线性空间和欧式空间
第九章 欧氏空间与线性变换
(/ A α , / A β ) = (α , β ).
(c)/A保持长度不变 即对 的任意元 α 有 保持长度不变,即对 保持长度不变 即对V的任意元
(/ A α , / A α ) = (α , β )
(d) )/A把一组标准正交基变为一组标准正交基 把一组标准正交基变为一组标准正交基. 把一组标准正交基变为一组标准正交基 (e) )/A在一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵 在一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵. 在一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵 (2)欧氏空间的一个变换 若它保持内积不变 则它 欧氏空间的一个变换,若它保持内积不变 欧氏空间的一个变换 若它保持内积不变,则它 是正交变换. 是正交变换 (3)正交变换的逆和积是正交变换 正交变换的逆和积是正交变换. 正交变换的逆和积是正交变换 (4)/A的特征根的模等于 的特征根的模等于1. 的特征根的模等于 3.对称变换 对称变换 (1)欧氏空间 的线性变换 是对称变换当且仅当 欧氏空间V的线性变换 欧氏空间 的线性变换/A是对称变换当且仅当 对任意的 α , β ∈ V 有 (/ A α , β ) = (α , / A β ) ,当且仅当 当且仅当 在一组标准正交基下的矩阵为对称矩阵. 在一组标准正交基下的矩阵为对称矩阵
(1)设线性变换 在一组标准正交基下的矩阵为 设线性变换/A在一组标准正交基下的矩阵为 设线性变换 在一组标准正交基下的矩阵为A, 则/A的共轭变换在这组基下的矩阵为 A / . 的共轭变换在这组基下的矩阵为 (2)共轭变换满足 *)*=/A,(/A+/B)*=/A*+/B*, 共轭变换满足(/A 共轭变换满足 (/A/B)*=/B*/A*,(k/A)*= k /A*. (3)设酉空间 的子空间 是线性变换 的不变子 设酉空间V的子空间 是线性变换/A的不变子 设酉空间 的子空间W是线性变换 空间,则 的正交补 的正交补W 的不变子空间. 空间 则W的正交补 ⊥是/A*的不变子空间 (4)若/AX= λ X,则/A*X= 若 则 (5)若线性变换 特征根为 λ1 , λ 2 , L , λ n ,则/A* 若线性变换/A特征根为 若线性变换 则 的特征根为 λ , λ , L , λ .
第09章 欧式空间
= α s−1
−
(α s−1, ε1 ) (ε1,ε1 )
ε
1
−⋯
−
(α s−1 (ε s−2
,ε ,ε
s −2 s−2
) )
ε
s
−2
，ε s
= αs
−
s −1 k=1
(α s (εk
− εk ) ,εk )
ε
k
① L(ε1 ,⋯,ε s ) = L (α1 ,⋯,αs ) ⇔ ε1,⋯,ε s 与 α1,⋯, αs 等价
α = (ε1,⋯,ε n ) X = (η1,⋯,ηn ) X ， X = T X ， β = (ε1,⋯,ε n)Y = (η1,⋯,η n)Y ，Y = T Y
(α, β )在基 ε1,⋯,ε n ，η1,⋯,ηn下的度量矩阵分别为 G, G
(α ,
β)
=
X
'GY
=
X
'
T
'GT Y
=
X
'
GY
∴G = T 'GT 即 G~G
⎧R欧式空间
线性空间定义度量性质后 ⎪⎪C酉空间
⎨⎪思维时空空间 ⎪⎩辛空间
三维几何空间 R3
R
2
：设
� a
=
(a1
,
a2
),
� b
=
(b1,
b2)
�� a ⋅b = a1b1 + a2b2 ∈R
� a 的长度：
� a
=
a2 + a2 =
�� a⋅a
1
2
�� a,b
的夹角：
<
�� a, b
>= ar
欧式空间的定义
欧式空间的定义----9af74e36-7160-11ec-a302-7cb59b590d7d简介编辑编辑欧式空间一般指欧几里德空间欧氏空间是一个特别的度量空间，它使得我们能够对其的拓扑性质，在包含了欧氏几何和非欧几何的流形的定义上发挥了作用。
大约公元前300年，古希腊数学家欧几里德建立了空间中角度和距离之间关系的定律，现在称为欧几里德几何。
欧几里德首先发展了“平面几何”，以处理平面上的二维物体。
然后他分析了三维物体的“三维几何”。
所有欧几里德公理都被安排到一个抽象的数学空间，称为二维或三维欧几里德空间。
这些数学空间可以被扩展来应用于任何有限维度，而这种空间叫做 n 维欧几里得空间（甚至简称 n维空间）或有限维实内积空间。
这些数学空间也可以推广到任意维的情况，称为实内积空间（不一定完全），希尔伯特空间在高等代数教科书中也被称为欧几里德空间。
为了发展高维欧几里德空间，空间的性质必须严格表达并扩展到任意维。
虽然这样做的结果是数学非常抽象，但它抓住了欧几里德空间的基本本质，即平面性。
还有其他类型的空间，比如球面非欧几里德空间，相对论中描述的四维时空在重力出现时不是欧几里德空间。
有一种方法论把欧几里得平面看作满足可依据距离和角表达的特定联系的点所成的集合。
其一是平移，它意味着移动这个平面就使得所有点都以相同方向移动相同距离。
其二是关于在这个平面中固定点的旋转，其中在平面上的所有点关于这个固定点旋转相同的角度。
欧几里得几何的一个基本原则是，如果通过一序列的平移和旋转可以把一个图形变换成另一个图形，平面的两个图形（也就是子集）应被认为是等价的（全等）。
（参见欧几里得群）。
欧几里德空间的最后一个问题是，从技术上讲，它不是一个向量空间，而是一个向量空间作用的仿射空间。
直觉上，区别在于，对于原点应该在这个空间中的什么位置，没有标准的选择，因为它可以移动到任何地方。
这项技术在本文中基本上被忽略了。
欧几里德空间(euclideanspace)，简称为欧氏空间(也可以称为平直空间)，在数学中是对欧几里德所研究的2维和3维空间的一般化。
欧式空间
欧氏空间(Euler space )一、 内积与欧氏空间1.设V 是实数域R 上的线性空间,在V 上定义一个二元实函数,称为内积,记为),(βα,它具有以下性质: )3(,)2(),,(),)(1( αββα= 这样的线性空间V 称为欧几里的空间,简称欧氏空间.2.设V 是数域P 上的线性空间,如果V 中的任意两个向量βα,都按某一法则对应P 内唯一确定的数,记为),(βαf ,且),(),(),(,,,,)1(221122112121βαβαβααβααk f k k k f V P k k +=+∈∈∀有;),(),(),(,,,,)2(221122112121βαβαββαββαl f l l l f V P l l +=+∈∈∀有 则称),(βαf 是V 上的一个双线性函数.3.内积是双线性函数.4.设V 是n 维欧氏空间,n e e e ,,,21 为V 的一组基,V ∈βα,,若n n e x e x e x +++= 2211α; n n e y e y e y +++= 2211β则j i n j ni j i j i n j n i j i y x a y x e e ∑∑∑∑====∆=1111),(),(βα,5.称 )),(()(j i ij e e a A ==为基n e e e ,,,21 的度量矩阵.6. 设n e e e ,,,21 是n 维欧氏空间V 的一组基,,A 是基n e e e ,,,21 下的度量矩阵,则任意V ∈βα,,有AY X '=),(βα.7.度量矩阵必为正定矩阵,且不同基下的度量矩阵是合同的.二、 长度与夹角1。
欧氏空间V 中向量长度 ),(||ααα=；单位化：当||0||0αααα=≠时， 2．欧氏空间中的重要不等式：① Cauchy-Буняковский不等式：对任意向量V ∈βα,有线性相关时等式成立。
，当且仅当βαβαβα|,||||),(|≤。
高等代数 第7章欧式空间 7.1 欧氏空间的定义及性质
x, y
x y
例 求向量 1,2,2,3与 3,1,5,1的夹角.
18 2 解 cos 3 261. 非负性 当 x 0时, x 0;当 x 0时, x 0; 2. 齐次性 x x ; 3. 三角不等式 x y x y .
单位向量及n维向量间的夹角
1 当 x 1时, 称 x 为单位向量 .
2 当 x 0, y 0时, arccos
(4)[ x , x ] 0, 且当x 0时有[ x , x ] 0.
则称V（R）关于这个数积构成一个欧氏空间。这里 x,y为任意向量，k为任意实数。
数积的性质： （1）（x ,ky)=k(x , y) (2) (x , y+z )=(x , y)+( x , z ) (3) (x , )=0
欧氏空间的定义及性质
定义：设V（R）是实数域R上的线性空间，
在V（R）中定义了一个叫做数积的运算，即 有一定的法则，按照这个法则，对V（R）中 的任意两个向量x,y,都能确定R中唯一一个实 数，称之为x与y的数积，记作（x,y),如果这个 运算具有性质：
(1) ( 2) ( 3)
x, y y, x ; x, y x, y; x y, z x, z y, z ;
n (4) k i i 1
, l
i j 1 i
n
n,m ki l j ( i i 1, j 1
,
i
j
)
向量的长度及性质
定义2 令
x
x, x
2 2 2 x1 x2 xn ,
称 x 为n 维向量 x的长度 或 范数 .
第五章 线性空间与欧式空间
有
k1 k 2 , k1 E11 k 2 E12 k 3 E 21 k 4 E 22 k3 k 4
西安交通大学
线性代数与空间解析几何
有 A a11 E11 a12 E12 a 21 E 21 a 22 E 22
因此
E11 , E12 , E 21 , E 22 为V的一组基.
（ 3 ） V1 , k F ,恒有f ( k ) kf ( ).
如果两个线性空间V1与V2之间能够建立一个同构映 射，那么就称V1与V2同构.
西安交通大学
线性代数与空间解析几何
例10： n维线性空间 Vn x11 x2 2 xn n x1 , x2 ,, xn R
( 2)设
( x1 , x2 ,, xn )T ( y1 , y2 ,, yn )T
( x1 , x 2 ,, x n ) ( y1 , y2 ,, yn )
T T
则有
( x1 , x2 ,, xn )
同构具有下列简单的性质：
T
(1) 自反性：V1与V1同构；
西安交通大学
线性代数与空间解析几何
例8：在线性空间 R [ x ]n中, 取一组基
1 1, 2 ( x a ), 3 ( x a ) ,, n ( x a )
则由泰勒公式知
2
n 1
f ' ' (a ) 2 f ( x ) f (a ) f ' (a )( x a ) ( x a) 2! ( n 1) (a ) f n 1 ( x a) ( n 1)! 因此 f ( x )在基 1 , 2 , 3 , , n 下的坐标是 (a ) f ''(a ) f ( f (a ), f '(a ), , , ) . 2! ( n 1)!
数学中的空间概念
数学中的空间概念
数学中的空间概念是指用数学语言和方法对空间进行描述和研究的概念。
1. 欧几里得空间（Euclidean space）：欧几里得空间是数学中
最基本且最常见的空间概念，它以几何学为基础，通常用笛卡尔坐标系表示。
2. 向量空间（Vector space）：向量空间是指一组向量构成的
集合，满足一系列定义的运算规则，常用于向量和矩阵的研究。
3. 坐标空间（Coordinate space）：坐标空间是指通过一组坐标系，将点的位置表示为坐标的空间。
常见的坐标空间有二维平面、三维空间等。
4. 线性空间（Linear space）：线性空间是指满足特定运算规
则的向量空间，其中向量的加法和数乘满足线性运算的性质。
5. 拓扑空间（Topological space）：拓扑空间是指在集合上定
义了一种拓扑结构，用来研究集合中的连通性、收敛性以及极限等性质。
6. 测度空间（Measure space）：测度空间是指在集合上定义了一种测度，用来度量集合中的大小或者衡量集合中的某种特性。
7. 平面几何（Plane geometry）：平面几何是指研究二维平面
中图形的性质、关系和构造等内容。
8. 立体几何（Solid geometry）：立体几何是指研究三维空间
中立体图形的性质、关系和构造等内容。
9. 代数拓扑（Algebraic topology）：代数拓扑是将代数学方法
应用于拓扑空间研究的一个分支，研究空间的代数性质和变形等问题。
10. 同调论（Homology theory）：同调论是数学中的一个分支，研究空间中的“洞”和“环”等代数特征，用于研究空间的性质和
分类。
常见线性空间与欧式空间的基于标准正交基的求法
常见线性空间与欧式空间的基于标准正交基的求法邹雨情沈阳师范大学摘要：高等代数中的线性空间概念是重要的一个属性，欧式空间的深入理解是认识高等数学的一个重要信息，而且线性空间与欧式空间的维数与正交基的标准是认识空间的基础。
因此，本文在对数域中对线性空间的与欧式空间的方面进行说明，数域P 所起的作用，探讨维数的基于标准正交基的方法与步骤。
关键词：线性空间；欧式空间；正交基；标准；求法一、线性空间与欧式空间（一）线性空间。
线性空间是一个给出法则，在一个设V 的集合中，任意的两个元素且是在非空的几何中V 中有数域P 中的运算，定义是一种加法的运算，与他们对应，同时，对于数域K 任意元素还有一个是乘法的元算，称之为乘积的数量，记为K ，V 就是数域的线性空间，满足交换律、结合律、数的分配律与元的分配律规则。
（二）欧式空间。
线性空间主要运算是加法和数量的乘法的运算，几何问题的空间推广，就要涉及到度量的引入，例如长度、夹角等几何向量性质的特殊的位置，丰富线性空间的内容和方法，内积的广泛为正交的变换概念的性质与对应的特殊矩阵的对称变换正交补空间的某个子空间，实数域上的正交等的结构特征，准确把握施密特的正交组基德基本性质与好处，利用标准的正交基的特性。
二、数域P 的线性空间的作用与角色（一）对空间V 的变换在线性判别的影响。
V 的线性空间的变换主要是加法与数量乘积的运算，如果称A 是同构的映射，线性空间的V 就是同构的空间，在线性空间这一概念上一个线性映射的简单性质的集合，充分必要条件是数域P 的有限线性同构映射的乘积的逆映射，和与只和子空间的最小子空间，交换律以及结合律的包含线性向量组，被扩充以及推广到维数和的基，得到推论，维数之和大于N ，具有非零的公共向量，一定存在等号的成立一个V 的线性子空间U ，相互等价，一个是直和，一个是二元函数的有限线性空间的内积，满足了对称性以及线性空间的R 定义内积，对同一线性空间的连续函数的有实连接构成一个欧几里的空间，显然，这样的长度是向量的长度是零，长度是单位向量，实现了向量的转换在夹角与定义欧式空间的合理性。
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推广：如果向量两 两两正交，那么
.
称为基 的度量矩阵.度量矩阵完全确定了积.
标准欧式空间(其积关于自然基的度量矩阵是n阶单位阵)
定义欧氏空间 的一组非零的向量,如果它们两两正交，就称为一个正交向量组.
由单个非零向量所成的向量组也是正交向量组.
在 维欧氏空间中，两两正交的非零向量不能超过 个.
同构映射的逆映射以及两个同构映射的乘积还是同构映射。
§2 线性子空间的和与直和
子空间的和：设 是线性空间 的子空间，则集合
也是一个线性子空间，称为 的和，记为 .
两个线性子空间的和 是包含这两个线性子空间的最小子空间.
满足交换律、结合律
设 与 是V的两个向量组.则
线性子空间中的线性无关向量组都能被扩充成这个子空间的一个基。
加法满足下面四条规则：
1） ；交换律
2） ；结合律
3）在V中有一个元素0，对于V中任一元素 都有 （具有这个性质的元素0称为V的零元素）；存在零元
4）对于V中每一个元素 ，都有V中的元素，使得 （ 称为 的负元素）.存在负元
数量乘法满足下面两条规则：
5） ；存在1元
6） . 数的结合律
数量乘法与加法满足下面两条规则：
例4令 是一切平方和收敛的实数列
所成的集合,则 是一个欧几里得空间,通常称为希尔伯特(Hilbert)空间.
定义非负实数 称为向量 的长度，记为 .
显然，向量的长度一般是正数，只有零向量的长度才是零，这样定义的长度符合熟知的性质：
(3)
这里 .
长度为1的向量叫做单位向量.如果, 由(3)式，向量
就是一个单位向量.用向量 的长度去除向量 ，通常称为把 单位化.
(Cauchy-Buniakowski不等式)对任意的向量 有
而且等号成立当且仅当 线性相关.(保证向量夹角定义的合理性)
定义非零向量 的夹角 规定为
根据柯西-布涅柯夫斯基不等式，有三角形不等式
.Hale Waihona Puke 定义如果向量 的积为零，即
那么 称为正交或互相垂直，记为 .
两个非零向量正交的充要条件是它们的夹角为 .只有零向量才与自己正交.
例4．向量空间的线性映射的集合 是线性空间。
二．简单性质
1．零元素是唯一的。
2．负元素唯一。
3． ， ， 。
4．若 ，则 或者 。
三.同构映射
定义：设 是数域 上的线性空间. 是一个线性映射.如果 是一一映射，则称 是线性空间的同构映射，简称同构。线性空间 与 称为同构的线性空间。
定理数域P上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是他们有相同的维数。
正交向量组一定是线性无关的。
若正交向量组中的向量都是单位向量，则称为规正交组。
定义在 维欧氏空间中，由 个向量组成的正交向量组称为正交基；由单位向量组成的正交基称为规正交基组.对一组正交基进行单位化就得到一组规正交基.
欧式空间的线性子空间必存在规正交基。
在规正交基下，向量的积可以通过坐标简单地表示出来，
同构的欧氏空间必有相同的维数.
每个 维的欧氏空间都与 同构.
同构作为欧氏空间之间的关系具有反身性、对称性与传递性.
由每个 维欧氏空间都与 同构知，任意两个 维欧氏空间都同构.
定理两个有限维欧氏空间同构 它们的维数相等.
这个定理说明，从抽象的观点看，欧氏空间的结构完全被它们的维数决定.
§4 欧式空间中的正交补空间与正交投影
定理：（维数公式）如果 是线性空间 的两个子空间，那么
+ = +
由此可知，和的维数要比维数的和来得小。推广到有限个线性子空间的和空间维数
推论：如果 维线性空间 中两个子空间 的维数之和大于 ，那么 必含有非零的公共向量。
直和：设 是线性空间 的子空间，如果 中的每个向量 都能被唯一地表示成 .则称 为直和，记为 。
这个表达式正是几何中向量的积在直角坐标系中坐标表达式的推广.
把一组线性无关的向量变成一单位正交向量组的方法在一些书和文献中称为格拉姆-施密特（Schimidt）正交化方法. (P314)
定义欧氏空间 与 称为同构的,如果存在线性空间的同构 ，保持积，即 ,
对任意的 成立，这样的映射A称为 到 的同构映射.
例2在 里,对于向量
,
定义积
则积(1)适合定义中的条件，这样 就也成为一个欧几里得空间.
对同一个线性空间可以引入不同的积,使得它作成欧几里得空间.
例3在闭区间 上的所有实连续函数所成的空间 中,对于函数 定义积
. (2)
对于积(2)， 构成一个欧几里得空间.
同样地，线性空间 对于积(2)也构成欧几里得空间.
1)对称性 ;
2)关于标量乘法线性性质 ;
3) 关于向量加法的线性性质 ;
4)正定性 ,当且仅当 时,
这里 是 任意的向量, 是任意实数,这样的线性空间 称为欧几里得空间.
例1在线性空间 中,对于向量
,
定义积
(1)
则积(1)适合定义中的条件，这样 就成为一个欧几里得空间.
时，(1)式就是几何空间中的向量的积在直角坐标系中的坐标表达式.
7） ； 数的分配律
8） . 元的分配律
在以上规则中， 表示数域中的任意数； 等表示集合V中任意元素。
例1．元素属于数域K的 矩阵，按矩阵的加法和矩阵的与数的数量乘法，构成数域K上的一个线性空间，记为 。
例2．全体实函数（连续实函数），按函数的加法和数与函数的数量乘法，构成一个实数域上的线性空间。
例3． 维向量空间 是线性空间。
第六章 线性空间和欧式空间
§1 线性空间及其同构
一 线性空间的定义
设V是一个非空集合，K是一个数域，在集合V的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法；这就是说，给出了一个法则，对于V中任意两个元素 和 ，在V中都有唯一的一个元素 与他们对应，成为 与 的和，记为 。在数域K与集合V的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法，即对于数域K中任一数k与V中任一元素 ，在V中都有唯一的一个元素 与他们对应，称为k与 的数量乘积，记为 ，如果加法与数量乘法满足下述规则，那么V称为数域K上的线性空间。
设 是线性空间 的子空间，则下列结论互相等价：
设 是线性空间 的一个子空间，那么一定存在 的一个线性子空间 ，使得
满足上述条件的线性子空间 称为 的补子空间.
推广到有限多个线性子空间也可以定义它们的直和
§3 欧式空间
定义设 是实数域 上的有限维线性空间,在 上定义了一个二元实函数，称为积,记作 ,满足以下四条公理: