欧式空间的最佳逼近

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最佳逼近

2 i 1 n
若p S是最佳逼近元，则f p S，即
( f - g , 1 ( x)) 0, ( f - g , 2 ( x)) 0,..., ( f - g , m ( x))
称为法方程或者正规方程。
( f ( x ) - p( x )) ( x ) [ y (c ( x ) ... c
函数的最佳逼近
主讲孟纯军

插值法是用多项式近似的表示函数,并要求在他们的某些点处的值相拟合. 最佳逼近（或者曲线拟和）也是用简单函数逼近复杂函数（或未知函数），但是，逼近的原则和插值的原则不一样。
离散情形

最小二乘拟合直线最小二乘拟合多项式非线性拟合
Hilbert空间中的投影定理
1的基为1, x, 则g 1是f ( x)在最佳逼近元的充要条件为
(f g ,1)= ( f ( xi ) g ( xi )) 1 ( f ( xi ) (a bxi )) 1 0
i 1 i 1
n
n
(f g ,x)= ( f ( xi ) g ( xi )) xi ( f ( xi ) (a bxi )) xi 0
2 i 1
n
即如下最佳逼近问题：
1.子空间为 m，即次数不超过n的多项式，取它的基函数为 1， x,...x ;
m
2. 在 m中找一个元素p( x)，使它与给定函数 f ( x)最靠近,即 ( p( xi） f ( xi )) 2 min 。
i 1 n
p m是f ( x)在最佳逼近元的充要条件为
b=0.9068
最小二乘拟合直线为y= 0.0147 +0.9068x

索伯列夫空间逼近定理

索伯列夫空间逼近定理
索伯列夫空间逼近定理是数学分析中的一个重要定理，它涉及
到函数序列在特定条件下的逼近性质。

索伯列夫空间是一个拓扑向
量空间，而逼近定理则描述了在这样的空间中，可以找到一个函数
序列，它可以逼近该空间中的任意函数。

这个定理在实际问题中有
着广泛的应用，比如在数值分析、逼近论和偏微分方程等领域。

从数学角度来看，索伯列夫空间逼近定理可以被分为几个方面
来讨论。

首先，我们可以从定义和条件入手，详细阐述索伯列夫空
间的定义以及逼近定理的前提条件。

其次，我们可以讨论逼近定理
的具体表述，即如何通过一个函数序列来逼近索伯列夫空间中的函数。

接着，可以探讨逼近定理的证明思路和关键步骤，以及可能涉
及到的一些重要引理或定理。

此外，还可以从实际应用的角度来看，例如在信号处理中的应用，或者在数值计算中的意义等方面进行讨论。

除了数学角度，我们还可以从历史和发展的角度来探讨索伯列
夫空间逼近定理。

可以介绍该定理的提出者、发展历程以及对数学
分析和其他领域的影响。

此外，还可以从教学和学习的角度来探讨，比如逼近定理在数学教学中的作用和意义，以及在学习过程中的一
些案例或习题。

总的来说，索伯列夫空间逼近定理是数学分析中的一个重要定理，从数学角度、历史发展角度以及教学学习角度都有着深远的意义和影响。

通过全面地从多个角度来讨论这个定理，可以更好地理解和应用它。

最佳逼近定理

最佳逼近定理
最佳逼近定理是数学中的一个重要定理，它指出了在一定条件下，一个函数可以用另一个函数来最佳逼近。

这个定理在实际应用中有着广泛的应用，比如在信号处理、图像处理、数据分析等领域中都有着重要的作用。

最佳逼近定理的核心思想是，对于一个函数f(x)，如果我们想用另一个函数g(x)来逼近它，那么我们需要找到一个最佳的g(x)，使得它与f(x)的误差最小。

这个误差可以用欧几里得距离或者其他的距离度量来表示，而最佳逼近定理就是告诉我们，这个最小误差是一定存在的，并且可以通过一定的方法来求得。

最佳逼近定理的应用非常广泛，比如在信号处理中，我们经常需要对信号进行滤波处理，而滤波器的设计就可以通过最佳逼近定理来实现。

在图像处理中，我们也可以利用最佳逼近定理来进行图像压缩和去噪等处理。

在数据分析中，最佳逼近定理可以用来进行数据拟合和预测等任务。

最佳逼近定理的证明比较复杂，需要用到一些高等数学知识，比如泛函分析、函数空间等。

但是在实际应用中，我们并不需要深入理解其证明过程，只需要掌握其基本思想和应用方法即可。

最佳逼近定理是数学中的一个重要定理，它在实际应用中有着广泛的应用。

通过最佳逼近定理，我们可以找到一个最佳的函数来逼近
另一个函数，从而实现信号处理、图像处理、数据分析等任务。

欧几里得距离

欧几里德空间和距离欧几里德空间(Euclidean Space)，简称为欧氏空间，在数学中是对欧几里德所研究的二维和三维空间的一般化。

所谓一般化就是把欧几里德对于距离、以及相关的概念如长度和角度等转换成任意数维的坐标系。

欧几里德距离(Euclidean Distance)The Euclidean distance between points andin Euclidean n-space, is definedas:.设x n和y n分别是n维度量空间中的点，则其欧几里德距离定义为：d(x,y)=(∑(x i-y i)2)1/2当n=2时，则为平面上两点的距离，当n=3时，则为三维空间中两点的距离。

2.2.1 区间标度变量区间标度变量是一个粗略线性标度的连续变量。

用来计算相异度d（i，j），其距离度量包括欧几里德距离，曼哈坦距离和明考斯基距离。

（2）计算标准化的度量值：Z if = （x if-m f）/s f我们知道对象之间的相异度是基于对象间的距离来计算的。

d(i,i)=0:对象与自身的距离为0。

d(i,j)=d(j,i):距离函数具有对称性。

d(i,j)≦d(i,h)+d(h,j):对象i到对象j的距离小于等于途经其他任何对象h的距离之和。

Bochner-Lebesgue空间内的最佳同时逼近

Bochner-Lebesgue空间内的最佳同时逼近魏海花;徐景实【摘要】在本文中,我们研究了Bochner-Lebesgue空间内的相对于欧氏空间的Minkowski范数的最佳同时逼近.首先,给出了由距离函数表示的最佳同时逼近的刻画.然后,利用可测选择定理证明其函数取值于一个闭的可分子空间的Bochner-Lebesgue空间,其同时可逼近性等价于此闭的可分子空间的同时可逼近性.最后,指出子空间的可分性是同时可逼近性等价的必要条件.%In this paper, we consider the best simultaneous approximations in Bochner-Lebesgue spaces with respective to Minkowski'norms in Euclidean spaces. Firstly, we give a characterization of best simultaneous approximations by the distance func-tions. Then,by applying this characterization and a measurable selection theorem we show the simultaneous proximinality of a Bochner-Lebesgue space whose func-tions take values in a closed separable subspace is equivalent to the simultaneous proximinality of the closed separable subspace. Finally, we conclude that for their equivalence,the separability of the subspace is necessary.【期刊名称】《工程数学学报》【年(卷),期】2017(034)005【总页数】8页(P563-570)【关键词】Bochner-Lebesgue空间;同时可近性;最佳同时逼近【作者】魏海花;徐景实【作者单位】海南师范大学数学与统计学院,海口571158;海南师范大学数学与统计学院,海口571158【正文语种】中文【中图分类】O174.41 IntroductionLet(A,A,µ)be a measure space and X be a Banach space.If a function f:A→X can be written asEiis a measurable set for i∈{1,2,···,k},then f is called a simple function,where and what follows χDdenotes the indicator function on D.If ther e exists a sequence of simple functions fnwhich converges to f almost everywhere on A,then f is called stronglyµ-measurable.If 1≤p<∞,then the Bochner-Lebesgue space Lp(A,X)is the collection of all stronglyµ-measurable function f:A→X endowed with the normWhen X isRorC,we simply denote Lp(A,X)by Lp(A).Let 1≤p<∞,denote the norm inRmbyLet Y be a subset of normed space X.For x1,x2,···,xm∈X,definey0∈Y is called a best-simultaneous approximation of x1,x2,···,xm∈X from Y ifIf for any m-tuple of vector x1,x2,···,xm∈X,there is a best p-simultaneous approximation of x1,x2,···,xm∈X from Y,then Y is said to bep-simultaneously proximinal in X.If thisp-simultaneous approximation is unique for m-tuple of vector x1,x2,···,xm∈X,then Y is said to be Chebyshev p-simultaneously proximinal in X.Recently,simultaneously proximinality in Banach space valued Bochner-Lebesgue spaces has been extensively studied;see[1–16].Indeed,when p=1 and Y is a closed subspace of a Banach space X,Eyad Abu-Sirhanin[1]considered the 1-simultaneous approximation of L1(A,Y)in L1(A,X).And in[4],considered the 1-simultaneous approximation of E(Y)in E(X)when E is a Köthe space on the measure space(A,A,µ).In this note,we will generalise those results in[1]for p=1 to the casesp∈[1,∞).Precisely,l et Y be a subspace of X,we will consider the p-simultaneous approximation of Lp(A,Y)in Lp(A,X)for 1≤p<∞by introducing a distance function and the equivalence of the simultaneously proximinality of Lp(A,Y)and the simultaneously proximinality of Y.Our results will be given in the next section.2 Main resultsFirstly,we give a characterization of distance functions.Theorem 1 Let Y be a subspace of Banach space X.Suppose 1≤p<∞.Forf1,f2,···,fm∈Lp(A,X),define the distance function ϕ:A→ Rbyϕ(s):=dp({fi(s):1≤i≤m},Y).Then ϕ∈Lp(A)andProof Let f1,f2,···,fm∈Lp(A,X),there exist sequences of simplefunctions{fi,n}which converge to fialmost everywhere respectively.SupposeBy the continuity of dp,almost everywhere.Hence ϕis measurable.Since 0 ∈Y,we obtain thatϕ∈L p.Now for each h∈Lp(A,Y),Thus,we haveThereforeFor the reverse inequality,let ϵ>0 be given and yi,i=1,2,···,m be simple functions in Lp(A,X)such thatAssume,Akare disjoint and 0<µ(Ak)<∞and xi,k∈X.Pick zk∈Y such thatwhere in the last third inequal ity we used Mikowski’s inequality.Since ϵ is arbitrary,we haveThis completes the proof.From Theorem 1,we easily have the following corollaries.Corollary 1 Let Y be a closed subspace of a Banach space X.Suppose1≤p<∞.Then an element g of Lp(A,Y)is ap-simultaneous approximation to elements f1,f2,···,fmin Lp(A,X)if and only if g(s)is a p-simultaneous approximation in Y to f1(s),f2(s),···,fm(s)for almost all s∈A.Corollary 2 Let Y be a Chebyshevp-simultaneously proximinal subspace of a Banach space X.Suppos e 1 ≤p<∞.If Lp(A,Y)isp-simultaneously proximinal in Lp(A,X),then it is a Chebyshev -simultaneously proximinal subspace of Lp(A,X).Next,we transfer the -simultaneously proximinality of Y in X to Lp(A,Y)in Lp(A,X).To do so,we need preliminaries.Let(A,A,µ)be a measure space and X be a Banach space.If f−1(O)is measurable for each open set O⊂X,then f:A→X is called to be measurable in the classical sense.To prove our result we need the following lemmas.Lemma 1[17]Let(A,A,µ)be a complete measure space and X be a Banach space.If f is a measurable function in the classical sense from A to X and has essentially separable range,then f is strongly measurable.Lemma 2[17](A,A,µ)be a complete measure space and X be a Banach space.If f is a strongly measurable function from A to X,then f is a measurable in the classical sense.Let Φ be a set-valued mapping,taking each point of a measurable space A into a subset of a metric space W. Φ is called to be weakly measurable if Φ−1(O)is measurable in A whenever O is open in W.H ence we set for any Q⊂W,The following lemma belongs to Kuratowski and Ryll-Nardzewskiin in[8],it is known as Measurable Selection Theorem.Lemma 3 Let Φ be weakly measurable set-valued map which carries each point of a measurable space A to a closed non-void subset of a complete separable metric space W.Then Φ has a measurable selection;i.e.,there is a function f:A→W such that f(s)∈ Φ(s)for each s∈A and f−1(O)is measurable in A whenever O is open in W.Theorem 2 Let(A,A,µ)be a σ-finite complete measure space and let 1≤p<∞.Let Y be a closed separable subspace of a Banach space X.Then the following are equivalent.(i) Lp(A,Y)is ∥·∥p-simultaneously proximinal in Lp(A,X).(ii) Y is∥·∥p-simultaneously proximinal in X.Proof (i)⇒(ii).Let A0⊂A such that 0<µ(A0)<∞.Otherwise there is nothing to prove.Let x1,x2,···,xm∈X.Define fi:A→X,i=1,2,···,m,byThen fi∈Lp(A,X),i=1,2,···,m.By the condition,there is f0 ∈Lp(A,Y)such thatSo,by Theorem 1,for almost all s and for any strongly measurable function h∈Lp(A,Y).Letbe a countable dense set of Y.Let hj= χA0yj,then hj∈Lp(A,Y).Thus,there exist Ej such thatµ(Ej)=0 andSinceis dense in Y,we obtain thatThis means that f0(s)is a best simultaneous approximation of x1,x2,···,xmin Y.(ii)⇒(i).In this part,we follow the idea of[1].Suppose f1,f2,···,fm∈Lp(A,X).For each s∈A,denoteThen for each s∈A,Φ(s)is closed,bounded,and nonempty subset of Y.Now we shall prove that Φ is weakly measurable.Let O be an open set in X,the setcan be also represented asSince(A,A,µ)is complete,by Lemma 2 fiis measurable in the classical sense for i=1,2,···,m.Then since the norm is continuous,the mapis measurable for each set Q⊂A.It follows that Φ−1(O)is measurable.Thus by Lemma 3,Φ has a measurable selection;i.e.,there is a function f:A→Y such th at f(s)∈Φ(s)for each s∈A and f is measurable in the classical sense.By Lemma 1,f is strongly measurable.Therefore f is a best simultaneous approximation for f1,f2,···,fmin Lp(A,Y)by Corollary 1.This completes the proof.We remark here that in[13]Mendoza gave a example showed that Y is proximinal in X,but Lp([0,1],Y)is not proximinal in Lp([0,1],X).This showsthat in Theorem 2 the condition Y be separable is necessary.We do not know whether Theorem 2 still holds for general norms onRm. 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hausdoff空间下的多项式曲面逼近算法

hausdoff空间下的多项式曲面逼近算法Hausdorff空间下的多项式曲面逼近算法是计算机图形学领域中的一项重要技术，可以有效地处理复杂的曲面数据，实现曲面的快速而精确地逼近。

下面，我们就来探讨一下这一算法的原理、特点和应用。

一、算法原理Hausdorff空间是定义在一个度量空间中的一种特殊的空间，在这个空间中，两个点之间的距离是它们的最小分离距离。

多项式曲面逼近算法就是通过对一个曲面数据集和一个多项式曲面进行比较，计算两者之间的Hausdorff距离，并根据距离的大小来逐步调整曲面的形状，以达到逼近曲面数据集的目的。

具体来说，该算法可以分为两个步骤：首先，根据给定的曲面数据集，生成一个初步的多项式曲面模型，并计算与之间的Hausdorff距离；接着，通过不断地修改多项式曲面参数，使得曲面的Hausdorff 距离逐步减小，最终达到与曲面数据集足够接近的程度。

二、算法特点1. 高效性：相较于其他曲面逼近算法，Hausdorff空间下的多项式曲面逼近算法具有更高的计算效率，可以在较短的时间内对大规模的曲面数据集进行快速处理。

2. 精确性：该算法采用Hausdorff距离作为衡量曲面接近程度的标准，能够在不同程度上满足曲面逼近的精确度要求。

3. 稳定性：为了避免过度修正多项式曲面导致过度逼近曲面数据集，该算法在进行多项式曲面参数优化的过程中，采用一定的参数调适策略，确保算法的稳定性和鲁棒性。

三、应用范围1. 工业设计：多项式曲面逼近算法在汽车、飞机等工业设计领域中，可以有效地处理复杂的曲面数据，提高产品的设计精度和效率。

2. 医学影像处理：该算法在医学影像处理中的应用也颇具前景，可以对人体器官等复杂的曲面数据进行处理和分析，提供医学诊断和治疗方案的支持。

3. 视频游戏：多项式曲面逼近算法同样可用于视频游戏中的场景和角色建模，提高游戏的真实感和互动性。

综上所述，Hausdorff空间下的多项式曲面逼近算法是一项十分有潜力的技术，其应用前景广阔，在相关学科和领域的发展中将扮演重要的角色。

第四章 3最佳平方逼近(1)

§3 最佳平方逼近摘要：介绍内积赋范线性空间中的最佳平方逼近的特征，最佳逼近元存在唯一性及求解；2,L a b ρ⎡⎤⎣⎦中的最佳平方逼近问题的讨论。

一、赋范线性空间定义1 线性空间X 称为赋范线性空间，如果其上赋予一个满足如下3条性质的函数：（1）0,00,;x x x x X ≥=⇔=∈ （2）,,;α=∈∈ax a x x X（3）,,.x y x y x y X +≤+∈ 则称是线性空间X 的范数。

例1 欧氏空间(欧几里德空间（Euclid ）)n:12221,,=⎛⎫=∈⎪⎝⎭∑nnk k x x x范数称为欧氏范数或2-范数。

例2 1-范数赋范线性空间n：11,,==∈∑nnk k x x x称为1-范数。

定义2 赋范线性空间中的最佳逼近：若Y 是赋范线性空间X 的一个线性子空间，x X ∈，则称量(),inf y Yx Y x y∈∆=-为子空间Y 对元素x 的最佳逼近，而使上式成立的元素*y 称为最佳逼近元，且Y 称为逼近子空间。

二、内积空间定义3 假设X 是一线性空间，如果其上赋予一个满足如下4条性质的二元函数(),：()()(1)(,)(,),,;(2)(,)(,),,,;(3)(,)(,)(,),,,;(4),0,;,00,ααα=∀∈=∀∈∈+=+∀∈≥∀∈=⇔=x y y x x y X x y x y x y X x y z x z y z x y z X x x x X x x x则称X 为内积空间。

例3 欧几里得空间n： (),,,=∈Tnx y x y x y内积→范数：2x ，2x 满足范数的3条性质。

内积空间→赋范线性空间定义4 内积空间中的最佳逼近：假设(1,2,,)ϕ=i i n 是内积空间X 中的n 个线性无关的元素，f X ∈，则子集{}12,,,ϕϕϕΦ=n n span对f 的最佳平方逼近定义为()2,min ϕϕ∈Φ∆Φ=-nn f f . （1）使（1）成立的那个元素称为最佳逼近元素。

高代课程论文——最佳逼近

高等代数课程论文——最佳逼近：学号：班级：一．摘要欧几里德空间(Euclidean Space) 简称为欧氏空间，在数学中是对欧几里德所研究的2维和3维空间的一般化。

这个一般化把欧几里德对于距离、以及相关的概念长度和角度，转换成任意数维的坐标系。

这是有限维、实和积空间的“标准”例子。

欧氏空间是一个特别的度量空间，它使得我们能够对其的拓扑性质，例如紧性加以调查。

积空间是对欧氏空间的一般化。

积空间和度量空间都在泛函分析中得到了探讨。

欧几里德空间在对包含了欧氏几何和非欧几何的流形的定义上发挥了作用。

一个定义距离函数的数学动机是为了定义空间中围绕点的开球。

这一基本的概念正当化了在欧氏空间和其他流形之间的微分。

微分几何把微分，会同导入机动性手法，局部欧氏空间，探讨了非欧氏流形的许多性质。

当一个线性空间定义了积运算之后它就成为了欧几里德空间。

二.关键字欧式空间最佳逼近函数构造三、问题的阐述1、欧式空间的定义设V是实数域R上的线性空间或称为向量空间，若V上定义着正定对称双线性型g（g称为积），则V称为（对于g的）积空间或欧几里德空间（有时仅当V是有限维时，才称为欧几里德空间）。

具体来说，g是V上的二元实值函数，满足如下关系：（1）g(x,y)=g(y,x)；（2）g(x+y,z)=g(x,z)+g(y,z)；（3）g(kx,y)=kg(x,y)；（4）g(x,x)>=0，而且g(x,x)=0当且仅当x=0时成立。

这里x,y,z是V中任意向量，k是任意实数（1）<ξ,η>=<η,ξ>（2）<ξ+η,ζ>= <ξ,ζ>+<η, ζ>（3）<aξ,η>= a<ξ,η>（4）当ξ≠0 时<ξ,ξ>0这里ξ,ζ,η是V的任意向量a是任意实数,那么V叫作对这个积来说的一个欧几里的空间,简称欧式空间。

2、举例说明例1：在Rn里对于任意两个向量ξ=（x1，x2，…，Xn）η=（y1，y2，…，Yn）规定<ξ，η>=x1y1+x2y2+…+xnyn容易验证关于积的公理被满足，因而Rn对于这样定义的积来说作成一个欧式空间。

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摘要
欧几里德空间，简称为欧式空间(也可以称为平直空间)，在数学中是对欧几里德所研究的2维和3维空间的一般化。

这个一般化把欧几里德对于距离、以及相关的概念长度和角度，转换成任意数维的坐标系。

这是有限维、实和内积空间的“标准”例子。

欧氏空间是一个特别的度量空间，它使得我们能够对其的拓扑性质，例如紧性加以调查。

内积空间是对欧氏空间的一般化。

内积空间和度量空间都在泛函分析中得到了探讨。

欧几里德空间在对包含了欧氏几何和非欧几何的流形的定义上发挥了作用。

一个定义距离函数的数学动机是为了定义空间中围绕点的开球。

这一基本的概念正当化了在欧氏空间和其他流形之间的微分。

微分几何把微分，会同导入机动性手法，局部欧氏空间，探讨了非欧氏流形的许多性质
当一个线性空间定义了内积运算之后它就成为了欧几里德空间。

一、问题的阐述
1、欧式空间的定义
设V是实数域R上的线性空间或称为向量空间，若V上定义着正定对称双线性型g（g 称为内积），则V称为（对于g的）内积空间或欧几里德空间（有时仅当V是有限维时，才称为欧几里德空间）。

具体来说，g是V上的二元实值函数，满足如下关系：
（1）g(x,y)=g(y,x)；
（2）g(x+y,z)=g(x,z)+g(y,z)；
（3）g(kx,y)=kg(x,y)；
（4）g(x,x)>=0，而且g(x,x)=0当且仅当x=0时成立。

这里x,y,z是V中任意向量，k是任意实数
2、举例说明
1. （经典欧几里德空间E^n）在n维实向量空间R^n中定义内积(x,y)=x1y1+...+xnyn，则R^n为欧几里德空间。

（事实上，任意一个n维欧几里德空间V等距同构于E^n。

）
2. 设V是[0,1]区间上连续实函数全体，则V是R上线性空间，对于如下内积是欧几里德空间：(f,g)定义为fg在[0,1]区间上的积分值。

3、最佳逼近的含义
在三维空间中，如果W是一条过原的直线或一个过原点的平面，而向量a是三维空间中的任意一个向量，那么向量a可以分解为向量a在W上的正射影与一个垂直于W的向量的和。

设向量b是向量a在W上的正射影，向量c是垂直于W的向量，则a=b+c。

所以向量a到W 的最短距离为∣a-b∣，也就是∣c∣。

显然有∣a-b∣≥0，当且仅当向量a在W内，等号成立。

有定理8.2.5得：对于W中的任意向量d≠向量a，都有∣a-b∣＜∣a-d∣。

由此，我们就把向量a在子空间W上的正射影向量b叫作W到向量a的最佳逼近。

二、构造的方法
有三角形定理知，在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

这个定理不仅在几何空间中成立，在向量空间中也同样成立。

我们可以把三角形的三边看成三个向量，首尾相连就构成了一个矢量三角形。

都是三角形，所以有相同的性质，即满足上述条件（任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边）。

但是不同的是，向量不仅有大小而且有方向，在任意的空间中如果三个向量共线，则构不成三角形；如果不共线又满足上述条件则可以构成一个三角形。

这样虽然做出了一个三角形，但是这个三角形具有不唯一和不确定性，所以我们就希望用一定的方法把这个三角形确定下来。

解析如下：
设W是欧式空间V的一个非空子集。

如果V的一个向量a与W 的每一个向量正交，那么就说a与W正交，并且记作<a,W>=0。

令Q={a∈V|<a,W>=0}.那么0∈Q，因而Q≠空集。

其次，设e,f∈R, a,b∈Q,那么对于任意c∈W,我们有<e a+f b,c>=e<a,c>+f<b,c>=0,因而e a+f b ∈Q。

这样，Q是V的一个子空间。

有令W是欧式空间V 的一个有限维子空间。

那么V=W+Q,因而V 的每一个向量a可以唯一地写成a=b+d,这里b∈W，<d,W>=0.我们把子空间Q叫作W的正交补。

分解式a=b+d右端第一个被加项b叫作向量a在子空间W上的正射。

这样，欧式空间V的每一个向量a都可以分解a在任意一个有限维空集W上的正射影和一个与W正交的向量的和，并且这种分解式唯一的。

例：
令W是由1,x,x ,x 生成的子空间在欧式空间C[-1,1]里。

所以{1,x,x ,x }是W 的一个基。

下面进行正交化：
令a =1,a =x,a = x ,a = x
取b = a =1.
取b = a -< a , b >/* b =x,
b = a -< a , b >/* b -< a , b >/* b = a -1/3* b
= x -1/3
b = a -< a , b >/* b -< a , b >/* b -< a , b >/*v= a -3/5 b = x -3/5x
∵∣b∣= , ∣b∣= /3
∣b∣=2/15 ∣b∣=2/35
∴W的规范正交基为
{ /2, /2x, 3/4 x - /4,4/5 x -3/4 }
W的每一元素都可以写成
F(x)=c +c x+c x +c x ①
的形式。

F[x]是一个3次多项式。

设p[x]∈C[-1,1].
我们求一个3次多项式F[x]，使得
dx的值最小。

用欧式空间的语言来说就是，求F[x]∈W，使得∣F[x]-P[x]∣= dx最小。

这就是我们要解决的问题。

因此，所求的F[x]应该是F[x]在W上的正射影。

由定理8.2.4，我们有
F[x]=<p, a > a +<p, a > a +<p, a >a +<p, a > a .
与等式①作比较，我们得到
c = <p, a >= p[x]dx=2 dx
从而c =2/3 xdx
c =8/75 x dx
c =28/1225 x dx
∴F[x]= 2 dx,+ 2/3 xdx*x+8/75 x dx* x +
28/1225 x dx* x .
三、论文总结
在这篇小论文中我们用了简单的数学方法把问题简洁的表达出，并构造出了简单的一维、二维和三维空间上的最佳逼近。

由于知识和思想的局限性，在这篇简单的论文中，我们并没有很充分的表达出欧式空间的n 维空间的含义和正确的表达出数学符号。

通过这次简单的课题研究，我们更深刻的了解到了欧式空间的含义和其广阔的空间思想，最重要的是真正的理解了最佳逼近的意义和思维：在三维空间中，如果W是一条过原的直线或一个过原点的平面，而向量a是三维空间中的任意一个向量，那么向量a可以分解为向量a在W上的正射影与一个垂直于W的向量的和。