高等代数第九章单元测试
高等代数第九章单元测试
高等代数第九章单元测试高等代数第九章单元测试一、选择题1. 设A 是欧氏空间V 的正交变换，A 是A 在V 的一组标准基下的矩阵，则( ) A.±=A 1 B. A 的特征值是1 C. 秩)(A =±1 D. A 的迹是12. 设A 是n 维欧氏空间V 的对称变换，s λλλ,,,21 是A 的所有不同特征值，i V λ是A 的特征子空间，则 ( )A.∑=s 1i 维n V i <)(λ B.∑=s1i 维n V i =)(λ C.∑=s 1i 维n V i >)(λ D.∑=s 1i 维n V i ≠)(λ 3. 设A 是欧氏空间V 中的一组基n εεε,,,21 的度量矩阵，向量α与β在这组基下的坐标分别为),,,(n 21x x x X =,),,,(n 21y y y Y =,则( )A.AX Y /),(=βαB./),(XAY =βαC.X Y /),(=βαD./),(XY =βα 4. 设n 21εεε,,, 与n 21ηηη,,, 是欧氏空间V 的两组基，A 与B 分别是这两组基的度量矩阵，则A 与B 的关系是 ( )A.相似B.合同C.相等D.不等价5. ),(),,(2121b b a a ==βα是实数域上线性空间2R 中任意向量，如下定义的二元函数，使2R 作成欧氏空间的是 ( )A.1221b a b a +=),(βαB.221121b a 2a b a a )()(),(+++=βαC.2211b a b a -=),(βαD.1b a b a 2211++=),(βα6.如下定义的3R 的线性变换中是正交变换的为 ( )A.A ),,(),,(3221321x x x x x x x +=B. A ),,(),,(3321321x x x x x x x +=C. A ),,(),,(3221321x x x x x x x +=D.A ),,(),,(321321x x x x x x -= 1 7.若A ,B 是欧氏空间V 的对称变换，以下变换1．A+B 2. AB 3. A 2 4. AB +BA中对称变换的个数是 ( )A.1B.2C.3D.48.设A 是n 维欧氏空间的对称变换，则 ( )A. A 关于V 的任意基的矩阵是对称矩阵. B . A 关于V 的任意基的矩阵是对角矩阵.C. A 关于V 的任一组标准正交基的矩阵是对称矩阵. D. A 关于V 的任一组标准正交基的矩阵是对角矩阵二、判断题1．设V 是欧氏空间，V ∈≠α0,如果向量V ∈β满足0=),(αβ,则0=β. （）2．在n 维欧氏空间V 中，一组基1ε,2ε,…..,n ε的度量矩阵必定是正定矩阵. （）3．在R 3中，对于任意向量α=(a 1,2a ),β=(b 1,b 2),定义(βα,)=a 1b 2+a 2b 1，那么R 2对于定义的内积构成欧氏空间.（）4．在欧氏空间V 中，如果向量β与向量组1α,2α,…..,s α中的每一个正交，那么β与1α,2α,…..,s α的任意一个线性组合也正交. （）5．正交向量组是线性无关的. （）6．正交变换在一组基下的矩阵为正交矩阵. （）7．实对称矩阵都相似于对角形矩阵. （）8．定义R 3上线性变换σ:σ(x 1,x 2,x 3)=(x 3,x 2,x 1)，则σ是对称变换. （）三、计算题1．设A 是欧氏空间V 的线性变换，A 在V 的一组标准正交基321,,εεε下的矩阵为------=312132220A ,（1）求A 的特征值及相应的一组线性无关的特征向量.（2）求正交矩阵T ，使AT T 1-为对角矩阵.（3）写出V 的一组标准正交基，使A 在这组基下的矩阵为对角矩阵.2．求矩阵--θθθθco s sin 0sin co s0001在复数域上的特征值与特征向量（θ≠ k π）. 3.1α=(1, 1, 0, 1),2α=(-1, 0, 0, 1)是R 4的一组向量,V 1=L(1α,2α),求⊥1V 的一组基.四、证明题1．设R[x]3是次数小于3的多项式函数及零多项式构成的线性空间.验证:内积(f(x),g(x))=?-11)()(dx x g x f ,3][)(),(x R x g x f ∈?使得R[x]3成为一个欧氏空间.2．设欧氏空间V 中)0(,,≠γγβα线性相关且α与γ正交，β与γ正交，证明：α与β线性相关.3．两对称变换之积是对称变换的充要条件是它们的乘法可交换.4．设A 是反对称矩阵，那么A+E 可逆，且1))((-+-=A E A E U 是正交阵.。
高等代数【北大版】9
| 1 | 2,
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3
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3
4 10
,
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2, 6
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4
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5
4 14
.
§9.2 标准正交基
于是得 R[ x]4的标准正交基
1
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1
1
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2 ,
2
2
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1
2
|
2
6 x
2
3
|
1
3
| 3
10 4
14 (5x3 3x) 4
§9.2 标准正交基
4.标准正交基间的基变换
设 1, 2 , , n与 1,2 , ,n 是 n 维欧氏空间V中的
1. 定义
设 A (aij ) Rnn , 若Ａ满足 则称A为正交矩阵.
AA E
2. 简单性质
1）A为正交矩阵 A 1. 2）由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交
矩阵.
§9.2 标准正交基
3）设 1, 2 , , n 是标准正交基，A为正交矩阵，若 (1,2 , ,n ) (1, 2 , , n ) A
（6）
§9.2 标准正交基
由公式（3）, 有
(i , j ) a1i1 j a2i 2 j
aninj
1 0
i i
j j
， （7）
把A按列分块为 A A1, A2, , An
由（7）有
A1
AA
A2
A1
,
A2
,
An
, An En
（8）
§9.2 标准正交基
三、正交矩阵
注:
① 由正交基的每个向量单位化, 可得到一组标准 正交基.
(完整版)高等代数(北大版)第9章习题参考答案
第九章 欧氏空间1.设()ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而),,,(21n x x x =α, ),,,(21n y y y =β,在n R 中定义内积βαβα'A =),(,1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间； 2) 求单位向量)0,,0,1(1 =ε, )0,,1,0(2 =ε, … , )1,,0,0( =n ε，的度量矩阵；3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。
解 1)易见βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =， (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =，(3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4) ∑='A =ji j i ijy x a,),(αααα，由于A 是正定矩阵，因此∑ji j i ij y x a,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有0),(=αα。
2)设单位向量)0,,0,1(1 =ε, )0,,1,0(2 =ε, … , )1,,0,0( =n ε，的度量矩阵为)(ij b B =，则)0,1,,0(),()( i j i ij b ==εε⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n n n a a a a a a a a a212222211211)(010j ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛ =ij a ，),,2,1,(n j i =，因此有B A =。
4) 由定义，知∑=ji ji ij y x a ,),(βα，α==β==故柯西—布湿柯夫斯基不等式为2.在4R 中,求βα,之间><βα,(内积按通常定义)，设: 1) )2,3,1,2(=α, )1,2,2,1(-=β， 2) )3,2,2,1(=α, )1,5,1,3(-=β， 3) )2,1,1,1(=α, )0,1,2,3(-=β。
《高等代数》各章习题+参考答案 期末复习用
1A = 1000 ,B = 0001 ,|A +B |=1,|A |=0,|B |=0.|A +B |=|A |+|B |.2A = 0100,A 2=0,A =0.3A (E +A )=E A 4A = 0100 ,B = 1000,AB =0,rank (A )=1,rank (B )=1,A,B 2.1B 2A 3C 4A 5D 6B 7B 8C 9D 10A 11D 12A 13C 14D 15D 16B 17C 18C 19C 20D 21C 22C 23D 24C 25C 26A 27A 28A 1−135,93m ×s,n k =1a jk b ki 4 1b 0001612012001a n1a 20···00...···············000 (1)910411(−1)mn ab12213I n2单元练习：线性方程组部分一、填空题 每空 1分，共 10分1．非齐次线性方程组 AZ = b （A 为 m ×n 矩阵）有唯一解的的充分必要条件是____________。
2．n +1 个 n 维向量，组成的向量组为线性 ____________ 向量组。
3．设向量组 3 2 1 , ,a a a 线性无关，则常数 l , m 满足____________时，向量组 3 1 2 3 1 2 , , a a a a a a -- - m l 线性无关。
4．设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零， 且 r (A ) = n －1则 Ax = 0 的通解为________。
5．若向量组 3 2 1 , , a a a 线性无关，则向量组 3 1 2 3 1 2 , , a a a a a a + + + ____________。
高等代数第9章习题参考答案
第九章 欧氏空间1.设()ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而),,,(21n x x x =α, ),,,(21n y y y =β,在n R 中定义内积βαβα'A =),(,1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间； 2) 求单位向量)0,,0,1(1 =ε, )0,,1,0(2 =ε, … , )1,,0,0( =n ε，的度量矩阵；3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。
解 1)易见βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =， (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =，(3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4) ∑='A =ji j i ijy x a,),(αααα，由于A 是正定矩阵，因此∑ji j i ijy x a,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有0),(=αα。
2)设单位向量)0,,0,1(1 =ε, )0,,1,0(2 =ε, … , )1,,0,0( =n ε，的度量矩阵为)(ij b B =，则)0,1,,0(),()( i j i ij b ==εε⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn n n n n a a a a a aa a a212222211211)(010j ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛ =ij a ，),,2,1,(n j i =， 因此有B A =。
4) 由定义，知∑=ji ji ij y x a ,),(βα，α==β==故柯西—布湿柯夫斯基不等式为2.在4R 中,求βα,之间><βα,(内积按通常定义)，设: 1) )2,3,1,2(=α, )1,2,2,1(-=β， 2) )3,2,2,1(=α, )1,5,1,3(-=β， 3) )2,1,1,1(=α, )0,1,2,3(-=β。
高等代数第九章检测题
高等代数第九章检测题一、选择题1． 要使2R 作为一个欧氏空间，可以对向量),(21a a =α ),(21b b =β规定内积为：（A ）1221),(b a b a +=βα （B ）2211),(b a b a -=βα （C ）221153),(b a b a +=βα （D ）))((),(2121b b a a ++=βα2．关于欧氏空间与线性空间的关系，下列说法错误的是（ ）（A ） 欧氏空间是特殊的线性空间；（B ） 如果一个空间是线性空间则它一定是欧氏空间；（C ） 如果一个空间是欧氏空间则它一定是线性空间；（D ） 线性空间比欧氏空间范围大。
3．下面变换属于正交变换的有（ ）（A ）在V 2中，把向量旋转一个角Φ的线性变换；（B ）R 3中，/A ),,(),,(321321x x x x x x =（C ）位似变换；（D ）对称变换.4．设，/A ， /B ，是欧氏空间V 的两个正交变换，则（A ）./A +/B 也是正交变换； （B ）./A B 也是正交变换；（C ）.k k k ,⊂∀/A 也是正交变换； （D ）./A -1不是正交变换.5．设/A 是欧氏空间的线性变换，则/A 是正交变换的必要而非充分的条件为（ ）（A ）V ∈∀βα,（/A ,α/A β）=（βα,） （B ）V ∈∀α, αα=/A（C ）V ∈∀βα, /A α，/A β夹角与βα,夹角相等；（D ）/A 在V 中任意一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵。
二、判断题1．设n ααα ,,21是欧氏空间V 的一组基，如果V ∈β，且满足,2,1,0),(n i i ==αβ则0=β. （ ）2．设321,,εεε是三维欧氏空间V 的一组基，332211332211,εεεβεεεαb b b a a a ++=++=则332211),(b a b a b a ++=βα. （ ）3．设V 1，V 2是欧氏空间V 的两个子空间，如果{}021=⋂V V 则21V V ⊥. （ ）4．设S ααα 21,是欧氏空间中两两正交的S 个向量，则S ααα 21,必线性无关。
高等代数(下)课外习题第九章欧氏空间]
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第九章 欧氏空间一、判断题1、12,,,n εεε是n 维欧氏空间的一组基，矩阵()ij n n A a ⨯=，其中(,)ij i j a εε=，则A 是正定矩阵。
( )2、设V 是一个欧氏空间，,V αβ∈，并且αβ=，则αβ+与αβ-正交。
( )3、设V 是一个欧氏空间，,V αβ∈,并且(,)0αβ=，则,αβ线性无关。
( )4、n 维Euclid 空间中任意一个正交向量组都能扩充成一组正交基 （ ）5、若T 是正交变换，则T 保持向量的内积不变 （ ）6、度量矩阵是正定的 （ ）7、正交矩阵的行列式等于1 （ ）8、欧氏空间V 上的线性变换σ是对称变换的充要条件为σ关于标准正交基的矩阵为实对称矩阵。
（ ）9、设A 与B 都是n 阶正交矩阵，则AB 也是正交矩阵。
10、在欧氏空间V 中，若向量α与自身正交，则0=α.( )11、两两正交的向量构成的向量组叫正交向量组.( )12、若矩阵A 为正交矩阵，则1-='A A .( )13、设A 是n 维欧氏空间V 的正交变换，则A 在V 的任意基下的矩阵是正交矩阵.( )14、设21,V V 是n 维欧氏空间V 的两个正交子空间，且21V V V +=，则21V V V ⊕=。
( )15、对称矩阵A 的任意两个特征向量都正交。
( )二、填空题1、在欧氏空间3R 中，向量(1,0,1)α=-，(0,1,0)β=，那么(,)αβ＝_________， α＝_________．2、两个有限维欧氏空间同构的充要条件是__________________．3、已知A 是一个正交矩阵，那么1A -＝_________，2A ＝_________． 4、已知三维欧式空间V 中有一组基123,,ααα，其度量矩阵为110120003A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，则向量12323βααα=+-的长度为 。
5、已知A 为n 阶正交阵，且|A|<0，则|A|= .6、欧氏空间V 上的线性变换σ是对称变换的充要条件为σ关于标准正交基的矩阵为 。
高数下第九章例题及答案
复习三 重积分1．了解二重的几何意义, 会交换二次积分的次序.例1．设D 为闭圆域x 2+y 2≤R 2, 则Dσ⎰⎰= .解: 此积分表示以半径为R 的半球体的体积, 即33142233R R ππ⋅=.例2．改变二次积分⎰⎰210),(x dy y x f dx 的积分次序得( ).(A )⎰⎰100),(2dx y x f dy x ; (B )⎰⎰110),(y dx y x f dy ;(C )⎰⎰ydx y x f dy 010),(; (D )⎰⎰112),(x dx y x f dy .解: 积分区域为D ={(x , y )|0≤x ≤1, 0≤y ≤x 2}, 积分区域又可表示为 }1 ,10|) ,{(≤≤≤≤=x y y y x D , 所以⎰⎰⎰⎰=1101),(),(2yx dxy x f dy dy y x f dx .2．会利用直角坐标和极坐标计算二重积分, 会利用直角坐标、柱面坐标和球面坐标计算三重积分.例1．计算σd e x Dy ⎰⎰-22, 其中D 由x =0, y =1, y =x 围成.解: 因为D ={(x , y )|0≤x ≤1, x ≤y ≤1}, 所以⎰⎰⎰⎰--=1102222xy Dy dye dx x d e x σ, 计算无法进行.因为D ={(x , y )|0≤y ≤1, 0≤x ≤y }, 所以⎰⎰⎰⎰⎰⎰----===1022103021222226131dy e y dy e y dx x dy ed exy y yy Dy σ)21(61|616161|6161101021021022222ee e dy e e y de y y y y y -=--=+-=-=----⎰⎰. 例2．计算⎰⎰=Ddxdy yyI sin , 其中D 由曲线x y =、直线y =x 围成.解: 积分区域可表示为D ={(x , y )|0≤y ≤1, y 2≤x ≤y }, 于是 ⎰⎰⎰⎰⎰-===1010sin )1(sin sin 2ydyy dx y y dy dxdy y yI y y D=1-sin1.例3．将⎰⎰-12),(x x dyy x f dx 化成极坐标形式的二次积分 .解: 积分区域为}0 ,10|) ,{(2x x y x y x D -≤≤≤≤=, 在极坐标下}cos 0 ,20|),{(θπθθ≤≤≤≤=r r D , 所以⎰⎰⎰⎰=-θπθθθc o s20100)s i n ,c o s (),(2r d r r r f d dy y x f dx x x .例4．计算二重积分⎰⎰--Dy xdxdye 22,其中D 为x 2+y 2=1所围成的闭区域.解:⎰⎰⎰⎰⎰⎰-----===1210120222222dr e rdr erdr ed dxdy er r r Dy x ππθπee r πππ-=-=-10|2. 例5．计算三重积分⎰⎰⎰Ω+++3)1(z y x dxdydz , 其中Ω为平面x =0, y =0, z =0,x +y +z =1所围成的四面体. 解: 积分区域可表示为Ω={(x , y , z )| 0≤z ≤1-x -y , 0≤y ≤1-x , 0≤x ≤1}, 于是⎰⎰⎰Ω+++3)1(z y x d x d y d z⎰⎰⎰---+++=yx xdz z y x dy dx 103101)1(1⎰⎰--++=xdy y x dx 10210]81)1(21[dx x x ⎰+-+=1]8183)1(21[)852(l n 21-=.例6．计算三重积分dv y x ⎰⎰⎰Ω+)(22其中Ω为x 2+y 2=2z 及z =2所围成的闭区域.解: 在柱面坐标下积分区域可表示为 Ω: 0≤θ≤2π, 0≤r ≤2, 2212≤≤z r ,于是316)212(2)(22322122020222ππθπ=-=⋅=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ωdr r r rdz r dr d dv y x r.例7．计算三重积分dv z y x )(222++⎰⎰⎰Ω, 其中Ω是由球面x 2+y 2+z 2=1所围成的闭区域.解: 在球面坐标下积分区域Ω可表示为 0≤θ≤2π, 0≤ϕ≤π, 0≤r ≤1,于是 dv z y x )(222++⎰⎰⎰Ωθϕϕd d r dr s i n 4⋅=⎰⎰⎰Ω⎰⎰⎰=1420s i n dr r d d ππϕϕθπ54=.3．会计算立体的体积, 会计算曲面的面积, 会计算质心或形心.例1．求由抛物柱面z =2-x 2及椭圆抛物面z =x 2+2y 2所围成的立体的体积. 解: ππθπ=-=-=+--=⎰⎰⎰⎰104210220222]21[2)22()]2()2[(r r rdr r d dxdy y x x V D. 例2．求锥面22y x z +=被柱面z 2=2x 所割下的部分的曲面面积. 解: 曲面22y x z +=与z 2=2x 的交线在xOy 面上的投影为⎩⎨⎧==+0222z xy x .所求曲面在xOy 在上的投影区域为D ={(x , y )|x 2+y 2≤2x }. π22122=='+'+=⎰⎰⎰⎰DDy x dxdy dxdy z z A .例3．求由曲线ay =x 2, x +y =2a (a >0)所围成闭区域的形心. 解: 闭区域可表示为}21 ,2|),{(2x a y x aa x a y x D -≤≤≤≤-=.因为 3222121227)12(2a dx x a x a x dy xdxxdxdy aaxa xa aa D-=--==⎰⎰⎰⎰⎰---,324222212536)144(212a dx x a x ax a ydy dx ydxdy a a xa x a aa D =-+-==⎰⎰⎰⎰⎰---,22221229)12(2a dx x a x a dy dx dxdy aax a x aaaD=--==⎰⎰⎰⎰⎰---.所以a a a d x d yx d x d y x DD2129122723-=-==⎰⎰⎰⎰, aa adxdy ydxdyy DD282953623===⎰⎰⎰⎰.练习三1. 设区域D 为x 2+y 2≤a 2, 且π=--⎰⎰dxdy y x a D222, a =________.2. 设D 由y 2=x 及y =x -2所围成, 则⎰⎰=Dxyd I σ=( ).(A)⎰⎰+=422y y xydy dx I ; (B)⎰⎰-+=2122y y xydx dy I ;(C)⎰⎰⎰⎰--+=4121x x xxxydydx xydy dx I ; (D)⎰⎰-+=2122y y xydy dx I .3. 交换下列二次积分的顺序, 并画出积分区域草图. (1)⎰⎰--22),(0x a xa adyy x f dx ; (2)⎰⎰xe dy y xf dx ln 01),(; (3)⎰⎰---x x dy y x f dx 214262),(.4. 设D : |x |≤1, 0≤y ≤1, 则⎰⎰+Dyd y x σ)(3=________.5. 曲面x 2+y 2+z 2=R 2(z >0)和2R z =所围成的立体的体积可表为二重积分________.6. 计算二次积分⎰⎰+=131021x dy yxy dx I .7. 利用极坐标计算积分⎰⎰⎰⎰-+++=10212022222x x dy y x dx dy y x dx I .8. 计算二重积分⎰⎰+Ddxdy y x )(, 其中D : x 2+y 2≤2x .9. 计算二重积分⎰⎰+Dd y x σ)cos(, D 是以点(0, 0),(0, π), (π, π) 为顶点的三角形区域.10. 计算二重积分dxdy xy D⎰⎰2, 其中D 为直线y =x 和抛物线y =x 2所围成的平面区域.11. 计算二重积分σd y x D22+⎰⎰, 其中D 是圆环形闭区域{(x , y )|a 2≤x 2+y 2≤b 2}.12. 计算二重积分⎰⎰+'Ddxdy y x f )(22, 其中D 为圆域: x 2+y 2≤R 2 .13. 求⎰⎰⎰Ω++=dv z y x I )(22,其中Ω是由曲线⎩⎨⎧==022x zy 绕z 轴旋转一周的曲面与平面z =4所围立体.14.计算⎰⎰⎰Ω+dVzx)(,其中Ω是由曲面22yxz+=与221yxz--=围成.15.求旋转椭球面2221449x y z++=所围成的旋转体的体积.16.求半圆域x2+y2≤a2,x≥0的形心.17.求圆锥面2z=+x2+y2=2x内部的曲面面积.。
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高等代数第九章单元测试
一、选择题
1. 设A 是欧氏空间V 的正交变换，A 是A 在V 的一组标准基下的矩阵，则
( ) A.±=A 1 B. A 的特征值是1 C. 秩)(A =±1 D. A 的迹是1
2. 设A 是n 维欧氏空间V 的对称变换，
s λλλ,,,21 是A 的所有不同特征值，i V λ是A 的特征子空间，则 ( )
A.∑=s 1
i 维n V i <)(λ B.∑=s
1i 维n V i =)(λ C.∑=s 1i 维n V i >)(λ D.∑=s 1
i 维n V i ≠)(λ 3. 设A 是欧氏空间V 中的一组基n εεε,,,21 的度量矩阵，向量α与β在这组基下的坐标分别为),,,(n 21x x x X =,),,,(n 21y y y Y =,则
( )
A.AX Y /),(=βα
B./
),(XAY =βα C.X Y /),(=βα D./
),(XY =βα 4. 设n 21εεε,,, 与n 21ηηη,,, 是欧氏空间V 的两组基，A 与B 分别是这两组基的度量矩阵，则A 与B 的关系是 ( )
A.相似
B.合同
C.相等
D.不等价
5. ),(),,(2121b b a a ==βα是实数域上线性空间2R 中任意向量，如下定义的
二元函数，使2R 作成欧氏空间的是 ( )
A.1221b a b a +=),(βα
B.221121b a 2a b a a )()(),(+++=βα
C.2211b a b a -=),(βα
D.1b a b a 2211++=),(βα
6.如下定义的3R 的线性变换中是正交变换的为 ( )
A.A ),,(),,(3221321x x x x x x x +=
B. A ),,(),,(3321321x x x x x x x +=
C. A ),,(),,(3221321x x x x x x x +=
D.A ),,(),,(321321x x x x x x -= 1
7.若A ,B 是欧氏空间V 的对称变换，以下变换
1．A+B 2. AB 3. A 2 4. AB +BA
中对称变换的个数是 ( )
A.1
B.2
C.3
D.4
8.设A 是n 维欧氏空间的对称变换，则 ( )
A. A 关于V 的任意基的矩阵是对称矩阵
. B . A 关于V 的任意基的矩阵是对角矩阵
.C. A 关于V 的任一组标准正交基的矩阵是对称矩阵
. D. A 关于V 的任一组标准正交基的矩阵是对角矩阵
二、判断题
1． 设V 是欧氏空间，V ∈≠α0,如果向量V ∈β满足0=),(αβ,则0=β. （ ）
2．在n 维欧氏空间V 中，一组基1ε,2ε,…..,n ε的度量矩阵必定是正定矩
阵. （ ）
3．在R 3中，对于任意向量α=(a 1,2a ),β=(b 1,b 2),定义
(βα,)=a 1b 2+a 2b 1，那么R 2对于定义的内积构成欧氏空间.（ ）
4．在欧氏空间V 中，如果向量β与向量组1α,2α,…..,s α中的每一个正交，
那么β与1α,2α,…..,s α的任意一个线性组合也正交. （ ）
5．正交向量组是线性无关的. （ ）
6．正交变换在一组基下的矩阵为正交矩阵. （ ）
7．实对称矩阵都相似于对角形矩阵. （ ）
8．定义R 3上线性变换σ:σ(x 1,x 2,x 3)=(x 3,x 2,x 1)，则σ是对称变换. （ ）
三、计算题
1．设A 是欧氏空间V 的线性变换，A 在V 的一组标准正交基321,,εεε下的
矩阵为⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛------=312132220A ,
（1） 求A 的特征值及相应的一组线性无关的特征向量.
（2） 求正交矩阵T ，使AT T 1-为对角矩阵.
（3） 写出V 的一组标准正交基，使A 在这组基下的矩阵为对角矩阵.
2．求矩阵⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--θθθθ
cos sin 0sin cos 0001在复数域上的特征值与特征向量 （θ≠ k π）. 3.1α=(1, 1, 0, 1),2α=(-1, 0, 0, 1)是R 4的一组向量,V 1=L(1α,2α),求⊥1V 的一
组基.
四、证明题
1．设R[x]3是次数小于3的多项式函数及零多项式构成的线性空间.验证:
内积(f(x),g(x))=⎰-1
1)()(dx x g x f ,3][)(),(x R x g x f ∈∀使得R[x]3成为一个欧氏空间.
2．设欧氏空间V 中)0(,,≠γγβα线性相关且α与γ正交，β与γ正交，证
明：α与β线性相关.
3．两对称变换之积是对称变换的充要条件是它们的乘法可交换.
4．设A 是反对称矩阵，那么A+E 可逆，且1))((-+-=A E A E U 是正交阵.。