6.3等比数列及其前n项和
第六章 6.3等比数列及其前n项和
1.等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 q 表示(q ≠0). 2.等比数列的通项公式设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则它的通项a n ＝a 1·q n －1. 3.等比中项如果三个数x ，G ，y 组成等比数列，则G 叫做x 和y 的等比中项. 4.等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n－m(n ，m ∈N ＋).(2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N ＋)，则a k ·a l ＝a m ·a n .(3)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 仍是等比数列. 5.等比数列的前n 项和公式等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，其前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q .6.等比数列前n 项和的性质公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为 q n . 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N ＋，q 为常数)的数列{a n }为等比数列.( × ) (2)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2＝ab .( × )(3)如果数列{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列.( × )(4)如果数列{a n }为等比数列，则数列{ln a n }是等差数列.( × ) (5)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n )1－a.( × )(6)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列.( × )1.(2015·课标全国Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7等于( ) A.21 B.42 C.63 D.84 答案 B解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则由a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21得3(1＋q 2＋q 4)＝21，解得q 2＝－3(舍去)或q 2＝2，于是a 3＋a 5＋a 7＝q 2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×21＝42，故选B. 2.设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3，S 4＝15，则S 6等于( ) A.31 B.32 C.63 D.64答案 C解析 根据题意知，等比数列{a n }的公比不是－1.由等比数列的性质，得(S 4－S 2)2＝S 2·(S 6－S 4)，即122＝3×(S 6－15)，解得S 6＝63.故选C.3.等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( ) A.6 B.5 C.4 D.3 答案 C解析 数列{lg a n }的前8项和S 8＝lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a 8＝lg(a 1·a 2·…·a 8)＝lg(a 1·a 8)4 ＝lg(a 4·a 5)4＝lg(2×5)4＝4.4.(2015·安徽)已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和等于 . 答案 2n －1解析 由等比数列性质知a 2a 3＝a 1a 4，又a 2a 3＝8，a 1＋a 4＝9，所以联立方程⎩⎪⎨⎪⎧a 1a 4＝8，a 1＋a 4＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，a 4＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，a 4＝1，又∵数列{a n }为递增数列， ∴a 1＝1，a 4＝8，从而a 1q 3＝8，∴q ＝2. ∴数列{a n }的前n 项和为S n ＝1－2n 1－2＝2n－1.5.(教材改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为 . 答案 27,81解析 设该数列的公比为q ，由题意知， 243＝9×q 3，q 3＝27，∴q ＝3.∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81.题型一 等比数列基本量的运算例1 (1)设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和.已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于( ) A.152 B.314 C.334 D.172(2)在等比数列{a n }中，若a 4－a 2＝6，a 5－a 1＝15，则a 3＝ . 答案 (1)B (2)4或－4解析 (1)显然公比q ≠1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ·a 1q 3＝1，a 1(1－q 3)1－q ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝4，q ＝12，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，q ＝－13(舍去)，∴S 5＝a 1(1－q 5)1－q＝4(1－125)1－12＝314.(2)设等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3－a 1q ＝6，a 1q 4－a 1＝15，两式相除，得q 1＋q 2＝25，即2q 2－5q ＋2＝0，解得q ＝2或q ＝12.所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－16，q ＝12.故a 3＝4或a 3＝－4.思维升华 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解.(1)在正项等比数列{a n }中，a n ＋1＜a n ，a 2·a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 5a 7等于( )A.56B.65C.23D.32(2)(2015·湖南)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，且3S 1,2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝ . 答案 (1)D (2)3n －1解析 (1)设公比为q ，则由题意知0＜q ＜1，由⎩⎪⎨⎪⎧a 2·a 8＝a 4·a 6＝6，a 4＋a 6＝5，得a 4＝3，a 6＝2，所以a 5a 7＝a 4a 6＝32.(2)由3S 1,2S 2，S 3成等差数列知，4S 2＝3S 1＋S 3，可得a 3＝3a 2，所以公比q ＝3，故等比数列通项a n ＝a 1q n －1＝3n －1.题型二 等比数列的判定与证明例2 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式.(1)证明 由a 1＝1及S n ＋1＝4a n ＋2， 有a 1＋a 2＝S 2＝4a 1＋2. ∴a 2＝5，∴b 1＝a 2－2a 1＝3.又⎩⎪⎨⎪⎧S n ＋1＝4a n ＋2， ①S n ＝4a n －1＋2 (n ≥2)， ② ①－②，得a n ＋1＝4a n －4a n －1 (n ≥2)， ∴a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1) (n ≥2). ∵b n ＝a n ＋1－2a n ，∴b n ＝2b n －1 (n ≥2)， 故{b n }是首项b 1＝3，公比为2的等比数列. (2)解 由(1)知b n ＝a n ＋1－2a n ＝3·2n －1， ∴a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝34， 故{a n 2n }是首项为12，公差为34的等差数列. ∴a n 2n ＝12＋(n －1)·34＝3n －14， 故a n ＝(3n －1)·2n －2. 引申探究例2中“S n ＋1＝4a n ＋2”改为“S n ＋1＝2S n ＋(n ＋1)”，其他不变探求数列{a n }的通项公式. 解 由已知得n ≥2时，S n ＝2S n －1＋n . ∴S n ＋1－S n ＝2S n －2S n －1＋1， ∴a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，又a 1＝1，当n ＝1时上式也成立，故{a n ＋1}是以2为首项，以2为公比的等比数列， ∴a n ＋1＝2·2n －1＝2n ，∴a n ＝2n －1.思维升华 (1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.(2)利用递推关系时要注意对n ＝1时的情况进行验证.设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N ＋).(1)求a 2，a 3的值；(2)求证：数列{S n ＋2}是等比数列.(1)解 ∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N ＋)， ∴当n ＝1时，a 1＝2×1＝2； 当n ＝2时，a 1＋2a 2＝(a 1＋a 2)＋4， ∴a 2＝4；当n ＝3时，a 1＋2a 2＋3a 3＝2(a 1＋a 2＋a 3)＋6， ∴a 3＝8.综上，a 2＝4，a 3＝8.(2)证明 a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N ＋)，① ∴当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1 ＝(n －2)S n －1＋2(n －1).②①－②得na n ＝(n －1)S n －(n －2)S n －1＋2＝n (S n －S n －1)－S n ＋2S n －1＋2＝na n －S n ＋2S n －1＋2. ∴－S n ＋2S n －1＋2＝0，即S n ＝2S n －1＋2， ∴S n ＋2＝2(S n －1＋2).∵S 1＋2＝4≠0，∴S n －1＋2≠0， ∴S n ＋2S n －1＋2＝2，故{S n ＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列. 题型三 等比数列的性质及应用例3 (1)在等比数列{a n }中，各项均为正值，且a 6a 10＋a 3a 5＝41，a 4a 8＝5，则a 4＋a 8＝ . (2)等比数列{a n }的首项a 1＝－1，前n 项和为S n ，若S 10S 5＝3132，则公比q ＝ .答案 (1)51 (2)－12解析 (1)由a 6a 10＋a 3a 5＝41及a 6a 10＝a 28，a 3a 5＝a 24， 得a 24＋a 28＝41.因为a 4a 8＝5，所以(a 4＋a 8)2＝a 24＋2a 4a 8＋a 28＝41＋2×5＝51.又a n >0，所以a 4＋a 8＝51. (2)由S 10S 5＝3132，a 1＝－1知公比q ≠±1， 则可得S 10－S 5S 5＝－132.由等比数列前n 项和的性质知S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等比数列，且公比为q 5， 故q 5＝－132，q ＝－12.思维升华 (1)在等比数列的基本运算问题中，一般利用通项公式与前n 项和公式，建立方程组求解，但如果能灵活运用等比数列的性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则有a m a n ＝a p a q ”，可以减少运算量.(2)等比数列的项经过适当的组合后构成的新数列也具有某种性质，例如等比数列S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等比数列，公比为q k (q ≠－1).(1)已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3a 9＝2a 25，a 2＝2，则a 1等于( )A.12 B.22C. 2D.2(2)等比数列{a n }共有奇数项，所有奇数项和S 奇＝255，所有偶数项和S 偶＝－126，末项是192，则首项a 1等于( ) A.1 B.2 C.3D.4答案 (1)C (2)C解析 (1)由等比数列的性质得a 3a 9＝a 26＝2a 25，∵q ＞0，∴a 6＝2a 5，q ＝a 6a 5＝2，a 1＝a 2q＝2，故选C.(2)设等比数列{a n }共有2k ＋1(k ∈N ＋)项，则a 2k ＋1＝192，则S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2k －1＋a 2k ＋1＝1q (a 2＋a 4＋…＋a 2k )＋a 2k ＋1＝1q S 偶＋a 2k ＋1＝－126q ＋192＝255，解得q ＝－2，而S 奇＝a 1－a 2k ＋1q 21－q 2＝a 1－192×(－2)21－(－2)2＝255，解得a 1＝3，故选C.12.分类讨论思想在等比数列中的应用典例 (12分)已知首项为32的等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N ＋)，且－2S 2，S 3,4S 4成等差数列.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)证明：S n ＋1S n ≤136(n ∈N ＋).思维点拨 (1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式； (2)求出前n 项和，根据函数的单调性证明. 规范解答(1)解 设等比数列{a n }的公比为q ， 因为－2S 2，S 3,4S 4成等差数列，所以S 3＋2S 2＝4S 4－S 3，即S 4－S 3＝S 2－S 4， 可得2a 4＝－a 3，于是q ＝a 4a 3＝－12.[2分]又a 1＝32，所以等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×⎝⎛⎭⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n .[3分] (2)证明 由(1)知，S n ＝1－⎝⎛⎭⎫－12n ， S n ＋1S n＝1－⎝⎛⎭⎫－12n ＋11－⎝⎛⎭⎫－12n＝⎩⎨⎧2＋12n (2n＋1)，n 为奇数，2＋12n(2n－1)，n 为偶数.[6分]当n 为奇数时，S n ＋1S n 随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 1＋1S 1＝136.[8分]当n 为偶数时，S n ＋1S n 随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 2＋1S 2＝2512.[10分]故对于n ∈N ＋，有S n ＋1S n ≤136.[12分]温馨提醒 (1)分类讨论思想在等比数列中应用较多，常见的分类讨论有 ①已知S n 与a n 的关系，要分n ＝1，n ≥2两种情况. ②等比数列中遇到求和问题要分公比q ＝1，q ≠1讨论. ③项数的奇、偶数讨论.④等比数列的单调性的判断注意与a 1，q 的取值的讨论.(2)数列与函数有密切的联系，证明与数列有关的不等式，一般是求数列中的最大项或最小项，可以利用图象或者数列的增减性求解，同时注意数列的增减性与函数单调性的区别.[方法与技巧] 1.已知等比数列{a n }(1)数列{c ·a n }(c ≠0)，{|a n |}，{a 2n }，{1a n }也是等比数列. (2)a 1a n ＝a 2a n －1＝…＝a m a n －m ＋1. 2.判断数列为等比数列的方法(1)定义法：a n ＋1a n ＝q (q 是不等于0的常数，n ∈N ＋)⇔数列{a n }是等比数列；也可用a n a n －1＝q (q 是不等于0的常数，n ∈N ＋，n ≥2)⇔数列{a n }是等比数列.二者的本质是相同的，其区别只是n 的初始值不同.(2)等比中项法：a2n＋1＝a n a n＋2(a n a n＋1a n＋2≠0，n∈N＋)⇔数列{a n}是等比数列.[失误与防范]1.特别注意q＝1时，S n＝na1这一特殊情况.2.由a n＋1＝qa n，q≠0，并不能立即断言{a n}为等比数列，还要验证a1≠0.3.在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误.4.等比数列性质中：S n，S2n－S n，S3n－S2n也成等比数列，不能忽略条件q≠－1.A组专项基础训练(时间：35分钟)1.已知等比数列{a n}中，a2＋a3＝1，a4＋a5＝2，则a6＋a7等于()A.2B.2 2C.4D.4 2答案 C解析因为a2＋a3，a4＋a5，a6＋a7成等比数列，a2＋a3＝1，a4＋a5＝2，所以(a4＋a5)2＝(a2＋a3)(a6＋a7)，解得a6＋a7＝4.2.等比数列{a n}满足a n＞0，n∈N＋，且a3·a2n－3＝22n(n≥2)，则当n≥1时，log2a1＋log2a2＋…＋log2a2n－1等于()A.n(2n－1)B.(n＋1)2C.n2D.(n－1)2答案 A解析由等比数列的性质，得a3·a2n－3＝a2n＝22n，从而得a n＝2n.方法一log2a1＋log2a2＋…＋log2a2n－1＝log2[(a1a2n－1)·(a2a2n－2)·…·(a n－1a n＋1)a n]＝log22n(2n－1)＝n(2n－1).方法二取n＝1，log2a1＝log22＝1，而(1＋1)2＝4，(1－1)2＝0，排除B，D；取n＝2，log2a1＋log2a2＋log2a3＝log22＋log24＋log28＝6，而22＝4，排除C，选A.3.在正项等比数列{a n}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，a n－1a n a n＋1＝324，则n等于()A.12B.13C.14D.15答案 C解析设数列{a n}的公比为q，由a1a2a3＝4＝a31q3与a4a5a6＝12＝a31q12，可得q9＝3，a n－1a n a n＋1＝a31q3n－3＝324，因此q3n－6＝81＝34＝q36，所以n ＝14，故选C.4.若正项数列{a n }满足lg a n ＋1＝1＋lg a n ，且a 2 001＋a 2 002＋…＋a 2 010＝2 016，则a 2 011＋a 2 012＋…＋a 2 020的值为( ) A.2 015·1010 B.2 015·1011 C.2 016·1010 D.2 016·1011答案 C解析 ∵lg a n ＋1＝1＋lg a n ，∴lg a n ＋1a n＝1， ∴a n ＋1a n＝10，∴数列{a n }是等比数列， ∵a 2 001＋a 2 002＋…＋a 2 010＝2 016，∴a 2 011＋a 2 012＋…＋a 2 020＝1010(a 2 001＋a 2 002＋…＋a 2 010)＝2 016×1010.5.已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若存在m ∈N ＋，满足S 2m S m ＝9，a 2m a m ＝5m ＋1m －1，则数列{a n }的公比为( )A.－2B.2C.－3D.3答案 B解析 设公比为q ，若q ＝1，则S 2mS m ＝2，与题中条件矛盾，故q ≠1.∵S 2mS m ＝a 1(1－q 2m )1－q a 1(1－q m )1－q ＝q m ＋1＝9，∴q m ＝8. ∴a 2m a m ＝a 1q 2m －1a 1q m －1＝q m ＝8＝5m ＋1m －1， ∴m ＝3，∴q 3＝8，∴q ＝2.6.等比数列{a n }中，S n 表示前n 项和，a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1，则公比q 为 . 答案 3解析 由a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1得 a 4－a 3＝2(S 3－S 2)＝2a 3， ∴a 4＝3a 3，∴q ＝a 4a 3＝3.7.等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比不为1.若a 1＝1，则对任意的n ∈N ＋，都有a n ＋2＋a n ＋1－2a n ＝0，则S 5＝ . 答案 11解析 由题意知a 3＋a 2－2a 1＝0，设公比为q ， 则a 1(q 2＋q －2)＝0.由q 2＋q －2＝0解得q ＝－2或q ＝1(舍去)，则S 5＝a 1(1－q 5)1－q＝1－(－2)53＝11.8.已知数列{a n }的首项为1，数列{b n }为等比数列且b n ＝a n ＋1a n，若b 10·b 11＝2，则a 21＝ . 答案 1 024解析 ∵b 1＝a 2a 1＝a 2，b 2＝a 3a 2，∴a 3＝b 2a 2＝b 1b 2， ∵b 3＝a 4a 3，∴a 4＝b 1b 2b 3，…，a n ＝b 1b 2b 3·…·b n －1， ∴a 21＝b 1b 2b 3·…·b 20＝(b 10b 11)10＝210＝1 024.9.数列{b n }满足：b n ＋1＝2b n ＋2，b n ＝a n ＋1－a n ，且a 1＝2，a 2＝4. (1)求数列{b n }的通项公式； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .解 (1)由b n ＋1＝2b n ＋2，得b n ＋1＋2＝2(b n ＋2)， ∴b n ＋1＋2b n ＋2＝2，又b 1＋2＝a 2－a 1＋2＝4， ∴数列{b n ＋2}是首项为4，公比为2的等比数列. ∴b n ＋2＝4·2n －1＝2n ＋1，∴b n ＝2n ＋1－2. (2)由(1)知，a n －a n －1＝b n －1＝2n －2 (n ≥2)， ∴a n －1－a n －2＝2n －1－2 (n >2)， …，a 2－a 1＝22－2，∴a n －2＝(22＋23＋…＋2n )－2(n －1)， ∴a n ＝(2＋22＋23＋…＋2n )－2n ＋2 ＝2(2n －1)2－1－2n ＋2＝2n ＋1－2n .∴S n ＝4(1－2n )1－2－n (2＋2n )2＝2n ＋2－(n 2＋n ＋4).10.已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝λ，a n ＋1＝23a n ＋n －4，b n ＝(－1)n (a n －3n ＋21)，其中λ为实数，n 为正整数.(1)证明：对任意实数λ，数列{a n }不是等比数列； (2)证明：当λ≠－18时，数列{b n }是等比数列. 证明 (1)假设存在一个实数λ，使{a n }是等比数列， 则有a 22＝a 1a 3，即⎝⎛⎭⎫23λ－32＝λ⎝⎛⎭⎫49λ－4 ⇔49λ2－4λ＋9＝49λ2－4λ⇔9＝0，矛盾. 所以{a n }不是等比数列.(2)b n ＋1＝(－1)n ＋1[a n ＋1－3(n ＋1)＋21]＝(－1)n ＋1⎝⎛⎭⎫23a n －2n ＋14 ＝－23(－1)n ·(a n －3n ＋21)＝－23b n . 又λ≠－18，所以b 1＝－(λ＋18)≠0.由上式知b n ≠0，所以b n ＋1b n ＝－23(n ∈N ＋). 故当λ≠－18时，数列{b n }是以－(λ＋18)为首项，－23为公比的等比数列. B 组 专项能力提升(时间：25分钟)11.设{a n }是各项为正数的无穷数列，A i 是边长为a i ，a i ＋1的矩形的面积(i ＝1,2，…)，则{A n }为等比数列的充要条件是( )A.{a n }是等比数列B.a 1，a 3，…，a 2n －1，…或a 2，a 4，…，a 2n ，…是等比数列C.a 1，a 3，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列D.a 1，a 3，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列，且公比相同答案 D解析 ∵A i ＝a i a i ＋1，若{A n }为等比数列，则A n ＋1A n ＝a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝a n ＋2a n 为常数，即A 2A 1＝a 3a 1，A 3A 2＝a 4a 2，….∴a 1，a 3，a 5，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…成等比数列，且公比相等.反之，若奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相等，设为q ，则A n ＋1A n ＝a n ＋2a n＝q ，从而{A n }为等比数列. 12.若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ . 答案 50解析 因为a 10a 11＋a 9a 12＝2a 10a 11＝2e 5，所以a 10a 11＝e 5.所以ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln(a 1a 2…a 20)＝ln [(a 1a 20)·(a 2a 19)·…·(a 10a 11)]＝ln(a 10a 11)10＝10ln(a 10a 11)＝10ln e 5＝50.13.数列{a n }满足a 1＝2且对任意的m ，n ∈N ＋，都有a n ＋m a m＝a n ，则a 3＝ ；{a n }的前n 项和S n ＝ . 答案 8 2n ＋1－2解析 ∵a n ＋m a m＝a n ， ∴a n ＋m ＝a n ·a m ，∴a 3＝a 1＋2＝a 1·a 2＝a 1·a 1·a 1＝23＝8；令m ＝1，则有a n ＋1＝a n ·a 1＝2a n ，∴数列{a n }是首项为a 1＝2，公比为q ＝2的等比数列，∴S n ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2. 14.定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f (x )，如果对于任意给定的等比数列{a n }，{f (a n )}仍是等比数列，则称f (x )为“保等比数列函数”.现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数： ①f (x )＝x 2：②f (x )＝2x ；③f (x )＝|x |；④f (x )＝ln |x |.则其中是“保等比数列函数”的f (x )的序号为 .答案 ①③解析 设{a n }的公比为q ，验证①f (a n ＋1)f (a n )＝a 2n ＋1a 2n ＝q 2，③f (a n ＋1)f (a n )＝|a n ＋1||a n |＝|q |，故①③为“保等比数列函数”. 15.已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ·a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫12n ，记T 2n 为{a n }的前2n 项的和，b n ＝a 2n ＋a 2n －1，n ∈N ＋.(1)判断数列{b n }是否为等比数列，并求出b n ；(2)求T 2n .解 (1)∵a n ·a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫12n ，∴a n ＋1·a n ＋2＝⎝⎛⎭⎫12n ＋1，∴a n ＋2a n ＝12，即a n ＋2＝12a n . ∵b n ＝a 2n ＋a 2n －1，∴b n ＋1b n ＝a 2n ＋2＋a 2n ＋1a 2n ＋a 2n －1＝12a 2n ＋12a 2n －1a 2n ＋a 2n －1＝12， ∵a 1＝1，a 1·a 2＝12， ∴a 2＝12⇒b 1＝a 1＋a 2＝32. ∴{b n }是首项为32，公比为12的等比数列. ∴b n ＝32×⎝⎛⎭⎫12n －1＝32n . (2)由(1)可知，a n ＋2＝12a n ， ∴a 1，a 3，a 5，…是以a 1＝1为首项，以12为公比的等比数列；a 2，a 4，a 6，…是以a 2＝12为首项，以12为公比的等比数列，∴T 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝1－⎝⎛⎭⎫12n1－12＋12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n1－12＝3－32n.。
第六章6.3 等比数列及其前n项和
和为 Sn，则 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n 仍成 等比数列，其公比为_q_n__.
＝1 这一特殊情形导致 解题失误．
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
基础知识·自主学习
基础自测
题号
1 2 3 4 5
答案
2n
51
2
2 D
基础知识
题型分类
思想方法
解析
练出高分
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/42021/9/4Saturday, September 04, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/42021/9/42021/9/49/4/2021 3:31:01 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/42021/9/42021/9/4Sep-214-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/42021/9/42021/9/4Saturday, September 04, 2021
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型三
等比数列的判定
思维启迪 解析 探究提高
【例 3】 已知数列{an}的前 n 项和 为 Sn，数列{bn}中，b1＝a1，bn＝ an－an－1 (n≥2)，且 an＋Sn＝n. (1)设 cn＝an－1，求证：{cn}是等 比数列；
(1)由 an＋Sn＝n 及 an＋1＋Sn＋1＝ n＋1 转化成 an 与 an＋1 的递推关系， 再构造数列{an－1}． (2)由 cn 求 an 再求 bn.
课件5：§6.3 等比数列及其前n项和
(2) [解]由(1)知 bn＝an＋1－2an＝3·2n－1，∴2ann＋＋11－a2nn＝34， 故a2nn是首项为12，公差为34的等差数列． ∴a2nn＝12＋(n－1)34＝3n4－1， 故 an＝(3n－1)·2n－2.
题型三 等比数列的性质及应用(高频考点题，多解突破)
考向一 am·an＝ap·aq 性质应用 1．已知各项不为 0 的等差数列{an}满足 a6－a72＋a8＝0，数列{bn}是等比
∴aa63＋＋aa96＝aa11qq52＋ ＋aa11qq85＝q3＝18，解得 q＝12，
∴a10＋a13＝(a6＋a9)q4＝12×(12)4＝312.
[答案]
1 32
考向互动探究
题型一 等比数列基本量的运算(基础保分题，自主练透)
考向一 求首项 a1，公比 q 或项数 n 1．已知等比数列{an}的公比为正数，且 a3a9＝2a25，a2＝2，则 a1＝( )
显然 q≠1，∴a4(qq－6－11)＝－a4qq－3(q13－1)，∴q3＝－12，∴q＝ 3 －12，
又
a2＋a5＝2am，则
a2(1＋q3)＝2a2qm－2，即12＝
(－1)
m2 3
·(
1 2
)
m5 3
，
∴m＝8. [答案] 8
3．设等比数列{an}满足 a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则 a1a2…an 的最大值为
(5)当 q≠－1，或 q＝－1 且 n 为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n 仍成等
比数列，其公比为
qn
.
[方法感悟] 1．由 an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证 a1≠0. 2．在运用等比数列的前 n 项和公式时，必须注意对 q＝1 与 q≠1 分类讨 论，防止因忽略 q＝1 这一特殊情形而导致解题失误． 3．Sn，S2n－Sn，S3n－S2n 未必成等比数列(例如：当公比 q＝－1 且 n 为偶 数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n 不成等比数列；当 q≠－1 或 q＝－1 且 n 为 奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n 成等比数列)，但等式(S2n－Sn)2＝Sn·(S3n－ S2n)总成立．
课件5：6.3 等比数列及其前n项和
5．(2013·北京高考)若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝ 40，则公比q＝________；前n项和Sn＝________.
[解析] 设等比数列的公比为 q，由 a2＋a4＝20，a3＋a5＝ 40.
得 20q＝40，且 a1q＋a1q3＝20，解之得 q＝2，且 a1＝2. 因此 Sn＝a111－－qqn＝2n＋1－2. [答案] 2 2n＋1－2
[解析] (1)设公比为 q，∵S3＝a2＋10a1，a5＝9， ∴aa11＋ q4＝a2＋ 9，a3＝a2＋10a1， ∴aa11qq24＝ ＝99a，1， 解得 a1＝19，故选 C.
(2)设数列{an}的公比为 q，S9－S3＝S6－S9，显然 q≠1， ∴a4qq－6－1 1＝－a4qq－3q13－1，∴q3＝－12， ∴q＝ 3 －12，又 a2＋a5＝2am，则 a2(1＋q3)＝2a2qm－2， 即12＝(－1)m－3 2·(12)m－3 5，∴m＝8.
(1)定义法：若aan＋n 1＝q(q 为非零常数)或aan－n 1＝q(q 为非零常 数且 n≥2)，则{an}是等比数列．
(2)中项公式法：若数列{an}中 an≠0 且 a2n＋1＝an·an＋2(n∈N ＋)，则数列{an}是等比数列．
(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均为不 为0的常数，n∈N＋)，则{an}是等比数列． (4)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数 且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列． 提醒：(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明， 而后两种方法常用于选择题、填空题中的判定.
拓展提高 等比数列性质应用中的常见题型与求解策略：
原创2：6.3 等比数列及其前n项和
所以
bn1 bn
amn (q q2 … qm ) am(n1) (q q2 … qm )
=
a mn a m(n1)
qm
(常数).bn+1-bn不是常数.
m1
又因为cn=(am(n-1))mq1+2+…+m= (a q m(n1) 2 )m ,
所以 cn1 ( amn )m (qm )m qm2 (常数).
2
数列{bn}是以-(λ+18)为首项， 3 为公比的等比数列.
【易错警示】解答本例第(2)题容易出现忽略对等比数列各项均不为零
的讨论而致误.
【规律方法】等比数列的判定方法
(1)定义法：若
a n1 an
=q(q为非零常数，n∈N*)或
an a n1
=q(q为非零常数
且n≥2,n∈N*)，则{an}是等比数列.
b.若数列{an},{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan},{|an|},
{1 an
},
{an2},{an·bn},
{an } bn
(λ≠0)仍然是等比数列；
c.在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即
an,an+k,an+2k,an+3k,…为等比数列，公比为qk.
(2)和的性质:
考点1 等比数列的基本运算
【例1】(1)等比数列｛an｝的前n项和为Sn，已知S3=a2+10a1，a5=9，
则a1=( )
A. 1
B. 1
C. 1
D. 1
3
3
9
9
(2)(2014·福建高考)在等比数列{an}中，a2=3,a5=81.
高中数学理科基础知识讲解《63等比数列及其前n项和》教学课件
B
--
考点3
--
考点3
考向2 等比数列和的性质及应用例4(1)(2019云南十一校调研)已知数列{an}是等比数列,Sn为其前n项和,若a1+a2+a3=4,a4+a5+a6=8,则S12等于( )A.40 B.60 C.32 D.50(2)已知数列{an}是各项都为正数的等比数列,Sn为其前n项和,且S10=10,S30=70,那么S40=( )A.150 B.-200C.150或-200 D.400
--
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)满足an+1=qan(n∈ N*,q为常数)的数列{an}为等比数列. ( )(2)G为a,b的等比中项⇔G2=ab. ( )(3)等比数列中不存在数值为0的项. ( )(4)如果{an}为等比数列,bn=a2n-1+a2n,那么数列{bn}也是等比数列. ( )(5)如果数列{an}为等比数列,那么数列{ln an}是等差数列. ( )(6)若数列{an}的通项公式是an=an,则其前n项和为 ( )
--
考点2
等比数列的判定与证明例2(2019全国2,理19改编)已知数列{an}和{bn}满足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4.(1)证明:{an+bn}是等比数列;(2)求{an}和{bn}的通项公式.
--
考点2
--
考点2
思考判断或证明一个数列是等比数列有哪些方法?解题心得1.证明数列{an}是等比数列常用的方法:(3)通项公式法,若数列通项公式可写成an=c·qn-1(c,q均是不为0的常数,n∈N*),则{an}是等比数列.2.若判断一个数列不是等比数列,则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.
课件4：§6.3等比数列及其前n项和
a3
8
即
整理有
由于
( - )
d2=-
可得
则有
( - )
而
),所以 dS4<0.
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4.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知对任意的 n∈N*,点(n,Sn)均在函数
y=bx+r(b>0 且 b≠1,b,r 均为常数)的图象上,则 r 的值是
.
【答案】-1
象是函数 y= qx 的图象上横坐标为正整数的一群点的集合;
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当 q>1,a1>0 或 0<q<1,a1<0 时,数列{an}是 递增
数列;
当 q>1,a1<0 或 0<q<1,a1>0 时,数列{an}是 递减
数列;
当 q=1 时,数列{an}是 常数列
算.a2,
3
1成等差数列
于是解得
所以
【答案】 B
得
1
2
3
已知公比大于零且不等于
.
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(2)已知数列{an}是递增的等比数列,a1+a4=9,a2a3=8,
则数列{an}的前n项和等于
【答案】 2n-1
.
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【解析】因为
+ = ,
+ = ,
所以
, 可以看做一元二次方程
= ,
= ,
6.3 等比数列及其前n项和
6.3等比数列及其前n项和挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点1.等比数列的通项公式与前n项和公式①理解等比数列的概念.②掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.③能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用有关知识解决相应的问题.④了解等比数列与指数函数的关系.2018课标Ⅲ,17,12分等比数列的通项公式及前n项和公式指数的运算★★★2017课标Ⅱ,3,5分等比数列的前n项和公式数学文化为背景的应用问题2016课标Ⅰ,15,5分等比数列的通项公式最值问题2.等比数列的性质2016课标Ⅲ,17,12分等比数列的判定由a n与S n的关系求数列的通项公式2015课标Ⅱ,4,5分等比数列的通项公式数列的概念及其表示分析解读本节是高考的考查热点,主要考查等比数列的基本运算和性质,等比数列的通项公式和前n项和公式,尤其要注意以数学文化为背景的数列题,题型既有选择题、填空题,也有解答题.考查学生的数学运算和逻辑推理能力以及学生对函数与方程、转化与化归和分类讨论思想的应用.破考点【考点集训】考点一等比数列的通项公式与前n项和公式1.(2018河南开封一模,5)已知等比数列{a n}的前n项和为S n,且9S3=S6,a2=1,则a1=()A.12B.√22C.√2D.2答案A2.(2018陕西延安黄陵中学(重点班)第一次大检测,10)已知公比不为1的等比数列{a n}的前n项和为S n,且满足a2,2a5,3a8成等差数列,则3S3S6=()A.134B.1312C.94D.1112答案C3(2018天津滨海新区七所重点学校联考,11)等比数列{a n}中,各项都是正数,且a1,12a3,2a2成等差数列,则a13+a14a14+a15=.答案√2-1考点二等比数列的性质A.2B.4C.92D.6答案B2.(2017福建4月模拟,6)已知递增的等比数列{a n}的公比为q,其前n项和S n<0,则()A.a1<0,0<q<1B.a1<0,q>1C.a1>0,0<q<1D.a1>0,q>1答案A3.设等比数列{a n}的前n项和为S n,若S6S3=3,则S9S6等于()A.2B.73C.83D.3答案B炼技法【方法集训】方法等比数列的判定与证明1.下列结论正确的是()A.若数列{a n }的前n 项和S n =n 2+n+1,则{a n }为等差数列B.若数列{a n }的前n 项和S n =2n -2,则{a n }为等比数列C.非零实数a,b,c 不全相等,若a,b,c 成等差数列,则1a ,1b ,1c 也可能构成等差数列D.非零实数a,b,c 不全相等,若a,b,c 成等比数列,则1a ,1b ,1c一定构成等比数列答案 D2.(2018河南信阳模拟,17)已知数列{a n }满足a 1=1,a n+1=2a n +λ(λ为常数). (1)试探究数列{a n +λ}是不是等比数列,并求a n ; (2)当λ=1时,求数列{n(a n +λ)}的前n 项和T n . 解析 (1)因为a n+1=2a n +λ,所以a n+1+λ=2(a n +λ). 又a 1=1,所以当λ=-1时,a 1+λ=0,数列{a n +λ}不是等比数列, 此时a n +λ=a n -1=0,即a n =1; 当λ≠-1时,a 1+λ≠0,所以a n +λ≠0,所以数列{a n +λ}是以1+λ为首项,2为公比的等比数列, 此时a n +λ=(1+λ)2n-1,即a n =(1+λ)2n-1-λ. (2)由(1)知a n =2n -1,所以n(a n +1)=n×2n , T n =2+2×22+3×23+…+n×2n ①, 2T n =22+2×23+3×24+…+n×2n+1②, ①-②得:-T n =2+22+23+…+2n -n×2n+1=2(1-2n )1-2-n×2n+1=2n+1-2-n×2n+1=(1-n)2n+1-2.所以T n =(n-1)2n+1+2.过专题 【五年高考】考点一 等比数列的通项公式与前n 项和公式A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏 答案 B2.(2015课标Ⅱ,4,5分)已知等比数列{a n }满足a 1=3,a 1+a 3+a 5=21,则a 3+a 5+a 7=( ) A.21 B.42 C.63 D.84 答案 B3.(2018课标Ⅲ,17,12分)等比数列{a n }中,a 1=1,a 5=4a 3. (1)求{a n }的通项公式;(2)记S n 为{a n }的前n 项和.若S m =63,求m. 解析 (1)设{a n }的公比为q,由题设得a n =q n-1. 由已知得q 4=4q 2,解得q=0(舍去)或q=-2或q=2. 故a n =(-2)n-1或a n =2n-1. (2)若a n =(-2)n-1,则S n =1-(-2)n 3.由S m =63得(-2)m =-188.此方程没有正整数解. 若a n =2n-1,则S n =2n -1.由S m =63得2m =64,解得m=6. 综上,m=6.考点二 等比数列的性质(2016课标Ⅰ,15,5分)设等比数列{a n }满足a 1+a 3=10,a 2+a 4=5,则a 1a 2…a n 的最大值为 . 答案 64考点一 等比数列的通项公式与前n 项和公式1.(2018北京,4,5分)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于√212.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为( )A.√23f B.√223f C.√2512f D.√2712f 答案 D2.(2017江苏,9,5分)等比数列{a n }的各项均为实数,其前n 项和为S n .已知S 3=74,S 6=634,则a 8= . 答案 32考点二 等比数列的性质1.(2016天津,5,5分)设{a n }是首项为正数的等比数列,公比为q,则“q<0”是“对任意的正整数n,a 2n-1+a 2n <0”的( ) A.充要条件 B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件 答案 C2.(2014广东,13,5分)若等比数列{a n }的各项均为正数,且a 10a 11+a 9a 12=2e 5,则lna 1+lna 2+…+lna 20= . 答案 50C 组 教师专用题组考点一 等比数列的通项公式与前n 项和公式1.(2014重庆,2,5分)对任意等比数列{a n },下列说法一定正确的是( )A.a1,a3,a9成等比数列B.a2,a3,a6成等比数列C.a2,a4,a8成等比数列D.a3,a6,a9成等比数列答案D2.(2013课标Ⅱ,3,5分,0.859)等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=()A.13B.-13C.19D.-19答案C3.(2012课标Ⅰ,5,5分)已知{a n}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则a1+a10=()A.7B.5C.-5D.-7答案D4.(2017北京,10,5分)若等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=-1,a4=b4=8,则a2b2=. 答案15.(2015湖南,14,5分)设S n为等比数列{a n}的前n项和.若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则a n=.答案3n-16.(2014天津,11,5分)设{a n}是首项为a1,公差为-1的等差数列,S n为其前n项和.若S1,S2,S4成等比数列,则a1的值为.答案-127.(2014安徽,12,5分)数列{a n}是等差数列,若a1+1,a3+3,a5+5构成公比为q的等比数列,则q=.答案18.(2016四川,19,12分)已知数列{a n}的首项为1,S n为数列{a n}的前n项和,S n+1=qS n+1,其中q>0,n ∈N *.(1)若2a 2,a 3,a 2+2成等差数列,求数列{a n }的通项公式;(2)设双曲线x 2-y 2a n2=1的离心率为e n ,且e 2=53,证明:e 1+e 2+…+e n >4n -3n3n -1.解析 (1)由已知,S n+1=qS n +1,S n+2=qS n+1+1, 两式相减得到a n+2=qa n+1,n ≥1. 又由S 2=qS 1+1得到a 2=qa 1, 故a n+1=qa n 对所有n ≥1都成立.所以,数列{a n }是首项为1,公比为q 的等比数列. 从而a n =q n-1.由2a 2,a 3,a 2+2成等差数列,可得 2a 3=3a 2+2,即2q 2=3q+2,则(2q+1)(q-2)=0, 由已知,q>0,故q=2.所以a n =2n-1(n ∈N *). (2)证明:由(1)可知,a n =q n-1.所以双曲线x 2-y 2a n 2=1的离心率e n =√1+a n2=√1+q 2(n -1). 由e 2=√1+q 2=53,解得q=43. 因为1+q 2(k-1)>q 2(k-1),所以√1+q 2(k -1)>q k-1(k ∈N *). 于是e 1+e 2+…+e n >1+q+…+q n-1=q n -1q -1, 故e 1+e 2+…+e n >4n-3n3n -1.9.(2015江苏,20,16分)设a 1,a 2,a 3,a 4是各项为正数且公差为d(d ≠0)的等差数列. (1)证明:2a 1,2a 2,2a 3,2a 4依次构成等比数列; 解析 (1)证明:因为2a n+12a n =2a n+1-a n =2d (n=1,2,3)是同一个常数,所以2a 1,2a 2,2a 3,2a 4依次构成等比数列.(2)令a 1+d=a,则a 1,a 2,a 3,a 4分别为a-d,a,a+d,a+2d(a>d,a>-2d,d ≠0).假设存在a 1,d,使得a 1,a 22,a 33,a 44依次构成等比数列,则a 4=(a-d)(a+d)3,且(a+d)6=a 2(a+2d)4. 令t=da ,则1=(1-t)(1+t)3,且(1+t)6=(1+2t)4(-12<t <1,t ≠0),化简得t 3+2t 2-2=0(*),且t 2=t+1.将t 2=t+1代入(*)式,得 t(t+1)+2(t+1)-2=t 2+3t=t+1+3t=4t+1=0,则t=-14. 显然t=-14不是方程t 2=t+1的解,矛盾,所以假设不成立, 因此不存在a 1,d,使得a 1,a 22,a 33,a 44依次构成等比数列.(3)假设存在a 1,d 及正整数n,k,使得a 1n ,a 2n+k ,a 3n+2k ,a 4n+3k 依次构成等比数列,则a 1n (a 1+2d)n+2k =(a 1+d)2(n+k),且(a 1+d)n+k (a 1+3d)n+3k =(a 1+2d)2(n+2k). 分别在两个等式的两边同除以a 12(n+k)及a 12(n+2k),并令t=d a 1(t >-13,t ≠0), 则(1+2t)n+2k =(1+t)2(n+k),且(1+t)n+k (1+3t)n+3k =(1+2t)2(n+2k).且(n+k)ln(1+t)+(n+3k)ln(1+3t)=2(n+2k)ln(1+2t). 化简得2k[ln(1+2t)-ln(1+t)]=n[2ln(1+t)-ln(1+2t)], 且3k[ln(1+3t)-ln(1+t)]=n[3ln(1+t)-ln(1+3t)].再将这两式相除,化简得ln(1+3t)ln(1+2t)+3ln(1+2t)ln(1+t)=4ln(1+3t)ln(1+t)(**). 则g'(t)=2[(1+3t)2ln(1+3t)-3(1+2t)2ln(1+2t)+3(1+t)2ln(1+t)](1+t)(1+2t)(1+3t).令φ1(t)=φ'(t),则φ'1(t)=6[3ln(1+3t)-4ln(1+2t)+ln(1+t)]. 令φ2(t)=φ'1(t),则φ'2(t)=12(1+t)(1+2t)(1+3t)>0. 由g(0)=φ(0)=φ1(0)=φ2(0)=0,φ'2(t)>0,知φ2(t),φ1(t),φ(t),g(t)在(-13,0)和(0,+∞)上均单调.故g(t)只有唯一零点t=0,即方程(**)只有唯一解t=0,故假设不成立.所以不存在a 1,d 及正整数n,k,使得a 1n ,a 2n+k ,a 3n+2k ,a 4n+3k依次构成等比数列. 评析 本题考查等差数列的定义、等比数列的运算和综合应用,考查演绎推理、直接证明、间接证明等逻辑思维能力.10.(2015山东,18,12分)设数列{a n }的前n 项和为S n .已知2S n =3n +3. (1)求{a n }的通项公式;(2)若数列{b n }满足a n b n =log 3a n ,求{b n }的前n 项和T n . 解析 (1)因为2S n =3n +3,所以2a 1=3+3,故a 1=3, 当n>1时,2S n-1=3n-1+3,此时2a n =2S n -2S n-1=3n -3n-1=2×3n-1,即a n =3n-1, 所以a n ={3,n =1,3n -1,n >1.(2)因为a n b n =log 3a n ,所以b 1=13,所以T 1=b 1=13; 当n>1时,T n =b 1+b 2+b 3+…+b n =13+[1×3-1+2×3-2+…+(n-1)×31-n ], 所以3T n =1+[1×30+2×3-1+…+(n-1)×32-n ], 两式相减,得2T n =23+(30+3-1+3-2+…+32-n )-(n-1)×31-n=23+1-31-n1-3-1-(n-1)×31-n =136-6n+32×3n ,所以T n =1312-6n+34×3n (n>1). 经检验,n=1时也适合. 综上可得T n =1312-6n+34×3n (n ∈N *).11.(2014课标Ⅱ,17,12分,0.299)已知数列{a n }满足a 1=1,a n+1=3a n +1. (1)证明{a n +12}是等比数列,并求{a n }的通项公式; (2)证明1a 1+1a 2+…+1a n<32.解析 (1)由a n+1=3a n +1得a n+1+12=3(a n +12). 又a 1+12=32,所以{a n +12}是首项为32,公比为3的等比数列. a n +12=3n2,因此{a n }的通项公式为a n =3n -12. (2)由(1)知1a n=23n -1. 因为当n ≥1时,3n -1≥2×3n-1,所以13n -1≤12×3n -1.于是1a 1+1a 2+…+1a n≤1+13+…+13n -1=32(1-13n )<32. 所以1a 1+1a 2+…+1a n<32. 评析 本题考查了等比数列的定义、数列求和等问题,放缩法求和是本题的难点.考点二 等比数列的性质1.(2018浙江,10,4分)已知a 1,a 2,a 3,a 4成等比数列,且a 1+a 2+a 3+a 4=ln(a 1+a 2+a 3).若a 1>1,则( )A.a 1<a 3,a 2<a 4B.a 1>a 3,a 2<a 4C.a 1<a 3,a 2>a 4D.a 1>a 3,a 2>a 4答案 B2.(2014大纲全国,10,5分)等比数列{a n }中,a 4=2,a 5=5,则数列{lga n }的前8项和等于( )A.6B.5C.4D.3答案 C3.(2015安徽,14,5分)已知数列{a n }是递增的等比数列,a 1+a 4=9,a 2a 3=8,则数列{a n }的前n 项和等于 .答案 2n -14.(2014江苏,7,5分)在各项均为正数的等比数列{a n }中,若a 2=1,a 8=a 6+2a 4,则a 6的值是 .答案 4【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2019届山东济南第一中学高三期中考试,7)在等比数列{a n }中,若a 3,a 7是方程x 2+4x+2=0的两根,则a 5的值是( )A.-2B.-√2C.±√2D.√2答案 B2.(2019届安徽黄山11月“八校联考”,7)设S n 是等比数列{a n }的前n 项和,S 4=5S 2,则a 52a 3a 8的值为( )A.±12B.±2C.±2或-1D.±12或-1答案 D3.(2018河南新乡二模,6)在公比为q 的正项等比数列{a n }中,a 4=4,则当2a 2+a 6取得最小值时,log 2q=( )A.14B.-14C.18D.-18答案 A4.(2018福建厦门模拟,8)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S n =2n+1+λ,则λ=( )A.-2B.-1C.1D.2答案 AA.a,b,c 依次成公比为2的等比数列,且a=507B.a,b,c 依次成公比为2的等比数列,且c=507C.a,b,c 依次成公比为12的等比数列,且a=507D.a,b,c 依次成公比为12的等比数列,且c=507答案 D6.(2017湖北六校联合体4月模拟,10)在数列{a n }中,a 1=1,a n+1=2a n ,则S n =a 12-a 22+a 32-a 42+…+a 2n -12-a 2n 2等于( ) A.13(2n -1) B.15(1-24n ) C.13(4n -1) D.13(1-2n ) 答案 B7.(2018湖南湘潭三模,9)已知等比数列{a n }的前n 项积为T n ,若a 1=-24,a 4=-89,则当T n 取最大值时,n 的值为( )A.2B.3C.4D.6答案 C二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2019届河北衡水中学高三第一次摸底考试,14)已知数列{a n },若数列{3n-1a n }的前n 项和T n =15×6n -15,则a 5的值为 .答案 169.(2019届广东化州高三第一次模拟考试,16)已知函数f(x)=e x e x +1,数列{a n }为等比数列,a n >0,a 1010=1,则f(lna 1)+f(lna 3)+…+f(lna 2019)= .答案 2019210.(2017江西仿真模拟,16)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足:a 1=1,a 2=2,S n +1=a n+2-a n+1(n ∈N *),若不等式λS n >a n 恒成立,则实数λ的取值范围是 .答案 (1,+∞)三、解答题(共25分)11.(2019届江西九江高三第一次十校联考,20)已知数列{a n }满足a n+1-a n-1=2(a n +a n-1)(n ≥2),a 1=1,a 2=7,令b n =a n+1+a n .(1)求证数列{b n }为等比数列,并求{b n }的通项公式;(2)求数列{a n }的前n 项和S n .解析 (1)∵a n+1-a n-1=2(a n +a n-1)(n ≥2),∴a n+1+a n =3(a n +a n-1).∵b n =a n+1+a n ,∴b n =3b n-1(n ≥2),又b 1=a 2+a 1=8≠0,∴数列{b n }是首项为8,公比为3的等比数列,(2)当n 为正偶数时,S n =(a 1+a 2)+(a 3+a 4)+…+(a n-1+a n )=b 1+b 3+…+b n-1=8(1-9n 2)1-9=3n -1.当n为正奇数时,S n=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+…+(a n-1+a n) =1+b2+b4+…+b n-1=1+24(1-9n-1 2)1-9 =3n-2.∴S n={3n-1,n为正偶数, 3n-2,n为正奇数.解后反思(1)证明数列为等比数列时,在运用定义证明的同时还要说明数列中不存在等于零的项,这一点容易被忽视.(2)数列求和时要根据数列通项公式的特点,选择合适的方法进行求解,求解时要注意确定数列的项数.12.(2018湖南郴州第二次教学质量检测,17)已知在等比数列{a n}中,a1=1,且a1,a2,a3-1成等差数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若数列{b n}满足b n=2n-1+a n(n∈N*),数列{b n}的前n项和为S n,试比较S n与n2+2n的大小.解析(1)设等比数列{a n}的公比为q,∵a1,a2,a3-1成等差数列,∴2a2=a1+(a3-1)=a3,∴q=a3a2=2,∴a n=a1q n-1=2n-1(n∈N*).(2)由(1)知b n=2n-1+a n=2n-1+2n-1,∴S n=(1+1)+(3+2)+(5+22)+…+(2n-1+2n-1)=[1+3+5+…+(2n-1)]+(1+2+22+…+2n-1)∵S n-(n2+2n)=-1<0,∴S n<n2+2n.方法点拨利用“分组求和法”求数列前n项和的常见类型有两种:一是通项为两个公比不相等的等比数列的和或差,可以分别用等比数列的求和公式求和后再相加减;二是通项为一个等差数列和一个等比数列的和或差,可以分别用等差数列的求和公式、等比数列的求和公式求和后再相加减.。
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a7 解:(1)∵a3a11= =4a7,且a7≠0,∴a7=4.∴b7=4.
2
∵{bn}为等差数列, ∴b5+b9=2b7=8.
4 a q6=1, ① (2)a1a2a3a4=a1·1q·1q ·1q = 1 a a a
2 3
4 a1 q a13a14a15a16=a1q12·1q13·1q14·1q15= ·54=8, ② a a a
答案：(1)ap·q (2)q2 (3)qn (4)递增 a
递减
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基础自测
).
1.等比数列{an}中a5=4,则a2a8等于( A.4 C.16 答案：C B.8 D.32
2.在等比数列{an}中,若a4=8,q=-2,则a7的值为( A.-64 C.-48 B.64 D.48
比为 .
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(4)单调性
a1 0, a1 0, 若 或 ⇔{an} q 1 0 q 1
a1 0, a1 0, 若 或 ⇔{an} 0 q 1 q 1
.
.
q=1⇔{an}为常数列,q<0⇔{an}为摆动数列.
4 a1 q 54 48 ②÷①得, =q =8⇒q16=2, 4 a1 q 6
a1 q a1 q q 又a41a42a43a44=a1q40·1q41·1q42·1q43= 4·166= 4·6·160 a a a
4 a 1 q (q =( ·6)· 16)10
=1·10=1 024. 2
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本课结束 谢谢观看
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提醒:(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法,常用于证明,而后两种方法常用于选 择题、填空题中的判定. (2)若要判定一个数列不是等比数列,则只需判定存在连续三项不成等比即可.
请做[针对训练]1
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二、等比数列的基本运算 【例2】 (2011吉林长春模拟)若等比数列{an}各项都是正数,a1=3,a1+ a2+a3=21,则a3+a4+a5的值为( A.21 C.63 B.42 D.84 ).
an+2k,an+3k,…为等比数列,公比为qk.
(3)an=am·n-m(n,m∈N*) q (4)若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am·n=ap·q; a a (5)若等比数列{an}的公比不为-1,前n项和为Sn,则Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,S4k-S3k是
等比数列. 请做[针对训练]4
答案：a1·n-1 q
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2.等比数列有关性质 (1)在等比数列中,若m+n=p+q,则am·n= a (m,n,p,q∈N*).
(2)间隔相同的项,如a1,a3,a5,…仍为等比数列,且公比为
.
(3)等比数列{an}的前n项和为Sn(Sn≠0),则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列,公
).
答案：A
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3.在1与4之间插入三个数使这五个数成等比数列,则这三个数分别是 .
2 2 2 答案： ,2,2 或- ,2,-2 2
4.设数列1,(1+2),…,(1+2+22+…+2n-1),…的前n项和为Sn,则Sn=
.
答案：2n+1-n-2
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思维拓展
请做[针对训练]2
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三、等比数列的性质及其应用 【例3-1】 (1)已知等比数列{an}中,有a3a11=4a7,数列{bn}是等差数列, 且b7=a7,求b5+b9的值.
(2)在等比数列{an}中,若a1a2a3a4=1,a13a14a15a16=8,求a41a42a43a44.
证明:(1)由a1=1,Sn+1=4an+2得a1+a2=4a1+2,a2=3a1+2=5, ∴b1=a2-2a1=3. 由Sn+1=4an+2, ① 则当n≥2时,有Sn=4an-1+2. ②
①-②得an+1=4an-4an-1,
∴an+1-2an=2(an-2an-1). 又∵bn=an+1-2an. ∴bn=2bn-1. ∴数列{bn}是首项为3,公比为2的等比数列.
答案： D
解析:由a1+a2+a3=21,得a1(1+q+q2)=21, ∴1+q+q2=7.
∴q=2或q=-3(舍). ∴a3+a4+a5=a1q2(1+q+q2)=84.
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方法提炼1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一
类基本问题,数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过 列方程(组)可迎刃而解. 2.解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式,并灵活运用, 在运算过程中,还应善于运用整体代换思想简化运算的过程. 3.在使用等比数列的前n项和公式时,应根据公比q的情况进行分类讨 论,切不可忽视q的取值而盲目用求和公式.
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【例3-2】 已知方程(x2-mx+2)(x2-nx+2)=0的四个根组成以 为首项的
等比数列,求 的值.
m n
1 2
解:设a,b,c,d是方程(x2-mx+2)(x2-nx+2)=0的四个根,不妨设a<c<d<b,
1 则a· =c· b d=2,a= ,故b=4,根据等比数列的性质,得到:c=1,d=2, 2 9 9 m 3 m 2 则m=a+b= ,n=c+d=3,或m=c+d=3,n=a+b= ,则 = 或 = . 2 2 n 3 n 2
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方法提炼1.等比数列的性质可以分为三类:(1)通
项公式的变形,(2)等比中项的变形,(3)前n 项和公式的变形.根据题目
条件,认真分析,发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.
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2.等比数列的常用性质 (1)数列{an}是等比数列,则数列{pan}(p≠0,p是常数)也是等比数列; (2)在等比数列{an}中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即an,an+k,
1.b2=ac是a,b,c成等比数列的什么条件?
提示:b2=ac是a,b,c成等比数列的必要不充分条件,∵当b=0时,a,c至少 有一个为零时,b2=ac成立,但a,b,c不成等比数列;若a,b,c成等比数列,则
必有b2=ac.
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2.数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=aqn+b,(a,b∈R),{an}是等比数列,则a,b
a1 n 提示:等比数列{an}的通项公式an=a1q 可改写为an= · .当q>0,且q≠ 1 q q
n-1
1 时,y=qx是一个指数函数,而y= ·x是一个不为0的常数与指数函数的 q 1 积,因此等比数列{an}的图象是函数y= ·x的图象上的一群孤立的点. q
a q
a q
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a an
a an 1
2,n∈N+),则{an}是等比数列.
(2)中项公式法:若数列{an}中,an≠0且=an·n+2(n∈N+),则数列{an}是等比数列. a (3)通项公式法:若数列通项公式可写成an=c·n-1(c,q均是不为0的常数,n∈N+),则{an}是 q 等比数列. (4)前n项和公式法:若数列{an}的前n项和Sn=k·n-k(k为常数且k≠0, q q≠0,1),则{an}是等比数列.
6.3 等比数列及其前n项和
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基础梳理自测
考点探究突破
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基础梳理自测
◎构建能力大厦的奠基石◎
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知识梳理
1.等比数列的相关概念 相关名词 定义 等比数列{an}的有关概念及公式
a n 1 an =q(q是常数且q≠0,n∈N*)或
n (2)由(1)可得bn=an+1-2an=3·n-1,∴ 1 = . 2 - n n n 1
a 2
a 2
3 4
n ∴数列 是首项为 ,公差为 的等差数列. n
a 2
1 2
3 4
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方法提炼等比数列的判定方法:
n n (1)定义法:若 1=q(q为非零常数,n∈N+)或 =q(q为非零常数且n≥
an an 1=q(q是常数且q≠0,n∈N*且n
≥2) 通项公式 前n项 a n= ,an=am·qn-m
和公式
,(q 1), ,(q Sn= 1)
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等比中项
如果三个数a,G,b组成等比数列, 则G叫做a和b的等比中项,且 .
a1 (1 q n ) 2 na1 1 q G =ab
考点探究突破
◎拓展升华思维的加油站◎
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一、等比数列的判定与证明 【例1】 设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2.
(1)设bn=an+1-2an,证明数列{bn}是等比数列;