最新北师版初中数学九年级下册中考知识点梳理第4讲二次根式
初三数学知识点大全之二次根式讲解
初三数学知识点大全之二次根式讲解学好数学的关键就在于要适时适量地进行总结归类，接下来小编就为大家整理了这篇初三数学知识点大全之二次根式讲解，希望可以对大家有所帮助。
1.二次根式：一般地，式子叫做二次根式.注意：(1)假设这个条件不成立，那么不是二次根式;(2)是一个重要的非负数，即;0.2.重要公式：(1),(2)3.积的算术平方根：积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积;4.二次根式的乘法法那么：.5.二次根式比较大小的方法：(1)利用近似值比大小;(2)把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小;(3)分别平方，然后比大小.6.商的算术平方根：，商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.7.二次根式的除法法那么：(1);(2);(3)分母有理化的方法是：分式的分子与分母同乘分母的有理化因式，使分母变为整式.8.最简二次根式：(1)满足以下两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，① 被开方数的因数是整数，因式是整式，② 被开方数中不含能开的尽的因数或因式;(2)最简二次根式中，被开方数不能含有小数、分数，字母因式次数低于2，且不含分母;(3)化简二次根式时，往往需要把被开方数先分解因数或分解因式;(4)二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式.10.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.12.二次根式的混合运算：(1)二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算，以前学过的，在有理数范围内的一切公式和运算律在二次根式的混合运算中都适用;(2)二次根式的运算一般要先把二次根式进行适当化简，例如：化为同类二次根式才能合并;除法运算有时转化为分母有理化或约分更为简便;使用乘法公式等.初三数学知识点大全之二次根式讲解就为大家介绍到这里了，希望大家都能养成善于总结的好习惯。
九年级数学二次根式的概念、二次根式的乘除法知识精讲
初三数学二次根式的概念、二次根式的乘除法【本讲主要内容】二次根式的概念、二次根式的乘除法 1. 二次根式的概念 2. 二次根式的性质 3. 二次根式的乘法 4. 二次根式的除法【知识掌握】【知识点精析】一. 二次根式的概念：1. 定义：式子a a ()≥0叫做二次根式．注意：（1）根式定义中的a ≥0是定义的一个重要组成部分，不可省略；因为负数没有平方根，所以当a <0时，a 没有意义．如-2不是二次根式，()-22是二次根式，当a ≤0时，-a 是二次根式．（2）被开方数a 可以是数，也可以是代数式． 2. 最简二次根式（1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式． （2）化二次根式为最简二次根式的方法：①如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简． ②如果被开方数是整数或整式，先将它分解因数或因式，然后把它开得尽方的因数或因式开出来．“一分”即利用分解因数或分解因式的方法把被开方数（或式）的分子、分母都化成质因数（或质因式）的幂的积的形式．“二移”即把能开得尽方的因数（或因式）用它的算术平方根代替移到根号外，其中把根号内的分母中的因式移到根号外时，要注意写在分母的位置上． “三化”即化去被开方数的分母．二. 二次根式的性质：1. 非负性：a a ()≥0是一个非负数．注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到． 2. ()()a a a 20=≥．注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：a a a =≥()()203. a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()()注意：（1）字母不一定是正数．（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．4. 公式a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()()与()()a a a 20=≥的区别与联系（1）a 2表示求一个数的平方的算术根，a 的X 围是一切实数． （2）()a 2表示一个数的算术平方根的平方，a 的X 围是非负数． （3）a 2和()a 2的运算结果都是非负的．三. 二次根式的乘法ab a b a b =⋅≥≥()00，积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积．注意：（1）a b ≥≥00，是公式成立的必要重要条件．如()()-⨯-≠-⋅-4949 （2）公式中的a b ,可以是数，也可以是代数式，但必须是非负的．四. 二次根式的除法1.a baba b =≥>(,)00 商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根． 2. 分母有理化（1）把分母中的根号化去，叫做分母有理化．（2）分母有理化的依据是分式的基本性质，关键是分子、分母同乘以一个式子，使它与分母相乘得整式． （3）有理化因式两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式．常用的互为有理化因式有如下几种类型： ①a a 与；②a b a b +-与； ③a b a b +-与； ④a b c d a b c d +-与． （4）分母有理化时分母要先化简．【解题方法指导】例1. x 为何值时下列式子有意义？ （1）21x + （2）-+15x （3）x x+-13 分析：要使二次根式有意义，被开方数必须是非负数． 解：（1）根据二次根式定义，得21012x x +≥∴≥-（2）根据二次根式定义，得-+≥∴+<∴<-1505005x x x ()分母不能为 （3）根据二次根式定义，得x x+-≥130 ∴+≥->⎧⎨⎩x x 1030或x x +≤-<⎧⎨⎩1030∴≥-<⎧⎨⎩x x 13或x x ≤->⎧⎨⎩13（空集）∴-≤<13x例2. 计算： （1）()62；（2）()352；（3）()82-a 解：（1）()662=（2）()()35359545222=⨯=⨯= （3）()882-=-a a点评：此例体现了公式()a a 2=的应用．对于（3）题()82-a ，其运算是先开平方、再乘二次方，所以题目本身已隐含了80-≥a ．例3. 计算： （1）44176⨯；（2）-⨯⨯-4259169() （3）23483415⨯；（4）162436a a ⨯；（1）解法一：原式=⨯⨯=⨯=⋅=⨯=44444442442442882222 解法二：原式=⨯⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=11411161142114288222（2）解：原式=⨯⨯=⨯⨯425916925313222() =⋅⋅=253131303222()点评：运算时，（1）被开方数的积不要计算成一个结果，应是化简成幂的积的形式，以便于开方、化简；（2）被开方数的负因子要计算成正因子，才能用公式．（3）23483415⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯⨯=2334481512163351243565 （4）162436163246a a a a ⨯=⨯⋅=⨯⨯=⨯⨯=12646126262a a a ．例4. 化简． （1）19681；（2）27424c a b ；（3）385a ；（4）12a b a b ->()解法一：（1）原式==19681149（2）原式==⨯=27493232324222c a bc ab ab c ()解法二：（1）原式==()1491492 （2）原式=⋅=()323323222ab c ab c（3）原式=⋅⋅=a a a a 42321646注意：化去分母时，被开方数的分子、分母只要同乘2即可，若同乘8就太繁了． （4）原式=⨯--=--43232()()()a b a b a b a b 点评：化去被开方数的分母时，不能忘掉分子中开得尽方的因数的化简．例5. 把x yx y --分母有理化．解法一：原式=---=---=-()()()x y x y x y x y x yx yx y 2解法二：原式=--=-()x y x yx y 2（x y -中隐含条件x y ->0，故x y x y -=-()2） 同样，55555101010101022====()()，例6. 化简：1235133552735773+++++++++()()()()分析：联想分式中逆用分式加、减法，得到分子为1而分母也很简单的式子． 解：原式=+++++++++++()()()()()()()()1335133557735773=+++++++=-+-+-+-=11313515717312315375371() 点评：如果要直接化为同分母或先有理化分母，都太繁琐，但是，注意到数学中的公式总是双向的，如果根据题目的结构特点，灵活地逆用公式，在解题时便能左右逢源，得心应手．建议只能从左到右地运用公式而不习惯逆用（即由右到左）或变用公式的同学，对这几个题目多加分析，以求从熟悉、模仿到主动在解题中运用逆向思维的方法．例7. （2001年某某省中考题）填空题： 化简a a b a a ab-+的结果是________．分析：因为分母是含字母的根式，可能使a ab -=0，所以不可将分子、分母同乘以分母的有理化因子．但是，如果注意到分子、分母可以分解为乘积的形式，也许可以解决问题． 解：由所给算式知a b >≥00， ∴原式=-+=+-+=-a a b a a b a a b a b a a b a b ()()()()()【考点突破】【考点指要】二次根式的概念及其运算在中考说明中是C 级知识点，它们常与整式、分式、综合在一起，以选择题、填空题、计算题等题型出现在中考题中，大约占有4—8分左右．解决这类问题需熟练掌握二次根式的概念和运算法则．【典型例题分析】 例1. 选择题： （1）（2006年某某省中考题）函数y x =-1中，自变量的取值X 围是（） A. x ≥1 B. x >1 C. x >0 D. x ≠1 （2）（2003年某某市中考题）选择题：如果()x x -=-222，那么x 的取值X 围是（）A. x ≤2B. x <0C. x ≥2D. x >2（3）选择题：若a a a a 2211-=-，则a 的取值X 围是（） A. a a >≠01且 B. a ≤0 C. a a ≠≠01且D. a <0（4）（1996年某某省中考题）选择题：若ab ≠0，则等式--=-a b b ab 531成立的条件是（）A. a b >>00，B. a b ><00，C. a b <>00，D. a b <<00，分析：正确运用二次根式性质的前提是被开方数的非负性（在分母上则不能为零）． 解：（1）要使x -1有意义，x -≥10，∴≥x 1 答案：选A ．（2）等式()x x -=-222成立的条件是x -≥20，即x ≥2 故选C ．（3）由a a aa 2211-=-，得 ||()a a a a 111-=- 即-⋅-=-||a a a a 1111于是，-=||a a1∴<a 0．故选D ．（4）等式--=-a b bab 531变形为--=-1133||b ab b ab ， 这个等式成立的条件是 ->=-⎧⎨⎩ab b b 0||即ab b <<⎧⎨⎩0 ∴><a b 00且故选B ．点评：正确运用二次根式性质的前提是掌握公式中被开方式中字母的取值X 围，而且这个X 围必须使每个二次根式都有意义，因本例的问题是找使公式能成立的条件，所以是逆向求字母的取值X 围，这种方法常归结为求不等式组的解的问题．★最简根式 例2. 选择题： （1）（2004年某某市中考题）下列二次根式中，最简二次根式是（）A.12B. 8C. y 3D. a 21+ （2）（2002年某某市中考题）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）A. 4aB. a 4C. a4D. a 4（3）下列根式中，最简二次根式是（）A. 23aB. aa3 C. a b b a D. a a b 423+（4）（2001年某某省中考题）下列二次根式：2xy ，8，ab2，35xy ，x y +，12，其中最简二次根式共有（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个分析：紧扣最简二次根式的条件：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．解：（1）因为12中含有分母，822232=⋅=⋅和y y y 的被开方数中含开得尽方的因数或因式，它们都不是最简二次根式，只有a 21+满足最简二次根式的条件，故选D ． （2）选C ． （3）选B ．（4）只有2xy x y 和+是最简二次根式，故选A ．点评：判断一个二次根式是不是最简二次根式，必须抓住由“两条”刻画的“最简”含义，先看被开方数的因数是不是整数，因式是不是整式，再看被开方数是不是含有能开得尽方的因数或因式，如果“两条”都满足的就是最简二次根式，否则就不是最简二次根式．★对错难辨例3. （2001年某某市中考题）阅读下面的文字后，回答问题．小明和小芳解答题目“先化简下式，再求值：a a a +-+122，其中a =9”时，得到了不同的答案．小明的解答是：原式=+-=+-=a a a a ()()1112；小芳的解答是：原式=+-=+-=-=⨯-=a a a a a ()()1121291172； （1）__________的解答是错误的．（2）错误的解答错在未能正确运用二次根式的性质：________． 答案：（1）小明（2）a a 2=||点评：本例中，小明的错误是同学最容易出现的错误，如a a a a 22=-=-，()，42=±，等等．纠正办法是：①明确“a ”表示算术平方根；②明确算术平方根的非负性，即a a ≥≥00()，也就是说a 只能是正数或0，而不可能是负数；③在化简a 2时，应利用公式a a 2=||过渡，稍作停留，冷静下来，看清算术根的实质，再去掉绝对值符号（需分类讨论时再分类写出答案），即可确保万无一失．★隐含条件例4. （1）（2002年市顺义区中考题）把二次根式a a-1化简，正确的结果是（） A. -aB. --aC. -aD. a（2）（2001年某某省中考题）化简二次根式a a a -+12的结果是（） A. --a 1B. ---a 1C. a -1D. --a 1分析：紧紧抓住：对于a ，只有当a ≥0时，a 才表示a 的算术平方根． 解：（1）显然a ≠0，由->10a，得a <0 ∴-=-=⋅-=⋅-=--=--a a a a a a a aa a a a a a a 122||故选B ．点评：①因为二次根式a 隐含条件“a ≥0”，所以本题隐含了一个条件->10a②a a a a ||()()=>-<⎧⎨⎩1010（2）显然a ≠0．由a a aa 2201010>-+≥-+≥，，得() ∴≤-∴=-+=⋅-+=⋅-+a aa a a a a a a a 111122原式()()()|| =---=---aa a a 11 故选B ． 点评：在化简二次根式a 2的问题中，要把根式的性质a a 2=||与绝对值||a 的概念结合起来，形成一条“等式链”：a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||(),()在具体解题时，强调在这个“等式链”的中间一环——||a 处“暂停”，以便由||a 再考虑a 的符号，以保证最后结果为非负数． ★对错难辨例5. （1）（2002年某某省中考题）选择题：化简132+．甲、乙两位同学的解法如下：甲：13232323232+=-+-=-()()乙：132323232323232+=-+=+-+=-()()对于甲、乙两位同学的解法，正确的判断是（）A. 甲、乙的解法都正确B. 甲正确、乙不正确C. 甲、乙的解法都不正确D. 甲不正确、乙正确（2）选择题：有理化分母：x yx y-+小聪和小明的解法如下：小聪的解法：原式=--+-()()()()x y x y x y x y=---=-()()x y x y x yx y小明的解法：原式=-+()()x y x y22=+-+=-()()x y x y x yx y对于小聪、小明的解法，正确的判断是（）A. 小聪、小明的解法都正确B. 小聪正确、小明不正确C. 小聪、小明的解法都不正确D. 小聪不正确、小明正确分析：在作二次根式的除法时，通常把除法写成分数的形式，所得的商应是分母中不含根号的式子．如果分母中含有根号，就要把分母中的根号化去．至于怎么“化去”分母中的根号，既可以采用根式的除法运算，也可以在分子、分母上同乘以分母的有理化因式，只要能使分母变成有理式（但分母的值不能为零！） 解：（1）甲的解法是在分子、分母上同乘以分母()32+的有理化因式()32-，使分母变成了有理式1，所得的商是分母中不含根式的式子．所以，甲的解法正确．乙的解法是把分子1变成()32-后分解变形，变成()()3232+-，利用二次根式的除法运算（实际上是“约分”），也把分母变成了有理式1，所得的商也是分母中不含根式的式子，所以，乙的解法也正确． 故选A ．（2）首先注意题目的隐含条件：由已知的算式可知，应该有x >0且y >0．但是，x y 、之间的大小关系，在已知算式中没有特别地表明，所以，x y 、之间的关系应该有：x y x y ≠=或．由此可见，小聪的解法不正确．错误的原因是：如果x y =，那么x y -=0，分子、分母就不能同乘以分母()x y +的有理化因式()x y -．小明的解法是正确的．因为他把分子x y -分解变形：由x y x y x y x y x y >>-=-=+-0022，，得()()()()，然后应用根式的除法运算使分母中的根号化去，符合分母有理化的标准，而且在这个过程中，保持分母不为零．所以，小明的解法正确． 故选D ． 点评：本题表现的是分母有理化的两种基本方法以及应该注意的地方．在作二次根式的除法时，特别是除式的两个根式的和的情形，如本例两个小题那样，为了化简或计算上避免作除数是近似小数的除法运算，要使所得的商是分母中不含根式的式子，就要化去分母中的根号（这个过程就是分母有理化），基本方法一是分子、分母同乘以分母的有理化因式，使分母变为有理式；二是通过分子的分解变形约去分母中的根号．这是代数中的基本功，一定要熟练掌握．当然，由于所给式子结构形式的其他特点，也可以采用其他的办法进行分母有理化．★化简求值例6. （1）（2002年某某省某某市中考题）当x =-21时，求x x x x x x x +-++⋅-++13114322的值． 分析：先化简，再代入求值．解：x x x x x x x +-++⋅-++13114322 =+-++⋅+-++=+--+=+x x x x x x x x x x x x x 131111311111()()()()∴当x =-21时原式=-+==12111222（2）（2002年某某市中考题）填空题：已知x =+21，则代数式：x x x x x x x x -+--÷--++121221222的值等于______． 解：原式=-+--⋅++--x x x x x x x x 121212222 =-+-+-⋅++-=-+-=+-x x x x x x x x x x x x x 1211112111112()()()()()∴当x =+21时原式=+++-=+=+211211212212()（3）（2001年某某省某某市中考题）已知a =+123，求a a a a a a a2226221--+--+-的值． 分析：“目标”中有a a 221-+，化简时应由已知推知a -1的正负．解：由a =+=-<123231，得a -<10∴原式=+-+---()()()()a a a a a a 232112=----=-+--=+-a a a a a a a a a a31131113||()()a =-∴=-++-=23232331,原式点评：本题因化简()a -12需要将123+进行分母有理化，得到a =-<231，一方面解决了a -<10，从而()()a a -=--112，使原式顺利化简，另一方面又在最后求值计算a a +1时正好用上了，再注意到由已知即得123a=+，使计算合理、正确、迅速．这个题目设计巧妙，考查了有理式变形（因式分解、约分）和根式变形（化简()a -12、分母有理化），以及计算的灵活性、合理性，是一个多功能的好题．【综合测试】一. 选择题：1. （某某市）下列二次根式中，最简二次根式是（） A. 22xB. b 21+C. 4aD.1x2. （某某省）在下列式子中，正确的是（） A. -=-5533 B. -=-3606.. C. ()-=-13132D. 366=± 3. （市某某区）化简1231-的结果为（）A. 231+B. 231-C.23111- D. 23111+ 4. （某某市）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）A. 4aB. a 4C. a4 D. a 45. （某某市）化简132-的结果是（）A. 32-B. 32+C. --32D. -+326. （某某市）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）A. x2B. 8C. x 2D. x 21+7. （某某回族自治区）已知a =+132，b =-32，那么a 与b 的关系为（）A. a b =B. a b +=0C. ab =1D. ab =-18. （某某市）-a 3化简的结果为（）A. -a aB. a a -C. --a aD. a a 9. 在根式2823512xy ab xy x y ,,,,,+中，最简二次根式的个数是（） A. 2B. 3C. 4D. 510. （2001某某）能使等式xx xx -=-22成立的x 取值X 围是（）A. x ≠2B. x ≥0C. x >2D. x ≥2二. 填空题：1. （某某省）若x <5，则()x -=52_______．2. （某某市）若14<<x ，则化简()()x x -+-4122的结果是________．3. （某某市）计算⋅---+)3223(1313()3223+=_________．4. （某某市）已知x =-152，则x x -1的值等于_______． 5. （某某省）已知，实数a b ,在数轴上对应点的位置如图所示，化简：b b a --=()2_______．a 0 b6. （某某市）已知x ≤1，化简124422-+--+=x x x x _______．三. 当x 是何实数时，下列各式分别为二次根式？ （1）21x +；（2）-52x ； （3）1-||x ；（4）x x 244-+四. 化简：1. ()()()x x x ---<<810810222. ()()x y x yx y ---<13. a ab ab b ab a b 2240+⋅+⋅<<()4. ()()m n mnm mn n n m 222220--+>>5. |()|||()x x x x --+-<22112五. 求代数式的值：1. （某某市）先化简，再求值：()1112+÷-x x x，其中x =22. （市东城区）已知a b =-=+152152,，求b a ab ++2的值． 3. （某某省）先化简，再求值：()()()2121212a a a +-+-，其中a =-512六. （某某市）化简352+，甲、乙两同学的解法如下：甲：3523525252+=-+-()()()=-52；乙：352525252+=+-+()()=-52对于他们的解法，正确的判断是（） A. 甲、乙的解法都正确B. 甲的解法正确，乙的解法不正确C. 乙的解法正确，甲的解法不正确D. 甲、乙的解法都不正确七. 把代数式()x y x y---1根号外的因式移到根号内，并化简．某同学这样解：原式=---=--=-()()x y x yx y y x 2问：他做得对吗？如果不对，就指出错误的原因，并写出正确的解法．八. 已知a b =51,是a 的小数部分，求a b21-的值．【综合测式答案】一. 1. B 2. A 3. D 4. C5. B6. D7. B8. C9. A10. C二. 1. 5-x 2. 33. 34-4. 45. a6. -1三.解：（1）要使21x +为二次根式，必须210x +≥，即x ≥-12∴当x ≥-12时，21x +为二次根式． （2）要使-52x 为二次根式，必须-≥502x ，即x 20≤，而x 2是非负的，得x =0．∴当x =0时，-52x 为二次根式．（3）要使1-||x 为二次根式，必须10-≥||x ，得||x ≤1，即-≤≤11x ．∴当-≤≤11x 时，1-||x 为二次根式．（4）要使x x 244-+为二次根式，必须04x 4x 2≥+-，而x x x 22442-+=-()，不论x 取何实数，()x -22是非负的，即()x -≥202．∴x 取任意实数时，x x 244-+都为二次根式．说明：通过本例我们应进一步明确a a ()≥0的意义．不是对任意的实数a a ,都有意义，只有当a 有意义时，它才叫做二次根式．四. 1. 原式=---=---=--+=-||||()x x x x x x x 810810810218 2. 原式=-----=--()()()x y x y x y y x3. 原式=++⋅=+=+()()()|()|a ab ab b ab a b a b ab a b 22222442=-+=--22222ab a b a b ab ()4. 原式=+--=-+()()(()m n m n n m)mn m n mn5. 原式=--+-=-++-=|()()|||x x x x x x 2212220五. 1. 原式=+⋅+-=-x x x x x x 11111()() 当x =2时，原式=-=+121212. a =-=+15252，b =+=-15252原式=+=++-+-==()()()()()a b ab 2225252525225120 3. 原式=++--4414122a a a ())1a 2(22a 41a 41a 4a 422+=+=+-++= 当a =-512时，原式52)115(2=+-=六. A七. 解：他做得不对．错误的原因是他没有考虑到原式成立的隐含条件是-->10x y，即x y -<0．因为把根号外的代数式移到根号内时，实际上是在逆用“等式链”a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()()也就是说，应先考虑移到根号内的代数式的正、负，注意只能把正因式平方后移到根号内．正确的解法：由所给代数式知-->10x y，故x y -<0．∴原式=---()y x y x1=---=--()y x y x y x 2说明：如果你不能看出某同学解法的问题，就可以把具体的数代入算算看，例如取x y ==37,（思考：为什么不取x y ==73,呢？）那么，一方面，由题目的原式=---=-=-()371374142；另一方面，由这位同学解得的结果得原式=-=734=2．由此可见，这位同学做错了．八. 解：由495164<<，得7518<< ∴a 的小数部分b =-517 ∴-=--=-+-a b 2151215175125175149 272751251-=+-=。
北师版九年级数学下册中考知识点梳理
第一部分教材知识梳理·系统复习第一单元数与式第1讲实数第2讲整式与因式分解一、知识清单梳理第3讲分式二、知识清单梳理第4讲二次根式三、知识清单梳理第二单元方程(组)与不等式(组)第5讲一次方程(组) 四、知识清单梳理第6讲一元二次方程五、知识清单梳理第7讲分式方程六、知识清单梳理第8讲一元一次不等式(组) x≥a x＞a x≤a x＜a第9讲平面直角坐标系与函数八、知识清单梳理第10讲一次函数九、知识清单梳理第11讲反比例函数的图象和性质十、知识清单梳理（1）确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）.【方法二】联立两个函数解析式，利用方程面积；②也要注意系数k的几何意义三个阴影部分的面积按从小到大的顺序排列为：S△AOC=S第12讲二次函数的图象与性质第13讲二次函数的应用第四单元图形的初步认识与三角形第14讲平面图形与相交线、平行线十三、知识清单梳理第15讲一般三角形及其性质第16讲等腰、等边及直角三角形十五、知识清单梳理第17讲相似三角形D cD c10cm的线段进行黄金分的比叫做黄金比．CE第18讲解直角三角形十七、知识清单梳理解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；第五单元四边形第19讲多边形与平行四边形十八、知识清单梳理：平行四边形的判定第20讲特殊的平行四边形一、知识清单梳理如图，四边形形.（变式：如图④，四边形图①图②图③图④第六单元圆第21讲圆的基本性质垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即推二知三.图a 图b 图cBAC=40°，则∠D第22讲与圆有关的位置关系二十、知识清单梳理第23讲与圆有关的计算二十一、知识清单梳理（2）特殊正多边形中各中心角、长度比：中心角=120°中心角=90°中心角=60°，△BOCa:r:R=2:1:2 a:r:R=2::2知识点二：与圆有关的计算公式n第七单元图形与变换第24讲平移、对称、旋转与位似第25讲视图与投影第八单元统计与概率第26讲统计第27讲概率。
2020年中考复习知识点梳理：第四课时二次根式
第四课时二次根式
知识梳理：
知识点一、二次根式的相关概念
1、式子_____________________叫做二次根式。
要点点拨：二次根式的相关概念
❶a既可以是数，也可以是式；
❷注意√a的双重非负性，即：a≥0;√a≥0。
2、最简二次根式：被开方数的因数是_______，因式是_______，被开方数中不含能开得尽方的__________的二次根式叫最简二次根式。
3、同类二次根式：化为最简二次根式之后，_____________相同的二次根式，叫做同类二次根式。
4、分母有理化：把分母中的根号化去叫做分母有理化。
知识点二、二次根式的性质
（1）(√a)2=___________(a≥0)；
（2）√a2=________________；
（3）√ab=_______________(a≥0,b≥0)；
=_________________(a≥0,b>0)
（4）√a
b
知识点三、二次根式的运算
（1）二次根式的加减：将各二次根式化为_________________后，合并___________________。
（2）二次根式的乘法：_________________________
（3）二次根式的除法：_________________________
注意：二次根式运算的最终结果如果是根式，要化成最简二次根式。
九年级数学二次根式知识点
九年级数学二次根式知识点提高数学考试成果诀窍方法之一是，在考试前进行高水平高效率的复习，花时间去攻克自己不熟识的题目，不断地把生疏转化为熟识。
下面是我整理的九年级数学二次根式学问点，仅供参考盼望能够关心到大家。
九年级数学二次根式学问点①二次根式的概念：一般地，形如√a (a≥0)的式子叫作二次根式，其中“√”称为二次根号，a 称为被开方数。
例如，√2 ，√(x^2+1) ，√(x-1) (x≥1) 等都是二次根式。
②二次根式的性质：当 a ≥ 0 时，√a 表示 a 的算术平方根，所以√a 是非负数 ( √a ≥ 0)，即对于式子√a 来说，不但 a ≥ 0，而且√a ≥ 0，因此可以说√a 具有双重非负性。
③最简二次根式：1、被开方数中不含有分母 ;2、被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式。
④积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
⑤商的算术平方根的性质：商的算术平方根，等于被除式的算术平方铲除以除式的算术平方根。
注：对于商的算术平方根，最终结果肯定要进行分母有理化。
⑥分母有理化：化去分母中根号的变形叫作分母有理化，分母有理化的方法是依据分数的基本性质，将分子和分母分别乘分母的有理化因式(两个含有二次根式的代数式相乘，假如它们的积不含二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式)化去分母中的根号。
⑦化成最简二次根式的一般方法：1、将被开方数中能开得尽方的因数或因式进行开方;2、若被开方数含分母，先依据商的算术平方根的性质对二次根式进行变形，再依据分母有理化的方法化简二次根式;3、若分母中含二次根式，依据分母有理化的方法化简二次根式。
推断一个二次根式是否为最简二次根式，要紧扣最简二次根式的特点：(1)被开方数中不含分母;(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式;(3)若被开方数是和(或差)的形式，则先把被开方数写成积的形式，再推断，若无法写成积(或一个数)的形式，则为最简二次根式。
九年级下十单元知识点总结
九年级下十单元知识点总结第一单元：二次根式及其性质二次根式是数学中的一个重要概念。
在本单元中，我们学习了二次根式的定义及其性质。
1. 二次根式的定义二次根式是指像√a这样的形式，其中a为非负实数。
当a为正数时，√a有两个相同的实数解；当a为零时，√a的值为零；当a 为负数时，√a没有实数解，但可以引入虚数单位i，表示为√(-a)=i√a。
2. 二次根式的性质二次根式具有以下性质：- 二次根式可以相互约分，即√(ab) = √a * √b。
- 二次根式可以进行加减运算，但只有当根号内的值相等时才可以直接进行运算。
- 二次根式可以进行乘法运算，即√a * √b = √(ab)。
- 二次根式可以进行除法运算，即√a / √b = √(a/b)，其中b不能为零。
第二单元：一元一次方程与二元一次方程一元一次方程是一种常见的方程形式，而二元一次方程则包含两个变量和一个未知数，需要通过联立方程组求解。
1. 一元一次方程一元一次方程是指只包含一个变量的一次方程。
解一元一次方程的步骤如下：- 将方程中的字母项移到方程的一边，常数项移到方程的另一边，使方程变为ax = b的形式。
- 计算方程的解x，即x = b/a。
2. 二元一次方程二元一次方程是指包含两个变量的一次方程组。
求解二元一次方程组的步骤如下：- 将两个方程进行联立，消去一个变量，得到一个只包含一个变量的方程。
- 求解单个方程，得到其中一个变量的值。
- 将求得的变量值代入另一个方程中，求解另一个变量的值。
第三单元：平面直角坐标系与直线方程平面直角坐标系是对平面上的点进行位置标记的一种方法，而直线方程则可以描述直线的性质和特点。
1. 平面直角坐标系平面直角坐标系由横轴和纵轴组成，将平面分割成四个象限。
在平面直角坐标系中，点的位置由它与原点的横坐标和纵坐标决定。
2. 直线方程直线方程有多种表示形式，常见的有一般式、斜截式和点斜式。
- 一般式方程：Ax + By + C = 0，其中A、B、C为实数，A和B不同时为零。
北师大版初中数学各册章节知识点总结
北师大版初中数学各册章节知识点总结第一册：《初二上册》1.直角三角形：直角三角形的定义、直角三角形的性质、勾股定理。
2.平面图形的表示：点、线、线段、射线、角度、平行线、垂直线、相交线等基本概念。
3.二次根式：二次根式的定义、运算法则。
4.初中平面几何基本定理：垂线定理、等腰三角形的性质、三角形中位线定理、角平分线定理等。
5.多边形：多边形的定义、正多边形、变位积分、多边形的内角和、多边形的外角和。
6.梅涅劳斯定理：梅涅劳斯定理的概念、定理的应用。
第二册：《初二下册》1.线性方程：线性方程的定义、解线性方程的常用方法。
2.三角函数的定义和初步认识：三角函数的定义、正弦函数、余弦函数、正切函数等。
3.平行线与相交线：平行线的性质、平行线之间的角对、相交线之间的角对等。
4.二次函数：二次函数的基本性质、二次函数图像的性质与应用。
5.海伦公式：海伦公式的概念、海伦公式的应用。
第三册：《初三上册》1.集合：集合的概念、集合的运算、集合的表示等。
2.图形的相似：图形相似的概念、相似比、相似三角形的性质等。
3.三角形的性质：三角形的角与边的关系、角边关系等。
4.空间几何基本概念：欧几里得空间几何学的基本概念、空间图形与平面图形的关系等。
5.高中数学预修知识：比例与相似、复数等。
第四册：《初三下册》1.数系的扩充：有理数和无理数的概念、实数的分类等。
2.几何体的计算：几何体的表面积、几何体的体积等。
3.空间几何基本定理：角的平分线、角的辅助线等。
4.三角恒等式：三角函数的反函数、三角函数的周期等。
第五册：《九年级上册》1.一次函数：一次函数的定义、一次函数图像的性质、线性规律等。
2.向量几何：向量的定义、向量的运算、向量的平行和垂直等。
3.数的四则运算：整数、有理数、无理数的四则运算等。
4.二次方程与不等式：二次方程的定义、解二次方程的方法等。
5.三角形的面积：三角形的名字、面积的计算公式等。
第六册：《九年级下册》1.指数与对数：指数、对数和底数的概念、指数与对数的性质等。
北师大版九年级数学下 第4讲 二次根式 中考知识点梳理
一、知识清单梳理
知识点一：二次根式
关键点拨及对应举例
1.有关概念
（1）二次根式的概念：形如 (a≥0)的式子.
（2）二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0.
（3）最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
失分点警示：当判断分式、二次根式组成的复合代数式有意义的条件时，注意确保各部分都有意义，即分母不为0，被开方数大于等于0等.例：若代数式 有意义，则x的取值范围是x＞1.
例：计算：( +1)( -1)=1.
(2)两个重要性质：
①( )2＝a(a≥0)；② ＝|a|＝ ；
(3)积的算术平方根： ＝ · (a≥0，b≥0)；
(4)商的算术平方根： (a≥0，b＞0)．
例：计算：
＝3.14； ＝2；
=；=2；
知识点二：二次根式的运算
3.二次根式的加减法
先将各根式化为最简二次根式，再合并：
①被开方数是非负数，即a≥0；
②二次根式的值是非负数，即 ≥0.
注意：初中阶段学过的非负数有：绝对值、偶幂、算式平方根、二次根式.
利用二次根式的双重非负性解题：
（1）值非负:当多个非负数的和为0时，可得各个非负数均为0.如 + =0，则a=-1，b=1.
（2）被开方数非负:当互为相反数的两个数同时出现在二次根式的被开方数下时，可得这一对相反数的数均为0.如已知b= + ,则a=1,b=0.
例：计算： ＝ .
4.二次根式的乘除法
（1）乘法： · = (a≥0，b≥0)；
（2）除法： = (a≥0，b＞0)．
注意：将运算结果化为最简二次根式.
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一、知识清单梳理
知识点一：二次根式
关键点拨及对应举例
1.有关概念
（1）二次根式的概念：形如 (a≥0)的式子.
（2）二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0.
（3）最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
失分点警示：当判断分式、二次根式组成的复合代数式有意义的条件时，注意确保各部分都有意义，即分母不为0，被开方数大于等于0等.例：若代数式 有意义，则x的取值范围是x＞1.
(2)两个重要性质：
①( )2＝a(a≥0)；② ＝|a|＝ ；
(3)积的算术平方根： ＝ · (a≥0，b≥0)；
(4)商的算术平方根： (a≥0，b＞0)．
例：计算：
＝3.14； ＝2；
=；=2；
知识点二：二次根式的运算
3.二次根式的加减法
先将各根式化为最简二次根式，再合并被开方数相同的二次根式．
例：计算： ＝ .
4.二次根式的乘除法
（1）乘法： · = (a≥0，b≥0)；
（2）除法： = (a≥0，b＞0)．
注意：将运算结果化为最简二次根式.
例：计算： ＝1； 4.
5.二次根式的混合运算
运算顺序与实数的运算顺序相同，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的（或先去括号）．
运算时，注意观察，有时运用乘法公式会使运算简便.
2.二次根式的性质
（1）双重非负性：
①被开方数是非负数，即a≥0；
②二次根式的值是非负数，即 ≥0.
注意：初中阶段学过的非负数有：绝对值、偶幂、算式平方根、二次的和为0时，可得各个非负数均为0.如 + =0，则a=-1，b=1.
（2）被开方数非负:当互为相反数的两个数同时出现在二次根式的被开方数下时，可得这一对相反数的数均为0.如已知b= + ,则a=1,b=0.
例：计算：( +1)( -1)=1.