2018届高考数学分类练习 第25练 高考大题突破练——导数 含答案

1.(2015·课标全国Ⅱ)设函数f(x)＝e mx＋x2－mx.
(1)证明：f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增；
(2)若对于任意x
1，x
2
∈[－1,1]，都有|f(x
1
)－f(x
2
)|≤e－1，求m的取值范围．
2．(2015·课标全国Ⅰ)已知函数f(x)＝x3＋ax＋1
4
，g(x)＝－lnx.
(1)当a为何值时，x轴为曲线y＝f(x)的切线；
(2)用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}(x>0)，讨论h(x)零点的个数．
3．已知函数f(x)＝(x＋1)e－x(e为自然对数的底数)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)设函数φ(x)＝xf(x)＋tf′(x)＋e－x，存在实数x
1，x
2
∈[0,1]，使得
2φ(x
1)<φ(x
2
)成立，求实数t的取值范围．
4.(2016·山东)已知f(x)＝a(x－lnx)＋2x－1
x2
，a∈R.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当a＝1时，证明f(x)>f′(x)＋3
2
对于任意的x∈[1,2]成立．
5．已知函数f(x)＝xlnx和g(x)＝m(x2－1)(m∈R)．
(1)m＝1时，求方程f(x)＝g(x)的实根；
(2)若对任意的x∈(1，＋∞)，函数y＝g(x)的图象总在函数y＝f(x)图象的上方，求m的取值范围；
(3)求证：44×12－1＋4×24×22－1＋…＋4×n
4×n 2
－1
>ln(2n ＋1) (n ∈N *)． 答案精析
1．(1)证明 f ′(x)＝m(e mx －1)＋2x.
若m ≥0，则当x ∈(－≦，0)时，e mx －1≤0，f ′(x)<0； 当x ∈(0，＋≦)时，e mx －1≥0，f ′(x)>0.
若m<0，则当x ∈(－≦，0)时，e mx －1>0，f ′(x)<0； 当x ∈(0，＋≦)时，e mx －1<0，f ′(x)>0. 所以函数f(x)在(－≦，0)上单调递减， 在(0，＋≦)上单调递增．
(2)解 由(1)知，对任意的m ，f(x)在[－1，0]上单调递减，在[0,1]上单调递增，故f(x)在x ＝0处取得最小值．所以对于任意x 1，x 2∈[－1,1]，|f(x 1)－f(x 2)|≤e －1的充要条件是 ⎩⎨
⎧
f (1)－f (0)≤e －1，
f (－1)－f (0)≤e －1，
即⎩⎨⎧
e m
－m ≤e －1，e －m
＋m ≤e －1.
①
设函数g(t)＝e t －t －e ＋1， 则g ′(t)＝e t －1.
当t<0时，g ′(t)<0；当t>0时，g ′(t)>0.
故g(t)在(－≦，0)上单调递减，在(0，＋≦)上单调递增． 又g(1)＝0，g(－1)＝e －1＋2－e<0，故当t ∈[－1,1]时，g(t)≤0. 当m ∈[－1,1]时，g(m)≤0，g(－m)≤0，即①式成立； 当m>1时，g(m)>0，即e m
－m>e －1； 当m<－1时，g(－m)>0，即e －m ＋m>e －1. 综上，m 的取值范围是[－1,1]．
2．解 (1)设曲线y ＝f(x)与x 轴相切于点(x 0,0)，则f(x 0)＝0，f ′(x 0)＝0，
即⎩⎨
⎧
x 30
＋ax 0
＋14＝0，
3x 20
＋a ＝0，
解得x 0＝12，a ＝－3
4
.。