初二数学证明检测试卷
(典型题)初中数学八年级数学下册第一单元《三角形的证明》检测题(含答案解析)
一、选择题1．如图，在Rt ABC △中，90,ACB AC BC ∠=︒≠．点P 是直角边所在直线上一点，若PAB △为等腰三角形，则符合条件的点P 的个数最多为（ ）A ．3个B ．6个C ．7个D ．8个2．如图，在ABC ∆中，∠ACB =90°，∠A =30°，BC =2，点D 在AB 上，连结CD ，将ADC ∆沿CD 折叠，点A 的对称点为E ，CE 交AB 于点F ，下列结论正确的个数是（ ） ①当BF =BC 时，EF =23-2；②当BF =BC 时，DEF ∆为直角三角形；③当DEF ∆为直角三角形，EF =23-2；④当DE 平行ABC ∆的边时，∠BCE =30°A ．1B ．2C ．3D ．43．如图，在ABC 中，AB ＝AC ＝6，且15ABC S =△，AD ，BE 是ABC 的两条高线，P 是AD 上一动点，则PC PE +的最小值是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．84．如图，在ABC 中，点A 、B 、C 的坐标分别为(,0)m 、(0,2)和(5,3)，则当ABC 的周长最小时，m 的值为（ ）A．0 B．1 C．2 D．35．下列各组线段a、b、c中不能组成直角三角形的是（）A．a＝7，b＝24，c＝25 B．a＝4，b＝5，c＝6C．a＝3，b＝4，c＝5 D．a＝9，b＝12，c＝156．如图，△ABC中，DC=2BD=2，连接AD，∠ADC=60°．E为AD上一点，若△BDE和△BEC都是等腰三角形，且AD=31，则∠ACB=（）A．60°B．70°C．55°D．75°7．如图，直线AB，CD交于点O，若AB，CD是等边△MNP的两条对称轴，且点P在直线CD上（不与点O重合），则点M，N中必有一个在（）A．∠AOD的内部B．∠BOD的内部C．∠BOC的内部D．直线AB上8．如图，在平面直角坐标系中，点A1在x轴的正半轴上，B1在第一象限，且△OA1B1是等边三角形．在射线OB1上取点B2，B3，…，分别以B1B2，B2B3，…为边作等边三角形△B1A2B2，△B2A3B3，…使得A1，A2，A3，…在同一直线上，该直线交y轴于点C．若OA1＝1，∠OA1C＝30°，则点B9的横坐标是（）A ．2552B ．5112C ．256D ．51329．如图，点B 是线段AC 上任意一点（点B 与点A ，C 不重合），分别以AB 、BC 为边在直线AC 的同侧作等边三角形ABD 和等边三角形BCE ，AE 与BD 相交于点G 、CD 与BE 相交于点F ，AE 与CD 相交于点H ，连HB ，则下列结论：①AE CD =；②120AHC ∠=︒；③HB 平分AHC ∠；④CH EH BH =+．其中正确的结论有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个10．如图所示，在ABC 中，90BAC ∠=︒，30ACB ∠=︒，AD BC ⊥于D ，BE 是ABC ∠的平分线，且交AD 于P ，如果1AP =，则AC 的长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．411．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()1,0，以线段OA 为边在第四象限内作等边ABO ，点C 为x 轴正半轴上一动点（1OC >），设点C 的坐标为(),0x ，连结BC ，以线段BC 为边的第四象限内作等边CBD ，直线DA 交y 轴于点E ，点E 的坐标是（ ）A ．()0,3B ．0,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()0,3D ．30,x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ 12．等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角是40°，则这一等腰三角形的底角为（ ）A ．65°B ．25°C ．50°D ．65°或25°二、填空题13．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，以A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ，再分别以M ，N 为圆心，大于12MN 长为半径画弧，两弧交于点O ，作射线AO ，交BC 于点E ．已知CB ＝8，BE ＝5，则点E 到AB 的距离为_____．14．如图，等腰三角形ABC 的面积为80，底边10BC =，腰AC 的垂直平分线EF 交,AC AB 于点E ，F ，若D 为BC 边中点，M 为线段EF 上一动点，则CDM 的周长最小值为________．15．如图，DE ∥BC ，AE ＝DE ＝1，BC ＝3，则线段CE 的长为_____．16．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝6，D 为BC 上一点，连接AD ，过点A作AE ⊥AD ，取AE ＝AD ，连接BE 交AC 于F ．当△AEF 为等腰三角形时，CD ＝_____．17．如图，D 是等边三角形ABC 外一点，3AD =，2CD =，则BD 的最大值是________________．18．如图，80AOB ∠=︒，OC 平分AOB ∠，如果射线OA 上的点E 满足OCE △是等腰三角形，那么OEC ∠的度数为________．19．如图，在ABC 中，AB BC =，30C ∠=︒，过点B 作BD BC ⊥，交AC 于点D ，若2CD =，则AD 的长为__________．20．如图，△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点D ，过点D 作EF ∥BC ，分别交AB 、AC 于点E 、F ．那么下列结论：①BD=DC ；②△BED 和△CFD 都是等腰三角形；③点D 是EF 的中点；④△AEF 的周长等于AB 与AC 的和．其中正确的有______．（只填序号）三、解答题21．如图1，直线AB ：y=43x ＋4分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，过点B 的直线交x 轴负半轴于点C ，将△BOC 沿BC 折叠，使点O 落在BA 上的点M 处．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）求线段BC 的长；（3）点P 为x 轴上的动点，当∠PBA=45°时，求点P 的坐标．22．如图，在ABC 中，AB BC =，90ABC ∠=︒，点E 在BC 上，点F 在AB 的延长线上，且AE CF =．（1）求证：ABE CBF △≌△；（2）若75ACF ∠=︒，求EAC ∠的度数．23．阅读下列材料，完成相应任务．三角形中边与角之间的不等关系学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．那么，不相等的边所对的角之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？下面是奋进小组的证明过程．如图1，在△ABC中，已知AB＞AC＞BC．求证：∠C＞∠B＞∠A．证明：如图2，将△ABC折叠，使边AC落在AB上，点C落在AB上的点C′处，折痕AD交BC于点D．则∠A C′D=∠C．∵∠A C′D=∠B+∠BDC′（依据1）∴∠A C′D＞∠B∴∠C＞∠B（依据2）如图3，将△ABC折叠，使边CB落在CA上，点B落在CA上的点B′处，折痕CE交AB于点E．则∠CB′E=∠B．∵∠CB′E=∠A+∠AEB′∴∠CB′E＞∠A∴∠B＞∠A∴∠C＞∠B＞∠A．归纳总结：利用轴对称的性质可以把研究边与角之间的不等问题，转化为较大量的一部分与较小量相等的问题，这是几何中研究不等问题是常用的方法．类似地，应用这种方法可以证明“在一个三角形中，大角对大边，小角对小边”的问题．如图1，已知△ABC中，∠C＞∠B＞∠A．求证：AB＞AC＞BC．下面是智慧小组的证明过程（不完整）．证明：如图2，在∠BCA的内部，作∠BCF=∠B，CF交AB于点F．则CF=BF（依据3）在△ACF中，AF+CF＞AC，∴AF+BF＞AC，∴AB＞AC；…任务一：①上述材料中依据1，依据2，依据3分别指什么？依据1：；依据2：；依据3：．②上述材料中不论是由边的不等关系，推出角的不等关系，还是由角的不等关系推出边的不等关系，都是转化为较大量的一部分与较小量相等的问题，再用三角形外角的性质或三边关系进而解决，这里主要体现的数学思想是_____________；（填正确选项的代码） A ． 转化思想 B ． 方程思想 C ． 数形结合思想任务二：请将智慧小组的证明过程补充完整，并在备用图中作出辅助线．任务三：根据上述材料得出的结论，判断下列说法，正确的有__________（将正确的代码填在横线处）．①在△ABC 中，AB ＞BC ，则∠A ＞∠B ；②在△ABC 中，AB ＞BC ＞AC ，∠C =89°，则△ABC 是锐角三角形；③Rt △ABC 中，∠B =90°，则最长边是AC ；④在△ABC 中，∠A =55°，∠B =70°，则AB =BC ．24．如图，已知点D 、E 是△ABC 内两点，且∠BAE ＝∠CAD ，AB ＝AC ，AD ＝AE ．（1）求证：ABD ACE △≌△．（2）延长BD 、CE 交于点F ，若86BAC ∠=︒，20ABD ∠=︒，求BFC ∠的度数． 25．如图，在ABC 中，AB AC =，100BAC ∠=︒，AD 是BC 边上的中线，且BD BE =，CD 的垂直平分线FM 交AC 于点F ，交BC 于点M ．（1）求ADE ∠的度数；（2）ADF 是什么三角形？说明理由．（3）若将题目中“100BAC ∠=︒”改为“∠BAC =120°”，且FM =4，其他条件不变，求AB 的长．26．如图，射线,ON OE OS OW ､､分别表示从点O 出发北､东､南､西四个方向，将直角三角尺的直角顶点与点O 重合．（1）图中与∠BOE 互余的角是____________或____________；（2）①用直尺和量角器作AOE ∠的平分线OP ；②在①所做的图形中，如果132AOE ∠=︒，那么点P 在点O 北偏东____________°的方向上（请说明理由）．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】分为三种情况：①BP=AB，②AP=AB，③AP=BP，再求出答案即可．【详解】解：作BC、AC所在直线，然后分别以B、A点为圆心，以AB为半径作圆分别交BC、AC 所在直线于6点，再作AB的垂直平分线与BC所在直线交于2点，总共符合条件的点P的个数最多有8个，故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，线段垂直平分线的性质．能求出符合的所有情况是解此题的关键．2．C解析：C【分析】由勾股定理可求A C 的长，利用折叠的性质和等腰三角形的性质依次计算可得①②正确．利用直角三角形分类讨论可知EF 有两种情况，③不正确，由平行内错角角相等可知④正确；【详解】解：①∵BF =BC ，且∠ABC =60°，∴BCF ∆为等边三角形，BF =CF =BC =2，ACAB =4，∵ADC ∆沿CD 折叠，∴CE =ACEF =CE -CF ，故①正确；②当BF =BC 时，∠EFD =∠BFC =60°，∴∠DEF =∠A =30°，∠EDF =90°，∴EDF ∆为直角三角形，故②正确；③当DEF ∆为直角三角形时，此处要分情况讨论，当∠EDF =90°时，∵∠DEF =∠A =30°，∴∠EFD =60°=∠BFC ，EF =EC -CF-2，当∠EFD =90°时，∵∠ABC =60°，∠BCF =30°，∴FCEF =EC -FC ，综上所述，EF ，故③错误；④当DE 平行于ABC ∆的边时，∵DE ∥BC ，∴∠EDF =∠ABC =60°，∵∠DEC =30°，∴∠BCF =∠DEC =30°，故④正确，故选C【点睛】本题考查了翻折变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质，由直角三角形的性质和勾股定理求出CA ，学会运用分类讨论是解题的关键． 3．B解析：B【分析】连接PB ，根据等腰三角形的性质和垂直平分线的性质计算即可；【详解】连接PB ，∵AB AC =，BD CD =，∴AD 是等腰△ABC 底边BC 边的中垂线，∴PB PC =，∴PC PE PB PE +=+，又PB PE BE +≥，∴B ，P ，E 三点共线时，PB PE +最小，即等于BE 的长，又∵△1152ABC S AC BE ==，6AC =， ∴5BE =；故答案选B ．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、垂直平分线的性质，结合轴对称的性质计算是解题的关键． 4．C解析：C【分析】做出B 关于x 轴对称点为B′，连接B′C ，交x 轴于点A'，此时ABC 的周长最小，由等腰直角三角形的性质可求∠OB'A'=∠OA'B'=45°，可求OB'=OA'=1，即可求解．【详解】解：如图所示，做出B 关于x 轴对称点为B′，连接B′C ，交x 轴于点A'，此时△ABC 周长最小过点C作CH⊥x轴，过点B'作B'H⊥y轴，交CH于H，∵B（0，2），∴B′（0，-2），∵C（5，3），∴CH= B′H=5，∴∠CB'H=45°，∴∠BB' A'=45°，∴∠OB'A'=∠OA'B'=45°，∴OB'=OA'=2，则此时A'坐标为（2，0）．m的值为2．故选：C．【点睛】此题考查了轴对称-最短路径问题，考查了轴对称的性质，等腰直角三角形的性质等知识，根据已知得出A点位置是解题关键．5．B解析：B【分析】根据判断三条线段是否能构成直角三角形的三边，需验证两小边的和的平方是否等于最长边的平方，分别对每一项进行分析，即可得出答案；【详解】A、222724=25+，能构成直角三角形；B、222+≠，不能构成直角三角形；45=416C、222+，能构成直角三角形；34=5D、222912=225=15+，能构成直角三角形；故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，用到的知识点是已知△ABC 的三边满足222+=a b c ，则△ABC 是直角三角形；6．D解析：D【分析】根据等腰三角形的性质求解即可；【详解】∵60EDC ∠=︒，∴60EBD BED ∠+∠=︒，∵△BDE 是等腰三角形，∴30EBD BED ∠=∠=︒，1BD DE ==，∵△BEC 是等腰三角形，∴30EBD ECD ∠=∠=︒，∵60EDC ∠=︒，∴90DEC ∠=︒，在Rt △DEC 中，∵30ECD ∠=︒，1DE =，∴tan 30DEEC ==︒又∵AD 1， ∴AE AD DE EC =-==，∴△AEC 为等腰三角形，又∵90DEC AEC ∠=∠=︒，∴45ECA EAC ∠=∠=︒，∴453075ACB ACE ECD ∠=∠+∠=︒+︒=︒；故答案选D ．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质应用，准确计算是解题的关键．7．D解析：D【分析】根据等边三角形是轴对称图形，利用轴对称图形的性质解决问题即可．【详解】解：如图，∵△PMN 是等边三角形，等边三角形的对称轴一定经过三角形的顶点，又∵直线CD ，AB 是△PMN 的对称轴，直线CD 经过点P ，∴直线AB 一定经过点M 或N ，故选：D ．【点睛】本题考查轴对称，等边三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．8．B解析：B【分析】利用待定系数法求得两条直线的解析式，根据等边三角形的性质，点的坐标规律，即可求解．【详解】解：∵OA 1=1，∠OA 1C=30︒，∴3 ∴点C 的坐标为(0，33-)， ∵A 1、A 2、A 3所在直线过点A 1(1，0)，C (0，33-， 设直线A 1A 2的解析式为3y kx =-∴30k =， ∴3k = ∴直线A 1A 2的解析式为3333y x =-， ∵△OA 1B 1为等边三角形，∴点B 1的坐标为(123， ∵B 1、B 2、B 3所在直线过点O(0，0)，B 1 (12，32)，同理可求得直线O B 1的解析式为y =，∵△OA 1B 1和△B 1A 2B 2为等边三角形，∴∠B 1OA 1=∠B 2 B 1A 2=60︒，∴B 1A 2∥OA 1，∵B 1 (12，∴A 2的纵坐标为2x = 解得：52x =，∴点A 2的坐标为(52， ∴B 1A 2=2，同理点B 2的坐标为(32，点B 3的坐标为(72，点B 4的坐标为(152， ，总结规律： B 1的横坐标为12， B 2的横坐标为13122+=， B 3的横坐标为171222++=， B 4的横坐标为11512422+++=， ，∴B 9的横坐标为1511124816326422+++++++=， 故选：B【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，点的坐标规律，等边三角形的性质，解决本题的关键是寻找点的坐标规律． 9．A解析：A【分析】利用等边三角形,ABD BCE 的性质，证明 ,ABE DBC ≌ 从而可判断①，由,ABE DBC ≌可得,EAB CDB ∠=∠ 再利用三角形的内角和定理可判断②，如图，过B 作BM AE ⊥交AE 于,M 过B 作BN DC ⊥交DC 于,N 利用全等三角形的对于高相等证明,BM BN = 从而可判断③，如图，在CH 上截取,HK HE = 连接,EK 证明EHK 为等边三角形，再证明,EHB EKC ≌ 可得,HB KC = 从而可判断④．【详解】解：,ABD BCE 为等边三角形， ,60,60BA BD ABD BC BE CE CBE ∴=∠=︒==∠=︒，，,ABD DBE CBE DBE ∴∠+∠=∠+∠ 即,ABE DBC ∠=∠(),ABE DBC SAS ∴≌,AE DC ∴= 故①符合题意；,ABE DBC ≌,EAB CDB ∴∠=∠,DGH AGB ∠=∠180,180,DHG CDB DGH ABD EAB AGB ∠=︒-∠-∠∠=︒-∠-∠60DHG ABD ∴∠=∠=︒，120AHC ∴∠=︒，故②符合题意； 如图，过B 作BM AE ⊥交AE 于,M 过B 作BN DC ⊥交DC 于,N,ABE DBC ≌,AE DC 为对应边，,BM BN ∴=HB ∴平分,AHC ∠ 故③符合题意；如图，在CH 上截取,HK HE = 连接,EK60,EHK AHD ∠=∠=︒EHK ∴为等边三角形，,60,EK EH HEK ∴=∠=︒60,60,HEK HEB FEK BEC FEK KEC ∠=︒=∠+∠∠=︒=∠+∠,HEB KEC ∴∠=∠,BE CE =(),EHB EKC SAS ∴≌,HB KC ∴=.CH CK HK BH EH ∴=+=+ 故④符合题意；综上：①②③④都符合题意，故选：.A【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，角平分线的判定，掌握以上知识是解题的关键．10．C解析：C【分析】由三角形的内角和定理和等腰三角形的性质，得到AP=BP=AE=PE=1，CE=BE=2，即可求出AC 的长度．【详解】解：∵在ABC 中，90BAC ∠=︒，30ACB ∠=︒，∴60ABC ∠=︒，∵AD BC ⊥于D ，BE 是ABC ∠的角平分线，∴30ABP DBP BAP ∠=∠=∠=︒，∴1AP BP ==，∵90BAC ∠=︒，30ACB ∠=︒，∴60EAP AEP ∠=∠=︒，∴△APE 是等边三角形，∴AP=BP=AE=PE=1，∵30DBP C ∠=∠=︒，∴CE=BE=1+1=2，∴213AC CE AE =+=+=；故选：C ．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题．11．A解析：A【分析】由等边三角形的性质可得AO ＝OB ＝AB ＝1，BC ＝BD ＝CD ，∠OBA ＝∠CBD ＝60°，可证△OBC ≌△ABD ，可得∠BAD ＝∠BOC ＝60°，可求∠EAO ＝60°，即可求OE 3点E 坐标．【详解】解：∵△AOB ，△BCD 是等边三角形，∴AO ＝OB ＝AB ＝1，BC ＝BD ＝CD ，∠OBA ＝∠CBD ＝60°，∴∠OBC ＝∠ABD ，且OB ＝AB ，BC ＝BD ，∴△OBC ≌△ABD （SAS ），∴∠BAD ＝∠BOC ＝60°，∴∠EAO ＝180°−∠OAB−∠BAD ＝60°，在Rt △AOE 中，AO ＝1，∠EAO ＝60°，∠OEA=30°，∴AE=2 AO=2，∴OE=2221-＝3，∴点E 坐标(0，3)，故选A ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，坐标与图形性质，灵活运用全等三角形的判定和性质是本题的关键．12．D解析：D【分析】由题意可知其为锐角等腰三角形或钝角等腰三角形，不可能是等腰直角三角形，所以应分开来讨论．【详解】解：①当为锐角等腰三角形时，如图：∵∠ADE ＝40°，∠AED ＝90°，∴∠A ＝50°，∴∠B=∠C=180502︒-︒ =65°； ②当为钝角等腰三角形时，如图：∵∠ADE ＝40°，∠AED ＝90°，∴∠BAC ＝∠ADE+∠AED ＝40°+90°＝130°，∴∠B=∠C=1801302︒-︒ =25°． 故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及三角形外角性质，分类讨论是正确解答本题的关键． 二、填空题13．【分析】根据作图过程可知AE 平分∠CAB 根据角平分线的性质即可得出结论【详解】解：根据作图过程可知：AE 平分∠CAB ∵CB ＝8BE ＝5∴CE ＝BC ﹣BE ＝8﹣5＝3∵∠C ＝90°∴EC ⊥AC ∴点E 到解析：【分析】根据作图过程可知AE 平分∠CAB ，根据角平分线的性质即可得出结论．【详解】解：根据作图过程可知：AE 平分∠CAB ，∵CB ＝8，BE ＝5，∴CE ＝BC ﹣BE ＝8﹣5＝3，∵∠C ＝90°，∴EC ⊥AC ，∴点E 到AB 的距离为3．故答案为：3．【点睛】本题考查了作图-基本做图，解决本题的关键是掌握基本的作图方法和理解角平分线的性质．14．21【分析】连接ADAM 由于△ABC 是等腰三角形点D 是BC 边的中点故AD ⊥BC 再根据三角形的面积公式求出AD 的长再根据EF 是线段AC 的垂直平分线可知点A 关于直线EF 的对称点为点CMA ＝MC 推出MC ＋解析：21【分析】连接AD ，AM ，由于△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，故AD ⊥BC ，再根据三角形的面积公式求出AD 的长，再根据EF 是线段AC 的垂直平分线可知，点A 关于直线EF 的对称点为点C ，MA ＝MC ，推出MC ＋DM ＝MA ＋DM≥AD ，故AD 的长为BM ＋MD 的最小值，由此即可得出结论．【详解】解：连接AD ，MA ．∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC＝12BC•AD＝12×10×AD＝80，解得：AD＝16，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点A关于直线EF的对称点为点C，MA＝MC，∴MC＋DM＝MA＋DM≥AD，∴AD的长为CM＋MD的最小值，∴△CDM的周长最短＝（CM＋MD）＋CD＝AD＋12BC＝16＋12×10＝21．故答案是：21．【点睛】本题考查的是轴对称−最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．15．【分析】由平行线的性质可得∠ADE=∠B由AE=DE=1可得∠ADE=∠DAE易得∠DAE=∠B可得AC=BC易得结果【详解】解：∵DE∥BC∴∠ADE＝∠B∵AE ＝DE＝1∴∠ADE＝∠DAE∴∠解析：【分析】由平行线的性质可得∠ADE=∠B，由AE=DE=1，可得∠ADE=∠DAE，易得∠DAE=∠B，可得AC=BC，易得结果．【详解】解：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∵AE＝DE＝1，∴∠ADE＝∠DAE，∴∠DAE＝∠B，BC＝3，∴AC＝BC＝3，∴CE＝AC﹣AE＝3﹣1＝2，故答案为：2．【点睛】本题主要考查了平行线的性质和等腰三角形的性质等，关键是运用性质定理得出AC=BC=3．16．2或6【分析】分两种情形：当AE=AF时如图1中过点E作EH⊥AC于H证明AH＝FH＝CF＝CD可得结论如图2中当AF＝EF时点D与D重合此时CD＝BC ＝6【详解】解：①当AE=EF时如图1中过点E解析：2或6【分析】分两种情形：当AE=AF 时，如图1中，过点E 作EH ⊥AC 于H ．证明AH ＝FH ＝CF ＝CD ，可得结论，如图2中，当AF ＝EF 时，点D 与D 重合，此时CD ＝BC ＝6【详解】解：①当AE=EF 时，如图1中，过点E 作EH ⊥AC 于H ．∵EA ＝EF ，EH ⊥AF ，∴AH ＝HF ，∵EA ⊥AD ，∴∠EAD ＝∠EHA ＝∠C ＝90°，∴∠EAH ＋∠CAD ＝90°，∠CAD ＋∠ADC ＝90°，∴∠EAH ＝∠ADC ，在△EHA 和△ACD ，EAH ADC EHA C AE DA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EHA ≌△ACD （AAS ），∴AH ＝CD ，EH ＝AC ＝CB ．在△EHF 和△BCF 中，EFH BFC EHF C EH BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EHF ≌△BCF （AAS ），∴FH ＝CF ，∴AH ＝FH ＝CF ＝CD ，∴CD ＝13AC ＝2， ②如图2中，当AF ＝EF 时，点B 与点D 重合，此时CD ＝BC ＝6综上所述，满足条件的CD的长度为2或6故答案为：2或6【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．17．5【分析】将AD顺时针旋转60°得连结可得AD=DD′=AD′可证△ABD′≌△ACD（SAS）可得BD′=CD由BD′+DD′≥BD当BD′D三点在一线时BD最大BD最大=BD′+DD′=5【详解解析：5【分析】将AD顺时针旋转60°，得AD'，连结BD'，可得AD=DD′=AD′，可证△ABD′≌△ACD （SAS），可得BD′=CD，由BD′+DD′≥BD，当B、D′、D三点在一线时，BD最大，BD最大=BD′+DD′=5．【详解】解：∵将AD顺时针旋转60°，得AD'，连结BD'，则AD=DD′=AD′，∴△ADD′是等边三角形，又∵等边三角形ABC，∴∠BAC=∠D AD'，∴∠BAD′+∠D′AC=∠CAD+∠D′AC=60°，∴AB=AC，AD′=AD，∴△ABD′≌△ACD（SAS），∴BD′=CD，∴BD′+DD′≥BD，当B、D′、D三点在一线时，BD最大，BD最大=BD′+DD′=CD+AD=2+3=5．故答案为：5．．【点睛】本题考查三角形旋转变换，等边三角形判定与性质，掌握三角形旋转变换的性质，等边三角形判定与性质，用三角形三边关系确定B、D′、D共线是解题关键．18．40°或70°或100°【分析】求出∠AOC根据等腰得出三种情况OE＝CEOC＝OEOC＝CE根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可【详解】解：∵∠AOB＝80°OC平分∠AOB∴∠AOC＝4解析：40°或70°或100°【分析】求出∠AOC，根据等腰得出三种情况，OE＝CE，OC＝OE，OC＝CE，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可．【详解】解：∵∠AOB＝80°，OC平分∠AOB，∴∠AOC＝40°，①当E在E1时，OE＝CE，∵∠AOC＝∠OCE＝40°，∴∠OEC＝180°﹣40°﹣40°＝100°；②当E在E2点时，OC＝OE，则∠OCE＝∠OEC＝12（180°﹣40°）＝70°；③当E在E3时，OC＝CE，则∠OEC＝∠AOC＝40°；故答案为：100°或70°或40°．【点睛】本题考查了角平分线定义，等腰三角形性质，三角形的内角和定理的应用，用了分类讨论思想．19．【分析】利用等腰三角形的性质判定证明BD=AD 利用直角三角形中30°角的性质计算BD 即可得解【详解】∵∴∠A=30°∠ABC=120°∵∴∠CBD=90°BD=1∴∠DBA=30°∴∠DBA=∠A ∴ 解析：1.【分析】利用等腰三角形的性质，判定，证明BD=AD ，利用直角三角形中30°角的性质计算BD 即可得解.【详解】∵AB BC =，30C ∠=︒，∴∠A=30°，∠ABC=120°，∵BD BC ⊥，2CD =，∴∠CBD=90°，BD=1，∴∠DBA=30°，∴∠DBA=∠A ，∴BD=AD ，∴AD=1.【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握性质，并灵活运用性质是解题的关键.20．②④【分析】由平行线得到角相等由角平分线得角相等根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质逐一判断即得答案【详解】解：∵EF ∥BC ∴∠EDB=∠DBC ∠FDC=∠DCB ∵∠ABC 与∠ACB 的平分线交于 解析：②④【分析】由平行线得到角相等，由角平分线得角相等，根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质逐一判断即得答案．【详解】解：∵EF ∥BC ，∴∠EDB=∠DBC ，∠FDC=∠DCB ，∵∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点D ，∴∠EBD=∠DBC ，∠FCD=∠DCB ，∴∠EDB =∠EBD ，∠FCD=∠FDC ，∴ED=EB ，FD=FC ，即△BED 和△CFD 都是等腰三角形；故②正确；∴△AEF 的周长为：AE+EF+AF=AE+ED+DF+AF=AB+AC ；故④正确；∵∠ABC 不一定等于∠ACB ，∴∠DBC 不一定等于∠DCB ，∴BD 与CD 不一定相等，故①错误．∵BE 与CF 无法判定相等，∴ED 与DF 无法判定相等，故③错误；综上，正确的有②④．故答案为：②④．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的性质及平行线的性质；题目利用了两直线平行，内错角相等，及等角对等边来判定等腰三角形；等量代换的利用是解答本题的关键．三、解答题21．（1）A （-3，0），B （0，4）；（2）BC ；（3）P （-28，0）或（47，0）【分析】（1）令0x =，求得y ，令0y =，求得x ，即可求解；（2）设OC=a ，在Rt △ACM 中，利用勾股定理列式计算可求得43a =，即可求解； （3）分点P 在点A 的右边和左边两种情况讨论，分别作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求解即可．【详解】（1）令0x =，4443y x =+=， 令0y =，4043x =+，则3x =-， ∴点A 的坐标为（-3，0），点B 的坐标为（0，4）；（2）设OC=a ，由折叠的性质可知：CM ⊥AB ，OC=CM=a ，OB=BM=4，由勾股定理得：5==，∴AM=1，在Rt △ACM 中，222AM MC AC +=，∴2221(3)a a +=-， ∴43a =， ∴222244()03341BC BO CO =+=+=； （3）如图，点P 在点A 的右边时，过P 作PG ⊥AB 于G ， ∵点A 的坐标为（-3，0），点B 的坐标为（0，4），∴OA<OB ，∴点P 在点O 的右边，设PO= m ，则AP=3m +，∵APB 1122S AB PG AP OB =⨯=⨯， ∴()435PG m =+， ()()()22224333355AG AP PG m m m ⎡⎤=-=+-+=+⎢⎥⎣⎦， ∵∠PBA=45°，∴△BPG 是等腰直角三角形，∴()435BG PG m ==+， ∵ AG BG AB +=，∴()()3433555m m +++=， 解得：47m =， 此时点P 的坐标为(47，0)； 如图，点P 在点A 的左边时，过P 作PH ⊥AB 于H ，设PO= n ，则AP=n 3-， ∵APB 1122S AB PH AP OB =⨯=⨯， ∴()4n 35PH =-， ()()()22224333355AH AP PH n n n ⎡⎤=-=---=-⎢⎥⎣⎦， ∵∠PBA=45°，∴△BPH 是等腰直角三角形，∴()435BH PH n ==-， ∵BH AH AB -=， ∴()()4333555n n ---=， 解得：28n =，此时点P 的坐标为(28-，0)；综上，点P 的坐标为(28-，0)或(47，0) ． 【点睛】本题考查了坐标与图形，一次函数的性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是作出合适的辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求解．22．（1）见详解；（2）15°【分析】（1）由AB ＝CB ，∠ABC ＝90°，AE ＝CF ，即可利用HL 证得Rt △ABE ≌Rt △CBF ；（2）由AB ＝CB ，∠ABC ＝90°，即可求得∠CAB 与∠ACB 的度数，即可得∠FCB 的度数，又由Rt △ABE ≌Rt △CBF ，即可求得∠EAB 的度数，再得出∠EAC 的度数即可．【详解】（1）证明：∵∠ABC ＝90°，∴△ABE 与△CBF 为直角三角形．∵在Rt △ABE 与Rt △BCF 中，AB BC AE CF⎧⎨⎩＝＝， ∴Rt △ABE ≌Rt △CBF （HL ）；（2）∵AB ＝BC ，∠ABC ＝90°，∴∠BAC ＝∠ACB ＝45°，∵∠ACF ＝75°，∴∠FCB ＝30°，∵Rt △ABE ≌Rt △CBF ，∴∠EAB ＝∠FCB ＝30°，∴∠EAC ＝45°-30°=15°．【点睛】此题考查了直角三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型．23．任务一：①依据1：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和； 依据2：等量代换；依据3：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（或等角对等边）； ②A ；任务二：见解析；任务三：②③④【分析】任务一：①根据三角形的外角性质、等量代换以及三角形中等角对等边性质即可写出依据；②根据分析过程渗透的思想为转化的思想方法；任务二：仿照推导AB ＞AC 的方法证明AC ＞BC 即可证明结论正确；任务三：根据结论“在一个三角形中，大角对大边，小角对小边，等边对等角”进行判断即可解答．【详解】解：任务一：①根据推导过程可知：依据1：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；依据2：等量代换；依据3：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（或等角对等边）；故答案为：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；等量代换；如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（或等角对等边）；②根据推导过程体现了转化的数学思想方法，故选：A ；任务二：智慧小组的证明过程补充如下：证明：如图2，在∠BCA 的内部，作∠BCF=∠B ，CF 交AB 于点F ．则CF=BF ，（等边对等角）在△ACF 中，AF+CF ＞AC ，∴AF+BF ＞AC ，∴AB ＞AC ；同理，如图，在∠ABC 的内部，作∠ABG=∠A ，BG 交AC 于点G ，如图，则AG=BG在△BCG 中，BG+CG ＞BC ，∴BG+CG ＞BC ，∴AC ＞BC∴AB ＞AC ＞BC ．任务三：①∵AB ＞BC ，∴∠C ＞∠A ，错误；②∵在△ABC 中，AB ＞BC ＞AC ，∠C=89°，∴∠C ＞∠A ＞∠B ，又∠C=89°＜90°，∴△ABC 是锐角三角形，正确；③∵Rt △ABC 中，∠B=90°，则最长边是斜边AC ，正确；④∵在△ABC 中，∠A=55°，∠B=70°，∴∠C=180°﹣∠A ﹣∠B=180°﹣55°﹣70°=55°，∴∠A=∠C∴AB=BC ，正确，故答案为：②③④．【点睛】本题考查三角形的边与角之间的不关系的推导及其应用，涉及三角形的外角性质、等腰三角形的等角对等边性质、三角形的内角和定理、判断三角形的形状、命题的证明等知识，掌握在一个三角形中，大角对大边，小角对小边这一性质的推导过程，会利用转化的思想进行命题的证明是解答的关键．24．（1）见解析；（2）126BFC ∠=︒．【分析】（1）由SAS 证明ABD ACE △≌△即可；（2）先由全等三角形的性质的20ACE ABD ∠=∠=︒再由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得47ABC ACB ∠=∠=︒，则27FBC FCB ∠=∠=︒，即可得出答案．【详解】（1）证明∵BAE CAD ∠=∠∴BAD CAE ∠=∠，在ABD △和ACE △中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABD ACE SAS △≌△()；（2）解：∵ABD ACE △≌△，∴20ACE ABD ∠=∠=︒，∵AB ＝AC ， ∴1(18086)472ABC ACB ∠=∠=︒-︒=︒， ∴472027FBC FCB ∠=∠=︒-︒=︒，∴1802727126BFC ∠=︒-︒-︒=︒．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质及判定、等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．25．（1）∠ADE =20°；（2）△ADF 是等腰三角形，证明见解析；（3）AB=16．【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠B 和∠C ，求出∠BDE ，即可求出答案；（2）根据垂直平分线的性质定理和等边对等角可求得∠FDC ，再根据三线合一和直角三角形两锐角互余可求得∠DAF 和∠ADF 得出它们相等即可得出△ADF 为等腰三角形；（3）可求得∠C=30°根据30°角所对直角边是斜边的一般可得FC ，可证明△ADF 为等边三角形即可求得AF ，从而求得AC ，继而求得AB ．【详解】解：（1）∵在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=100°，∴∠B=∠C=12×（180°-∠BAC ）=40°， ∵BD=BE ，∴∠BDE=∠BED=12×（180°-∠B ）=70°， ∵在△ABC 中，AB=AC ，AD 是BC 边上的中线，∴AD ⊥BC ，∴∠ADB=90°，∴∠ADE=∠ADB-∠BDE=20°；（2）△ADF 是等腰三角形，理由是：∵CD 的垂直平分线MF 交AC 于F ，交BC 于M ，∴DF=CF ，∵∠C=40°，∴∠FDC=∠C=40°，∵AD ⊥BC ，∴∠ADC=90°，∴∠DAF=90°-∠C=50°，∴∠ADF=50°，∴∠DAF=∠ADF ，∴AF=DF ，∴△ADF 是等腰三角形；（3）∵∠BAC =120°，AB=AC ，∴∠B=∠C=12×（180°-∠BAC ）=30°， 又∵AD 是BC 边上的中线，∴AD ⊥BC ，∴∠DAC=90°-∠C=60°，∵CD 的垂直平分线MF ，∴∠FMC=90°，DF=FC ，∴∠FDC=∠C=30°，∴∠ADF=∠ADC-∠FDC=60°，∠AFD=∠C+∠FDC=60°，∴△ADF 为等边三角形，AF=DF=FC ，∵MF=4，∴FC=2MF=8，∴AF= 8，∵AC=AF+CF=8+8=16，∵AB=AC ，∴AB=16．【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质，等边三角形的性质和判定，含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．26．（1）BON ∠；AOW ∠；（2）①见解析；②24︒，见解析【分析】（1）根据互余，平角的定义判断即可；（2）①作出角平分线即可；②利用角平分线的定义求出∠POE ，再求出∠NOP 即可解决问题；【详解】（1）90180AOB WOE ︒∠=∠=︒，，90AOW BOE ∴∠+∠=︒，90NOB BOE ∠+∠=︒， ∴图中与∠BOE 互余的角是BON ∠和AOW ∠；故答案为：BON ∠和AOW ∠；（2）①如图所示：②132AOE ∠=︒，OP 平分AOE ∠，1132662POE ∴∠=⨯︒=︒， 90NOE ∠=︒，906624NOB ∴∠=︒-︒=︒，∴点P 在点O 北偏东24︒的方向上；【点睛】本题考查了作图-应用与设计，角平分线的定义，方向角等知识解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题；。
初二数学图形与证明试题
初二数学图形与证明试题1.如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线，若在边AB上截取BE=BC，连接DE,则图中等腰三角形共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】D【解析】在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，求得∠ABC=∠C=72°，且△ABC是等腰三角形．因为BD是△ABC的角平分线所以∠ABD=∠DBC=36°所以△ABD是等腰三角形．在△BDC中有三角形的内角和求出∠BDC=72°所以△BDC是等腰三角形．所以BD=BC=BE 所以△BDE是等腰三角形．所以∠BDE=72°, 所以∠ADE=36°, 所以△ADE是等腰三角形．共5个．故选D．【考点】角平分线的定义，三角形内角和、外角和，平角的定义．2.（本题满分8分）如图，已知□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，四边形OCED为菱形．（1）求证：□ABCD是矩形；（2）连接AE、BE，AE与BE相等吗？请说明理由．【答案】（1）参见解析；（2）相等，理由参见解析．【解析】（1）利用对角线相等的平行四边形是矩形证得结论．（2）证明AE，BE，所在的三角形：△ADE≌△BCE，证得结论．试题解析：（1）∵四边形ABCD为平行四边形∴ AC=2OC，BD=2OD，∵四边形OCED是菱形∴OC=OD∴AC=BD又∵四边形ABCD为平行四边形，∴四边形ABCD是矩形．（2）∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，∠ADC=∠BCD=90º，∵四边形OCED是菱形，∴ DE=CE，∴∠EDC=∠ECD，∴∠EDC+∠ADC =∠ECD+∠BCD，∴∠ADE=∠BCE，∴△ADE≌△BCE （SAS），∴AE=BE．【考点】1．矩形性质与判定；2．菱形性质的应用；3．证线段相等的方法．3.如图，已知△ABC的面积为24，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且，四边形DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（）．A．8B．6C．4D．3【答案】A．【解析】如图，过点A作AM⊥BC于点M,根据三角形的面积公式可得图中阴影部分的面积为,,由四边形DCFE是平行四边形可得DE=CF,又因，DE=CF可得BC=3DE，所以,即．所以图中阴影部分的面积为=8．故答案选A．【考点】平行四边形的性质；三角形的面积公式．4.如图，在□ABCD中，AD=6，AB=4，DE平分∠ADC交BC于点E，则BE的长是（）A．2B．3C．4D．5【答案】A．【解析】由平行四边形的性质可得AD=BC=6，AB=CD=4，再由平行线的性质和角平分线的定义可证得∠CED=∠CDE，所以CE=CD=4，即可得BE=BC-CE=6-4=2．故答案选A．【考点】平行四边形的性质；平行线的性质；等腰三角形的性质．5.如图，四边形ABCD的对角线交于点O，从下列条件：①AD∥BC，②AB=CD，③AO=CO，④∠ABC=∠ADC中选出两个可使四边形ABCD是平行四边形，则你选的两个条件是．（填写一组序号即可）【答案】①③【解析】根据AD∥BC可得∠DAO=∠OCB，∠ADO=∠CBO，再根据AO=CO得出△AOD≌△COB，从而得出BO=DO，最后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得答案．【考点】平行四边形的判定6.（3分）如图，在正方形ABCD的内部作等边△ADE，连接BE，CE，则∠BEC的度数为．【答案】150°．【解析】由等边三角形的性质可得AD=DE，∠ADE=60°，由正方形的性质可得AD=DC，∠ADC=90°，所以DE=DC，CDE=∠ADC﹣∠ADE=90°﹣60°=30°，再根据等边对等角和三角形的内角和定理可得∠CED=∠ECD=（180°﹣30°）=75°，同理可得∠AEB=75°，所以∠BEC=360°﹣75°×2﹣60°=150°．【考点】正方形的性质；等边三角形的性质．7.若一个正方形的面积为8，则这个正方形的边长为（）A．4B．2C．D．8【答案】B【解析】正方形的面积等于正方形边长的平方，设正方形的边长为x，根据题意可得：=8，则x==2.【考点】正方形的性质8.（3分）下列各组数据中，不可以构成直角三角形的是（）A．7，24，25B．1.5，2，2.5C．，1，D．40，50，60【答案】D【解析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．解：A、72+242=625=252，故是直角三角形，不符合题意；B、1.52+22=6.25=2.52，故是直角三角形，不符合题意；C、12+（）2==（）2，故是直角三角形，不符合题意；D、402+502=4100≠602，故不是直角三角形，符合题意．故选：D．【考点】勾股定理的逆定理．9.已知E为平行四边形ABCD外一点，AE⊥CE，BE⊥DE，求证：平行四边形ABCD是矩形．【答案】详见解析.【解析】如图，连接AC、BD交于点O，连接OE，已知AE⊥CE，BE⊥DE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到OE=AC=BD，进而得到AC=BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形即可判定平行四边形ABCD是矩形．．试题解析：证明：连接AC、BD交于点O，连接OE，∵AE⊥CE，BE⊥DE，∴OE=AC=BD，∴AC=BD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD为矩形．【考点】平行四边形的性质；矩形的判定.10.如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB=4，AC=6，则BD的长是（）A．8B．9C．10D．11【答案】C．【解析】∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∴BO=DO，AO=CO，∵AB⊥AC，AB=4，AC=6，∴BO=，∴BD=2BO=10，故选C．【考点】1.平行四边形的性质；2.勾股定理．11.（8分）如图，已知平行四边形ABCD，延长BC至E，使CE=BC，连接AC，DE，求证：AC=DE．【答案】见试题解析【解析】根据平行四边形的判定和性质定理即可得到结论．试题解析：证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∵CE=BC，∴AD∥CE，AD=CE，∴四边形ACED是平行四边形，∴AC=DE．【考点】平行四边形的判定与性质．12.长方形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求DE的长．【答案】【解析】设DE=xcm，在折叠的过程中，BE=DE=x，AE=AB﹣BE=10﹣x，△ADE中，DE2=AE2+AD2，即x2=（10﹣x）2+16．∴x=（cm）．【考点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）．13.如图，在平四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，P为线段BC上一点（除端点外），连接PO并延长交AD于点Q，延长BC到点E，使CE=BC，连接DE．（1）求证：BP=DQ；（2）已知AB=5，AC=6，若CD=BE，求△BDE的周长．【答案】见试题解析【解析】（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，OB=OD，AD=BC，CD=AB，得出∠OBP=∠ODQ，由ASA证明△BOP≌△DOQ，得出对应边相等即可；（2）先证明四边形ACED是平行四边形，得出DE=AC=6，再证明△BDE是直角三角形，根据勾股定理求出BD，即可得出结果．试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OB=OD，AD=BC，CD=AB，∴∠OBP=∠ODQ，在△BOP和△DOQ中，，∴△BOP≌△DOQ（ASA），∴BP=DQ；（2）解：∵AD=BC，CE=BC，∴AD=CE=BC，∵AD∥BC，∴AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形，∴DE=AC=6，∵CD=BE，∴∠BDE=90°，BE=2CD=2AB=10，∴BD===8，∴△BDE的周长=BD+BE+DE=8+10+6=24．【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．14.如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AB=13cm，BC=12cm，AC=5cm，求：（1）CD的长；（2）作出△ABC的边AC上的中线BE，并求出△ABE的面积．（10分）【答案】（1）cm；（2）15cm2．【解析】(1)由勾股定理求得AB==13cm，再由S△ABC=×BC×AC=AB•CD即可求得CD的长；（2）已知BE为△ABC的边AC上的中线，根据S△ABE =S△ABC即可得△ABE的面积．试题解析：解：∵∠ACB=90°，BC=12cm，AC=5cm，∴AB==13cm，∵S△ABC=×BC×AC=30cm2，∴AB•CD=30，∴CD=cm；如图∵E为AC的中点，∴S△ABE =S△ABC=×30=15cm2．【考点】勾股定理；直角三角形面积的两种表示法；三角形的中线的性质．15.如图所示，折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，已知BC=10厘米，AB=8厘米，求EC的长。
初二数学证明试题答案及解析
初二数学证明试题答案及解析1.如图的算式中字母ABC分别表示各不相同的一个数字，则B= ．【答案】6【解析】利用竖式左侧5+5+9=19，结果下面为1，也就是前面7+8+B相加后进位是2，故C=2，2+4+4=10，则7+8+B=21．解：∵竖式左侧5+5+9=19，结果下面为1，∴C=2，∵2+4+4=10，应进位1，∴7+8+1+B=22，∴B=6．故答案为：6．点评：此题主要考查了推理与论证，根据加法法则分别分析得出C的值是解题关键．2.元旦联欢会上，林老师跟同学们玩猜匣游戏，礼物放在一只匣子中，谁猜中谁就可以得到这个礼物．三只匣子上都各有一句话．红匣子：礼物不在黄匣中；黄匣子：礼物不在此匣中；绿匣子：礼物在此匣中．林老师向同学们交了底：这三句话中，至少有一句是真的，而且至少有一句是假的．你猜猜看，礼物放在匣子中．【答案】红【解析】根据这三句话中，至少有一句是真的，而且至少有一句是假的，可以分别分析假设正确与否得出答案．解：根据红匣子：礼物不在黄匣中；黄匣子：礼物不在此匣中可以认为是对的，则绿匣子：礼物在此匣中，可以认为是错的．所以答案就是在红匣子．故答案为：红．点评：此题主要考查了推理论证，根据已知假设命题的真伪是解题关键．3.小明同学每天早上6：00钟起床，穿衣需要5min，煮早饭需要7min，他洗脸刷牙需要5min，吃早饭需要8min，吃完早饭就去上学，小明同学从开始起床到吃完早饭仅需要min．【答案】18【解析】本题需先根据题意得出最节省时间的方法，然后即可求出最少需要多少时间．解：小明起床后先煮饭需要7分钟，在煮饭的同时穿衣服需要5分钟、再刷牙需要5分钟，这时饭已煮完，在吃早饭需要8分钟所以小明同学从开始起床到吃完早饭仅需要18分钟．故答案为18．点评：本题主要考查了推理与论证，在解题时要注意统筹方法的应用．4.甲乙两个布袋中各有12个大小一样的小球，且都是红、白、蓝各4个．从甲袋中拿出尽可能少且至少两个颜色一样的球放入乙袋中，再从乙袋中拿出尽可能少的球放入甲袋中，使甲袋中每种颜色的球不少于3个，这时甲袋中有个球，乙袋中有个球（拿出时不能看）．【答案】19球，5球【解析】注意满足题中的要求：从甲袋中拿出尽可能少且至少两个颜色一样的球放入乙袋中，则从甲袋拿出最少要4个；再从乙袋中拿出尽可能少的球放入甲袋中，使甲袋中每种颜色的球不少于3个，则最少要拿11个，据此求解．解：从甲袋拿出最少要4个，才可以保证至少有两个颜色一样的球．不妨设是白球拿了两个，红蓝各拿了一个，现在乙袋中有5红，5蓝，6白，一袋中有3红3蓝2白；再从乙袋中拿球保证至少有一个白球就可以保证一袋每种颜色球都不少于3个，而乙袋5红，5蓝，6白，保证至少拿到一个白球，最少要拿11个，即刚好是5红，5蓝，1白．这样最后甲袋有12﹣4+11=19球，乙袋12+4﹣11=5球．点评：解决问题的关键是读懂题意，尽量满足题中的要求，即是求解的途径．5.如图，电路中有4个电阻和一个电流表A，若没有电流通过电流表A，问电阻器断路的可能情况共有种．【答案】8+3=11种【解析】要使没有电流通过电流表A，则若总路上的电阻是断开的，其它的三个电阻无论是断开，还是通的都可以，共有23=8种情况；若总路上的电阻是通的，则每一个支路都不能是通的，所以下面的电阻一定是断开的，上面的两个电阻只要有一个是断开的即可，有3种情况．故共有11种情况．解：本题分两种情况：①若主路的电阻不通，那么这个电路必为断路．因此共有2×2×2=8种可能；②若主路的电阻通电，那么两条支路必须同时为断路，因此共有3种可能．故电阻器断路的可能情况共有8+3=11种．点评：此题的学科综合性较强，能够结合物理中的知识进行分析求解是解答本题的关键．6.有一地球同步卫星A与地面四个科研机构B、C、D、E，它们两两之间可以互相接发信息，由于功率有限，卫星及每个科研机构都不能同时向两处发送信息（如A不能同时给B、C发信息，它可先发给B，再发给C），它们彼此之间一次接发信息的所需时间如右图所示．则一个信息由卫星发出到四个科研机构都接到该信息时所需的最短时间为．【答案】4【解析】首先卫星A传递信息给B用时1（秒），然后B传给C（3秒）；同时卫星传给E（1秒），信息传给D和C的时候同时进行，所有动作在4秒钟内结束．解：开始的时候，时间0秒，卫星传给B（1秒）第1秒钟时候，B传给C（3秒）；同时卫星传给E（1秒），第2秒钟的时候，E传给D，所有动作在4秒钟内结束，故接到该信息时所需的最短时间为4秒，故答案为4．点评：本题主要考查推理与论证的知识点，解答本题的关键是注意卫星传递信息的同时性，此题难度不大．7.某学生连续观察了n天的天气情况，观察结果是：①共有5个下午是晴天；②共有7个上午是晴天；③共有8个半天是雨天；④下午下雨的那天上午是晴天，则该学生观察的天数n= ．【答案】10【解析】他们每天上午、下午各测一次，七次上午晴，五次下午晴，共下八次雨，所以共测了20次，所以这个学生工观察了10天．解：由题意，知：这位学生每天测两次，总共测的次数为7+5+8=20；因此x=20÷2=10（天）．故答案为：10．点评：此题主要考查了推理论证，解决本题的关键是得到学生观察天气的规律：每天上午、下午各测一次．8.为了从500只外形相同的鸡蛋中找到唯一的一只双黄蛋，检查员将这些鸡蛋按1﹣500的顺序排成一列，第一次先从中取出序号为单数的蛋，发现其中没有双黄蛋，他将剩下的蛋的原来位置上又按1﹣250编号（即原来的2号变为1号，原来的4号变成2号，…，原来的500号变成250号）．又从中取出新序号为单数的蛋进行检查，任没有发现双黄蛋，…，如此下去，检查到最后的一个是双黄蛋，问这只双黄蛋最初的序号是．【答案】256【解析】根据题意，知第一次剩下的是原来编号中的偶数，有250个，第二次剩下的4的倍数，即22的倍数，剩下125个，第三次剩下的是23的倍数，剩下62个，以此类推，最后剩下1个，则需取8次，即剩下28=256．解：根据分析，知最后剩下的是号是28=256．点评：此题要能够正确分析每一次取走的是原来的什么号数以及每一次剩下的个数．9.甲、乙、丙、丁和小强五位同学单循环比赛象棋，到现在为止甲已经赛了四盘，乙赛了三盘，丙赛了二盘，丁赛了一盘，则小强赛了盘．【答案】2【解析】根据甲赛的盘数，可知甲与乙、丙、丁和小强4人各赛了一盘．然后探究乙、丙、丁和小强4人之间赛的盘数（设小强赛的盘数为x），进而得到小强赛的总盘数．解：乙、丙、丁和小强除去与甲赛的一盘后，在他们之间赛的盘数分别是：2、1、0、x．即丁只和甲赛了一盘，没与乙、丙、小强比赛，则乙、丙、小强之间赛的盘数分别为2、1、x，假设丙与小强赛了一盘，那么乙赛的两盘都是与小强赛的，这与单循环比赛相矛盾，是不可能的，所以丙与乙赛了一场，乙又与小强赛了一盘，小强与甲也赛了一盘，故小强共赛了2盘．故填2．点评：解决问题的关键是读懂题意，将实际问题转化为数学问题，利用数学知识进行探讨、解答实际问题．10.10位小运动员，他们着装的运动服号码分别是1﹣10，能否将这10位运动员按某种顺序站成一排，使得每相邻3名运动员号码数之和都不大于15？【答案】不可能【解析】首先计算所有的号码之和是55，若每相连的3个号码数都不大于15，则前9个号码数的和不大于3×15=45，这样导致第10个号码必须为10；同理，后9个号码的和不大于45，可得出第一个号码必须为10，显然这是不可能的．解：不能．理由如下：因为所有号码的总和为55，如果每相连的3个号码数都不大于15，则前9个号码数的和不大于3×15=45，故第10个号码数不小于10，即只能为10．同理，后9个号码数的和不大于45，故第1个号码数不小于10，因此，也必须为10，显然这是不可能的．点评：解决本题的关键是能够根据总数的和以及每相连的3个号码数都不大于15，进行综合分析．11.问：在8×8的国际象棋盘上最多可以放多少个“+”字形（其中每个“+”字形占据棋盘的5个小方格），使得任意两个“+”字形不重叠，且每个“+”字形都不超出棋盘的边界？证明你的结论．【答案】8个【解析】本题可根据小“+”字形的中心来求，那么小“+”字形的中心应该在6×6的方格中，每3×3的方格中最多可放2个因此“+”字形的最多的个数为8个． 解：8个．证明：设“+”字形的中心为中间的那个方格，显然所有的中心在6×6的方格内，而每个3×3的方格内最多放2个中心， 6×6的棋盘内够有3×3的个数为6×6÷（3×3）=4， 因此最多的个数应该是4×2=8个．点评：解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．12. 10名棋手参加比赛，规定：每两名棋手间都要比赛一次，胜者得2分，下和各得1分，输者得0分．比赛结果表明：棋手们所得分数各不相同，前两名棋手没输过，前两名的总分之和比第三名多20分，第四名得分与后四名得分总和相等，那么前六名得分分别是多少？ 【答案】17，16，13，12，11，9【解析】先设第k 名选手的得分为a k （1≤k≤10），得出a 1、a 2的值，再根据得出a 4≥12，求出a 3，再根据a 1≤a 3﹣1=12，求出a 4，最后根据a 1+a 2+a 3+…a 8+a 9+a 10=90分别求出a 5、a 6的值．解：设第k 名选手的得分为a k （1≤k≤10），依题意得：a 1＞a 2＞a 3＞…a 9＞a 10a 1≤1+2×（9﹣1）=17，a 2≤a 1﹣1=16，a 3+20=a 1+a 2，∴a 3≤13 ①，又后四名棋手相互之间要比赛=6场，每场比赛双方的得分总和为2分，∴a 7+a 8+a 9+a 10≥12，∴a 4≥12而a 3≥a 4+1≥13，②∴由①②得：a 3=13，∴a 1+a 2=33，∴a 1=17，a 2=16，又∵a 1≤a 3﹣1=12，∴a 4=12， ∵a 1+a 2+a 3+…a 8+a 9+a 10=×2=90，∴17+16+13+12+a 5+a 6+12=90，而a 5+a 6≤a 5+a 5﹣1，即：a 5≥10\frac{1}{2}，又a5＜a 4=12， ∴a 5=11，a 6=9，故前六名得分分别是：17，16，13，12，11，9．点评：本题考查了推理与论证；解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系是解题的关键．13. 我们的数学教材中有一个“抢30的游戏”，现在改为“甲、乙二人抢20”的游戏．游戏规则是：甲先说“1”或“1、2”乙接着甲的数往下说一个或两个数，然后又轮到甲再接着乙的数往下说一个或两个数，甲、乙反复轮流说，每次每人说一个或两个数都可以，但不能连续说三个数，也不能一个数也不说．谁先抢到20，谁就获胜．因为甲先说，你认为谁会获胜？请你分析获胜策略、推理说明获胜的道理． 【答案】第一个人必胜【解析】第一个人可以两个两个的说，也可以一个一个的说，还可以有时说一个，有时说两个，但不论第二个人怎样变化，2，5，8，11，17，20这些数的主动权都在第一个人手中． 解：第一个人必胜；因为是第一个人先说，所以主动权在第一个人，他肯定按2，5，8，11，17，20，报数，故第一个人必胜．点评：此题考查的知识点是推理与论证，解答此题需要逆向思维，因为是抢20，故应先从20倒推，20，17，11，8，5，2的顺序．14. 成都七中学生网站是由成都七中四大学生组织共同管理的网站，该网站是成都七中历史上首次由四大学生组织共同合作建成的一个学生网站，其内容囊括了成都七中学生学习及生活的各个方面．某学生在输入网址“http ：∥www ．cdqzstu ．com”中的“cdqzstu ．com”时，不小心调换了两个字母的位置，则可能出现的错误种数是（ ） A ．90 B ．45 C ．88 D ．44【答案】D【解析】“cdqzstu ．com”中字母有10个．相同字母有2个．若第一个错误的字母是第一个字母c ，那么c 和它后面除c 外任何一个字母调换后都可能出现错误，则错误的种类可能有8种．若第1个错误的字母是第二个字母d ，排除和第一个字母已经计算过的错误后，可能出现的错误应该有8种，按照此种方法，错误的种类依次为：7，6，5，4，3，2，1；共有：16+7+6+5+4+3+2+1=44种．解：“cdqzstu．com”中共有10个字母；若c与后面的字母分别调换，则有：10﹣1=9种调换方法；依此类推，调换方法共有：9+8+7+…+1=45种；由于10个字母中，有两个字母相同，因此当相同字母调换时，不会出现错误．因此出现错误的种数应该是：45﹣1=44种．故选D．点评：解答本题时需注意：相同字母调换后结果不会出现错误．15.图中小圆圈表示网络的结点，结点之间的连接表示它们有网线相连，相连标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，若信息可以分开沿不同路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（）A．11B．10C．8D．7【答案】C【解析】先找出从结点A向结点B传递信息可沿A﹣C﹣B和A﹣D﹣B路线同时传递，再找出每条路线通过的最大信息量，然后相加即可得到答案．解：由于信息可以分开沿不同路线同时传递，所以从结点A向结点B传递信息可经过结点D和结点B；又因为从结点A到结点D的最大信息量为5，从结点C到结点B的最大信息量为3，所以从结点A向结点B传递信息，若信息可以分开沿不同路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为5+3=8．故选C．点评：本题考查了推理与论证的方法：先分析题目所给的条件或要求，然后通过推理得到相关的结论．16.在一次1500米比赛中，有如下的判断：甲说：丙第一，我第三；乙说：我第一，丁第四；丙说：丁第二，我第三．结果是每人的两句话中都只说对了一句，则可判断第一名是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】B【解析】假设甲说的前半句话是正确的，即丙第一，则乙的后半句是正确的，即丁第四，则丙说的后半句应是正确的，出现矛盾，所以必须是甲说的后半句是正确的，即甲第三，所以丙说的前半句是正确的，即丁第二，所以乙说的前半句是正确的，即乙第一．解：根据分析，知第一名应是乙．故选B．点评：此类题应从假设出发，经过推理，如果得到矛盾，则假设错误，再进一步推理即可．17.某市初中12支排球队进行比赛，如果采用单循环赛制，一共举行几场比赛（）A．11B．12C．66D．72【答案】C【解析】一共有12支球队，每支队伍要比赛的场数为11场，因此共需比赛（12×11）场，由于采用单循环赛制，因此需将重复的比赛场数去掉，即比赛的场数为（12×11）÷2=66场．解：由于采用单循环赛制，则一共举行的比赛场数为：（12×11）÷2=66（场）．故选C．点评：解答本题的关键是理解单循环赛的规则，即：每两个队只比赛一场．18.用锯锯木，锯会发热；用锉锉物，锉会发热；在石头上磨刀，刀会发热，所以物体摩擦会发热．此结论的得出运用的方法是（）A．观察B．实验C．归纳D．类比【答案】C【解析】由多种现象得到一个规律属于归纳．解：由多种现象得到一个规律属于归纳．故选C．点评：本题考查归纳的形成．所谓归纳，是指通过对特例的分析来引出普遍结论的一种推理形式．它由推理的前提和结论两部分构成：前提是若干已知的个别事实，是个别或特殊的判断、陈述，结论是从前提中通过推理而获得的猜想，是普遍性的陈述、判断．19.甲、乙、丙、丁四位同学猜测自己的数学成绩，甲说：“如果我得优，那么乙也得优”；乙说：“如果我得优，那么丙也得优”；丙说：“如果我得优，那么丁也得优”，大家都没有说错，但只有三个人得优，请问甲、乙、丙、丁中谁没有得优（）A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】A【解析】此题含有一个隐含条件，也就是丁没有说：如果我得优，那么甲也得优…解题可以从这里突破．也就是丁得优，而甲不得优．由此进行推理即可得到结论．解：∵这个题还有一个隐含条件，也就是丁没有说：如果我得优，那么甲也得优…，也就是丁得优，而甲不得优．如果甲不得优，乙可得可不得优；如果乙不得优，而丁可以得优也可以不得优；如果丁一定要得优，因为题中说有3人得优，所以按反推法，有丙也得优；如果问题是1人得优，那肯定是丁，如果2人得优，那肯定是丁、丙．如果3人得优，那肯定是丁、丙、乙．故选A．点评：此题比较麻烦，首先要找出题目的隐含条件，然后利用隐含条件进行推理才能正确得出结论．20. A、B、C、D、E五支球队进行单循环比赛（每两支球队间都要进行一场比赛），当比赛进行到一定阶段时，统计A、B、C、D四个球队已赛过的场数，依次为A队4场，B队3场，C队2场，D队1场，这时，E队已赛过的场数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】首先利用已知得出A队必须和B、C、D、E这四个球队各赛一场，进而得出B队只能和C、D、E中的两个队比赛，再利用D队只赛过一场，得出B队必须和C、E各赛1场，即可得出E队赛过2场．解：A、B、C、D、E五支球队进行单循环比赛，已知A队赛过4场，所以A队必须和B、C、D、E这四个球队各赛一场，已知B队赛过3场，B队已和A队赛过1场，那么B队只能和C、D、E中的两个队比赛，又知D队只赛过一场（也就是和A队赛过的一场），所以B队必须和C、E各赛1场，这样满足C队赛过2场，从而推断E队赛过2场．故选：B．点评：此题主要考查了推理论证，利用A队比赛场数得出B队、D队比赛过的对应球队是解题关键．。
初二数学证明题(精选多篇)
初二数学证明题(精选多篇)第一篇：初二数学证明题初二数学证明题1、如图，ab=ac,∠bac=90°，bd⊥ae于d,ce⊥ae于e.且bd>ce ,证明bd=ec+ed.解答：证明：∵∠bac=90°，ce⊥ae，bd⊥ae，∴∠abd+∠bad=90°，∠bad+∠dac=90°，∠adb=∠aec=90°.∴∠abd=∠dac.又∵ab=ac，∴△abd≌△cae(aas).∴bd=ae，ec=ad.∵ae=ad+de，∴bd=ec+ed.2、△abc是等要直角三角形。
∠acb=90°，ad是bc边上的中线，过c做ad的垂线，交ab于点e，交ad于点f,求证∠adc=∠bde解：作ch⊥ab于h交ad于p，∵在rt△abc中ac=cb，∠acb=90°，∴∠cab=∠cba=45°.∴∠hcb=90°-∠cba=45°=∠cba.又∵中点d，∴cd=bd.又∵ch⊥ab，∴ch=ah=bh.又∵∠pah+∠aph=90°，∠pcf+∠cpf=90°，∠aph=∠cpf，∴∠pah=∠pcf.又∵∠aph=∠ceh，在△aph与△ceh中∠pah=∠ech，ah=ch，∠pha=∠ehc，∴△aph≌△ceh(asa).∴ph=eh，又∵pc=ch-ph，be=bh-he，∴cp=eb.在△pdc与△edb中pc=eb，∠pcd=∠ebd，dc=db，∴△pdc≌△edb(sas).∴∠adc=∠bde.2证明：作oe⊥ab于e，of⊥ac于f，∵∠3=∠4，∴oe=of.(问题在这里。
理由是什么埃我有点不懂)∵∠1=∠2，∴rt△obe≌rt△ocf(hl).∴∠5=∠6.∴∠1+∠5=∠2+∠6.即∠abc=∠acb.∴ab=ac.∴△abc是等腰三角形过点o作od⊥ab于d过点o作oe⊥ac于e再证rt△aod≌rt△aoe(aas)得出od=oe就可以再证rt△dob≌rt△eoc(hl)得出∠abo=∠aco再因为∠obc=∠ocb得出∠abc=∠abc得出等腰△abc41.e是射线ab的一点，正方形abcd、正方形defg有公共顶点d，问当e在移动时，∠fbh的大小是一个定值吗?并验证(过f作fm⊥ah于m，△ade全等于△mef证好了)2.三角形abc，以ab、ac为边作正方形abmn、正方形acpq1)若de⊥bc，求证：e是nq的中点2)若d是bc的中点，∠bac=90°，求证：ae⊥nq3)若f是mp的中点，fg⊥bc于g，求证：2fg=bc3.已知ad是bc边上的高，be是∠abc的平分线，ef⊥bc于f，ad与be交于g求证：1)ae=ag(这个证好了)2)四边形aefg是菱形第二篇：初二数学证明题测试例1、如图，ab∥cd，且∠abe=120°，∠cde=110°，求∠bed的度数。
初二上册数学证明练习题
初二上册数学证明练习题证明1：三角形的内角和为180度三角形是平面上三个点的连接线段，我们需要证明三角形的内角和为180度。
证明：设三角形的三个内角分别为A、B、C，现证明A+B+C=180度。
首先，我们可以通过画一条线段，将三角形分成两个小三角形，如下图所示：A/ \/ \/____\B C对于三角形ABC，我们将其分成两个小三角形ABD和ACD。
根据直角三角形的性质，我们可以知道直角三角形ABD的内角B = 90度。
同样地，直角三角形ACD的内角C = 90度。
而根据全角的性质，我们知道直线AD上的所有内角之和为180度。
即，由于直线AD是三角形ABC的边，我们可以得出等式：B + A + C = 180度。
综上所述，我们证明了三角形的内角和为180度。
证明2：正方形的对角线相等正方形是一个具有四个相等边且四个内角均为直角的四边形，我们需要证明正方形的对角线相等。
证明：设正方形ABCD的边长为a，对角线AC和BD的长度分别为d1和d2。
我们需要证明d1 = d2。
首先，我们可以通过连接顶点A和顶点C，构成直角三角形ACD 和直角三角形ABC。
根据勾股定理，我们可以得到直角三角形ACD的斜边AC的长度为d1：AC² = AD² + CD²同样地，我们可以得到直角三角形ABC的斜边AC的长度为d2：AC² = AB² + BC²因为正方形的边长均为a，所以我们可以得到以下等式：AD = CD = BC = AB = a将以上等式代入勾股定理的公式中，我们可以得到：d1 = a² + a² = 2a²d2 = a² + a² = 2a²因此，d1 = d2。
综上所述，我们证明了正方形的对角线相等。
证明3：平行四边形的对角线互相平分平行四边形是具有两对平行的边的四边形，我们需要证明平行四边形的对角线互相平分。
初二数学图形与证明试题
初二数学图形与证明试题1. 如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，AC 在直线l 上．将△ABC 绕点A 顺时针旋转到位置①，可得到点P 1，此时AP 1=2；将位置①的三角形绕点P 1顺时针旋转到位置②，可得到点P 2，此时AP 2=2＋；将位置②的三角形绕点P 2顺时针旋转到位置③，可得到点P 3，此时AP 3=3＋；…，按此规律继续旋转，直到得到点P 2014为止，则P 1P 2014=（ ）．A ．2012＋671B ．2013＋671C ．2014＋671D ．2015＋671【答案】B ．【解析】从整个运动过程分析，可以判断该旋转变换在做以3为周期的周期运动，此为解题的关键性结论；由＝，，…可以发现线段（n 为大于1的自然数）的长存在等差关系，运用此规律即可解决问题，而2012=670×3+2，所以=．故选：B ．【考点】旋转的性质；图形的变化规律类问题．2. 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC 的角平分线AD 交BC 于点D ，CD=2，则点D 到AB 的距离等于 ．【答案】2．【解析】∵∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，CD=2，∴点D 到AB 的距离等于2，根据角分线上的点到角的两边距离相等．【考点】角平分线性质定理的运用．3. 如图，已知平行四边形ABCD 的面积是32，点0是平行四边形ABCD 对角线的交点，OE ∥AD 交CD 于点E, OF ∥AB 于点F ，那么△EOF 的面积是______________．【答案】4．【解析】∵平行四边形的对角线互相平分，∴OB=OD,∴S △BOC =S △DOC ,∵OE ∥AD,OA=OC,∴CE=DE,∴S △OCE =S △DOE ,同理CF=BF,S △BOF =S △COF ,∴S △OEF =S 四边形OFCE =S △BCD ,∵平行四边形ABCD 的面积是32,∴△BCD 的面积是16，∴S △OEF =S △BCD =×16=4．【考点】1．平行四边形性质；2．三角形中位线定理；3．三角形面积计算．4. （10分）如图，在矩形ABCD 中，AB=4cm ，BC=8cm ，AC 的垂直平分线EF 分别交AD ，BC于点E，F，垂足为点O．（1）连接AF，CE，求证：四边形AFCE为菱形。
初中数学证明题练习5套(含答案)
初中数学证明题练习5套（含答案）（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ．求证：CD ＝GF ．（初二）证明：过点G 作GH ⊥AB 于H ，连接OE ∵EG ⊥CO ，EF ⊥AB∴∠EGO=90°，∠EFO=90° ∴∠EGO+∠EFO=180° ∴E 、G 、O 、F 四点共圆 ∴∠GEO=∠HFG∵∠EGO=∠FHG=90° ∴△EGO ∽△FHG∴FG EO =HGGO∵GH ⊥AB ，CD ⊥AB ∴GH ∥CD ∴CD CO HG GO = ∴CD CO FG EO = ∵EO=CO ∴CD=GF 2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内部的一点，∠PAD ＝∠PDA ＝15°。
求证：△PBC 是正三角形．（初二） 证明：作正三角形ADM ，连接MP ∵∠MAD=60°，∠PAD=15° ∴∠MAP=∠MAD+∠PAD=75° ∵∠BAD=90°，∠PAD=15°∴∠BAP=∠BAD-∠PAD=90°-15°=75° ∴∠BAP=∠MAP ∵MA=BA ，AP=AP ∴△MAP ≌△BAP∴∠BPA=∠MPA ，MP=BP 同理∠CPD=∠MPD ，MP=CP ∵∠PAD ＝∠PDA ＝15°∴PA=PD ，∠BAP=∠CDP=75° ∵BA=CD∴△BAP ≌∠CDP ∴∠BPA=∠CPD∵∠BPA=∠MPA ，∠CPD=∠MPD ∴∠MPA=∠MPD=75°∴∠BPC=360°-75°×4=60°∵MP=BP ，MP=CP ∴BP=CP ∴△BPC 是正三角形3、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．证明:连接AC ，取AC 的中点G,连接NG 、MG ∵CN=DN ，CG=DG∴GN ∥AD ，GN=21AD∴∠DEN=∠GNM ∵AM=BM ，AG=CG∴GM ∥BC ，GM=21BC∴∠F=∠GMN ∵AD=BC ∴GN=GM∴∠GMN=∠GNM ∴∠DEN=∠F（二）1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥BC 于M ． （1）求证：AH ＝2OM ；（2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二）证明：（1）延长AD 交圆于F ，连接BF ，过点O 作OG ⊥AD 于G∵OG ⊥AF ∴AG=FG ∵AB ⌒ =AB⌒ ∴∠F=∠ACB又AD ⊥BC ，BE ⊥AC ∴∠BHD+∠DBH=90° ∠ACB+∠DBH=90° ∴∠ACB=∠BHD ∴∠F=∠BHD∴BH=BF 又AD ⊥BC ∴DH=DF∴AH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2DH=2（GH+DH ）=2GD 又AD ⊥BC ，OM ⊥BC ，OG ⊥AD ∴四边形OMDG 是矩形 ∴OM=GD ∴AH=2OM （2）连接OB 、OC∵∠BAC=60∴∠BOC=120° ∵OB=OC ，OM ⊥BC∴∠BOM=21∠BOC=60°∴∠OBM=30°∴BO=2OM由（1）知AH=2OM ∴AH=BO=AO2、设MN 是圆O 外一条直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条割线交圆O 于B 、C 及D 、E ，连接CD 并延长交MN 于Q ，连接EB 并延长交MN 于P. 求证：AP ＝AQ ．证明：作点E 关于AG 的对称点F ，连接AF 、CF 、QF ∵AG ⊥PQ ∴∠PAG=∠QAG=90°又∠GAE=∠GAF ∴∠PAG+∠GAE=∠QAG+∠GAF 即∠PAE=∠QAF∵E 、F 、C 、D 四点共圆 ∴∠AEF+∠FCQ=180° ∵EF ⊥AG ，PQ ⊥AG ∴EF ∥PQ∴∠PAF=∠AFE ∵AF=AE∴∠AFE=∠AEF ∴∠AEF=∠PAF ∵∠PAF+∠QAF=180° ∴∠FCQ=∠QAF ∴F 、C 、A 、Q 四点共圆 ∴∠AFQ=∠ACQ 又∠AEP=∠ACQ ∴∠AFQ=∠AEP3、设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）证明：作OF ⊥CD 于F ，OG ⊥BE 于G ，连接OP 、OQ 、OA 、AF 、AG ∵C 、D 、B 、E 四点共圆 ∴∠B=∠D ，∠E=∠C ∴△ABE ∽△ADC∴DF BG FD 2BG 2DC BE AD AB === ∴△ABG ∽△ADF ∴∠AGB=∠AFD ∴∠AGE=∠AFC ∵AM=AN ， ∴OA ⊥MN 又OG ⊥BE ，∴∠OAQ+∠OGQ=180° ∴O 、A 、Q 、E 四点共圆 ∴∠AOQ=∠AGE 同理∠AOP=∠AFC ∴∠AOQ=∠AOP在△AEP 和△AFQ 中 ∠AFQ=∠AEP AF=AE ∠QAF=∠PAE ∴△AEP ≌△AFQ ∴AP=AQ又∠OAQ=∠OAP=90°，OA=OA ∴△OAQ ≌△OAP ∴AP=AQ4、如图,分别以△ABC 的AB 和AC 为一边,在△ABC 的外侧作正方形ABFG 和正方形ACDE ，点O 是DF 的中点，OP ⊥BC 求证：BC=2OP （初二）证明：分别过F 、A 、D 作直线BC 的垂线，垂足分别是L 、M 、N ∵OF=OD ，DN ∥OP ∥FL∴PN=PL∴OP 是梯形DFLN 的中位线 ∴DN+FL=2OP ∵ABFG 是正方形 ∴∠ABM+∠FBL=90° 又∠BFL+∠FBL=90° ∴∠ABM=∠BFL又∠FLB=∠BMA=90°，BF=AB ∴△BFL ≌△ABM ∴FL=BM同理△AMC ≌△CND ∴CM=DN∴BM+CN=FL+DN ∴BC=FL+DN=2OP（三）1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．求证：CE ＝CF ．（初二）证明：连接BD 交AC 于O 。
初二数学图形与证明试题
初二数学图形与证明试题1.（本小题12分）已知□ABCD，对角线AC与BD相交于点O，点P在边AD上，过点P分别作PE⊥AC、PF⊥BD，垂足分别为E、F，PE＝PF．（1）如图，若PE＝，EO＝1，求∠EPF的度数；（2）若点P是AD的中点，点F是DO的中点，BF＝BC＋3－4，求BC的长．【答案】（1）∠EPF＝60°．（2）BC＝4．【解析】（1）连结PO ,根据条件 PE⊥AC、PF⊥BD， PE＝PF，可证明∠EPO＝∠FPO．然后在在Rt△PEO中，利用三角函数可求出∠EPF＝60°．（2）根据条件点P是AD的中点，点F是DO的中点，可证得OA=OD,然后可得出□ABCD是矩形．然后根据条件可证明□ABCD是正方形．从而得到BD＝BC．BF ＝BD，代入BF ＝BC＋3－4，可求出BC的长．试题解析：（1）连结PO ,∵PE＝PF，PO＝PO，PE⊥AC、PF⊥BD，∴Rt△PEO≌Rt△PFO．∴∠EPO＝∠FPO．在Rt△PEO中，，∴∠EPO＝30°．∴∠EPF＝60°．5分（2）∵点P是AD的中点，∴AP＝DP．又∵PE＝PF，∴Rt△PEA≌Rt△PFD．∴∠OAD＝∠ODA．∴OA＝OD．6分∴AC＝2OA＝2OD＝BD．∴□ABCD是矩形．7分∵点P是AD的中点，点O是BD的中点，连结PO．∴PO是△ABD的中位线，∴AB＝2PO．9分∵PF⊥OD，点F是OD的中点，∴PO＝PD．∴AD＝2PO．∴AB＝AD．10分∴□ABCD是正方形．11分∴BD＝BC．∵BF＝BD，∴BC＋3－4＝BC．解得，BC＝4．12分【考点】1．平行四边形的性质；2．直角三角形的性质；3．正方形的判定与性质．2.菱形具有而矩形不一定具有的性质是A．内角和等于360°B．对角相等C．对边平行且相等D．对角线互相垂直【答案】D．【解析】根据菱形的性质及矩形的性质，结合各选项进行判断即可得出答案．试题解析：∵菱形与矩形都是平行四边形，A，B，C是平行四边形的性质，∴二者都具有，故此三个选项都不符合题意，由于菱形的对角线互相垂直且平分每一组对角，而矩形的对角线则相等，故选D．【考点】1．菱形的性质；2．矩形的性质．3.已知菱形的周长为40cm，两条对角线之比为3：4，则菱形的面积为________．【答案】96cm2．【解析】∵菱形的周长为40cm，∴菱形的边长是10，设对角线一半的长度分别为3x，4x，＋=100，x=2，∴对角线长是12，16，面积=12×16÷2=96cm2．【考点】菱形的性质及有关计算．4.三角形的两边长分别为2，7，要使这个三角形是直角三角形，则第三条边长是（）A．B．C．或D．或【答案】C【解析】设第三条边长为x，∴当22+72=x2或22+x2=72时，三角形是直角三角形，解得x=或x=．故选：C．【考点】勾股定理的逆定理．5.等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边为（）A．7cm B．3cm C．7cm或3cm D．8cm【答案】B【解析】当腰是3cm时，则另两边是3cm，7cm．而3+3＜7，不满足三边关系定理，因而应舍去．当底边是3cm时，另两边长是5cm，5cm．则该等腰三角形的底边为3cm．【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系6.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE=CF，连接DE、DF、EF.在此运动变化的过程中，有下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CEDF不可能为正方形；③四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化；④点C到线段EF的最大距离为。
初二数学证明试题
初二数学证明试题1.要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、公理、定理一步一步推得结论成立．这样的推理过程叫做_______．【答案】证明【解析】根据证明的概念直接填空即可。
要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、公理、定理一步一步推得结论成立．这样的推理过程叫做证明．【考点】本题考查的是证明的概念点评：解答本题的关键是熟练掌握证明的概念：要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、公理、定理一步一步推得结论成立．这样的推理过程叫做证明．2.在△ABC中，∠A+∠B=110°，∠C=2∠A，则∠A=______，∠B=_______．【答案】∠A=35°，∠B=75°【解析】根据∠A+∠B=110°，三角形的内角和为180°，即可求得∠C的度数，再根据∠C=2∠A 求得∠A的度数，从而得到∠B的度数。
∵∠A+∠B=110°，∴∠C=180°-（∠A+∠B）=70°，∵∠C=2∠A，∴∠A=35°，∴∠B=180°-∠A-∠C=75°.【考点】本题考查的是三角形的内角和定理点评：解答本题的关键是熟练掌握三角形的内角和为180°．3.如图所示，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1=110°，∠2=________．3【答案】70°【解析】先根据平行线的性质求得∠3的度数，再根据邻补角的定义即可求得结果。
∵a∥b，∠1=110°，∴∠3=∠1=110°，∴∠2=180°-∠3=70°.【考点】本题考查的是平行线的性质，邻补角的定义点评：解答本题的关键是熟练掌握两直线平行，同位角相等，邻补角之和为180°.4.如图所示，AB∥CD，CE平分∠ACD并交AB于E，∠A=118°，则______．【答案】31°【解析】由AB∥CD，∠A=118°，根据平行线的性质可求得∠ACD的度数，再由CE平分∠ACD可求得∠ECD的度数，再根据平行线的性质即可得到结果。
人教版初二数学8年级下册 第18章(平行四边形)含辅助线证明 专项训练(含答案)
人教版数学八年级下册第十八章平行四边形含辅助线证明训练一1.如图，□ABCD中，AC⊥AB，点E在线段AC上，AE=AB，BE的延长线交边AD于点F，AG⊥BC，且AG=AF，AG交BF于点O．（1）若AD=13，AC=12，求BE的长；（2）若点O恰好是线段AG的中点，连接GE，求证：AF=GE．2.已知正方形ABCD如图所示，连接其对角线AC，∠DAC的平分线AE交CD于点E，过点D作DM⊥AE于F，交AC于点M，共过点A作AN⊥AE交CB延长线于点N．(1)若AD=3，求△CAN的面积；(2)求证：AN=DM+2EF．3.如图1，已知正方形ABCD中，点E在BC上，连接AE，过点B作BF⊥AE于点G，交CD于点F.图1 图2（1）如图1，连接AF，若AB＝4，BE＝1，求AF的长；（2）如图2，连接BD，交AE于点N，连接AC，分别交BD、BF于点O、M，连接GO,求证：AG-BG=2GO4.如图，平行四边形ABCD中，BF⊥DC交DC于点F，且BF=AB，E点是BC边上一点，连接AE交BF于G；（1）若AE平分∠DAB，∠C=60∘，BE=3，求BG的长；（2）若AD=BG+FC，求证：AE平分∠DAB．5.如图，在□ABCD中，AD上有一点E，连接BE,AH⊥BC于H,AH、BE交于点G,连接CG并延长交AB于F,且GC=CD,∠GCD=90∘.(1) 若GC＝6，∠BAG＝30∘，求四边形AGCD的面积；(2) 求证：DE=2BG．6.如图，▱ABCD中，点E为BC边上一点，过点E作EF⊥AB于F，已知∠D=2∠AEF．（1）若∠BAE=70°，求∠BEA的度数；（2）连接AC，过点E作EG⊥AC于G，延长EG交AD于点H，若∠ACB=45°，求AC．证：AH=AF+227.如图，▱ABCD中，DF平分∠ADC交AC于点H，G为DH的中点．（1）如图①，若M为AD的中点，AB⊥AC，AC=9，CF=8，CG=25，求GM；（2）如图②，M为线段AB上一点，连接MF，满足∠MCD=∠BCG，∠MFB=∠BAC．求证：MC=2CG．8.如图，在▱ABCD中，连结BD，点E在BD上，且DE=DC，连结CE并延长它与AD交于点F，过点C作CG⊥BD垂足为G，交AD于点H．（1）若DG=3，CG=23，求△CDE的面积；（2）若∠DFC=45°，求证：EF+2FH=CF．9.如图所示，在正方形ABCD的边CB的延长线上取点F，连结AF，在AF上取点G，使得AG=AD，连结DG，过点A作AE⊥AF，交DG于点E．（1）若正方形ABCD的边长为4，且AB=2FB，求FG的长；（2）求证：AE+BF=AF．10.如图，▱ABCD中，E为平行四边形内部一点，连接AE，BE，CE．（1）如图1，AE⊥BC交BC于点F，已知∠EBC=45°，∠BAF=∠ECF，AB=5，EF=1，求AD的长；（2）如图2，AE⊥CD交CD于点F，AE=CF且∠BEC=90°，G为AB上一点，作GP⊥BE 且GP=CE，并以BG为斜边作等腰Rt△BGH，连接EP、EH．求证：EP=2EH．11.如图1，在等腰△ABO中，AB=AO，分别延长AO、BO至点C、点D，使得CO=AO、BO=BO，连接AD、BC．（1）如图1，求证：AD=BC；（2）如图2，分别取边AD、CO、BO的中点E、F、H，猜想△EFH的形状，并说明理由．12.已知，如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，（1）如图1，若AC=AD过点A作AE⊥BC于点E，若AE=3,BC=5，求AB边的长；（2）如图2，过点A作BD的垂线，垂足为F，且AF=BF，过点B作BC的垂线，两条垂线相交于点G，若∠BAG=∠BFC，连接DG.求证：GF=4FO13.已知，在平行四边形ABCD中，AB⊥BD,E为射线BC上一点，连接AE交BD于点F，AB=BD.（1）如图1，若点E与点C重合，且AF=25，求AD的长；（2）如图2，若点E在BC边上时，过点D作DG⊥AE于G,延长DG交BC于H，连接FH.求证：AF=DH+FH;（3）如图3，当点E在射线BC上运动时，过点D作DG⊥AE于G,M为AG的中点，点N在BC边上且BN=1，已知AB=42，请直接写出MN的最小值。
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初二数学证明检测试卷
八年级下第十一章证明(一) 练习
姓名成绩
【一】选择题(每题4分，共32分)
1.以下关于判断一个数学结论是否正确的表达正确的选项是 ( )
A.只需观察得出
B.只需依靠经验获得
C.通过亲自实验得出
D.必须进行有根据地推理
2.通过观察你能肯定的是 ( )
A.图形中线段是否相等
B.图形中线段是否平行
C.图形中线段是否相交
D.图形中线段是否垂直
3.以下问题用到推理的是 ( )
A.根据x=1,y=1 得x=y
B.观察得到四边形有四个内角
C.老师告诉了我们关于金字塔的许多奥秘
D.由公理知道过两点有且只有一条直线
4.以下句子中,是命题的是 ( )
A.今天的天气好吗
B.作线段AB∥CD
C.连结A、B两点
D.正数大于负数
5.以下命题是真命题的是 ( )
A.如果两个角不相等,那么这两个角不是对顶角
B.两互补的角一定是邻补角
C.如果a2=b2,那么a=b
D.如果两角是同位角,那么这两角一定相等
6.判断以下命题：①等腰三角形是轴对称图形;②假设a1且
b1，那么a+b③全等三角形对应角的平分线相等;④直角三角形的两锐角互余，其中逆命题正确的有 ( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.0个
7.以下四个命题：(1)假设直角三角形的两边长分别是3与4，那么第三边长是5;(2) ;(3)假设点P(a,b)在第三象限，那么点Q(-a,-b)在第一象限;(4)两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等，其中正确的选项是 ( )
A.只有(1)错误，其他正确
B.(1)(2)错误，(3)(4)正确
C.(1)(4)错误，(2)(3)正确
D.只有(4)错误，其他正确
8.如图，如果AB∥CD，那么角、、之间的关系式为 ( )
A.++=360
B.-+=180
C.++=180
D.+-=180
【二】填空题(每题4分，共28分)
9.将命题内错角相等写成如果，那么的形式为，
它的逆命题是__________ ______ __ _.
10. 命题两条对角线互相平分的四边形是平行四边形的条件是：___________ _____，
结论是：_____________ ______.
11.1、2、3分别是△ABC的3个外角，那么2+3=_______.
12. 如图，BDC=1420，B =340，C=280，那么A= .
13.有一正方体，将它各面上分别标出a、b、c、d、e、f。
有甲、乙、丙三个同学站在不同角度观察结果如图，问这个正方体各个面上的字母的对面各是什么字母，即a的对面为，b的对面为
，
c的对面为 .
14.某参观团依据以下约束条件，从A、B、C、D、E五个地方选
定参观地点：
(1)如果去A地，那么也必须去B地; (2)D、E两地至少去一处; (3)B、C两地只去一处; (4)C、D两地都去或都不去;
(5)如果去E地，那么A、D两地也必须去。
依据上述条件，你认为参观团只能去__________________。
15.如图，DB平分ADE，DE∥AB，CDE=82，那么EDB= ，A= .【三】解答题(每题10分，共40分)
16.请把下面证明过程补充完整：
：如图，DE∥BC，BE平分ABC.求证：3.
证明：因为BE平分ABC()，
所以1=___ ___( ).
又因为DE∥BC()，
所以2=__ ___( ).
所以3( ).
17.如图：A=65，ABD=DCE=30，且CE平分ACB,求BEC.
18. 如图，在△ABC中，CH是外角ACD的角平分线，BH是ABC 的平分线, A=58.求H的度数.
19.对于同一平面内的三条直线a，b，c给出以下五个论断：(1) a∥b;(2)b∥c;(3)a(4)a∥c;(5)ac，以其中两个论断为条件，一个论断为结论，组成一个正确的命题(至少写出5个)，并选择其中一个命题，画出图形，给出证明.。