高等代数第九章欧氏空间第9.2节
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高等代数-9第九章 欧几里得空间
3) ( , ) , ( , )
（线性性）
4) ( , ) 0, 当且仅当 o 时 ( , ) 0. （非负性）
则称 ( , )为 和 的内积,称这种定义了内积的 实数域 R上的线性空间V为欧几里得空间.
§1 定义与基本性质
b
§1 定义与基本性质
线性性 ( k f lg , h) a k f ( x ) lg ( x ) h( x )dx
b
k f ( x )h( x )dx l g ( x )h( x )dx
a a
b
b
k ( f , h ) l ( g , h)
非负性 ( f , f ) f ( x ) f ( x ) dx f 2 ( x ) dx 0 a a 且 ( f , f ) 0 f ( x ) 0. 故( f , g) 为一内积, C (a , b) 构成欧氏空间.
注1 欧几里得空间 V是特殊的线性空间. (1)V为实数域 R上的线性空间; (2)V既有向量的线性运算,还有内积运算; (3) , V ,( , ) R. 注2 欧几里得空间,Euclidean Space, 简称欧氏空间. 欧几里得(Euclid,约公元前330 年—前275年),古希腊数学家,是几 何学的奠基人,被称为“几何之 父”. 他最著名的著作是《几何原本》.
b b
§1 定义与基本性质
2. 内积的运算性质 设V为欧氏空间, , , , i V , k , l , ki R
1) ( , k ) k ( , ) 2) ( , ) ( , ) ( , ) 3) ( , k l ) k ( , ) l ( , ) 4) ( k l , ) k ( , ) l ( , )
（线性性）
4) ( , ) 0, 当且仅当 o 时 ( , ) 0. （非负性）
则称 ( , )为 和 的内积,称这种定义了内积的 实数域 R上的线性空间V为欧几里得空间.
§1 定义与基本性质
b
§1 定义与基本性质
线性性 ( k f lg , h) a k f ( x ) lg ( x ) h( x )dx
b
k f ( x )h( x )dx l g ( x )h( x )dx
a a
b
b
k ( f , h ) l ( g , h)
非负性 ( f , f ) f ( x ) f ( x ) dx f 2 ( x ) dx 0 a a 且 ( f , f ) 0 f ( x ) 0. 故( f , g) 为一内积, C (a , b) 构成欧氏空间.
注1 欧几里得空间 V是特殊的线性空间. (1)V为实数域 R上的线性空间; (2)V既有向量的线性运算,还有内积运算; (3) , V ,( , ) R. 注2 欧几里得空间,Euclidean Space, 简称欧氏空间. 欧几里得(Euclid,约公元前330 年—前275年),古希腊数学家,是几 何学的奠基人,被称为“几何之 父”. 他最著名的著作是《几何原本》.
b b
§1 定义与基本性质
2. 内积的运算性质 设V为欧氏空间, , , , i V , k , l , ki R
1) ( , k ) k ( , ) 2) ( , ) ( , ) ( , ) 3) ( , k l ) k ( , ) l ( , ) 4) ( k l , ) k ( , ) l ( , )
第九章欧式空间 (2)
( ), ( )
( ( )), ( ( )) ( ), ( )
( , )
为欧氏空间V到V"的同构映射.
§9.3 同构
5、两个有限维欧氏空间V与V'同构
d im V d im V .
'
§9.3 同构
标准正交基， 在这组基下，V中每个向量 可表成
x 1 1 x 2 2 x n n ,
xi R
作对应 : V R n , ( ) ( x 1 , x 2 , , x n ) 易证 是V到 R n 的 1 1 对应. 且 满足同构定义中条件1）、2）、3）， 故 为由V到 R n 的同构映射，从而V与 R n 同构.
( , ) (
1
是
1
( )), (
1
( ))
1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
( ),
1
( )
1
为欧氏空间V'到V的同构映射.
§9.3 同构
③ 若 , 分别是欧氏空间V到V'、V'到V"的同构映射， 则 是欧氏空间V到V"的同构映射. 事实上，首先， 是线性空间V到V"的同构映射. 其次，对 , V , 有
第九章 欧氏空间
§1 定义与基本性质 §2 标准正交基 §3 同构 §4 正交变换 §5 子空间
§6 对称矩阵的标准形
§7 向量到子空间的 距离─最小二乘法 §8酉空间介绍 小结与习题
§9.3 同构
一、欧氏空间的同构 二、同构的基本性质
§9-2标准正交基
§9-2 标准正交基复习欧氏空间的概念、两向量正交的定义、度量矩阵的定义及性质。
一、概念定义5: 欧氏空间中一组非零的向量，如果它们两两正交，则称为一个正交向量组。
例1: 向量(),0101=α()1012=α，()1013-=α构成3R 的一个正交组。
事实上，很容易验证 ()0=j iαα3,2,1,=j i例2: 在()π20C 上，函数组 1，cosx, sinx, … cos nx, sin nx … 构成()π20C 上的一个正交组。
事实上，我们有ππ2120=⎰dx ；⎩⎨⎧≠==⎰nm nm nxdx mx ,0,cos cos 20ππ； ⎩⎨⎧≠==⎰nm nm n x d x mx 0,sin sin 20ππ； 0sin cos sin cos 202020===⎰⎰⎰πππnxdx nxdx nxdx mx所以 ()()0sin 1cos 1==nx nx ；()()()0sin ,sin ,cos sin ,cos ===nx mx coxnx mx nx mx ， 当n m ≠时一般情况下，正交向量组是对两个或两个以上的向量而言，对于特殊情况我们规定：单个非零向量所成的向量组是正交向量组。
由正交向量组的定义很容易得出以下结论： 1、正交向量组一定是线性无关的。
证明：设m ααα ,,21正交，欲证其无关设有关系式 02211=+++m m k k k ααα 用i α与等式两边做内积，由于()0=j iαα当j i ≠时所以可得 ()0i=i i k αα 而()i i αα﹥0 所以()m i k i 2,1,0==注①：此定理的逆不成立，即无关的向量组不一定是正交的。
如()3,2,11=α，()0,1,22=α无关（不成比例），但()0421≠=αα注②：相关的向量组一定是不正交的。
于是可得2、在n 维欧氏空间中，两两正交的非零向量不超过n 个。
事实上，在n 维空间中，任何n+1个向量都是相关的。
欧式空间(全部)
长度： 长度：
α ⋅β 夹角 < α , β > ： cos < α , β > = α β
α = α ⋅α
3、几何空间中向量的内积具有比较明显的代数性质. 、几何空间中向量的内积具有比较明显的代数性质
§9.1 定义与基本性质
一、欧氏空间的定义
1. 定义 上的线性空间， 设V是实数域 R上的线性空间，对V中任意两个向量 是实数域 上的线性空间 中任意两个向量
所成线性空间， 所成线性空间，对于函数 f ( x ), g ( x ) ，定义
( f , g ) = ∫ f ( x ) g ( x ) dx
a
b
（2） ）
对于（ ）作成一个欧氏空间. 则 C (a , b ) 对于（2）作成一个欧氏空间
∀ 证： f ( x ), g ( x ), h( x ) ∈ C (a , b ), ∀ k ∈ R
2 2 2 2
证：若 (α i ,α j ) = 0, i ≠ j 则 α1 + α 2 + L + α m = ( ∑ α i , ∑ α j )
（6） ）
(α , β ) 代入（ ） 取 t=− 代入（6）式，得 (β , β )
(α , β ) (α , β )2 (α ,α ) − 2(α , β ) + (β , β ) ≥0 2 (β , β ) (β , β )
即
(α , β )2 ≤ (α ,α )( β , β )
两边开方， 两边开方，即得
推广： 推广： (α , ∑ β i ) = ∑ (α , β i )
i =1 i =1 s s
3) (0, β ) = 0
§9.1 定义与基本性质
α ⋅β 夹角 < α , β > ： cos < α , β > = α β
α = α ⋅α
3、几何空间中向量的内积具有比较明显的代数性质. 、几何空间中向量的内积具有比较明显的代数性质
§9.1 定义与基本性质
一、欧氏空间的定义
1. 定义 上的线性空间， 设V是实数域 R上的线性空间，对V中任意两个向量 是实数域 上的线性空间 中任意两个向量
所成线性空间， 所成线性空间，对于函数 f ( x ), g ( x ) ，定义
( f , g ) = ∫ f ( x ) g ( x ) dx
a
b
（2） ）
对于（ ）作成一个欧氏空间. 则 C (a , b ) 对于（2）作成一个欧氏空间
∀ 证： f ( x ), g ( x ), h( x ) ∈ C (a , b ), ∀ k ∈ R
2 2 2 2
证：若 (α i ,α j ) = 0, i ≠ j 则 α1 + α 2 + L + α m = ( ∑ α i , ∑ α j )
（6） ）
(α , β ) 代入（ ） 取 t=− 代入（6）式，得 (β , β )
(α , β ) (α , β )2 (α ,α ) − 2(α , β ) + (β , β ) ≥0 2 (β , β ) (β , β )
即
(α , β )2 ≤ (α ,α )( β , β )
两边开方， 两边开方，即得
推广： 推广： (α , ∑ β i ) = ∑ (α , β i )
i =1 i =1 s s
3) (0, β ) = 0
§9.1 定义与基本性质
高等代数--第九章 欧几里得空间
反过来，如果等号成立，由以上证明
过程可以看出，或者 0 ，或者 ( , ) 0, ( , ) 也就是说 , 线性相关。
结合具体例子来看一下这个不等式是很有意 思的。对于例1的空间Rn ，(5)式是:柯西不等式
| a1b1 a2b2 an bn |
这就是说，不同基的度量矩阵是合同的。
根据条件4)，对于非零向量 ，即
0 0 X 0
有
( , ) X ' AX 0,
因此，度量矩阵是正定的。 欧几里得空间以下简称为欧氏空间。 BACK
标准正交基
定义6 欧氏空间V中一组非零的向量，如果它 们两两正交，就称为一正交向量组。 按定义，由单个非零向量所成的向量组也 是正交向量组。
即对于任意的向量 , 有
| ( , ) || || | . (5)
当且仅当 , 线性相关时，等号才成立。 证明 当 0，(5)式显然成立。以下设 0。 令t是一个实变数，作向量 t . 由4)可知，不论t取何值，一定有 ( , ) ( t , t ) 0. 即 ( , ) 2( , )t ( , )t 2 0. (6)
(m1 ,i ) ( ,i ) ki (i ,i ) (i 1,2,, m).
取
( , i ) ki (i 1,2,, m). ( i , i )
有
( i , m1 ) 0 (i 1,2,, m).
m1 0 。因此 1 , 2 ,, m , m1 由 的选择可知， 1 , 2 ,, m , 是一正交向量组，根据归纳法假定， m1 可以扩充成一正交基。于是定理得证。 定理的证明实际上也就给出了一个具体的扩 充正交向量组的方法。
高等代数9-2
有
( , ) ( X )T Y X T AT Y X T ( AY ) ( , )
σ是一个对称变换.
在标准正交基下,对称变换与对称矩阵对应.
定理 对于任意一个n阶实对称矩阵A , 都存在一个n阶正交 矩阵T ,使T T AT T 1 AT为对角矩阵.
定理12 如果σ是n维欧氏空间V的一个对称变换,那么可找
sin x cos y
1 (1,0), 2 (0,1)是一组标准正交基
T 1 (cos , sin ) cos 1 sin 2 T 2 ( sin , cos ) sin 1 cos 2
则称 σ为一个对称变换.
二、 对称变换与对称矩阵的关系
设是n维欧氏空间V的一个对称变换, 1 , 2 , , n 是V的一组 标准正交基. 并设在基 1 , 2 , , n 下的矩阵是
a11 a 21 A a n1 a12 a 22 an2 a1 n a2n a nn
定理6 n维欧氏空间V的每一个子空间V1 都有唯一的正交补.
下证唯一性
设W1 ,W2都是W的正交补,则 V W W1 任取 1 W1 , 则 1 V . 由( 2 )得,1 2
( , ) 0
(1 ) (2)
V W W2
W , 2 W2
证 先证存在性
若W 0, 则正交补就是V . 若W V , 则正交补就是0. 设W V ,0 :
在W中取一组正交基 1 , 2 , , m (1 m n )
把它扩充成V的一组正交基
1 , 2 ,, m , m 1 , , n
那么子空间L( m 1 , , m )就是W的正交补.
高等代数-欧几里得空间
2) (, ) (, ) (, )
s
s
推广： ( , i ) ( , i )
i 1
i 1
3) (0, ) 0
§9.1 定义与基本性质
二、欧氏空间中向量的长度
1. 引入长度概念的可能性
1）在 R3向量 的长度（模） . 2) 欧氏空间V中， ,V , (, ) 0
使得 有意义.
③ ( , ) R.
§9.1 定义与基本性质
例1．在 Rn 中，对于向量
a1,a2, ,an , b1,b2, ,bn
1）定义 ( , ) a1b1 a2b2 anbn
（1）
易证 ( , ) 满足定义中的性质 1 ～ 4 .
所以, ( , ) 为内积. 这样Rn 对于内积 ( , ) 就成为一个欧氏空间.
2. 向量长度的定义
,V , ( , ) 称为向量 的长度. 特别地，当 1时，称 为单位向量.
§9.1 定义与基本性质
3. 向量长度的简单性质
1) 0; 0 0
2) k k
3）非零向量 的单位化：
1.
（3）
§9.1 定义与基本性质
三、欧氏空间中向量的夹角
1. 引入夹角概念的可能性与困难
注：
① 零向量与任意向量正交.
②
, ,
2
即 cos, 0
.
§9.1 定义与基本性质
5. 勾股定理
设V为欧氏空间， , V
2 2 2
证： 2 , , 2, ,
2 2 2
( , ) 0
.
§9.1 定义与基本性质
推广：若欧氏空间V中向量1,2 , ,m 两两正交，
当 n 3 时，1）即为几何空间 R3中内积在直角 坐标系下的表达式 . ( , )即 .
欧几里得空间
即 (i , j ) 0, i j, i, j 1,2, ,m 则 1 2 m 2 1 2 2 2 m 2 .
例3 已知 2,1,3,2, 1,2,2,1
在通常的内积定义下，求 ,( , ), , , .
例1 C(a,b) 为闭区间 [a,b] 上的所有实连续函数
所成线性空间，对于函数 f ( x), g( x) ，定义
b
( f , g) a f ( x)g( x) dx
②
则 C(a,b) 对于②作成一个欧氏空间.
证： f ( x), g( x), h( x) C(a,b), k R
b
1 . ( f , g) a f ( x)g( x) dx
b
( g, f )=a g( x) f ( x) dx
b
b
2 . (k f , g) a k f ( x)g( x) dx ka f ( x)g( x) dx
k( f , g)
3
.
(f
g,
h)
b
a
f (x)
k 1
l 1
nn
nn
( k , l )ckiclj
aklckiclj CiAC j
k1 l 1
k1 l 1
B (i , j ) CiAC j
C1
C
2
A
C1
,
C2
,
Cn
,Cn CAC
欧氏空间的定义
设V是实数域 R上的线性空间，对V中任意两个向量
、 , 定义一个二元实函数，记作 ( , ) ，若 ( , ) 满足性质： , , V , k R
例3 已知 2,1,3,2, 1,2,2,1
在通常的内积定义下，求 ,( , ), , , .
例1 C(a,b) 为闭区间 [a,b] 上的所有实连续函数
所成线性空间，对于函数 f ( x), g( x) ，定义
b
( f , g) a f ( x)g( x) dx
②
则 C(a,b) 对于②作成一个欧氏空间.
证： f ( x), g( x), h( x) C(a,b), k R
b
1 . ( f , g) a f ( x)g( x) dx
b
( g, f )=a g( x) f ( x) dx
b
b
2 . (k f , g) a k f ( x)g( x) dx ka f ( x)g( x) dx
k( f , g)
3
.
(f
g,
h)
b
a
f (x)
k 1
l 1
nn
nn
( k , l )ckiclj
aklckiclj CiAC j
k1 l 1
k1 l 1
B (i , j ) CiAC j
C1
C
2
A
C1
,
C2
,
Cn
,Cn CAC
欧氏空间的定义
设V是实数域 R上的线性空间，对V中任意两个向量
、 , 定义一个二元实函数，记作 ( , ) ，若 ( , ) 满足性质： , , V , k R
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= (i , x11) + … + (i , xi-1i-1) + (i , xii ) + + (i , xi+1i+1) + … + (i , xnn )
= x1(i , 1) + … + xi-1(i , i-1) + xi(i , i ) + + xi+1(i , i+1) + … + xn(i , n )
内积，得
(i , m +1 ) = ( , i ) - ki(i , i ) ( i = 1, 2, … , m).
取
ki
( ,i ) (i ,i )
(i 1,2, , m) .
有
(i , m +1 ) = 0 ( i = 1, 2, … , m).
由 的选择可知， m +1 0 . 因此
1 , 2 , … , m , m +1
第二节 标准正交基
主要内容
定义 标准正交基的求法 举例 正交矩阵
一、定义
1. 正交向量组的定义 定义 5 欧氏空间 V 中一组非零的向量，如 果它们两两正交，就称为一正交向量组.
应该指出，按定义，由单个非零向量所成的向 量组也是正交向量组. 当然，以下讨论的正交向量 组都是非空的.
2. 正交向量组的性质
首先，可取
1
|
1
1
|
1
.
一般地，假定已经
求出 1 , 2 , … , m ，它们是单位正交的，具有性
质
L(1 , 2 , … , i ) = L(1 , 2 , … , i) , i = 1,2,…,m . 下一步求m +1 .
因为
L(1 , 2 , … , m ) = L(1 , 2 , … , m) , 所以 m +1 不能被 1 , 2 , … , m 线性表出. 按定
是一正交向量组，根据归纳法假定，1,2 ,…,m ,
m +1 可以扩充成一正交基.
证毕
应该注意，定理的证明实际上也就给出了一个 具体的扩充正交向量组的方法. 如果我们从任一个 非零向量出发，按证明中的步骤逐个地扩充，最后 就得到一组正交基. 再单位化，就得到一组标准正 交基.
在求欧氏空间的正交基时，常常是已经有了空 间的一组基. 对于这种情形，有下面的结果：
理 1 证明中的方法，作向量
m
m1 m1 ( m1,i )i . i 1
定理 1 n 维欧氏空间中任一个正交向量组都 … , m 是一正交向量组，
我们对 n - m 作数学归纳法.
当 n - m = 0 时， 1 , 2 , … , m 就是一组正交
基. 假设 n - m = k 时定理成立，也就是说，可以
找到向量 1 , 2 , … , s , 使得
1 , 2 , … , m , 1 , 2 , … , s
成为一组正交基. 现在来看 n - m = k + 1 的情形. 因为 m < n ，
所以一定有向量 不能被1 , 2 , … , m线性表出，
作向量
m +1 = - k11 - k22 - … - kmm , 这里 k1 , k2 , … , km 是待定的系数. 用 i 与 m +1 作
i j.
(1)
显然，(1) 式完全刻画了标准正交基的性质. 换句
话说，一组基为标准正交基的充分必要条件是：
它的度量矩阵为单位矩阵. 因为度量矩阵是正定的.
根据第五章关于正定二次型的结果，正定矩阵合同 于单位矩阵. 这说明在 n 维欧氏空间中存在一组基, 它的度量矩阵是单位矩阵. 由此可以断言，在 n 维 欧氏空间中，标准正交基是存在的.
这个表达式正是几何中向量的内积在直角坐标系中
的坐标表达式的推广.
应该指出，内积的表达式 (2) , 对于任一组标准 正交基都是一样的. 这说明了，所有的标准正交基 在欧氏空间中有相同的地位. 在下一节，这一点将 得到进一步的说明.
下面我们将结合内积的特点来讨论标准正交基
的求法.
二、标准正交基的求法
性质 2 设1 , 2 , … , n 是一组标准正交基，
向量 在该基下的坐标为 (x1 , x2 , … , xn ) , 即 = x1 1 + x2 2 + … + xn n ，
则
xi = (i , ) ( i = 1, 2, … , n ) .
证明
(i , ) = (i , x1 1 + x2 2 + … + xn n )
ki = 0 ( i = 1, 2, …, m) .
证毕
这个结果说明，在 n 维欧氏空间中，两两正交 的非零向量不能超过 n 个. 这个事实的几何意义是 清楚的. 例如，在平面上找不到三个两两垂直的非 零向量；在空间中，找不到四个两两垂直的非零向 量.
从解析几何中看到，直角坐标系在图形度量性 质的讨论中有特殊的地位. 在欧氏空间中，情况是 相仿的.
3. 正交基的定义 定义 6 在 n 维欧氏空间中，由 n 个向量组成 的正交向量组称为正交基；由单位向量组成的正交 基称为标准正交基.
对一组正交基进行单位化就得到一组标准正交 基.
4. 正交基的性质
性质 1 设 1 , 2 , … , n 是一组标准正交基，
则
1, i j ;
(
i
,
j
)
0,
定理 2 对于 n 维欧氏空间中任意一组基 1 ,
2 , … , n ，都可以找到一组标准正交基 1 , 2 , … ,
n ，使
L(1 , 2 , … , i ) = L(1 , 2 , … , i) , i = 1,2,…,n .
证明 设 1 , 2 , … , n 是一组基，我们来逐
个地求出向量 1 , 2 , … , n .
= xi(i , i )
= xi .
证毕
性质 3 设 1 , 2 , … , n 是一组标准正交基，
且
= x1 1 + x2 2 + … + xn n ，
那么
= y1 1 + y2 2 + … + yn n ，
( , ) = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn = XTY . (2)
性质 正交向量组是线性无关的.
证明 设 1 , 2 , … , m 是一正交向量组，
k1 , k2 , … , km 是 m 个实数，且有
k1 1 + k2 2 + … + kmm = 0 .
用 i 与等式两边作内积，得
ki (i , i ) = 0 . 由 i 0，有 (i , i ) > 0 ，从而
= x1(i , 1) + … + xi-1(i , i-1) + xi(i , i ) + + xi+1(i , i+1) + … + xn(i , n )
内积，得
(i , m +1 ) = ( , i ) - ki(i , i ) ( i = 1, 2, … , m).
取
ki
( ,i ) (i ,i )
(i 1,2, , m) .
有
(i , m +1 ) = 0 ( i = 1, 2, … , m).
由 的选择可知， m +1 0 . 因此
1 , 2 , … , m , m +1
第二节 标准正交基
主要内容
定义 标准正交基的求法 举例 正交矩阵
一、定义
1. 正交向量组的定义 定义 5 欧氏空间 V 中一组非零的向量，如 果它们两两正交，就称为一正交向量组.
应该指出，按定义，由单个非零向量所成的向 量组也是正交向量组. 当然，以下讨论的正交向量 组都是非空的.
2. 正交向量组的性质
首先，可取
1
|
1
1
|
1
.
一般地，假定已经
求出 1 , 2 , … , m ，它们是单位正交的，具有性
质
L(1 , 2 , … , i ) = L(1 , 2 , … , i) , i = 1,2,…,m . 下一步求m +1 .
因为
L(1 , 2 , … , m ) = L(1 , 2 , … , m) , 所以 m +1 不能被 1 , 2 , … , m 线性表出. 按定
是一正交向量组，根据归纳法假定，1,2 ,…,m ,
m +1 可以扩充成一正交基.
证毕
应该注意，定理的证明实际上也就给出了一个 具体的扩充正交向量组的方法. 如果我们从任一个 非零向量出发，按证明中的步骤逐个地扩充，最后 就得到一组正交基. 再单位化，就得到一组标准正 交基.
在求欧氏空间的正交基时，常常是已经有了空 间的一组基. 对于这种情形，有下面的结果：
理 1 证明中的方法，作向量
m
m1 m1 ( m1,i )i . i 1
定理 1 n 维欧氏空间中任一个正交向量组都 … , m 是一正交向量组，
我们对 n - m 作数学归纳法.
当 n - m = 0 时， 1 , 2 , … , m 就是一组正交
基. 假设 n - m = k 时定理成立，也就是说，可以
找到向量 1 , 2 , … , s , 使得
1 , 2 , … , m , 1 , 2 , … , s
成为一组正交基. 现在来看 n - m = k + 1 的情形. 因为 m < n ，
所以一定有向量 不能被1 , 2 , … , m线性表出，
作向量
m +1 = - k11 - k22 - … - kmm , 这里 k1 , k2 , … , km 是待定的系数. 用 i 与 m +1 作
i j.
(1)
显然，(1) 式完全刻画了标准正交基的性质. 换句
话说，一组基为标准正交基的充分必要条件是：
它的度量矩阵为单位矩阵. 因为度量矩阵是正定的.
根据第五章关于正定二次型的结果，正定矩阵合同 于单位矩阵. 这说明在 n 维欧氏空间中存在一组基, 它的度量矩阵是单位矩阵. 由此可以断言，在 n 维 欧氏空间中，标准正交基是存在的.
这个表达式正是几何中向量的内积在直角坐标系中
的坐标表达式的推广.
应该指出，内积的表达式 (2) , 对于任一组标准 正交基都是一样的. 这说明了，所有的标准正交基 在欧氏空间中有相同的地位. 在下一节，这一点将 得到进一步的说明.
下面我们将结合内积的特点来讨论标准正交基
的求法.
二、标准正交基的求法
性质 2 设1 , 2 , … , n 是一组标准正交基，
向量 在该基下的坐标为 (x1 , x2 , … , xn ) , 即 = x1 1 + x2 2 + … + xn n ，
则
xi = (i , ) ( i = 1, 2, … , n ) .
证明
(i , ) = (i , x1 1 + x2 2 + … + xn n )
ki = 0 ( i = 1, 2, …, m) .
证毕
这个结果说明，在 n 维欧氏空间中，两两正交 的非零向量不能超过 n 个. 这个事实的几何意义是 清楚的. 例如，在平面上找不到三个两两垂直的非 零向量；在空间中，找不到四个两两垂直的非零向 量.
从解析几何中看到，直角坐标系在图形度量性 质的讨论中有特殊的地位. 在欧氏空间中，情况是 相仿的.
3. 正交基的定义 定义 6 在 n 维欧氏空间中，由 n 个向量组成 的正交向量组称为正交基；由单位向量组成的正交 基称为标准正交基.
对一组正交基进行单位化就得到一组标准正交 基.
4. 正交基的性质
性质 1 设 1 , 2 , … , n 是一组标准正交基，
则
1, i j ;
(
i
,
j
)
0,
定理 2 对于 n 维欧氏空间中任意一组基 1 ,
2 , … , n ，都可以找到一组标准正交基 1 , 2 , … ,
n ，使
L(1 , 2 , … , i ) = L(1 , 2 , … , i) , i = 1,2,…,n .
证明 设 1 , 2 , … , n 是一组基，我们来逐
个地求出向量 1 , 2 , … , n .
= xi(i , i )
= xi .
证毕
性质 3 设 1 , 2 , … , n 是一组标准正交基，
且
= x1 1 + x2 2 + … + xn n ，
那么
= y1 1 + y2 2 + … + yn n ，
( , ) = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn = XTY . (2)
性质 正交向量组是线性无关的.
证明 设 1 , 2 , … , m 是一正交向量组，
k1 , k2 , … , km 是 m 个实数，且有
k1 1 + k2 2 + … + kmm = 0 .
用 i 与等式两边作内积，得
ki (i , i ) = 0 . 由 i 0，有 (i , i ) > 0 ，从而