第9讲 立体的投影及表面取点、截交线
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基本立体的投影及其表面取点
因点M所在表面△SAB为一般位置平面，所以可以利用辅助线法来
作图。
(a)
图3.5 正三棱锥表面取点
(b)
方法一：过M点在△SAB上作AB的辅助平行线ⅠM，即1’m’‖a’b’，再作1m‖ab，求出m， 再根据m、m求出m″（如图3.5a）所示；
方法二：过锥顶S和点M作一辅助线SⅡ，然后求出点M的水平投影m（如图3.5b）。 可见性判断：同棱柱。
2.圆锥 (1) 圆锥的形成 如图3.8a可知，圆锥的表面由圆锥曲面和底面圆组成。圆锥面可以看成是一直线OA绕与 其相交的轴线OO1旋转而成。圆锥面上通过锥顶S的任一直线都是圆锥面的素线。
(a) (c)
(b) 图3.8 圆锥的投影
(2)投影分析 由图3.8b可知，底面平行于H面的圆锥，其正面投影和侧面投影
(3)画法 首先画出圆柱在各个投影位置上的轴线和底圆的对称中心线，其 次画出投影为圆的圆的视图——俯视图，最后根据圆柱高及投影的 外形轮廓素线画出其余两个视图。注意：绘制回转体投影时，必须 画出轴线和对称中心线。根据国家标准的规定，轴线和对称中心线 应采用细点画线画出，且要超出轮廓线2～5 mm，如图3.6c所示。 (4)圆柱表面上取点 轴线处于特殊位置的圆柱，其圆柱面在与轴线垂直的投影面上的
1.2曲面立体的投影及其表面上取点 表面均为曲面，或由曲面和平面共同围成的基本立体称为曲面立体。常见的曲面立体多为
回转体。回转体是由一母线（直线或曲线）绕以固定的轴线ห้องสมุดไป่ตู้回转运动所形成。常见的回 转体包括圆柱、圆锥、圆环和球等。
1.圆柱 （1）圆柱的形成 圆柱体表面是由圆柱面和上下两圆形底面所组成。圆柱面可以看成是由直线AA1绕与它平 行的轴线OO1旋转而成的回转面，如图3.6a所示。直线AA1为母线，它在圆柱面上任一位 置称为素线。
作图。
(a)
图3.5 正三棱锥表面取点
(b)
方法一：过M点在△SAB上作AB的辅助平行线ⅠM，即1’m’‖a’b’，再作1m‖ab，求出m， 再根据m、m求出m″（如图3.5a）所示；
方法二：过锥顶S和点M作一辅助线SⅡ，然后求出点M的水平投影m（如图3.5b）。 可见性判断：同棱柱。
2.圆锥 (1) 圆锥的形成 如图3.8a可知，圆锥的表面由圆锥曲面和底面圆组成。圆锥面可以看成是一直线OA绕与 其相交的轴线OO1旋转而成。圆锥面上通过锥顶S的任一直线都是圆锥面的素线。
(a) (c)
(b) 图3.8 圆锥的投影
(2)投影分析 由图3.8b可知，底面平行于H面的圆锥，其正面投影和侧面投影
(3)画法 首先画出圆柱在各个投影位置上的轴线和底圆的对称中心线，其 次画出投影为圆的圆的视图——俯视图，最后根据圆柱高及投影的 外形轮廓素线画出其余两个视图。注意：绘制回转体投影时，必须 画出轴线和对称中心线。根据国家标准的规定，轴线和对称中心线 应采用细点画线画出，且要超出轮廓线2～5 mm，如图3.6c所示。 (4)圆柱表面上取点 轴线处于特殊位置的圆柱，其圆柱面在与轴线垂直的投影面上的
1.2曲面立体的投影及其表面上取点 表面均为曲面，或由曲面和平面共同围成的基本立体称为曲面立体。常见的曲面立体多为
回转体。回转体是由一母线（直线或曲线）绕以固定的轴线ห้องสมุดไป่ตู้回转运动所形成。常见的回 转体包括圆柱、圆锥、圆环和球等。
1.圆柱 （1）圆柱的形成 圆柱体表面是由圆柱面和上下两圆形底面所组成。圆柱面可以看成是由直线AA1绕与它平 行的轴线OO1旋转而成的回转面，如图3.6a所示。直线AA1为母线，它在圆柱面上任一位 置称为素线。
工程制图立体投影及表面交线课件
保持物体间的相对位置关系
正投影法能够保持物体间的相对位置关系，不会改变物体的相对位 置。
易于理解和绘制
正投影法的投影面相对简单，易于理解和绘制。
立体投影图绘制方法
确定投影面和投影方向
首先确定要绘制的立体和投影面，以及投影 方向。
填充阴影
根据立体表面的光影效果，填充阴影，以增 强立体感。
绘制轮廓线
根据立体在投影面上的轮廓，绘制出轮廓线 。
虚拟现实技术在立体投影中的应用
虚拟现实技术是一种模拟真实环境的计算机技术，通过头戴式显示器等设备，使 用户沉浸在虚拟世界中。
在立体投影领域，虚拟现实技术可以用于创建逼真的立体投影效果，使用户能够 更加深入地了解和体验三维空间。
THANKS
感谢您的观看
绘制曲面立体投影图
总结词
掌握曲面立体投影图的绘制方法，包括 圆柱、圆锥和球等基本曲面的绘制技巧 。
VS
详细描述
曲面立体投影图是工程制图中另一种常见 的表达方式，主要用于表达曲面体的形态 和结构。在绘制曲面立体投影图时，需要 掌握圆柱、圆锥和球等基本曲面的绘制技 巧，以及如何将这些曲面进行组合和切割 。同时，需要注意曲面的连续性和光顺性 ，以确保投影的准确性和美观度。
绘制组合体三视图
要点一
总结词
掌握组合体三视图的绘制方法，包括组合体的构成、表达 方法和绘图步骤。
要点二
详细描述
组合体三视图是工程制图中最为复杂的一种表达方式，主 要用于表达由多个基本立体组成的复杂物体的形态和结构 。在绘制组合体三视图时，需要先对组合体的构成进行仔 细分析，选择合适的表达方法，并按照正确的绘图步骤进 行绘制。同时，需要注意各视图之间的投影关系和对应关 系，以确保三视图的一致性和完整性。
正投影法能够保持物体间的相对位置关系，不会改变物体的相对位 置。
易于理解和绘制
正投影法的投影面相对简单，易于理解和绘制。
立体投影图绘制方法
确定投影面和投影方向
首先确定要绘制的立体和投影面，以及投影 方向。
填充阴影
根据立体表面的光影效果，填充阴影，以增 强立体感。
绘制轮廓线
根据立体在投影面上的轮廓，绘制出轮廓线 。
虚拟现实技术在立体投影中的应用
虚拟现实技术是一种模拟真实环境的计算机技术，通过头戴式显示器等设备，使 用户沉浸在虚拟世界中。
在立体投影领域，虚拟现实技术可以用于创建逼真的立体投影效果，使用户能够 更加深入地了解和体验三维空间。
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绘制曲面立体投影图
总结词
掌握曲面立体投影图的绘制方法，包括 圆柱、圆锥和球等基本曲面的绘制技巧 。
VS
详细描述
曲面立体投影图是工程制图中另一种常见 的表达方式，主要用于表达曲面体的形态 和结构。在绘制曲面立体投影图时，需要 掌握圆柱、圆锥和球等基本曲面的绘制技 巧，以及如何将这些曲面进行组合和切割 。同时，需要注意曲面的连续性和光顺性 ，以确保投影的准确性和美观度。
绘制组合体三视图
要点一
总结词
掌握组合体三视图的绘制方法，包括组合体的构成、表达 方法和绘图步骤。
要点二
详细描述
组合体三视图是工程制图中最为复杂的一种表达方式，主 要用于表达由多个基本立体组成的复杂物体的形态和结构 。在绘制组合体三视图时，需要先对组合体的构成进行仔 细分析，选择合适的表达方法，并按照正确的绘图步骤进 行绘制。同时，需要注意各视图之间的投影关系和对应关 系，以确保三视图的一致性和完整性。
回转体的投影
第9讲3-2 回转体的投影教学目标：1、掌握回转体的基本绘图要领；2、掌握圆柱、圆锥、圆球和圆环及其表面的求点、线的方法；教学重点：基本回转体的画图方法教学难点：圆环表面取点教学手段：结合实例课堂讲解教学用具：多媒体教学过程：一、回转体及基本画图方法：工程上常见的曲面立体是回转体。
回转体是由回转面或回转面与平面所围成的立体。
回转面是由母线（直线或曲线）绕某一轴线旋转而形成的。
最常见的回转体有椭圆、圆锥、圆球和圆环。
画回转体的投影图时，一般应画出各方向转向轮廓的一个投影（其中与旋转轴线、对称中心线重合的两个投影，被省略不画）和回转线的三个投影（其中两个投影为直线、一个投影积聚成点，用对称中心线表示，根据机械制图规定表示轴线、对称中心线均用细点画线画出，且要超出图形的轮廓线3～5mm）。
转向轮廓线就是在某一投影方向上观察曲面立体（如回转体）时可见与不可见部分的分界线。
回转体有一重要特性，母线的任一位置称为素线；母线上各点的运动轨迹皆为垂直于回转轴线的圆，这些圆周称为纬线（纬圆，回转圆）。
根据这一性质，可在回转面上作素线取点、线、称为素线法；也可在回转面上作纬线取点、线，称为纬线（纬圆，回转圆）法。
二、圆柱圆柱是由圆柱面和顶圆平面、底圆平面围成的。
如图3-5a所示,圆柱面可以看作是一条直母线AAσ绕与它平行的的轴线OO1旋转而成.（一）圆柱的投影图3-5b、c为轴线处于铅垂线位置时的院住直观图及其投影图。
1.投影分析（1）圆柱的顶圆平面、底圆平面为水平面，其水平投影反映顶、底圆平面真形，且重合；正面投影和侧面投影均积聚为平行于相应投影的直线a′b′c′d′、a’0c0’b0’d0’和d〃a〃c〃b〃、d〃0a〃0c〃0b〃0且等于顶、底圆的直径。
（2）圆镞面因其轴线为铅垂线，故圆柱面上所有素线必须为铅垂线，圆柱面为铅垂面，其水平投影积聚为一圆，其与顶、底圆平面俯视轮廓的水平投影圆周相重合。
没一条素线的水平投影都积聚为点，且落在该圆周上。
截切立体的投影
Ⅵ
Ⅶ Ⅲ
7 湖 8 6 北 5 工1 程 学 2 4 院 3 生 平面与圆柱相交 科 院
Ⅴ
Ⅳ
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
32
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
湖 北 工 程 学 院 生 科 院
﹥45°
（与H面的倾角）
﹤45° 平面与圆柱相交
=45°
33
例：
b‟ o‟,a‟,c‟ 1‟ d‟ a”
b” o” 1“ c”
3
(3) 连接各点的同面投 影即等截交线的三个投 影。 (4) 补全棱线的投影。
13
截交线为三角形 截平面为正垂面，在v面上具有积聚性
s 2 1
湖 北 工 程 学 院 生 科 院
a b
3
c
14
例2：求四棱锥被截切后的水平投影和侧面投影。
s'
(4) 3 a' 湖 北 工 程 学 院 生 科 院 b' （d„） d 4
●
s" 1 4
● ●
1
●
2
2
●
3
c' d" a" （c“） b"
a
3
●
s
●
●
1
c
2
b
15
例3：求四棱锥被截切后的水平投影和侧面投影。
s' s"
a' 湖 北 工 程 学 院 生 科 院
1(2) b' （d′ ） c' d d" 2
2
●
1 b"
●
a" （c“）
a
1
c
三面共点： 当平面体只有局部被截切 Ⅰ、Ⅱ两点分别 时，先假想为整体被截切， 同时位于三个面 求出截交线后再取局部。 上。
Ⅶ Ⅲ
7 湖 8 6 北 5 工1 程 学 2 4 院 3 生 平面与圆柱相交 科 院
Ⅴ
Ⅳ
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
32
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
湖 北 工 程 学 院 生 科 院
﹥45°
（与H面的倾角）
﹤45° 平面与圆柱相交
=45°
33
例：
b‟ o‟,a‟,c‟ 1‟ d‟ a”
b” o” 1“ c”
3
(3) 连接各点的同面投 影即等截交线的三个投 影。 (4) 补全棱线的投影。
13
截交线为三角形 截平面为正垂面，在v面上具有积聚性
s 2 1
湖 北 工 程 学 院 生 科 院
a b
3
c
14
例2：求四棱锥被截切后的水平投影和侧面投影。
s'
(4) 3 a' 湖 北 工 程 学 院 生 科 院 b' （d„） d 4
●
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例3：求四棱锥被截切后的水平投影和侧面投影。
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a' 湖 北 工 程 学 院 生 科 院
1(2) b' （d′ ） c' d d" 2
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●
1 b"
●
a" （c“）
a
1
c
三面共点： 当平面体只有局部被截切 Ⅰ、Ⅱ两点分别 时，先假想为整体被截切， 同时位于三个面 求出截交线后再取局部。 上。
画法几何与机械制图第章立体的投影平面与立体表面相交(截交线)
圆
倾斜于轴线
椭圆
例4：求左视图
● ● ●
截交线的 截交线的已知投影？ 空间形状？ 截交线的侧面投 影是什么形状？
●
● ● ● ●
●
●
●
●
★找特殊点 ★补充中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓素线的投影
例4：求左视图
★找特殊点 ★找中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓素线的投影
椭圆的长、短 轴随截平面与圆 柱轴线夹角的变 化而改变。
图3-30
㈢ 圆球表面的截交线
例：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面与圆球面的 水平面与圆球面的交 交线的投影，在侧视上为 线的投影，在俯视图上 部分圆弧，在俯视图上积 为部分圆弧，在侧视图 聚为直线。 上积聚为直线。
y
二、平面立体的切割与穿孔
例：已知缺口三棱锥的正面投 影，补全它的水平投影和侧面 投影。P55
y
y
★ 空间分析 ★ 投影分析 两个截平面一个是水平面，一个是正垂 ★ 求截交线 注意： 面，都在正面投影中积聚。 ★ 分析棱线的投影 要逐个截平面分析和绘制截交线和 水平截面在水平投影中反映实形，在侧 ★ 检查 尤其注意检查截 截平面之间的交线。 面投影中积聚。 交线投影的类似性
当平面立体只有局部被截切时，先 假想为整体被截切，求出截交线后再
y
y
二. 平面立体的切割与穿孔
已知一个具有正垂的三棱柱穿孔的正六棱 柱的正面投影，补全穿孔六棱柱的水平投 影，作出它的侧面投影。P56
y
y 分析：正垂的三棱柱孔在正投影面上积 聚，三个截面的交线积聚成三角形的三 个顶点。 找到各截面与棱边的交点的正面投影。
2.2 平面与立体表面相交（截交线）
几个基本概念
倾斜于轴线
椭圆
例4：求左视图
● ● ●
截交线的 截交线的已知投影？ 空间形状？ 截交线的侧面投 影是什么形状？
●
● ● ● ●
●
●
●
●
★找特殊点 ★补充中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓素线的投影
例4：求左视图
★找特殊点 ★找中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓素线的投影
椭圆的长、短 轴随截平面与圆 柱轴线夹角的变 化而改变。
图3-30
㈢ 圆球表面的截交线
例：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面与圆球面的 水平面与圆球面的交 交线的投影，在侧视上为 线的投影，在俯视图上 部分圆弧，在俯视图上积 为部分圆弧，在侧视图 聚为直线。 上积聚为直线。
y
二、平面立体的切割与穿孔
例：已知缺口三棱锥的正面投 影，补全它的水平投影和侧面 投影。P55
y
y
★ 空间分析 ★ 投影分析 两个截平面一个是水平面，一个是正垂 ★ 求截交线 注意： 面，都在正面投影中积聚。 ★ 分析棱线的投影 要逐个截平面分析和绘制截交线和 水平截面在水平投影中反映实形，在侧 ★ 检查 尤其注意检查截 截平面之间的交线。 面投影中积聚。 交线投影的类似性
当平面立体只有局部被截切时，先 假想为整体被截切，求出截交线后再
y
y
二. 平面立体的切割与穿孔
已知一个具有正垂的三棱柱穿孔的正六棱 柱的正面投影，补全穿孔六棱柱的水平投 影，作出它的侧面投影。P56
y
y 分析：正垂的三棱柱孔在正投影面上积 聚，三个截面的交线积聚成三角形的三 个顶点。 找到各截面与棱边的交点的正面投影。
2.2 平面与立体表面相交（截交线）
几个基本概念
立体表面交线的投影作图——截交线画法
基本体的投影 平面体的投影
截交线 平面切割平面 体
平面切割回转 曲面体
曲面体的投影
常见的基本几何体
基本几何体
平面立体
棱锥
曲面立体
棱柱
圆柱
圆锥
圆球
一、 常见的平面几何体
它们的表面都是由平面图形围成的，绘制平面 立体的三视图，实质是画出组成平面立体各表面 的平面图形及交线的投影。
1.六棱柱的投影
Ph
截平面为 平行面，在 所平行的投 影面上的投 影为截交线 圆的实形。
★小结
1.截交线的性质：
截交线是截平面和回转体表面的共有线，截交线上任意点 都是它们的共有点。 截交线是封闭的平面图形。 截交线的形状，取决于回转体表面的形状及截平面相对于
回转体轴线面与投影面的相对位置、截 平面与回转体的相对位置，初步判断截交线的形状及其投 影特性。 求出截交线上的点，首先找特殊点，然后补充一般点。 补全轮廓线，光滑地连接各点，得到截交线的投影。
例2:平面与平面相交画法
你知道如何确定
截平面的位置吗？
截平面
截交线
学一学: 由立体的轴测图画三视图。
练一练: 作立体的W面投影。
四.平面切割回转曲面体
1.圆柱的截交线
（1）截平面与圆柱轴线平行
（2）截平面与圆柱轴线垂直
（3）截平面与圆柱轴线倾斜
例1:求圆柱被截切后的水平投影和侧面投影。
画投影图→求出平面 立体上被截断的各棱线与 截平面的交点，然后顺次 连直线。
★求截交线的步骤：
★ 空间及投影分析
☆ 截平面与立体的相对位置 ☆ 截平面与投影面的相对位置
确定截交 线的形状
★ 画出截交线的投影
确定截交线 的投影特性
北京科技大学机械制图-基本立体的投影及表面取点取线
s
m k
b
立体及其表面上的点和线
二、平面立体及其表面上的点和线
(四) 平面立体表面上的线
作图方法：与立体表面取点相同。 注意： 只有在同一表面内的相邻两点的同面投影才可以相连！
s' 2'
空间为 一折线
c' A Ⅰ
S
Ⅱ C B
a'
1'
b'(d') d s b
组成折线的两条线段的 共有点（转折点）在两个面 的交线（棱线）上。
注意：
a e d
c
如果线段未标明可见性， 则其投影应为对称的两支。
b
立体及其表面上的点和线
三、回转体及其表面上的点和线
(五) 圆环体
以轴线为铅垂线的圆锥体为例 空间分析：
最左、最右的 素线圆的投影 最前、最后的 前后分界线 素线圆的投影
投影图：
Z
最高、最低的 纬圆的投影
左右分界线
X
上下分界线
圆环面平行H面 的纬圆投影
立体及其表面上的点和线
三、回转体及其表面上的点和线
(五) 圆环体
例10 已知圆环面上点的正面投影，求其余两面投影。
作图： 分析：
1' a1'(a2') 2' a2” a1”
(a2) 1 (a1) O 2
只能用纬圆法求解; (1)过a1’ (a2’ )作圆 环轴线的垂线，与圆环 的轮廓线交于1’、2’,求 出其水平投影1、2 ； (2)以O为圆心，12 为直径画圆，在圆周上 求出(a1)、(a2)； (3)求a1”、(a2”)。
Y
立体及其表面上的点和线
三、回转体及其表面上的点和线
建筑图学立面取点线截交线
Biblioteka 2.2 平面立体上的取点和线
例题3：如图，已知直三
棱锥表面上的点M的正面投 影m’，求做其它两面投影。
2.3 曲面立体上的取点和线
曲面－－是由一条直线或曲线在空间连续运动 所形成的轨迹，这条运动的线称为母线，母线 在去面上的任意位置称为素线。因此曲面是所 有素线的集合； 曲面立体－－是指立体表面由曲面或曲面和平 面所围成的立体；
练习1，如图，求作三棱锥被正垂面截切后的水 平和侧面投影？
3.3 课堂练习
练习2，如图，求作圆棱穿通孔后的水平和侧面 投影？
2.
3.2 画立体的截交线
1.
曲面立体截交线投影的作图方法： 实质是求截平面与曲面立体表面公有点投影的 集合； 曲面立体截交线由直线段或圆弧组成是，利用 积聚性，素线法或纬圆法（纬线圆法）直接做 出交线； 曲面立体截交线为非圆曲线时，应作出交线上 足够多的公有点（曲线顶点，端点以及曲面立 体转向轮廓素线的一般点），然后用光滑曲线 连接各点同面投影即可；
2.4 课堂练习
练习1：如图，求斜三棱柱的H，W面投影？
2.4 曲面立体上的取点和线
练习2：如图，求作圆锥的W面投影及其表面上 点E，F和线AB，BC的另外两投影？
2.5 小结
线到点的转化问题求立体表面上的位置； 三视图的‘三等原则’点线面注意对应位置； 可见性判断； 平面立体辅助线帮助所求点或线； 曲面立体通过‘纬线圆’或‘素线’找辅助线；
2 立面图的投影基本知识；
立体物体三视图的表达法； 平面立体上的取点和线； 曲面立体上的取点和线； 课堂练习； 小结；
2.1立体物体三视图的表达法
例题3：如图，已知直三
棱锥表面上的点M的正面投 影m’，求做其它两面投影。
2.3 曲面立体上的取点和线
曲面－－是由一条直线或曲线在空间连续运动 所形成的轨迹，这条运动的线称为母线，母线 在去面上的任意位置称为素线。因此曲面是所 有素线的集合； 曲面立体－－是指立体表面由曲面或曲面和平 面所围成的立体；
练习1，如图，求作三棱锥被正垂面截切后的水 平和侧面投影？
3.3 课堂练习
练习2，如图，求作圆棱穿通孔后的水平和侧面 投影？
2.
3.2 画立体的截交线
1.
曲面立体截交线投影的作图方法： 实质是求截平面与曲面立体表面公有点投影的 集合； 曲面立体截交线由直线段或圆弧组成是，利用 积聚性，素线法或纬圆法（纬线圆法）直接做 出交线； 曲面立体截交线为非圆曲线时，应作出交线上 足够多的公有点（曲线顶点，端点以及曲面立 体转向轮廓素线的一般点），然后用光滑曲线 连接各点同面投影即可；
2.4 课堂练习
练习1：如图，求斜三棱柱的H，W面投影？
2.4 曲面立体上的取点和线
练习2：如图，求作圆锥的W面投影及其表面上 点E，F和线AB，BC的另外两投影？
2.5 小结
线到点的转化问题求立体表面上的位置； 三视图的‘三等原则’点线面注意对应位置； 可见性判断； 平面立体辅助线帮助所求点或线； 曲面立体通过‘纬线圆’或‘素线’找辅助线；
2 立面图的投影基本知识；
立体物体三视图的表达法； 平面立体上的取点和线； 曲面立体上的取点和线； 课堂练习； 小结；
2.1立体物体三视图的表达法
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工 程 图录
例2 三棱锥被一正垂面所截切，求截交线的投影。
s’ s
工 程 图 学 基 础
a’ a 1 1
3
2
3 1
2
b’
c’
c
a(c)
y
b Ⅲ Ⅰ Ⅱ
s 2
3
y
A
b
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B
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例3 求带切口三棱锥的投影。
s'
4'
s"
4"
工 程 图 学 基 础
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例8 求截切圆柱截交线的投影。
1'
4'
4" 1" 5"
3" 2"
工 程 图 学 基 础
2' 3'
5'
4
12
3
5
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作业
工 程 图 学 基 础
• 习题集4-1至4-7
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工 程 图 学 基 础
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例7 求截切圆柱的水平投影和侧面投影。
解题步骤
1 分析 截交线的水平投影为 圆的一部分，侧面投影为矩形 ；
2 求出截交线上的点 Ⅰ、Ⅱ、 Ⅲ、Ⅳ；
工 程 图 学 基 础
3顺次地连接各点，作出截交线 并判别可见性；
4 整理轮廓线。
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截平面 截交线
工 程 图 学 基 础
平面与立体相交在立体表面产生交线称为截交线，该 平面称为截平面。截交线是截平面和立体表面的共有线， 截交线上的点是截平面与立体表面上的共有点，它既在截 平面上又在立体表面上。由于任何立体都有一定的空间范 围，所以截交线一定是封闭的线条，通常是一条平面曲线 或者是由曲线和直线组成的平面图形或多边形。
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4.3.2
平面与平面立体相交
工 程 图 学 基 础 由于平面立体是由平面围成的,截交线是封闭的平面 多边形，多边形的边是截平面与平面立体表面的交线。求 截交线的问题可以简化为求平面与平面的交线问题，进而 简化为求直线与平面交点的问题。
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例1 求四棱柱斜切后的截交线 。
a
c
b(c) c
a
a
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(2) 棱锥表面上取点
s
s 2
工 程 图 学 基 础 b
2
b
s
a
c
c
b (c)
a
2 a
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(2) 棱锥表面上取点
s
s
工 程 图 学 基 础 b
(3)
3
a s
c c
b
b(c ）
a
3
a
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4.1.1 棱柱
4.1.2 棱锥
表面均为平面构成的立体称为平面立体，平面 立体上相邻两表面的交线称为棱线。常见的平面立 体有棱柱、棱锥和棱台等。
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4.1.1 棱 柱
工 程 图 学 基 础 由两个底面和若干棱面组成。棱面与棱面的交线叫 棱线，棱线相互平行。
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工 程 图 学 基 础 圆锥由圆锥面、底面所围成。圆锥面可看作直线绕与 它相交的轴线旋转而成。
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(1)
圆锥的投影
工 程 图 学 基 础
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(2)
圆锥表面上取点
工 程 图 学 基 础 2 (2’) 2
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4.2.3
圆 球
工 程 图 学 基 础
工 程 图 学 基 础 曲面立体截交线通常是封闭的平面曲线，或是由曲线 和直线所围成的平面图形或多边形。
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1. 平面与圆柱相交
工 程 图 学 基 础
垂直轴线
圆
平行轴线 两平行直线
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倾斜轴线 椭圆
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例4 求斜切圆柱的截交线。
1' 5‘6' 6" 4" 1"
解题步骤
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(1)
圆环的投影
工 程 图 学 基 础
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(2)
圆环表面上取点
工 程 图 学 基 础
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4.3
工 程 图 学 基 础
平面与立体相交
4.3.1 截交线的性质
4.3.2 平面与平面立体相交
4.3.3 平面与曲面立体相交
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4.3.1 截交线的性质
（1） 棱柱的投影
工 程 图 学 基 础
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5
(1) 棱柱的投影
工 程 图 学 基 础
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(2) 棱柱表面上取点
a 工 程 图 学 基 础 a
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7
（a）
b
(b）
b
4.1.2. 棱 锥
工 程 图 学 基 础 由一个底面和几个棱面组成。棱线交于有限远的一 点——锥顶。
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(1) 棱锥的投影
工 程 图 学 基 础
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(1) 棱锥的投影
s 工 程 图 学 基 b 础 s b a c c b”(c”) a” C A a S s
B
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(2) 棱锥表面上取点
s 工 程 图 学 基 础 b b r s 1 r 1 1 s
5"
1 分析 截交线的水平投影为 椭圆，侧面投影为圆；
2 求出截交线上的特殊点 Ⅰ、 Ⅱ、Ⅲ、 Ⅳ ； 3 求出若干个一般点 Ⅴ、Ⅵ、 Ⅶ、Ⅷ； 4 光滑且顺次地连接各点，作 出截交线，并且判别可见性； 5 整理轮廓线。
工 程
7'8'
3‘(4‘)
3" 7" 2"
图 学 基 础
2
2'
8
8"
4
6 1
Ⅵ
Ⅰ Ⅴ Ⅲ Ⅶ
特殊点：是指绘制曲线时有影响的各种点。 极限位置点 曲线的最高、最低、最前、最后、最左和最右点。 转向轮廓点 曲线上处于曲面投影转向轮廓线上的点，它们是区分曲 线可见与不可见部分的分界点。 特征点 曲线本身具有特征的点，如椭圆长短轴上四个端点。 结合点 截交线由几部分不同线段组成时结合处的点。
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第4章 立体及表面交线
工 程 图 学 基 础
4.1 平面立体 4.2 曲面立体 4.3 平面与立体相交
4.4 两曲面立体相交
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基本体
工 程 图 学 基 础 按照一定规则形成的简单立体称为基本体，基 本体分为平面立体和曲面立体两类。
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4.1
工 程 图 学 基 础
平面立体
a
a'
1'
解题步骤 1 分析 截交线 的正面投影已知 ，水平投影和侧 面投影未知；
2' 3'
b'c'
c
3"
1"
2"
c"
y
a"
y
b"
2 求出截交线上 的折点 Ⅰ、Ⅱ、 Ⅲ、 Ⅳ ；
3
y
3 顺次地连接各 点，作出截交线 ，并且判别可见 性；
4 整理轮廓线。
1
s
4
y
2
b
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4.3.3
平面与曲面立体相交
例5 求切口圆柱的水平投影和侧面投影。
作图步骤
1 分析 截交线的水平投影 为椭圆，侧面投影为圆；
工 程 图 学 基 础
2 求出截交线上的点 Ⅰ、Ⅳ 、 Ⅴ、 Ⅷ；
3 顺次地连接各点，作出截 交线，并且判别可见性；
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例6 补画被截切圆柱的水平投影。
●
●
●
●
工 程 图 学 基 础
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Ⅳ Ⅷ
7
5 3
Ⅱ
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工 程 图 学 基 础
作图步骤： （1）根据截平面位置与曲面立体表面的性质、判别 截交线的形状和性质。 （2）求出截交线上的特殊点。 （3）根据需要求出若干个一般点。 （4）光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判 别可见性。 （5）最后，补全可见与不可见部分的轮廓线或转向 轮廓素线，并擦除被切割掉的轮廓线或转向轮廓素线。
工 程 图 学 基 础 圆柱由圆柱面、顶面、底面所围成。圆柱面可看作直 线绕与它相平行的轴线旋转而成。
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(1)
圆柱的投影
工 程 图 学 基 础
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(2)
圆柱表面上取点
( ) ( )
c
工 程 图 学 基 础 A
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(D)
C B
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4.2.2
圆 锥
圆球是由球面围成的。球面可看作圆绕其直径为轴 线旋转而成。
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(1)
圆球的投影
工 程 图 学 基 础
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(2)
圆球表面上取点
工 程 图 学 基 础
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