第八章欧氏空间
02-8.1 内积与欧氏空间
n 关于以上定义的内积构成欧氏空间.
8.1 内积和欧氏空间
例2 在2 中对= 任意X
= aa12 ,Y
b1
b2
定义
α ,αi , β j ∈V , c, ai , bj = ∈ (i 1, 2, ..= ., m; j 1, 2,，n)
总有 (1)(O,α ) = 0;
(2) (α , β + γ=) (α , β ) + (α ,γ );
(3) (α , cβ ) = c(α , β );
∑ ∑ ∑ ∑ (4)
当且仅当 α , β 线性相关时, 等号成立.
证明 显然，当且仅当α = 0或β - tα = 0时等式成立. 即当且仅当α，β线性相关时等式成立.
8.1 内积和欧氏空间
例5 对任意实数 ai , bi (i = 1, 2, ..., n)总有
(a1b1 + ... + anbn )2 ≤ (a12 + ... + an2 )(b12 + ... + bn2 )
8.1 内积和欧氏空间
定理 (Cauchy-Schwarz不等式) 设V 是欧氏空间, 则对任意的α , β ∈V , 总有(α , β )2 ≤ (α ,α )(β , β ). 当且仅当α , β 线性相关时, 等号成立. 证明 若α =0, 则左右两式均为0, 等号成立。 若α ≠ 0，考虑向量β -tα ,有 0 ≤ (β -tα , β -tα ) =(β , β ) − 2t(α , β ) + t 2(α ,α ).
第八章 欧氏空间与欧氏几何
第八章 欧氏空间与欧氏几何8.1 设),(),,(2121y y y x x x ==，验证：221221113),(y x y x y x y x y x +--= 是2R 的内积；解：只要验证公理000015,14,13,12而可；012 对称律：222121113),(y x y x y x y x y x +--=),(322122111x y x y x y x y x y =+--=013 分配律： 222122211111)(3)()()(),(z y x z y x z y x z y x z y x +++-+-+=+)3()3(2212211122122111z y z y z y z y z x z x z x z x +--++--= ),(),(z y z x +=014 齐性： 221221113),(y x y x y x y x y x ξξξξξ+--=)3(22122111y x y x y x y x +--=ξ),(y x ξ=015正定性：221221113),(x x x x x x x x x x +--=22212132x x x x +-=222212)(x x x +-=＞0正定. 8.2 设22121),(,),(R y y y x x x T T ∈==(1)定义2212211133),(y kx y x y x y x y x f +--=，问k 取何值时),(y x f 是2R 的内积？(2) 定义22122111),(y x y x y x y x y x f δγβα+++=,问R 中δγβα,,,为何值时，),(y x f 是2R 的内积？解：(1) 由题8.1知，不论k 如何取，),(y x f 均满足,120013，014并且 22211122122111633),(x kx x x x x x kx x x x x x x x x f +-=+--=22221)9()3(x k x x -+-=当09≥-k 即9≥k 时，),(x x f 非负，满足公理015(2) 由定义y x y x y x y x y x y x f T ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++=δγβαδγβα22122111),(012 对称律: 记y x y x f T ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=δγβα),(, x y x y f T ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=δγβα),(, 则),(),(y x f x y f =的充要条件是：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛δγβαδβγαδγβαT故当 β=γ 时，称律成立.13 分配律: z y x z y x f T⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+δγβα)(),(z y z x T T ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=δγβαδγβα),(),(z y f z x f +=014齐性:),()(),(y x f y X y x y x f T T ξδγβαξδγβαξξ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 015正定性:设T x x x ),(21=,当βγα=≠,0时()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2121),(x x x x x x x x f T δββαδββα2221212x x x x δβα++= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=2221212x x x x αδαβα ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2222221x x x αβαδαβα ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2222221x x x αβαδαβα 所以,对任何0≠x ，当0>α，γβ= 及 022≥-αβαδ 时,必有0),(>x x f ,即 0),(≥x x f 当0>α，γβ= 且 02≥-βαδ综上所述:当0≠α时，只要0,02>β-αδ>α,β=γ,对任0≠x ,都有0),(>x x f ;当0=α时，0≠α(否则非负性不存在)⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2122212),(x x x x x f δβδβδ 不满足非负当0,0,2>β-αδ>αβ=γ同时成立时，),(y x f 为2R 的内积。
欧氏空间
二． 内容及要求
1、 内容：内积、欧氏空间、向量的长度、向量间的夹角、距离的概念、性质.
2、 重点：内积、欧氏空间的定义.
2．正交基（或标准正交基）的求法的基础是建立在"任一线性无关组可得一正交组（从而得一标准正交组）"之上的,上述证明思想的分析过程可从含两个向量的向量组出发,一般地用归纳法,这样易于接受,从而自然得正交基（标准正交基）的求法.这是本节的难点及重点.施密特正交化公式麻烦.
3．子空间的正交补是子空间的一类特殊的余子空间,其结论上不同于一般向量空间的有限维子空间的余子空间存在不唯一；而正交补存在且唯一.而求正交补的思想同求余子空间类似,不同的在于选标准正交基.
一 教学思考
1．在欧氏空间中讨论线性变换,最主要的是讨论那些与内积有关的线性变换,以后两节即讨论这样两类线性变换.
2．从内容上看本节给出了正交变换的定义及等价叙述（分一般欧空上及有限欧空）,以及中正交变换的类型.从中建立了n 维欧氏空间中正交变换与n 阶正交矩阵的一一对应,此二者是同一事物的两种形式,可以相互借助一方讨论另一方,中的正交变换的形式及相应的矩阵的形式.另外n 维欧氏空间的正交变换是v的自同构映射,等结论.本节易理解不麻烦.
3．为更好的认识正交变换,可总结正交矩阵的若干性质.
Ⅱ）反过来：有了"内积"后,可用此表示行来年感的长度与夹角：.
③ 上述关系启发我们可以先定义"内积",然后利用"内积"定义向量的有关度量问题.
第八章 欧氏空间
例3 在R3中，向量 (1, 0, 0), (1, 1, 0) 求 , 的夹角。
欧氏空间
§1 欧氏空间的定义和性质
三、向量的正交
定义4 对欧氏空间V中的两个向量 , , 若内积 ( , ) 0, 则称
与 正交或垂直，记为：
注意： 零向量与任一向量正交。 例4 在R4中求一单位与下面三个向量
例1 设 (1 , 2 ), (1 , 2 ) 为二维实空间R2中的任意两个 向量，问：R2对以下规定的内积是否构成欧氏空间？
(1) ( , ) 1 2 2 1
(2) ( , ) (1 2 )1 (1 2 2 ) 2
正交向量组。
如果一个正交组的每一个向量都是单位向量，则这样的向 量组称为标准正交向量组。 性质1 欧氏空间V中的正交向量组必定线性无关。 注： (1) 单个非零向量也称为一个正交向量组。 (2) 线性无关的向量组不一定是正交向量组。
欧氏空间
§2 标准正交基
定义2 在n维欧氏空间中，由n个向量组成的正交向量组称为 正交基，由n个标准正交向量组成的正交基称为标准正交基。 性质2 设 1 , 2 , , n 是n维欧氏空间V中的一组标准正交基，则
(3) ( , ) ( , ) ( , ) (4) ( , ) 0,当且仅当 0 时有 ( , ) 0 这里 , , 是V中任意的向量，k为实数，这样的线性空间V
称为欧几里得空间，简称为欧氏空间。
欧氏空间
§1 欧氏空间的定义和性质
i 1 i 1 i 1 i 1n n n
n
(4) 一组基为标准正交基的充要条件是它的度量矩阵为 单位矩阵。
欧氏空间
高等代数课件 第八章
( ,) (x1 y1)2 (xn yn )2 （6）
2．标准正交基的性质
设 {1,2} 是 V2 的一个基，但不一定是
正交基。从这个基出发，只要能得出 V2 的一个
正交基 {1, 2}, 问题就解决了,因为将 1和2
再分别除以它们的长度，就得到一个规范正交
注意：（7）和（8）在欧氏空间的不等式（6） 里被统一起来. 因此通常把(6)式称为柯西-施瓦兹不 等式.
三、向量的正交
定义4 欧氏空间的两个向量ξ与η说是正交的,
如果 , 0
定理8.1.2 在一个欧氏空间里，如果向量ξ
与1,2,,r 中每一个正交，那么ξ与 1,2,,r
的任意一个线性组合也正交.
2 a1 2 a1 0,
因而 2 0,
这就得到 V2 的一个正交基 {1, 2}.
3．标准正交基的存在性
定理8.2.2（正交化方法) 设 {1,2 ,,n}
是欧氏空间V的一组线性无关的向量, 那么可以求
出V 的一个正交组 {1, 2,, n}, 使得 k 可以由 1,2,,k 线性表示，k = 1,2,…,m.
由于1,2,,k 线性无关，得 k 0,
又因为假定了 1, 2 ,, k1 两两正交，所以
k ,i
k ,i
k ,i i , i
i , i 0, i 1,2,, k 1
这样，1, 2,, k 也满足定理的要求。
定理8.2.3 任意n(n >0)维欧氏空间一定有正交
基，因而有标准正交基.
例4 在欧氏空间 R3中对基
4) 当 0 时, , 0 这里 ,, 是V的任意向量，a是任意实数，那么
, 叫做向量ξ与η的内积，而V叫做对于 这个内积来说的一个欧氏空间（简称欧氏空间）.
高等代数教案第 章欧氏空间
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《高等代数》教案-8-第 8 章 欧氏空间
向量的夹角不变，故它保持几何形状不变. 容易证明，同构作为欧氏空间之间的关系具有反身性、对称性和传递性，因而它是欧氏空间的等.
价关系. 两个有限维欧氏空间同构的充分必要条件是它们有相同的维数. 所以，任意一个 n 维欧氏空 间都与 Rn 同构.
α
cosθ
为向量α
在向量 β
上的投影，称向量 (α , β )
β2
β
是向量α
在向量 β
上的投影向量.
注意，α
在向量 β 上的投影可表示为
α
cosθ
=
(α, β
β
)
=
α
,
β β
，
向量α 在向量 β 上的投影向量亦可以表示为
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《高等代数》教案-8-第 8 章 欧氏空间
(α, β
（1）σ (α + β ) = σ (α ) + σ (β ) ， （2）σ (kα ) = kσ (α ) ，
（3）(σ (α ),σ (β )) = (α, β ) ，
这里α, β ∈V , k ∈ R ，则称欧氏空间V 与V ′ 同构，称σ 是V 到V ′ 的一个同构映射. 注 两个欧氏空间V 到V ′ 的“同构映射”是指：首先，把V 和V ′ 看成线性空间时它是同构映射
Ⅲ.重点与难点 重点: 内积、欧氏空间的概念，向量的正交性，正交阵的性质及运用，实对称阵的正交对角化； 难点: 正交阵的性质及运用，实对称阵的正交对角化.
Ⅳ.教学内容
§8.1 欧氏空间的概念
第8章.欧几里得空间doc
第八章 欧氏空间（讲授7学时）一、教学目标：1、深刻理解欧氏空间的定义及性质；掌握向量的长度，两个向量的夹角‘正交及度量矩阵等概念和基本性质，掌握各种概念之间的联系与区别。
2、正确理解正交向量组、标准正交基的概念，掌握施密特正交化过程，并能把一组线性无关的向量化为单位正交的向量。
3、正确理解和掌握正交变换的概念及几个等价关系，掌握正交变换与向量的长度，标准正交基，正交矩阵间的关系。
4、正确理解和掌握两个子空间正交的概念，掌握正交与直和的关系，及欧氏空间中的每一个子空间都有唯一的正交补性质。
5、深刻理解和掌握任一个对称矩阵均可正交相似与一个对角阵，并掌握求正交矩阵的方法。
能用正交变换化实二次型为标准形。
二、教学内容：欧几里德空间的定义与性质、标准正交基、正交变换、子空间、对称矩阵的标准形。
三、教学重点：标准正交基、正交变换、子空间、对称矩阵的标准形。
四、教学难点：标准正交基、正交变换、对称矩阵的标准形。
五、教学方法：讲授法六、教学过程(一)、欧式空间的基本概念、标准正交基1、内积：设V 是实数域R 上的线性空间，映射:f V V R ⨯→满足○1对称性：,,f f V αββααβ∀∈()=(),, ○2线性性：,,,,,f k l kf lf V k l R αβγαγβγαβγ+∀∈∀∈()=()+(),,, ○3非负性：,,0f V f αααααα≥∀∈=⇔=()0,且()0 则称f 为V 的内积。
2、欧式空间：定义了内积的线性空间V 称为欧式空间，不同的内积就是不同的欧氏空间。
3、长度与夹角：设V 是欧式空间○1称为α的长度，记作：α，显然00.= ○2夹角：非零向量αβ,，称(,)arccos αβαβ在π[0,]内的夹角为α与β的夹角，记作：,αβ<>.4、标准正交基：○1设V 是欧式空间，若(,)0αβ=，称α与β，记作：αβ⊥。
○2正交向量组：设V 是欧式空间，非零向量组12,,,,n V ααα∈ 满足(,)0i j αα=， (,,1,2,,),i j i j n ≠= 称12,,,n ααα 为正交向量组。
第八章欧氏空间
8.1 向量的内积 8.2 正交基 8.3 正交变换 8.4 对称变换和对称矩阵
8.1 向量的内积
一、内容分布 8.1.1向量的内积、欧氏空间的定义 8.1.2向量的长度、两非零向量的夹角 8.1.3两向量正交、正交向量组的定义、性质
二、教学目的： 1．理解以下概念及其基本性质：向量的内积、欧氏空间、向量的长度、单位
不难验证, Rn 也作成一个欧氏空间.
例3 令C[a,b]是定义在[a,b]上一切连续实函数
所成的向量空间, f (x), g(x) C[a,b]
我们规定
b
f , g a f (x)g(x)dx.
根据定积分的基本性质可知,内积的公理
1)---4)都被满足,因而C[a,b]作成一个欧氏空间.
b2
b2
f (x)g(x)dx
(x)dx (x)dx.
a
a
a
(8)
(8)式称为施瓦兹(Schwarz)不等式.
（7）和（8）在欧氏空间的不等式（6）里被 统一 起来. 因此通常把(6)式称为柯西-施瓦兹 不等式.
例8 设 , 为欧氏空间V 中任意两个
非零向量.证明:
(1) a(a 0)当且仅当 , 的夹角为0;
i (0,,0, 1,0,,0), i =1,2,…,n,
是 Rn 的一个标准正交基. 如果
{1, 2 ,, n} 是n 维欧氏空间V的一个标准
正交基。令ξ是V的任意一个向量那么ξ是可
以唯一写成 x11 x22 xnn.
x1, x2 ,, xn 是ξ关于 {1, 2 ,, n} 的坐标。
求 A 的行列式 | A | 的值.
8.2 正交基
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第九章欧氏空间［教学目标］1理解欧氏空间、内积、向量的长度、夹角、正交和度量矩阵的概念。
2理解正交组、正交基、标准正交基和正交矩阵的概念，理解n维欧氏空间的标准正交基的存在性和标准正交基之间过渡矩阵的性质，重点掌握施密特正交化方法。
3理解欧氏空间同构的定义和同构的充要条件。
4理解正交变换的定义及正交变换与正交矩阵的关系，掌握正交变换的几个等价条件。
5理解子空间的正交和正交补的概念，掌握正交补的结构和存在唯一性。
6理解对称变换的定义和对称变换与对称矩阵之间的关系，掌握实对称矩阵特征值的性质，重点掌握用正交变换把实对称矩阵及实二次型化为对角形和标准形的方法。
［教学重难点］欧氏空间的定义，求向量的长度和夹角的方法，施密特正交化方法，正交变换与正交矩阵的关系，用正交变换把实对称矩阵及实二次型化为对角形和标准形的方法。
［教学方法］讲授，讨论和习题相结合。
［教学时间］18学时。
［教学内容］欧氏空间的定义和性质，标准正交基，同构，正交变换，子空间，对称矩阵的标准形，向量到子空间的矩离、最小二乘法*。
[教学过程]§1 定义、性质定义1：设V 是R 上的一个线性空间，在V 上定义了一个二元实函数，称为内积，记为),(βα，如果它具有以下性质：（1）),(),(αββα= （2）),(),(βαβαk k = （3）),(),(),(γβγαγβα+=+（4）0),(≥αα当且仅当0=α时0),(=αα。
这里R k V ∈∈,,,γβα，则V 称为欧几里得空间（简称欧氏空间） 例1、例2。
练习：394P 1（1）。
定义2：非负实数),(αα称为α的长度，记为α 性质：ααk k =单位向量：长度为1的向量。
α单位化：αα-Cauchy Буняковский不等式：βα,∀，有βαβα≤),(等号成立当且仅当βα,线性相关。
在不同内积中，-Cauchy Буняковский不等式的具体例子：例1中，22221222212211n n n n b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++例2中，2121)()()()(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰⎰ba ba badx x g dx x f dx x g x f 394P 1、（2）中，∑∑∑∑∑∑======≤n j ni j i ijn j ni ji ijnj ni j i ij y y ax x ay x a 111111定义3：非零向量βα,的夹角βα,为βαβαβα),(arccos,=， πβα≤≤,0。
三角不等式：βαβα+≤+定义4：若0),(=βα，称βα,正交或垂直，记为α⊥β 性质：（1）两个向量正交2,πβα=（2）只有零向量才与自身正交，除此之外，任意非零向量均不能与自身正交。
（3）勾股定理：当α⊥β时，222βαβα+=+ 可推广到有限个向量正交的情形：22221221m m αααααα+++=+++ 定义5：度量矩阵设V 是数域F 上的n 维线性空间，n εεε,,,21 是它的一组基，V ∈∀βα,，有nn nn y y y x x x εεεβεεεα+++=+++= 22112211∑∑∑∑======nj ni j i ij nj ni j i j i y x a y x 1111),(),(εεβα，这里),(j i ij a εε=由于),(),(i j j i εεεε=，故ji ij a a =，令()n n ij a A ⨯=，A A ='则AY X '=),(βα，其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x x X 21，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n y y y Y21， 则A 称为基n εεε,,,21 的度量矩阵。
性质：不同基的度量矩阵是合同的。
证明：设n ηηη,,,21 是V 的另一组基，C n n ),,,(),,,(2121εεεηηη =，设()n n ij c C ⨯=，则∑==nl l li i c 1εη，∑==nk k kj j c 1εηkj li n l nk k l k n k kj n l l li j i c c c c ),(),(),(1111∑∑∑∑======εεεεηη则()AC C c c B nn n l n k kj li k l nn j i '=⎪⎭⎫⎝⎛==⨯==⨯∑∑11),(,(εεηη。
证毕。
若对0≠∀α，即⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛≠000 X ，有AX X '=),(αα>0，则称度量矩阵A 是正定的。
练习：394P 2；作业：1。
§2 标准正交基 一、标准正交基1、定义：在n 维欧氏空间V 中，由n 个向量组成的两两正交的向量组称为正交基，若n 个向量均是单位向量，则称为标准正交基。
由此可知：有正交基得到标准正交基的方法就是把正交基中的向量全部单位化。
2、性质：（1）若n εεε,,,21 是标准正交基，则有⎩⎨⎧≠==ji ji j i ,0,1),(εε 即标准正交基的度量矩阵是单位矩阵，反之也成立。
（2）n n x x x V εεεαα+++=∈∀ 2211,i n i n i i i i i x x x x =++++=),(),(),(),(11εεεεεεαε即：n n εαεεαεεαεα),(),(),(2211+++= 。
若n n y y y εεεβ+++= 2211，则Y X y x y x y x y x n n nj j j ni i i '=+++==∑∑== 221111),(),(εεβα。
二、标准正交基的求法：设V 是数域F 上的n 维线性空间任一组线性无关的向量均能正交化，任一组正交向量组均能扩充为一组正交基，然后进行标准化（即单位化）即可。
若n ααα,,,21 是一组线性无关的向量，令111122221111222231111333111122211),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(--------=--=-==n n n n n n n n n ββββαββββαββββααβββββαββββααβββββααβαβ可验证n βββ,,,21 两两正交，再单位化，令nn n ββηββηββη===,,,222111 ，即为要求的标准正交向量组。
369P 例；练习：395P 7；作业：6，9。
三、由一组标准正交基到另一组标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵。
证明：n εεε,,,21 与n ηηη,,,21 是线性空间V 的两组标准正交基，且A n n ),,,(),,,(2121εεεηηη =，()n n ij a A ⨯=⎩⎨⎧≠==ji ji j i ,0,1),(ηη 因为：n ni i i i a a a εεεη+++= 2211，n nj j j j a a a εεεη+++= 2211即⎩⎨⎧≠==+++=ji ji a a a a a a nj ni j i j i j i ,0,1),(2211 ηη 而nj ni j i j i a a a a a a +++ 2211是A A '的第),(j i 元素，故E A A ='，即A A '=-1。
正交矩阵：我们把满足E A A ='（或E A A ='）的矩阵称为正交矩阵。
四、结论：由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵，反之，若两组基之间的过渡矩阵是正交矩阵，而其中一组基为标准正交基，那么另外一组基也是标准正交基。
§3、同构 一、两个欧氏空间同构 1、定义：R 上的两个欧氏空间称为同构的，如果存在V V '↔:σ（双射）满足：R k V ∈∀∈∀,,βα （1）)()()(βσασβασ+=+ （2）)()(ασασk k = （3）),())(),((βαβσασ=其中，σ称为V 到V '的同构映射 2、性质：（1）具有反身性、对称性、传递性。
（2）同构的欧氏空间有相同的维数，反之，有相同维数的两个欧氏空间也同构。
并且同构的欧氏空间有相同的性质。
因此，以后对一个n 维欧氏空间V ，我们只需要研究与它同构的最简单的欧氏空间n R 即可。
例：数域R 上的n 维欧氏空间V ，n εεε,,,21 是V 的一组标准正交基，,V ∈∀α，n n x x x εεεα+++= 2211作V 到n R 的双射：n n R x x x ∈=),,,()(21 ασ 令V ∈β，设n n y y y εεεβ+++= 2211 （1）)()(),,,(),,,(),,,())()()(()(21212211222111βσασεεεσβασ+=+=+++=++++++=+n n n n n n n y y y x x x y x y x y x y x y x y x（2）R k ∈∀)(),,,(),,,()()(21212211ασεεεσασk x x x k kx kx kx kx kx kx k n n n n ===+++=（3）),(),()),,,(),,,,(())(),((2211221122112121βαεεεεεεβσασ=++++++=+++==n n n n nn n n y y y x x x y x y x y x y y y x x x故数域R 上的n 维欧氏空间V 与n R 同构。
特别地：由同构关系的传递性知，所有n 维欧氏空间都同构。
§4 正交变换 一、正交变换1、定义：设V 是n 维欧氏空间，)(V M A ∈，若V ∈∀βα,，有），（βαβα=),(A A 则称A 是正交变换。
2、等价命题：A 是正交变换⇔V ∈∀α，αα=A ⇔若n εεε,,,21 是标准正交基，则n A A A εεε,,,21 也是标准正交基⇔A 在任意一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵。
3、正交变换的分类： 第一类的正交变换：1-=A 第二类的正交变换：1=A作业：395P 11。
§5 子空间定义1：21,V V 是欧氏空间V 的两个子空间，若对21,V V ∈∀∈∀βα恒有0),(=βα则称21,V V 为正交的，记为21V V ⊥1、若对1V ∈∀α，恒有0),(=αβ，则称β与1V 正交，记为2V ⊥β。
2、若21V V ⊥，则对21V V ∈∀α有1V ∈α，2V ∈α，故0),(=αα，从而0=α，即有}0{21=V V ，故2121V V V V ⊕=+ 可推广为定理5：若子空间s V V V ,,,21 两两正交，则和s V V V +++ 21是直和。