线性空间典型题
第6章 线性空间(解答题)(65题)
1．什么是线性空间?答:设V 是一个非空集合,P 是一个数域,在V 中定义了一个加法运算,在P 和V 的元素之间定义了一个数量乘法运算.如果上述两种运算满足以下规则,那么就称V 为P 上的一个线性空间(或称向量空间).1).+=+αββα；2).++=++αβγαβγ（）（）； 3).V 中有一个元素0，V α∀∈都有+0=αα，0称为V 的零元素； 4).V α∀∈，存在V β∈，使得+=0αβ，β称为α的负元素； 5).1=αα； 6).()()k l kl αα=； 7).()k l k l ααα+=+； 8).(+)=+k k k αβαβ；其中α，β，γ表示V 中的任意元素；k ，l 表示P 中的任意数．2．非空集合Ｖ在定义了加法和数乘运算之后成为P 上的一个线性空间，V 能否再定义另外的加法和数乘运算成为P 上的另一个线性空间？ 答：有可能．例如，全体二元实数列构成的集合{(,)|,}V a b a b R =∈．1).定义(,)(,)(,),(,)(,)a b c d a c b d k a b ka kb ⊕=++=，则V 成为R 上的一个线性空间 2).定义2(1)(,)(,)(,),(,)(,)k k a b c d a c b d ac k a b ka kb a z+⊕=+++=+，则V 成为R 上的另一个线性空间.3．线性空间V 有哪些简单性质与结论？ 答：1）零元素是唯一的；2）α的负元素是唯一的；3）000k k αα=⇔==或；4）=αα--（）； 5）=k k k ααα-=--（）（）（）； 6）()k a b ka kb -=-；7）,V αβ∀∈，存在唯一的V γ∈，使得=αγβ+.证明：容易验证1）—3），4）因为+=0αα-（），所以α为（α-）的负元，即=αα--（）.5）()(()0,()()k k k k k k ααααα+-=+-=∴-=-.另一式子可类似证明.6）()(())()=()=k k k k k k k k αβαβαβαβαβ-=+-=+-+--. 7）(),+=αβαβγβααχβ+-=∴=-是方程的解.又若1γ也是+=αχβ的解，则1+=+αγαγ.两边左加α-，有1=γγ.所以方程+=αχβ在V 中有唯一解.4．判断一个非空集合M 不是线性空间有哪些基本方法？ 答：1）M 是至少含两个元的有限集；2）M 关于定义的某一运算不封闭； 3）M 不满足8条规则中的任一条.5．线性空间的例子.答：1）数域P 按照数的加法和乘法构成自身上的一个线性空间.特别的，实数域R 和复数域 C 按照数的加法和乘法都是自身上的线性空间.2）已知数域⊆P 数域P ，按照数的加法和乘法，P 构成P 上的线性空间.3）三维空间中与已知向量的全体再添加零向量，对于向量的加法与数乘运算构成一个 实线性空间.4）分量属于数域P 的全体n 元数组，对于n 元数组的加法与数乘构成P 上的一个线性 空间，记作nP .5）无穷实数列的全体：12={()|1,2}i I x x x i ∞∈=，，R ，，对于121211221212()()()=(),x x y y x y x y k x x kx x k R +=++∈，，，，，，，（，，），k ，构成一个实线性空间.6）n 元齐次线性方程组0x =A 的解向量的全体，对于n 维向量的加法和数乘构成P 上的线性空间（为nP 的子空间）.7）元素属于数域P 的m n ⨯矩阵的全体，对于矩阵的加法与数乘构成P 上的线性空间.8）数域P 上全体n 阶对称（反对称，上三角）矩阵对于矩阵的加法与数乘构成P 上的线性空间.9）设m n ⨯∈A P，则全体与A 可交换的矩阵的集合，对于矩阵的加法与数乘构成m n⨯P的一个线性空间.10）数域P 上全体满足条件trA=0（trA 表示A 的迹，即A 的主对角线元素之和）的n 阶矩阵的集合，对于矩阵的加法和数乘构成P 上的一个线性空间.11）数域P 上全体一元多项式的集合，对于多项式的加法和数与多项式的乘法构成P 上的线性空间，记作x P[].12）次数小于n 的一元多项式及零多项式的集合，对于多项式的加法和数与多项式的乘法构成P 上的线性空间，记作n x P[].13）集合W={()|()(1)0}n f x f x x f ∈=R[]且对于多项式的加法和数与多项式的乘法构成R 上的线性空间.14）数域P 上形如352113521n n a x a x a x a x ++++++的多项式的全体，对于多项式的加法和数与多项式的乘法构成P 上的线性空间.15）数域P 上多项式()g x 的倍式的全体：W={()|()|()}f x g x f x ，对于多项式的加法和数与多项式的乘法构成P 上的线性空间. 16）由0及数域P 上的m 元n 次多项式121211212(,)()m m m k k k m k k k m k k nf x x x a x xx k ++==∑，，为正整数的全体，对于多项式的加法及数与多项式的乘法构成P 上的线性空间，其中12mk k k a P ∈.17）对于在区间[,]a b 上的实函数的全体，对于函数的和及数与函数的积，构成R 上的线性空间.[,]a b 上的连续实函数全体为其子空间，记作[,]C a b .18）全体形如1122sin cos sin 2cos 2sin cos 2n n a a t b t a t b t a nt b nt +++++++的实函数，对于函数的和及数与函数的积，构成R 上的线性空间.6．下列集合关于指定运算均不构成线性空间：1）起点在原点，终点在不经过原点的直线上的空间向量的全体，按向量的加法与数乘运算；2）非齐次线性方程组AX=b(b ≠0)的解向量的全体，按向量的加法与数乘运算； 3）数域P 上次数不低于定数n 的多项式的全体并添上零多项式，按多项式的加法与数乘运算；4）有理数域定义运算：,;2k k βαβ∂∂⊕=+∂= 5）设P 为有理数域，对整数集定义运算：1,k βαβ∂⊕=+-∂=∂.证：1）集合不含零向量，所以不是线性空间.2）如果集合是空集，则不是线性空间. 如果集合非空，则由于不含零向量，所以也 不是线性空间.3）因两个次数不低于n 的多项式之和的次数可能低于n ，即关于多项式的加法不封闭，所以不是线性空间.4）因1(0)2∂∂=≠∂∂≠不满足线性空间定义中的规则5），所以不是自身上的线性空间.5）取3,1,k l ∂===则()3,k l +∂=而5k l ∂⊕∂=.故()k l +∂≠（k l ∂⊕∂），不满足线性空间定义中的规则7），所以集合不是线性空间.7.什么叫做向量的线性相关和线性无关？ 答:设V 是数域P 上的线性空间,且()1,,,1i a V i s s ∈=≥，如果存在一组不全为零的数()1,,i k P i s ∈=，使得()11220s s k a k a k a +++=， （1）那么称向量组1,,s a a 是线性相关的，否则，称它们是线性无关的.注 ○1一个向量不是线性相关,就一定是线性无关,两者必居其一且仅居其一. ○21,,s a a 线性无关 ⇔（1）式仅当10s k k ===成立.8.设1,,n αα线性相关,是否对任意一组不全为零的1,,n k k 都有110n n k k αα++=？答:不一定，比如0α=是线性相关的，它对一切非零数k 都有0k α=.而()()1,0,2,0βγ==就不可能对一切非零数12,k k 使得120k k βγ+=.9.什么叫线性表出？什么叫做两个向量等阶？ 答：设12,,,,m αααβ都是数域P 上的n 维向量，如果有P 中的m 个数1,,m k k ，使1122m m k k k βααα=+++，那么称β是12,,,m ααα的线性组合，或称β可以由12,,,m ααα线性表出（线性表示）.如果向量组12,,,r ααα中每个向量都可以由向量组12,,,s βββ线性表出，且12,,,s βββ中的每个向量都可以由12,,,r ααα线性表出，那么称向量组12,,,r ααα与向量组12,,,s βββ是等价的.10.向量组之间的等价是不是一种等价关系？ 答：是的.不难证明以下三条成立：1） 反身性：每一个向量组都与自身等价. 2） 对称性：如果12,,,r ααα与12,,,s βββ等价，那么12,,,s βββ也与12,,,r ααα等价.3） 传递性：如果12,,,r ααα与12,,,s βββ等价，而12,,,s βββ与12,,,t γγγ等价，那么12,,,r ααα与12,,,t γγγ等价.11.向量的线性相关性有哪些主要性质？ 答：容易证明的有：1） 零向量是线性相关的.含零向量的向量组也是线性相关的 2） 单个非零向量是线性无关的. 3） 设向量组()12,,,2m m ααα≥，则它们线性相关⇔至少存在一个向量，它可以由其余向量线性表出.4） 向量组()I 中如果有部分向量线性相关，则()I 一定线性相关. 5） 向量组()I 线性无关，则()I 的任意一个部分组必线性无关. 6） 向量组12,,,r ααα可以由向量组12,,,s βββ线性表出，则12,,,r ααα线性无关r s ⇔≤.7） 任意1n +个n 维向量必线性相关.8） 两个线性无关的等价向量组，必含有相同个数的向量. 12.(){}12,,,|.n n i P c c c c P =∈()1,,,1,2,,n i i in a a P i mα=∈=，则12,,,m ααα线性相关'0A x ⇔=有非零解，其中()()'1,,ij m m n A a x x x ⨯==.7.设()()1,1,,,,,1,2,,n i i ik i k in a a a a P i m α+=∈=，令()1,,i ik βαα=()1,2,,i m =则 1）若12,,,m ααα线性相关⇒12,,,m βββ线性相关；2）若12,,,m ααα线性无关⇒12,,,m βββ线性无关.证：1）若存在不全为零的数1,,m l l ，使110m m l a l a ++=，则当然有110m m l l ββ++=.2）用反证法.若12,,,m ααα线性相关，则由1）知12,,,m βββ也线性相关，矛盾.13.如果12,,,m ααα线性无关，但12,,,,m αααβ线性相关，那么β可由12,,,m ααα线性表出，且表示法唯一.证：由假设存在一组不全为零的数11,,m k k +使1110m m m k k k ααβ++++=.若10m k +=，则由110m m k k αα++=，可证10m k k ===.这与假设矛盾，故10m k +≠，于是11m m l a l a β=++，其中1/,1,2,,i i m l k k i m +=-=.即β可由12,,,m ααα线性表出. 若1111m m m m l a l a s a s a β=++=++，则()()1110m mm l s ls αα-++-=.由12,,,m ααα线性无关，得()1,2,,i i l s i m ==，即表示法是唯一的.14.什么叫做极大线性无关组？ 答：如果向量组的一个部分组满足 1） 此部分组线性无关；2） 原向量组每个向量都可由这个部分组线性表出，则称此部分组是原向量组的一个极大线性无关组.注：向量组与极大线性无关组是等价的.15.一个向量组的极大线性无关组是否唯一？答：一般不唯一.比如，()()()0,0,1,0,2,0αβγ===，则β是,,αβγ的极大线性无关组；γ也是,,αβγ的一个极大线性无关组.注：○1一个向量组有多个极大线性无关组时，这些极大线性无关组之间也互相等价.○2由5.可知两个极大线性无关组虽可不同，但它们所含向量的个数相等.16.什么叫做向量组的秩？ 答：向量组的一个极大线性无关组所含向量的个数，称为向量组的秩.只含零向量的向量组，规定它的秩为0.17.设V 是数域P 上的线性空间，1,,n αα，1,,s V ββ∈，且1,,n αα线性无关，()()11,,,,s n A ββαα=，其中(),i j i j n s A P αα⨯=∈，再设()1,,s A c c =，其中1,,s c c 为A 的n 维向量.若A k =秩，且1,,i ik c c 为()1,,s A c c =的一个极大线性无关组，则1）由（1）式知()12,,,,1,2,,i n i c i s βααα==. （2）○1先证1,,i ik ββ线性无关.设110i k ik l l ββ++=，那么110i k ik l l ββ=++()()112112,,,,,,n i k n ikl c l c αααααα=++()()1211,,,,,.n i k ik l c l c ααα= （3）因为12,,,n ααα线性无关，由（3）知11,,0i k ik l c l c = （4） 在nP 中，1,,i ik c c 线性无关，由（4）知10k l l ===.○2其次，再任取{}12,,,s ββββ∈，那么i c 可由1,,i ik c c 线性表出，即11i i k ik c m c m c =++，于是()12,,,i n i c βααα= ()()1211,,,n i k ik m c m c ααα=++()()112112,,,,,,n i k n ik m c m c αααααα=++11i k ik m m ββ=++.综合○1、○2，即知1,,i ik ββ为1,,s ββ的一个极大线性无关组.2）由1）即得{}1,,=s k A ββ=秩秩.注：这解决了求抽象线性空间V 的向量组的秩的问题.同时还把求极大线性无关组的问题转化为求nP 中一个向量组的极大线性无关组的问题（而这是已知的）. 18.设()4321642f x x x x x =++-+，()422234f x x x x =++-，()4323491622f x x x x x =+--+，()43473f x x x x =+-+，求()1f x ，()2f x ，()3f x ，()4f x 的极大线性无关组.解：把()i f x 都看成[]5P x 中元素，取[]5P x 中一组基2341,,,,x x x x ，那么()()234123461174041,,,1,,,,12901316124223f f f f x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭（1）令123461174041,,,,12901316124223C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪====- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭可求出1234,,,C C C C 的一个极大线性无关组为234,,C C C .于是（1）式中相应的()()()234,,f x f x f x 为()()()()1234,,,f x f x f x f x 的一个极大线性无关组.19.设1103301121,,,,24127142056A B C D F --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=====⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭为线性空间22R ⨯的一组基，那么()()111221221031213011,,,,,,,.21725421406A B C D F E E E E ⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪ ⎪⎝⎭而1031213011321725421406⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪ ⎪⎝⎭秩，所以向量组,,,,A B C D F 的秩等于3. 20.设1,,s αα的秩为r ，1,,r i i αα是1,,s αα中r 个向量，使得1,,s αα中每个向量都可被它们线性表出，则1,,ri iαα是1,,s αα的一个极大线性无关组.证：由假设可知1,,s αα可由1,,r i i αα线性表出，但1,,r i i αα可由1,,s αα线性表出是显然的，从而彼此等价.那么{}{}11,,=,,=r i i s r αααα秩秩.1,,r i i αα∴线性无关.21.如果向量组()I 可以由向量组()II 线性表出，那么()I 的秩不超过()II 的秩.证：当向量组()II 的秩为无穷时，结论显然成立.当()II m =秩时，由假设()I 的极大线性无关组也可由()II 的极大线性无关组线性表出，那么由5.之6）可证()()I II m ≤=秩秩. 注：由此可知等价的向量组具有相同的秩.22.设12,,,n n P ααα∈，n 维标准单位向量()()11,0,,0,,0,0,,1n εε==可被它们线性表出，则12,,,n ααα线性无关.证：1,,n αα显然可被1,,n εε线性表出，又1,,n εε可被1,,n αα线性表出，从而它们等价，于是由15.的注知()()11,,=,,=n n n ααεε秩秩.即知1,,n αα线性无关.注：○1这个命题的逆命题也是对的.○2在抽象的n 维线性空间V 中，此命题可改为：设1,,n ββ为V 的一组基，1,,r V αα∈且1,,n ββ可由1,,n αα线性表出，则1,,n αα也是V 的一组基.○3也可改述为：设1,,n αα是线性空间V 中的一组n 维向量，则1,,n αα线性无关⇔V 中任一n 维向量都可被它们线性表出.23.证明：向量组的任何一个线性无关组都可以扩充成一个极大线性无关组. 证：设n 维向量组()I 中一个线性无关组()12II :,,,s ααα，如果()I 中每个向量可经()II 线性表出，则()II 为()I 的一个极大无关组.否则至少有一个向量()I α∈不能由()II 线性表出，将添到()II 中成为向量组()III ，则()III 中向量是线性无关的.这样继续下去，经过有限步（不大于n ）后，向量组()II 即可扩充为()I α∈的一个极大无关组.24.设向量组12,,,m ααα线性无关，12,,,,,m αααβγ线性相关.证明：或者β与γ中至少有一个可由12,,,m ααα线性表出，或者12,,,,m αααβ与12,,,,m αααγ等价.证：因12,,,,,m αααβγ线性相关，所以存在不全为零的数12,,,,,m k k k b c 使110m m k k b c ααβγ++++=.显然，,b c 不全为零，否则与12,,,m ααα线性无关矛盾.当0,0b c ≠=时，β可由12,,,m ααα线性表出；当0,0b c ≠≠时，β可由12,,,,m αααγ线性表出，γ可由12,,,,m αααβ线性表出，因而12,,,,m αααβ与12,,,,m αααγ等价.25.设12,,,n n P ααα∈且线性无关，则12,,,n A A A ααα线性无关⇔()=A n 秩.其中A是数域P 上的n n ⨯矩阵. 证：令()12,,,n B ααα=.因1,,n αα线性无关，所以0B ≠.必要性 设12,,,n A A A ααα线性无关，即()()11,,,,0n n A A A AB A B αααα===≠.所以0A ≠，即()=A n 秩.充分性 设()=A n 秩，即0A ≠，从而()()11,,,,0n n A A A AB A B αααα===≠.所以12,,,n A A A ααα线性无关.26. 设向量组12,,,s ααα的秩为r ，在其中任取m 个向量12,,,mi i i ααα，则{}12,,,m i i i r m s ααα≥+-秩.证：设12,,,m i i i ααα的秩为t ，现将它的一极大无关组（含t 个向量）扩充为1,,s αα的一个极大无关组（含s 个向量）.因此扩充的线性无关向量的个数为r t -.因1,,s αα除向量组1,,m i i αα外，还有s m -个向量，因此，r t s m -≤-，即t r m s ≥+-.27.设123r βααα=+++，213r βααα=+++，，121r r βααα-=+++，则1）1,,r ββ与1,,r αα有相同的秩；2）1,,r αα的任意一个极大线性无关组也是11,,,,,r r ααββ的极大线性无关组.证：1）由假设知1,,r ββ可由1,,r αα线性表出.但是()()1212+=1r r r βββααα++-+++()()12121=+1r r r αααβββ+++++- （1）用（1）式减去假设的每一个式子，可得11221212211,111121,111112.111r r r r r r r r r r r r r r r r αβββαβββαβββ-⎧=+++⎪---⎪-⎪=+++⎪---⎨⎪⎪-⎪=+++⎪⎩--- 即1,,r αα也可由1,,r ββ等价，所以{}{}11,,,,r r r ββαα=≤秩秩.2） 由1）知1,,r αα与11,,,,,r r ααββ等价，可知1,,r αα的一个极大线性无关组就是11,,,,,r r ααββ的一个极大线性无关组.28.设向量组1,,s αα中10α≠且每个()2,3,,i i s α=都不能由11,,i αα-线性表出，则1,,s αα线性无关.证：用反证法.如果1,,s αα线性相关，那么有不全为零的数12,,,s k k k 使1122=0s s k k k ααα+++ （1）从右至左，设第一个不为零的数是l k ，而10l s k k +===，则（1）式为1122=0l l k k k ααα+++.因10α≠，所以1l ≠，故112121111l l l k k kk k k αααα--=----.即l α可由121,,,l ααα-线性表出，此与题设矛盾.所以1,,s αα线性无关.29.如果()()()123,,f x f x f x 是线性空间[]P x 中三个互素的多项式，但其中任意两个都不互素，那么它们线性无关.证：用反证法.如果它们线性相关，即存在不全为零的数123,,k k k ，使()()()1122330k f x k f x k f x ++=.不妨设10k ≠，则()()()3212311=k k f x f x f x k k --+. 此式说明()()23,f x f x 的最大公因式就是()1f x 的因式，即()()()()()()()12323,=,f x f x f x f x f x .此与()()()()123,=1f x f x f x 及()()()23,1f x f x ≠矛盾，所以()()()123,,f x f x f x 线性无关.30.设12,,,m ααα线性无关，则122311,,,,m m m αααααααα-++++线性无关的充分必要条件是m 为奇数.证：令112223111,,,,m m m m m βααβααβααβαα--=+=+=+=+，由题设得()()1212,,,,,,m m A βββααα=，其中10110011n mA ⨯⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 按第一行展开，()12,110,m m A m +⎧=+-=⎨⎩为奇数；为偶数，而12,,,m βββ线性无关的充分必要条件是0A ≠，即m 为奇数31.设向量组12,,,m ααα线性相关，但其中任意1m -个向量都线性无关，则 1）等式1122=0m m k k k ααα+++中的系数()1,,i k i m =或者全为0，或者全不为0.2）当存在两个等式1122=0m m k k k ααα+++ （1） 1122=0m m l l l ααα+++ （2）其中10l ≠时，（1），（2）的对应系数成比例：1212mmk k k l l l ===. 证：1）当()1,,i k i m =全为0时，恒为等式的解.以下设有一个i k 不等于0，不失一般性，设10k =.此时其余的()2,,i k i m =都不为0.若等式化为()100j j j ik k α≠=≠∑，于是这1m -个向量线性相关，此与题设矛盾.2） 由于10l ≠，由1）知: 2,,m l l 均不为0.如果()1,,i k i m =全为0，那么结论成立.否则i k 全不为0，()()112i l k ⨯-⨯，得()()11212211100m m r l k k l l k k l ααα-+-++-=.由1），因1α的系数为0，所以2,,m αα的系数全为0，即121210m m l k k l l k k l =-==-，即1212mmk k k l l l ===.32.求向量组()11,2,2,3α=-，()22,4,1,3α=--，()31,2,0,3α=-，()40,6,2,3α=，()52,6,3,4α=-的一个极大线性无关组.解1（初等变换法）以12345,,,,ααααα为列作矩阵A ，对A 施行初等变换为阶梯型矩阵B ：1210212102242660322121023000313333400000A B ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---⎪ ⎪=→= ⎪ ⎪---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 由B 可知：124,,ααα；134,,ααα；125,,ααα；135,,ααα均为原向量组的极大无关组. 注：用这种方法可以找到向量间的全部极大无关组.解2（子式法）因矩阵A 的4阶子式均为0，而3阶子式11022612022--=-≠，所以134,,ααα为一极大无关组.解3（逐一扩充法）因10α≠，所以1α线性无关，又因12,αα对应分量不成比例，故12,αα线性无关.因123,,ααα线性相关（这可由123,,ααα作成的矩阵的所有3阶子式为0看出），所以3α不收入.再观察124,,ααα，由于124,,ααα作成的矩阵有非零的3阶子式，所以124,,ααα线性无关，又因1245,,,αααα线性相关，所以124,,ααα为一极大无关组.33.什么叫做线性空间的基于维数？答：如果数域P 上的线性空间V 有n 个线性无关的向量12,,,n ααα，而且V 中每个向量都可以由它们线性表出，那么称这组向量为V 的一组基（基底）.也称12,,,n ααα生成（或张成）线性空间V .12,,,n ααα为V 的一组生成元.基中所含向量的个数n 称为V 的维数，记作dim V n =或()V n =维.称V 为维线性空间.如果V 中有任意多个线性无关的向量，那么称V 为无限维线性空间，记为dim V =∞.如果{}0V =，那么称V 是零维的，记为dim 0V =.注：○1线性空间V 的基，实际上就是V 的一个极大线性无关组.○2一个线性空间V 有一组基1,,n αα，取()ij n nA α⨯=，当0A ≠时，令，其中为的列向量，令()1,,n A c c =，其中1,,n c c 为A 的列向量，令()1,,i n i c βαα=()1,2,,i n =则可知1,,n ββ也是V 的一组基.由此可知V 的基不是唯一的.○3两组基之间是互相等价的，因为向量组的两个极大线性无关组是互相等价的.34.几类重要的线性空间的维数与基是什么？答：1）数域P 看成自身上的线性空间，则1是它的一组基，dim 1P =. 2）复数域C 看成实数域R 上的线性空间，1,i 是C 的一组基，dim 2P =.3）实数域R 看成有理数域Q 上的线性空间，则dim P =∞.事实上，21,,,ππ是线性无关的.因为如果21,,,,n πππ线性相关的话，那么π是代数数了，而π是超越数.故对一切自然数n ，向量组21,,,,n πππ都线性无关，由n 的任意性，故dim P =∞.4）全体正实数R +，定义a b ab ⊕=，kk a a =，则R +为R 上的1维线性空间.任何一个非零向量都是其一组基.因1是其零向量，取定(),1,1R Ra ββα++∈≠∀∈≠，有()log log βαβαβαβ==，即α可由β线性表出，所以是一维的.5）数域P 上的全体n 元数组构成的线性空间nP 是n 维的，()11,0,,0ε=，()20,1,,0ε=，，()0,,0,1n ε=是一组基.6）n 元齐次线性方程组0Ax =（A 为m n ⨯矩阵，()=A r 秩）的解空间是n r -维的，其基础解系是它的一组基.7）元素属于数域P 的m n ⨯矩阵的全体m nP⨯的维数是mn .以ij E 表示第i 行第j 列元素为1，其余元素为0的m n ⨯矩阵，则()1,2,,;1,2,,ij E i m j n ==为m n P ⨯的一组基.8）实数域上全体n 级实对称矩阵构成的线性空间的维数是()12n n +.()1ij ij E E i j n +≤≤≤为一组基. 9）实数域上全体n 级反对称矩阵构成的线性空间的维数是()12n n -.()1ij ij E E i j n -≤≤≤为一组基. 10）实数域上全体n 级上三角矩阵构成的线性空间的维数是()12n n +.()1ij E i j n ≤≤≤为一组基.11）全体形如1230n nX P X X ⨯⎛⎫∈⎪⎝⎭的矩阵（1X 为r r ⨯矩阵）构成的线性空间，因零块有()r n r -个元素，所以线性空间的维数是()2n r n r --.(),;,1,2,,ij E i r j r i r j n ≤≤≥=为一组基.12）全体n nA P⨯∈且满足0trA =（A 的迹为0）的矩阵构成的线性空间的维数是()()2211nn n n -+-=-，除nn E 外的一切,,1,2,,ij E i j n =为一组基.13）次数小于n 的一元多项式的全体加上零多项式构成的线性空间[]n P x 的维数是n ，且211,,,,n x x x -为一组基.14）线性空间()()[](){}|10n W f x f x R x f =∈=且的维数是1n -.且121,1,,1n n x x x -----是W 的一组基.15）数域P 上m 元n 次齐次多项式()()121211212,,,mmm k k k m k kk m i k k nfx x x x x x k α++==∑为正整数和零多项式构成的线性空间的维数是()()()()1211n n n m m +++--!，1212mk k k mx x x 1m i i k n =⎛⎫= ⎪⎝⎭∑为一组基.事实上，上述向量组线性无关是显然的，它的个数实际上是从m 种元素中每次取n 个元素的有重复的组合数，即()12nm x x x +++展开后不同类的项数：()()()()1111211n n m m n m n m n n n m C C C m -+-+-+++-===-!.16）分量属于复数域的全体n 元数组构成实数域R 上的线性空间的维数是2n .()11,0,,0ε=，()20,1,,0ε=，，()0,,0,1n ε=，()11,0,,0η=，()20,1,,0η=，，()0,,0,1n η=为一组基（为虚数单位）.17）线性空间V 中m 个向量生成的子空间()1,,m L αα的维数等于1,,m αα的秩，1,,m αα的任一极大无关组都是()1,,m L αα的一组基.36.V 为矩阵A 的实系数多项式的全体构成的线性空间，求V 的维数及一组基，其中210000,00A ωωω⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭解：因为212ω-=，31ω=，所以21,3;,31;,3 2.nn k n k n k ωωω=⎧⎪==+⎨⎪=+⎩从而2232100,3;00,,,31;00,3 2.n E n k A A E A A n k A n k ωω=⎛⎫⎧⎪ ⎪====+⎨ ⎪⎪ ⎪=+⎝⎭⎩设21230k A k A k E ++=，得1232123212300,0.k k k k k k k k k ωωωω++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，（1）因系数行列式不为零，所以方程组（1）只有零解：1230k k k ===.说明2,,E A A 线性无关.由于A 的实系数多项式()f A 是2,,E A A 的线性组合，所以V 的维数是3. 2,,E A A 是V 的一组基.37.V 为矩阵A 的实系数多项式的全体构成的线性空间，求V 的维数及一组基，其中()120,,0i j in a a A a a i j a R a ⎛⎫⎪⎪=≠≠∈ ⎪ ⎪⎝⎭.解：易证对正整数k ，有11201100k kn n k n a a A k E k A k A a --⎛⎫ ⎪⎪==+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （1）事实上，由矩阵的相等得，101111110121221011,,.n k n n kn n k n n n n k k a k a a k k a k a a k k a k a a ------⎧+++=⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ （2）（2）式的系数行列式D 是范德蒙行列式，故()10ji i j nD aa ≤≤≤=-≠∏.所以方程组有唯一解011,,,n k k k -.这就证明了（1）.再令10110n n k E k A k A --+++= （3）（3）式为（2）式右端为零的情形.由于0D ≠，所以只有零解：0110n k k k -====，说明1,,,n E A A -线性无关.由于A 的实系数多项式()f A 是21,,,,n E A A A -的线性组合，所以dim V n =，21,,,,n E A A A -为一组基.38.设V 为数域P 上的线性空间，V 为从V 中任取m 个元素组成的向量()12,,,m ααα的集合.1）按向量的加法和数乘运算，V 为P 上的线性空间； 2）当V 为无限维时，V 也是无限维； 3）当V 为n 维时，求V 的维数和一组基. 证：1)()0=00V ∈，，，V ∴非空.另外，V 关于加法和数乘运算封闭，且满足定义中的8条规则，所以V 是域P 上的线性空间. 2）当V 是无限维时，取12,,,n βββ为V 的n 个线性无关的向量，令(),0,,0i i ηβ=()1,2,,i n =，则12,,,n ηηη线性无关.由n 的任意性知，V 有任意个线性无关的向量，即V 是无限维的.3）当dim V n =，可推得dim V mn =. 事实上，设12,,,n εεε为V 的一组基.令()1,0,,0i i ηε=，()20,,,0i i ηε=，，()0,0,,ni i ηε=，1,2,,i n =，则这个m n ⨯个向量均线性无关.()12,,,m V αααα∀=∈，因()11,2,,nj ij i i k j m αε=∀==∑，所以()1212111,,,,,,m nnnm i i i i i i i i i k k k αααεεε===⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑∑()()()12111,0,,00,,,00,0,,nnni i i i i i im i i i i i k k k εεεεεε====+++∑∑∑1122111nnni i i i im im i i i k k k ηηη====+++∑∑∑.即α可由mn 个向量()1,,;1,,ij i n j m η==线性表出，所以它们是V 的一组基，dim V mn =.39.什么叫做向量的坐标？答：设V 为数域P 上的n 维线性空间，1,,n αα为V 的一组基.设V β∈，则()111221,,n n n n k k k k k βααααα⎛⎫ ⎪=+++= ⎪ ⎪⎝⎭.称()1,,n k k 为β在基1,,n αα下的坐标.注：○1同一个向量β，在不同基下的坐标一般是不相同的.○2同一个β，当基1,,n αα排列顺序不同时，坐标也不同.比如V 的一组基为123,,ααα，令12335βααα=++，那么β在基123,,ααα下的坐标为()1,3,5，而在下的坐标为()1,5,3.○3这里的坐标概念是解析几何中坐标概念的推广.在平面解析几何中，相当于取基()11,0e =，()20,1e =，在空间解析几何里，相当于取基()11,0,0η=，()20,1,0η=，()30,0,1η=.而代数中是把它们抽象化，并把上述情形作为特例. V 中的基1,,n αα相当于建立一个坐标系.β的坐标()12,,,n n k k k P ∈，相当于β在坐标系12,,,n ααα下的坐标.40.什么叫过渡矩阵？答：过渡矩阵相当于n 维线性空间V 的两组基之间的变换公式.下面给出定义.设1,,n αα与1,,n ββ为V 的两组基，那么()1,,i n i c βαα=，1,2,,k n =. （1）其中12,,1,2,,i i i ki ni c P k n αααα⎛⎫ ⎪ ⎪=∈= ⎪ ⎪⎝⎭.把（1）式改写为()()11,,,,n n A ββαα=. （2）其中()()1,,n n ij n n nA c c P α⨯⨯==∈.称A 为基1,,n αα到基1,,n ββ的过渡矩阵，并称（2）为基变换公式.注：○1如果0A ≠，即A 为可逆矩阵.○2由（2）式知()()111,,,,n n A ααββ-=， （3）即1A -为基1,,n ββ到基1,,n αα的过渡矩阵.○3求1,,n αα到1,,n ββ的过渡矩阵A ，只要求出每个i β在基1,,n αα下的坐标（1）即可.41.什么叫坐标变换公式？ 答：设1,,n αα与1,,n ββ为V 的两组基，由基1,,n αα到基1,,n ββ的过渡矩阵为A .向量γ在基1,,n αα下的坐标为()1,,n x x .设γ在基1,,n ββ下的坐标为()1,,n y y ，那么111n n y x A y x -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1） 公式（1）称为坐标变换公式.42.设1,,n αα为线性空间V 的一组基.1）1121212,,,n n βαβααβααα==+=+++也是V 的一组基.2）当向量α在基1,,n αα下的坐标为(),1,,2,1n n -时，求α在基1,,n ββ下的坐标.证：1）因为()()11,,,,n n A ββαα=，其中1101A ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭，1A =， 所以1,,n ββ线性无关，从而为V 的一组基.2）设α在基1,,n ββ下的坐标为()1,,n x x ，由坐标变换公式知121110111112201111n n n x n n x A x -⎛⎫⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 43.在[]3P x 中，求221,,x x x x ++到基221,,x x x x -+的过渡矩阵. 解：因为21,,x x 为[]3P x 的基，所以()()()22221001,,1,,1101,,111x x x x x x x x A ⎛⎫⎪++=-= ⎪ ⎪-⎝⎭. （1） 于是()()()2221221001,,1,,=1,,110111x x x x x x A x x x x -⎛⎫⎪=++++- ⎪ ⎪-⎝⎭. （2） 又()()()22221001,,1,,0111,,011x x x x x x x x B ⎛⎫⎪-+== ⎪ ⎪-⎝⎭， （3） 将（2）代入（3）得()()()22221221001,,1,,1,,111120x x x x x x x x A B x x x x -⎛⎫⎪-+=++=++- ⎪ ⎪-⎝⎭. 所以100111120C ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭为所求的过渡矩阵.44.已知()()()()12341,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,εεεε=⎧⎪=--⎪⎨=--⎪⎪=--⎩()()()()12341,2,3,1,2,1,0,1,1,1,0,1,2,1,1,2,ηηηη=⎧⎪=⎪⎨=--⎪⎪=-⎩分别是4P 的两组基，求i ε到()1,2,3,4i i η=的过渡矩阵.并求()1,1,0,1δ=-关于基1234,,,ηηηη的坐标.解：因为()11,0,0,0δ=，()20,1,0,0δ=，()30,0,1,0δ=，()40,0,0,1δ=是4P 的基，由i δ到()1,2,3,4i i ε=的过渡矩阵A 以及由δ到()1,2,3,4i i η=的过渡矩阵B 分别为1111111111111111A ⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭， 1212211130011112B ⎛⎫⎪- ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭由i ε到()1,2,3,4i i η=的过渡矩阵为1A B C -=，1741212141103443212C A B --⎛⎫⎪- ⎪==⎪ ⎪--⎝⎭. 令δ关于基()1,2,3,4i i η=的坐标为()1234,,,x x x x ，则121341112105413x x B x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 45.什么叫做线性子空间？答：设W 是数域P 上线性空间V 的非空子集，如果W 对于V 的两种运算（加法和数量乘法）也构成线性空间，则称W 为V 的一个线性子空间，简称子空间.46.什么叫做V 的平凡子空间？答：V 中仅含单个零向量的子空间称为零子空间，V 本身也是V 的一个子空间，这两个子空间称为V 的平凡子空间，V 除平凡子空间外的子空间（如果存在的话），称为V 的非平凡子空间.47.什么叫做生成子空间？答：V 中任意m 个向量的所有可能的线性组合(){}111,,|,1,2,,m m m i L k k k P i m αααα=++∈=构成V 的一个子空间，称为由1,,m αα张成（或生成）的子空间.注：这一记号非常重要.设V 是n 维的，若()1,,n V L αα=，则1,,n αα为V 的一组基.48.怎样判别子空间？答：设W 是V 的一个非空子集，则W 为V 的子空间的充要条件是：W 对于V 的两种运算是封闭的，即○1,W αβ∀∈都有W αβ+∈； ○2,W k P α∀∈∀∈，都有k W α∈. 条件○1与○2可以合并成一条：,W αβ∀∈及12,k k P ∀∈都有12k k W αβ+∈.49.生成子空间有哪些主要结论？ 答：1）()()11,,,,s t L L ααββ=的充分必要条件是1,,s αα与1,,t ββ等价.2）()()()1111,,,,,,,,,s t s t L L L ααββααββ+=.3）()1,,s L αα的维数{}1,,s αα=秩4）n 维线性空间V 的子空间的一组基必可扩充为V 的一组基.50.常见到子空间有哪些?答：1）V 的两个平凡子空间.2）全体实函数组成的线性空间中，由所有实系数多项式组成一个子空间.3）[]n P X 是线性空间[]P X 的n 维子空间.4）线性变换:V V σ→的值域V σ是V 的子空间.设线性变换在某一组基下矩阵为A ，则其维数等于A 秩，σ的核()10σ-是V的子空间，其维数等于dim V A -秩5）线性变换:V V σ→的属于特征值λ的特征向量的全体添上零向量是V 的特征子空间，记作V λ.若dim V n =，设σ在某一组基下的矩阵为A ，则()dim V n E A λλ=--秩6）数域P 上n 元齐次线性方程组0AX =的解空间W 是nP 的子空间，dim W n A =-秩.7. 设1,,n εε为数域P 上线性空间V 的一组基，m n A P ⨯∈，A r =秩，()'11,,n n c c Pα⨯=∈则()'11|,,0ni i n i W c A c c ε=⎧⎫==⎨⎬⎩⎭∑是V 的n r -维子空间.证：1）先证W 是V 的子空间.其0W ∈知W 非空（这时取()()1,,0,,0n c c =即可）.任取()11,,n n c c βεε⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，()11,,n n d W d γεε⎛⎫ ⎪=∈ ⎪ ⎪⎝⎭，那么10n c A c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，10n d A d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. 12,k k P ∀∈，则()1112112,,n n n c d k k k k c d βγεε⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪+=+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，111112120n n n n c d c d A k k k A k A c d c d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.所以12k k W βγ+∈，从而W 为V 的子空间.2）设0Ax =的解空间为1W ，则1dim dim W W n A n r ==-=-秩.51.什么叫做交空间？答：设V 是数域P 上的线性空间，()V I λλ∈都是V 的子空间，则IV λλ∈⋂也是V 的子空间，并称它为()V I λλ∈的交空间. 注:○1显然IV λλ∈⋂也是V λ的子空间.○2子空间的交是线性空间的一种运算.52. 子空间的交有哪些性质？答：1）适合交换律：1221V V V V ⋂=⋂；2）适合结合律：()()123123V V V V V V ⋂⋂=⋂⋂；3）A ,B 分别为m n ⨯与s n ⨯矩阵，A C B ⎛⎫= ⎪⎝⎭.设123,,V V V 分别为0Ax =，0Bx =，0Cx =的解空间，则312V V V =⋂.53.什么叫做和空间？答：子空间的和是线性空间的第二种运算.设1V ，2V 都是V 的子空间，则{}121122|,V V ααααα=+∈∈也是V 的子空间，记作12V V +.一般的，设1,,n V V 都是V 的子空间，它们的和空间定义为{}1212++|,1,2,,n n i i V V V V i n ααααα+++==+∈=.注：○112112V V V V V ⋂⊆⊆+，12212V V V V V ⋂⊆⊆+.○2设W 是线性空间，且()W V I λλ⊆∈，则IW V λλ∈⊆⋂.○3设1V W ⊆，2V W ⊆，W 是线性空间，则12V V W +⊆.54.子空间的和有什么性质？ 答：1）1221V V V V +=+；2）()()123123V V V V V V ++=++； 3）下面三条等价 （i ）12V V ⊆，(ii)121V V V ⋂=， （iii ）122V V V +=，55设1V ，2V 是V 的两个子空间，则1V È2V =1V +2V Û1V Í2V 或2V Í1V 。
线性空间习题
所指旳线性运算是否构成实数域上旳线性空间：
1．次数等于
旳实系数多项式旳全体，对于
多项式旳加法和数量乘法； 解：不构成。因两个n 次多项式相加不一定是n
次多项式。例如
2．设 是一种 实矩阵， 旳实系数多项式
旳全体，对于矩阵旳加法和数量乘法；
解：构成.令
| 为实系数多项式，
是 实矩阵}
则有
记作
2)
时，求Βιβλιοθήκη 可互换旳矩阵构成3)
旳一子空间，
时，求 旳维数和一组基。
证：1)全体与A可互换旳矩阵旳集合记为
构成子空间。
2)
时，
3)设 为可与 互换旳矩阵，由第四章习题5可 知， 只能是对角矩阵，故维数为 ;
为一组基。
18.证明：和 是直和旳充要条件是
证：必要性 ：
，
所以 充分性（反证法）：设 不是直和，那么零向量还有一种分解式：
非“零”元都可作
旳基。
12．实数域上由矩阵A旳全体实系数多项式构成旳 空间，其中
解：因为
所以
而
下证 令
线性无关。
即 其系数行列式
故方程只有零解： 线性无关，由它们作基，构成三维线性空间。
在 中，求由基
到基
并求向量在所指基下旳坐标.设
13．
旳过渡矩阵，
在
下旳坐标；
解：
14．
在 解：令
下旳坐标；
解：不构成。例如，以那个已知向量为对角线旳任 意两个向量，它们旳和不属于这个集合。
5．全体实数旳二元数列，对于下面定义旳运算 解：构成。
6．平面上旳全体向量，对于一般旳加法和如下定义 旳数量乘法：
解：不能构成。因为
线性空间试题
向量空间一 判断题(1) 平面上全体向量对于通常的向量加法和数量乘法: ,,k k R αα=∈ 作成实数域R 上的向量空间. ( ) .(2) 平面上全体向量对于通常的向量加法和数量乘法: 0,,k k R α=∈ 作成实数域R 上的向量空间. ( ).(3) 一个过原点的平面上所有向量的集合是3V 的子空间. ( ). (4) 所有n 阶非可逆矩阵的集合为全矩阵空间()n M R 的子空间. ( ). (5) 121{(,,,)|1,}nn i i i x x x x x R ==∈∑为n R 的子空间. ( ).(6)所有n 阶实反对称矩阵的集合为全矩阵空间()n M R 的子空间. ( ). (7)11{(,0,,0,)|,}n n x x x x R ∈为n R 的子空间. ( ).(8)若1234,,,αααα是数域F 上的4维向量空间V 的一组基, 那么122334,,,αααααα++是V 的一组基. ( ).(9)n 维向量空间V 的任意n 个线性无关的向量都可构成V 的一个基. ( ). (10)设12,,,n ααα是向量空间V 中n 个向量, 且V 中每一个向量都可由12,,,n ααα线性表示, 则12,,,n ααα是V 的一组基. ( ).(11) 设12,,,n ααα是向量空间V 的一个基, 如果12,,,n βββ与12,,,n ααα等价, 则12,,,n βββ也是V 的一个基. ( ).(12) 3x 关于基332,,1,1x x x x x +++的坐标为(1,1,0,0). ( ). (13)设12,,,s V V V 为n 维空间V 的子空间, 且12s V V V V =+++.若12dim dim dim s V V V n +++=, 则12s V V V +++为直和. ( ).(14)设12,,,s V V V 为n 维空间V 的子空间, 且12s V V V V =+++. 若121230,()0,V V V V V =+=121,()0,S s V V V V -+++= 则12s V V V +++为直和.( ).(15) 设12,,,s V V V 为n 维空间V 的子空间, 且12s V V V V =+++. 若(){0},ij j iV V ≠=∑ 则12s V V V +++为直和. ( ).(16)设12,,,s V V V 为n 维空间V 的子空间, 且12s V V V V =+++. 若(){0},,i j V V i j =≠则12s V V V +++为直和. ( ).(17) 设12,,,s V V V 为n 维空间V 的子空间, 且12s V V V V =+++. 零向量表法是唯一的, 则12s V V V +++为直和. ( ). (18) 设12,,,n ααα是向量空间V 的一个基, f 是V 到W 的一个同构映射, 则W 的一个基是12(),(),,()n f f f ααα. ( ).(19) 设V 是数域F 上的n 维向量空间, 若向量空间V 与W 同构, 那么W 也是数域F 上的n 维向量空间. ( ).(20) 把同构的子空间算作一类, n 维向量空间的子空间能分成n 类. ( ).答案 (1)错误 (2)错误 (3)正确 (4)错误 (5)错误 (6)正确 (7)正确 (8)正确 (9)正确 (10)错误 (11)正确 (12)错误 (13)正确 (14)正确 (15)正确 (16)错误 (17)正确(18)正确 (19)正确 (20)错误二 填空题(1) 全体实对称矩阵, 对矩阵的________________作成实数域R 上的向量空间.(2) 全体正实数的集合R +,对加法和纯量乘法,,k a b ab k a a ⊕==构成R 上的向量空间.则此空间的零向量为___.(3) 全体正实数的集合R +,对加法和纯量乘法,,k a b ab k a a ⊕==构成R 上的向量空间.则a R +∈的负向量为________.(4) 全体实二元数组对于如下定义的运算:2(,)(,)(,),(1)(,)(,),2a b c d a c b d ac k k k a b ka kb a ⊕=+++-=+构成实数域R 上的向量空间. 则此空间的零向量为___.(5) 全体实二元数组对于如下定义的运算:2(,)(,)(,),(1)(,)(,),2a b c d a c b d ac k k k a b ka kb a ⊕=+++-=+ 构成实数域R 上的向量空间. 则(,)a b 的负向量为________.(6) 数域F 上一切次数n ≤的多项式添加零多项式构成的向量空间[]n F x 维数等于_____. (7) 任一个有限维的向量空间的基________的, 但任两个基所含向量个数是________. (8) 复数域C 作为实数域R 上的向量空间, 维数等于______, 它的一个基为_______. (9) 复数域C 看成它本身上的向量空间, 维数等于______, 它的一个基为_______. (10) 实数域R 上的全体n 阶上三角形矩阵, 对矩阵的加法和纯量乘法作成向量空间,它的维数等于_____.(11) 向量(0,0,0,1)ξ=关于基123(1,1,0,1),(2,1,3,1),(1,1,0,0)ααα===4(0,1,1,1)α=--的坐标为__________.(12) 223x x ++关于3[]F x 的一个基332,,1,1x x x x x +++的坐标为__________. (13) 三维向量空间的基12(1,1,0),(1,0,1),αα== 则向量(2,0,0)β=在此基下的坐标为 _______.(14) V 和W 是数域F 上的两个向量空间, V 到W 的映射f 满足条件__________________________________________, 就叫做一个同构映射.(15) 数域F 上任一n 维向量空间V 都与向量空间______同构.(16) 设V 的子空间123,,,W W W 有1213230W W W W W W ===, 则123W W W ++________直和.答案(1)加法和数量乘法 (2)1 (3)1a (4)(0,0) (5)2(,)a a b -- (6)1n + (7)不唯一, 相等 (8)2;1,i (9)1;1 (10)(1)2n n + (11)(1,0,1,0)- (12)(0,0,1,2) (13)(1,1,1)-(14)f 是V 到W 的双射; 对任意,,()()()V f f f αβαβαβ∈+=+; 对任意,,()()a F V f a af ααα∈∈= (15)n F (16)不一定是三 简答题(1) 设().n V M R = 问下列集合是否为V 的子空间, 为什么? 1) 所有行列式等于零的实n 阶矩阵的集合1W ; 2) 所有可逆的实n 阶矩阵的集合2W ;(2) 设()L R 是实数域R 上所有实函数的集合, 对任意,(),,f g L R R λ∈∈ 定义()()()(),()()(),f g x f x g x f x f x x R λλ+=+=∈对于上述运算()L R 构成实数域R 上向量空间. 下列子集是否是()L R 的子空间? 为什么?1) 所有连续函数的集合1W ; 2) 所有奇函数的集合2W ;3) 3{|(),(0)(1)};W f f L R f f =∈=(3) 下列集合是否为n R 的子空间? 为什么? 其中R 为实数域. 1) 11212{(,,,)|0,}n n i W x x x x x x x R α==+++=∈;2) 21212{(,,,)|0,}n n i W x x x x x x x R α===∈;3) 312{(,,,)|n W x x x α==每个分量i x 是整数};(4)设,,A X b 分别为数域F 上,1,1m n n m ⨯⨯⨯矩阵, 问AX b =的所有解向量是F 上的向量空间吗? 说明理由.(5) 下列子空间的维数是几?1) 3((2,3,1),(1,4,2),(5,2,4))L R --⊆; 2)22(1,1,)[]L x x x x F x ---⊆(6) 实数域R 上m n ⨯矩阵所成的向量空间()m n M R ⨯的维数等于多少? 写出它的一个基. (7) 实数域R 上, 全体n 阶对称矩阵构成的向量空间的维数是多少？ (8) 若12,,,n ααα是数域F 上n 维向量空间V 的一个基，122311,,,,n n n αααααααα-++++ 也是V 的一个基吗？(9) 1,2,(1)(2)x x x x -+-+是向量空间2[]F x 的一个基吗？(10) 取4R 的两个向量12(1,0,1,0),(1,1,2,0)αα==-.求4R 的一个含12,αα的基. (11) 在3R 中求基123(1,0,1),(1,1,1),(1,1,1)ααα==-=-到基123(3,0,1),(2,0,0),(0,2,2)βββ===-的过渡矩阵.(12) 在中4F 求向量(1,2,1,1)ξ=关于基123(1,1,1,1),(1,1,1,1),(1,1,1,1)ααα==--=--4(1,1,1,1)α=--的坐标.(13) 设1W 表示几何空间3V 中过原点之某平面1∏的全体向量所构成的子空间, 2W 为过原点之某平面2∏上的全体向量所构成的子空间, 则12W W 与12W W +是什么? 12W W +能不能是直和?(14) 设1123212(,,),(,),W L W L αααββ==求12W W 和12W W +. 其中123(1,2,1,2),(3,1,1,1),(1,0,1,1)ααα=--==-; 12(2,5,6,5),(1,2,7,3).ββ=-=--(15) 证明 数域F 上两个有限维向量空间同构的充分必要条件是它们维数相等.(16)设{|,,},{(,)|,},a b V a b c R W d e d e R b c ⎛⎫=∈=∈ ⎪⎝⎭都是实数域R 的向量空间.问V 与W 是否同构? 说明理由.(17) 设12,,,n ααα为向量空间的一个基, 令12,1,2,,i i i n βααα=+++=且()i i W L β=.证明 12n V W W W =⊕⊕⊕.答案(1)1)1W 不是V 的子空间. 若1,,||A B W A B ∈+若未必等于零, 1W 对加法不封闭.2)2W 不是V 的子空间. 因为3,||0A W A ∈≠, 则||0A -≠, 但|()|0A A +-=, 对加法不封闭.(2)1) 1W 是()L R 的子空间. 因为两个连续函数的和和数乘连续函数仍为连续函数.2) 2W 是()L R 的子空间. 因为两个奇函数的和和数乘奇函数仍为奇函数.3) 3W 是()L R 的子空间. 因为3W 非空, 且对任意3,,,f g W R λ∈∈有()(0)(0)(0)(1)(1)()(1);(0)((0))((1))()(1),f g f g f g f g f f f f λλλλ+=+=+=+===故3,.f g f W λ+∈(3)1) 是. 因1W 是齐次方程组120n x x x +++=的全体解向量.2) 2W 不是n R 的子空间. 因2W 对加法不封闭.3) 3W 不是子空间. 因对数乘运算不封闭.(4)当0b ≠时, AX b =的所有解向量不能构成F 上的向量空间. 因n 维零向量不是 AX b =的解向量. 当0b =时,0AX =的所有解向量能构成F 上的向量空间.(5)1) 维数是2. 因(2,3,1),(1,4,2)-线性无关, 而(5,2,4)2(2,3,1)(1,4,2)-=-+. 2) 维数是2. 因易证21,1x x --线性无关, 但22(1)(1)()0x x x x -+-+-=.(6) 解 令ij E 表示i 行j 列位置元素是1其余是零的m n ⨯矩阵. 那么易证ij E 这m n ⨯个矩阵是线性无关的. 它们作成()m n M R ⨯的一个基, 故()m n M R ⨯的维数是m n ⨯.(7) ,,,1,2,3,,,,ii ij ji E E E i j n i j +=≠ 为全体n 阶对称矩阵构成的向量空间的一个基,其中共有12(1)n n ++++-个向量, 故此向量空间的维数(1)2n n +. (8) 解 由121112(,,,)(,,,)n n n n A ααααααααα-+++=.得1||1(1)n A +=+-. 当n 为偶数时, ||0A =, 故12231,,n αααααα+++线性相关, 它不构成基. 当n 为奇数时, ||0,A ≠ 故12231,,n αααααα+++线性无关, 它构成一个基.(9) 解 在基21,,x x 之下有2122(1,2,(1)(2))(1,,)111001x x x x x x --⎛⎫⎪-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭.因上式右方的3阶矩阵为可逆, 所以1,2,(1)(2)x x x x -+-+线性无关, 它是2[]F x 的一个基.(10) 解 取向量34(0,0,1,0),(0,0,0,1)εε==,由于1100010010,12100001-=-≠ 因此1234,,,ααεε线性无关, 所以向量组是4R 的一个基.(11) 解 由123123123123(,,)(,,),(,,)(,,)A B αααεεεβββεεε== 推出 1123123(,,)(,,)A B βββααα-= 因此所求过渡矩阵为10113201001100021112210211111122A B -⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪-- ⎪⎝⎭.(12) 解 取4F 的标准基1234,,,εεεε. 由1234,,,εεεε到1234,,,αααα的过渡矩阵为1111111111111111A ⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭于是(1,2,1,1)ξ=关于基1234,,,αααα的坐标为1541124114114A -⎛⎫ ⎪⎪⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ -⎪⎝⎭. (13) 解 由于1W ,2W 皆过原点, 它们必相交, 因此或重合, 或不重合. 若1W 与2W 重合, 则121121,W W W W W W =+=. 若1W 与2W 不重合, 则12W W 为一条过原点的直线, 而 12W W V +=, 但12W W +不能是直和.(14) 解 设112233112212k k k t t W W γαααββ=++=+∈为交空间的任意向量.由11223311220,k k k t t αααββ++--= 得齐次线性方程组123121212123121231232025206702530k k k t t k k t t k k k t t k k k t t +--+=⎧⎪+--=⎪⎨-++++=⎪⎪-++--=⎩ 由行初等变换知方程组的系数矩阵的秩为4, 解空间的维数为1, 且求得方程组的一般解为122232424896,,,7777k t k t k t k t =-=-=-=-因此维12()1W W =, 维12()4W W +=.取27t =,令1267ξββ=-+便有12()W W L ξ=, 另外显然121231(,,,)W W L αααβ+=.(15) 证明 设数域F 上两个有限维向量空间V 与W 的维数均为n , 因,n n V F W F ≅≅所以V W ≅.反之, 若V W ≅, 设dim 0,V n => 且f 是V 到W 的同构映射. 取V 的一个基12,,,n ααα, 易证12(),(),,()n f f f ααα是W 的一个基, 故dim W n =.(16) V 与W 不同构. 因dim 3,dim 2V W ==, V 与W 的维数不相等. (17) 证明 任取V α∈, 若1122n n a a a αααα=+++, 那么12123211()()()n n n n n n n a a a a a a a a αβββαβ--=---+---+-+因此12n V W W W =+++, 并且V 中向量依诸i W 表示唯一, 故12n V W W W =⊕⊕⊕四 计算题(1) 设由123(1,2,2,2),(1,3,0,1),(2,1,2,5)ααα=-=--=--, 生成4R 的子空间.W 试从向量组1234(3,1,0,3),(2,1,0,3),(3,4,2,16),(1,7,4,15)ββββ==-=--=-中找出W 的生成元.(1) 解 以123,,ααα和1234,,,ββββ为列做成矩阵A , 在对A 的行施行初等变换.11232312311147202002421533161510011/20201001/21100111/2100000400A B -⎛⎫⎪---⎪=→ ⎪-- ⎪⎪---⎝⎭⎛⎫ ⎪-- ⎪= ⎪ ⎪⎪-⎝⎭由于行初等变换不改变列向量间的线性关系. 由矩阵B 知,113323412,,2βααβααβαα=+=-+=+从而134(,,).L W βββ⊆但由B 还知134,,βββ线性无关, 故134,,βββ为W 的一组生成元.(2) 在向量空间4R 中, 求由向量123(2,1,3,1),(4,5,3,1),(1,1,3,1)ααα=-=-=--4(1,5,3,1)α=-生成的子空间的一个基和维数.(2) 解 对下述矩阵施行行的初等变换241106391515151533330126181111042600001302.00000213----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭此变换保持列向量间的线性关系, 由右方矩阵知13,αα是一个极大无关组, 因此1234(,,,)L αααα的维数实是2,而13,αα是它的一个基.(3) 在4R 中求出向量组12345,,,,ααααα的一个极大无关组,然后用它表出剩余的向量.这里123(2,1,3,1),(1,2,0,1),(1,1,3,0),ααα===--45(1,1,1,1),(0,12,12,5)αα==-.(3) 解 对下述矩阵施行行的初等变换2111010105121112101123031123031121101511150001300013101121010*******00001101511002---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪--- ⎪ ⎪→⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.由右方矩阵知234,,ααα是一个极大无关组, 并且有1235234,253ααααααα=-=++.(4) 求3()M F 中与矩阵A 可交换的矩阵构成的子空间的维数和一个基, 其中100010.312A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(4) 解 设这个子空间为,W 由于A I B =+, 这里000000311B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭因此与A 可交换的3阶方阵, 就是与B 可交换的3阶方阵, 从而 3{()|}W X M F BX XB =∈=.任取,()ij C W C c ∈=. 由BC CB =, 可得1323112131330,33,c c c c c c ==++=122232333c c c c ++=,于是C W ∈当且仅当C 的元素为齐次线性方程组2111313322123233333c c c c c c c c =--+⎧⎨=--+⎩的解. 于是我们得到如下矩阵100010000300,030,100000000100⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭000000010,310010001⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭它们构成W 的一个基, 故W 的维数是5.(5) 求实数域上关于矩阵A 的全体实系数多项式构成的向量空间V 的一个基与维数.其中210000,00A ωωω⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ (5) 解 因31ω=, 所以22311,11A A I ωω⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭易证2,,I A A 线性无关. 于是任何多项式()(()[])f A f x R x ∈皆可由2,,I A A 线性表示, 故2,,I A A 为的一个基, dim 3V =.(6) 设1234(,,,)x x x x 为向量ξ关于基12(1,0,0,1),(0,2,1,0),αα==3(0,0,1,1),α=4(0,0,2,1)α=的坐标; 1234(,,,)y y y y 是ξ关于基1234,,,ββββ的坐标, 其中11y x =,221332442,,.y x x y x x y x x =-=-=-求基1234,,,ββββ.(6) 解 因1122123412343344(,,,)(,,,)x y x y x y x y ξααααββββ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且1112223334441000110001100101y x x y x x P y x x y x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭则1122123412343344(,,,)(,,,)x x x x P x x x x ααααββββ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭于是 12341234(,,,)(,,,)P ααααββββ=, 即 112341234(,,,)(,,,)P ββββαααα-=故所求的基为1234(1,2,4,3),(0,2,4,2),(0,0,1,1),(0,0,2,1)ββββ====.(7) 设12,,,n ααα是n 维向量空间V 的一个基，11212,,,n αααααα++++也是V 的一个基，又若向量ξ关于前一个基的坐标为(,1,,2,1)n n -, 求ξ关于后一个基的坐标.(7) 解 基12,,,n ααα到后一个基的过渡矩阵为111101110011001P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 那么12111001101101120001211000111n n n y n n y P y --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪=== ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故ξ关于后一个基的坐标为(1,1,,1).(8) 已知3R 的一个基为123(1,1,0),(0,0,2),(0,3,2)ααα===. 求向量(5,8,2)ξ=-关于这个基的坐标.(8) 解 设112233x x x ξααα=++, 的方程组11323538222x x x x x =⎧⎪+=⎨⎪+=-⎩解得1235,2,1x x x ==-=. 故ξ关于基123,,ααα的坐标(5,2,1)-.(9) 已知1234(2,1,1,1),(0,3,1,0),(5,3,2,1),(6,6,1,3)αααα=-===是4R 的一个基.求4R 的一个非零向量ξ, 使它关于这个基的坐标与关于标准基的坐标相同.(9) 解 由标准基1234,,,εεεε到基1234,,,αααα的过渡矩阵为2056133611211013P ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭设ξ关于两个基的坐标为1234(,,,)x x x x , 则11223344,x x x x P x x x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即得齐次线性方程组134133412341345602360020x x x x x x x x x x x x x x ++=⎧⎪+++=⎪⎨-+++=⎪⎪++=⎩解得1234x x x x ===-, 令40,x k k R =≠∈, 则(,,,)k k k k ξ=---即为所求.(10)已知4R 的一个基123(2,1,1,1),(0,3,1,0),(5,3,2,1)ααα=-==4(6,6,1,3)α=.求1234(,,,)x x x x ξ=关于基1234,,,αααα的坐标.(10) 解 由标准基到所给基的过渡矩阵为2056133611211013P ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭那么11221123412343344(,,,)(,,,)x x x x P x x x x ξεεεεαααα-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故ξ关于基1234,,,αααα的坐标为1234(,,,)y y y y , 这里11122213334444/91/3111/91/274/91/323/271/3002/37/271/91/326/27y x x y x x P y x x y x x ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.五 证明题(1) 设12,W W 为向量空间()V F 的两个子空间. 1)证明: 12W W 是V 的子空间.2)12W W 是否构成V 的子空间, 说明理由. (1) 证明1) 显然120W W ∈, 即12W W ≠Φ, 任取1212,,W W k F αα∈∈, 易知1212112,W W k W W ααα+∈∈, 故12W W 是V 的子空间.2) 不一定. 当12W W ⊆或21W W ⊆时, 12W W 是V 的子空间. 但当1W 与2W 互不包含时,12W W 不是V 的子空间. 因为总存在1112,W W αα∈∉和2221,W W αα∈∉使1212,W W αα∈, 而1212W W αα+∉, 因为这时121122,W W αααα+∉+∉, 否则与选取矛盾.(2) 设12,W W 为向量空间V 的两个子空间. 证明: 12W W +是V 的即含1W 又含2W 的最小子空间.(2) 证明 易知12121122{|,}W W W W αααα+=+∈∈为V 的子空间, 且112212,.W W W W W W ⊆+⊆+设W 为V 的包含1W 与2W 的任一子空间, 对任意1122,W W ξξ∈∈,有12W ξξ+∈, 即12W W W +⊆, 故12W W +是V 的即含1W 又含2W 的最小子空间.(3) 设12,W W 为向量空间()V F 的两个子空间. ,αβ是V 的两个向量, 其中2W α∈, 但1W α∉, 又2W β∉. 证明:1)对任意2,k F k W βα∈+∉;2)至多有一个,k F ∈使得1k W βα+∈. (3) 证明1) 任意,k F ∈若2k W βα+∈, 则2()k k W ββαα=+-∈矛盾, 故1)成立.2) 当1W β∈时, 仅当0k =时, 有1k W βα+∈; 当1W β∉时, 若存在1212,,k k F k k ∈≠使得111221,k W k W αβααβα=+∈=+∈, 则12121()k k W ααα-=-∈, 因此1W α∈, 矛盾, 故2)成立.(4) 设12,W W 为向量空间V 的两个子空间. 证明 若1212W W W W +=, 则12W W ⊆或21W W ⊆.(4) 证明 因12W W 含1W 与2W 中所有向量, 12W W +含一切形如121122(,)W W αααα+∈∈的向量, 因为1212W W W W +=, 所以121W αα+∈或122W αα+∈. 若121W αα+∈, 令12ααβ+=, 则21αβα=-, 故21W W ⊆; 若122W αα+∈, 令12ααγ+=, 则12αγα=-, 故12W W ⊆.(5) 证明: n 维向量空间V 中, 任意n 个线性无关的向量都可作为V 的一个基. (5) 证明 设12,,,n ααα是V 中线性无关的向量, 取V 的单位向量12,,,n εεε, 则12(,,,)n V L εεε=, 且12,,,n ααα中每一个可由12,,,n εεε线性表示. 由替换定理知12,,,n ααα与12,,,n εεε等价, 所以V 中每一个向量可由12,,,n ααα线性表示, 又 12,,,n ααα线性无关, 故12,,,n ααα可作为V 的一个基.(6) 设V 为n 维向量空间, V 中有m 组线性无关的向量, 每组含t 个向量, 证明: V 中存在n t -个向量与其中任一组组成V 的一个基.(6) 证明 设V 中m 组线性无关的向量分别为12,,,(1,2,,),i i it i m t n ααα=≤. 令12(,,,)i i i it V L ααα=, 则dim i V t n =<. 因存在1,(1,2,,)i V i m ξ∉=, 使121,,,,i i it αααξ线性无关, 若1t n +<,令/121(,,,,)i i i it V L αααξ=, 则/i V 也为V 的非平凡子空间, 同理存在/2,1,2,,i V V i m ξ=-=, 而且1212,,,,,i i it αααξξ线性无关, 如此继续下去, 可找到12,,,n t ξξξ-使得12,,,,i i it ααα12,,,n t ξξξ-线性无关, 故对每个i ,它们都是V 的一个基.(7) 设n 维向量空间V 的向量组12,,,n ααα的秩为r , 使得11220n n k k k ααα+++=全体n 维向量12(,,,)n k k k 的集合为W . 证明W 是n F 的n r -维子空间.(7) 证明 显然12dim (,,,)n L r ααα=, 今设每个i α在12(,,,)n L ααα的某个基下的坐标为12[]i i i ir a a a α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,1,2,,i n =那么由11220n n k k k ααα+++=可得1122[][][]0n n k k k ααα+++=.它决定了一个含n 个未知量12,,,,n k k k r 个方程的齐次线性方程组, 其系数矩阵12([],[],,[])n ααα的秩为r , 故解空间即W 的维数为n r -.(8) 设12,,,n a a a 是数域F 中n 个不同的数, 且12()()()()n f x x a x a x a =---. 证明多项式组()()(1,2,,)()i i f x f x i n x a ==-是向量空间1[]n F x -的一个基.(8) 证明 因1dim []n F x n -=, 所以只需证12,,n f f f 线性无关. 设有12,,,n k k k F ∈,使1220n n k f k f k f +++= (*)由()0,,()0j i i i f a i j f a =≠≠, 因此将i a 带入(*)得()0i i i k f a =, 从而0,(1,2,)i k i n ==故12,,n f f f 线性无关, 为1[]n F x -的一个基.(9) 设W 是n R 的一个非零子空间, 而对于W 的每一个向量12(,,,)n a a a 来说, 或者120n a a a ====, 或者每一个i a 都不等于零. 证明: dim 1.W =(9) 证明 由W 非零, 我们总可以取12(,,,)n b b b W β=∈, 且0β≠, 那么每个0i b ≠且β线性无关. 今对任意12(,,,)n a a a W α=∈, 若0α=当然α可由β线性表示; 若0α≠而11a W b αβ-∈, 由于其第一个分量为0, 由题设知11ab αβ=. 故β可作为W 的一个基,且dim 1.W =(10) 证明: 22,,1x x x x x +-+是2[]F x 的一个基, 并求2273x x ++关于这个基的坐标. (10) 证明: 2dim []3,F x =22,,1x x x x x +-+由基21,,x x 表示的演化矩阵为001111110A ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭但A 可逆, 故22,,1x x x x x +-+是2[]F x 的一个基.2273x x ++关于这个基的坐标(3,1,3)-,因为13371.23A -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(11) 若123,,W W W 都是V 的子空间, 求证:11231213(())()()W W W W W W W W +=+.(11) 证明: 任意1123(())W W W W α∈+, 则1W α∈, 且123()W W W α∈+, 因此1311233,,W W W ααααα=+∈∈, 但1W α∈, 知313W W α∈, 故1213()()W W W W α∈+.反之, 任意1213()()W W W W β∈+, 12112213,,W W W W βββββ=+∈∈, 则1W β∈, 且123()W W W β∈+, 故1123(())W W W W β∈+.(12) 设12,,,s W W W 是n 维向量空间V 的子空间. 如果12s W W W +++为直和.证明:{0},,,1,2,,ij W W i j i j s =≠=.(12) 证明: 由12s W W W +++为直和, 有(){0},,,1,2,,ij i jW W i j i j s ≠=≠=∑, 而(){0},,,1,2,,i j ij i jW W W W i j i j s ≠⊆=≠=∑. 故{0},,,1,2,,ij W W i j i j s =≠=.(13) 设12,W W 分别是齐次线性方程组120n x x x +++=与12n x x x ===的解空间.证明: 12n F W W =+.(13) 证明 因120n x x x +++=的解空间的维数为1n -, 且一个基为12(1,1,0,,0),(1,0,1,0,,0),αα=-=-1,(1,0,,0,1)n α-=-, 又12n x x x ===即方程组12231000n n x x x x x x --=⎧⎪-=⎪⎨⎪⎪-=⎩的系数矩阵的秩为1n -, 其解空间的维数为1, 且一个基为(1,1,,1)β=, 但121,,,n αααβ-线性无关, 它是n F 的一个基, 且12dim dim dim n F W W =+, 故12n F W W =+.(14) 证明 每一个n 维向量空间都可以表成n 个一维子空间的直和. (14) 证明: 设12,,,n ααα是n 维向量空间V 的一个基, 那么12(),(),,()n L L L ααα都是一维子空间.显然 12()()()n V L L L ααα=+++于是由V 中向量在此基下表示唯一, 立得结论.(15) 证明n 维向量空间V 的任意一个真子空间都是若干个1n -维子空间的交. (15) 证明: 设W 是V 的任一子空间, 且设12,,,s ααα为W 的一个基, 将其扩充为V 的一个基12,,,s ααα1,,,s n αα+, 那么令 12111(,,,,,,,,,)i s s s i s i n W L ααααααα++-++=于是这些,1,2,i W i n s =-, 均为1n -维子空间, 且12n s W W W W -=.(16)设:f V W →是数域F 上向量空间V 到W 的一个同构映射, 1V 是V 的一个子空间.证明: 1()f V 是W 的一个子空间.(16) 证明: 因1(0)()f f V ∈, 所以1()f V 非空. 对任意//1,()f V αβ∈, 由于f 是1V 到1()f V 的满射, 因此存在1,V αβ∈, 使//(),()f f ααββ==, 对任意,a b F ∈, 有 1a b V αβ+∈, 于是//1()()()()f a b af bf a b f V αβαβαβ+=+=+∈, 故1()f V 是W的一个子空间.(17) 证明: 向量空间[]F x 可以与它的一个真子空间同构.(17) 证明: 记数域F 上所有常数项为零的多项式构成的向量空间V , 显然[]V f x ⊂, 且V 中有形式()xf x , 这里()f x ∈[]F x .定义 :[];F x V σ()()f x xf x →, 显然σ是[]F x 到V 的双射, 且对于任意(),()f x g x ∈[],,,F x a b F ∈(()())(()())()()(())(())af x bg x x af x bg x axf x bxg x a f x b g x σσσ+=+=+=+故σ是[]F x 到V 的同构映射. 从而V 是[]F x 的一个真子空间, []F x V ≅.(18) 设,αβ是复数, {()[]|()0},{()[]|()0}V f x R x f W g x R x g αβ=∈==∈=,证明: ,V W 是R 上的向量空间, 并且V W ≅.(18) 证明: 易证,V W 是R 上的向量空间,设V 中次数最低的多项式为()h x , 则对任意()f x V ∈, 都有()[]s x R x ∈, 使()()()f x h x s x =, 因此{()()|()[]}V h x s x s x R x =∈同理, 设W 中次数最低的多项式为()k x , 则{()()|()[]}W k x s x s x R x =∈. 定义:()()()()h x s x k x s x σ易证σ是V 到W 的同构映射, 故V W ≅.(19) 证明 实数域R 作为它自身上的向量空间与全体正实数集R +对加法: a b ab ⊕=, 与纯量乘法: kk a a =构成R 上的向量空间同构.(19) 证明: 定义:(1)x x a a σ>显然σ是R 到R +的映射.1),x y R ∈, 若x y ≠, 则x y a a ≠, 所以σ为单射;任意b R +∈, 因log ,log ba b a b a R =∈, 则(log )ba b σ=, 即σ为满射.从而σ为双射.2) 任,,()()()x y x y x y x y R x y a a a a a x y σσσ+∈+===⊕=⊕.3) 任,()()()kx x k x k R kx a a k a k x σσ∈====,于是σ是R 到R +的同构映射. 故R R +≅.(20) 设V 是数域F 上无限序列12(,,)a a 的集合, 其中i a F ∈, 并且只有有限i a 不是零. V 的加法和F 中的数与V 中元的纯量乘法同n F , 则V 构成F 上的向量空间. 证明: V 与[]F x 同构.(20) 证明: 取[]F x 的一个基21,,,x x , 则[]F x 中任一多项式01()n n f x a a x a x =+++关于这个基有唯一确定的坐标01(,,,,0,)n a a a V ∈.定义:()f x σ01(,,,,0,)n a a a则σ是[]F x 到V 的一个同构映射, 故[]F x V ≅.向量空间自测题一、单项选择题（每小题2分，共20分）1．设n 元齐次线性方程组的系数矩阵的秩r < n ，则方程组（ ）． A ．有r 个解向量线性无关． B ．的基础解系由r 个解向量组成 C ．心有非零解． D ．的任意r 个线性无关的解向量是它的基础解系．2．设x 1，x 2，x 3，x 4是AX = b 的解，则下列向量（ ）仍是AX = b 的解．A ．4321x x x x +++B ．4321x x x x -+-C ．4321323x x x x -+-D ．432154x x x x -++-3．已知321,,ααα是AX = 0 的基础解系，则（ ）A ．321,,ααα线性相关B ．321,,ααα线性无关C ．133221,,αααααα+++线性相关．D ．133221,,αααααα+++不构成基础解系．4．s ααα,,,21 是AX = 0的基础解系．则r (A) = ( ).(A 为n m ⨯矩阵) A ．s B ．s n - C ．s m - D ．s n m -+ 5．R 3中下列子集（ ）不是R 3的子空间．A ．}1|),,{(233211=∈=x R x x x wB ．}0|),,{(333212=∈=x R x x x wC ．}|),,{(32133213x x x R x x x w ==∈=D ．}|),,{(32133214x x x R x x x w -=∈=6．向量组α1 ，α2 ，…，r α线性无关的充要条件是（ ） A ．1>r B ．0>rC ．它有一个部分向量组线性无关D ．它的所有部分向量组线性无关7．设矩阵A 为n 阶方阵且| A | = 0，则（ ） A ．A 中必有两行或两列的元素对应成比例． B ．A 中至少有一行或一列的元素全为零；C ．A 中必有一行或一列向量是其余各行或各列向量的线性组合；D ．A 中任意一行或一列向量是其余各行或列向量的线性组合．8．设有向量组)(I 和)(∏，)(I 线性相关，)(∏也线性相关，且组)(I 可由组)(∏线性表示，则（ ）成立其中)(I ：α1 ，α2 ，…，r α，)(∏：s βββ,,,21A ．s r ≤B ．s r ≥C ．≤r 秩)(∏D ．秩)(I ≤秩)(∏9．向量组)1,0,0(1=α，)1,1,0(2=α，)1,1,1(3=α，)0,0,1(4=α的秩为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．410．m>n 是n 维向量组α1 ，α2 ，…，m α线性相关的（ ）条件 A ．充分 B ．必要 C ．充分必要 D ．必要而不充分二、判断说明题（先判断正确与错误，再简述理由，每小题5分，共20分）1．设α1，α2是0=AX 的基础解系，则2121,αααα-+也是它的基础解系． 2．若n x x x ,,,21 是b AX =的解，则它的任意线性组合也是b AX =的解． 3．},|{021*******a a a a R a a x a x a x a W i -==∈+++=且的维数等于2． 4．F 上向量空间V 若含有一个非零向量，则它必含有无穷多个向量． 三、简答题（每小题5分，共10分）1．设321,,x x x 是b AX =的解其中A 为5⨯4矩阵，.3)(=A r 。
第6章线性空间练习题.doc
第6章 线性空间练习题一、填空题（3515''⨯=）1. 已知三维向量空间的一组基是123(1,0,1),(1,1,0),(2,1,1)ααα==-=，则向量(3,2,1)β=在这组基下的坐标是 ．2. 从R 2的基1211,01αα⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭到基1211,12ββ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的过渡矩阵为 ．3. 已知132326583945A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则0AX =解空间的维数是 ，解空间一组基是 ．4. 设2R 中定义11(,)(,)(,),(,)(,)a b c d a c b d k k a b ka kb αβα⊕=⊕=++++⋅=⋅=，则2(,,)R R ⊕⋅，不作成线性空间的理由可以为 ．5. 设Q 是有理数域，{,}Q a a b Q =+∈，关于实数的加法和乘法作成线性空间(,,)Q Q +⋅，该空间的维数是 ．二、单项选择题（3515''⨯=）1. 在下列集合中，对指定的运算不能构成实数域R 上的一个线性空间的是 ( )．(A) 所有m ×n 的实矩阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法 (B) 所有n 阶实对称矩阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法 (C) 所有n 阶实反对称矩阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法 (D) 所有n 阶可逆矩阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法 2. 设V ＝R 3，下列集合为V 的子空间的是 ( )． (A) {}(,,)0a b c a b c ++= (B) {}(,,)0a b c a ≥(C) {}222(,,)1a b c a b c ++≤ (D) {}(,,),,a b c a b c Q ∈(Q 为有理数域) 3. 下列线性空间中， ( )与其它三个空间不同构． (A) 2(,,,)R R +⋅ (B) (,,,)C R C +⋅是复数域 (C) 230{(,,)|}V x y z x y z =+-= (D) (,,,)C C C +⋅是复数域 4. 向量空间{}12123(,,,)20n W x x x x x x =-+=，则W 的维数为( ) ．(A) 1 (B) 2 (C) n (D) n -1 5. 在nR 中，由基12,,,n ααα到基12,,,n βββ的过渡矩阵为C ，则C ＝ ( )．(A) 11212()()n n αααβββ- (B) 11212()()n n αααβββ-(C) 11212()()n n βββααα- (D) 11212()()n n βββααα-三、计算题（41040''⨯=）1. 在线性空间3R 中，（1）求基向量组123(1,0,1),(0,1,0),(1,2,2)T T Tααα===到基向量组123(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)T T T βββ===的过渡矩阵C ；（2）求(1,3,0)T γ=在基123,,a a a 下的坐标． 2. 设3[]P x 的有两个基向量组222123()1,()2,()1f x x f x x x f x x x =-=++=++和22123(),()1,()12g x x x g x x g x x x =+=-+=++，(1) 求2()965h x x x =++在这两组基下的坐标；(2) 求向量()k x ，使它在这两组基下有相同的坐标． 3. 在23R ⨯中，求子空间000{|,,,,}x y W x y z x y z t R t z ⎛⎫=++=∈⎪⎝⎭的一组基和维数．4.在4P 中，12(1,1,0,1),(1,0,2,3)T T αα=-=，两个子空间11221234124(,),{(,,,)|20}T V L V x x x x x x x αα==+-=分别求1212,V V V V +⋂一组基和维数．四、证明题()6530''⨯=1．设线性空间V 中12,,,,(1)s s αααβ>为1s +向量，且12s βααα=+++，证明：向量组12,,,s βαβαβα---线性无关的充分必要条件是12,,,s ααα线性无关．2．设12,V V 是线性空间V 的两个子空间，证明：12V V ⋃是V 的子空间的充分必要条件是1221V V V V ⊂⊂或．3．设12,V V 是线性空间V 的两个子空间，证明：12+V V 是直和的充分必要条件是12+V V 中至少有一个向量α可以唯一地表示为12+αα，其中1122V V αα∈∈，． 4．叙述并证明有限维线性空间上关于两个子空间的维数公式．5．设{(,,)|,}W a a b a b a b R =+-∈，证明：（1）W 是3R 的子空间；（2）W 与2R 同构．参考答案一、填空题（3515''⨯=)1. (-1，0，2)；2. 2312⎛⎫⎪--⎝⎭；3. 2 ，12(3,1,0,0),(1,0,2,1)T Tηη=-=-（不唯一）； 4. ()k k k αβαβ⊕≠⊕；5. 2．二、选择题(3515''⨯=)1. D ；2. A ；3. D4. D ；5. B三、计算题（41040''⨯=）1.（1）221231110C ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭，（2） (2, 5, -1)T2.(1) 011132244⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪⎝⎭；(2) Y ＝(0, -4, 5) T ，X ＝(1, 2, 4) T ；(3) ()0k x =。
线性空间习题
α = (1, 4, 2,3) 在基 α1 , α 2 ,α 3 , α 4 下的坐标，其中 α1 = (1, 0, 0, 0),α 2 = (4,1, 0, 0),α 3 = (−3, 2,1, 0), α 4 = (2, −3, 2,1) β1 = (1,1,8,3), β 2 = (0,3, 7, 2), β 3 = (1,1, 6, 2), β 4 = (−1, 4, −1, −1).
n
ε1 , ε 2 , ε 3 的过渡矩阵 T＝__________，而 α 在基 ε1 , ε 2 , ε 3 下的坐标是__________.
6、设 V 为实数域上由矩阵 A 的全体实系数多项式组成的空间，其中
1 0 0 1 A= 0 ω 0 , ω = 2 (−1 + 3i ) ，则 V 的维数是 0 0 ω2
则 W 1、 W 2 都是 P 的子空间，且 W 1＋ W 2＝____________， W1 I W2 ＝____________. 5、设 ε1 , ε 2 , ε 3 是线性空间 V 的一组基，α = x1ε1 + x2 ε 2 + x3 ε 3 ，则由基 ε1 , ε 2 , ε 3 到基
4．设 W1，W 2 是数域 F 上向量空间 V 的两个子空间， α , β 是 V 的两个向
量，其中 α ∈ W2，但 α ∉ W1，又 β ∉ W2，证明： （i） （ii） 对于任意 k ∈ F, β +k α ∉ W2 ； 至多有一个 k ∈ F，使得 β +k α ∈ W1 ．
nห้องสมุดไป่ตู้
的一个非零子空间，而对于 W 的每一个向量（a1，a2，…， an） 来说， 要么 a1 = a2= … = an = 0， 要么每一个 ai 都不等于零， 证明 dimW =1。
线性空间与线性变换练习题
线性空间与线性变换练习题§1 线性空间1．设}|),,,({2121n n n x x x x x x V ===∈== R x 是否按向量的加法和数乘构成R 上的线性空间？若是，求出它的维数和一个基。
2．设⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=+++∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯022d c b a d c b a V R 是否按矩阵的加法和数乘构成R 上的线性空间？若是，求出它的维数和一个基。
3．证明n 阶实对称矩阵全体1V 和n 阶实反对称矩阵全体2V 均构成n n ⨯R 的子空间，并求它们的维数。
4．已知4R 中向量T )1,3,2,1(1=a ， T )1,2,1,1(2-=a ，T )6,1,6,2(3---=a ， T )1,7,4,3(4-=a ，求},,,Span{4321a a a a 的一个基和维数。
5．已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101102121k k k A ),,,(4321a a a a =（1）求A 的零空间}|{)(40Ax x A =∈=R N 的基与维数；（2）求T A 的零空间}|{)(30x A x A =∈=T T N R 的基与维数（3）求},,,Span{4321a a a a 一个基和维数。
6．已知3R 中的两组基为T )1,1,1(1=a ，T )1,0,1(2-=a ，T )1,0,1(3=a ，和T )1,2,1(1=b ，T )4,3,2(2=b ，T )3,4,3(3=b 。
（1）求向量T )4,2,2(=x 在基1a ，2a ，3a 下的坐标；（2）求从基1a ，2a ，3a 到基1b ，2b ，3b 的过渡矩阵；（3）求向量3212b b b z -+=在基1a ，2a ，3a 下的坐标；（4）求向量321424a a a y -+=在基1b ，2b ，3b 下的坐标。
7．已知3R 中的两组基为T )1,0,1(1=a ，T )1,1,1(2-=a ，T )1,1,1(3-=a ，和T )1,0,3(1=b ，T )0,0,2(2=b ，T )2,2,0(3-=b 。
线性空间部分测试题
线性空间部分自测题一、判断题1．若向量组12,,,s ααα"与向量组12,,,t βββ"都线性无关，则12,,,s ααα",12,,,tβββ"也线性无关；2．n 维线性空间V 中任何n 个线性无关的向量都是V 的一组基；3．对n 维线性空间V 中任何非零向量α，在V 中一定存在1n −个向量121,,,n βββ−"，使得1121,,,,n αβββ−"作成V 的一组基；4．三个子空间123,,V V V 的和123V V V ++为直和的充要条件是{}1230V V V ∩∩=；5．把复数域看成实数域R 上的线性空间，它与2R 是同构的；6．线性空间V 的两组基12,,,n ααα"到12,,,n βββ"的过渡矩阵是可逆的； 7．V 的任意两个子空间的交12V V ∩与并12V V ∪都是V 的子空间； 8．集合{},0n n W A A P A ×=∈=作成n n P ×的子空间。
二、填空题1．如果11dim V m =，22dim V m =，123dim()V V m +=，则12dim()V V ∩= ． 2．两个有限维线性空间1V 、2V 同构的充分必要条件是 ．3．设基12,,,n ααα"到基12,,,n βββ"的过渡矩阵是A ，而基12,,,n βββ"到基12,,,n γγγ"的过渡矩阵是B ，则12,,,n γγγ"到12,,,n ααα"的过渡矩阵是 ．4．已知,,αβγ为线性空间V 的三个线性无关的向量，则子空间(,)(,)L L αββγ+的维数为 ．5．若1212dim()dim dim V V V V +=+，则12V V ∩= ．6．设三维线性空间V 的基123,,ααα到123,,βββ的过渡矩阵为111111111A ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，向量η在基123,,βββ下的坐标为(1,2,3)，在η在基123,,ααα下的坐标为 ．三、简述下列定义1．子空间的和12V V += 2．生成子空间123(,,)L ααα= 3．子空间的直和：四、设β可由12,,,r ααα"线性表出，但不能由121,,,r ααα−"线性表出，证明：121121(,,,,)(,,,,)r r r L L αααααααβ−−=""．五、设A 、B 是两个固定的n 级矩阵，证明：（1）{},n n W X X P AX XB ×=∈=是n n P ×的一个子空间；（2）当A B =是主对角元两两互异的对角矩阵时，W 是什么样的子空间，并求W 的维数及一组基（可以只写结果，不必说明理由）．（六、设1(1,1,3,7)α=−，2(2,1,0,1)α=−，3(1,1,1,1)α=−，4(1,2,1,0)α= （1）分别写出生成子空间12(,)L αα与34(,)L αα的基和维数； （2）求1234(,,,)L αααα的一组基和维数； （3）求1234(,)(,)L L αααα∩的维数．（4）求1234(,)(,)L L αααα∩的一组基（选做）．七、补充题设[]n P x 表示数域P 上次数小于n 的多项式及零多项式作成的线性空间，a P ∈． （1）验证{}1()()0,()[]n V f x f a f x P x ==∈是[]n P x 的一个子空间； （2）求1V 的一组基及维数；（3）记2V P =，则2V 也是数域P 上的一个子空间，试证明：12[]n P x V V =⊕．。
第六章线性空间自测练习及答案
第六章 线性空间—自测答案一.判断题1.两个线性子空间的和（交）仍是子空间。
2.两个线性子空间的并仍是子空间。
3.n 维线性空间中任意n 个线性无关的向量可以作为此空间的一组基。
4.线性空间中两组基之间的过渡阵是可逆的。
5.两个线性子空间的和的维数等于两个子空间的维数之和。
6.同构映射的逆映射仍是同构映射。
7.两个同构映射的乘积仍是同构映射。
8.同构的线性空间有相同的维数。
9.数域P 上任意两个n 维线性空间都同构。
10.每个n 维线性空间都可以表示成n 个一维子空间的和。
答案：错：2.5.8 对：1.3.4.6.7.9.10 二.计算与证明1. 求[]n P t 的子空间1011{()|(1)0,()[]}n n n W f t a a t a t f f t P t --==++=∈……+的基与维数。
解：(1)0f =0110n a a a -∴++=……+ 0121n a a a a -∴=----……设11a k =，22a k =，…，11n n ak --=，故0121n a k k k -=----……，21121121()n n n f t k k k k t k t k t ---∴=---+++ 21121(1)(1)(1)n n t k t k tk --=-+-++-因此，W 中任一多项式可写成211,1,,1n t t t ---- 的线性组合，易知211,1,,1n t t t---- 线性无关，故为W 的一组基，且W 的维数为n -1. 2. 求22P ⨯中由矩阵12113A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，21020A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，33113A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，41133A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭生成的子空间的基与维数。
解：取22P ⨯的一组基11122122,,,E E E E ，则有 12341112212221311011,,,)(,,,)12133033A A A A E E E E ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦（ 设213110111213333A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，即为1234,,,A A A A 在11122122,,,E E E E 下的坐标矩阵，对其作初等行变换得矩阵1011011-1000000B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦1234dim (,,,)2L A A A A rankB ∴==，12,A A 为一组基。
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是否构成V
的
子空间.
解：因为对于W
中任意两元素
A
a
a
b
a
b
b ,
B
c
c
d
c
d
d
及其任意
实数 k ，都有
A
B
a
a
b
a
b
b
c
c
d
c
d
d
a
ac cb
d
a
c b
b d
d
W
kA
k
a
a
b
a
b
b
ka ka kb
ka kb kb
W
即
W
关于
加法和数乘封闭；又
W
中任
0 3
x1 x3
x2
x1 x2
x4
由矩阵相等的条件，得方程组
x1 x2
x1
x2 x3
x4
2 0 1 3
解得：
x1 1, x2 1, x3 1, x4 3 ，
故所求坐标为：
x (1,1, 1, 3) .
例
3：V
R22 ,W
是形如
a
a b
a
b
b
的
2
阶实方阵，检验W
2k1 k2 k3 2k1 k2 k3
0 0
k1 3k2 5k3 0
由于上面方程组的系数矩阵的秩为 3，故它只有零解 k1 k2 k3 0 ，因此，
A1, A2, A3 线性无关. 接下来证明W 的维数是 3.
容易证明，B1
1 0
0 0
，B2
0 0
1 0
，B3
0 0
0 1
1 1 2 1 x1
2 1
1
1
x2
0
1 0
1 1
0 1
3 7
x3 x4
(1, 4,3, 1)T
故
x1 x2
k
1 4
k 4k
从而V1 V2的元素可以表示为
x11+x22 k1 4k2 k(5, 2, 3, 4)T
因此，向量 (5, 2, 3, 4)T 为V1 V2的一个基 ，且 dim(V1 V2 )=1.
证明:首先证明 A1, A2, A3 线性无关.
利用定义，设有一组常数 k1, k2, k3 ，使得
k1A1 k2 A2 k3 A3 O
即
A1
1 k1 2
2 1
k2
2 1
1 3
k3
4 1
1 5
0 0
0 0
西安交通大学
线性代数与解析几何
典型例题
得齐次线性方程组
k1 2k2 4k3 0
(II)的解空间分别为 V1, V2. 试求V1 V2及V1+V2的基与维数.
解：V1 span{1,2}, V2 span{1,2},若 V1 V2 , 则存在数 x1, x2 , x3, x4
使得 得齐次线性方程组
=x11+x22 =x33 +x44
即 解得其基础解系为：
x11+x22 x33 x44 0
解：令 k1 f1(x) k2 f2 (x) k3 f3(x) k4 f4 x 0
则得：
(k1 2k2 k3 2k4 )x3 2k1 3k2 5k4 x2
(4k1 9k2 6k3 7k4 )x (k1 2k2 5k3 5k4 ) 0
因此
1
2
4
1
2 3 9 1
1 0 6 5
2 5 7
k1 k2 k3
0 0 0
.
5 k4 0
1 0 3 4
设该齐次线性方程组的系数矩阵为
A，则
A
初等行变换
0 0
1 0
2 0
1 ， 0
0
0
0
0
由此可知 f1(x), f2 (x) 是线性无关的，且是 f1(x), f2 (x), f3(x), f4 (x) 所生成子空间的
；
单位化过程：
3
3
(3, 1) (1, 1)
1
(3, 2 ) (2 , 2 )
2
(1 , 2
1 ,0) 2
.
1
|
1 1
|
1
（
1 ，1 ，1 ）; 333
2
|
1 2
|
2
(
1, 6
1 , 6
2 ）; 6
3
|
1 3
|
3
(
1 , 2
1 ,0) 2
则1,2,3即为所求的标准正交向量组 .
例 4：设 B I3 2 T ，其中，
若 V1 V2 , 则 =1+2 ，其中 1 V1=span{1,2}1，2 V2 =span{1, 2} ，
因此 V1 V2 =span{1,2 ,1, 2} .故向量组 1,2 ,1, 2 的极大无关组的秩分别是
V1 V2 的 基 与 维 数 ， 通 过 计 算 可 得 ： 1,2 ,1 为 V1 V2 的 一 个 基 ， 所 以
基, 该子空间的维数为 2.
且
f3(x) 3 f1(x) 2 f2 (x); f4 (x) 4 f1(x) f2 (x).
例 3：已知齐次线性方程组(I) 的基础解系为1 (1, 2,1, 0)T ,2 (1, 2,1,1)T ,
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线性代数与解析几何
典型例题
齐次线性方程组(II)的基础解系为 1 (2, 1, 0,1)T ，2 (1, 1,3, 7)T ，方程组(I)和
(2 3
,1 3
,
2) 3
，证明：B 是正交矩阵.
解法一 分析：矩阵是正交矩阵的充要条件其列向量（行）是标准正交向量组.
证明：因为
2
4 2 4
3
9 9 9
T
1 3
2 3
1 3
2 3
2 9
1 9
2 9
2
4 2 4
3
9
9
9
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线性代数与解析几何
典型例题
那么
1 4 8
(I A)(I A) (I A)(I A)；于是有 (I A)1(I A)1 (I A)1(I A)1；
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线性代数与解析几何
典型例题
第 5 章 线性空间与欧氏空间
第一节 线性空间的基本概念
典型例题（A）
例 1: 检验下列集合对于给定的加法和数乘运算是否构成实数域 R 上的线性 空间：
(1)平面上不平行与某一固定向量的全部向量，关于通常的向量的加法及数 乘运算；
（2）全体 2 维实向量所组成的集合V ,关于通常的向量的加法及如下定义的 数乘运算： k (a,b) (ka,0) ；
例 2：
在
F 22
中，求
A
2 1
0 3
在基
A1
1
0
1 0
，
A2
1 0
1 0
，
A3
0 1
0 0
，
A4
0 0
0 1
下的坐标.
解：设所求的坐标为 x (x1, x2, x3, x4 )T ，
则有
A x1A1 x2 A2 x3 A3 x4 A4
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典型例题
即
2 1
（3）集合V 同（2），加法及数乘运算如下定义
(a1,b1) (a2 ,b2 ) (a1 a1) (b1 b2 a1a2 )
k
(a1 , b1 )
(ka1, kb1
k(k
1)a12 2
)
分析：判断一个集合是否是一个线性空间，首先要判断它对所定义加法和数
乘运算是否是封闭的，其次需要判断它是否满足 8 条运算规律.
意元素
A
a
a
b
a
b
b
可
以
写
成
：
a a
a 0
0 b
b b
1 a1
1 0
0 b1
1 1
a,b R
令矩阵
A1
1 1
10,
A2
0 1
11, A1, A2 W , 且A1, A2线性无关 ，故 A1, A2 为W 的一组
基，且 divW 2 ，因此W 是V 的子空间.
例
4 ： 设 1，2，3
是
R3
按此内积便成为一个欧氏空间.
例 2：设 e1,e,,en 是 n 维欧氏空间V 的一组基，证明：如果对于V 中任意两
个向量 a1e1 a2e2 anen , b1e1 b2e2 bnen ，都有
, a1b1 a2b2 anbn
(1)
则 e1,e,,en 是V 的标准正交基.
的
一
组
基
，
求
从
基
1,
1 2
2
,
1 3
3
到基
1 2,2 3,3 1 的过渡矩阵.
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典型例题
解
：设从
基
1
,
1 2
2
,
1 3
3
到
基
1 2,2 3,3 1
的
过
渡矩阵为
a11 a12 a13
A a21
a22
a23
，
a31 a32 a33
则
1 2 ,2 3,3 1
又
( T )2 ( T )( T ) T ( T )