概率论与数理统计及其应用第二版课后答案
第1章 随机变量及其概率
1，写出下列试验的样本空间：
（1） 连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果出现两次，记录
投掷的次数。
（2） 连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果接连出现两次，
记录投掷的次数。
（3） 连续投掷一枚硬币直至正面出现，观察正反面出现的情况。 （4） 抛一枚硬币，若出现H 则再抛一次；若出现T ，则再抛一颗骰
子，观察出现的各种结果。
解：（1）}7,6,5,4,3,2{=S ；（2）},4,3,2{ =S ；（3）},,,,{ TTTH TTH TH H S =；（4）}6,5,4,3,2,1,,{T T T T T T HT HH S =。
2，设B A ,是两个事件，已知,125.0)(,5.0)(,25.0)(===AB P B P A P ，求
)])([(),(),(),(___
___
AB B A P AB P B A P B A P ??。
解：625.0)()()()(=-+=?AB P B P A P B A P ，
375.0)()(])[()(=-=-=AB P B P B A S P B A P ，
875.0)(1)(___
--=AB P AB P ，
5
.0)(625.0)])([()()])([()])([(___
=-=?-?=-?=?AB P AB B A P B A P AB S B A P AB B A P
3，在100，101，…，999这900个3位数中，任取一个3位数，求不包含数字1个概率。
解：在100，101，…，999这900个3位数中不包含数字1的3位数的个数为648998=??，所以所求得概率为
72.0900
648
=
4，在仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数中，任取一个三位数。（1）求该数是奇数的概率；（2）求该数大于330的概率。
解：仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数的个数有100455=??个。（1）该数是奇数的可能个数为
48344=??个，所以出现奇数的概率为
48.0100
48
= （2）该数大于330的可能个数为48454542=?+?+?，所以该数大于330的概率为
48.0100
48
=
5，袋中有5只白球，4只红球，3只黑球，在其中任取4只，求下列事件的概率。
（1）4只中恰有2只白球，1只红球，1只黑球。 （2）4只中至少有2只红球。 （3）4只中没有白球。
解: （1）所求概率为338
4
12
1
31425=C C C C ；
（2） 所求概率为16567
4952014
124418342824==++C C C C C C ； （3）所求概率为165
7
495354124
7=
=C C 。
6，一公司向M 个销售点分发)(M n n <张提货单，设每张提货单分发给每一销售点是等可能的，每一销售点得到的提货单不限，求其中某一特定的销售点得到)(n k k ≤张提货单的概率。
解：根据题意，)(M n n <张提货单分发给M 个销售点的总的可能分法有n M 种，某一特定的销售点得到)(n k k ≤张提货单的可能分法有
k n k n M C --)1(种，所以某一特定的销售点得到)(n k k ≤张提货单的概率为
n
k
n k
n M M C --)1(。
7，将3只球（1~3号）随机地放入3只盒子（1~3号）中，一只盒子装一只球。若一只球装入与球同号的盒子，称为一个配对。 （1）求3只球至少有1只配对的概率。 （2）求没有配对的概率。
解：根据题意，将3只球随机地放入3只盒子的总的放法有3！=6种：123，132，213，231，312，321；没有1只配对的放法有2种：312，231。至少有1只配对的放法当然就有6-2=4种。所以 （2）没有配对的概率为3
162=；
（1）至少有1只配对的概率为3
2311=-。
8，（1）设,1.0)(,3.0)(,5.0)(===AB P B P A P ，求)|(),|(),|(B A A P A B P B A P ?,
)|(),|(AB A P B A AB P ?.
（2）袋中有6只白球，5只红球，每次在袋中任取1只球，若取到白球，放回，并放入1只白球；若取到红球不放回也不放入另外的球。连续取球4次，求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率。 解：（1）由题意可得7.0)()()()(=-+=?AB P B P A P B A P ，所以
313.01.0)()()|(===
B P AB P B A P ， 5
1
5.01.0)()()|(===A P AB P A B P ， 75
)()()()]([)|(=?=??=
?B A P A P B A P B A A P B A A P ，
7
1
)()()()]([)|(=?=??=
?B A P AB P B A P B A AB P B A AB P ，
1)
()
()()]([)|(===
AB P AB P AB P AB A P AB A P 。
（2）设)4,3,2,1(=i A i 表示“第i 次取到白球”这一事件，而取到红球可以用它的补来表示。那么第一、二次取到白球且第三、四次取到红球可以表示为4321A A A A ，它的概率为（根据乘法公式）
)|()|()|()()(32142131214321A A A A P A A A P A A P A P A A A A P =
0408.020592
840124135127116==???=。
9，一只盒子装有2只白球，2只红球，在盒中取球两次，每次任取一只，做不放回抽样，已知得到的两只球中至少有一只是红球，求另一只也是红球的概率。
解：设“得到的两只球中至少有一只是红球”记为事件A ，“另一只
也是红球”记为事件B 。则事件A 的概率为
6
5
314232422)(=?+??=A P （先红后白，先白后红，先红后红）
所求概率为
51
6
53142)()()|(=?
==A P AB P A B P
10，一医生根据以往的资料得到下面的讯息，他的病人中有5%的人以为自己患癌症，且确实患癌症；有45%的人以为自己患癌症，但实际上未患癌症；有10%的人以为自己未患癌症，但确实患了癌症；最后40%的人以为自己未患癌症，且确实未患癌症。以A 表示事件“一病人以为自己患癌症”，以B 表示事件“病人确实患了癌症”，求下列概率。
（1）)(),(B P A P ；（2）)|(A B P ；（3）)|(A B P ；（4）)|(B A P ；（5）)|(B A P 。 解：（1）根据题意可得
%50%45%5)()()(=+=+=B A P AB P A P ； %15%10%5)()()(=+=+=A B P BA P B P ；
（2）根据条件概率公式：1.0%
50%
5)()()|(===A P AB P A B P ； （3）2.0%
501%
10)()()|(=-==A P A B P A B P ；
（4）17
9
%151%45)()()|(=-==B P B A P B A P ； （5）3
1
%15%5)()()|(===
B P AB P B A P 。
11，在11张卡片上分别写上engineering 这11个字母，从中任意连抽6张，求依次排列结果为ginger 的概率。
解：根据题意，这11个字母中共有2个g ，2个i ，3个n ，3个e ，1个r 。从中任意连抽6张，由独立性，第一次必须从这11张中抽出2个g 中的任意一张来，概率为2/11；第二次必须从剩余的10张中抽出2个i 中的任意一张来，概率为2/10；类似地，可以得到6次抽取的概率。最后要求的概率为
924013326403661738193102112==?????；或者92401
6
11
1
11311131212=A C C C C C C 。
12，据统计，对于某一种疾病的两种症状：症状A 、症状B ，有20%的人只有症状A ，有30%的人只有症状B ，有10%的人两种症状都有，其他的人两种症状都没有。在患这种病的人群中随机地选一人，求 （1）该人两种症状都没有的概率； （2）该人至少有一种症状的概率；
（3）已知该人有症状B ，求该人有两种症状的概率。
解：（1）根据题意，有40%的人两种症状都没有，所以该人两种症状都没有的概率为%40%10%30%201=---； （2）至少有一种症状的概率为%60%401=-；
（3）已知该人有症状B ，表明该人属于由只有症状B 的30%人群或者两种症状都有的10%的人群，总的概率为30%+10%=40%，所以在已知该人有症状B 的条件下该人有两种症状的概率为4
1
%10%30%10=+。
13，一在线计算机系统，有4条输入通讯线，其性质如下表，求一随机选择的进入讯号无误差地被接受的概率。
通讯线 通讯量的份额
无误差的讯息的份额
1 0.4 0.9998
2 0.
3 0.9999 3 0.1 0.9997 4
0.2
0.9996
解：设“讯号通过通讯线i 进入计算机系统”记为事件)4,3,2,1(=i A i ，“进入讯号被无误差地接受”记为事件B 。则根据全概率公式有
9996.02.09997.01.09999.03.09998.04.0)|()()(4
1?+?+?+?==∑=i i i A B P A P B P
=0.99978
14，一种用来检验50岁以上的人是否患有关节炎的检验法，对于确实患关节炎的病人有85%的给出了正确的结果；而对于已知未患关节炎的人有4%会认为他患关节炎。已知人群中有10%的人患有关节炎，问一名被检验者经检验，认为他没有关节炎，而他却有关节炎的概率。 解：设“一名被检验者经检验认为患有关节炎”记为事件A ，“一名被检验者确实患有关节炎”记为事件B 。根据全概率公式有 %1.12%4%90%85%10)|()()|()()(=?+?=+=B A P B P B A P B P A P ， 所以，根据条件概率得到所要求的概率为 %06.17%
1.121%)
851%(10)(1)|()()()()|(=--=-==
A P
B A P B P A P A B P A B P 即一名被检验者经检验认为没有关节炎而实际却有关节炎的概率为17.06%.
15，计算机中心有三台打字机A,B,C ，程序交与各打字机打字的概率依次为0.6, 0.3, 0.1，打字机发生故障的概率依次为0.01, 0.05, 0.04。已知一程序因打字机发生故障而被破坏了，求该程序是在A,B,C 上打字的概率分别为多少？
解：设“程序因打字机发生故障而被破坏”记为事件M ，“程序在A,B,C 三台打字机上打字”分别记为事件321,,N N N 。则根据全概率公式有 025.004.01.005.03.001.06.0)|()()(3
1=?+?+?==∑=i i i N M P N P M P ，
根据Bayes 公式，该程序是在A,B,C 上打字的概率分别为
24.0025.001
.06.0)()|()()|(111=?==
M P N M P N P M N P ，
60.0025.005
.03.0)()|()()|(222=?==
M P N M P N P M N P ，
16.0025
.004
.01.0)()|()()|(333=?==
M P N M P N P M N P 。
16，在通讯网络中装有密码钥匙，设全部收到的讯息中有95%是可信的。又设全部不可信的讯息中只有0.1%是使用密码钥匙传送的，而全部可信讯息是使用密码钥匙传送的。求由密码钥匙传送的一讯息是可信讯息的概率。
解：设“一讯息是由密码钥匙传送的”记为事件A ，“一讯息是可信的”记为事件B 。根据Bayes 公式，所要求的概率为
%9947.99%
1.0%51%951%95)|()()|()()|()()()()|(=?+??=+==
B A P B P B A P B P B A P B P A P AB P A B P
17，将一枚硬币抛两次，以A,B,C 分别记事件“第一次得H ”，“第二次得H ”，“两次得同一面”。试验证A 和B ，B 和C ，C 和A 分别相互独立（两两独立），但A,B,C 不是相互独立。 解：根据题意，求出以下概率为
21)()(=
=B P A P ， 21
21212121)(=?+?=C P ； 412121)(=?=AB P ， 412121)()(=?==CA P BC P ，41
2121)(=?=ABC P 。
所以有
)()()(B P A P AB P =，)()()(C P A P AC P =，)()()(C P B P BC P =。
即表明A 和B ，B 和C ，C 和A 两两独立。但是
)()()()(C P B P A P ABC P ≠
所以A,B,C 不是相互独立。
18，设A,B,C 三个运动员自离球门25码处踢进球的概率依次为0.5, 0.7, 0.6，设A,B,C 各在离球门25码处踢一球，设各人进球与否相互独立，求（1）恰有一人进球的概率；（2）恰有二人进球的概率；（3）至少有一人进球的概率。
解：设“A,B,C 进球”分别记为事件)3,2,1(=i N i 。 （1）设恰有一人进球的概率为1p ，则
}{}{}{3213213211N N N P N N N P N N N P p ++=
)()()()()()()()()(321321321N P N P N P N P N P N P N P N P N P ++= （由独立性） 6.03.05.04.07.05.04.03.05.0??+??+??=
29.0=
（2）设恰有二人进球的概率为2p ，则
}{}{}{3213213212N N N P N N N P N N N P p ++=
)()()()()()()()()(321321321N P N P N P N P N P N P N P N P N P ++= （由独立性） 6.03.05.06.07.05.04.07.05.0??+??+??= 44.0=
（3）设至少有一人进球的概率为3p ，则
}{13213N N N P p -=)()()(1321N P N P N P -=4.03.05.01??-=94.0=。
19，有一危重病人，仅当在10分钟之内能有一供血者供给足量的A-RH +血才能得救。设化验一位供血者的血型需要2分钟，将所需的血全部输入病人体内需要2分钟，医院只有一套验血型的设备，且供血者仅有40%的人具有该型血，各人具有什么血型相互独立。求病人能得救的概率。
解：根据题意，医院最多可以验血型4次，也就是说最迟可以第4个人才验出是A-RH +型血。问题转化为最迟第4个人才验出是A-RH +型血的概率是多少？因为
第一次就检验出该型血的概率为0.4；
第二次才检验出该型血的概率为0.6?0.4=0.24； 第三次才检验出该型血的概率为0.62?0.4=0.144； 第四次才检验出该型血的概率为0.63?0.4=0.0864； 所以病人得救的概率为0.4+0.24+0.144+0.0864=0.8704
20，一元件（或系统）能正常工作的概率称为元件（或系统）的可靠性。如图设有5个独立工作的元件1，2，3，4，5按先串联再并联的方式连接，设元件的可靠性均为p ，试求系统的可靠性。 解：设“元件i 能够正常工作”记为事件)5,4,3,2,1(=i A i 那么系统的可靠性为
)()()()}()(){(5432154321A A P A P A A P A A A A A P ++=??
)()()()(543215435421321A A A A A P A A A P A A A A P A A A P +---
)()()()()()()()()()()()(542132154321A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P --++=
)()()()()()()()(54321543A P A P A P A P A P A P A P A P +-
534322p p p p p p p +---++= 543222p p p p p +--+=
21，用一种检验法检测产品中是否含有某种杂质的效果如下。若真含有杂质检验结果为含有的概率为0.8；若真不含有杂质检验结果为不含有的概率为0.9，据以往的资料知一产品真含有杂质或真不含有杂质的概率分别为0.4，0.6。今独立地对一产品进行了3次检验，结果是2次检验认为含有杂质，而一次检验认为不含有杂质，求此产品真含有杂质的概率。（注：本题较难，灵活应用全概率公式和Bayes 公式）
解：设“一产品真含有杂质”记为事件A ，“对一产品进行3次检验，结果是2次检验认为含有杂质，而1次检验认为不含有杂质”记为事件B 。则要求的概率为)|(B A P ，根据Bayes 公式可得
)
|()()|()()
|()()|(A B P A P A B P A P A B P A P B A P +=
又设“产品被检出含有杂质”记为事件C ，根据题意有4.0)(=A P ，而且8.0)|(=A C P ，9.0)|(=A C P ，所以
384.0)8.01(8.0)|(223=-??=C A B P ；027.09.0)9.01()|(223=?-?=C A B P
故，
9046
.01698
.01536
.0027.06.0384.04.0384.04.0)|()()|()()|()()|(==?+??=+=
A B P A P A B P A P A B P A P B A P
（第1章习题解答完毕）
第2章
随机变量及其分布
1，设在某一人群中有40%的人血型是A 型，现在在人群中随机地选人来验血，直至发现血型是A 型的人为止，以Y 记进行验血的次数，求Y 的分布律。
解：显然，Y 是一个离散型的随机变量，Y 取k 表明第k 个人是A 型血而前1-k 个人都不是A 型血，因
此有
116.04.0)4.01(4.0}{--?=-?==k k k Y P ， （ ,3,2,1=k ）
上式就是随机变量Y 的分布律（这是一个几何分布）。
2，水自A 处流至B 处有3个阀门1，2，3，阀门联接方式如图所示。当信号发出时各阀门以0.8的概率打开，以X 表示当信号发出时水自A 流至B 的通路条数，求X 的分布律。设各阀门的工作相互独立。 解：X 只能取值0，1，2。设以
)
3,2,1(=i A i
记第
i
个阀门没有打开这一事件。则
)}(){()}({}0{3121321A A A A P A A A P X P ?=?==
)()()()()()()(}{}{}{32131213213121A P A P A P A P A P A P A P A A A P A A P A A P -+=-+= 072.0)8.01()8.01()8.01(322=---+-=，
类似有512.08.0)()}({}2{3321321=====A A A P A A A P X
P ，
416.0}2{}0{1}1{==-=-==X P X P X P ,综上所述，可得分布律为
3,据信有20%的美国人没有任何健康保险，现任意抽查15个美国人，以X 表示15
个人中无任何健康保险的人数（设各人是
否有健康保险相互独立）。问X 服从什么分布？写出分布律。并求下列情况下无任何健康保险的概率：（1）恰有3人；（2）至少有2人；（3）不少于1人且不多于3人；（4）多于5人。 解：根据题意，随机变量X 服从二项分布B(15, 0.2)，分布律为
15,2,1,0,8.02.0)(1515 =??==-k C k X P k k k
。
（1）,
2501.08.02.0)3(123315=??==C X P
（2）8329.0)0()1(1)2(==-=-=≥X P X P X
P ；
（3）6129.0)3()2()1()31(==+=+==≤≤X P X P X P X P ；
（4）)2()3()4()5(1)5(=-=-=-=-=>X P X P X P X P X
P
0611.0)0()1(==-=-X P X P
4，设有一由n 个元件组成的系统，记为][/G n k ，这一系统的运行方式是当且仅当n 个元件中至少有
k )0(n k ≤<个元件正常工作时，系统正常工作。现有一][5/3G 系统，它由相互独立的元件组成，设
每个元件的可靠性均为0.9，求这一系统的可靠性。
解：对于][5/3G 系统，当至少有3个元件正常工作时，系统正常工作。而系统中正常工作的元件个数X
服从二项分布B(5, 0.9)，所以系统正常工作的概率为
99144
.01.09.0)(5
3
55
53
=??==∑∑=-=k k k k
k C
k X P
5，某生产线生产玻璃制品，生产过程中玻璃制品常出现气泡，以至产品成为次品，设次品率为0.001，现取8000件产品，用泊松近似，求其中次品数小于7的概率。（设各产品是否为次品相互独立） 解：根据题意，次品数X 服从二项分布B(8000, 0.001)，所以
∑=-?=≤=<6
080008000999.0001.0)6()7(k k
k k C X P X P
3134
.0!8!)001.08000(6
8
6
0001.08000==?≈∑∑=-=?-k k k k k e k e （查表得）。
6，（1）设一天内到达某港口城市的油船的只数X~)10(π，求}15{>X P
（2）已知随机变量X~)(λπ，且有5.0}0{=>X P ，求}2{≥X P 。
解：（1）0487.09513.01}15{1}15{=-=≤-=>X P X
P ；
（2）根据5.01}0{1}0{=-==-=>-λe X P X
P ，得到2ln =λ。所以
1534
.02/)2ln 1(5.01}1{}0{1}2{≈-=--==-=-=≥-λλe X P X P X P 。
7，一电话公司有5名讯息员，各人在t 分钟内收到讯息的次数
)2(~t X π（设各人收到讯息与否相互独
立）。（1）求在一给定的一分钟内第一个讯息员未收到讯息的概率。（2）求在给定的一分钟内5个讯息员恰有4人未收到讯息的概率。（3）写出在一给定的一分钟内，所有5个讯息员收到相同次数的讯息的概率。 解：在给定的一分钟内，任意一个讯息员收到讯息的次数)2(~πX 。
（1）1353
.0}0{2≈==-e X
P ；
（2）设在给定的一分钟内5个讯息员中没有收到讯息的讯息员人数用Y 表示，则Y~ B(5, 0.1353)，所以
00145
.0)1353.01(1353.0}4{445=-?==C Y P 。
（3）每个人收到的讯息次数相同的概率为
()∑∑∞=-∞=-???
?
??=???? ?
?051005
2
!32!2k k k k k e k e
8，一教授当下课铃打响时，他还不结束讲解。他常结束他的讲解在铃响后的一分钟以内，以X 表示铃响至结束讲解的时间。设X 的概率密度为
??
?≤≤=他
其100
)(2
x kx x f ， （1）确定k ；（2）求}3
1
{≤X
P ；（3）求}2141{
≤≤X P ；
（4）求}3
2
{>X P 。 解：（1）根据3
)(11
2k
dx kx dx x f =
==
??+∞
∞
-，得到3=k ； （2）271313}31{3
3
/10
2
=??? ??==≤?dx x X P ；
（3）64741213}2141{3
3
2
/14/12
=??? ??-??? ??==≤≤?dx x X P ；
（4）27193213}32{3
1
3
/22
=??? ??-==>?dx x X P 。
9，设随机变量X 的概率密度为??
?≤≤=他
其1000
003.0)(2
x x x f ，求t 的方程0
4522
=-++X Xt t
有实根的概率。
解：方程04522
=-++X Xt t 有实根表明0)45(442≥--=?X X ，即0452≥+-X X ，
从而要求
4≥X 或者1≤X 。因为
001.0003.0}1{1
2
==≤?dx x X P ， 936.0003.0}4{10
4
2==≥?dx x X P
所以方程有实根的概率为0.001+0.936=0.937.
10，设产品的寿命X （以周计）服从瑞利分布，其概率密度为
??
???≥=-他
其00100
)(200/2x e x x f x
（1） 求寿命不到一周的概率； （2） 求寿命超过一年的概率；
（3） 已知它的寿命超过20周，求寿命超过26周的条件概率。
解：（1）00498.01100}1{200/11
200
/2≈-==<--?
e dx e x X
P x ； （2）000001.0100}52{200/270452
200
/2≈==>-+∞
-?e dx e x X P x ；
（3）25158.0100100}
20{}
26{}2026{200/27620
200/26
200
/22≈==
>>=
>>-∞
+-+∞
-??e dx e x dx e x X P X P X X P x x 。
11，设实验室的温度X （以
C
计）为随机变量，其概率密度为
??
???≤≤--=他其210)4(91
)(2x x x f
（1） 某种化学反应在温度X >1时才能发生，求在实验室中这种化学反应发生的概率。
（2） 在10个不同的实验室中，各实验室中这种化学反应是否会发生时相互独立的，以Y 表示10个实
验室中有这种化学反应的实验室的个数，求Y 的分布律。
（3） 求}2{=Y
P ，}2{≥X P 。
解：（1）?=
-=>2
12275
)4(91}1{dx x X
P ； （2）根据题意)27
5
,
10(~B Y
，所以其分布律为
10,2,1,0,2722275)(1010 =?
?
? ?????? ???==-k C k Y P k
k k
（3）
2998.02722275)2(8
2
2
10=??? ?????? ???==C Y P ，
5778.0)1()0(1)2(==-=-=≥Y P Y P Y P 。
12，（1）设随机变量Y 的概率密度为
??
?
??≤<≤<-+=他
其100102.02
.0)(y y Cy
y f
试确定常数C ，求分布函数)(y F ，并求}5.00{≤≤Y P ，}1.0|5.0{>>Y Y P 。
（2）设随机变量X 的概率密度为
??
?
??≤≤<<=他其422008/8/1)(x x x x f
求分布函数)(x F ，并求}31{
≤≤x P ，}3|1{≤≥X X P 。
解：（1）根据2
4.0)2.0(2.0)(11
1
C
dy Cy dy dy y f +
=++==
???-+∞
∞
-，得到2.1=C 。 110011)2.12.0(2.0)2.12.0(2.02.00)()(01
1
00
101≥<≤<≤--
??++++==??????---∞-y y y y dy y dy dy y dy dy dy y f y F y y
y
11001112.02.06.0)1(2.002
≥<≤<≤--
????+++=y y y y y y y 25.02.045.0)0()5.0(}0{}5.0{}5.00{=-=-=≤-≤=≤≤F F Y P Y P Y P ；
7106
.0
226
.0
1
45
.0
1
)1.0(
1
)5.0(
1
}1.0
{
1
}5.0
{
1
}1.0
{
}5.0
{
}1.0
|5.0
{=
-
-
=
-
-
=
≤
-
≤
-
=
>
>
=
>
>
F
F
Y
P
Y
P
Y
P
Y
P
Y
Y
P
（2）
4
4
2
2
8
8
1
8
8
1
8
1
)
(
)
(
2
4
2
2
02
≥
<
≤
<
≤
<
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
+
+
=
=
??
??
?
?
∞
-
x
x
x
x
dx
x
dx
dx
x
dx
dx
dx
x
f
x
F x
x
x
4
4
2
2
1
16
/
8/
2
≥
<
≤
<
≤
<
?
?
?
?
?
?
?
=
x
x
x
x
x
x
16
/7
8/1
16
/9
)1(
)3(
}3
1{=
-
=
-
=
≤
≤F
F
x
P；
9/7
)3(
)1(
)3(
}3
{
}3
1
{
}3
|1
{=
-
=
≤
≤
≤
=
≤
≥
F
F
F
X
P
X
P
X
X
P。
13，在集合A={1,2,3,….,n}中取数两次，每次任取一数，作不放回抽样，以X表示第一次取到的数，以Y 表示第二次取到的数，求X和Y的联合分布律。并用表格形式写出当n=3时X和Y的联合分布律。
解：根据题意，取两次且不放回抽样的总可能数为n(n-1)，因此
)1
(
1
}
,
{
-
=
=
=
n
n
j
Y
i
X
P，（j
i≠，且n
j
i≤
≤,
1）
当n取3时，
1
}
,
{=
=
=j
Y
i
X
P,（j
i≠，且3
,
1≤
≤j
i）,表格形式为
14,设一加油站有两套用来加油的设备，设备A是加油站的工作人员操作的，设备B是有顾客自己操作的。A，B均有两个加油管。随机取一时刻，A，B正在使用的软管根数分别记为X，Y，它们的联合分布律为
（1）求}1
,1
{=
=Y
X
P，}1
,1
{≤
≤Y
X
P；
（2）求至少有一根软管在使用的概率；
（3）求}
{Y
X
P=，}2
{=
+Y
X
P。
解：（1）由表直接可得}1
,1
{=
=Y
X
P=0.2，
}1,1{≤≤Y X P =0.1+0.08+0.04+0.2=0.42
（2）至少有一根软管在使用的概率为
9.01.01}0,0{1}1{=-===-=≥+Y X P Y X P
（3）}2{}1{}0{}{==+==+====Y X P Y X P Y X P Y X
P =0.1+0.2+0.3=0.6
28.0}0,2{}1,1{}2,0{}2{===+==+====+Y X P Y X P Y X P Y X P
15,设随机变量（X ，Y ）的联合概率密度为
?
?
?>>=+-他其，，0
,00),()42(y x Ce y x f y x 试确定常数C ，并求}2{>X P ，}{Y X P >，}1{<+Y X P 。
解：根据
1),(0
,0=??>>y x dxdy y x f ，可得
8
),(10
40
20
)
42(0
,0C
dy e dx e
C dy Ce
dx dxdy y x f y x
y x y x =
===
??????+∞
-+∞
-+∞
+-+∞
>>，
所以8=C
。
404220)
42(2
2
428),(}2{-+∞
-+∞
-+∞
+-+∞
>====
>??????e dy e dx e
dy e
dx dxdy y x f X P y x
y x x ；
3
2)1(2428),(}{0
420
40
20
)42(0
=
-====
>???????+∞
---+∞
-+-+∞
>dx e e dy e dx e dy e dx dxdy y x f Y X P x x x
y x x
y x y
x 2210
41
210
)
42(1
1
)1(428),(}1{-----+-<+-====
<+??????e dy e dx e
dy e
dx dxdy y x f Y X P x
y x
x
y x y x 。
16，设随机变量（X ，Y ）在由曲线1,2/,22===x x y x y 所围成的区域G 均匀分布。
（1） 求（X ，Y ）的概率密度； （2） 求边缘概率密度
)(),(y f x f Y X 。
解：（1）根据题意，（X ，Y ）的概率密度
),(y x f 必定是一常数，故由
),(61
),(),(12
22
/1
y x f dy y x f dx
dxdy y x f x x G
=
==?
???，得到?
??∈=他其，0),(,6),(G y x y x f 。
（2）
??
???<<===??∞
+∞-他其，,01
036),()(22
/2
2x x dy dy y x f x f x
x X ；
?????<<-<<-=?????
?
?????<≤<<==???∞+∞-他其，，，他
其，，，015.0)1(65.00)2(6015.065.006),()(1
2y y y y y y dx y dx dx y x f y f y y
y
Y
18，设Y X ,是两个随机变量，它们的联合概率密度为
??
???>>=+-他其，，0,002),()1(3y x e x y x f y x ，
（1） 求),(Y X 关于X 的边缘概率密度)(x f X ；
（2） 求条件概率密度)|(|x y f X Y ，写出当5.0=x 时的条件概率密度；
（3） 求条件概率}5.0|1{=≥X Y
P 。
解：（1）
??
?
??>===??+∞-+-∞
+∞-其他,00,22),()(0
2)1(3x e x dy e x dy y x f x f x y x X 。 （2）当0>x 时，
???>==-其他
,00,)(),()|(|y xe x f y x f x y f xy X X Y 。
特别地，当5.0=x 时
???>==-其他,
00
,5.0)5.0|(5.0|y e x y f y X Y 。
（3）5.01
5.01
|5.0)5.0|(}5.0|1{-+∞
-+∞
====
=≥??
e dy e dy x y
f X Y P y X Y 。
19，（1）在第14题中求在0=X 的条件下Y 的条件分布律；在1=Y 的条件下X 的条件分布律。
（2）在16题中求条件概率密度
)|(|x y f X Y ，)|(|y x f Y X ，)5.0|(|x f Y X 。
解：（1）根据公式}
0{}
0,{}0|{====
==X P X i Y P X i Y P ，得到在0=X 的条件下Y 的条件分布律
为
类似地，在1=Y
的条件下
的条件分布律为
（2）因为
??
?∈=他
其，0),(,6),(G y x y x f 。 ?????<<==?他其，,01
036)(2
2/2
2x x dy x f x
x X ；??
???<<-<<-=他其，，，015.0)1(65.00)2(6)(y y y y y y f Y 。
所以，当10< ?? ???<<==其他,02/,2 )(),()|(2 22|x y x x x f y x f x y f X X Y ； 当5.00< ? ?? ?? <<-==其他 ,02,21)(),()|(|y x y y y y f y x f y x f Y Y X ； 当15.0<≤y 时， ? ?? ??<<-==其他 , 01,11)(),()|(|x y y y f y x f y x f Y Y X ； 当 5.0=y 时， ??? ??<<-=其他 , 015.0,5 .011 )|(|x y x f Y X 。 20，设随机变量（X ，Y ）在由曲线 x y x y = =,2所围成的区域G 均匀分布。 （1） 写出（X ，Y ）的概率密度； （2） 求边缘概率密度)(),(y f x f Y X ； （3） 求条件概率密度 )|(|x y f X Y ，并写出当5.0=x 时的条件概率密度。 第一章 随机事件和概率 第一节 基本概念 1、排列组合初步 （1）排列组合公式 )! (! n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。 )! (!! n m n m C n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。 例1．1：方程 x x x C C C 765107 11=-的解是 A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1 例1．2：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？ (2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 (3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m ×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m ×n 种方法来完成。 例1．3：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？ 例1．4：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？ 例1．5：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜 色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法 A．120种B．140种 C．160种D．180种 (4)一些常见排列 ①特殊排列 ②相邻 ③彼此隔开 ④顺序一定和不可分辨 例1．6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？ ①3个舞蹈节目排在一起； ②3个舞蹈节目彼此隔开； ③3个舞蹈节目先后顺序一定。 例1．7：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？ 例1．8：5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？ ①重复排列和非重复排列（有序） 例1．9：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？ ②对立事件 例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？ 例1．11：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？ 例1．12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？ 工程硕士《应用概率统计》复习题 考试要求：开一页；题目类型：简答题和大题；考试时间：100分钟。 1. 已知 0.5,)( 0.4,)( 0.3,)(===B A P B P A P 求)(B A P ?。 解：因为 0.7,0.3-1)(-1(A)===A P P 又因为, ,-- A B A B A A B A AB ?== 所以 0.2,0.5-7.0)( -(A))(A ===B A P P B P 故 0.9.0.2-0.40.7P(AB)-P(B)(A))(A =+=+=?P B P 2.设随机变量)1(,9 5 )1(),,4(~),,2(~≥=≥Y P X P p b Y p b X 求并且。 解： . 8165 31-1-10)(Y -11)(Y ),3 1,4(~,31,94-1-1-10)(X -1)1(,9 5)1(),,2(~422 ====≥=====≥=≥）（故从而解得）所以（） （而且P P b Y p p p P X P X P p b X 3．随机变量X 与Y 相互独立，下表中给出了X 与Y 的联合分布的部分数值，请将表中其 4．设随机变量Y 服从参数2 1=λ的指数分布，求关于x 的方程0322 =-++Y Yx x 没有实根的概率。 解：因为当时没有实根时，即0128Y -Y 03)-4(2Y -Y 2 2 <+<=?，故所求的概率为}6Y P{20}128Y -P{Y 2 <<=<+，而Y 的概率密度 ?? ???≤>=0,00 ,21f(y)21-y y e y ，从而36221 -621-1dy 21f(y)dy 6}Y {2e e e P y ===< 下列影视剧中，不属于大众文化潮流的作品是（）。 ?A、 《雍正王朝》 ? ?B、 《渴望》 ? ?C、 《编辑部的故事》 ? ?D、 《刘罗锅》 ? 八、九十年代，中国电影的划分情况是（）。 ?A、 中国电影被划分为精英电影和主旋律电影 ? ?B、 中国电影被划分为商业电影和非商业电影 ? ?C、 中国电影被划分为艺术电影、主旋律电影和商业电影? ?D、 中国电影被划分为主旋律电影和非主旋律电影 ? 下列电影中，不含有后现代主义风格的是（）。 ?A、 《厨师大盗和她的情人》 ? ?B、 《燕尾蝶》 ? ?C、 《大话西游》 ? ?D、 《黄土地》 ? 在电影史上，其功劳归结为自觉使用蒙太奇的是（）。 ?A、 卢米埃尔 ? ?B、 梅里爱 ? ?C、 布莱顿学派 ? ?D、 鲍特、格里菲斯 理论界认为，电影和喜剧两个体系的分水岭是（）。 ?A、 是否承认第四堵墙和是否利用假定性 ? ?B、 怎样改变第四堵墙和是否呈现真实性 ? ?C、 是否承认第四堵墙和是否呈现真实性 ? ?D、 怎样改变第四堵墙和是否利用假定性 ? 下列电影中，不是改编自小说的是（）。 ?A、 《一个都不能少》 ? ?B、 《芙蓉镇》 ? ?C、 《红高粱》 ? ?D、 《国王的演讲》 ? 在卡努杜关于电影是“第七艺术”一说中，所谓的三种时间艺术是（）。 ?A、 音乐、诗歌、绘画 ? ?B、 音乐、文学、戏剧 ? ?C、 音乐、诗歌、舞蹈 ? ?D、 文学、戏剧、音乐 ? 下列关于电影《一个国家的诞生》说法不正确的是（）。 ?A、 它是一部史诗性电影。 ? ?B、 它描述的是美国南北战争。 ? ?C、 电影的主旨在于歌颂美国黑奴制度的废除。 ? ?D、 电影运用影像化的语言塑造了很多鲜活人物。 ? 第一部可考的有声电影是（）。 ?A、 《浮华世界》 ? ?B、 《绝世歌王》 ? ?C、 《红色沙漠》 ? 习 题 一 解 答 １. 设Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个随机事件，试将下列事件用Ａ、Ｂ、Ｃ及其运算符号表示出来： (1) Ａ发生，Ｂ、Ｃ不发生； (2) Ａ、Ｂ不都发生，Ｃ发生； (3) Ａ、Ｂ中至少有一个事件发生，但Ｃ不发生； (4) 三个事件中至少有两个事件发生； (5) 三个事件中最多有两个事件发生； (6) 三个事件中只有一个事件发生． 解：（1）C B A (2)C AB (3)()C B A ? (4)BC A C AB ABC ?? (5)ABC (6)C B A C B A C B A ?? ――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― ２. 袋中有15只白球 5 只黑球，从中有放回地抽取四次，每次一只．设Ａi 表示“第i 次取到白球”（i ＝1，2，3，4 ），Ｂ表示“至少有 3 次取到白球”． 试用文字叙述下列事件： (1) 41 ==i i A A ， (2) A ,(3) B ， (4) 32A A ． 解：（1）至少有一次取得白球 （2）没有一次取得白球 （3）最多有2次取得白球 （4）第2次和第3次至少有一次取得白球 ――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― ３. 设Ａ、Ｂ为随机事件，说明以下式子中Ａ、Ｂ之间的关系． (1) Ａ Ｂ＝Ａ （2）ＡＢ＝Ａ 解：（1）A B ? (2)A B ? ――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― ４. 设Ａ表示粮食产量不超过500公斤，Ｂ表示产量为200-400公斤 ，Ｃ表示产量低于300公斤，Ｄ表示产量为250-500公斤，用区间表示下列事 件： (1) AB ， (2) BC ，(3) C B ，(4)C D B )( ，(5)C B A ． 解：(1)[]450,200; (2)[]300,200 (3)[]450,0 (4)[]300,200 (5)[]200,0 ――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― ５. 在图书馆中任选一本书，设事件Ａ表示“数学书”，Ｂ表示“中文版”， Ｃ表示“ 1970 年后出版”．问： (1) ＡＢＣ表示什么事件？ (2) 在什么条件下，有ＡＢＣ＝Ａ成立？ (3) C ?Ｂ表示什么意思？ (4) 如果A ＝Ｂ，说明什么问题？ 解：（1）选了一本1970年或以前出版的中文版数学书 （2）图书馆的数学书都是1970年后出版的中文书 （3）表示1970年或以前出版的书都是中文版的书 （4）说明所有的非数学书都是中文版的，而且所有的中文版的书都不是数学书 ――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― ６. 互斥事件与对立事件有什么区别？试比较下列事件间的关系． (1) X ＜ 20 与X ≥ 20 ； (2) X ＞ 20与X ＜ 18 ； 第三章 假设检验 课后作业参考答案 某电器元件平均电阻值一直保持Ω，今测得采用新工艺生产36个元件的平均电阻值为Ω。假设在正常条件下，电阻值服从正态分布，而且新工艺不改变电阻值的标准偏差。已知改变工艺前的标准差为Ω，问新工艺对产品的电阻值是否有显著影响(01.0=α) 解：(1)提出假设64.2:64.2:10≠=μμH H ， (2)构造统计量36 /06.064 .261.2/u 00 -=-= -= n X σμ (3)否定域???? ??>=???? ??>?? ??? ??<=--21212 αααu u u u u u V (4)给定显著性水平01.0=α时，临界值575.2575.22 12 =-=- α αu u ， (5) 2 αu u <，落入否定域，故拒绝原假设，认为新工艺对电阻值有显著性影响。 一种元件,要求其使用寿命不低于1000（小时）,现在从一批这种元件中随机抽取25件,测 得其寿命平均值为950（小时）。已知这种元件寿命服从标准差100σ=（小时）的正态分布， 试在显著水平下确定这批元件是否合格。 解： {}01001:1000, H :1000 X 950 100 n=25 10002.5 V=u 0.05H x u αμμσμα-≥<====->=提出假设：构造统计量：此问题情形属于u 检验，故用统计量：此题中：代入上式得： 拒绝域： 本题中：0.950.950 u 1.64u 0.0u H =>∴即，拒绝原假设认为在置信水平5下这批元件不合格。 某厂生产的某种钢索的断裂强度服从正态分布( )2 ,σ μN ，其中()2 /40cm kg =σ。现从一 批这种钢索的容量为9的一个子样测得断裂强度平均值为X ，与以往正常生产时的μ相比， X 较μ大20(2/cm kg )。设总体方差不变，问在01.0=α下能否认为这批钢索质量显著提 高 解： (1)提出假设0100::μμμμ>=H H ， (2)构造统计量5.13 /4020 /u 00 == -= n X σμ (3)否定域{}α->=1u u V (4)给定显著性水平01.0=α时，临界值33.21=-αu (5) α-<1u u ，在否定域之外，故接受原假设，认为这批钢索质量没有显著提高。 某批矿砂的五个样品中镍含量经测定为（%）： 设测定值服从正态分布，问在0.01α=下能否接受假设，这批矿砂的镍含量为 1 以下哪一部电影属于纪实感很强的电影？（） A、《杜拉拉升职记》 B、《英雄》 C、《三峡好人》 D、《小时代》 正确答案： C 2 电影具有“窗户”功能，尤其是（）类电影。 A、幻想风格 B、喜剧风格 C、惊悚风格 D、现实风格 正确答案：D 3 某种角度上，贾樟柯的电影具有社会活化石的作用。（） 正确答案：√ 4 电影就是我们的生活，已经成为我们生活的一部分。（） 正确答案：√ 电影就是我们的生活 1 下列关于电影《摇尾狗》说法不正确的是（）。 A、这是一部美国电影 B、影片采用了纪实的表现方式 C、影片反思了影像与现实间的关系 D、影片内容是总统如何利用影像的力量影响公众 正确答案：B 2 下列关于电影与现实关系的说法中，不属于理论家波德里亚观点的是（）。 A、影像是现实的反映 B、影像掩盖和篡改现实 C、影像掩盖真实的不在场 D、影像以符号的形式包围着现实 正确答案：D 3 电影像镜子，是因为我们把电影里的人生和自己进行比较。（） 正确答案：√ 4 电影《西蒙妮》讲述了一个导演通过电脑技术虚拟出了一位完美男主角的故事。（） 正确答案：× 电影就是我们的生活 1 根据麦克卢汉“一切媒介都是人体延伸”说，电影是人类（）的延伸。 A、视觉 B、听觉 C、想象 D、触觉 正确答案： C 2 电影具有艺术的特质，但不完全是艺术的产物，它还受技术、市场规律等影响。（） 正确答案：√ 3 美国好莱坞电影的“奇观化”法则指电影要表现出现实生活当中难得一见的东西。（） 正确答案：√ 4 电影所代表的形象思维，它与逻辑思维相互对立和互补，因此一般形象思维好的人逻辑思维则比较差。（） 正确答案：× 影视文化的负面价值 1 电影中不属于文学性的是（）。 A、人物关系设计 B、对话设计 C、舞蹈设计 D、故事设计 正确答案： C 2 关于“摄影机如自来水”这句话，下列说法不正确的是（）。 A、它是电影理论史上非常有名的一句话。 B、由法国电影理论家阿斯特吕克提出。 C、这句话主要是强调摄影师对电影创作的重要性。 D、意思是运用摄影机语言漂亮流畅地表达思想，叙述故事。 尔雅网课15年影视鉴赏课后答案1 电影具有“窗户”功能，尤其是（）类电影。 ? A 幻想风格 ? B 喜剧风格 ? C 惊悚风格 ? D 现实风格 2 电影就是我们的生活，已经成为我们生活的一部分。（） ? ? 3 某种角度上，贾樟柯的电影具有社会活化石的作用。（） ? ? 4 以下哪一部电影属于纪实感很强的电影？（） ? A 《杜拉拉升职记》 ? B 《英雄》 ? C 《三峡好人》 ? D 《小时代》 电影就是我们的生活 1 下列关于电影《摇尾狗》说法不正确的是（）。 ?A、这是一部美国电影 ?B、影片采用了纪实的表现方式 ?C、影片反思了影像与现实间的关系 ?D、影片内容是总统如何利用影像的力量影响公众 我的答案：B 2 下列关于电影与现实关系的说法中，不属于理论家波德里亚观点的是（）。 ?A、影像是现实的反映 ?B、影像掩盖和篡改现实 ?C、影像掩盖真实的不在场 ?D、影像以符号的形式包围着现实 我的答案：D 3 电影像镜子，是因为我们把电影里的人生和自己进行比较。（） 我的答案：√ 4 电影《西蒙妮》讲述了一个导演通过电脑技术虚拟出了一位完美男主角的故事。（）我的答案：× 电影就是我们的生活 1 根据麦克卢汉“一切媒介都是人体延伸”说，电影是人类（）的延伸。 ? A 视觉 ? B 听觉 ? C 想象 ? D 触觉 2 电影具有艺术的特质，但不完全是艺术的产物，它还受技术、市场规律等影响。（） ? ? 3 美国好莱坞电影的“奇观化”法则指电影要表现出现实生活当中难得一见的东西。（） ? ? 4 电影所代表的形象思维，它与逻辑思维相互对立和互补，因此一般形象思维好的人逻辑思维则比较差。（） ? ? 影视文化的负面价值 1 电影中不属于文学性的是（）。 ? A 人物关系设计 ? B 对话设计 ? C 舞蹈设计 ? D 故事设计 2 概率论与数理统计初步综合练习 一．填空题 1设事件A 、B 、C , 则三个事件中至少有一个事件发生表示为 2. 设()3.0=A P ，()15.0=AB P ，且A 与B 相互独立，则()=?B A P ____________ 3. 设]5,1[~U X ，则X 落入[2，4]的概率为 4. 若).(~p n B X ，且 2=EX ， 2.1=DX ， =n 5. 已知()2=X E ，() 52=X E ，()=+12X D _____________。 6. 设1X ，2X ，……，n X 是总体()2 ,σμN 的样本，X ，2 S 分别是样本平均值和样本方 差， 则 n S X μ -服从 分布 二．选择题 1. 将一枚硬币连掷三次, 至少出现一次正面的概率为 ( ) A. 21 B. 43 C. 87 D 3 2 2 )(x F 是分布函数，则)2 3(F = （ ） A.0.1 B.0.3 C.0.6 D.1 3. 二维离散型随机变量 X 与Y 相互独立同分布, 且已知其边缘分布律为 {}{ }2111=-==-=Y P X P , {}{ }2 1 11====Y P X P 则 ==+)0(Y X P （ ） A. 21 B. 4 1 C.1 D .0 4. 如果X 与Y 满足)()(Y X D Y X D -=+，则必有（ ） A. Y X 与独立 B. Y X 与不相关 C. 0(=） Y D D. 0)()(=Y D X D 5. 21,X X 为取自正态总体()2 ,~σμN X 的一个样本以下四个关于μ的无偏估计量中，方 差最小的是 （ ） A. 1X B. ()2121 X X +, C. 214341X X + D. 213 132X X + 6. 设总体X 服从正态分布，E(X)=2,E(X 2 )=8, X 1,X 2,…,X n 是X 的样本，1 1n i i X X n ==∑,则X 的分布为（ ） A. 4(2,)N n B. (2,1)N C. 2(,4)N n D. 24(,)N n n 三．计算题1. 两台车床加工同样的零件，第一台加工的废品率为0.05，第二台加工的 废品率为0.06，加工出来的零件放在一起，已知这批零件中，由第一台车床加工和由第二台加工的各占一半，从这批零件中任取一件。 求：（1）取到合格品的概率。（2）取到的合格品是由第一台车床加工的概率。 设随机变量X 的密度函数?????=0 )(2x k x f 其他2 1< 《概率论与数理统计》 第一章概率论的基本概念 (2) §2．样本空间、随机事件..................................... 2.. §4 等可能概型（古典概型）................................... 3.. §5．条件概率.............................................................. 4.. . §6．独立性.............................................................. 4.. . 第二章随机变量及其分布 (5) §1随机变量.............................................................. 5.. . §2 离散性随机变量及其分布律................................. 5..§3 随机变量的分布函数....................................... 6..§4 连续性随机变量及其概率密度............................... 6..§5 随机变量的函数的分布..................................... 7..第三章多维随机变量. (7) §1 二维随机变量............................................ 7...§2边缘分布................................................ 8...§3条件分布................................................ 8...§4 相互独立的随机变量....................................... 9..§5 两个随机变量的函数的分布................................. 9..第四章随机变量的数字特征.. (10) 第七章课后习题答案 7.2 设总体X ~ N(12,4), X^XzJII’X n 为简单随机样本,求样本均值与总体均值之 差的绝对 值大于1的概率. X 解：由于 X ~ N(12,4),故 X 一 ~ N(0,1) /V n 1 ( 2 0.8686 1) 0.2628 10 7.3 设总体X ?N(0,0.09),从中抽取n 10的简单随机样本，求P X ： 1.44 i 1 X i 0 X i 0 X i ~N(0,°.09),故亠-X0r~N(0,1) X 所以 ~ N(0,1)，故U n P{ X 1} 1 P{ X 1} 解: 由于X ~ N (0,0.09),所以 10 所以 X i 2 2 是)?(10) 所以 10 10 X ： 1.44 P i 1 i 1 X i 2 (倉 1.44 P 0.09 2 16 0.1 7.4 设总体 X ~ N( , 2), X 1,X 2,|||,X n 为简单随机样本 2 ,X 为样本均值，S 为样 本方差，问U n X 2 服从什么分布? 解: (X_)2 2 ( n )2 X __ /V n ,由于 X ~ N( , 2)， 2 ~ 2(1)。 1 —n 7.6 设总体X ~ N( , 2), Y?N( , 2)且相互独立，从X,Y中分别抽取 m 10, n215的简单随机样本，它们的样本方差分别为S2,M，求P(S2 4S ； 0)。 解： S2 P(S24S2 0) P(S24S；) P 12 4 由于X ~ N( , 2), Y~ N( , 2)且相互独立S2 所以S12~ F(10 1,15 1)，又由于F°oi(9,14) 4.03 S2 即P F 4 0.01 习题五 1 某钢厂检查一月上旬内的五天中生产的钢锭重量，结果如下：(单位：k g) 日期重旦量 1 5500 5800 5740 5710 2 5440 5680 5240 5600 4 5400 5410 5430 5400 9 5640 5700 5660 5700 10 5610 5700 5610 5400 试检验不同日期生产的钢锭的平均重量有无显著差异？ ( =0.05) 解根据问题，因素A表示日期，试验指标为钢锭重量，水平为 5. 2 假设样本观测值y j(j 123,4)来源于正态总体Y~N(i, ),i 1,2,...,5 检验的问题：H。：i 2 L 5, H i : i不全相等. 计算结果： 注释当=0.001表示非常显著，标记为*** '类似地，=0.01，0.05，分别标记为 查表F0.95(4,15) 3.06，因为F 3.9496 F0.95(4,15)，或p = 0.02199<0.05 ，所 以拒绝H。，认为不同日期生产的钢锭的平均重量有显著差异 2 考察四种不同催化剂对某一化工产品的得率的影响，在四种不同催化剂下分别做试验 解 根据问题，设因素A表示催化剂，试验指标为化工产品的得率，水平为 4 . 2 假设样本观测值y j(j 1,2,..., nJ来源于正态总体Y~N(i, ), i 1,2,...,5 .其中样本容量不等，n分别取值为6，5，3，4 . 日产量 操作工 查表 F O .95（3,14） 3.34，因为 F 2.4264 F °.95（3,14），或 p = 0.1089 > 0.05， 所以接受H 。，认为在四种不同催化剂下平均得率无显著差异 3 试验某种钢的冲击值（kg Xm/cm2 ）,影响该指标的因素有两个，一是含铜量 A ,另 一个是温度 试检验含铜量和试验温度是否会对钢的冲击值产生显著差异？ （ =0.05 ） 解 根据问题，这是一个双因素无重复试验的问题，不考虑交互作用 设因素A,B 分别表示为含铜量和温度，试验指标为钢的冲击力，水平为 12. 2 假设样本观测值y j （i 1,2,3, j 1,2,3,4）来源于正态总体 Y j ~N （j , ）,i 1,2,3, j 1,2,3,4 .记i 为对应于A 的主效应；记 j 为对应于B j 的主效应； 检验的问题：（1） H i 。： i 全部等于零，H i — i 不全等于零； （2） H 20 : j 全部等于零，H 21： j 不全等于零； 计算结果： 查表F 0.95（2,6） 5.143 ,局.95（3,6） 4.757 ,显然计算值F A , F B 分别大于查表值, 或p = 0.0005 , 0.0009均显著小于0.05，所以拒绝H i°,H 20，认为含铜量和试验温度 都会对钢的冲击值产生显著影响作用 . 4 下面记录了三位操作工分别在四台不同的机器上操作三天的日产量: 检验的问题：H 0： 1 计算结果： H i : i 不全相等 第一章：概率论初步 基本概念：随机事件、古典概率、条件概率、事件的独立性 事件的关系与运算(结合集合论和文氏图来学习) 子事件(子集)、积事件(交集)、和事件(并集)、对立事件AB A B ∪A (补集)、 差事件 ;A B AB A AB ?==? 互斥事件 AB =Φ 事件发生：事件A 中至少有一个样本点出现. 处理技巧：把稍微复杂点事件处理成简单的互斥事件的和 []A B A B A =?∪∪运算规律：德摩根律 ; AB A B A B AB ==∪∪ 加法原理：(分类)，乘法原理：12m n n n +++ 12m n n n ??? (分步) 排列： 全排列：； 组合：,m m n n A P ,!n ,! m m m n n n P C C C m n m n ?== 古典概型： 满足以下两个特点的随机试验 ()A n P A n Ω = 1. 试验的样本空间中有有限的样本点； 2. 每个样本点发生的可能性是相等.(对称性和均衡性) 例题1 计算下列概率题 (求概率前先设事件) 1. 抛两颗骰子，观察他们点数出现的情况， (1) 写出试验的样本空间； (2) 设两颗骰子点数相同，:A :B 两颗骰子点数和为5，求 (),().P A P B 2. 袋子中有a 只白球，b 只红球，2个人依次在袋子中取一球， (1) 做有放回的抽样，求第二个人取得白球的概率；()a P A a b =+ (2) 做无放回的抽样，求第二个人取得白球的概率； 1(1)()11()(1)b a a a a b a a P A a b a b a b a b a b a b a b () ?+?= ?+?==++?++?++?+ 注：当箱子中奖券足够多时，摸奖不分先后； 概率的公理化定义 设E 是一个随机试验，S 是它的样本空间，对于E 中的每一个事件A 赋予一个实数，记为，称为事件的概率，如果他满足下列的假设： ()P A A (1) (2) 对于0()P A ≤≤1;S 有()1;P S = (3) 设 两两互不相容，则有 12,,,,n A A A 1212()()()n n P A A A P A P A P A =+++∪∪ ∪∪ () 第七章课后习题答案 7.2 设总体12~(12,4),,,,n X N X X X L 为简单随机样本,求样本均值与总体均值之 差的绝对值大于1的概率. 解:由于~(12,4)X N , ~(0,1)X N {1}1{1}1P X P X P μμ?->=--≤=-≤ 112(11(20.86861)0.262822P ??=-≤=-Φ-=-?-=?????? 7.3 设总体~(0,0.09),X N 从中抽取10n =的简单随机样本，求1021 1.44i i P X =?? >???? ∑. 解：由于~(0,0.09),X N 所以~(0,0.09),i X N 故 ~(0,1)0.3 i i X X N σ --= 所以 10 2 21 ( )~(10)0.3 i i X χ=∑ 所以{}1010222 11 1.441.44()160.10.3 0.09i i i i X P X P P χ==????>=>=>=????????∑∑ 7.4 设总体2 ~(,),X N μσ12,,,n X X X L 为简单随机样本, X 为样本均值，2 S 为样 本方差，问2 X U n μσ?? -= ??? 服从什么分布？ 解： 2 2 2 X X X U n μσ????-=== ???,由于2 ~(,)X N μσ， ~(0,1)N ，故2 2 ~(1)X U χ??=。 7.6 设总体2 ~(,),X N μσ2 ~(,)Y N μσ且相互独立，从,X Y 中分别抽取1210,15n n ==的简单随机样本，它们的样本方差分别为22 12,S S ，求2212(40)P S S ->。 解： 22 22211 2 1 2 22(40)(4)4S P S S P S S P S ?? ->=>=> ??? 由于2 ~(,),X N μσ2 ~(,)Y N μσ且相互独立 所以2 122 ~(101,151)S F S --，又由于0.01(9,14) 4.03F = 即()40.01P F >= 应用数理统计答案 学号： 姓名： 班级： 目录 第一章数理统计的基本概念 (2) 第二章参数估计 (14) 第三章假设检验 (24) 第四章方差分析与正交试验设计 (29) 第五章回归分析 (32) 第六章统计决策与贝叶斯推断 (35) 对应书目：《应用数理统计》施雨著西安交通大学出版社 第一章 数理统计的基本概念 1.1 解：∵ 2 (,)X N μσ ∴ 2 (,)n X N σμ ∴ (0,1)N 分布 ∴(1)0.95P X P μ-<=<= 又∵ 查表可得0.025 1.96u = ∴ 2 2 1.96n σ= 1.2 解：(1) ∵ (0.0015)X Exp ∴ 每个元件至800个小时没有失效的概率为： 800 0.00150 1.2 (800)1(800) 10.0015x P X P X e dx e -->==-<=-=? ∴ 6个元件都没失效的概率为： 1.267.2 ()P e e --== (2) ∵ (0.0015)X Exp ∴ 每个元件至3000个小时失效的概率为： 3000 0.00150 4.5 (3000)0.00151x P X e dx e --<===-? ∴ 6个元件没失效的概率为： 4.56 (1)P e -=- 1.4 解： i n i n x n x e x x x P n i i 1 2 2 )(ln 2121)2(),.....,(1 22 =-- ∏∑ = =πσμσ 1.5证： 2 1 1 2 2)(na a x n x a x n i n i i i +-=-∑∑== ∑∑∑===-+-=+-+-=n i i n i i n i i a x n x x na a x n x x x x 1 2 2 2 2 11) ()(222 a) 证： ) (1111 1+=+++=∑n n i i n x x n x ) (1 1 )(1 1 11n n n n n x x n x x x n n -++=++=++ 一、第六章习题详解 6.1 证明（6.2.1）和(6.2.2)式. 证明： (1) ∑∑∑===+=+==n i i n i i n i i nb X a n b aX n Y n Y 1 11)(1 )(11 b X a b X n a n i i +=+=∑=1 )1( (2) ∑∑==+-+=--=n i i n i i Y b X a b aX n Y Y n S 1 212 2 )]()[(1)(11 221 2212)(1)]([1X n i i n i i S a X X n a X X a n =-=-=∑∑== 6.2设n X X X ,,,21 是抽自均值为μ、方差为2 σ的总体的样本, X 与2S 分别为该样本均值。证明与2 (),()/E X Var X n μσ==. 证：()E X =12121 1 1 [()]()()n n E X X X E X X X n n n n μμ++ = ++== ()Var X =22 1212221 1 1[()]()()n n Var X X X E X X X n n n n n σσ++ =++ == 6.3 设n X X X ,,,21 是抽自均值为μ、方差为2 σ的总体的样本,2 21 1()1n i i S X X n ==--∑, 证明: (1) 2 S =)(11 21 2X n X n n i i --= ∑= (2) 2()E S =2σ= 证：(1) ∑∑==+--=--=n i i i n i i X X X X n X X n S 1 2212 2 )2(11)(11 ]2)([112112X n X X X n n i i n i i +--=∑∑== ])(2)([11212X n X n X X n n i i +--=∑= )(1121 2X n X n n i i --=∑= 概率论与数理统计知识点汇总(详细) ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 《概率论与数理统计》 第一章 概率论的基本概念 §2．样本空间、随机事件 1．事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生 φ=?B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的 且S =?B A φ=?B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件 2．运算规则 交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??）（ ))(()( C A B A C B A ??=?? 徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3．频率与概率 定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率 概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ）， 称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件： （1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P 第 三 章 作 业 参 考 答 案 2、解：计算矩估计：2 1)1(1 ++= +?= ? αααα dx x x EX ， 令 X EX =++= 2 1αα ，解得 1 2-1?1-=X X α ； 计算极大似然估计：α α αα α)()1()1()()(1 1 1 ∏∏∏ ===+=+= = n i i n n i i n i i x x x f L )ln()1ln()(ln 1 ∏=++=?n i i x n L ααα0 )ln(1 )(ln 1 =++= ??? ∏=n i i x n L αα α 解得 ) ) ln(1(?1 2∏=+-=n i i x n α ； 将样本观测值代入，得到估计值分别为0.3077?1=α ，0.2112?2=α。 6、 解：（1）由例3.2.3可知，μ的极大似然估计分别为 X =μ ?， 05.0)(1)(=-Φ-=>μA A X P )645.1(95.0)(Φ==-Φ?μA 645 .1+=?μA ，由46页上极大似然估计的不变性可知645.1??+=μA ； （2）由例3.2.3可知，2 σμ，的极大似然估计分别为 ∑=-= =n i i X X n X 1 2 2 ) (1 ??σ μ，， 05.0)( 1)(=-Φ-=>σ μ A A X P )645.1(95.0)( Φ==-Φ?σ μ A σ μ645.1+=?A ，由46页上极大似然估计的不变性可知σμ?645.1??+=A 。 8、解：计算2 2 2 2222)()()(σσ μC n S CE X E CS X E -+ =-=-，由题意则有 2 2 2 2 μσ σ μ=-+ C n ，解得n C 1= 。 习题9答案 9.1 假定某厂生产一种钢索，其断裂强度5(10)X Pa 服从正态分布2(,40),N μ从中抽取容量为9的样本，测得断裂强度值为 793, 782, 795, 802, 797, 775, 768, 798, 809 据此样本值能否认为这批钢索的平均断裂强度为580010Pa ?？（0.05α=） 解：00:800H μμ== 10:H μμ≠ 选取检验统计量~(0,1)Z N =， 对于0.05α=，得0H 的拒绝域2 1.96W z z α? ?=>=???? 计算得7918000.675 1.96403 z -==< 所以接受0H ，拒绝1H .即可以认为平均断裂强度为580010Pa ?. 9.3 某地区从1975年新生的女孩中随机抽取20个，测量体重，算得这20个女孩的平均体重为3160g ，样本标准差为300g ，而根据1975年以前的统计资料知，新生女孩的平均体重为3140g ，问1975年的新生女孩与以前的新生女孩比较，平均体重有无显著性的差异？假定新生女孩体重服从正态分布，给出0.05α=. 解：00:3140H μμ== 10:H μμ≠ 选取检验统计量~(1)T t n =-， 对于0.05α=，得0H 的拒绝域2 (19) 2.0930W T t α? ?=>=???? 计算得 0.298 2.0930T ===< 故接受0H ，拒绝1H .即体重无明显差异. 9.5 现要求一种元件的使用寿命不得低于1000h ，今从一批这种元件中随机的抽取25件，测定寿命，算得寿命的平均值为950h ，已知该种元件的寿命2~(,),X N μσ已知100σ=，试在检验水平0.05α=的条件下，确定这批元件是否合格？ 解：00:1000H μμ≥= 10:H μμ< 选取检验统计量~(0,1)Z N =， 对于0.05α=，得0H 的拒绝域{}1.645W Z z α=<-=- 计算得 9501000 2.5 1.6451005 Z -==-<- 所以拒绝0H ，接受1H . 即认为这批元件不合格. 9.8 某厂生产的铜丝，要求其拉断力的方差不超过216()kg ，今从某日生产的铜丝中随机的抽取9根，测得其拉断力为（单位：kg ） 289 , 286 , 285 , 284 , 286 , 285 , 286 , 298 , 292 设拉断力总体服从正态分布，问该日生产的铜丝的拉断力的方差是否合乎标准？（0.05α=）. 解： 2200:16H σσ≤= 2210:H σσ> 选取检验统计量2 2220(1)~(1)n S n χχσ-=- 对于0.05α=，得0H 的拒绝域{} 22(8)15.507W αχχ=>= 计算得 2 220(1)820.3610.1815.50716 n S χσ-?==≈< 所以接受0H ， 拒绝1H ，即认为是合乎标准的。 4-45. 自动车床加工中轴，从成品中抽取11根，并测得它们的直径（mm ）如下： 10.52，10.41，10.32，10.18，10.64，10.77，10.82，10.67，10.59，10.38，10.49 试用W 检验法检验这批零件的直径是否服从正态分布？（显著性水平05.0=α） （参考数据：） 4-45. 解：数据的顺序统计量为： 10.18，10.32，10.38，10.41，10.49，10.52，10.59，10.64，10.67，10.77，10.82 所以 6131 .0][)()1(5 1 ) (=-= -+=∑k k n k k x x a L ， 又 5264.10=x ， 得 38197 .0)(11 1 2 =-∑=i i x x 故 984.0) (11 1 2 2 =-= ∑=i i x x L W ， 又 当n = 11 时，85.005.0=W 即有 105.0<《概率论与数理统计》讲义#(精选.)
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