欧式空间中的线性变换
欧氏空间中利用内积关系研究线性变换
第１７卷第１期重庆职业技术学院学报Ｖｏｌ．１７Ｎｏ．１２００８年１月ＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｈｏｎｇｑｉｎｇＶｏｃａｔｉｏｎａｌ＆ＴｅｃｈｎｉｃａｌＩｎｓｔｉｔｕｔｅＪａｎ．２００８定理１设Ａ和Ｂ为欧氏空间Ｖ的两个变换，Ｌ为Ｖ的一个线性变换，如果对Ｖ中的任意向量α、β都有（Ａα，β）＝（Ｌα，Ｂβ），则（１）Ａ为Ｖ中的线性变换；（２）若Ｌ是Ｖ的可逆线性变换，则Ｂ是Ｖ的线性变换．证明（１）Ａα，β，γ∈Ｖ；Ａａ，ｂ∈Ｒ都有（Ａ（ａα＋ｂβ），γ）＝（Ｌ（ａα＋ｂβ），Ｂγ）＝（ａＬα＋ｂＬβ，Ｂγ）＝ａ（Ｌα，Ｂγ）＋ｂ（Ｌβ，Ｂγ）＝ａ（Ａα，γ）＋ｂ（Ａβ，γ）＝（ａＡα＋ｂＡβ，γ）（Ａ（ａα＋ｂβ）－ａＡα－ｂＡβ，γ）＝０，取γ＝Ａ（ａα＋ｂβ）－ａＡα－ｂＡβ代入上式，知Ａ（ａα＋ｂβ）＝ａＡα＋ｂＡβＡ为Ｖ中的线性变换．（２）当Ｌ为恒等变换时，（Ｌα，Ｂ（ｂβ＋ｃγ））＝（Ａα，ｂβ＋ｃγ）＝ｂ（Ａα，β）＋ｃ（Ａα，γ）＝ｂ（Ｌα，Ｂβ）＋ｃ（Ｌα，Ｂγ）＝（Ｌα，ｂＢβ＋ｃＢγ）（Ｌα，Ｂ（ｂβ＋ｃγ）－ｂＢβ－ｃＢγ）＝０，令Ｌα＝Ｂ（ｂβ＋ｃγ）－ｂＢβ－ｃＢγ，即α＝Ｌ－１（Ｂ（ｂβ＋ｃγ）－ｂＢβ－ｃＢγ），Ｂ（ｂβ＋ｃγ）－ｂＢβ－ｃＢγ＝０Ｂ是Ｖ的线性变换．定理２设Ａ和Ｂ为欧氏空间Ｖ的两个变换，Ｌ为Ｖ的一个线性变换，如果对Ｖ中的任意向量α、β都有（α，Ａβ）＝（Ｂα，Ｌβ）则１）Ａ为Ｖ中的线性变换；（２）若Ｌ是Ｖ的可逆线性变换，则Ｂ是Ｖ的线性变换．证明（１）Ａα，β，γ∈Ｖ；Ａａ，ｂ∈Ｒ都有（α，Ａ（ｂβ＋ｃγ））＝（Ｂα，Ｌ（ｂβ＋ｃγ））＝（Ｂα，ｂＬβ＋ｃＬγ）＝ｂ（Ｂα，Ｌβ）＋ｃ（Ｂα，Ｌγ）＝ｂ（α，Ａβ）＋ｃ（α，Ａγ）＝（α，ｂＡβ＋ｃＡγ）（α，Ａ（ｂβ＋ｃγ）－ｂＡβ－ｃＡγ）＝０，取α＝Ａ（ｂβ＋ｃγ）－ｂＡβ－ｃＡγ代入上式，知Ａ（ｂβ＋ｃγ）＝ｂＡβ＋ｃＡγＡ为Ｖ中的线性变换．（２）当Ｌ为恒等变换时，（Ｂ（ａα＋ｂβ），Ｌγ）＝（ａα＋ｂβ，Ａγ）＝ａ（α，Ａγ）＋ｂ（β，Ａγ）＝ａ（Ｂα，Ｌγ）＋ｂ（Ｂβ，Ｌγ）（Ｂ（ａα＋ｂβ）－ａＢα－ｂＢβ，Ｌγ）＝０令Ｌγ＝Ｂ（ａα＋ｂβ）－ａＢα－ｂＢβ，即γ＝Ｌ－１（Ｂ（ａα＋ｂβ）－ａＢα－ｂＢβ），Ｂ（ａα＋ｂβ）－ａＢα－ｂＢβ＝０Ｂ是Ｖ的线性变换．定理３设Ａ、Ｂ、Ｃ为欧氏空间Ｖ的三个变换，Ｌ是Ｖ的线性变换，如果对Ｖ中的任意向量α、β都有（Ａα，Ａβ）＝（Ｌα，Ｂβ）＋（Ｌα，Ｃβ）则１）Ａ为Ｖ中的线性变换；（２）若Ｌ是Ｖ的可逆线性变换，则Ｂ是线性变换的充分与必要条件为Ｃ是线性变换．证明（１）Ａα，β∈Ｖ；Ａａ，ｂ∈Ｒ都有（Ａ（ａα＋ｂβ）－ａＡα－ｂＡβ，Ａ（ａα＋ｂβ）－ａＡα－ｂＡβ）＝（Ａ（ａα＋ｂβ），Ａ（ａα＋ｂβ））－ａ（Ａ（ａα＋ｂβ），Ａα）－ｂ（Ａ（ａα＋ｂβ），Ａβ）－ａ（Ａα，Ａ（ａα＋ｂβ））＋ａ２（Ａα，Ａα）＋ａｂ（Ａα，Ａβ）－ｂ（Ａβ，Ａ（ａα＋ｂβ））＋ａｂ（Ａβ，Ａα）＋ｂ２（Ａβ，Ａβ）＝（Ｌ（ａα＋ｂβ），Ｂ（ａα＋ｂβ））＋（Ｌ（ａα＋ｂβ），Ｃ（ａα＋ｂβ））－ａ（Ｌ（ａα＋ｂβ），Ｂα）－ａ（Ｌ（ａα＋ｂβ），Ｃα）－ｂ（Ｌ（ａα＋ｂβ），Ｂβ）－ｂ（Ｌ（ａα＋ｂβ），Ｃβ）－ａ（Ｌα，Ｂ（ａα＋ｂβ））－ａ（Ｌα，Ｃ（ａα＋ｂβ））＋ａ２（Ｌα，Ｂα）＋ａ２（Ｌα，Ｃα）＋ａｂ（Ｌα，Ｂβ）＋ａｂ（Ｌα，Ｃβ）－ｂ（Ｌβ，Ｂ（ａα＋ｂβ））－ｂ（Ｌβ，Ｃ（ａα＋ｂβ））＋ａｂ（Ｌβ，Ｂα）＋ａｂ（Ｌβ，Ｃα）＋ｂ２（Ｌβ，Ｂβ）＋ｂ２（Ｌβ，Ｃβ）＝ａ（Ｌα，Ｂ（ａα＋ｂβ））＋ｂ（Ｌβ，Ｂ（ａα＋ｂβ））＋ａ（Ｌα，Ｃ（ａα＋ｂβ））＋ｂ（Ｌβ，Ｃ（ａα＋ｂβ））－ａ２（Ｌα，Ｂα）－ａｂ（Ｌβ，Ｂα）－ａ２（Ｌα，Ｃα）－ａｂ（Ｌβ，Ｃα）－ａｂ（Ｌα，Ｂβ）－ｂ２（Ｌβ，Ｂβ）－ａｂ（Ｌα，Ｃβ）－ｂ２（Ｌβ，Ｃβ）－ａ（Ｌα，Ｂ（ａα＋ｂβ））－ａ（Ｌα，Ｃ（ａα＋ｂβ））＋ａ２（Ｌα，Ｂα）＋ａ２（Ｌα，Ｃα）＋ａｂ（Ｌα，Ｂβ）＋ａｂ（Ｌα，Ｃβ）－ｂ（Ｌβ，Ｂ（ａα＋ｂβ））－ｂ（Ｌβ，Ｃ（ａα＋ｂβ））＋ａｂ（Ｌβ，Ｂα）＋ａｂ（Ｌβ，Ｃα）＋ｂ２（Ｌβ，Ｂβ）＋ｂ２（Ｌβ，Ｃβ）＝０Ａ（ａα＋ｂβ）－ａＡα－ｂＡβ＝０Ａ为Ｖ中的线性变换。
高等代数 第8章线性变换 8.6 欧式空间的正交变换和对称变换
b = cosψ，d = sinψ
将a, b, c, d代入（4）的第三个等式得 Cosφcosψ + sinφsinψ = 0 或 cos(φ+ψ) = 0
最后等式表明，φ －ψ是π/ 2的一个奇数倍. 由此 得
cos sin , sin cos
所以
cos sin U sin cos
2 ( x1, x2 , x3 ) ( x1 x3 , x2 2 x3 , x1 2 x2 x3 );
3 ( x1, x2 , x3 ) ( x2 , x1, x3 )
对称变换和对称矩阵之间的关系
定理8.4.2 设σ是n维欧氏空间V的一个对称变换， 如果σ关于一个标准正交基的矩阵是对称矩阵，那 么σ是一个对称变换. 证
1 , 2 ,, n
正交变换的定义
定义1 欧氏空间V的一个线性变换σ叫做一个 正交变换，如果对于任意 V 都有 | ( ) || |
例1 在 V2 里,把每一向量旋转一个角的 线性变换是 V2 的一个正交变换. 例2 令H是空间 V3 里过原点的一个平面.对于 每一向量 V3 ，令对于H的镜面反射 与它对应. : 是 V3 的一个正交变换.
1 0 0 0 1 0 0 0 1
以上两个矩阵都是正交矩阵.
V2 .V3 的正交变换的类型
设σ是 V2的一个正交变换，σ关于 V的一个规范正 2 交基 1 , 的矩阵是 2 a b U c d 那么U 是一个正交矩阵. 于是
y, , , 的矩 1 设σ关于V的一个规范正交基 2 n
( ),
xi ( i ),
欧式空间
欧氏空间(Euler space )一、 内积与欧氏空间1.设V 是实数域R 上的线性空间,在V 上定义一个二元实函数,称为内积,记为),(βα,它具有以下性质: )3(,)2(),,(),)(1( αββα= 这样的线性空间V 称为欧几里的空间,简称欧氏空间.2.设V 是数域P 上的线性空间,如果V 中的任意两个向量βα,都按某一法则对应P 内唯一确定的数,记为),(βαf ,且),(),(),(,,,,)1(221122112121βαβαβααβααk f k k k f V P k k +=+∈∈∀有;),(),(),(,,,,)2(221122112121βαβαββαββαl f l l l f V P l l +=+∈∈∀有 则称),(βαf 是V 上的一个双线性函数.3.内积是双线性函数.4.设V 是n 维欧氏空间,n e e e ,,,21 为V 的一组基,V ∈βα,,若n n e x e x e x +++= 2211α; n n e y e y e y +++= 2211β则j i n j ni j i j i n j n i j i y x a y x e e ∑∑∑∑====∆=1111),(),(βα,5.称 )),(()(j i ij e e a A ==为基n e e e ,,,21 的度量矩阵.6. 设n e e e ,,,21 是n 维欧氏空间V 的一组基,,A 是基n e e e ,,,21 下的度量矩阵,则任意V ∈βα,,有AY X '=),(βα.7.度量矩阵必为正定矩阵,且不同基下的度量矩阵是合同的.二、 长度与夹角1。
欧氏空间V 中向量长度 ),(||ααα=；单位化：当||0||0αααα=≠时， 2．欧氏空间中的重要不等式：① Cauchy-Буняковский不等式：对任意向量V ∈βα,有线性相关时等式成立。
，当且仅当βαβαβα|,||||),(|≤。
欧式空间正交变换的分类
欧式空间正交变换的分类欧氏空间正交变换的分类在多维空间里保持长度不变的正交变换无疑是重要的，但这种变换在多维空间下的可操作性我们还并不清楚，下面，我们从课本出发，把二、三维空间下的正交变换推广到五维空间定义：欧式空间v的一个线性变换σ叫做一个正交变换，如果对于任一ξ∈v都存有∣σ（ξ）∣=∣ξ∣正交变换的基本性质：欧式空间v的一个线性变换σ是正交变换的充要条件是：对于v任意向量ξ，η，=。
设v就是一个n佩欧式空间，σ就是v的一个线性变换。
如果σ就是v正交变换，那么σ把v的任一一个规范拓扑基仍变为的一个规范拓扑基为。
反过来，如果σ把v的某一规范拓扑基为仍旧变为的一个规范拓扑基为，那么σ就是v的一个正交变换。
n维欧式空间v的一个正交变换σ关于v的任意规范的矩阵是一个正交矩阵。
反过来，如果v的一个线性变换关于某一个规范正交基的矩阵是单位阵，那么该线性变换σ是一个正交变换。
将v2的一个向量转动一个角ϕ的正交变换关于v2的任一规范拓扑基的矩阵就是⎛cosϕ-sinϕ⎛sinϕcosϕ⎛⎛⎛⎛在平面h内取两个正交的单位向量γ1，γ2，在取一个垂直于h的单位向量γ3，那么{γ1,γ2,γ3}是v3的一个规范正交基。
关于这个基的矩阵是010⎛。
以上两00-1⎛⎛⎛个都是正交矩阵。
设立σ就是v2的一个正交变换。
σ关于v2的一个规范拓扑基u=γ2}的矩阵是⎛cb⎛⎛，那么就是一个正交矩阵。
于是⎛d⎛a2+b2=1,b2+d2=1,ab+cd=0(2)存有第一个等式，存有一个角α并使a=cosα,c=sinα.由于cosα=cos(±α)，±sinα=sin(±α)因此可以而令a=cosϕ,c=sinϕ这里ϕ=α或-α同理，由(2)的第二个等式，存在一个角ψ使b=cosψ,d=sinψ.将a,b,c,d代入(2)的第三个等式得cosϕcosψ+sinϕsinψ=0,或cos(ϕ-ψ)=0.最后等式表明，ϕ-ψ是的一个基数倍。
论文写作 论线性空间与欧式空间的对比
目录1 绪论 (3)1.1 研究目的与研究意义 (3)1.2 研究现状 (3)1.3 研究内容 (3)2 欧式空间简介 (4)2.1 提出背景 (4)2.2 定义与基本性质 (5)2.3 度量矩阵 (8)2.4 标准正交基 (9)2.5 同构 (12)2.6 正交变换 (16)2.7对称变换 (19)3 线性空间简介 (21)3.1 线性空间的概念 (22)3.2 线性变换的定义 (22)3.3 线性变换的性质和运算 (23)3.4 线性变换的矩阵 (24)4 线性空间与欧式空间的对比 (28)4.1 基础域的对比讨论 (28)4.2 运算的对比讨论 (29)4.3 基的对比讨论 (29)4.4 向量坐标的对比讨论 (29)4.5 线性变换的对比讨论 (29)4.6同构的对比讨论 (30)参考文献 (31)致谢 (32)论线性空间与欧式空间的对比摘要线性空间与欧式空间是《高等代数》的两部分重要内容，两者之间既有区别又有联系，简要描述他们的定义、概念、特征，并从它们的基础域、运算、基、向量的坐标、线性变换、同构几个方面进行对比讨论。
【关键词】欧式空间线性空间对比On the comparison of linear space and Euclidean spaceAbstractLinear space and Euclidean space is "Higher Algebra" is the two important parts, they are different and contact, a brief description of the definition, concept and characteristics of them, and from their basic domains, operation, matrix, vector coordinate, linear transformation of several aspects of the discussion than.【Key words】Euclidean space linear space contrast1 绪论1.1 研究目的与研究意义线性空间与欧式空间是《高等代数》中两部分重要内容，两者既有区别又有联系。
欧式空间
欧氏空间(Euler space ) 一、 内积与欧氏空间1.设V 是实数域R 上的线性空间,在V 上定义一个二元实函数,称为内积,记为),(βα,它具有以下性质: )3(,)2(),,(),)(1( αββα= 这样的线性空间V 称为欧几里的空间,简称欧氏空间.2.设V 是数域P 上的线性空间,如果V 中的任意两个向量βα,都按某一法则对应P 内唯一确定的数,记为),(βαf ,且),(),(),(,,,,)1(221122112121βαβαβααβααk f k k k f V P k k +=+∈∈∀有;),(),(),(,,,,)2(221122112121βαβαββαββαl f l l l f V P l l +=+∈∈∀有则称),(βαf 是V 上的一个双线性函数. 3.内积是双线性函数.4.设V 是n 维欧氏空间,n e e e ,,,21 为V 的一组基,V ∈βα,,若n n e x e x e x +++= 2211α; n n e y e y e y +++= 2211β则j i n j ni j i j i n j n i j i y x a y x e e ∑∑∑∑====∆=1111),(),(βα,5.称 )),(()(j i ije e aA ==为基n e e e ,,,21 的度量矩阵.6. 设n e e e ,,,21 是n 维欧氏空间V 的一组基,,A 是基n e e e ,,,21 下的度量矩阵,则任意V ∈βα,,有AYX '=),(βα.7.度量矩阵必为正定矩阵,且不同基下的度量矩阵是合同的. 二、 长度与夹角 1。
欧氏空间V 中向量长度 ),(||ααα=；单位化：当||0||0αααα=≠时，2．欧氏空间中的重要不等式：① Cauchy-Буняковский不等式：对任意向量V ∈βα,有线性相关时等式成立。
，当且仅当βαβαβα|,||||),(|≤。
线性空间和欧式空间
线性空间和欧式空间第六章线性空间和欧式空间§1线性空间及其同构一线性空间的定义设V是一个非空集合，K是一个数域，在集合V的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法；这就是说，给出了一个法则，对于V中任意两个元素和，在V中都有唯一的一个元素与他们对应，成为与的和，记为在数域K与集合V的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法，即对于数域K中任一数k与V中任一元素，在V中都有唯一的一个元素与他们对应，称为k与的数量乘积，记为k，如果加法与数量乘法满足下述规则，那么V称为数域K上的线性空间。
加法满足下面四条规则：1）；交换律2）()()；结合律3）在V中有一个元素0，对于V中任一元素都有0（具有这个性质的元素0称为V的零元素）；存在零元4）对于V中每一个元素，都有V中的元素，使得0（称为的负元素）.存在负元数量乘法满足下面两条规则：5）1；存在1元6）k(l)(kl).数的结合律数量乘法与加法满足下面两条规则：7）(kl)kl；数的分配律8）k()kk.元的分配律在以上规则中，k,l表示数域中的任意数；,,等表示集合V中任意元素。
例1．元素属于数域K的mn矩阵，按矩阵的加法和矩阵的与数的数量乘法，构成数域K上的一个线性空间，记为Mm,n(K)。
例2．全体实函数（连续实函数），按函数的加法和数与函数的数量乘法，构成一个实数域上的线性空间。
例3．n维向量空间K是线性空间。
n1例4．向量空间的线性映射的集合HomK(K,K)是线性空间。
二．简单性质1．零元素是唯一的。
2．负元素唯一。
3．00，k00，(1)4．若k0，则k0或者0。
三.同构映射定义：设V,V是数域K上的线性空间.AHomK(V,V)是一个线性映射.如果A 是一一映射，则称A是线性空间的同构映射，简称同构。
线性空间V与V'称为同构的线性空间。
定理数域P上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是他们有相同的维数。
同构映射的逆映射以及两个同构映射的乘积还是同构映射。
线性代数习题集 第七章
第七章 欧几里得空间I. 单项选择题1. 欧式空间V 内的s 个非零向量12,,,s ααα，如果两两正交，则（ ）⑴线性相关 ⑵线性无关 ⑶互相可以线性表示 ⑷两两夹角为零2. 给定两个向量1123a α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭，23241α-⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，且内积12,1αα=-，则a 为（ ） ⑴2- ⑵34- ⑶14- ⑷123. n 维欧式空间V 的线性变换σ是可逆的对称变换当且仅当σ关于V 的任意一组标准正交基的矩阵是（ ）⑴可逆变换 ⑵对称变换 ⑶正交变换 ⑷可逆的对称变换 4. 正交变换在标准正交基下的矩阵是（ ）⑴初等矩阵 ⑵正定矩阵 ⑶正交矩阵 ⑷实对称矩阵 5. 设A 为n 阶对称矩阵，若1A -存在，则1A -是（ ）⑴正交矩阵 ⑵正定矩阵 ⑶对称矩阵 ⑷反对称矩阵 6. 下列有关正交变换的命题中，正确的是（ ） ⑴保持任意向量长度不变的线性变换是正交变换⑵保持任意两个非零向量夹角不变的线性变换是正交变换 ⑶正交变换是对称变换⑷正交变换在任意一组基下的矩阵是正交矩阵7. 在欧式空间V 中，两组标准正交基间的过渡矩阵是（ ）⑴正定矩阵 ⑵对称矩阵 ⑶正交矩阵 ⑷转置矩阵 8. 实上三角矩阵为正交矩阵时，必为对角矩阵，其对角线上的元素为（ ） ⑴1 ⑵-1 ⑶0 ⑷±1 9. 欧式空间中线性变换σ是正交变换的充要条件是（ ）⑴σ为对称变换 ⑵σ保持向量的长度不变 ⑶σ保持向量间的夹角不变 ⑷保持向量间的正交关系不变10. n 阶实矩阵T 是正交矩阵当且仅当T 的行向量组是（ ）⑴正交组 ⑵标准正交组 ⑶线性无关组 ⑷单位向量组 11. 正交矩阵的实特征值只能是（ ）⑴正实数 ⑵负实数 ⑶1或-1 ⑷零12. 矩阵11211211213121-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭是（ ） ⑴正交矩阵 ⑵非正交矩阵 ⑶正定矩阵 ⑷实反对称矩阵13. 设1111A ⎛⎫=⎪⎝⎭，P 为二阶正交阵，且'0002P AP ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则P =（ ）⑴12121212⎛⎫⎪-⎝⎭⑵⎛ -⎝⑶⎛-⎪⎝⎭ ⑷12121212-⎛⎫⎪⎝⎭14. 设()12,a a α=，()12,b b β=为二维实空间2R 中任意两个向量，2R 对以下规定的哪个内积作成欧式空间（ ） ⑴1221,a b a b αβ=+ ⑵1122,a b a b αβ=-⑶1122,1a b a b αβ=++ ⑷()()121122,2a a b a a b αβ=+++II. 填空题 1. 设12,,,s ααα是欧式空间V 中的s 个向量，如果12,,,s ααα两两正交，则它们______.2. 欧式空间V 内任意两个向量,αβ有,αβαβ≤，等号成立的充要条件是_________.3. 欧式空间中，正交向量组必__________.4. 在欧式空间V 中，设(),,.L V R V σλς∈∈∈如果(),σςλς=且ς________，则称λ为________，ς为________.5.如果向量组()12,,,2s s ααα≥中任一向量都不能被其余向量线性表示，则此向量组________.6. 如果对称矩阵A 为非奇异矩阵，则1A -也是________.7. 正交变换σ保持向量的内积不变，因而它保持向量的________和________不变. 8. 设实数域R 上的一个n 阶方阵T 满足'',T T TT E ==即________，则称T 为________. 9. 设σ为n 维欧式空间V 的一个线性变换，若σ对一组基12,,,n ααα中的向量有()()1111,,,1,2,,i n ασααα==，则σ________正交变换.10. 设()A ij a =是数域K 上的一个n 阶方阵，如果________，则称A 是一个对称矩阵，如果________，则称A 是一个反对称矩阵.11. 正交矩阵A 的行列式A =________或________.12. 设σ是欧式空间V 内的一个对称变换，则σ的对应于不同特征值的特征向量________.13. 欧式空间中的正交变换之积________正交变换. 14. 对称变换在标准正交基下的矩阵是________矩阵.15. 设A 是一个n 阶实对称矩阵，则存在n 阶______，使1'T AT T AT D -==为对角形矩阵. 16. 设V 是一个n 维欧式空间，令()0n 表示V 中全体正交变换所成的集合，则()0n 具有性质⑴_______________；⑵_______________；⑶_______________.17. 设σ是欧式空间V 内的一个线性变换，若对V 中任意向量,αβ都有()(),,ασβαβ=，则称σ为____________.18. 设σ是n 维欧式空间V 内的一个线性变换，如果对任意,V αβ∈，有()(),,αβασβ=，则称σ为一个____________.19. 欧式空间V 中的线性变换σ称为反对称的，如果对V 中任意向量,αβ，都有_________.20. 设(1α=，(2α=-，(3α=-，则123,,ααα是3R 的一个标准正交基，因为____________，____________.III. 判断题1. 设,αβ是欧式空间V 中的任意两个向量，则,αβαβ≤.2. 设()12,a a α=，()12,b b β=为二维实空间2R 中任意两个向量，规定内积：()()1212,a a b b αβ=++，则,0β≥，当且仅当0α=时，,0αα=.3. 令2R 为实数域上全体二维向量所组成的线性空间，()12,a a α=，()12,b b β=为其中任意两个向量，规定：()12122,a a b a b αβ=++，则,,αββα=.4. 实对称矩阵的特征值必为实数.5. 在某一组基下的矩阵是实对称矩阵的线性变换是对称矩阵.6. 对称变换的特征值都是实数.7. 对称变换在任意一组基下的矩阵都是实对称矩阵.8. 保持任意两个非零向量夹角不变的线性变换一定是正交变换.9. 设()12,a a α=，()12,b b β=为二维实空间2R 中任意两个向量，2R 对以下所规定的内积作成欧式空间，1221,a b a b αβ=+.10. 标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵.11， 在4R 中，向量()1,2,2,3α=，()3,1,5,1β=的夹角为4π.12. 正交变换在标准正交基下的矩阵是正交矩阵.IV. 简答（或计算）题1. 求与()1,2,1,1α=-，()2,3,1,1β=，()1,1,2,2γ=---都是正交的向量.2. 在欧式空间4R 中，求()1,2,2,3α=，()3,1,5,1β=的夹角.3. 在欧式空间4R 中，求()2,1,3,2α=，()1,2,2,1β=-的夹角.4. 设()()()1231,0,2,0,0,2,0,3,2,6,4,9ααα===，试将()123,,L ααα的基扩充成欧式空间4R 的一组基.5. 求线性方程组123452111311101032112x x x x x ⎛⎫ ⎪--⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭的解空间的标准正交基.6. 设220212020A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，求正交矩阵T ，使'T AT 成对角形.7. 求下列矩阵123213336A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的特征值和特征向量，并将特征向量标准正交化.8. 用正交变换化二次型222123121323222f x x x x x x x x x =+++++为标准形.9. 用正交变换化二次型123444f x x x x =+为标准形.10. 设0111101111011110A -⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭，求正交矩阵U ，使'U AU 成对角形. 11. 设12345,,,,εεεεε是五维欧式空间V 的一组标准正交基，()1123,,V L ααα=，其中11521243123,,2αεεαεεεαεεε=+=-+=++，求1V 的一组标准正交基.12. 在[]4R x中定义内积为：()()11,f g f x g x dx -=⎰，求[]4R x 的一组标准正交基（对基231,,,x x x 正交单位化）13. 求一个正交变换，把二次型()222123123121323,,44448f x x x x x x x x x x x x =++-+-化为标准形.14. 已知二次型()22212312323,,2332(0)f x x x x x x ax x a =+++>，通过正交变换化成标准形：22212325f y y y =++，求参数a 及所用的正交变换矩阵.*15. 设n 阶方阵A 有n 个特征值0,1,2,n 1-，且方阵B 与A 相似. 求B E +，这里E 为n 阶单位矩阵.*16. 设二次型222123122313222f x x x ax x bx x x x =+++++，经正交变换X UY =化成22232f y y =+，其中()'123,,X x x x =和()'123,,Y y y y =是三维列向量，U 是三阶正交矩阵.试求,a b .*17. 欧式空间4R 中，若基()()()()12341,1,0,0,1,2,0,0,0,1,2,11,0,1,1αααα=-=-==的度量矩阵为：23013601001391197A -⎛⎫⎪--⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭. ⑴求基()()()()12341,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1εεεε====的度量矩阵； ⑵求向量γ，它与以下向量都正交，()()()1231,1,1,1,1,1,1,1,2,1,1,3ςςς=-=--=. *18. 在2R 中，已知基()()121,0,0,1αα==的度量矩阵1112A ⎛⎫=⎪⎝⎭. 求2R 的一个标准正交基，并验证该基的度量矩阵是1001E ⎛⎫=⎪⎝⎭. *19. 设12345,,,,εεεεε是五维欧式空间的一个标准正交基，()1123,,V L ααα=，其中11521243123,,2αεεαεεεαεεε=+=-+=++，求1V 的一个标准正交基.*20. 设M 是欧式空间3R 的二维子空间，取其基()()121,1,2,2,2,3αα==. 求M ⊥.*21. 设V 为四维欧式空间，1234,,,εεεε为V 的一个标准正交基，子空间()12,M L αα=，其中1122123,αεεαεεε=+=+-. 求M ⊥.*22. 设4R 中的子空间M 是齐次线性方程组123412412342303220390x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪+-=⎨⎪++-=⎩的解空间，试分别求M ，M ⊥的基. 并写出以M ⊥为解空间的齐次线性方程组.*23. 已知'100030007Q AQ ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中0Q ⎛⎫- =- ⎪⎝⎭，302032225A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭.求A 的特征值与特征向量.*24. 已知6,3,3是三阶实对称矩阵A 的三个特征值，()'11,1,1ς=是属于特征值6的一个特征向量.V. 证明题1. 证明：对欧式空间中任意向量,αβ，下列等式成立：222222αβαβαβ++-=+.2. 在欧式空间中，若向量α与β正交. 求证：220αβαβ+--=.3. 设123,,,n αααα是欧式空间V 的一组基. 证明：若1,0(1,2,,)i n βα==，则0β=.4. 设α与β为n 维欧式空间V 中两个不同的向量，且1αβ==. 证明：,1βα≠.5. 设设123,,,n αααα是欧式空间V 的一组基. 证明：如果V γ∈，使1,0(1,2,,)i n γα==，则0r =.6. 设V 为 n 欧式空间，12,V γγ∈，如果对V 中任意向量α均有12,,γαγα=，则12γγ=.7. 设β与123,,,n αααα都正交. 证明：β与123,,,n αααα的任意线性组合都正交.8. 设123,,,n αααα是欧式空间V 内的n 个非零向量且它们两两正交. 证明：123,,,n αααα线性无关.9. 设A 为实对称矩阵. 证明：0A =充要条件是20A =. 10.设12,,,mααα是欧式空间V内的一个向量组，令111212122212,,,,,,,,,m m m m m mααααααααααααααα⎛⎫⎪⎪∆= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 证明：当且仅当0∆≠时，12,,,m ααα线性无关.11. 设,στ是n 维欧式空间V 的两个线性变换. 证明：στ也是V 的正交变换. 12. 证明：实对称矩阵A 正定的充要条件是'A B B =，其中'B 为可逆矩阵. 13. 设,A B 都是正交矩阵，且A B =-. 证明：0A B +=. 14. 证明：对称的正交矩阵的特征值必为1+或1-.15. 设σ是欧式空间V 中对称变换. 证明：σ对应于不同特征值1,2λλ的特征向量12,ςς彼此正交.16. 设,A B 均为n 阶对称矩阵. 证明：AB 为对称矩阵的充要条件是AB BA =.17. 设A 为实对称矩阵，B 为反对称矩阵，且AB BA =，A B -是非奇异矩阵. 证明：()()1A B A B -+-是正交矩阵.18. 设A 为n 阶反对称矩阵，若A 为非奇异方阵. 证明：1A -也是反对称方阵.19. 设可逆矩阵A 的伴随矩阵A *为反对称矩阵. 证明：A 的转置矩阵'A 也是反对称矩阵. 20. 设,ατ均为欧式空间V 的两个对称变换. 证明：σττσ+也是V 的对称变换.21. 设α是n 维欧式空间V 中的一个非零向量. 证明：{},0M V ξξα=∈=是V 的子空间.22. 证明：第二类正交变换一定有特征值-1. 23. 设A 为正交矩阵. 证明：A *也是正交矩阵. 24. 证明：在欧式空间中，对任意向量,ξη均有22,1414ηξηξη=+--.25. 设12,,,n ααα是n 维欧式空间V 的一个基. 证明：12,,,n ααα是标准正交基的充要条件是对V 中任意1122n n x x x αααα=+++，1122n n y y y βααα=+++，1122,n n x y x y x y αβ=+++.*26. 设12,,,n εεε是n 维欧式空间的的一个基. 证明：12,,,n εεε是标准正交基的充要条件是任意向量α的坐标可由内积表出：1122,,,n n αεεαεεαεε=+++.*27. 设12,,,n εεε是n 维欧式空间V 的一个标准正交基，n 阶实矩阵()ij A a =是此基到基12,,n ηηη的过渡矩阵. 证明：12,,n ηηη是标准正交基的充要条件是A 为正交矩阵.*28. 证明：有限维欧式空间存在标准正交基. *29. 设12,,,m ααα是n 维欧式空间V 的一个标准正交基. 证明：对任意V ξ∈，以下不等式成立：2211,mi αξ=≤∑.*30. 证明：n 阶实对称矩阵A 是正定的，当且仅当存在n R 一个基，使A 为其度量矩阵. *31. 设,A B 是两个n 阶正交矩阵. 证明：1AB -的行向量构成欧式空间nR 的一个标准正交基.*32. 证明：两个有限维欧式空间同构的充要条件是它们的维数相同.*33. 证明：n 维欧式空间V 与'V 同构的充要条件是，存在双射f ：'V V →，并且对V 中任意向量,ξη，有,(),()f f ηξη=.*34. 设f 是欧式空间V 到'V 的一个同构映射. 证明：1f -是'V 到V 的同构映射.*35. 设()12,,,,1,2,,i i i in a a a i n α==是n 维欧式空间n R 的向量组. 证明：110,1,2,,;,0nnij ji j j i j a xi n αα=====∑∑的解空间同构.*36. 证明：实系数线性方程组1,1,2,,nij jj j a xb i n ===∑⑴有解的充要条件是向量()12,,,nn b b b R β=∈与齐次方程组10,1,2,,nij j j a x i n ===∑⑵的解空间正交.*37. 设A 是n 阶正定矩阵，E 是n 阶单位矩阵. 证明：A E +的行列式大于1.。