第九章 欧氏空间

第八章 欧氏空间练习题

1．证明:在一个欧氏空间里,对于任意向量ηξ,,以下等式成立:

(1)2222||2||2||||ηξηξηξ+=-++； (2).||4

1

||41,22ηξηξηξ--+=

在解析几何里,等式(1)的几何意义是什么? 2．在区氏空间n R 里,求向量)1,,1,1( =α与每一向量

)0,,0,1,0,,0()

( i i =ε,n i ,,2,1 =

的夹角.

3．在欧氏空间4R 里找出两个单位向量,使它们同时与向量

)

4,5,2,3()2,2,1,1()

0,4,1,2(=--=-=γβα 中每一个正交.

4．利用内积的性质证明,一个三角形如果有一边是它的外接圆的直径,那么这个三角形一定是直角三角形．

5．设ηξ,是一个欧氏空间里彼此正交的向量.证明:

222||||||ηξηξ+=+(勾股定理)

6．设βααα,,,,21n 都是一个欧氏空间的向量,且β是n ααα,,,21 的线性组合.证明：如果β与i α正交,n i ,,2,1 =,那么0=β. 7．设n ααα,,,21 是欧氏空间的n 个向量. 行列式

>

<><><>

<><><>

<><>

<=

n n n n n n n G ααααααααααααααααααααα,,,,,,,,,),,,(21222121211121

叫做n ααα,,,21 的格拉姆(Gram)行列式.证明),,,(21n G ααα =0,必要且只要

n ααα,,,21 线性相关.

8．设βα,是欧氏空间两个线性无关的向量,满足以下条件:

><><ααβα,,2和>

<>

<βββα,,2都是0≤的整数.

证明: βα,的夹角只可能是

6

54

3,32,2π

π

ππ或

. 9.证明:对于任意实数n a a a ,,,21 ,

2

3322211

(||n

n

i i

a a a a n a

++++≤∑= ). 10．已知

)0,1,2,0(1=α,)0,0,1,1(2-=α,

)1,0,2,1(3-=α,)1,0,0,1(4=α

是4R 的一个基.对这个基施行正交化方法,求出4R 的一个规范正交基．

11．在欧氏空间]1,1[-C 里,对于线性无关的向量级{1,x ,2x ,3x }施行正交化方法,求出一个规范正交组．

12．令},,,{21n ααα 是欧氏空间V 的一组线性无关的向量,},,,{21n βββ 是由这组向量通过正交化方法所得的正交组.证明,这两个向量组的格拉姆行列式相等,即

><>><=<=n n n n G G βββββββββααα,,,),,,(),,,(22112121 13．令n γγγ,,,21 是n 维欧氏空间V 的一个规范正交基,又令

},2,1,10,|{1n i x x V K n

i i i i =≤≤=∈=∑=γξξ

K 叫做一个n -方体.如果每一i x 都等于0或1,ξ就叫做K 的一个项点.K 的顶点间一切可能的距离是多少?

14．设},,,{21m ααα 是欧氏空间V 的一个规范正交组.证明,对于任意V ∈ξ,以下等式成立:

∑=≤m

i i

1

22||,ξα

.

15．设V 是一个n 维欧氏空间.证明

)(i 如果W 是V 的一个子空间,那么W W =⊥⊥)(.

)(ii 如果21,W W 都是V 的子空间,且21W W ?,那么⊥⊥?12W W )(iii 如果21,W W 都是V 的子空间,那么⊥⊥⊥+=+2121)(W W W W

16．证明,3R 中向量),,(000z y x 到平面

}0|),,{(3=++∈=cz by ax R z y x W

的最短距离等于

2

2

2

000||c

b a cz by ax ++++．

17．证明,实系数线性方程组

∑===n

j i j ij

n i b x a

1

,,2,1,

有解的充分且必要条件是向量n n R b b b ∈=),,,(21 β与齐次线性方程组

∑===n

j j ji

n i x a

1

,,2,1,0

的解空间正交.

18．令α是n 维欧氏空间V 的一个非零向量．令

}0,|{

>=<∈=αξξαV P ． αP 称为垂直于α的超平面,它是V 的一个1-n 维子空间.V 中有两个向量ξ,η说是位于αP 的同侧,如果><><αηαξ,,与同时为正或同时为负.证明,V 中一组位于超平面αP 同侧,且两两夹角都2

π

≥

的非零向量一定线性无关．

[提示:设},,,{21r βββ 是满足题设条件的一组向量.则)(0,j i j i ≠>≤<ββ,并且不妨设)1(0,r i i ≤≤>><αβ.如果∑==r

i i i c 10β,那么适当编号,可设

0,,,0,,,121≤≥+r s s c c c c c ,)1(r s ≤≤,令∑∑+==-==r

s j j j s i i i c c 1

1

ββγ,证明0=γ.由

此推出0=i c )1(r i ≤≤.] 19．设U 是一个正交矩阵.证明:

)(i U 的行列式等于1或-1; )(ii U 的特征根的模等于1; )(iii 如果λ是U 的一个特征根,那么

λ

1

也是U 的一个特征根;

)(iv U 的伴随矩阵*U 也是正交矩阵.

20.设02

cos

≠θ

,且

????

?

??-=θθθθ

cos sin 0sin cos 00

01U . 证明,U I +可逆,并且

????

?

??-=+--010*******tan ))((1

θU I U I

21.证明:如果一个上三角形矩阵

???

???

??

?

?=nn n n n a a a a a a a a a a A 00

000

033322322113

1211

是正交矩阵,那么A 一定是对角形矩阵,且主对角线上元素ij a 是1或-1.

22．证明:n 维欧氏空间的两个正交变换的乘积是一个正交变换;一个正交变换的逆变换还是一个正交变换.

23．设σ是n 维欧氏空间V 的一个正交变换.证明:如果V 的一个子空间W 在σ之下不变,那么W 的正交补⊥W 也在σ下不变.

24．设σ是欧氏空间V 到自身的一个映射,对ηξ,有,)(),(ηησξσ=证明σ是

V 的一个线性变换,因而是一个正交变换. 25．设U 是一个三阶正交矩阵,且1det =U .证明:

)(i U 有一个特征根等于1; )(ii U 的特征多项式有形状

1)(23-+-=tx tx x x f

这里31≤≤-t .

26．设},,,{21n ααα 和},,,{21n βββ 是n 维欧氏空间V 的两个规范正交基.

)(i 证明:存在V 的一个正交变换σ,使n i i i ,,2,1,)( ==βασ.

)(ii 如果V 的一个正交变换τ使得11)(βατ=,那么)(,),(2n ατατ 所生成的子空

间与由n ββ,,2 所生成的子空间重合.

27．设σ是n 维欧氏空间V 的一个线性变换.证明,如果σ满足下列三个条件的任意两个,那么它必然满足第三个:)(i σ是正交变换;)(ii σ是对称变换;)(iii ισ=2是单位变换.

28．设σ是n 维欧氏空间V 的一个对称变换,且σσ=2.证明,存在V 的一个规范正交基,使得σ关于这个基的矩阵有形状

????

?????

? ??000101

29．证明:两个对称变换的和还是一个对称变换.两个对称变换的乘积是不是对称变换?找出两个对称变换的乘积是对称变换的一个充要条件.

30．n 维欧氏空间V 的一个线性变换σ说是斜对称的,如果对于任意向量V ∈βα,,

)(,),(βσβασ-=.

证明:

)(i 斜对称变换关于V 的任意规范正交基的矩阵都是斜对称的实矩阵(满足条

件A A -='的矩阵叫做斜对称矩阵)

)(ii 反之,如果线性变换σ关于V 的某一规范正交基的矩阵是斜对称的,那么

σ一定是斜对称线性变换.

)(iii 斜对称实矩阵的特征根或者是零,或者是纯虚数.

31．令A 是一个斜对称实矩阵.证明,A I +可逆,并且1))((-+-=A I A I U 是一个正交矩阵.

32．对于下列对称矩阵A,各求出一个正交矩阵U,使得AU U '是对角形式:

)(i ?

???

? ??--=51081022

8211A ; )(ii ???

?? ??----=114441784817A