线性空间与欧几里得空间

线性空间与欧几里得空间
自测题
一、填空题
1、对欧几里得空间V 中的任意向量βα，，有()βαβα≤
，，而且等号成立当且仅当 。

2、设1W 与2W 是V 的两个线性子空间，如果1W +2W 中的每个向量α都可唯一的被表示成21ααα+=，2211W W ∈∈αα，，则称1W +1W 为这两个子空间的 。

3、两个同构的线性空间的维数 。

4、第二类正交变换的行列式的值等于 。

5、如果A 是正交矩阵。

若k 为实数，使kA 为正交矩阵，则k 等于 。

二、选择题
6、下列n R 的子集是n R 的子空间的为（ ）
A ：(){}n i Z a a a a a i n ...,3,2,1,.....,,,321=∈
B ：(){}0.....,,,21321=a a a a a a n
C ：(){}R a a a a n ∈211,,0,...,0, C ：{}
1..)...,,(2222121≤+++n n a a a a a a 7、全体正实数的集合+R 对于下面定义的加法与标量乘法：k
a a k a
b b a ==⊕ ,构成R 上的线性空间，则+R 的零元素为（ ）
A ：0 B: 1 C: 2 D: 3
8、若A 是正交矩阵，则下列矩阵中仍为正交矩阵的是（多重选择，其中k 是1±≠的整数）
A:kA B:k A C:交换A 的任两行所得的矩阵
D ：把A 的某行k 倍加到另一行所得的矩阵
9、设A 是欧几里得空间V 关于基n ααα，，，...21的度量矩阵，则A 满足以下哪个条件时，n ααα，，，...21是规范正交基？ （ ）
A: A 是正交矩阵 B ：A 为对称矩阵 C ：1-A 为正交矩阵 D ：A 为单位矩阵
10、以下哪个结论不是两个线性子空间1W 与2W 的和21W W +为直和的等价命题：（ ） A ：dim ()()()()221121dim dim dim dim W W W W W W >+>+且
B: 021=W W
C: ()2121dim dim dim W W W W +=+
D: 若m αα...,1，是1W 的一个基，n ββ...,1，是2W 的一个基，则m αα...,1，，n ββ...,1，线性无关。

三、判断题
11、欧几里得空间中任一基下的度量矩阵必为实对称矩阵 （ ）
12、正交变换保持向量间的夹角不变 （ ）
13、在3
R 中，对向量()()321321,,,,,b b b a a a ==βα规定()332211b a b a b a +-=βα，，则 3R 关于这一实函数成为欧几里得空间。

（ ）
14、当数域K 和非空集合V 固定时，只有惟一的一种方法定义线性空间。

（ ）
四、计算题
15、集合(){}0,,,432143211=-+-==
a a a a a a a a V α与(){}0,,,432143212=+++=a a a a a a a a V 是4R 的两个子空间，找出21V V 的一个基，并求21V V 的维数。

16、设U 与W 分别是4R 的由()()()()()()343,132,3,222,2,11,33,203,2,110,1,1321321-=-=-=-==-=，，，，，，，与，，，，，βββααα生成的子空间，求U+W 和U W 的基和维数。

17、在欧几里得空间中求以下各组向量的长度和夹角。

（1）()()2,1,011,1,1,3，，==βα （2）()()0,11,32,1,11-==，，，βα
18、求由欧几里得空间4
R 中的向量()()()78,2,33,51,112,2,1321-=-=-=，，，，，ααα所生成的子空间的规范正交基。

19、在标准欧几里得空间4R 中，求向量()2,53,3-=，β在由向量()3,21,21
--=，α， ()()1,32,22,32,132-=-=，，，αα生成的子空间上的正交投影*β。

20、设U 是n 维线性空间V 的非平凡子空间，证明：存在不止一个V 的子空间W ，使.W U V ⊕=
21、设()
()R M a A n ∈=ij 为正交矩阵，且1=A 。

证明：ij ij A a =，这里ij A 是ij a 的代数余子式。

22、设m m a a ββ,...,,,...11为欧几里得空间V 的两组向量。

证明如果
()(),,...,2,1,,,,m j i a a j i j i ==ββ，则子空间()m a a L V ,...,11=与()m L V ββ,...,12=同构。

23、设s V V V ,...,,21是欧几里得空间V 的子空间，s V V V W +++=...21.若s V V V ,...,,21两两正交，证明：s V V V W ⊕⊕⊕=...21。