理1 正项级数∑∞
=1
n n u 收敛的充分必要条件它的部分和数列{s n }有界.
定理2(比较审敛法)设∑∞
=1
n n u 和∑∞
=1
n n v 都是正项级数, 且u n ≤v n (n =1, 2, ? ? ? ). 若级数∑∞
=1
n n v 收敛,
则级数∑∞=1
n n u 收敛; 反之, 若级数∑∞=1
n n u 发散, 则级数∑∞
=1
n n v 发散.
定理2(比较审敛法)
设∑∞
=1
n n u 和∑∞
=1
n n v 都是正项级数, 且u n ≤v n (k >0, ?n ≥N ).
若∑∞=1
n n v 收敛, 则∑∞=1
n n u 收敛; 若∑∞=1
n n u 发散, 则∑∞
=1
n n v 发散.
设∑u n 和∑v n 都是正项级数, 且u n ≤kv n (k >0, ?n ≥N ). 若级数∑v n 收敛, 则级数∑u n 收敛; 反之, 若级数∑u n 发散, 则级数∑v n 发散.
证 设级数∑∞
=1
n n v 收敛于和σ, 则级数∑∞
=1
n n u 的部分和
s n =u 1+u 2+ ? ? ? +u n ≤v 1+ v 2+ ? ? ? +v n ≤σ (n =1, 2, ? ? ?), 即部分和数列{s n }有界, 由定理1知级数∑∞
=1
n n u 收敛.
反之, 设级数∑∞
=1
n n u 发散, 则级数∑∞
=1
n n v 必发散. 因为若级数
∑∞
=1
n n v 收敛, 由上已证明的结论, 将有级数∑∞
=1
n n u 也收敛, 与假设矛盾.
证 仅就u n ≤v n (n =1, 2, ? ? ? )情形证明. 设级数∑v n 收敛, 其和为σ, 则级数∑u n 的部分和 s n =u 1+ u 2+ ? ? ? + u n ≤v 1+v 2+ ? ? ? +v n ≤σ (n =1, 2, ? ? ?), 即部分和数列{s n }有界. 因此级数∑u n 收敛.
反之, 设级数∑u n 发散, 则级数∑v n 必发散. 因为若级数 ∑v n 收敛, 由上已证明的结论, 级数∑u n 也收敛, 与假设矛盾.
推论 设∑∞
=1
n n u 和∑∞
=1
n n v 都是正项级数, 如果级数∑∞
=1
n n v 收敛, 且存在自然数N , 使当n ≥N 时有
u n ≤kv n (k >0)成立, 则级数∑∞
=1
n n u 收敛; 如果级数∑∞
=1
n n v 发散, 且当n ≥N 时有u n ≥kv n (k >0)成立, 则级
数∑∞
=1
n n u 发散.
例1 讨论p -级数
1 413121111
???++???++++=∑
∞
=p
p p p p n n n 的收敛性, 其中常数p >0. 例1 讨论p -级数)0( 11>∑
∞
=p n
p n 的收敛性.
解 设p ≤1. 这时n n p 11≥, 而调和级数∑∞=11n n 发散, 由比较审敛法知, 当p ≤1时级数p n n
11∑∞
=发
散.
设p >1. 此时有
]1)1(1[111111
111-------=≤=??p p n n p n n p p n n p dx x dx n n (n =2, 3, ? ? ?).
对于级数
]1
)1(1[112
--∞
=--∑p p n n n , 其部分和
1
11111)
1(11])1(11[ ]3121[]211[------+-=+-+???+-+-
=p p p p p p n n n n s .
因为1])
1(11[lim lim 1=+-
=-∞
→∞
→p n n n n s . 所以级数]1)1(1[11
2--∞
=--∑p p n n n 收敛. 从而根据比较审敛法的推论1可知, 级数p n n
11∑∞
=当p >1时
收敛.
综上所述, p -级数p n n
11∑
∞
=当p >1时收敛, 当p ≤1时发散. 解 当p ≤1时, n n p 11≥, 而调和级数∑∞=11n n
发散, 由比较审敛法知,
当p ≤1时级数p
n n 11
∑∞
=发散. 当p >1时,
]1)1(1[111111111-------=≤=??p p n n p n n p
p n n p dx x dx n n (n =2, 3, ? ? ?).
而级数
]1
)1(1[112
--∞
=--∑p p n n n 是收敛的, 根据比较审敛法的推论可知,
级数p
n n 11
∑∞
=当p >1时收敛.
提示: 级数
]1
)1(1[112
--∞
=--∑p p n n n 的部分和为
1
11111)1(11])1(11[ ]3121[]211[------+-=+-+???+-+-
=p p p p p p n n n n s . 因为1])
1(11[lim lim 1
=+-
=-∞
→∞
→p n n n n s , 所以级数
]1
)1(1[112
--∞
=--∑p p n n n 收敛.
p -级数的收敛性: p -级数p
n n 11
∑
∞
=当p >1时收敛, 当p ≤1时发散. 例2 证明级数∑
∞
=+1
)
1(1n n n 是发散的. 证 因为
1
1)1(1)1(12+=+>+n n n n , 而级数 1
1 3121111
???+++???++=+∑
∞
=n n n 是发散的, 根据比较审敛法可知所给级数也是发散的. 定理3(比较审敛法的极限形式) 设∑∞=1n n u 和∑∞
=1
n n v 都是正项级数, 如果l v u n
n
n =∞→lim
(0 则级数∑∞ =1 n n u 和级数∑∞ =1 n n v 同时收敛或同时发散. 定理3(比较审敛法的极限形式) 设∑∞=1 n n u 和∑∞ =1 n n v 都是正项级数, (1)如果l v u n n n =∞→lim (0≤l <+∞), 且级数∑∞=1n n v 收敛, 则级数∑∞=1 n n u 收敛; (2)如果+∞=>=∞→∞→n n n n n n v u l v u lim 0lim 或, 且级数∑∞=1n n v 发散, 则级数∑∞=1 n n u 发散. 定理3(比较审敛法的极限形式) 设∑u n 和∑v n 都是正项级数, (1)如果lim(u n /v n )=l (0≤l <+∞), 且∑v n 收敛, 则∑u n 收敛; (2)如果lim(u n /v n )=l (0 证明 由极限的定义可知, 对l 2 1=ε, 存在自然数N , 当n >N 时, 有不等式 l l v u l l n n 212 1+<< -, 即n n n lv u lv 2 321<<, 再根据比较审敛法的推论1, 即得所要证的结论. 例3 判别级数∑∞ =11sin n n 的收敛性. 解 因为111sin lim =∞→n n n , 而级数∑∞ =11n n 发散, 根据比较审敛法的极限形式, 级数∑∞ =1 1sin n n 发散. 例4 判别级数∑∞ =+ 1 2 )11ln(n n 的收敛性. 解 因为11)11ln(lim 2 2=+∞→n n n , 而级数211n n ∑∞ =收敛, 根据比较审敛法的极限形式, 级数∑∞ =+ 12 )11ln(n n 收敛. 定理4(比值审敛法, 达朗贝尔判别法) 若正项级数∑∞ =1n n u 的后项与前项之比值的极限等于ρ: ρ=+∞→n n n u u 1 lim , 则当ρ<1时级数收敛; 当ρ>1(或∞=+∞→n n n u u 1 lim )时级数发散; 当ρ =1时级数可能收敛也可能发散. 定理4(比值审敛法, 达朗贝尔判别法) 若正项级数∑∞ =1n n u 满足ρ=+∞→n n n u u 1 lim , 则当ρ<1时级数收敛; 当ρ>1(或∞=+∞→n n n u u 1 lim )时级数发散. 当ρ =1时级数可能收敛也可能发散. 定理4(比值审敛法, 达朗贝尔判别法)设∑∞ =1 n n u 为正项级数, 如果 ρ=+∞→n n n u u 1 lim , 则当ρ<1时级数收敛; 当ρ>1(或∞=+∞→n n n u u 1 lim )时级数发散; 当ρ =1时级数可能收敛也可能发散. 例5 证明级数 ) 1( 3211 3211211111???+-?????+???+??+?++n 是收敛的. 解 因为101lim 321)1( 321lim lim 1<==?????-?????=∞→∞→+∞→n n n u u n n n n n , 根据比值审敛法可知所给级数收敛. 例6 判别级数 10! 10321102110132???++???+??+?+n n 的收敛性. 解 因为∞=+=?+=∞→+∞→+∞→101lim ! 1010 )!1(lim lim 11n n n u u n n n n n n n , 根据比值审敛法可知所给级数发散. 例7 判别级数 ∑ ∞ ∞ →?-n n n 2)12(1的收敛性. 解 1) 22()12(2)12(lim lim 1=+?+?-=∞→+∞→n n n n u u n n n n . 这时ρ=1, 比值审敛法失效, 必须用其它方法来判别级数的收敛性. 因为 212)12(1n n n =收敛, 因此由比较审敛法可知所给级数收敛. 解 因为 212)12(1n n n n ∑∞ =收敛, 因此由比较审敛法可知所给级数收敛. 提示: 1) 22()12(2)12(lim lim 1=+?+?-=∞→+∞→n n n n u u n n n n , 比值审敛法失效. 因为 212)12(1n n n n ∑ ∞ =收敛, 因此由比较审敛法可知所给级数收敛. 定理5(根值审敛法, 柯西判别法) 设∑∞ =1n n u 是正项级数, 如果它的一般项u n 的n 次根的极限等于ρ: ρ=∞ →n n n u lim , 则当ρ<1时级数收敛; 当ρ>1(或+∞=∞ →n n n u lim )时级数发散; 当ρ=1时级数可能收敛也可能发散. 定理5(根值审敛法, 柯西判别法) 若正项级数∑∞ =1 n n u 满足ρ=∞ →n n n u lim , 则当ρ<1时级数收敛; 当ρ>1(或+∞=∞ →n n n u lim )时级数发散. 当ρ=1时级数可能收敛也可能发散. 定理5(根值审敛法, 柯西判别法) 设∑∞ =1n n u 为正项级数, 如果 ρ=∞ →n n n u lim , 则当ρ<1时级数收敛; 当ρ>1(或+∞=∞ →n n n u lim )时级数发散; 当ρ=1时级数可能收敛也可能发散. 例8 证明级数 1 3121132???++???+++ n n 是收敛的. 并估计以级数的部分和s n 近似代替和s 所产生的误差. 解 因为01lim 1lim lim ===∞→∞ →∞ →n n u n n n n n n n , 所以根据根值审敛法可知所给级数收敛. 以这级数的部分和s n 近似代替和s 所产生的误差为 )3(1)2(1)1(1||3 21???++++++=+++n n n n n n n r )1(1)1(1)1(1321???++++++<+++n n n n n n + n n n )1(1+= . 例6判定级数∑∞ =-+1 2)1(2n n n 的收敛性. 解 因为 21)1(22 1lim lim =-+=∞→∞ →n n n n n n u , 所以, 根据根值审敛法知所给级数收敛. 定理6(极限审敛法) 设∑∞ =1n n u 为正项级数, (1)如果)lim (0lim +∞=>=∞ →∞ →n n n n nu l nu 或, 则级数∑∞ =1 n n u 发散; (2)如果p >1, 而)0( lim +∞<≤=∞ →l l u n n p n , 则级数∑∞ =1 n n u 收敛. 例7 判定级数∑∞ =+ 1 2 )11ln(n n 的收敛性. 解 因为)(1~)11ln(2 2∞→+ n n n , 故 11lim )11ln(lim lim 2 2222=?=+=∞→∞→∞→n n n n u n n n n n , 根据极限审敛法, 知所给级数收敛. 例8 判定级数)cos 1(11n n n π -+∑∞ =的收敛性. 解 因为 2222 3 232 1)(211lim )cos 1(1lim lim πππ=?+=-+=∞→∞ →∞→n n n n n n n u n n n n n , 根据极限审敛法, 知所给级数收敛. 二、交错级数及其审敛法 交错级数: 交错级数是这样的级数, 它的各项是正负交错的. 交错级数的一般形式为∑∞ =--1 1)1(n n n u , 其中0>n u . 例如, 1 ) 1(1 1∑∞ =--n n n 是交错级数, 但 cos 1)1(1 1∑∞ =---n n n n π不是交错级数. 定理6（莱布尼茨定理） 如果交错级数∑∞ =--11)1(n n n u 满足条件: (1)u n ≥u n +1 (n =1, 2, 3, ? ? ?); (2)0lim =∞ →n n u , 则级数收敛, 且其和s ≤u 1, 其余项r n 的绝对值|r n |≤u n +1. 定理6（莱布尼茨定理） 如果交错级数∑∞ =--1 1)1(n n n u 满足: (1)1+≥n n u u ; (2)0lim =∞ →n n u , 则级数收敛, 且其和s ≤u 1, 其余项r n 的绝对值|r n |≤u n +1. 简要证明: 设前n 项部分和为s n . 由s 2n =(u 1-u 2)+(u 3-u 4)+ ? ? ? +(u 2n 1-u 2n ), 及 s 2n =u 1-(u 2-u 3)+(u 4-u 5)+ ? ? ? +(u 2n -2-u 2n -1)-u 2n 看出数列{s 2n }单调增加且有界(s 2n 设s 2n →s (n →∞), 则也有s 2n +1=s 2n +u 2n +1→s (n →∞), 所以s n →s (n →∞). 从而级数是收敛的, 且s n 因为 |r n |=u n +1-u n +2+? ? ?也是收敛的交错级数, 所以|r n |≤u n +1. 例9 证明级数 1)1(11∑∞ =--n n n 收敛, 并估计和及余项. 证 这是一个交错级数. 因为此级数满足 (1)1111+=+> =n n u n n u (n =1, 2,? ? ?), (2)01lim lim ==∞→∞→n u n n n , 由莱布尼茨定理, 级数是收敛的, 且其和s 1||1+=≤+n u r n n . 三、绝对收敛与条件收敛: 绝对收敛与条件收敛: 若级数∑∞ =1 ||n n u 收敛, 则称级数∑∞ =1n n u 绝对收敛; 若级数∑∞ =1 n n u 收敛, 而级数∑∞=1 ||n n u 发散, 则称级∑∞ =1 n n u 条件收敛. 例10 级数∑∞ =--1 1 1) 1(n n n 是绝对收敛的, 而级数∑∞=--1 11)1(n n n 是条件收敛的. 定理7 如果级数∑∞=1 n n u 绝对收敛, 则级数∑∞ =1 n n u 必定收敛. 值得注意的问题: 如果级数∑∞ =1 ||n n u 发散, 我们不能断定级数∑∞ =1 n n u 也发散. 但是, 如果我们用比值法或根值法判定级数∑∞ =1 ||n n u 发散, 则我们可以断定级数∑∞ =1 n n u 必定发散. 这是因为, 此时|u n |不趋向于零, 从而u n 也不趋向于零, 因此级数∑∞ =1 n n u 也是发散的. 例11 判别级数∑ ∞ =12 sin n n na 的收敛性. 解 因为|221|sin n n na ≤, 而级数2 11n n ∑∞ =是收敛的, 所以级数∑∞ =12|sin |n n na 也收敛, 从而级数∑∞=12 sin n n na 绝对收敛. 例12 判别级数∑∞ =+-1 2)11(21)1(n n n n n 的收敛性. 解: 由2)11(21||n n n n u += , 有121)11(lim 21||lim >=+=∞→∞→e n u n n n n n , 可知0lim ≠∞ →n n u , 因此级数∑∞ =+-1 2)11(21)1(n n n n n 发散. § 11. 3 幂级数 一、函数项级数的概念 函数项级数: 给定一个定义在区间I 上的函数列{u n (x )}, 由这函数列构成的表达式 u 1(x )+u 2(x )+u 3(x )+ ? ? ? +u n (x )+ ? ? ? 称为定义在区间I 上的(函数项)级数, 记为∑∞ =1)(n n x u . 收敛点与发散点: 对于区间I 内的一定点x 0, 若常数项级数∑∞ =1 0)(n n x u 收敛, 则称 点x 0是级数∑∞ =1)(n n x u 的收敛点. 若常数项级数∑∞ =1 0)(n n x u 发散, 则称 点x 0是级数∑∞ =1 )(n n x u 的发散点. 收敛域与发散域: 函数项级数∑∞ =1)(n n x u 的所有收敛点的全体称为它的收敛域, 所 有发散点的全体称为它的发散域. 和函数: 在收敛域上, 函数项级数∑∞ =1)(n n x u 的和是x 的函数s (x ), s (x )称为函数项级数∑∞=1 )(n n x u 的和函数, 并写成∑∞ ==1 )()(n n x u x s . ∑u n (x )是∑∞ =1 )(n n x u 的简便记法, 以下不再重述. 在收敛域上, 函数项级数∑u n (x )的和是x 的函数s (x ), s (x )称为函数项级数∑u n (x )的和函数, 并写成s (x )=∑u n (x ). 这函数的定义就是级数的收敛域, 部分和: 函数项级数∑∞ =1)(n n x u 的前n 项的部分和记作s n (x ), 函数项级数∑u n (x )的前n 项的部分和记作s n (x ), 即 s n (x )= u 1(x )+u 2(x )+u 3(x )+ ? ? ? +u n (x ). 在收敛域上有)()(lim x s x s n n =∞ →或s n (x )→s (x )(n →∞) . 余项: 函数项级数∑∞ =1)(n n x u 的和函数s (x )与部分和s n (x )的差 r n (x )=s (x )-s n (x )叫做函数项级数∑∞ =1 )(n n x u 的余项. 函数项级数∑u n (x )的余项记为r n (x ), 它是和函数s (x )与部分和s n (x )的差 r n (x )=s (x )-s n (x ). 在收敛域上有0)(lim =∞ →x r n n . 二、幂级数及其收敛性 幂级数: 函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都幂函数的函数 项级数, 这种形式的级数称为幂级数, 它的形式是 a 0+a 1x +a 2x 2+ ? ? ? +a n x n + ? ? ? , 其中常数a 0, a 1, a 2, ? ? ? , a n , ? ? ?叫做幂级数的系数. 幂级数的例子: 1+x +x 2+x 3+ ? ? ? +x n + ? ? ? , ! 1 !2112???++???++ +n x n x x . 注: 幂级数的一般形式是 a 0+a 1(x -x 0)+a 2(x -x 0)2+ ? ? ? +a n (x -x 0)n + ? ? ? , 经变换t =x -x 0就得a 0+a 1t +a 2t 2+ ? ? ? +a n t n + ? ? ? . 幂级数 1+x +x 2+x 3+ ? ? ? +x n + ? ? ? 可以看成是公比为x 的几何级数. 当|x |<1时它是收敛的; 当|x |≥1时, 它是发散的. 因此它的收敛 域为(-1, 1), 在收敛域内有 11132???++???++++=-n x x x x x . 定理1 (阿贝尔定理) 如果级数∑∞ =0n n n x a 当x =x 0 (x 0≠0)时收敛, 则适合不等式 《高等数学A》课程教学大纲 (216学时，12学分) 一、课程的性质、目的和任务 高等数学A是理科(非数学)本科个专业学生的一门必修的重要基础理论课，它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。 通过本课程的学习，要使学生获得：1、函数与极限；2、一元函数微积分学；3、向量代数与空间解析几何；4、多元函数微积分学； 5、无穷级数(包括傅立叶级数)； 6、微分方程等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的数学基础。 在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有综合运用所学知识去分析问题和解决问题 的能力。 二、总学时与学分 本课程的安排三学期授课，分为高等数学A(一)、(二)、(三)，总学时为90+72+54，学分为5+4+3。 三、课程教学基本要求及基本内容 说明：教学要求较高的内容用“理解”、“掌握”、“熟悉”等词表述，要求较低的内容用“了解”、“会”等词表述。 高等数学A(一) 一、函数、极限、连续、 1. 理解函数的概念及函数奇偶性、单调性、周期性、有界性。 2. 理解复合函数和反函数的概念。 3. 熟悉基本初等函数的性质及其图形。 4. 会建立简单实际问题中的函数关系式。 5. 理解极限的概念，掌握极限四则运算法则及换元法则。 6. 理解子数列的概念，掌握数列的极限与其子数列的极限之间的关系。 7. 理解极限存在的夹逼准则，了解实数域的完备性(确界原理、单界有界数列必有极限的原理，柯西(Cauchy)，审敛原理、区间套定理、致密性定理)。会用两个重要极限求极限。 8. 理解无穷小、无穷大、以及无穷小的阶的概念。会用等价无穷小求极限。 9. 理解函数在一点连续和在一个区间上连续的概念，了解间断点的概念，并会判别间断点的类型。 10.了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(介值定理，最大最小值定理，一致连续性)。 二、一元函数微分学 1.理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。会用导数描述一些物理量。 2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数、双曲函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性。 3.了解高阶导数的概念。 4.掌握初等函数一阶、二阶导数的求法。 5.会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数。会求反函数的导数。 6.理解罗尔(Ro lle)定理和拉格朗日(Lagrange)定理，了解柯西(Cauchy)定理和泰勒(Taylo r)定理。 7.会用洛必达(L’Ho sp ital)法则求不定式的极限。 8.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法。会求解较简单的最大值和最小值的应用问题。 9.会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点，会描绘函数的图形(包括水平和铅直渐进线)。 10.了解有向弧与弧微分的概念。了解曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和曲率半径。 11.了解求方程近似解的二分法和切线法。 三、一元函数积分学 1.理解原函数与不定积分的概念及性质，掌握不定积分的基本公式、换元法和分步积分法。会求简单的有理函数及三角函数有理式的积分。 2.理解定积分的概念及性质，了解函数可积的充分必要条件。 第八章 向量代数与空间解析几何 第一节 向量及其线性运算 教学目的：将学生的思维由平面引导到空间，使学生明确学习空间解析几何的意义和目的。使学生对（自由）向量有初步了解，为后继内容的学习打下基础。 教学重点：1.空间直角坐标系的概念 2.空间两点间的距离公式 3.向量的概念 4.向量的运算 教学难点：1.空间思想的建立 2.向量平行与垂直的关系 教学内容： 一、向量的概念 1．向量：既有大小，又有方向的量。在数学上用有向线段来表示向量，其长度表示向量的大小，其方向表示向量的方向。在数学上只研究与起点无关的自由向量（以后简称向量）。 2． 量的表示方法有: a 、i 、F 、OM 等等。 3． 向量相等b a =：如果两个向量大小相等，方向相同，则说（即经过平移后能完全重合的向量）。 4． 量的模：向量的大小，记为a 。 模为1的向量叫单位向量、模为零的向量叫零向量。零向量的方向是任意的。 5． 量平行b a //：两个非零向量如果它们的方向相同或相反。零向量与如何向量都平行。 6． 负向量：大小相等但方向相反的向量，记为a - 二、向量的线性运算 1．加减法c b a =+： 加法运算规律：平行四边形法则（有时也称三角形法则），其满足的运算规律有交换率和结合率见图7－4 2．c b a =- 即c b a =-+)( 3．向量与数的乘法a λ：设λ是一个数，向量a 与λ的乘积a λ规定为 0)1(>λ时，a λ与a 同向，||||a a λλ= 0)2(=λ时，0a =λ 0)3(<λ时，a λ与a 反向，||||||a a λλ= 其满足的运算规律有：结合率、分配率。设0 a 表示与非零向量a 同方向的单位向量，那么 a a a 0= 定理1：设向量a ≠0，那么，向量b 平行于a 的充分必要条件是：存在唯一的实数λ， 使b ＝a λ 例1：在平行四边形ABCD 中，设a =AB ，b =AD ，试用 a 和 b 表示向量MA 、MB 、MC 和MD ，这里M 是平行 四边形对角线的交点。（见图7－5） 图7－4 解：→→==+AM AC 2b a ，于是)(2 1 b a +- =→ MA 由于→ → -=MA MC ， 于是)(21 b a += → MC 又由于→→==+-MD BD 2b a ，于是)(2 1 a b -=→MD 由于→→-=MD MB ， 于是)(2 1 a b --=→MB 三、空间直角坐标系 1．将数轴（一维）、平面直角坐标系（二维）进一步推广建立空间直角坐标系（三维）如图7－1，其符合右手规则。即以右手握住z 轴，当右手的四个手指从正向x 轴以2 π 角度转向正向y 轴时，大拇指的指向就是z 轴的正向。 第一章函数与极限 教学目的： 1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4、掌握基本初等函数的性质及其图形。 5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限 之间的关系。 6、掌握极限的性质及四则运算法则。 7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限 的方法。 8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有 界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 教学重点： 1、复合函数及分段函数的概念； 2、基本初等函数的性质及其图形； 3、极限的概念极限的性质及四则运算法则； 4、两个重要极限； 5、无穷小及无穷小的比较； 6、函数连续性及初等函数的连续性； 7、区间上连续函数的性质。 教学难点： 1、分段函数的建立与性质； 2、左极限与右极限概念及应用； 3、极限存在的两个准则的应用； 4、间断点及其分类； 5、闭区间上连续函数性质的应用。 §1. 1 映射与函数 一、集合 1. 集合概念 集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A, B, C….等表示. 元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合M的元素表示为a?M. 集合的表示: 列举法: 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A?{a, b, c, d, e, f, g}. 描述法: 若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成, 则M可表示为 福建警察学院 《高等数学一》课程教学大纲 课程名称：高等数学一 课程编号： 学分：4 适用对象： 一、课程的地位、教学目标和基本要求 (一)课程地位 高等数学是各专业必修的一门重要的基础理论课程，它具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性，对培养和提高学生的思维素质、创新能力、科学精神、治学态度以及用数学解决实际问题的能力都有着非常重要的作用。高等数学课程不仅仅是学习后继课程必不可少的基础，也是培养理性思维的重要载体，在培养学生数学素养、创新意识、创新精神和能力方面将会发挥其独特作用。 （二）教学目标 通过本课程的学习，逐步培养学生使其具有数学运算能力、抽象思维能力、空间想象能力、科学创新能力，尤其具有综合运用数学知识、数学方法结合所学专业知识去分析和解决实际问题的能力，一是为后继课程提供必需的基础数学知识；二是传授数学思想，培养学生的创新意识，逐步提高学生的数学素养、数学思维能力和应用数学的能力。 （三）基本要求 1、基本知识、基本理论方面：掌握理解极限和连续的基本概念及其应用；熟悉导数与微分的基本公式与运算法则；掌握中值定理及导数的应用；掌握不定积分的概念和积分方法；掌握定积分的概念与性质；掌握定积分在几何上的应用。 2、能力、技能培养方面：掌握一元微积分的基本概念、基本理论、基本运算技能和常用的数学方法，培养学生利用微积分解决实际问题的能力。 二、教学内容与要求 第一章函数与极限 【教学目的】 通过本章学习 1、理解函数的概念，了解函数的几种特性（有界性），掌握复合函数的概念及其分 解，掌握基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念。 2、理解数列极限的概念、掌握数列极限的证明方法、了解收敛数列的性质。 3、理解函数极限和单侧极限的概念，掌握函数极限的证明方法、理解极限存在与 左、右极限之间的关系，了解函数极限的性质。 4、理解无穷小和无穷大的概念、掌握无穷大和无穷小的证明方法。 5、掌握极限运算法则。 6、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极 限的方法。 7、掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 8、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 9、了解连续函数的运算和初等函数的连续性， 10、了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）， 并会应用这些性质。 【教学重点与难点】 本章重点是求函数极限的方法（极限运算法则、两个重要极限、无穷小的比较、初等函数的连续性）。难点是数列、函数极限的证明方法。 【教学内容】 第一节映射与函数 一、映射 1.映射概念 第十一章 无穷级数 教学目的： 1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。 2．掌握几何级数与P 级数的收敛与发散的条件。 3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。 4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法。 5．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。 6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。 7．理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。 8．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和。 9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。 10．掌握,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)a α +的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函 数间接展开成幂级数。 11. 了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在[-l ，l]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0，l]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。 教学重点 ： 1、级数的基本性质及收敛的必要条件。 2、正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别； 3、交错级数的莱布尼茨判别法； 4、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域； 5、,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)a α +的麦克劳林展开式； 6、傅里叶级数。 教学难点： 1、比较判别法的极限形式； 2、莱布尼茨判别法； 3、任意项级数的绝对收敛与条件收敛； 4、函数项级数的收敛域及和函数； 广西民族师范学院 数计系《高等数学》课程教案 课程代码：061041210 总学时/周学时：_________ 51/3 开课时间：2015年9月16日第3周至第18周授课年级、专业、班级：制药本152班 使用教材：高等数学同济大学第7版 教研室：数学与应用数学教研室 授课教师: 、课程教学计划表 、教案正文 第一章函数与极限 （一）教学目的： 1. 理解映射与函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2?了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3?理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4?掌握基本初等函数的性质及其图形。 5?理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。 6?掌握极限的性质及四则运算法则。 7?了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。 8?理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。9?理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型 10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质 (有界性、最大值和最小值定理、介值定理) ，并会应用这些性质。 (二)重点、难点 1．重点函数与复合函数的概念，基本初等函数与初等函数，实际问题中的函数关系，极限概念与极限运算，无穷小，两个重要极限公式，函数连续的概念与初等函数的连续性。 2 ．难点函数符号的运用，复合函数的复合过程，极限定义的理解，两个重要极限的灵活运用。 三)教学方法、手段： 教师讲授，提问式教学，多媒体教学 第一节映射与函数 一、映射 1. 映射概念 定义4.设X、Y是两个非空集合,如果存在一个法则f,使得对X中每个元素X,按法则f,在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为从X到Y的映射，记作 f : X Y. 同济大学《高等数学》 授课教案 2015年3月2日（修改稿） 第一讲高等数学学习介绍、函数 了解新数学认识观，掌握基本初等函数的图像及性质；熟练复合函 数的分解。 >函数概念、性质（分段函数）—>基本初等函数—> >初等函数—>例子（定义域、函数的分解与复合、分段函数的图像） 授课提要： 前言：本讲首先是《高等数学》的学习介绍，其次是对中学学过的函数进行复习总结（函数本质上是指变量间相依关系的数学模型，是事物普遍联系的定量反映。高等数学主要以函数作为研究对象，因此必须对函数的概念、图像及性质有深刻的理解）。 一、新教程序言 1、为什么要重视数学学习 （1）文化基础——数学是一种文化，它的准确性、严格性、应用广泛性，是现代社会文明的重要思维特征，是促进社会物质文明和精神文明的重要力量； （2）开发大脑——数学是思维训练的体操，对于训练和开发我们的大脑（左脑）有全面的作用； （3）知识技术——数学知识是学习自然科学和社会科学的基础，是我们生活和工作的一种能力和技术； （4）智慧开发——数学学习的目的是培养人的思维能力，这种能力为人的一生提供持续发展的动力。 2、对数学的新认识 （1）新数学观——数学是一门特殊的科学，它为自然科学和社会科学提供思想和方法，是推动人类进步的重要力量； （2）新数学教育观——数学教育（学习）的目的：数学精神和数学思想方法，培养人的科学文化素质，包括发展人的思维能力和创新能力。 （3）新数学素质教育观——数学教育（学习）的意义：通过“数学素质”而培养人的“一般素质”。[见教材“序言”] 二、函数概念 1、函数定义：变量间的一种对应关系（单值对应）。 （用变化的观点定义函数），记：) y （说明表达式的含义） (x f 第八章向量代数与空间解析几何 第一节向量及其线性运算 教学目的：将学生的思维由平面引导到空间，使学生明确学习空间解析几何的意义和目的。使学生对（自由）向量有初步了解，为后继内容的学习打下基础。教学重点：1.空间直角坐标系的概念 2.空间两点间的距离公式 3.向量的概念 4.向量的运算 教学难点：1.空间思想的建立 2.向量平行与垂直的关系 教学内容： 一、向量的概念 1．向量：既有大小，又有方向的量。在数学上用有向线段来表示向量，其长度表示向量的大小，其方向表示向量的方向。在数学上只研究与起点无关的自由向量（以后简称向量）。 2．量的表示方法有: 、、、等等。 3．向量相等：如果两个向量大小相等，方向相同，则说（即经过平移后能完全重合的向量）。 4．量的模：向量的大小，记为、。 模为1的向量叫单位向量、模为零的向量叫零向量。零向量的方向是任意的。 5．量平行：两个非零向量如果它们的方向相同或相反。零向量与如何向量都平行。 6．负向量：大小相等但方向相反的向量，记为 二、向量的线性运算 1．加减法：加法运算规律：平行四边形法则（有 时也称三角形法则），其满足的运算规律有交换率和结合率见图7 －4 2．即 3．向量与数的乘法：设是一个数，向量与的乘积规定为 时，与同向， 时， 时，与反向， 其满足的运算规律有：结合率、分配率。设表示与非零向量同方向的单位向量，那么 定理1：设向量a≠0，那么，向量b平行于的充分必要条件是：存在唯一的实数λ，使b＝ 例1：在平行四边形ABCD中，设，，试用 和b表示向量、、和，这里M是平行 四边形对角线的交点。（见图7－5） 图7－4 解：，于是 由于，于是 又由于，于是 由于，于是 三、空间直角坐标系 1．将数轴（一维）、平面直角坐标系（二维）进一步推广建立空间直角坐标系（三维）如图7－1，其符合右手规则。即以右手握住轴，当右手的四个手指从正向轴以角度转向正向轴时，大拇指的指向就是轴的正向。 第五章定积分 教学目的： 1、理解定积分的概念。 2、掌握定积分的性质及定积分中值定理，掌握定积分的换元积分法与分部积分法。 3、理解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，掌握牛顿—莱布尼茨公式。 4、了解广义积分的概念并会计算广义积分。 教学重点： 1、定积分的性质及定积分中值定理 2、定积分的换元积分法与分部积分法。 3、牛顿—莱布尼茨公式。 教学难点： 1、定积分的概念 2、积分中值定理 3、定积分的换元积分法分部积分法。 4、变上限函数的导数。 §5. 1 定积分概念与性质 一、定积分问题举例 1.曲边梯形的面积 曲边梯形:设函数y=f(x)在区间[a,b]上非负、连续.由直线x=a、x=b、y=0及曲线y=f(x)所围成天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 1 天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 2 的图形称为曲边梯形, 其中曲线弧称为曲边. 求曲边梯形的面积的近似值: 将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形, 每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替, 每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积, 则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值. 具体方法是: 在区间[a , b ]中任意插入若干个分点 a =x 0< x 1< x 2< ? ? ?< x n -1< x n = b , 把[a , b ]分成n 个小区间 [x 0, x 1], [x 1, x 2], [x 2, x 3], ? ? ? , [x n -1, x n ], 它们的长度依次为?x 1= x 1-x 0 , ?x 2= x 2-x 1 , ? ? ? , ?x n = x n -x n -1 . 经过每一个分点作平行于y 轴的直线段, 把曲边梯形分成n 个窄曲边梯形. 在每个小区间 [x i -1, x i ]上任取一点ξ i , 以[x i -1, x i ]为底、f (ξ i )为高的窄矩形近似替代第i 个窄曲边梯形(i =1, 2, ? ? ? , n ) , 把这样得到的n 个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A 的近似值, 即 A ≈f (ξ 1)?x 1+ f (ξ 2)?x 2+? ? ?+ f (ξ n )?x n ∑=?=n i i i x f 1)(ξ. 求曲边梯形的面积的精确值: 显然, 分点越多、每个小曲边梯形越窄, 所求得的曲边梯形面积A 的近似值就越接近曲边梯形面积A 的精确值, 因此, 要求曲边梯形面积A 的精确值, 只需无限地增加分点, 使每个小曲边梯形的宽度趋于零. 记 λ=max{?x 1, ?x 2,? ? ?, ?x n }, 于是, 上述增加分点, 使每个小曲边梯形的宽度趋于零, 相当于令λ→0. 所以曲边梯形的面积为 ∑=→?=n i i i x f A 1 0)(lim ξλ. 2. 变速直线运动的路程 第四章不定积分 教学目的： 1、理解原函数概念、不定积分的概念。 2、掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质，掌握换元积分法（第一，第二） 与分部积分法。 3、会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。 教学重点： 1、不定积分的概念； 2、不定积分的性质及基本公式； 3、换元积分法与分部积分法。 教学难点： 1、换元积分法； 2、分部积分法； 3、三角函数有理式的积分。 §4 1 不定积分的概念与性质 一、教学目的与要求： 1．理解原函数与不定积分的概念及性质。 2．掌握不定积分的基本公式。 二、重点、难点：原函数与不定积分的概念 三、主要外语词汇：At first function ，Be accumulate function ， Indefinite integral ，Formulas integrals elementary forms. 四、辅助教学情况：多媒体课件第四版和第五版（修改） 五、参考教材（资料）：同济大学《高等数学》第五版 一、原函数与不定积分的概念 定义1 如果在区间I 上, 可导函数F (x )的导函数为f (x ), 即对任一x ∈I , 都有 F '(x )=f (x )或dF (x )=f (x )dx , 那么函数F (x )就称为f (x )(或f (x )dx )在区间I 上的原函数. 例如 因为(sin x )'=cos x , 所以sin x 是cos x 的原函数. 又如当x ∈(1, +∞)时, 因为x x 21)(=', 所以x 是x 21的原函数. 提问: cos x 和x 21还有其它原函数吗？ 原函数存在定理 如果函数f (x )在区间I 上连续, 那么在区间I 上存在可导函数F (x ), 使对任一x ∈I 都有 F '(x )=f (x ). 简单地说就是: 连续函数一定有原函数. 两点说明: 第一, 如果函数f (x )在区间I 上有原函数F (x ), 那么f (x )就有无限多个原函数, F (x )+C 都是f (x )的原函数, 其中C 是任意常数. 第二, f (x )的任意两个原函数之间只差一个常数, 即如果Φ(x )和F (x )都是f (x )的原函数, 则 Φ(x )-F (x )=C (C 为某个常数). 定义2 在区间I 上, 函数f (x )的带有任意常数项的原函数称为f (x )(或f (x )dx )在区间I 上的不定积分, 记作 ?dx x f )(. 其中记号?称为积分号, f (x )称为被积函数, f (x )dx 称为被积表达式, x 称为积分变量. 根据定义, 如果F (x )是f (x )在区间I 上的一个原函数, 那么F (x )+C 就是f (x )的不定积分, 即 ?+=C x F dx x f )()(. 因而不定积分dx x f )(?可以表示f (x )的任意一个原函数. 例1. 因为sin x 是cos x 的原函数, 所以 C x xdx +=?sin cos . 因为x 是x 21的原函数, 所以 C x dx x +=?21. 第一章 函数与极限 第一节 函数 一、集合 定义：以点a 为中心的任何开区间称为点a 的邻域，记作()U a . 设δ是任一正数，则开区间(),a a δδ-+就是点a 的一个邻域，这个邻域称为点a 的δ邻域，记作(),U a δ，即()(){}{},,||U a a a x a x a x x a δδδδδδ=-+=-<<+=-<，点a 称为这邻域的中心，δ称为这邻域的半径. 点a 的δ邻域去掉中心a 后，称为点a 的去心δ邻域，记作(),U a δ。 ，即 (),U a δ。 ()(){},,|a a a a x a x a a x a δδδδ=-?+=-<<<<+或{}|0x x a δ=<-< 把开区间(),a a δ-称为a 的左δ邻域，把(),a a δ+称为a 的右δ邻域. 二、函数 1．函数的定义 定义：对于任意x D R ∈?，按照对应法则f ，总存在确定的实数y 与之对应，则称y 是 x 的函数，记()y f x =．自变量x 取值的全体称为f 的定义域．对于用抽象的数学式表示的函数， 由于没有实际意义，通常约定这种函数的定义域是使得算式有意义的一切实数组成的集合，这种定义域称为函数的自然定义域． 例：设x 为任一实数，不超过x 的最大整数称为x 的整数部分，记作[]x ，例如507?? =???? ， 1=，[]11-=-，[]3.54-=-，把x 看作变量，则函数[]y x =称为取整函数．显然[]x x ≥， 定义域为R ，值域为Z ．注：若整数[]n x >，则n x >． 指数函数：x y a =（0a >且1a ≠） 幂函数：y x μ=（R μ∈是常数） 对数函数：log a y x =（0a >且1a ≠），特别地，当e a =时，记为ln y x = 三角函数：sin y x =，cos y x =，tan y x =，1cot tan y x x ==，1sec cos y x x ==， 1 csc sin y x x == 反三角函数：arcsin y x =，arccos y x =，arctan y x =，arccot y x = arcsin y x =：定义域[1,1]-，值域[,]22 ππ - arccos y x =：定义域[1,1]-，值域[0,]π 第六章定积分的应用 教学目的 1、理解元素法的基本思想； 2、掌握用定积分表达和计算一些几何量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体 积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积）。 3、掌握用定积分表达和计算一些物理量（变力做功、引力、压力和函数的平均值等）。教学重点： 1、计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知 的立体体积。 2、计算变力所做的功、引力、压力和函数的平均值等。 教学难点： 1、截面面积为已知的立体体积。 2、引力。 §6. 1 定积分的元素法 回忆曲边梯形的面积: 设y=f (x)≥0 (x∈[a,b]).如果说积分, ?=b a dx x f A) (是以[a,b]为底的曲边梯形的面积,则积分上限函数 ?=x a dt t f x A)( ) ( 就是以[a,x]为底的曲边梯形的面积.而微分dA(x)=f (x)dx表示点x处以dx为宽的小曲边梯形面积的近似值?A≈f (x)dx, f (x)dx称为曲边梯形的面积元素. 以[a,b]为底的曲边梯形的面积A就是以面积元素f(x)dx为被积表达式,以 [a,b]为积分区间的定积分: ?=b a dx x f A) (. 一般情况下,为求某一量U,先将此量分布在某一区间[a,b]上,分布在[a,x]上的量用函数U(x)表示,再求这一量的元素dU(x),设dU(x)=u(x)dx,然后以u(x)dx为被积表达式,以[a,b]为积分区间求定积分即得 ?=b a dx x f U) (. 用这一方法求一量的值的方法称为微元法(或元素法). §6. 2 定积分在几何上的应用 《高等数学》课程教学大纲 一、课程的性质、目的和任务 高等数学是工科本科各专业学生的一门必修的重要基础理论课，通过本课程的学习，要使学生获得：1.函数与极限；2.一元函数微积分学；3. 常微分方程； 4.向量代数和空间解析几何； 5.多元函数微积分学； 6.无穷级数(包括傅立叶级数)等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的数学基础。 在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力、空间想象能力、运算能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。 二、课程教学的基本要求及基本内容 说明：教学要求较高的内容用“理解”、“掌握”、“熟悉”等词表述，要求较低的内容用“了解”、“会”等词表述。 高等数学B(上) 一、函数、极限、连续 1. 理解函数的概念及函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 2. 理解复合函数和反函数的概念。 3. 熟悉基本初等函数的性质及其图形。 4. 会建立简单实际问题中的函数关系式。 5. 理解极限的概念(对极限的ε-N、ε-δ定义不作高要求)，掌握极限四则运算法则及换元法则。 6. 理解极限存在的夹逼准则，了解单调有界准则，掌握运用两个重要极限求极限的方法。 7. 了解无穷小、无穷大以及无穷小的阶的概念。会用等价无穷小求极限。 8. 理解函数在一点连续和在一个区间上连续的概念，了解间断点的概念，并会判别间断点的类型。 9. 了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(介值定理和最大、最 小值定理)。 二、一元函数微分学 1. 理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。 2. 掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性。 3. 了解高阶导数的概念。 4. 掌握初等函数一阶、二阶导数的求法。知道某些初等函数n阶导数的求法与公式。 5. 会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数。会求反函数的导数。 6. 理解罗尔(Rolle)定理和拉格朗日(Lagrange)定理，了解柯西(Cauchy)定理。 7. 掌握洛必达(L’Hospi tal)法则求不定式的极限。 8. 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法。会求解较简单的最大值和最小值的应用问题。 9. 会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点，会描绘函数的图形(包括水平和铅直渐进线)。 10. 了解有向弧与弧微分的概念。了解曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和曲率半径。 三、一元函数积分学 1. 理解原函数与不定积分的概念及性质。掌握不定积分的基本公式、换元法和分部积分法。 2. 理解定积分的概念及性质，了解可积条件。会求简单的有理函数的积分。 3. 理解变上限的积分作为其上限的函数及其求导定理，掌握牛顿(Newton)-莱布尼兹(Leibniz)公式。 4. 掌握定积分的换元法和分部积分法。 5. 了解反常积分的概念会求反常积分。 6. 掌握用定积分表达一些几何量与物理量(如面积、体积、弧长、功等)的方法。 第五讲 I 授课题目： §2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率 II 教学目的与要求： 1.熟练掌握隐函数求导； 2.熟练掌握参数方程求导。 III 教学重点与难点： 重点：隐函数和参数式所确定的函数的导数 难点：隐函数和参数式所确定的函数的导数 IV 讲授内容： 要讨论另外两个表现形式的函数的求导方法，即隐函数，由参数方程所确定的 函数的导数的求解方法。 一、隐函数的导数 1.隐函数的定义 定义 如果变量x 和y 满足一个方程0),(=y x F ，在一定条件下，当x 取某个区间内的任一值时，相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在，那么就说方程0),(=y x F 在该区间内确定了个隐函数。 1. 隐函数求导数的方法 例1 求方程03275=--+x x y y 确定的隐函数y 在0=x 处的导数 0=x dx dy 解 方程两边分别的x 求导，方程两边的导数相等 2521102112546 64 ++==--+y x dx dy x dx dy dx dy y 当0=x 时，得0=y 2 10==x dx dy 对数求导法求隐函数的导数 方法：先在方程两边取对数，将所得式两边分别求导。 例2 求)0(sin >=x x y x 的导数 解 函数为幂指函数，先在两边取对数，得 x x y ln sin ln ?= 两边x 求导，注意y 是x 的函数，得 )sin ln (cos )sin ln (cos 1sin ln cos 1sin x x x x x x x x x y y x x x x y y x +?=+?='?+?=' 幂指函数 )0(>=u u y v 如果)(x u u =、)(x v v =的都可导，用对数求导法求出幂指函数的导数 先在两边取对数，得 u v y ln ln ?= 两边x 求导，注意y 、u 、v 是x 的函数，得 )ln ()ln (1ln 1u u v u v u u u v u v y y u u v u v y y v '+?'='+?'=''??+?'=' 幂指函数 )ln ()ln (ln ln u u v u v u u u v u v e y e y v u v u v '+?'='?+?'='= 一般形式的幂指函数，对数求导法求出幂指函数的导数。 二、由参数方程所确定的函数的导数 1.参数方程 参数方程 ???==) ()(t y t x ψ? y 与x 间的函数关系 2.参数方程所确定的函数的导数的求法 如果函数)(t x ?=的具有单调连续反函数)(1x t -=?，且反函数能与函数)(t y ψ=构成复合函数，函数)(t x ?=、)(t y ψ=可导。根据复合函数的求导法则与反函数的求导法则得 第一章：函数与极限 1.1 初等函数图象及性质 1.1.1 幂函数 函数（m 是常数）叫做幂函数。幂函数的定义域，要看m 是什么数而定。例如，当m = 3时，y=x3的定义域是(-∞ ,+∞)；当m = 1/2时，y=x1/2的定义域是[0,+∞ )；当m = -1/2时，y=x-1/2的定义域是(0,+∞ )。但不论m 取什么值，幂函数在(0,+∞)总有定义。最常见的幂函数图象如下图所示：[如图] 1.1.2 指数函数与对数函数 1．指数函数 函数y=a x（a是常数且a>0,a≠1）叫做指数函数，它的定义域是区间(-∞ ,+∞)。 因为对于任何实数值x，总有a x >0，又a0=1，所以指数函数的图形，总在x轴的上方，且通过点(0,1)。 若a>1，指数函数a x是单调增加的。若0 第十二章 微分方程 教学目的： 1．了解微分方程及其解、阶、通解，初始条件和特等概念。 2．熟练掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。 3．会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。 4． 会用降阶法解下列微分方程：()()n y f x =， (,)y f x y '''+和(,)y f y y '''= 5． 理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。 6．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。 7.求自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。 8.会解欧拉方程，会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组。 9．会解微分方程组（或方程组）解决一些简单的应用问题。 教学重点： 1、可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法 2、可降阶的高阶微分方程()()n y f x =， (,)y f x y '''+和(,)y f y y '''= 3、二阶常系数齐次线性微分方程； 4、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微 分方程； 教学难点： 1、齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程； 2、线性微分方程解的性质及解的结构定理； 3、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。 4、欧拉方程 §12. 1 微分方程的基本概念 函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映, 利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究. 因此如何寻找出所需要的函数关系, 在实践中具有重要意义. 在许多问题中, 往往不能直接找出所需要的函数关系, 但是根据问题所提供的情况, 有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式. 这样的关系就是所谓微分方程. 微分方程建立以后, 对它进行研究, 找出未知函数来, 这就是解微分方程. 例1 一曲线通过点(1, 2), 且在该曲线上任一点M (x , y )处的切线的斜率为2x , 求这曲线的方程. 解 设所求曲线的方程为y =y (x ). 根据导数的几何意义, 可知未知函数y =y (x )应满足关系式(称为微分方程) x dx dy 2=. (1) 此外, 未知函数y =y (x )还应满足下列条件: x =1时, y =2, 简记为y |x =1=2. (2) 把(1)式两端积分, 得(称为微分方程的通解) ?=xdx y 2, 即y =x 2+C , (3) 其中C 是任意常数. 把条件“x =1时, y =2”代入(3)式, 得 2=12+C , 由此定出C =1. 把C =1代入(3)式, 得所求曲线方程(称为微分方程满足条件y |x =1=2的解): y =x 2+1. 例2 列车在平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶; 当制动时列车获得加速度-0.4m/s 2. 问开始制动后多少时间列车才能停住, 以及列车在这段时间里行驶了多少路程? 解 设列车在开始制动后t 秒时行驶了s 米. 根据题意, 反映制动阶段列车运动规律的函数s =s (t )应满足关系式 4.02 2-=dt s d . (4) §8.2 偏导数 一、偏导数的定义及其计算法 对于二元函数z =f (x , y ), 如果只有自变量x 变化, 而自变量y 固定, 这时它就是x 的一元函数, 这函数对x 的导数, 就称为二元函数z =f (x , y )对于x 的偏导数. 定义 设函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)的某一邻域内有定义, 当y 固定在y 0而x 在x 0处有增量?x 时, 相应地函数有增量 f (x 0+?x , y 0)-f (x 0, y 0). 如果极限 x y x f y x x f x ?-?+→?) ,(),(lim 00000 存在, 则称此极限为函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)处对x 的偏导数, 记作 00y y x x x z ==??, 0 0y y x x x f ==??, 0 0y y x x x z ==, 或),(00y x f x . 例如： x y x f y x x f y x f x x ?-?+=→?) ,(),(lim ),(00000 00. 类似地, 函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)处对y 的偏导数定义为 y y x f y y x f y ?-?+→?) ,(),(lim 00000 , 记作 0 0y y x x y z ==??, 0 0y y x x y f ==??, 0 0y y x x y z ==, 或f y (x 0, y 0). 偏导函数: 如果函数z =f (x , y )在区域D 内每一点(x , y )处对x 的偏导数都存在, 那么这个偏导数就是x 、y 的函数, 它就称为函数z =f (x , y )对自变量x 的偏导函数, 记作 x z ??, x f ??, x z , 或),(y x f x . 偏导函数的定义式: x y x f y x x f y x f x x ?-?+=→?),(),(lim ),(0 . 类似地, 可定义函数z =f (x , y )对y 的偏导函数, 记为 y z ??, y f ??, z y , 或),(y x f y . 偏导函数的定义式: y y x f y y x f y x f y y ?-?+=→?),(),(lim ),(0 . 求 x f ??时, 只要把y 暂时看作常量而对x 求导数; 求y f ??时, 只要把x 暂时看作常量而对y 求导数. 讨论: 下列求偏导数的方法是否正确？ 0 0),(),(00y y x x x x y x f y x f ===, 0 0),(),(00y y x x y y y x f y x f ===. ]),([),(000x x x y x f dx d y x f ==, 0 ]),([),(000y y y y x f dy d y x f ==. 偏导数的概念还可推广到二元以上的函数. 例如三元函数u =f (x , y , z )在点(x , y , z )处对x 的偏导数定义为 x z y x f z y x x f z y x f x x ?-?+=→?),,(),,(lim ),,(0 ,同济大学高等数学教学大纲
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同济第六版《高等数学》教案WORD版-第01章 函数与极限
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同济第六版《高等数学》教案WORD版-第11章 无穷级数
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同济大学《高等数学》授课教案2015年3月2日(修改稿)
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