第六章 欧几里得空间
空间几何的欧几里得空间
空间几何的欧几里得空间欧几里得是希腊数学家，他的作品《几何原本》被认为是欧几里得空间的奠基工作。
欧几里得空间指的是三维空间中的几何定理，包括点、线、面等。
欧几里得几何早在公元前300年左右就被发明了。
它的原理和公理经过了几百年的发展和完善，成为了今天欧几里得几何的基础。
欧几里得空间的定义和特征欧几里得空间可以由三条公理唯一地确定。
这些公理是：1.给定两个点，可以画出唯一一条通线。
2.可以从任意一个点向任意方向画出一条直线。
3.所有的角有180度。
这些公理可以解释出欧几里得几何的一些基本特征。
当我们在三维空间中，任意给定两个不同的点，我们可以用直线连接它们，这条直线将这两个点所在的直线切分成两部分。
类似地，我们可以从任意一个点，画出一条向任意方向的直线。
这些一般经验可以被简洁地表述为「既定点之间只有一条直线之交」和「可以从任意一点引出一条唯一的直线」。
对角度的定义和度数的规定，使得图形的角度产生了「锐角」、「直角」和「钝角」三种不同的类型。
欧几里得空间的应用欧几里得几何的应用非常广泛，特别是在建筑、工程、科学和技术等领域。
作为一种公认的几何形式，欧几里得空间能够描述和解决很多关于空间的问题。
比如，使用欧几里得几何可以讨论到平面内的三角形性质，例如高、垂线、媒线、重心等，也可以研究空间内的球与圆的性质，如半径、周长、体积等。
针对实际应用的需求，欧几里得几何经过了不断的发展与推广。
例如在建筑设计中，可以利用欧几里得几何来设计建筑外形，如切割和组合形状等。
在科学和技术领域，也可以利用欧几里得几何进行模型建立和计算。
除此之外，欧几里得几何还可以在地图、测量、图案设计以及绝对几何学等方面提供帮助。
结论欧几里得空间是几何学研究中最广泛应用的一种形式之一，它奠定了数学中几何的基础，为技术、建筑设计、科学、技术和计算机科学等领域提供了基础的数学工具。
欧几里得几何一直处于几何学的主流地位，尽管它的局限性已经在非欧几里得几何和黎曼度量几何中得到补充和拓展。
欧几里得空间与内积空间
欧几里得空间与内积空间欧几里得空间是数学上一个重要的概念，它是指具有欧几里得度量的空间。
欧几里得度量是指通过直线距离来衡量空间中两个点之间的距离的一种度量方式。
而内积空间则是另一种数学概念，它是指一个向量空间上定义了内积运算的空间。
欧几里得空间的概念最早由古希腊数学家欧几里得提出，他将空间中的点用坐标表示，并利用坐标上的距离概念来研究几何性质。
欧几里得空间的特征是具有三角不等式、正向可加性、线性可加性以及满足直线距离公式等性质。
在欧几里得空间中，我们可以定义向量、向量的长度、向量的夹角等概念，并通过这些概念来研究几何中的问题。
而内积空间则是在向量空间的基础上引入了内积的概念。
内积是一种将两个向量映射为一个实数的运算，它具有线性性、对称性和正定性等性质。
通过内积的定义，我们可以引入向量的长度、向量的夹角以及正交等概念，并进一步研究向量空间中的性质和问题。
内积空间是线性代数中一个重要的概念，在物理学、工程学以及计算机科学等领域都有广泛的应用。
虽然欧几里得空间和内积空间都是数学上的概念，但它们有着不同的定义和性质。
欧几里得空间主要关注点在于距离和长度的概念，而内积空间则更加注重向量的夹角和正交性质。
在欧几里得空间中，我们可以通过距离公式来计算两个点之间的距离，而在内积空间中，我们可以通过内积的定义来计算向量的夹角和长度。
此外，欧几里得空间和内积空间还有一些重要的定理和性质。
比如在欧几里得空间中，我们有三角不等式定理、柯西-施瓦茨不等式等；在内积空间中，我们有勾股定理、平行四边形法则等。
这些定理和性质为我们解决具体问题提供了数学工具和方法。
综上所述，欧几里得空间和内积空间是数学中重要的概念，它们在几何学、线性代数以及其他相关领域都有广泛的应用。
通过对这两个概念的研究和理解，我们可以更好地理解空间中的几何性质，并能够运用数学工具解决实际问题。
欧几里得空间和内积空间的研究不仅在基础学科中有重要地位，也对于应用科学和工程技术的发展起着重要的推动作用。
欧几里得空间
例2
在 R n 里,对于任意两个向量
( x1 , x2 ,..., xn ), ( y1 , y2 ,..., yn )
规定:
, x1 y1 2 x2 y2 ... nxn yn
R n 关于这个内积也构成一个 不难验证,
欧氏空间.
以后凡说到欧式空间 R n 均指例1中所述的空间。
k , 1 k , k 1 1 k 1 取 k k 1 , 1 k 1 , k 1
可看出 k 是 1 , 2 ,, k 的线性组合。 由 得
1, 2 ,, k 线性无关， k 0,
又因为 1 , 2 ,, k 1 两两正交。 所以
所以 1 , 2 ,, n 线性无关.
标准正交基：
定义：
设V 是一个n 维欧氏空间，如果V 中有
n 个向量 1 , 2 ,, n 构成一个正交组，那么
这个n 个向量构成V 的一个基。叫做V 的一个 正交基。 如果正交基还是一个标准正交组，那么就称 这个基是一个标准正交基。
在标准正交基下，向量的内积计算最简单。
欧氏空间的基本性质：
1. 对于任意的 V ，有 0, 0 ，特别 0,0 0 。
2.
设 为V中某一向量，若对于V中任何向量 都有
, 0 ，
则 0ຫໍສະໝຸດ 。3. 对于任意的 i , j V 及 ai , bj R (i 1, 2,l ; j 1, 2,t ) 恒有：
向量的夹角：
定义：
非零向量 α, β 的夹角规定为：
= arccos
记为：
α, β α β
.
0
, 0
高等代数欧几里得空间课件
矩阵的定义
矩阵是一个由数字组成的矩形阵列，可 以表示向量之间的关系和线性变换。
VS
矩阵的性质
矩阵具有一些重要的性质，如矩阵的加法、 标量乘法和乘法满足相应的运算规则，矩 阵的转置、行列式、逆等也具有相应的性 质和定义。
矩阵的运算规则
1 2 3
矩阵的加法 矩阵的加法满足交换律和结合律，即 $A+B=B+A$和$(A+B)+C=A+(B+C)$。
运算规则二
如果 $W_1$ 和 $W_2$ 是子空间，且 $W_1 cap W_2 = {0}$， 则 $W_1 + W_2$ 是子空间。
运算规则三
如果 $W$ 是子空间，且 $u in W$，则存在唯一的 $v in W$ 使得 $u + v = 0$。
欧几里得空的同
06
构与等价
同构的定义与性质
等价性质
等价的欧几里得空间具有相同的秩，且线性变换在等价 下是可逆的。
THANKS.
矩阵运算对应线性变换运 算
矩阵的加法、标量乘法和乘法分别对应线性 变换的加法、标量乘法和复合运算。
特征与特征向量
04
特征值与特征向量的定义
特征值
对于一个给定的矩阵A，如果存在一个非零的数λ和相应的非零向量x，使得Ax=λx成立， 则称λ为矩阵A的特征值，x为矩阵A的对应于λ的特征向量。
特征向量
与特征值λ对应的非零向量x称为矩阵A的对应于λ的特征向量。
助于学生更好地理解和掌握这一概念。
04
复数域上的全体二维向量构成的集合是一个二维复数 欧几里得空间。
向量与向量的运算
ห้องสมุดไป่ตู้02
向量的定义与表示
欧几里得内积空间
第九章 欧几里得空间§1定义与基本性质一、向量的内积定义1 设V 是实数域R 上一个向量空间,在V 上定义了一个二元实函数，称为内积,记作),(βα,它具有以下性质:1) ),(),(αββα=;2) ),(),(βαβαk k =;3) ),(),(),(γβγαγβα+=+;4) 0),(≥αα,当且仅当0=α时, 0),(=αα这里γβα,,是V 任意的向量,k 是任意实数,这样的线性空间V 称为欧几里得空间.例1 在线性空间n R 中,对于向量),,,(,),,,(2121n n b b b a a a ==βα,定义内积.),(2211n n b a b a b a +++= βα (1)则内积(1)适合定义中的条件，这样n R 就成为一个欧几里得空间.仍用来表示这个欧几里得空间.在3=n 时，(1)式就是几何空间中的向量的内积在直角坐标系中的坐标表达式.例2 在n R 里, 对于向量),,,(,),,,(2121n n b b b a a a ==βα,定义内积.2),(2211n n b na b a b a +++= βα 则内积(1)适合定义中的条件，这样n R 就也成为一个欧几里得空间.仍用来表示这个欧几里得空间.,对同一个线性空间可以引入不同的内积,使得它作成欧几里得空间.例 3 在闭区间],[b a 上的所有实连续函数所成的空间),(b a C 中,对于函数)(),(x g x f 定义内积⎰=ba dx x g x f x g x f )()())(),((. (2) 对于内积(2)，),(b a C 构成一个欧几里得空间.同样地，线性空间n x R x R ][],[对于内积(2)也构成欧几里得空间.例4 令H 是一切平方和收敛的实数列+∞<=∑∞=1221),,,,(n n n x x x x ξ所成的集合,则H 是一个欧几里得空间,通常称为希尔伯特(Hilbert)空间.二、欧几里得空间的基本性质1）定义中条件1）表明内积是对称的.),(),(),(),()2αββααββαk k k k ==='.),(),(),(),(),(),()3γαβααγαβαγβγβα+=+=+=+'定义2 非负实数),(αα称为向量α的长度，记为α.显然，向量的长度一般是正数，只有零向量的长度才是零，这样定义的长度符合熟知的性质：αα||k k = (3)这里V R k ∈∈α,.长度为1的向量叫做单位向量.如果,0≠α由(3)式，向量αα1就是一个单位向量.用向量α的长度去除向量α，得到一个与α成比例的单位向量，通常称为把α单位化.柯西-布涅柯夫斯基不等式：即对于任意的向量βα,有βαβα≤),( (5)当且仅当βα,线性相关时，等式才成立.对于例1的空间n R ，(5)式就是.22221222212211n n n n b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++对于例2的空间),(b a C ，(5)式就是212212)()()()(⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎰⎰⎰b a b a ba dx x g dx x f dx x g x f 定义3 非零向量βα,的夹角><βα,规定为πβαβαβαβα≤≤>=<,0,),(arccos , 根据柯西-布涅柯夫斯基不等式，有三角形不等式βαβα+≤+.定义4 如果向量βα,的内积为零，即0),(=βα那么βα,称为正交或互相垂直，记为βα⊥. 两个非零向量正交的充要条件是它们的夹角为2π. 只有零向量才与自己正交.勾股定理：当βα,正交时， .222βαβα+=+ 推广：如果向量两m ααα,,,21 两两正交，那么22221221m m αααααα+++=+++ . 设V 是一个n 维欧几里得空间，在V 中取一组基n εεε,,,21 ，对于V 中任意两个向量n n x x x εεεα+++= 2211,n n y y y εεεβ+++= 2211,由内积的性质得∑∑===++++++=n i n j ji j i nn n n y x y y y x x x 1122112211),(,),(εεεεεεεεβα令),,2,1,(),(n j i a j i ij ==εε (8)显然 .ji ij a a =于是∑∑===n i nj j i ij y x a 11),(βα (9)利用矩阵，),(βα还可以写成AY X '=),(βα, (10)其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n y y y Y x x x X 2121, 分别是βα,的坐标，而矩阵nn ij a A )(=称为基n εεε,,,21 的度量矩阵.上面的讨论表明，在知道了一组基的度量矩阵之后，任意两个向量的内积就可以通过坐标按（9）或（10）来计算，因而度量矩阵完全确定了内积.设n ηηη,,,21 是空间V 的另外一组基，而由n εεε,,,21 到n ηηη,,,21 的过渡矩阵为C ，即C n n ),,,(),,,(2121εεεηηη =于是不难算出，基n ηηη,,,21 的度量矩阵()()AC C b B j i ij '===ηη,. (11)这就是说，不同基的度量矩阵是合同的.根据条件(4)，对于非零向量α，即⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≠000 X 有0),(>'=AX X αα因此，度量矩阵是正定的.反之，给定一个n 级正定矩阵A 及n 维实线性空间V 的一组基n εεε,,,21 .可以规定V 上内积，使它成为欧几里得空间，并且基的n εεε,,,21 度量矩阵是A .欧几里得空间的子空间在所定义的内积之下显然也是一个欧几里得空间. 欧几里得空间以下简称为欧氏空间.。
线性代数与欧几里得空间
线性代数与欧几里得空间线性代数是数学中的一个重要分支，研究向量空间和线性映射等相关概念和性质。
欧几里得空间是指具有内积结构的实数向量空间。
本文将介绍线性代数的基本概念和欧几里得空间的特性。
一、向量和向量空间在线性代数中，向量是一种有大小和方向的量，常用箭头表示。
向量可以进行加法和数乘运算。
向量空间是由若干个向量组成的集合，满足一定的条件，例如加法封闭性、标量乘法封闭性和加法和标量乘法的结合律等。
二、矩阵和线性变换矩阵是一个矩形的数组，由数个数构成。
矩阵可以表示为行矩阵或列矩阵的形式。
线性变换是向量空间之间的一种变换，可以用矩阵表示。
线性变换满足加法封闭性、标量乘法封闭性和加法和标量乘法的结合律等性质。
三、内积和正交性内积是欧几里得空间的核心概念之一，其定义需要满足一定的性质，比如对称性、线性性和正定性等。
内积可以用来衡量向量之间的夹角和长度。
若两个向量的内积为零，则称这两个向量正交。
四、欧几里得空间的性质欧几里得空间是一种具有内积的实数向量空间。
欧几里得空间还满足一些特殊性质，比如三角不等式、柯西-施瓦茨不等式和勾股定理等。
这些性质为欧几里得空间的应用提供了基础。
五、特征值和特征向量特征值和特征向量是矩阵和线性变换中的一个重要概念。
对于一个线性变换，如果存在一个非零向量，使得其与线性变换后的向量成比例，那么称该向量为特征向量，而比例因子为特征值。
特征值和特征向量在很多领域有广泛的应用，比如物理学和工程学等。
总结：线性代数是一门重要的数学学科，研究向量空间和线性映射等概念和性质。
欧几里得空间是具有内积结构的实数向量空间。
通过学习线性代数和欧几里得空间，我们可以更好地理解向量和矩阵运算，解决实际问题。
因此，对于从事相关领域的学生和研究者来说，掌握线性代数和欧几里得空间的知识是十分重要的。
以上是对线性代数与欧几里得空间的简单介绍，希望对您有所帮助。
线性代数和欧几里得空间的研究领域十分广泛，具有重要的理论和应用价值。
欧几里得空间
第九章 欧几里得空间习题解答1、 设()ij a =A 是一个n 级正定矩阵，而12(,,,)n x x x α=，12(,,,)n y y y β=.在n R 中定义内积(,)αβ为'(,)αβαβ=A . 1）证明：在这个定义之下，n R 成一欧氏空间； 2）求单位向量1(1,0,,0)ε=，2(0,1,,0)ε=，，(0,0,,1)n ε=的度量矩阵；3）具体写出这个空间中的柯西-布涅柯夫斯基不等式。
解 1）只要证明按定义'(,)αβαβ=A （是数，等于其转置）的一个二元实函数是一个内积就可以了。
1 ''''(,)()(,)αβαβαββαβα====A A A ；2 ''(,)()()(,)k k k k αβαβαβαβ===A A ；3 '''(,)()(,)(,)αβγαβγαγβγαγβγ+=+=+=+A A A4 ',(,)ij i j i ja x x αααα==∑A .由于A 是正定矩阵，所以,ij i j i ja x x ∑是正定二次型，从而(,)0αα≥，并且仅当0α=时，(,)0αα=。
由此可见，n R 在这一定义之下成一欧式空间。
2）设单位向量的度量矩阵为()ij b =B .那么111()10(,)(010)(,1,2,,)10n ij i j ij i n nn a a b a i j n a a εε⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦，此即 =B A .3）,(,)ij i j i ja x x αβ=∑，α==β==，故柯西-布涅柯夫斯基不等式为,,ij i jiji i ji ja x yay y ≤∑∑2、 在4R 中，求,αβ之间的夹角,αβ<>（内积按通常定义），设 1）(2,1,3,2)α=，(1,2,2,1)β=-； 2）(1,2,2,3)α=，(3,1,5,1)β=； 3）(1,1,1,2)α=，(3,1,1,0)β=-；解 1）(,)21123(2)210αβ=⨯+⨯+-+⨯=，所以 .2αβπ<>=. 2）(,)18αβ=，(,)18αα=，(,)36ββ=，cos ,αβ<>==，所以.4αβπ<>=.3）(,)3αβ=，(,)7αα=，(,)11ββ=，cos ,αβ<>=，所以1.arccos αβ-<>=3、(,)d αβαβ=-通常称为α与β的距离，证明：(,)(,)(,)d d d αγαββγ≤+. 证 由文献[1]P.362的三角形不等式，有(,)()()(,)(,)d d d αγαγαββγαββγαββγ=-=-+-≤-+-=+. 4、在4R 中求一单位向量与(1,1,1,1)-，(1,1,1,1)--，(2,1,1,3)正交。
6.1 欧几里得空间(1)
16:33
15
6、例题分析
e1 = (1, 0,L, 0);
【例题1】 在欧氏空间中向量组 交。
证明：略。
e2 = (0,1,L, 0); LLLLLL; en = (0, 0,L,1).
两两正
【例题2】、证明上面 3）
证明： 由题意知，< α , βi >= 0 (i = 1, 2,L, l)
20
4、标准正交基底
【正交基底】
若α1, α2, ⋅⋅⋅, αn 是 n 维欧氏空间V中的一个正交组，
则它们构成 V 的一个基底，称为正交基底。
【标准正交基底】 若正交基底是一个标准正交组，则称为标准正交基
底。
【例题分析】
例题 1
由向量组
α1 = (0,1, 0),α2 = (
1 , 0, 2
1 2
¾ 对任意的向量 α ∈ V，有 〈0 , α 〉 = 0, 特别 〈0 , 0〉
= 0, 即两个向量中只有一个向量为零，他们的内
积必为零。
¾ α 为V 中某一个向量，若对于 V 中任何一个向量 β 都 有 〈α , β 〉 = 0, 则 α = 0.
¾ 对于任意的向量 αi , βj ∈ V , 及实数 ai , bj ∈ R, 恒
(I) 交换律： 〈α , β 〉 = 〈β , α 〉
(II) 分配律： 〈α +β , γ 〉 = 〈α , γ 〉 + 〈 β , γ 〉 , (γ ∈V )
(III) 数乘： 〈aα , β 〉 = a 〈α , β 〉 , (a ∈R )
16:3(3IV) 正定性： 当 α ≠ 0, 〈α , α 〉 > 0
欧几里德空间知识点总结
欧几里德空间知识点总结一、点、直线与平面1. 点：在欧几里德空间中，点是最基本的几何图形，它没有尺寸和方向，只有位置。
点在空间中没有体积，可以用坐标来表示其位置。
例如，三维空间中的点可以用三维坐标(x, y, z)来表示。
2. 直线：直线是由无数个点组成的，它是无限延伸的一维图形。
在欧几里德空间中，直线可以用方程或参数方程来表示，例如直线的一般方程为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C为常数，D为常数。
3. 平面：平面是由无数个点组成的，它是无限延伸的二维图形。
在欧几里德空间中，平面可以用一般方程或参数方程来表示，例如平面的一般方程为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C为常数，D为常数。
二、向量和矢量4. 向量：向量是具有大小和方向的量，它可以用箭头来表示。
在欧几里德空间中，向量可以表示为由坐标表示的一个有向线段。
向量的大小可以用模表示，方向可以用夹角表示。
5. 矢量：矢量是向量的一种特殊形式，它是在空间中有大小和方向的物理量。
在欧几里德空间中，矢量可以表示为一个有向线段，其大小和方向由其坐标表示。
6. 点积和叉积：在欧几里德空间中，点积和叉积是两种重要的运算。
点积表示了两个向量之间的夹角关系，叉积表示了两个向量之间的垂直关系。
三、几何图形和多边形7. 几何图形：在欧几里德空间中，几何图形是指各种由点、直线、平面等基本图形组成的图形。
几何图形可以是二维的，也可以是三维的，例如圆、球、多边形等。
8. 多边形：多边形是由若干条有限的线段组成的闭合图形。
在欧几里德空间中，多边形可以是平面的，也可以是空间的。
多边形有许多重要的性质和定理，例如多边形的内角和为180度，外角和为360度等。
四、投影和对称9. 投影：在欧几里德空间中，投影是指将三维空间中的一个图形或物体投影到一个平面上的过程。
投影有平行投影和透视投影之分，它们在几何绘图和工程设计中有重要的应用。
10. 对称：在欧几里德空间中，对称是指一个图形围绕一个中心旋转或翻转后与原图形相同的过程。
欧几里得空间 (小结)
一、欧氏空间 1.内积、欧氏空间的概念及其简单性质.
2.柯西—布涅可夫斯基不等式: (α, β)2≤(α, α)(β, β) 3.向量的长度: | | ( , )
( , ) , (0 ) 4.两个非零向量α与β的夹角: arccos
若(α, β)=0，则α与β正交.
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(5) 设A是实对称矩阵，则属于A的不同特征值的
特征向量是正交的.
(6) 任一个n级实对称矩阵A都可以正交对角化，
即存在正交矩阵U，使得 UTAU=U-1AU 是对角形
式，相应地有对于欧氏空间V的任一个对称变换σ,
存在V的标准正交基， σ在这个标准正交基下的矩 阵是对角形式.
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二、标准正交基 １. 标准正交基的概念.
２. 标准正交基的求法—施密特正交化方法.
３. 由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正 交矩阵. 反过来，假如两个基之间的过渡矩阵是
正交矩阵，而且其中一个基是标准正交基，那么
另一个基也是标准正交基.
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三、正交补 内射影 1. 向量与集合正交的概念.
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五、欧氏空间的同构
1. 欧氏空间同构的概念. 2. 两个有限维欧氏空间同构<＝>它们的维数相同. 3. 每个n维欧氏空间都与Rn同构. 本章的重点是欧氏空间的基本概念、标准正 交基、正交变换和正交矩阵、对称变换与对称矩 阵.
难点是正交变换、正交补、对称变换.
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2. 欧氏空间的子空间V1的正交补的概念.
3. 设V1是V的子空间，则有V=V1⊕V1⊥，且任意 α∈V可以唯一写成α=α1+α2,其中α1∈V1,α2∈V1⊥， 则称α1是α在V1上的内射影.
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解一
先正交化，再单位化
(1)取 1 1;
(2)令 2 k 1 2 , 使得 2 与 1 正交,
[ 1 , 2] k[ 1 , 1] [ 1 , 2] 0,
12 [ 1 , 2] 1 1 2 k , 故2 1 ; [ 1 , 1] 2 0
cos U sin sin cos
或
在前一情形中，σ是将 V2 的每一向量旋转角 φ的旋转； 在后一情形，σ将 V2 中以（x, y）为坐标的变 量变成以(xcosφ+ysinφ, xsinφ–ycosφ) 为 坐标的向量. 这时σ是直线的 y tan( ) x 反射. 2 这样， 2 的正交变换或者是一个旋转，或者是 V 关于一条过原点的直线的反射.
施密特正交化方法
1 1
( 2 , 1 ) 2 2 1 ( 1 , 1 ) ( k , 1 ) ( k , 2 ) ( k , k 1 ) k k 1 2 k 1 ( 1 , 1 ) (2 , 2 ) ( k 1 , k 1 )
a 2 c 2 1, b 2 d 2 1, ad bd 0 （2）
由第一个等式，存在一个角α，使 a = cos α，c = ±sinα
由于
cos α = cos(±α)，± sin α= sin（±α）
因此可以令
a = cos φ，c = sin φ 这里φ =α或 –α . 同理，由（4）的第二个等式，
2) 线性性: ( , ) ( , ) ( , )
(k , ) k ( , )
3) 正定性: 0, 有( , ) 0
这里 , , V , k R ,那么实数 ( , ) 称为 与 内积,而 V 称为关于这个内积的 的欧氏空间,简称欧氏空间.
第六章 欧几里得空间 (Euclid Spaces)
第一节 欧几里得空间 6.1 向量的标准内积 6.2 标准正交基 第二节 正交变换
第一节 欧几里得空间 一、基本概念
定义: 设 V 是实线性空间,如果存在一个法则
f , 使得 V 中任意两个向量 , , 有 R 中 一个确定的实数 ( , ) 与之对应,且具有 如下性质: 1) 对称性: ( , ) ( , )
R n 里,对于任意向量 在
( x1, x2 ,..., xn ), ( y1 , y 2 ,..., y n )
规定 , x1 y1 x2 y 2 ... xn y n R n 也作成一个欧氏空间. 不难验证,
2 欧几里德空间的基本性质
定义
令 x [ x, x]
故a(aT a ) aT (aT a )(a aT ), AT A E [4 /(aT a )]a aT [4 /(aT a )]a aT E ,
故A是正交矩阵 .
特别当aT a 1时, A E 2a aT 是正交矩阵.
二、将线性无关向量组化为正交单 位向量组
将线性无关向量组化为正交单位向量组，可 以先正交化，再单位化；也可同时进行正交化与 单位化． 1 1 1 1 0 0 例2 已知向量 1 , 2 , 3 是线性 0 1 0 0 0 1 无关向量组, 求与之等价的正交单位 向量组.
则 i) xi ( , i ),
n
( , i ) i
i 1
n
ii)
( , ) xi yi
i 1
定理
n 维欧氏空间中任一个正交向量
组都能扩充成一组标准正交基.
定理
对于 n 维欧氏空间中任一组基 1 , 2 ,, n , 都可以找到一组标准正交基 1 ,2 ,,n， 使得 i L(1 , 2 ,, i ), i 1,2,, n ,即 L(1 ,2 ,,i ) L(1 , 2 ,, i ), i 1,2,, n
我们 设有n维向量
y1 x1 y2 x2 x , y , y xn n 令[ x , y ] x 1 y 1 x 2 y 2 x n y n , [ x , y ]称为向量 x与y的内积.
向量的内积满足施瓦茨 不等式 [ x , y ] [ x , x ][ y , y ],
2
从而有
[ x, y] 1, (当 x y 0时). x y
定义 当 x 0, y 0时,
[ x, y] arccos x y 称为n维向量x与y的夹角.
当[ x , y ] 0时, 称向量x与y正交. 若x 0, 则x与任何向量都正交 .
k 1,2,, n
i i , i 1,2,, n | i |
例 在欧氏空间
R 3 中对基 1 (1,1,1), 2 (0,1,2), 3 (2,0,3)
施行正交化方法得出 R 3 的一个标准正交基.
解:
第一步，取
1 1 1 1 1 , , | 1 | 3 3 3
再令
于是 1 , 2 , 3 就是 R 3 的一个规范正交基。
3 1 2 3 , , | 3 | 6 6
1 6
第二节 正交变换
定义
如果n阶矩阵A满足 A A E
T
(即 A 1 AT ),
那么称A为正交矩阵.
方阵 A 为正交矩阵的充分必要条件是 A的行 （列）向量都是单位向量，且两两正交．
一、如何证明所给矩阵为正交矩阵
方法1 证明矩阵的各列 或行)元素满足正 ( 交条件
n n
aki akj ij (或 aik a jk ij ), i , j 1,2,, n; k 1 k 1
方法2 根据正交阵的定义 先求出 AT , 然后 , 验证A AT E .
第三步，取
3 , 1 3 , 2 3 3 1 2 1, 1 2 , 2
3 3 , 1 1 3 , 2 5 1 (2,0,3) , 3 3 5 5 5 , , 3 6 6 1 3 , 1 1 1 1 1 , , 3 2 2 2 2
n 维欧氏空间中正交组中向量的个数 n
定义
设 V 为n 维欧氏空间，若基 1, 2 ,, n 是正交组，则称之为V 的一个正交基。 而由标准正交组作成的基称为标准正 交基。
注意
Rnn 的标准正交基是存在的但不是唯一的。 R
标准正交基的的充分 必要条件是 ( i , j ) ij 。即
1 , 2 ,, n 的度量矩阵 A ((i , j ))nn E
n维欧氏空间V 的标准正交基是存在的。
2 设1 , 2 ,, n 为V 的一个正标准正交基，而 x11 x2 2 xn n
y11 y2 2 yn n
[ E ( 2 / aT a ) a aT ] [ E ( 2 / aT a ) a aT ]
E [2 / (a a )] a a [2 / (a a )] a aT
T T T
[4 / (a a ) ]a (aT a ) aT .
T 2
a 0, aT a为一非零数,
第二步，先取
2 , 1 2 2 1 2 2 , 1 1 1, 1
1 1 1 (0,1,2) 3 , , (1,0,1) 3 3 3
然后令
2 1 1 2 ,0, | 2 | 2 2
正交矩阵A的n个列(行 )向量构成向量空间R n 的一个规范正交基 .
定义 若 P 为正交矩阵，则线性变换 y Px称为 正交变换． 正交变换的特性在于保持线段的长度不变．
设y Px为正交变换, 则有 y y y
T T T x P px T x x x.
V2空间的正交变换 设σ是 V2的一个正交变换，σ关于 V的一个规范正 2 交基 1 , 的矩阵是 2 a b U c d 那么U 是一个正交矩阵. 于是
因为当i≠j 时 i , j 0 ，所以
0 i ,0 i , a j j
j 1 n
a j i , j ai i , i
j 1
n
但 i , i 0，所以 ai
1,2,, n, 即
1, 2 ,, n 线性无关.
存在一个角ψ使
b = cosψ，d = sinψ
将a, b, c, d代入（4）的第三个等式得 Cosφcosψ + sinφsinψ = 0 或 cos(φ+ψ) = 0
最后等式表明，φ －ψ是 的一个奇数倍. 由此 2
得
cos sin , sin cos
所以
cos sin U sin cos
3 标准正交基底
定义 欧氏空间 V 的一组非零向量，如果它们两两 正交(内积等于零)，就称之为一个正交组。 全由单位向量构成的正交组称为标准正交组。
约定：单独一个非零向量也叫一个正交组。
例
1 在 R3中， (1,0,0), 2 (0,1,0),3 (0,0,1) 与
1 (0,1, 0),2 (
例1 设a是n维列向量, E为n阶单位矩阵, 证明 A E [2 /(a T a )]a a T 为正交矩阵.
证明 先验证 AT A, 然后根据正交矩阵的定 义验
证A AT E . T T T T A [ E ( 2 / a a ) a a ] E ( 2 / aT a )a aT A, AT A AA