第九章 欧式空间(第三讲)
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高等代数-9第九章 欧几里得空间
3) ( , ) , ( , )
（线性性）
4) ( , ) 0, 当且仅当 o 时 ( , ) 0. （非负性）
则称 ( , )为 和 的内积,称这种定义了内积的 实数域 R上的线性空间V为欧几里得空间.
§1 定义与基本性质
b
§1 定义与基本性质
线性性 ( k f lg , h) a k f ( x ) lg ( x ) h( x )dx
b
k f ( x )h( x )dx l g ( x )h( x )dx
a a
b
b
k ( f , h ) l ( g , h)
非负性 ( f , f ) f ( x ) f ( x ) dx f 2 ( x ) dx 0 a a 且 ( f , f ) 0 f ( x ) 0. 故( f , g) 为一内积, C (a , b) 构成欧氏空间.
注1 欧几里得空间 V是特殊的线性空间. (1)V为实数域 R上的线性空间; (2)V既有向量的线性运算,还有内积运算; (3) , V ,( , ) R. 注2 欧几里得空间,Euclidean Space, 简称欧氏空间. 欧几里得(Euclid,约公元前330 年—前275年),古希腊数学家,是几 何学的奠基人,被称为“几何之 父”. 他最著名的著作是《几何原本》.
b b
§1 定义与基本性质
2. 内积的运算性质 设V为欧氏空间, , , , i V , k , l , ki R
1) ( , k ) k ( , ) 2) ( , ) ( , ) ( , ) 3) ( , k l ) k ( , ) l ( , ) 4) ( k l , ) k ( , ) l ( , )
（线性性）
4) ( , ) 0, 当且仅当 o 时 ( , ) 0. （非负性）
则称 ( , )为 和 的内积,称这种定义了内积的 实数域 R上的线性空间V为欧几里得空间.
§1 定义与基本性质
b
§1 定义与基本性质
线性性 ( k f lg , h) a k f ( x ) lg ( x ) h( x )dx
b
k f ( x )h( x )dx l g ( x )h( x )dx
a a
b
b
k ( f , h ) l ( g , h)
非负性 ( f , f ) f ( x ) f ( x ) dx f 2 ( x ) dx 0 a a 且 ( f , f ) 0 f ( x ) 0. 故( f , g) 为一内积, C (a , b) 构成欧氏空间.
注1 欧几里得空间 V是特殊的线性空间. (1)V为实数域 R上的线性空间; (2)V既有向量的线性运算,还有内积运算; (3) , V ,( , ) R. 注2 欧几里得空间,Euclidean Space, 简称欧氏空间. 欧几里得(Euclid,约公元前330 年—前275年),古希腊数学家,是几 何学的奠基人,被称为“几何之 父”. 他最著名的著作是《几何原本》.
b b
§1 定义与基本性质
2. 内积的运算性质 设V为欧氏空间, , , , i V , k , l , ki R
1) ( , k ) k ( , ) 2) ( , ) ( , ) ( , ) 3) ( , k l ) k ( , ) l ( , ) 4) ( k l , ) k ( , ) l ( , )
高教线性代数第九章 欧氏空间课后习题答案
第九章 欧氏空间1.设()ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而),,,(21n x x x =α, ),,,(21n y y y =β,在nR 中定义内积βαβα'A =),(,1) 证明在这个定义之下, nR 成一欧氏空间； 2) 求单位向量)0,,0,1(1 =ε, )0,,1,0(2 =ε, … , )1,,0,0( =n ε，的度量矩阵；3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。
解 1)易见βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且(1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =， (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =，(3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4) ∑='A =ji j iij y x a,),(αααα，由于A 是正定矩阵，因此∑ji j iij y x a,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有0),(=αα。
2)设单位向量)0,,0,1(1 =ε, )0,,1,0(2 =ε, … , )1,,0,0( =n ε，的度量矩阵为)(ij b B =，则)0,1,,0(),()( i j i ij b ==εε⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn n n n n a a a a a aa a a212222211211)(010j ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛ =ij a ，),,2,1,(n j i =，因此有B A =。
4) 由定义，知∑=ji ji ij y x a ,),(βα，,(,)ij i ji ja x xααα==∑，,(,)iji ji jay y βββ==∑，故柯西—布湿柯夫斯基不等式为2.在4R 中,求βα,之间><βα,(内积按通常定义)，设: 1) )2,3,1,2(=α, )1,2,2,1(-=β， 2) )3,2,2,1(=α, )1,5,1,3(-=β， 3) )2,1,1,1(=α, )0,1,2,3(-=β。
高等代数课件(北大版)第九章 欧式空间§9.4
1 , 2 , , n 下的矩阵 为第一类的（旋转）; 2）如果 A 1 , 则称 为第二类的．
§9.4 正交变换
数学与计算科学学院
例、在欧氏空间中任取一组标准正交基 1 , 2 , , n ,
数学与计算科学学院
所以，A是正交矩阵．
" " 设 1 , 2 , , n 为V的标准正交基，且
1 , 2 , , n 1 , 2 , , n A
即， 1 , 2 , , n 1 , 2 , , n A 由于当A是正交矩阵时， 1 , 2 , , n 也是V的 标准正交基， 再由 1 即得 为正交变换．
定义线性变换 为：
1 1
i i ,
i 2, 3, n .
则 为第二类的正交变换，也称之为镜面反射．
§9.4 正交变换
数学与计算科学学院
§9.4 正交变换
数学与计算科学学院
一、一般欧氏空间中的正交变换
1.定义
欧氏空间V的线性变换 如果保持向量的内积不变， 即 ， ( ), ( ) ( , ), , V 则称 为正交变换.
注：欧氏空间中的正交变换是几何空间中保持长度
不变的正交变换的推广.
1 , 2 , , n A
当 是正交变换时，由1知， 1 , 2 , , n 也是V
的标准正交基， 而由标准正交基 1 , 2 , , n 到标准
正交基 1 , 2 , , n 的过渡矩阵是正交矩阵.
§9.4 正交变换
第九章 欧氏空间
§1 定义与基本性质 §2 标准正交基 §3 同构 §4 正交变换 §5 子空间
§9.4 正交变换
数学与计算科学学院
例、在欧氏空间中任取一组标准正交基 1 , 2 , , n ,
数学与计算科学学院
所以，A是正交矩阵．
" " 设 1 , 2 , , n 为V的标准正交基，且
1 , 2 , , n 1 , 2 , , n A
即， 1 , 2 , , n 1 , 2 , , n A 由于当A是正交矩阵时， 1 , 2 , , n 也是V的 标准正交基， 再由 1 即得 为正交变换．
定义线性变换 为：
1 1
i i ,
i 2, 3, n .
则 为第二类的正交变换，也称之为镜面反射．
§9.4 正交变换
数学与计算科学学院
§9.4 正交变换
数学与计算科学学院
一、一般欧氏空间中的正交变换
1.定义
欧氏空间V的线性变换 如果保持向量的内积不变， 即 ， ( ), ( ) ( , ), , V 则称 为正交变换.
注：欧氏空间中的正交变换是几何空间中保持长度
不变的正交变换的推广.
1 , 2 , , n A
当 是正交变换时，由1知， 1 , 2 , , n 也是V
的标准正交基， 而由标准正交基 1 , 2 , , n 到标准
正交基 1 , 2 , , n 的过渡矩阵是正交矩阵.
§9.4 正交变换
第九章 欧氏空间
§1 定义与基本性质 §2 标准正交基 §3 同构 §4 正交变换 §5 子空间
第09章 欧式空间
= α s−1
−
(α s−1, ε1 ) (ε1,ε1 )
ε
1
−⋯
−
(α s−1 (ε s−2
,ε ,ε
s −2 s−2
) )
ε
s
−2
，ε s
= αs
−
s −1 k=1
(α s (εk
− εk ) ,εk )
ε
k
① L(ε1 ,⋯,ε s ) = L (α1 ,⋯,αs ) ⇔ ε1,⋯,ε s 与 α1,⋯, αs 等价
α = (ε1,⋯,ε n ) X = (η1,⋯,ηn ) X ， X = T X ， β = (ε1,⋯,ε n)Y = (η1,⋯,η n)Y ，Y = T Y
(α, β )在基 ε1,⋯,ε n ，η1,⋯,ηn下的度量矩阵分别为 G, G
(α ,
β)
=
X
'GY
=
X
'
T
'GT Y
=
X
'
GY
∴G = T 'GT 即 G~G
⎧R欧式空间
线性空间定义度量性质后 ⎪⎪C酉空间
⎨⎪思维时空空间 ⎪⎩辛空间
三维几何空间 R3
R
2
：设
� a
=
(a1
,
a2
),
� b
=
(b1,
b2)
�� a ⋅b = a1b1 + a2b2 ∈R
� a 的长度：
� a
=
a2 + a2 =
�� a⋅a
1
2
�� a,b
的夹角：
<
�� a, b
>= ar
欧氏空间
2
≤ α + 2 α ⋅ β + β = ( α + β )2
2 2
由于 α + β 与 α + β 此即三角不等式。
都是非负实数，故有
α+β ≤ α + β
第九章 欧几里得空间
(α , β ) 由于 ≤ 1, α⋅β
(α , β ) 有意义。 故 cos θ = α⋅β
定义3 设 α 与β 是欧氏空间V的两个非零向量，α 与β 的夹 (α , β ) , 0≤θ ≤π θ = arc cos 角规定为： α⋅β 例9.1.8 在欧氏空间 R 3 中，取向量 α = (1, 0, 0), β = (1,1, 0), 求 α 与β 的夹角。 解： 于是
(γ , γ ) = (α + t β , α + t β ) = (α , α ) + 2(α , β )t + ( β , β )t 2 ≥ 0 （9.1.4）
这是关于t的一个二次三项式，又 ( β , β ) > 0, 故 ∆ ≤ 0, 4(α , β )2 − 4(α , α )( β , β ) ≤ 0 (α , β )2 ≤ (α , α )( β , β ), 故有 (α , β ) ≤ α ⋅ β 因此 即
(α , β + γ ) = (α , β ) + (α , γ ) 。 (α , k β ) = k (α , β ) 。
∀α 1 , α 2 , k1 , k2 ,
n m
,α n , β1 , β 2 , , kn , l1 , l2 ,
n m
, β n ∈V
, ln ∈ R,
则有
( ∑ kiα i , ∑ li β i ) = ∑ ∑ ki li (α i , β j ) 。
≤ α + 2 α ⋅ β + β = ( α + β )2
2 2
由于 α + β 与 α + β 此即三角不等式。
都是非负实数，故有
α+β ≤ α + β
第九章 欧几里得空间
(α , β ) 由于 ≤ 1, α⋅β
(α , β ) 有意义。 故 cos θ = α⋅β
定义3 设 α 与β 是欧氏空间V的两个非零向量，α 与β 的夹 (α , β ) , 0≤θ ≤π θ = arc cos 角规定为： α⋅β 例9.1.8 在欧氏空间 R 3 中，取向量 α = (1, 0, 0), β = (1,1, 0), 求 α 与β 的夹角。 解： 于是
(γ , γ ) = (α + t β , α + t β ) = (α , α ) + 2(α , β )t + ( β , β )t 2 ≥ 0 （9.1.4）
这是关于t的一个二次三项式，又 ( β , β ) > 0, 故 ∆ ≤ 0, 4(α , β )2 − 4(α , α )( β , β ) ≤ 0 (α , β )2 ≤ (α , α )( β , β ), 故有 (α , β ) ≤ α ⋅ β 因此 即
(α , β + γ ) = (α , β ) + (α , γ ) 。 (α , k β ) = k (α , β ) 。
∀α 1 , α 2 , k1 , k2 ,
n m
,α n , β1 , β 2 , , kn , l1 , l2 ,
n m
, β n ∈V
, ln ∈ R,
则有
( ∑ kiα i , ∑ li β i ) = ∑ ∑ ki li (α i , β j ) 。
习题解答 第九章 欧氏空间(定稿)
定理 1 （柯西—布涅柯夫斯基不等式）设 V 是欧氏空间，则 , V , 有 （，）
当且仅当 与 线性相关时，等号成立. 2. 标准正交基
定义 6 称欧氏空间 V 中一组两两正交的非零向量组1,2 , ,m 为一个正交向量组. 定义 7 设1,2,L ,n 是 n 维欧氏空间 V 中的一组基，若它们两两正交，则称 1,2,L ,n 为 V 的一组正交基；若正交基中的向量1,2,L ,n 都为单位向量，则称为标
n
( A, A) 0 ai2j 0 A 0 i, j1
此即证V是欧式空间。
(1)证：Eij是(i, j)元为1，其余一元皆为0的n阶方阵，那么可证 B11 E11, B12 E12 E21,L , B1n E1n En1 B22 E22 , B2n E2n En2 ,L , Bnn Enn 为V的一组基，于是
故○1 成立，且
V =S (S )
故S和(S)是同一子空间S的正交补，由正交补的唯一性，即证 ○2 .
4.设 是欧式空间V的线性变换，设 是V的一个变换，且, V ,都有(( ), )=(,( )). 证明：
(1) 是V的线性变换 (2)的值域 Im 等于的核ker的正交补。
四、典型题解析
例1.设A, B是n阶实对称阵，定义
(A, B) trAB
○1
证明：所有n阶实对称阵V 关于( A, B)成一欧式空间。 (1)求V的维数。 (2)求使trA=0的空间S的维数。 (3)求S的维数。
证 首先可证V {A Rnn | A A}是R上的一个线性空间。 再证○1 是V 的内积，从而得证V 是关于内积○1 的欧式空间. 事实上A,B,CV ,k R,有
当且仅当 与 线性相关时，等号成立. 2. 标准正交基
定义 6 称欧氏空间 V 中一组两两正交的非零向量组1,2 , ,m 为一个正交向量组. 定义 7 设1,2,L ,n 是 n 维欧氏空间 V 中的一组基，若它们两两正交，则称 1,2,L ,n 为 V 的一组正交基；若正交基中的向量1,2,L ,n 都为单位向量，则称为标
n
( A, A) 0 ai2j 0 A 0 i, j1
此即证V是欧式空间。
(1)证：Eij是(i, j)元为1，其余一元皆为0的n阶方阵，那么可证 B11 E11, B12 E12 E21,L , B1n E1n En1 B22 E22 , B2n E2n En2 ,L , Bnn Enn 为V的一组基，于是
故○1 成立，且
V =S (S )
故S和(S)是同一子空间S的正交补，由正交补的唯一性，即证 ○2 .
4.设 是欧式空间V的线性变换，设 是V的一个变换，且, V ,都有(( ), )=(,( )). 证明：
(1) 是V的线性变换 (2)的值域 Im 等于的核ker的正交补。
四、典型题解析
例1.设A, B是n阶实对称阵，定义
(A, B) trAB
○1
证明：所有n阶实对称阵V 关于( A, B)成一欧式空间。 (1)求V的维数。 (2)求使trA=0的空间S的维数。 (3)求S的维数。
证 首先可证V {A Rnn | A A}是R上的一个线性空间。 再证○1 是V 的内积，从而得证V 是关于内积○1 的欧式空间. 事实上A,B,CV ,k R,有
3欧式空间的同构
( , ) 为欧氏空间V到V"的同构映射.
§9.3 同构
定理3 两个有限维欧氏空间同构的充要条件是 它们的维数相同. 5、两个有限维欧氏空间V与V'同构
dimV dimV '.
§9.3 同构
1 为欧氏空间V'到V的同构映射.
§9.3 同构
③ 若 , 分别是欧氏空间V到V'、V'到V"的同构映射， 则 是欧氏空间V到V" 的同构映射. 事实上，首先， 是线性空间V到V"的同构映射. 其次，对 , V , 有
( ), ( ) ( ( )), ( ( )) ( ), ( )
§9.3 同构
证： 设V为 n 维欧氏空间， 1, 2 ,L , n 为V的一组 标准正交基，在这组基下，V中每个向量 可表成
x11 x2 2 L xn n , xi R 作对应 :V Rn, ( ) ( x1, x2,L , xn ) 易证 是V到 Rn的 1 1 对应. 且 满足同构定义中条件1）、2）、3）， 故 为由V到 Rn的同构映射，从而V与 Rn 同构.
§9.3 同构
4、同构作为欧氏空间之间的关系具有： ①反身性；②对称性；③传递性.
① 单位变换 IV是欧氏空间V到自身的同构映射.
② 若欧氏空间V到V'的同构映射是 ，则 1 是
欧氏空间V'到V的同构映射.
事实上， 首先是线性空间的同构映射. 其次，对 , V ', 有
( , ) ( 1( )), ( 1( )) 1( ), 1( )
, V , k R
这样的映射 称为欧氏空间V到V'的同构映射.
§9.3 同构
定理3 两个有限维欧氏空间同构的充要条件是 它们的维数相同. 5、两个有限维欧氏空间V与V'同构
dimV dimV '.
§9.3 同构
1 为欧氏空间V'到V的同构映射.
§9.3 同构
③ 若 , 分别是欧氏空间V到V'、V'到V"的同构映射， 则 是欧氏空间V到V" 的同构映射. 事实上，首先， 是线性空间V到V"的同构映射. 其次，对 , V , 有
( ), ( ) ( ( )), ( ( )) ( ), ( )
§9.3 同构
证： 设V为 n 维欧氏空间， 1, 2 ,L , n 为V的一组 标准正交基，在这组基下，V中每个向量 可表成
x11 x2 2 L xn n , xi R 作对应 :V Rn, ( ) ( x1, x2,L , xn ) 易证 是V到 Rn的 1 1 对应. 且 满足同构定义中条件1）、2）、3）， 故 为由V到 Rn的同构映射，从而V与 Rn 同构.
§9.3 同构
4、同构作为欧氏空间之间的关系具有： ①反身性；②对称性；③传递性.
① 单位变换 IV是欧氏空间V到自身的同构映射.
② 若欧氏空间V到V'的同构映射是 ，则 1 是
欧氏空间V'到V的同构映射.
事实上， 首先是线性空间的同构映射. 其次，对 , V ', 有
( , ) ( 1( )), ( 1( )) 1( ), 1( )
, V , k R
这样的映射 称为欧氏空间V到V'的同构映射.
第九章 欧氏空间
= ( , ) + ( , ) .
3 ) ( , 0 ) = (0 , ) = 0；
4) ( ki i , l j j ) ki l j ( i , j );
i 1 j 1 i 1 j 1
s
n
s
n
5 ) | ( , ) | | | | |，当且仅当 , 线性相
关时，等号才成立.
2 长度、夹角与正交
(1) 设V是欧氏空间，对任意V，非负实数 ( , ) 称为向量 的长度，记为 | |. 即| | 度为1的向量称为单位向量. 如果≠0，则
( , ) ，长
1 | |
是单位
向量，称为将单位化.
(2) 非零向量 , 的夹角 < , > 规定为
为 V1 . 如果V1 V2 ，且V=V1 + V2 ，则称V2为V1的
正交补，记为V1.
(2) 正交子空间有下列结果： 1) 设V是欧氏空间， , i , j V，则
L(1 , 2 , … , t) 等价于 j (j=1, 2, ..., t);
L(1 , 2 , … , s) L(1 , 2 , … , t)等价于i j
第九章
欧氏空间
内 容 摘 要
1 内积和欧几里得空间
(1) 设 V 是实数域 R 上一个线性空间，如果对V中 任意两个元素 , 有一个确定的实数( , )与它们对应， 且满足：
1) ( , ) = ( , )；
2) (k , ) = k( , )；
3) ( + , ) = ( , ) + ( , ) ； 4) ( , ) 0，当且仅当 = 0 时 ( , ) = 0 .
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σ（ε1，ε2，·，ε n）= （ε1，ε2，·，ε n） A， · · · ·
即
（σ（ε1）, σ（ε2）,·, σ（εn））=（ε1，ε2，·，ε n） A. · · · ·
由2）已知σ（ε1）, σ（ε2）, ·, σ（εn）也是V的标准正交基. · · 按定理2.4， A必是正交矩阵. 3） => 4)设ε1，ε2，· · ·，ε n是V的标准正交基, α是V中 向量,它在基ε1，ε2，· · ·，ε n下的坐标为x,再设σ在基ε1， ε2，· · ·，ε n下的矩阵为A.于是σ(α)在基ε1，ε2，· · ·，ε n下 的坐标为Ax.又因A为正交矩阵,便有
1 1 Q AQ
2
. n
令
(1 ,2 ,,n ) ( 1 , 2 ,, n )Q,
由定理2.4知η 1，η2，· ，ηn为标准正交基.再由第八章定 · · 理2.4可知σ在基η 1，η2，· ，ηn下的矩阵恰是对角矩阵∧. · · 定理的证明过程提示了与对角矩阵相应的标准正交基 的求法.主要的工作是求正交矩阵Q ，以它为相似因子的 正交变换把实对称矩阵A化为对角矩阵.这是在第五章中早 已熟知的方法.
从几何直观的角度看，旋转变换σ只改变向量的方向， 并不改变向量的长度，因此σ是正交变换. 定义3.2 设σ是欧氏空间V的一个线性变换.如果对于V 中任意向量α, β ，总有 （σ(α), β)= (α, σ(β)），
则称σ为一个对称变换.
定理3.2 n维欧氏空间V的线性变换σ是对称变换的充 分必要条件为: σ在标准正交基的矩阵是对称矩阵. 证明 设ε1，ε2，·，ε n是V的标准正交基,线性变换在 · · 该基下的矩阵为 A ( aij ) nn . 必要性.据设有
(
i
),
j
i
, ( j ) ,
i, j 1, 2,, n,
所以A为对称矩阵.
充分性.若A为对称矩阵，即AT= A，对于V中任意向量α, β，设它们在基ε1，ε2，·，εn下的坐标分别为x,y ，则σ(α)， · · σ(β)在基ε1，ε2，·，εn下的坐标分别为Ax, Ay .于是 · ·
1 2 1 2 1 2 .
由（β1，β1）=（α1，α1）=1知β1是单位向量.又由
1 ( 2 , 2 ) ( 1,1) A 1 1
知β2也是单位向量.于是β1，β2为V的一个标准正交基.且有 （β1，β2）=（α1，α2）P，
作业：标准化作业第9章作业.
1） σ是正交变换； 2） σ把标准正交基化为标准正交基，即若ε1，ε2，·， · · εn是V的标准正交基，则σ（ε1）, σ（ε2）, ·, σ（εn）必是 · · 的标准正交基； 3） σ在标准正交基下的矩阵是正交矩阵； 4） σ保持向量长度，即对V中任一向量α ，总有‖σ （α）‖=‖α‖. 证明 采用循环证法. 1） => 2）设ε1，ε2 ，· · ·，εn是V的标准正交基，则
C是正交矩阵又是对称矩阵，则σ既是正交变换又是对称变 换.
k(α+β)=k α +k β, k∈R3, α0, β∈V中. C F上R V1 + V2 V1∩ V2 A n维α1，α2 ，· αs α1，α2 ，· αr s＞t · · · · r εN ε1，ε2 ，· · ·，ε n Schmidt P V1⊥V2 ε1，ε2，·，ε n dim(V)ηe1 Ei （i=1,2, ·,n） · · · · E11，E12，E21，E22）T ε’1，ε’2 ，ε’3 A B ε’1，ε’2 ，· · ·，ε’ n （ x1′， x 2′，·， x n′）T α1，α2 ，α3 （x1,x2,x3）T · · kστα′ σ（V） γ R[x]n σ（α1），σ（α2），· · ·，σ（αs） σ –1 σ（εi）（i=1，2，·，n ） (σ（ε1）, σ（ε2）, ·, σ（ε n）) · · · · A =（aij）αi τ[f(x)]=f ′ (x) k E k * C ρ ε3 ξχ σ [f(x)] η 1，η2，· ，ηn ，P ε1，ε2，ε3，ε4 η1，η2， η3，η4 λ0 · · σ（α ） σ（β1） λ1 λ2 Vλ1 Vλ2 γ Rn α1，α2 ，· αn g(x) h(x) · · [a1,b1] l1，l2，·ln k1，k2 ，·，k m || kα ||=| k | || α || eα · · · · 0≤θ≤π α⊥β x,y ε1，ε2，ε3 P1，P2，·，Pn ∧ Q · ·
线性代数
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结束
﹡§3 正交变换与对称变换
本节讨论欧氏空间中两个特殊的线性变换—正交变换 与对称变换. 定义3.1 设σ是欧氏空间V的线性变换.如果对于V中任 意向量α, β都有
（σ（α），σ（β）=（α, β），
则称σ为一个正交变换.
（6）
满足（6）的线性变换σ称为是保持内积的.于是可以说， 正交变换是欧氏空间中保持内积的线性变换. 定理3.1 设σ是n维欧氏空间V的线性变换，则以下各 说法互为充分必要条件：
( ), ( Ax) y x ( Ay) , ( ) ,
T T
因此σ为对称变换. 定理3.3 若σ是n维欧氏空间V的对称变换，则必有V的 标准正交基，使σ在该基下的矩阵为对角矩阵. 证明 任取V的一个标准正交基ε1，ε2，·，ε n ，设σ在 · · 该基下的矩阵为A ，由定理3.2知A为实对称矩阵，于是存 在正交矩阵Q，使
( ), ( ) ( Ax) Ax x A Ax x x ( , ),
T T T T
即知‖σ（α）‖=‖α‖. 4) => 1)对于V中任意向量α, β,由于σ保持心理长度,便有
（σ(α),σ(α)）=(α,α),
（σ(β),σ(β)）=(β, β),
(7)
（8）
（σ（ α+β ），σ（α+β））=（α+β ，α+β） （9）
（9）式即 （σ(α),σ(α)）+2（σ(α),σ(β)）+（σ(β),σ(β)）= (α,α)+2（ α+β） + (β, β). 利用（7），（8）可得
（σ(α),σ(β)）= (α, β). 可见为正交变换.
例3.1 欧氏空间R2上的旋转变换σ是正交变换. 证明 设变换σ是将向量绕原点按逆时针方向旋转θ角， 容易证明σ为一个线性变换.对于R2的标准正交基
( i ,
j
)
ij ,
i,j=1,2, ·,n, · · i,j=1,2, ·,n, · ·
由σ为正交变换，便知
(
i
), ( j ) ( i , j ) ij ,
故σ（ε1）, σ（ε2）, ·, σ（εn）也是V的标准正交基. · · 2）=>3）设ε1，ε2，· · ·，ε n是V的标准正交基.并设
ε1=（1，0）T ，
有
ε2=（0，1）T ，
( 1 ) cos 1 sin 2 , ( 2 ) sin 1 cos 2 ,
于是σ在ε1 ，ε2下的矩阵为
cos A sin sin . cos
A为正交矩阵，故σ为正交矩阵.
例3.2 设2维欧氏空间V的基α1，α2的度量矩阵为
1 A 1 1 , 2
V的线性变换σ在基α1，α2下的矩阵为
1 B 0 2 , 1
试判明σ是不是正交变换？是不是对称变换？ 解 先用Schmidt方法将α1，α2正交化，得 β1= α1
2
( 2 , 1 ) ( 1 , 1 )
( i ) a1i 1 a ji j ani n , ( j ) a1 j 1 aij i anj n ,
于是
a ji ( ( i ), j ),
aij ( i , ( j )).
由σ为对称变换知
1 其中 P 0
1 1 -1 . 求出 P 1 0 1 , 便可算出线性变换 1
σ在标准正交基β1，β2下的矩阵为
1 C P BP 0
1
1 1 1 0
2 1 1 0
1 1 1 0
0 . 1