欧式空间习题
欧氏空间习题
第八章 欧氏空间练习题一、填空题1．设V 是一个欧氏空间， V ξ∈，若对任意V η∈都有(,)0ξη=，则ξ＝_________．2．在欧氏空间3R 中，向量(1,0,1)α=-，(0,1,0)β=，那么(,)αβ＝____ _____， α＝_________．3．在n 维欧氏空间V 中，向量ξ在标准正交基12,,,n ηηη 下的坐标是12(,,,)n x x x ，那么(,)i ξη＝_________，ξ＝_________．4．已知A 是一个正交矩阵，那么1A -＝_________，2A ＝_________． 5.σ为欧氏空间V 的线性变换，则σ为正交变换当且仅当 ；σ为对称变换当且仅当 ． 二、判断题1．在实线性空间2R 中，对于向量1212(,),(,)x x y y αβ==，定义1122(,)(1)x y x y αβ=++，那么2R 构成欧氏空间。
( )2．在n 维实线性空间nR 中，对于向量1212(,,,),(,,,)n n a a a b b b αβ== ，定义11(,)a b αβ=，则n R 构成欧氏空间。
( )3．12,,,n εεε 是n 维欧氏空间V 的一组基，1212(,,,),(,,,)n n x x x y y y 与分别是V 中的向量,αβ在这组基下的坐标，则1122(,)n n x y x y x y αβ=+++ 。
( )4．设V 是一个欧氏空间，,V αβ∈，并且αβ=，则αβ+与αβ-正交。
( )5．设V 是一个欧氏空间，,V αβ∈,并且(,)0αβ=，则,αβ线性无关。
( )6．若,στ都是欧氏空间V 的对称变换，则στ也是对称变换。
( )7．正交向量组必线性无关．8．实数与对称变换之积必是对称变换．三、证明题1．设A ，B 为同级正交矩阵，且A B =-，证明：0A B +=．2．奇数维欧式空间中的旋转变换必有特征值13.第二类正交变换一定有特征值-1四.计算题1、对于齐次线性方程组12341234123412340205033250x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪++-=⎪⎨+-+=⎪⎪+++=⎩ （1） 求该齐次线性方程组解空间W 的一个标准正交基。
第九章 欧氏空间习题
第九章欧氏空间习题一、填空题1．设V 是一个欧氏空间，V ξ∈，若对任意V η∈，都有(,)0ξη=，则______ξ=。
2．在n 维欧氏空间V 中，向量ξ在标准正交基12,,,n ηηη下的坐标是12(,,,)n x x x ，那么(,)____i ξη=，||____ξ=。
3．若33()ij A a ⨯=是一个正交矩阵，则方程组111122133121122223323113223333a x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩的解为 。
4.已知三维欧式空间V 中有一组基123(,,)a a a ，其度量矩阵为110120003A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，则向量12323βααα=+-的长度为 。
5.设2中的内积为(,)'A αβαβ=，2112A ⎛⎫= ⎪⎝⎭则在此内积之下的度量矩阵为 。
6．设1(0,1,1)α=-，2(2,1,2)α=-，12k βαα=+，若β与2α正交，则k = 。
7．若欧氏空间V 在某组基下的度量矩阵为200031011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，某向量在此组基下的坐标为(1,1,1),则它的长度为 ，在此基下向量(1,1,1)与向量(1,1,1)-的夹角为 。
8．在欧氏空间中，若,αβ线性相关，且2,3αβ==，则(,)αβ 。
9．11010002A k k ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭是度量阵，则k 必须满足条件______________。
10．线性空间在不同基下的过渡阵、线性变换在某组基下的矩阵、欧氏空间的度量阵这三类矩阵中，可以为退化阵的是 。
11. 在欧氏空间3R 中，向量(1,0,1)α=-，(0,1,0)β=，那么(,)αβ=___________， α=___________。
12. 两个有限维欧氏空间同构的充要条件是__________________。
13. 已知A 是一个正交矩阵，那么1A -=__________，2A ＝__________。
欧几里得空间
第九章-欧几里得空间复习题一、判断题1、欧氏空间中两两正交的向量组是线性无关的.2、欧氏空间中保持向量夹角不变的线性变换一定是正交变换.3、两个正交矩阵的乘积一定是正交矩阵.4、n 维欧氏空间n R 的恒等变换，既是正交变换，也是对称变换.5、有限维欧氏空间不同的基的度量矩阵是合同的.6、欧氏空间中保持向量长度不变的变换必是正交变换.7、任意一个(1)n n ≥维欧氏空间都存在标准正交基.8、n 维欧氏空间V 的正交变换在V 的任一组基下的矩阵必是正交矩阵.9、设V 为欧氏空间，βαβα⊥∈,,V ，则222βαβα+=+.10、设V 为有限维欧氏空间，是V 上对称线性变换，1V 为的不变子空间，则⊥1V 也为的不变子空间.11、设1V ，2V 是欧氏空间V 的两个正交子空间，则{}021=V V .12、实对称矩阵A 的任意两个特征向量都正交.13.欧氏空间是定义了内积的线性空间.14.若实对称矩阵A 的特征值全不等于零，则A 必正定.15.若A 是实对称矩阵，则必存在正交矩阵P ，使B =P -1AP =P T AP 为以A 的特征值为对角元的对角矩阵.16.n 阶矩阵A 是正交矩阵的充要条件是||=1A .17.欧氏空间中的正交变换是保持向量内积不变的线性变换.18.与任意向量都正交的向量不一定是零向量.19.同构的两个欧氏空间具有相同的维数.20.对n 维欧氏空间V 中任意两个向量α，β，必有|(α,β)|≤|α|⋅|β|.21.任一n 维欧氏空间V 与R n 同构.22.n 维欧氏空间V 中一定存在某组基的度量矩阵是非正定的.23.设n 维欧氏空间V 的一组基的度量矩阵为A,则在这组基下向量的内积由A 完全确定.24.同一个线性空间对于不同内积构成不同欧氏空间.25.n 维欧氏空间V 中向量α与β正交当且仅当α与β的夹角为π/2.26.设V 为有限维欧氏空间,则V 中任意两个向量在标准正交基下的内积等于它们的对应分量的乘积之和.27.欧氏空间V 的正交变换是V 到自身的同构映射.28.对称变换在标准正交基下的矩阵一定是实对称矩阵.29.实对称矩阵A 的正、负惯性指数分别为正、负特征值的个数.30.任意n 元实二次型都可经过正交线性替换化为标准形.二、选择题1、设21,V V 是欧氏空间V 的两个子空间，则下列推断正确的是.A 、11)(V V =⊥⊥；B 、⊥⊥⊥=)(2121V V V V ；C 、121)(V V V =+⊥⊥⊥+2V ；D 、若21V V ⊂，则⊥⊥⊂21V V .2、设A 是一个n 级实对称矩阵，则下列结论正确的有.A 、A 的特征根都大于零；B 、A 的特征向量都正交；C 、A 一定有n 个不同的特征值；D 、一定存在正交矩阵T ，使AT T '为对角矩阵.3、设A 是n 级实对称矩阵，则下列结论正确是.A 、A 的特征值都是实数；B 、A 的特征向量都正交；C 、A 必有n 个不同的特征值；D 、A 的特征值必不为0.4、设{}R b a b a V ∈=,),(，V b b a a ∈==),(),,(2121βα，则下列定义的内积中使V 为欧氏空间.A 、1221),(b a b a +=βα；B 、1),(2211++=b a b a βα；C 、2211),(b a b a -=βα；D 、221153),(b a b a +=βα.5、设是n 维欧氏空间V 的一个线性变换，则是正交变换的充分必要条件是.A 、在任一组基下的矩阵是正交矩阵；B 、保持V 中元素的正交关系，即⇒⊥∈∀βαβα,,V ⊥αβ；C 、保持V 中的非零元素的夹角不变，即>=<<∈∀βαβα,,,V ,α>β；D 、如果n εεε,,,21 是标准正交基，那么,1ε,,2 εn ε也是标准正交基.6、)1(≥n n 维欧氏空间的标准正交基.A 、不存在；B 、存在不唯一；C 、存在且唯一；D 、不一定存在.7.设V 是n 维欧氏空间，则对V 的同一内积而言，不同基的度量矩阵之间的关系是.A 、等价；B 、相似；C 、合同；D 、以上说法都不对.8.以下关于正交变换说法错误的是.A 、正交变换保持n 维欧氏空间中的标准正交基不变；B 、正交变换保持向量间的距离不变；C 、正交变换在标准正交基下的矩阵为正交矩阵；D 、正交变换的逆变换不一定是正交变换.9.下列关于欧氏空间同构的说法正确的是.A 、设V ，V′都是n 维欧氏空间，则V 与V′同构；B 、数乘变换是欧氏空间V 到自身的同构映射；C 、若是线性空间V 到V′的同构映射，则也是欧氏空间V 到V′的同构映射；D 、若是欧氏空间V 到V′的一个映射，且保持线性运算，则是V 到V′的同构映射.10.设V 是n 维欧氏空间，则下列关于V 的标准正交基的说法错误的是.A 、标准正交基的度量矩阵是单位矩阵；B 、任意两组标准正交基之间的过渡矩阵是单位矩阵；C 、若ε1，ε2，…，εn 是V 的一组标准正交基，A 是正交矩阵，若(η1，η2，…，ηn)=(ε1，ε2，…εn)A ，则η1，η2，…，ηn 也是V 的一组标准正交基；D 、V 的标准正交基与它的任意一组基等价.11.设V 是n 维欧氏空间，α1，α2，…，αm 是V 中的正交向量组，则m 和n 满足.A 、m<n ；B 、m=n ；C 、m ≥n ；D 、m ≤n.12.若A,B 是正交矩阵，下列说法中错误的是.A.T A A =-1； B.11或－=A ；C.AB 不是正交阵； D.A 的列向量都是单位向量，且两两正交．13．设A 是n 阶正交阵，①1-A 也是正交阵；②1-=A ；③A 的列向量都是单位向量且两两正交；④A 的行向量组都是单位向量且两两正交.则以上说法正确的有.A ．1个；B ．2个；C ．3个；D ．4个．三、综合题1.在R 4中求一单位向量与()()()3,1,1,2,1,1,1,1,1,1,1,1---正交。
欧式空间练习题
欧式空间练习题欧式空间（Euclidean space）是指以欧几里德几何学为基础的一种空间，其中包含了平面和三维空间。
在欧式空间中，我们可以进行各种几何运算和推理，探索数学中的各种定理和性质。
为了加深对欧式空间的理解和应用，以下将给出一些欧式空间的练习题，并解答相关问题。
题目一：平面上两点坐标求距离已知平面上两点坐标分别为A（2，3）和B（-1，5），求AB两点之间的距离。
解答一：根据两点之间的距离公式，我们可以得出AB两点之间的距离为：d = √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²)其中，(x₁, y₁)表示A点坐标，(x₂, y₂)表示B点坐标。
代入A（2，3）和B（-1，5）的坐标，计算得：d = √((-1-2)² + (5-3)²)= √((-3)² + 2²)= √(9 + 4)= √13所以，AB两点之间的距离为√13。
题目二：三维空间两点坐标求距离已知三维空间中，点A坐标为（1，2，3），点B坐标为（4，5，6），求AB两点之间的距离。
解答二：同样利用两点之间的距离公式，在三维空间中计算AB两点之间的距离：d = √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)² + (z₂-z₁)²)代入A（1，2，3）和B（4，5，6）的坐标，得：d = √((4-1)² + (5-2)² + (6-3)²)= √(3² + 3² + 3²)= √(9 + 9 + 9)= √27= 3√3所以，AB两点之间的距离为3√3。
题目三：欧式空间的垂直关系判断已知平面上的三个点A（1，2），B（-2，4），C（3，6），判断AB和AC两条线段是否垂直。
解答三：两条线段AB和AC垂直的条件是它们的斜率互为负倒数，即斜率乘积为-1。
我们可以分别计算AB和AC的斜率，然后判断其乘积是否为-1。
欧氏空间习题
2 cos , 2 18 36
( , ) 1 1 2 2 2 2 3 3 18 ( , ) 3 3 1 1 5 5 3 3 36
18
所以 ,
4
3. d ( , ) 通常为 , 的距离,证明:
的度量矩阵; 3)具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基 不等式.
n ( , ) 解 1)易见 是 R 上的一个二元实函数,且
(1) ( , ) ( ) ( , ) (2) (k , ) (k ) k ( ) k ( , ) (3) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) (4) ( , ) aij xi y j
0 V1 V2
于是 ，所以 V1 , V1 . 同理可证 V2 从而 V1 V2，故
V1 V2 V1 V2
其次，任取 V1 V2，那么 V1 .且 V2 , 即 V1 , V2 , 任取 V1 V2，则
( ,) (k1 k 2 2 k n n ,) k1
所以, 2(, ) k1 k 2 2 k n n 。即证.
9.设 是欧氏空间V的一个变换 , 证明: 如果保持内积不变 ,
即对于 , V , 有
, ,
1 (4 4 1) 1 9
, 2 3 , 3
同理可得 2 , 2 3 , 3 1
即证
1 , 2 , 3
也是三维欧氏空间中的一组标准正交基.
高等代数欧式空间单元测验
() （） (）
() ()
6、如果 是对称变换，那么 的不变子空间W 的正交补W 也是 的不变子空间
()
7、两个 n 阶实对称矩阵相似的充分必要条件是它们的特征值相同.
()
8、在 R3 中, 对于 (x1, y1, z1) , (x2, y2, z2 ) , (, ) x1x2 2 y1y2 是一个内积.
a
3、设
A
b
3 7
c
d
2
7
是正交阵，则
a
=___________,
e
=______________.
3
2
e
7 7
1 1 0
4、已知三维欧氏空间中有一组基
1
,
2
，
3
，其度量矩阵为
A
1
2
0 ，向量 21 32 3 ，
3. 设 1, 2, 3
是三维欧氏空间中一组标准正交基，证明：
1
1 3
21
2 2
3
,
2
1 3
21
2
23 ,
3
1 3
1
2 2
2 3
也是一组标准正交基.
4 设 n 阶实对称矩阵的秩为 2，1 2 6 是 A 的二重特征值，若1 (1,1,0)T ,2 (2,1,1)T ,3 (1,2,3)T 都是 A 的属于特征值 6 的特征向量，
山东理工大学<<高等代数>>欧式空间单元试卷纸
高等代数习题-欧式空间
i = 1,2,L , n − 1 ．证明： β1 , β2 线性相关．
证：由 < α i , β j >= 0, i = 1,2,L , n − 1, j = 1,2 可知 β1 , β2 ∈ ( L(α1 ,α 2 ,L ,α n −1 )) ⊥ ． 因为 dim( L(α1 ,α 2 ,L ,α n −1 )) ⊥ = 1 ，所以 β1 , β2 线性相关． 例 ７． 设V1 ， V2 是 n 维欧式空间 V 的两个子空间，且 dim V1 < dimV2 ． 证明： 在 V2 中存在非零向量与 V1 中每个向量都正交．
⊥ 证明： 因为 V = V 所以 dim V1 + dim V1⊥ = dimV = n ， 已知 dim V1 < dimV2 ， 1⊕V 1 ，
故 dim V2 + dim V1⊥ > n ． 由维数公式，有
⊥ dim(V2 ∩ V1⊥ ) = dim V2 + dim V1⊥ − dim(V2 + V1⊥ ) ≥ dim V2 + dim V 1 − dim V > 0 ，
1 1 −1 1 A = 1 −1 −1 1 2 1 1 3
则 R4 中向量 ξ = ( x1 , x2 , x3 , x4 )T 与 (1,1, −1,1)T , (1, −1, −1,1)T , (2,1,1,3) T 都正交的充分 必要条件是 Aξ = 0 ． 解 得 ξ = k (4,0,1, −3) T ， k ∈ R ，单位化后的所求向量为 ± 1 (4,0,1, −3)T ． 26 例 ３ ．设α1 , α 2 , L , α n 是欧式空间 V 的一个基，证明： （１）若对于 V 中任意向 量 γ ，都有 < γ , α i >= 0 ， i = 1,2,L , n ，那么 γ = 0 ； （２）若对于 V 中任一向量 α ， < γ 1, α >=< γ 2 ,α > ， γ1 , γ 2 ∈ V ，那么 γ1 = γ 2 ． 证明： （１）因为 α1 , α 2 , L , α n 是欧式空间 V 的一个基，任一 α ∈V ，都可由
欧几里得空间习题
2)因为 A 正定，所以存在可逆矩阵 C 使 A CEC CC, 由1）知 C QT , 故 A T QQT T T
9.证明：正交矩阵旳实特征值为±1. 证：设 A为正交矩阵， 为 A 旳实特征值，
即 A , 取共轭转置得 A , 再右乘 A 有 AA 2 , 利用 AA E 得 2 , 因为 0, 所以 2 1,
i1 j1
nn
nn
aij xi x j ,
aij yi y j
i1 j1
i1 j1
故柯西—布涅科夫斯基不等式为
nn
nn
nn
aij xi yj
aij xi x j
aij yi y j
i1 j1
i1 j1
i1 j1
2. 设 1,2, ,n 是欧式空间旳一组基，证明： 1）假如 V 使 ( ,i ) 0(i 1, 2, , n), 那么 0 2）假如 1, 2 V 使对任一 V 有 (1, ) ( 2, )
A (1,2, ,n ) QT 若还有Q1,T1,使 A Q1T1 是 A 旳另一种分解，则 Q1T1 QT , 于是 Q11Q T1T 1 因为Q1,Q 为正交阵, 所以 Q11Q 也是正交阵, 从而 T1T 1 也是正交阵, 另一方面, T1T 1是上三角阵, 由7题知 T1T 1 是主对角线上元素为1或-1旳对角阵, 而 T1,T 旳主对角线元素为正，故 T1T 1 E 即 T1 T , 从而 Q1 Q.
3) 详细写出这个空间中旳柯西—布涅科夫斯基 不等式.
解：1)
(a).(, ) A A ( , )
(b).(k, ) (k ) A k( A ) k(, )
(c).( , ) ( ) A A A (, ) ( , )
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第九章 欧式空间习题
1．(填空)设n εεε,,,21 为n 维欧氏空间V 中的基,在此基下向量βα,坐标分别为
),,,(21n a a a 与 ),,,(21n b b b ,则内积∑==n
i i i b a 1),(βα的充分必要条件是 。
（n εεε,,,21 是V 的标准正交基）
2．(填空)21,V V 是有限维欧氏空间的子空间，存在0,2≠∈ααV ，使得1V ⊥α的
充分条件是子空间的维数之间满足 。
（）维（）维（21V V <
3．对角矩阵为正交矩阵的充分必要条件是 （对角线上的元素为±1）。
4．（证明）设A 与B 是欧氏空间V 的两个线性变换，并且对任意V ∈α有))(),(())(),((ααααB B A A =，证明A V 与BV 作为欧氏空间是同构的。
证明：A V 与BV 均是欧氏空间V 的子空间，因而对于V 的内积来说作成欧氏空间。
令V B A f ∈∀→ααα),()(:，则f 是一个映射；
因为任取V ∈βα,， 若),()(βαA A = 得 ,0)(=-βαA ))(),((0))(),((βαβαβαβα--==--∴B B A A ，从而有,0)(=-βαB 即),()(βαB B =可证f 是单射，又是满射，现证f 是线性的； R k V A A A ∈∀∈∀),()(),(βα，有)()(())()((βαβαβα+=+=+B A f A A f ))(())(()()(βαβαA f A f B B +=+=
)()()()(())((αααααkf kB k B k A f kA f ====，再证f 保持内积不变；
V ∈∀βα,，有))(),(())(),((2))(),(())(),(βββαααβαβαA A a A A A A A ++=++ ))(),(())(),((2))(),(())(),(βββαααβαβαB B B B B B B B ++=++= 所以))(),(())(),((βαβαB B A A =
即))(),(())((),(((βαβαB B A f A f =))(),((βαA A =，从而f 是同构映射，A V 与BV 作为欧氏空间是同构的。
5．（证明）设V 是实数域R 上的n 维欧氏空间，n εεε,,,21 是V 的一组基，
n C C C ,,,21 是R 中的n 个数。
证明：存在唯一向量,V ∈α使得内积
n i C i i ,,2,1),( ==εα。
证明：设内积关于基n εεε,,,21 下的度量矩阵为A ，且设
=α （n εεε,,,21 ）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n k k k 21; 则n i i A k k n i ,,2,1,010),,(),(1 =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=εα，
所以 ),,(),,,(100001010),,,()),(,),,(),,((1212121n n n n C C A k k k A k k k ==⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=εαεαεα 从而),,(1n k k =121),,,(-A C C C n ，所以满足条件的α是存在的。
再证唯一性;设存在V ∈β，也有n i C i
i ,,2,1),( ==εβ， 则n i C i i i ,,2,1)
,(),( ===εβεα，从而有n i i ,,2,10),( ==-εβα，可推出0),(=--βαβα即βα=。
6．（证明）设m ααα,,,21 ，m βββ,,,21 ，是欧氏空间中的两组向量，如果
m j i j i j i ,,2,1,),,(),( ==ββαα，则),,,(211m L V ααα =与),,,(212m L V βββ =同构。
证明：先证21dim dim V V ≤；设r V =1dim 且r ααα,,,21 为V 1的基，设
02211=+++r r k k k βββ ，因为m j i j i j i ,,2,1,),,(),( ==ββαα，
所以 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑==r r r r r r r r
i i i r i i i k k k k k k
111,1111),(),(),(),(),(),(ββββββββββ =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛r r r r r r r k k k k
11
1,11),(),(),(),(),(αααααααα=),(11∑∑==r i i i r i i i k k αα，01=∑=r i i i k α。
由r ααα,,,21 线性无关，得212dim dim ,dim V V r V ≤≥即 同理可证12dim dim V V ≤，所以21dim dim V V =，即1V 与2V 同构。
7．若对于n 个非零数0,,0,021≠≠≠n k k k 二次形AX X x x x f n '=),,,(21 都
有0),,,(21>n k k k f 则二次形AX X x x x f n '=),,,(21 是正定二次形。
8．求证：在欧氏空间中，两个向量βα,的模相等当且仅当0),(=-+βαβα。
9．若A 为n 阶实对称矩阵，且)(12N k E A k ∈=+,证明：存在A 为n 阶正交矩阵U ，使得.E AU U ='
10．证明：欧氏空间V 的每一个子空间W ，都有唯一的正交补。
证明：如果W={0}，那么W 的正交补就是空间V ，唯一性显然成立；
设W ≠{0}；欧氏空间的子空间在所定义的内积之下也是一个欧氏空间，在W 中取一组正交基。