第四讲 一元一次方程奥数

第四讲 一元一次方程一 重要知识点回顾方程是中学数学中最重要的内容．最简单的方程是一元一次方程，它是进一步学习代数方程的基础，很多方程都可以通过变形化为一元一次方程来解决．本讲主要介绍一些一元一次方程的解的情况．1）只含有一个未知数(又称为一元)，且其次数是1的方程叫作一元一次方程．任何一个一元一次方程总可以化为ax=b(a ≠0)的形式，这是一元一次方程的标准形式(最简形式)．2）解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项，化为最简形式ax=b ；(5)方程两边同除以未知数的系数，得出方程的解．3） 一元一次方程ax=b 的解由a ，b 的取值来确定：(2)若a=0，且b=0，方程变为0·x=0，则方程有无数多个解；(3)若a=0，且b ≠0，方程变为0·x=b ，则方程无解．解方程预习练习题(1) k(x －2)=3x －1 (2)ax －b=cx ＋d3.关于ｘ的方程19x －a=0的解为19－a,则a=__________.4.若关于x 的方程5x+1=a(2x+3)无解,则a=__________5.若关于x 的方程 ︳2x －1 ︳+m=0无解,则m=____________.已知y=1是方程2－ (m －y)=2y 的解,解关于x 的方程:m(x+4)=2mx －4.已知方程2ax=(a ＋1)x+6,求a 为何整数时,方程的解是正整数.若(3a+2b)x 2+ax+b=0是关于x 的一元一次方程,且x 有唯一解,求这个解.当k 取何值时，关于x 的方程3(x+1)=5-kx ，分别有：(1)正数解；(2)负数解；(3)不大于1的解．解关于x 的方程(mx-n)(m+n)=0．已知(m 2-1)x 2-(m+1)x+8=0是关于x 的一元一次方程，求代数式199(m+x)(x-2m)+m 的值．已知关于x 的方程a(2x-1)=3x-2无解，试求a 的值．已知关于x 的方程 且a 为某些自然数时，方程的解为自然数，试求自然数a 的最小值．经典例题讲解【例1】 (1)已知关于I 的方程x a x x 4)3(23=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--和1851123=--+x a x 有相同的解，那么这个解是 ．（2）如果20042003)1(11216121=+++++n n ，那么n ＝ ．【例2】 当b=1时，关于x 的方程a(3x-2)+b(2x-3)=8x-7有无数多个解，则a 等于( )．A ．2B ．一2C ．32- D ．不存在 【例3】 是否存在整数k ，使关于k 的方程(k 一5)x+6=1—5x ；在整数范围内有解?并求出各个解．【例4】 解下列关于x 的方程．(1)4x+b=ax-8； (a ≠4)(2)mx-1＝nx ；(3))2(41)(31m x n x m +=-． 【例5】已知q p 、都是质数，并且以x 为未知数的一元一次方程px+5q=97的解是1，求代数式40p 十101q+4的值．练习1．已知x=一1是关于x 的方程7x 3一3x 2+kx+5=0的解，则k 3+2k 2-11k-85= ．(“信利杯”竞赛题)2．方程0)104(21)25(32)5020(61=+-+++x x x 的解为 ；解方程0333)321(212121=-⎭⎬⎫⎩⎨⎧-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--x ，得x= ．3．已知关于x 的方程2a(x 一1)＝(5一a)x+3b 有无数多个解，那么a ＝ ．(“希望杯”邀请赛试题)4．和方程x 一3＝3x+4不同解的方程是( )．A ．79—4＝59—11B ．0231=++x C ．(a 2+1)(x 一3)＝(3x+4)(a 2+1)D ．(7x 一4)(x —1)＝(5x 一11)(x 一1)5．已知a 是任意有理数，在下面各题中(1)方程ax=0的解是x=1 (2)方程ax ＝a 的解是x ＝1(3)方程ax=1的解是x ＝a1 (4)方程a x a =的解是x ＝±1 结论正确的个数是( )．A ．0B ．1C ． 2D ．36．方程231)153(123661-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--x x x 的解是（ ） A ．1415 B ．1415- C ．1445 D ．1445- 7．已知关于x 的一次方程（3a+8b ）x+7=0无解，则ab=( ) ．A ．正数B ．非正数C ．负数D ．非负数8．解关于x 的方程：（1）ax-1=bx (2)4x+b=ax-8 (3)k(kx-1)=3(kx-1)9．A 为何值时，方程)12(6123--=+x x a x 有无数个解？无解？ 10．已知方程2(x+1)=3(x-1)的解 为a+2，那么方程2[2(x+3)-3(x-a)]=3a 的解为 ．11．已知关于x 的方程9x-3=kx+14有整数解，那么满足条件的所有整数k = ．12．已知431)119991(441=++x ，那么代数式)19991999(481872xx +⋅+的值为 ． 13．若(3a+2b)x 2+ax+b=0是关于x 的一元一次方程，且有唯一解，则x = ．14．有4个关于x 方程(1)x-2=-1 (2)(x-2)+(x-1)=-1+(x-1)(3)x=0 (4)111112-+-=-+-x x x 其中同解的两个方程是（ ）A ．（1）与（2）B ．（1）与（3）C ．（1）与（4）D ．（2）与（4）15．方程1995199619953221=⨯++⨯+⨯x x x 的解是（ ） A ．1995 B ．（1996 C ．1997 D ． 199816．已知2001222==-=+c b a ，且k c b a 2001=++，那么k 的值为（ ）． A ．41 B ．4 C ．41- D ．－4 17．若k 为整数，则使得方程(k-1999)x=2001-2000x 的解也是整数的k 值有A ．4个B ．8个C ．12个D ．16个关于绝对值方程【例1】方程5665-=+x x 的解是 ．【例2】 适合81272=-++a a 的整数a 的值的个数有( )．A ．5B ．4C ． 3D ．2 ．【例3】解方程：413=+-x x ；【例4】解下列方程：(1)113+=--+x x x(2)451=-+-x x ．【例5】已知关于x 的方程a x x =-+-32，研究a 存在的条件，对这个方程的解进行讨论．练习21．方程15)1(3+=-xx 的解是 ；方程1213+=-x x 的解是 ．2．已知199519953990=+x ，那么x ＝ ．3．已知，2+=x x ，那么19x 99+3x+27的值为 ．4．关于x 的方程x a x a -+=1的解是x=0，则a 的值 ；关于x 的方程x a x a -+=1的解是x=1，则有理数a 的取值范围是 ．5．使方程0223=++x 成立的未知数x 的值是( )．A ．一2B ．0C ．32 D ．不存在 6．方程055=-+-x x 的解的个数为( )．A ．不确定B ．无数个C ． 2个D ．3个7．已知关于 x 的方程mx+2=2(m-x)的解满足0121=--x ，则m 的值是( ) A ．5210或 B ．5210-或 C ．5210或- D ．5210--或 8．若20002020002000⨯=+x ，则x 等于( )．A ．20或一21B ．一20或21C ．—19或21D ．19或一219．解下列方程：(1)8453=+-x ； (2)43234+=--x x ；(3)312=+-x x ； (4)1212++-+-x x x ．10．讨论方程k x =-+23的解的情况．11．方程212=--x 的解是 ．12．若有理数x 满足方程x x +=-11，则化简1-x 的结果是 ．13．若0,0<>b a ，则使b a b x a x -=-+-成立的x 取值范围是 ．14．若100<<x ，则满足条件a x =-3的整数a 的值共有 个，它们的和是 ．15．若m 是方程x x +=-20002000的解，则2001-m 等于( )．A ．m 一2001B ．一m 一2001C ．m+2001D ．一m+200116．若关于x 的方程032=+-m x 无解，043=+-n x 只有一个解，054==-k x 有两个解，则m 、n 、k 的大小关系是( )．m>n>k B ．n>k>m C ．k>m>n D ． m>k>n17．适合关系式62343=++-x x 的整数x 的值有( )个．A ．0B ．1C ．2D ．大于2的自然数18．方程1735=--+x x 的解有( )．A ．1个B ．2个C ． 3个D ．无数个19．设a 、b 为有理数，且0>a ，方程3=--b a x 有三个不相等的解，求b 的值．20．当a 满足什么条件时，关于x 的方程a x x =---52有一解?有无数多个解?无解?21．已知y y x x +---=-++15912，求x+y 的最大值与最小值．22． (1)数轴上两点表示的有理数是a 、b ，求这两点之间的距离；(2)是否存在有理数x ，使x x x =-++31?(3)是否存在整数x ，使144334=++++-+-x x x x ?如果存在，求出所有的整数x ；如果不存在，说明理由．列方程解应用题1．（全国初中数学竞赛题）甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么（）A．甲比乙大5岁B．甲比乙大10岁C．乙比甲大10岁D．乙比甲大5岁2．（全国初中数学联赛题）某城市按以下规定收取每月煤气费：用煤气如果不超过60m3，按每立方米0.8元收费；如果超过60m3，超过部分按每立方米1.2元收费，已知某用户4月份的煤气费平均每立方米0.88元。

那么，4月份这位用户应交煤气费（）A．60元B．66元C．75元D．78元3．（第15届江苏省初中数学竞赛题）汽车以每小时72km的速度笔直地开向寂静的山谷，驾驶员按一声喇叭，4s 后听到回声，已知声音的速度是每秒340m，听到回声时汽车离山谷的距离是多少米？4．（希望杯竞赛题）某种电器产品，第件若以原定价的95折销售，可获利150元，若以原定价的75折销售，则亏损50元，则该种商品每件的进价为多少元？5．（第19届江苏省初中数学竞赛题）甲、乙两人从两地同时出发，若相向而行，a小时后相遇；若同向而行，则b小时甲追上乙。

那么甲、乙两人的速度之比为多少？6．（第17届江苏省竞赛题）美国蓝球巨星乔丹在一场比赛中24投14中，拿下28分，其中三分球三投全中，那么乔丹两分球投中多少个？罚球投中多少球？7．（2005年河南省竞赛题）某种商品的进货价是每件a元，零售价是每件1100元，商店按零售价的80%降价出售，仍可获利10%（相对于进货价），则a为多少元？8．（希望杯竞赛题）甲、乙两列客车的长分别为150m和200m，它们相向行驶在平行的轨道上，已知甲车上某乘客测得乙车在他窗口外经过的时间是10s，那么乙车上的乘客看见甲车在他窗口外经过的时间是多少秒？9．（第14届五羊杯竞赛题）五羊中学数学竞赛，满分120分，规定不少于100分的获金牌，80至99分的获银牌，统计得金牌数比银牌数少8，奖牌数比不获奖人数少9，后来改为不少于90分的获金牌，70至89分的获银牌，那么金、银牌都增加了5块，而且金牌选手和银牌选手的总分刚好相同，平均分分别是95分和75分，则参赛总人数是多少？10．（2005年河南省竞赛题）把99拆成四个数，使得第一个数加上2，第二个数减2，第三个数乘2，第四个数除以2，得到的结果都相等，那么这四个数是多少？11．（第16届希望杯竞赛题）在公路上，汽车A，B，C分别以80km/h，70km/h，50km/h的速度匀速行驶，A从甲站开往乙站，同时，B，C从乙站往甲站。