第九章欧氏空间习题答案教学内容
高教线性代数第九章 欧氏空间课后习题答案
第九章 欧氏空间1.设()ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而),,,(21n x x x =α, ),,,(21n y y y =β,在nR 中定义内积βαβα'A =),(,1) 证明在这个定义之下, nR 成一欧氏空间； 2) 求单位向量)0,,0,1(1 =ε, )0,,1,0(2 =ε, … , )1,,0,0( =n ε，的度量矩阵；3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。
解 1)易见βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且(1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =， (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =，(3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4) ∑='A =ji j iij y x a,),(αααα，由于A 是正定矩阵，因此∑ji j iij y x a,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有0),(=αα。
2)设单位向量)0,,0,1(1 =ε, )0,,1,0(2 =ε, … , )1,,0,0( =n ε，的度量矩阵为)(ij b B =，则)0,1,,0(),()( i j i ij b ==εε⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn n n n n a a a a a aa a a212222211211)(010j ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛ =ij a ，),,2,1,(n j i =，因此有B A =。
4) 由定义，知∑=ji ji ij y x a ,),(βα，,(,)ij i ji ja x xααα==∑，,(,)iji ji jay y βββ==∑，故柯西—布湿柯夫斯基不等式为2.在4R 中,求βα,之间><βα,(内积按通常定义)，设: 1) )2,3,1,2(=α, )1,2,2,1(-=β， 2) )3,2,2,1(=α, )1,5,1,3(-=β， 3) )2,1,1,1(=α, )0,1,2,3(-=β。
高等代数【北大版】9
| 1 | 2,
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3
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3
4 10
,
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2, 6
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5
4 14
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§9.2 标准正交基
于是得 R[ x]4的标准正交基
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6 x
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| 3
10 4
14 (5x3 3x) 4
§9.2 标准正交基
4.标准正交基间的基变换
设 1, 2 , , n与 1,2 , ,n 是 n 维欧氏空间V中的
1. 定义
设 A (aij ) Rnn , 若Ａ满足 则称A为正交矩阵.
AA E
2. 简单性质
1）A为正交矩阵 A 1. 2）由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交
矩阵.
§9.2 标准正交基
3）设 1, 2 , , n 是标准正交基，A为正交矩阵，若 (1,2 , ,n ) (1, 2 , , n ) A
（6）
§9.2 标准正交基
由公式（3）, 有
(i , j ) a1i1 j a2i 2 j
aninj
1 0
i i
j j
， （7）
把A按列分块为 A A1, A2, , An
由（7）有
A1
AA
A2
A1
,
A2
,
An
, An En
（8）
§9.2 标准正交基
三、正交矩阵
注:
① 由正交基的每个向量单位化, 可得到一组标准 正交基.
第九章 欧氏空间复习资料
第九章 欧氏空间一. 内容概述1.欧氏空间的定义设V 是实数域R 上一个向量空间,在V 上定义了一个二元实函数，称为内积,记作),(βα,它具有以下性质:1) ),(),(αββα=;2) ),(),(βαβαk k =; 3) ),(),(),(γβγαγβα+=+; 4) 0),(≥αα,当且仅当0=α时, 0),(=αα这里γβα,,是V 任意的向量,k 是任意实数,这样的线性空间V 称为欧几里得空间. 常见的欧氏空间举例:例1 在线性空间nR 中,对于向量 ),,,(,),,,(2121n n b b b a a a ==βα, 定义内积.),(2211n n b a b a b a +++= βα (1) 则内积(1)适合定义中的条件，这样nR 就成为一个欧几里得空间.仍用来表示这个欧几里得空间.在3=n 时，(1)式就是几何空间中的向量的内积在直角坐标系中的坐标表达式. 例2 在n R 里, 对于向量 ),,,(,),,,(2121n n b b b a a a ==βα定义内积.2),(2211n n b na b a b a +++= βα 则内积(1)适合定义中的条件，这样n R 就也成为一个欧几里得空间.对同一个线性空间可以引入不同的内积,使得它作成不同的欧几里得空间.例 3 在闭区间],[b a 上的所有实连续函数所成的空间),(b a C 中,对于函数)(),(x g x f 定义内积⎰=b a dx x g x f x g x f )()())(),((. (2)对于内积(2)，),(b a C 构成一个欧几里得空间.例4 设R m n ⨯为一切m n ⨯矩阵所成的线性空间.内积定义为()()3,B A B A t r '=则称R mn ⨯为R 上的欧氏空间,2.欧氏空间的内积的主要性质:1）定义中条件1）表明内积是对称的. ),(),(),(),()2αββααββαk k k k ==='),(),(),(),(),(),()3γαβααγαβαγβγβα+=+=+=+' 定义2 非负实数),(αα称为向量α的长度，记为α.显然，向量的长度一般是正数，只有零向量的长度才是零，这样定义的长度符合熟知的性质：αα||k k = (3)这里V R k ∈∈α,.长度为1的向量叫做单位向量.如果,0≠α由(3)式，向量αα1就是一个单位向量.用向量α的长度去除向量α，得到一个与α成比例的单位向量，通常称为把α单位化.柯西-布涅柯夫斯基不等式：即对于任意的向量βα,有βαβα≤),( (5)当且仅当βα,线性相关时，等式才成立.对于例1的空间nR ，(5)式就是 .22221222212211n n n n b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++ 对于例2的空间),(b a C ，(5)式就是()()212212)()()()(⎰⎰⎰≤b a ba ba dx x g dx x f dx x g x f 定义3 如果向量βα,的内积为零，即0),(=βα那么βα,称为正交或互相垂直，记为βα⊥. 设V 是一个n 维欧几里得空间，在V 中取一组基n εεε,,,21 ，对于V 中任意两个向量n n x x x εεεα+++= 2211, n n y y y εεεβ+++= 2211, 由内积的性质得∑∑===++++++=n i nj ji j i n n n n y x y y y x x x 1122112211),(,),(εεεεεεεεβα 设),,2,1,(),(n j i a j i ij==εε (8)显然 .ji ij a a =于是∑∑===n i nj j i ij y x a 11),(βα (9)利用矩阵，),(βα还可以写成AY X '=),(βα, (10)其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n y y y Y x x x X 2121, 分别是βα,的坐标，而矩阵nn ij a A )(=称为基n εεε,,,21 的度量矩阵.3. 标准正交基定义4 欧氏空间V 的一组非零的向量,如果它们两两正交，就称为一个正交向量组. 按定义，由单个非零向量所成的向量组也是正交向量组.正交向量组是线性无关的.这个结果说明，在n 维欧氏空间中，两两正交的非零向量不能超过n 个.定义6 在n 维欧氏空间中，由n 个向量组成的正交向量组称为正交基；由单位向量组成的正交基称为标准正交基组.定理：正交向量组是线性无关的.定义 n 组实数矩阵A 称为正交矩阵，如果E A A ='（即A A '=-1）例2 考虑定义在闭区间]2,0[π上一切连续函数所作成的欧氏空间]2,0[πC .函数组 .,sin ,cos ,,sin ,cos ,1 nx nx x x 构成]2,0[πC 的一个正交组.例3 欧氏空间nR 的基 ））（0,,0,1,0,,0( i i =ε（其中n i,,2,1 =） 是n R 的一个标准正交基.定理：正交矩阵的乘积是正交矩阵, 正交矩阵的逆是正交矩阵.掌握施密特正交化的方法实对称矩阵的标准形（对角化问题）.引理1：设A 是实对称矩阵,则A 的特征值皆为实数.引理2： 设A 是实对称矩阵,则R n 中属于A 的不同特征值的特征向量必正交.引理3：实对称矩阵的k 重特征值一定有k 个线性无关的特征向量。
高等代数(北大版)第9章习题参考答案
第九章欧氏空间1.设a ij是一个n阶正定矩阵,而(x1,x2,,x n),(y1,y2,,y n),在nR中定义内积(,),1)证明在这个定义之下,nR成一欧氏空间；2)求单位向量1(1,0,,0),(0,1,,0)2,⋯,(0,0,,1)n，的度量矩阵；3)具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。
解1)易见(,)是nR上的一个二元实函数，且(1)(,)()(,)，(2)(k,)(k)k()k(,)，(3)(,)()(,)(,)，(4) (,)aij xy，iji,j由于A是正定矩阵，因此i,j a ij xyij是正定而次型，从而(,)0，且仅当0时有(。
,)02)设单位向量11,00),(0,1,,0)(,,2,⋯,(0,0,,1)n，的度量矩阵为()Bb，则ija 11 a12a1nbij (,)(0,,ij1,(i)0)a22a22a2n 1 ( j)=a ij，(i,j1,2,,n)，an1an2ann 0因此有BA。
4)由定义，知(,) a ij xy(,)a ij x i x jij (,)a ij y i y ji,j，i,ji,j，，故柯西—布湿柯夫斯基不等式为axyaxxayyijijijijijiji,ji,ji,j2.在4R中,求,之间,(内积按通常定义)，设:1)(2,1,3,2),(1,2,2,1)，2)(1,2,2,3),(3,1,5,1)，3)(1,1,1,2),(3,2,1,0)。
解1)由定义,得(,)21123(1)210，所以,2。
2)因为(，,)1321253118(,)11222233 18，(，,)3311223336cos,1818 36 2 2，所以,。
4 3)同理可得(,(,)17,(,)3, ,)33 cos,，7731,cos所以77。
3.d(,)通常为,的距离，证明；d。
(,)d(,)d(,)证由距离的定义及三角不等式可得d(,)()()d(,)d(,)。
9习题课
1 1 , i i ( i 2, , n),
因为 是正交变换，所以( 1 , 1 ) ( 1 , 1 ) 2 ( 1 , 1 ) 故 2 1, 但V1是n 1维的，则 1, 从而
1 1 , i i ( i 2, , n),
高等代数
一、
二、
三、
5、习题解答 10. 设V0 是一 维欧氏空间 , 0, 是V中一固定向量。 1) 证明： V1n ,V 1 , x1 , x2 V1 , k R , {1 x | ()x , ) 2 0, Vkx }是 V的一子空间。 ( 1) x1证明： x2 , V )1 (x , (x , )x 0;( 1 , ) k ( x1 , ) 0
高等代数
2) dimVkx 1 n 1. x证明： V1 ,故V1是V 的一子空间。 1 x2 V1 , 1
2)证明：由于 0线性无关，将它扩充为V的一组正 交基 , 2 , , n , 则( i , ) 0 ( i 2, + kn n , ) + kn ( n , ) k1 ( , ) 0, , n), 从而 i V1 , 又 V1 , 有 k1 + k2 2 即( k1 + k2 2 k1 ( , ) + k2 ( 2 , ) + kn n ,由于( , ) 0,
则A , 于是
A A A( A ) A( ) A
2 2
即( 2 ) 0, 而 0，故 2 0, 故 0或 1,
而A是实对称矩阵，故存在正交矩阵T，使 1 1 T AT 。 0
习题解答 第九章 欧氏空间(定稿)
当且仅当 与 线性相关时，等号成立. 2. 标准正交基
定义 6 称欧氏空间 V 中一组两两正交的非零向量组1,2 , ,m 为一个正交向量组. 定义 7 设1,2,L ,n 是 n 维欧氏空间 V 中的一组基，若它们两两正交，则称 1,2,L ,n 为 V 的一组正交基；若正交基中的向量1,2,L ,n 都为单位向量，则称为标
n
( A, A) 0 ai2j 0 A 0 i, j1
此即证V是欧式空间。
(1)证：Eij是(i, j)元为1，其余一元皆为0的n阶方阵，那么可证 B11 E11, B12 E12 E21,L , B1n E1n En1 B22 E22 , B2n E2n En2 ,L , Bnn Enn 为V的一组基，于是
故○1 成立，且
V =S (S )
故S和(S)是同一子空间S的正交补，由正交补的唯一性，即证 ○2 .
4.设 是欧式空间V的线性变换，设 是V的一个变换，且, V ,都有(( ), )=(,( )). 证明：
(1) 是V的线性变换 (2)的值域 Im 等于的核ker的正交补。
四、典型题解析
例1.设A, B是n阶实对称阵，定义
(A, B) trAB
○1
证明：所有n阶实对称阵V 关于( A, B)成一欧式空间。 (1)求V的维数。 (2)求使trA=0的空间S的维数。 (3)求S的维数。
证 首先可证V {A Rnn | A A}是R上的一个线性空间。 再证○1 是V 的内积，从而得证V 是关于内积○1 的欧式空间. 事实上A,B,CV ,k R,有
高等代数第9章欧几里得空间习题 [1]...
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α
α 是一个单位向量. 是一个单位向量.
在欧氏空间V中 定义 在欧氏空间 中, 任意两个非零向量 之间的夹角 夹角定义为 α, β之间的夹角定义为 (α , β ) θ =< α , β >= arccos
α β
显然有0≤ ≤π． 注(1) 显然有 ≤ <α, β > ≤π． (2)由C-S不等式 上述定义有意义 不等式,上述定义有意义 由 不等式 上述定义有意义. 是欧氏空间, 定义 设V是欧氏空间 对α, β∈V, 如果 是欧氏空间 (α , β ) = 0 正交, 则称α与β 正交 记作α⊥β. 零向量0与任何向量正交 与任何向量正交. 零向量 与任何向量正交.
第9章 欧几里得空间习题课 §1 §2 §3 §4 §5 §6 定义与基本性质 标准正交基的定义及求法 正交变换，对称变换 正交变换， 子空间的正交补 实对称矩阵的标准形 向量到子空间的距离
§1
定义
定义与基本性质
是实数域R上的线性空间 设V是实数域 上的线性空间 在V上 是实数域 上的线性空间,在 上 定义了一个二元实函数 即对于V中任意两个 定义了一个二元实函数, 即对于 中任意两个 函数 向量α, β, 都有惟一确定的实数与之对应, 都有惟一确定的实数与之对应 该实数记作( 它满足如下性质: 该实数记作 α, β), 它满足如下性质: (1)(α, β)=(β, α ); (2)(α+β, γ)= (α, γ) + (β, γ); (3) (kα, β)= k(α, β ); (4) (α, α)≥0, (α, α)=0当且仅当α=0. 当且仅当α
欧氏空间中，下述式子成立： 定理 在欧氏空间中，下述式子成立： (1) 三角形不等式 |α+β| ≤ |α|+|β| ; 三角形不等式: | (2) 勾股定理 当α⊥β 时, |α+β|2=|α|2+|β|2. 勾股定理: | |
第九章 欧氏空间
= ( , ) + ( , ) .
3 ) ( , 0 ) = (0 , ) = 0；
4) ( ki i , l j j ) ki l j ( i , j );
i 1 j 1 i 1 j 1
s
n
s
n
5 ) | ( , ) | | | | |，当且仅当 , 线性相
关时，等号才成立.
2 长度、夹角与正交
(1) 设V是欧氏空间，对任意V，非负实数 ( , ) 称为向量 的长度，记为 | |. 即| | 度为1的向量称为单位向量. 如果≠0，则
( , ) ，长
1 | |
是单位
向量，称为将单位化.
(2) 非零向量 , 的夹角 < , > 规定为
为 V1 . 如果V1 V2 ，且V=V1 + V2 ，则称V2为V1的
正交补，记为V1.
(2) 正交子空间有下列结果： 1) 设V是欧氏空间， , i , j V，则
L(1 , 2 , … , t) 等价于 j (j=1, 2, ..., t);
L(1 , 2 , … , s) L(1 , 2 , … , t)等价于i j
第九章
欧氏空间
内 容 摘 要
1 内积和欧几里得空间
(1) 设 V 是实数域 R 上一个线性空间，如果对V中 任意两个元素 , 有一个确定的实数( , )与它们对应， 且满足：
1) ( , ) = ( , )；
2) (k , ) = k( , )；
3) ( + , ) = ( , ) + ( , ) ； 4) ( , ) 0，当且仅当 = 0 时 ( , ) = 0 .
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第九章欧氏空间习题答案第九章欧氏空间习题答案一、填空题1. 0；2. i x；3. 123'b A b b ⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭； 5. A ；6. (2,2,1)-；7. 2π；8. 6±；9. 2k >；10. 线性变换在某基下的矩阵；11. 0；12. 它们的维数相同；13. A ，1；14. 1-；15. 正交；16. 3π；17. 正定的。
二、判断题1-5 ××√√√ 6-10 √×√√√ 11-15 √√√×√ 16-20 √√×√× 三、选择题1-5 CDBCC 6-10 CACB(BD) 11-15 BDAAA 16-18 ABB 四、计算题1. 由220212(2)(1)(4)002E A λλλλλλλ---=--=+--=，故特征值为2,1,4-。
当2λ=-时，有12123234202320230x x x x x x x --=⎧⎪--+=⎨⎪-=⎩，则基础解系为11(,1,1)'2ξ=-，单位化为1122(,,)'333η=-；当1λ=时，有1213232022020x x x x x x --=⎧⎪-+=⎨⎪+=⎩，则基础解系为21(1,,1)'2ξ=-，单位化为2212(,,)'333η=-；当4λ=时，有12123232202320240x x x x x x x -=⎧⎪-++=⎨⎪+=⎩，则基础解系为31(1,1,)'2ξ=-，单位化为3221(,,)'333η=-。
则令122333212333221333T ⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪-⎪⎝⎭，为正交阵，有1214T AT --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。
2. （1）111111t A t t ⎛⎫⎪=- ⎪⎪-⎝⎭，由于二次型正定，则2300320t t t t >⎧⎪>⎨⎪-->⎩，即2t >。
（2）当1t =时，则111111111A ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭。
由2112111(2)(1)0111E A λλλλλλ----=---=-+=--，特征值为2,2,1-。
故标准形为22212322f y y y =+-。
3. 二次型矩阵为202023b A b a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。
由于正交变换得到的标准形为22212325f y y y =++，则A 的特征值为1,2,5，故23125a ++=++，12510A =⨯⨯=可得3,0a b ==。
当1λ=时，有123230220230x x x x x -=⎧⎪--=⎨⎪--=⎩，则基础解系为1(0,1,1)'ξ=-，单位化为1(0,,22η=-； 当2λ=时，有23232020x x x x --=⎧⎨--=⎩，则基础解系为2(1,0,0)'ξ=，单位化为2(1,0,0)'η=；当5λ=时，有1232330220220x x x x x =⎧⎪-=⎨⎪-+=⎩，则基础解系为3(0,1,1)'ξ=，单位化为3(0,22η=。
则令01000T ⎛⎫ ⎪ =⎝，为正交阵，有1125T AT -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。
4. 设属于特征值1的特征向量为123(,,)'x x x α=，则1(,)0αα=，即230x x +=，基础解系为2(1,0,0)'α=，3(0,1,1)'α=-。
把2(1,0,0)'α=，3(0,1,1)'α=-单位化为2(1,0,0)'β=，3(0,)'22β=-。
1(0,1,1)'α=单位化为1(0,22β=。
令010022022T ⎛⎫⎪⎪ ⎪=⎪ - ⎝⎭，为正交阵，有1111T AT --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。
进一步得到1110010011010A T T --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭。
5. 当j k ≠时，则22200011(cos ,cos )cos cos cos()cos()02()2()||jx kx jx kxdx j k x j k x j k j k πππ==+--=+-⎰22200011(sin ,sin )sin sin cos()cos()02()2()||jx kx jx kxdx j k x j k x j k j k πππ==-++-=+-⎰22200011(sin ,cos )sin cos sin()()02()2()||jx kx jx kxdx j k x sin j k x j k j k πππ==-++-=+-⎰故对于任何整数，该集合均为正交向量组。
6. 令2R 的一组基为12(1,0),(0,1)εε==，则有112212211212((,),(,))22x y x y x x x y x y y y =--+，可得在这组基下的度量矩阵为2112A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭。
由(1)(3)E A λλλ-=--，特征值为1,3。
当1λ=时，有12120x x x x -+=⎧⎨-=⎩，则基础解系为1(1,1)'ξ=，单位化为1)'22η=； 当3λ=时，有12120x x x x +=⎧⎨+=⎩，则基础解系为2(1,1)'ξ=-，单位化为2('22η=-令2222T ⎛⎫- ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭为正交阵，使得113T AT -⎛⎫= ⎪⎝⎭。
则对角阵不是单位阵。
7. 令222(,,)3222f x y z x y z xy xy yz =+++++对应的二次型矩阵为111131111A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（1）正交变换：由111131(1)(4)0111E A λλλλλλλ----=---=--=---，故特征值为0,1,4。
当0λ=时，有(0)0E A x -=，则特征向量为1(1,0,1)'ξ=-，单位化为1,0,22η=-； 当1λ=时，有()0E A x -=，则特征向量为2(1,1,1)'ξ=-，单位化为2'η=； 当4λ=时，有(4)0E A x -=，则特征向量为3(1,2,1)'ξ=，单位化为3(,)'636η=。
则令2360332T ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪ - ⎝⎭，为正交阵，有1014T AT -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 则标准形为22(,,)44f x y z ξη=+=。
（2）平移变换：22222(,,)2()()()32f x y z x x y z y z y z y z yz =++++-++++ 即22(,,)()2f x y z x y z y =+++，作非退化线性替换123x y z y z ξξξ=++⎧⎪=⎨⎪=⎩，即2212(,,)24f x y z ξξ=+=。
8. 124(,,)(24,222,42)(,,)222421x y z x y z x y z x y z x y z σ⎛⎫ ⎪=++-+++=- ⎪ ⎪⎝⎭。
不妨设(,,)x y z α=，则A σαα=，其中124222421A ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭设3R 的一组标准正交基为123,,εεε，则123123(,,)(,,)A σεεεεεε=。
因为A 是对称矩阵，则σ是对称变换。
由2(3)(6)0E A λλλ-=+-=，故特征值为3,3,6--。
当3λ=-时，有(3)0E A x --=，则特征向量为12(1,2,0)',(0,2,1)'ξξ=-=-，单位化为12(ηη==； 当6λ=时，有(6)0E A x -=，则特征向量为3(2,1,2)'ξ=，单位化为3212(,,)'333η=。
则令23132053T ⎛⎫ ⎪⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，为正交阵，则存在一组标准正交基123,,γγγ使得123123(,,)(,,)T γγγεεε=，则有1336T AT --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭。
9. 设3123(,,)x x x α=且13(,)0αα=，23(,)0αα=，则12132020x x x x -=⎧⎨+=⎩，即可取3(1,2,2)α=-。
把123,,,ααα正交单位化如下 11(2,1,0)βα==-，2122111(,)24(,,1)(,)55αββαβββ=-=。
11111,0)ηββ==-，222124(,,1)355ηββ==，33311(1,2,2)3ηββ==-。
123,,ηηη为3R 的一组标准正交基。
10. 由2(3)0E A λλλ-=-=，故特征值为0,0,3。
当0λ=时，有()0A x -=，则特征向量为12(1,1,0)',(1,0,1)'ξξ=-=-，属于特征值0的全部的特征向量为1122k k ξξ+，其中12,k k 为任意常数。
单位化为12((ηη==； 当3λ=时，有(3)0E A x -=，则特征向量为3(1,1,1)'ξ=，单位化为3(,333η=。
则令263063T ⎛ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭为正交阵，则存在一组标准正交基123,,ηηη使得123123(,,)(,,)T ηηηεεε=，则有1003T AT -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。
五、证明题1.''''''A A B A A B E A B B B A B B A B A A B +=+=+=+=+=-+，即0A B +=。
2. 令123(,,)x x x α=，123(,,)y y y β=，则1323123(,2,2)A x x x x x x x α=+--+，1323123(,2,2)A y y y y y y y β=+--+。
则11312232132333(,)22A x y x y x y x y x y x y x y αβ=++-+-+，11312232132333(,)22A x y x y x y x y x y x y x y βα=++-+-+，即(,)(,)A A αββα=，则A 是一个对称变换。
3. 必要性是显然的。
下面来证明充分性。
由于ker 0(,)0ασσασασα∈⇔=⇔=，即(,)00ααα=⇔=，因此ker 0σ=，从而σ是单射，又由于存在双射:'V V σ→，并且,V αβ∀∈有(,)(,)αβσασβ=。
因此σ欧氏空间V 与'V 一个同构映射。
4. 不妨设12,,,s ααα是向量组12,,,m ααα的一个极大线性无关组，下证12,,,s βββ是向量组12,,,m βββ的一个极大线性无关组。