1-1线性空间的概念

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1.1线性空间

Ⅱ 求（1）基I到基II的过渡矩阵；（2）向量 31 23 在基I下的坐标以及在自然基 e1 , e 2 下的坐标； T （3）向量 4,1,2 在基（I）下的坐标.
24
, e3
1.3 线性子空间定义1.8 设V为数域P上的线性空间，W是线性空间V的非空子集，若W关于V中的线性运算也构成数域P上的线性空间，则称W是V的线性子空间，简称子空间. 对任何线性空间V，显然由中单个零向量构成的子集是的子空间，称为的零子空间,记为{0}；V本身也是 V的子空间.这两个子空间称为V的平凡子空间.的其它子空间称为V的非平凡子空间. 若WＶ，且WＶ，称Ｗ是Ｖ的真子空间。
例1.2 1. n维向量空间Rn按照向量的加法以及向量与实数的数乘都构成实线性空间. 2.全体 mn实矩阵，在矩阵的加法及数乘两种运算下构成一个实线性空间，记为Rmn. 3.区间[a,b]上的全体连续实函数，按照函数的加法及数与函数的乘法构成一个实线性空间，记为C[a,b]. 4.全体次数小于 n的多项式连同零多项式，按照多项式的加法与数乘构成一个实线性空间，记为 Pn[x]. 5.齐次线性方程组 AX=0的全体解向量，在向量的加法及数乘两种运算下构成一个线性空间，也就是通常所说的解空间；注：非齐次线性方程组AX=b的全体解向量，在上述两种运算下不构成一个线性空间.
4.向量组
1,2 ,L ,m线性相关当且仅当其中至少
有一个向量是其余向量的线性组合。
11
5.向量组 1 ,2 ,L , m 线性无关，而 , 1 , 2 ,L , m 线性相关，则可以由向量组表示。
1,2 ,L ,m
唯一线性
6.线性无关组不含零向量，等价的含零向量的向量组必定线性相关。 7. 如果向量组 1 , 2 ,L , 线性无关，并且可由向量组 s 线性表示，则 s t 8.等价的线性无关向量组必定含有相同个数的向量.

第二节线性空间的定义与简单性质

注 ◆ 例 8 中集合 V 满足线性空间定义中的其他七条公理, 可见第五条虽然比较简单, 但是不可由其他七条推出.
◆ 在 8 条公理中只有第一条加法满足交换律不是独立的.
证明 ∵ 2( )＝2 2 ＝(1＋1) ＋(1 ＋1) ＝(1 ＋1 )＋(1 ＋1 )＝(＋ )＋( ＋ )＝＋( ＋ )＋ ,
, , , … 表示线性空间 V 中的元素，用小写的
拉丁字母 a, b, c, … 表示数域 P 中的数.
注 ◆ 向量空间的定义可简单记为 “1128 ” ，
即一个数域 P，这是基础域；一个集合Ｖ；两个
运算，又叫做线性运算；八条规则，其中前四条是
加法的运算律，这时称Ｖ对加法做成一个加群，第
例 3 全体定义在区间 [a,b]上的连续函数组成的集合V, 对于函数的加法及实数与连续函数的乘法, 构成实数域上的一个线性空间. 用 C [a,b] 表示.
例 4 数域 P 上一元多项式环 P[ x ]，按通常的多项式加法和数与多项式的乘法，构成数域 P 上的一个线性空间. 如果只考虑其中次数小于 n 的多项式，再添上零多项式也构成数域 P 上的一个线性空间，用 P[ x ]n 表示. 但是，数域 P 上的 n 次多项式集合对同样的运算不构成线性空间，因为两个 n 次多项式的和可能不是 n 次多项式.
证明 + 0 = 1 + 0 = (1 + 0) = 1 = .
所以
0 = 0 .
k0 + k = k (0 +) = k
所以
k0 = 0 .
(-1) + = (-1) + 1 =[(-1) + 1] = 0 =0 ,
所以

11线性空间

例 3 在实数域上，次数不超过 n 的多项式的全体
P[x]n {an xn an1xn1 a1x a0 an , an1,, a0 R}
对于通常的多项式加法，数与多项式的乘法构成线性空间．
例 4 在实数域上， m n 矩阵全体 Rmn 按照通常矩阵的
加法，数与矩阵的乘法构成一个线性空间.
例 1. 实数域 R 按照实数间的加法与乘法，构成一个自身上的线性空间，仍记为 R ．
例 2 分量属于数域 P 的全体 n 元数组 (x1, x2 , , xn )T 按照通常的加法与数与 n 元数组的乘法，构成 P 上的一个线性空间，记作 Pn ．当 P = C 时，Pn 称为 n 元复线性空间，记作 C n ；当 P = R 时，Pn 称为 n 元实线性空间，记作 Rn ．
S x Ax , x Cn 是否构成线性空间？
例 9 设 an ,bn 是两个收敛于 0 的实数无穷序列，则
lnim(an

bn
)

lim
n
an

lim
n
bn
0；
且 a R, 有
lim
n
aan

a
lim
n
an
0；
并且易证八条性质也成立．所以，一切收敛于 0 的实序列对于如上
此基称为 R n 的标准基．因对于任意的 (a1, a2 , , an )T R n ，
有
a11 a2 2 an n ，
所以在基1, 2 ,, n 下的坐标为 (a1, a2 ,, an )T ．
例 15 在 Rn 中如下的 n 个向量
1 (1,1,1,,1),T 2 (0,1,1,,1)T , ， n (0,0,,0,1)T 也是 R n 的一个基，因为对于任意的 (a1, a2 , , an )T R n ，有

矩阵分析引论--第一章线性空间与线性变换-线性空间的概念、基变换与坐标变换

二、线性空间的定义 1、数域
复数集的一个非空子集，含非零数，对和、差、积、商(除数不为零)运算封闭.
• 性质：
必包含0与1；有理数域是最小的数域.
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第一章第一二节线性空间的概念、基变换与坐标变换
2、线性空间
定义1-1（线性空间）设V是一非空集合，P是一数域，若
（1）在V上定义了一个二元运算(称为加法, a与b 的和记为a＋b）, 且 a , b V,有 a b V ;
（2）在P与V的元素之间还定义了一种运算(称为
数乘, k与a的数乘记为ka),
且 a V ,k P, 有 ka V ；
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第一章第一二节线性空间的概念、基变换与坐标变换
（3）加法与数乘满足以下八条规则：
(ⅰ) a b b a； (ⅱ) (a b ) a (b )；
第一章第一二节线性空间的概念、基变换与坐标变换
第一节线性空间的概念
一、线性代数回顾
★ n维向量：有序数组 ★ 线性运算：加法、数乘 ★ 运算律（八条） ★ 向量关系：线性相关、线性无关 ★ 向量空间 ★ 子空间 ★基
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第一章第一二节线性空间的概念、基变换与坐标变换
(ⅲ) a 0 a；
(ⅳ) a (a ) 0；
(ⅴ) 1a a；
(ⅵ) k(la ) (kl)a；
(ⅶ) (k l)a ka la ;(ⅷ) k(a b ) ka kb .
则称集合V为数域P上的线性空间或向量空间.
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第一章第一二节线性空间的概念、基变换与坐标变换
又若向量 b k1a1 k2a2 knan , 则b 也称为向量 a1,a2,,an 的线性组合，或称 b 可以由向量 a1,a2,,an 线性表示.

第1章线性空间与线性变换

请双面打印/复印(节约纸张)工程矩阵理论主讲: 张小向第一章线性空间与线性变换第一节线性空间的基本概念第二节基, 维数与坐标变换第三节子空间的和与交第四节线性映射第五节线性映射的矩阵第六节线性映射的值域与核第七节几何空间线性变换的例子第八节线性空间的同构第一章线性空间与线性变换§1.1 线性空间的基本概念第一章线性空间与线性变换§1.1 线性空间的基本概念§1.1 线性空间的基本概念一. 几个具体的例子 1.n= {(a1, …, an)T | a1, …, an ∈ }.2, 3).1. n. 2. [x]. 3. Mm×n( ). 4. { f(x) | f: → }. 5. = {x∈ | x > 0}. a⊕b = ab, ∀a, b∈ +; k⊗a = ak, ∀a∈ 6. V = {α}.+, +非空集合(特例: 2. [x] ={a0+a1x+…+anxn a11 a21 … am1| a1, …, an ∈ }. .3. Mm×n( ) =a12 … a1n a22 … a2n 诸aij ∈ … …… am2 … amn共同点系数域两种运算八条规则∀k∈ .α +α = α, kα = α, ∀k∈ .第一章线性空间与线性变换§1.1 线性空间的基本概念第一章线性空间与线性变换§1.1 线性空间的基本概念二. 线性空间的定义与性质定义1.1.1 线性空间V(F). V——非空集合 F——数域加法交换律结合律有零元素每个元素都有负元素 1α = α k(lα) = (kl)α (k+l)α = kα + lα k(α+β) = kα + kβ定理1.1.1. (1) 零向量唯一; (2) 任一向量的负向量唯一; (3) 0α = θ; (4) kθ = θ; (5) (−1)α = −α, (−k)α = −(kα); (6) kα = θ ⇒ k = 0或α = θ.数乘272365083@1请双面打印/复印(节约纸张)第一章线性空间与线性变换§1.1 线性空间的基本概念第一章线性空间与线性变换§1.1 线性空间的基本概念三. 线性组合, 线性表示 1. 设α1, …, αk ∈V(F), x1, …, xk ∈F, 则称 x1α1 + … + xkαk 为α1, …, αk的一个线性组合. 2. 设α1, …, αk, β ∈ V(F). 若∃ x1, …, xk ∈ F s.t. β = x1α1 +…+ xkαk 则称β能由向量组α1, …, αk线性表示. 3. 若β1, …, βl都能由α1, …, αk线性表示,则称向量组β1, …, βl能由α1, …, αk线性表示.四. 形式矩阵设α1, …, αk , β1, …, βk ∈V(F). 1. 若α1 = β1, …, αk = βk , 则记(α1, …, αk) = (β1, …, βk). 2. 规定 (α1, …, αk) + (β1, …, βk) = (α1+β1, …, αk+βk). 3. 若a ∈F, 则规定 a(α1, …, αk) = (aα1, …, aαk).第一章线性空间与线性变换§1.1 线性空间的基本概念第一章线性空间与线性变换§1.1 线性空间的基本概念4. 若x1, …, xk ∈F, 则记 x1α1 +…+ xkαk = (α1, …, αk) x1 . xk 5. 若A = (A1, …, As) ∈ Mk×s(F), 则规定 (α1, …, αk)A = ((α1, …, αk)A1, …, (α1, …, αk)As). …注: 设α1, …, αk , β1, …, βk ∈V(F). a, b ∈ F, A, B ∈ Mk×s(F), C ∈ Ms×t(F). 记α = (α1, …, αk), β = (β1, …, βk), 则可以验证下列等式成立: ① a(α + β) = aα + aβ, ② (a+b)α = aα + bα, ③ a(bα) = (ab)α. ④ (α + β)A = αA + βA, ⑤ α(A+B) = αA + αB, ⑥ (αA)C = α(AC), ⑦ (aα)A = a(αA) = α(aA).第一章线性空间与线性变换§1.1 线性空间的基本概念第一章线性空间与线性变换§1.1 线性空间的基本概念五. 线性空间的子空间定义1.1.2 子空间, W ≤ V(F) 定理1.1.2. 设∅ ≠ W ⊆ V(F), 则 W ≤ V(F) ⇔ W关于的加法和数乘封闭. 注: V(F)的两个平凡的子空间. {θ}, V(F)六. 由子集合{α1, α2, …, αk}生成的子空间 {α1, α2, …, αk}——生成系, 生成元集i=1 k∑ xiαi —— α1, α2, …, αk的一个线性组合组合系数 W = { ∑ xiαi | ∀xi∈ F}.k记为L[α1, α2, …, αk]或span{α1, α2, …, αk}.i=1272365083@2请双面打印/复印(节约纸张)第一章线性空间与线性变换§1.2 基, 维数与坐标变换第一章线性空间与线性变换§1.2 基, 维数与坐标变换§1.2 基, 维数与坐标变换一. 向量组的线性相关性定义1.2.1 线性相关, 线性无关. 定理1.2.1 设(I) α1, α2, …, αs线性无关, 且能由 (II) β1, β2, …, βt线性表示, 则s ≤ t. 推论1 设(I)与(II)都线性无关, 且等价, 则s = t. 推论2 设(I)能由(II)线性表示, 且s > t, 则(I)必线性相关.二. 基、维数定义1.2.2 基, 维数. 例子. 1. n. 2. [x], [x]n = {a0+a1x+…+an−1xn−1 | …}. 3. Mm×n( ). 4. { f(x) | f: → }. 5. = {x∈ | x > 0}. a⊕b = ab, ∀a, b∈ +; k⊗a = ak, ∀a∈ +, ∀k∈ . 6. V = {θ}.+第一章线性空间与线性变换§1.2 基, 维数与坐标变换第一章线性空间与线性变换§1.2 基, 维数与坐标变换定理1.2.2 若dimV = n, 则V中任意 n 个线性无关的向量都构成V的一组基. 定理1.2.3 若W ≤ V, dimV = n, α1, …, αr 为W 的一组基, 则∃αr+1, …, αn∈ V 使得 α1, …, αr, αr+1, …, αn构成V的一组基.三. 坐标定义1.2.3 设α1, …, αn为V的一组基, ξ ∈ V. 若ξ = x1α1 + … + xnαn, 则称有序数组(x1, …, xn)为ξ在基 α1, …, αn下的坐标, (x1, …, xn)T称为ξ的坐标向量.第一章线性空间与线性变换§1.2 基, 维数与坐标变换第一章线性空间与线性变换§1.2 基, 维数与坐标变换定理1.2.4 设α1, …, αn为V的一组基, (β1, …, βr) = (α1, …, αn)x11 … x1r x11 … x1r xn1 … xnr … …四. 坐标变换 V的两组基 , P, 可逆X=xn1 … xnr,p11 … p1n (β1, …, βn) = (α1, …, αn) … … … , pn1 … pnn 称P为从基α1, …, αn到β1, …, βn的过渡矩阵.…则β1, …, βr线性无关 ⇔ 秩(X) = r.272365083@…3请双面打印/复印(节约纸张)第一章线性空间与线性变换§1.2 基, 维数与坐标变换第一章线性空间与线性变换§1.3 子空间的和与交四. 坐标变换 V的两组基 P, 可逆§1.3 子空间的和与交一. 基本概念与结论定义1.3.1 设V1, V2 ≤ V. V1与V2的和: V1 + V2 = {α1 + α2 | α1∈V1, α2∈V2}. V1与V2的交: V1∩V2 = {α∈V | α∈V1且α∈V2}. 定理1.3.1 V1, V2 ≤ V ⇒ V1 + V2, V1∩V2 ≤ V.p11 … p1n (β1, …, βn) = (α1, …, αn) … … … , pn1 … pnnξ = (α1, …, αn)X = (β1, …, βn)Y,(α1, …, αn)PY ⇒ X = PY, Y = P−1X. ——坐标变换公式 =第一章线性空间与线性变换§1.3 子空间的和与交第一章线性空间与线性变换§1.3 子空间的和与交注: ① 子空间V1∩V2与集合V1∩V2是一致的. ② 一般情况下, V1+V2 ≠ V1∪V2. 例如V =3,zOV1 = xOy平面, V2 = yOz平面, V1+V2 = V, V1∩V2 = y轴.定理1.3.2 (维数定理) 设V1, V2是V的两个有限维子空间, 则 dimV1 + dimV2 = dim(V1+V2) + dim(V1∩V2). 证明: (关键步骤) y(1) 取V1∩V2的一组基α1, …, αr ; (2) 把α1, …, αr扩充成V1的一组基 α1, …, αr, βr+1, …, βs ; (3) 把α1, …, αr扩充成V2的一组基 α1, …, αr, γr+1, …, γt ; (4) 验证α1, …, αr, βr+1, …, βs, γr+1, …, γt 线性无关(从而构成V1+V2的一组基).x③ V1+V2 = V1∪V2 的充分必要条件是 V1⊆V2 或 V2⊆V1.第一章线性空间与线性变换§1.3 子空间的和与交第一章线性空间与线性变换§1.3 子空间的和与交k1α1+…+krαr+kr+1βr+1+…+ksβs+lr+1γr+1+…+ltγt = 0 ⇒ lr+1γr+1+…+ltγt = −k1α1−…−krαr−kr+1βr+1−…−ksβs ∈ V1∩V2 ⇒ ∃l1, …, lr s.t. lr+1γr+1+…+ltγt = l1α1+…+lrαr i.e. l1α1+…+lrαr −lr+1γr+1−…−ltγt = 0 ⇒ l1 = … = lr = lr+1 = … = lt = 0 ⇒ k1α1+…+krαr+kr+1βr+1+…+ksβs = 0 ⇒ k1 = … = kr = kr+1 = … = ks = 0dimV1 + dimV2 = dim(V1+V2) + dim(V1∩V2) 例1(1) V = 3, V1 = xOy平面, V2 = yOz平面, V1+V2 = V, V1∩V2 = y轴, dimV1 = dimV2 = 2, dim(V1+V2) = 3, dim(V1∩V2) = 1. zOyx272365083@4请双面打印/复印(节约纸张)第一章线性空间与线性变换§1.3 子空间的和与交第一章线性空间与线性变换§1.3 子空间的和与交例1(2) V = V2 =2×2,V1 =x y z tx = y ≤ V,例1(3) V = V2 =2×2,V1 =x −x y −yx, y ∈ ≤ V,≤ V,x y z tx + y + z = 0 ≤ V,x y z tx y x yx, y ∈0 0V1+V2 = ______. V1∩V2 =x=y且x+y+z=0 ,则 0 0 , 构成V1的一组基, 1 −11 0 0 1 , 构成V2的一组基, 1 0 0 11 −1dimV1 = dimV2 = 3, dim(V1∩V2) = 2, 故dim(V1+V2) = 3 + 3 − 2 = 4 = dimV, 可见V1+V2 = V.故dimV1 = dimV2 = 2.x −x y −y ∈V2 ⇔ x = y. x −x 故V1∩V2 = x −x x ∈.第一章线性空间与线性变换§1.3 子空间的和与交第一章线性空间与线性变换§1.3 子空间的和与交可见1 −1 构成V1∩V2的一组基, 1 −1dim(V1∩V2) = 1. 故dim(V1+V2) = dimV1 + dimV2 − dim(V1∩V2) = 2 + 2 − 1 = 3. 事实上,1 0 0 1 1 −1 0 0 , , 1 0 , 0 1 线性相关, 0 0 1 −1二. 子空间的直和定义1.3.2 设V1, V2 ≤ V. 若对于∀α∈V1+V2, ∃| α1∈V1, α2∈V2, s.t. α = α1 + α2, 则称V1 + V2为V1与V2的直和, 记为V1⊕V2.其中任意3个都线性无关, 因而构成V1+V2的一组基.α = α1 + α2, α1∈V1, α2∈V2 ⇒ α = β1 + β2, β1∈V1, β2∈V2 α1 = β1, α2 = β2.第一章线性空间与线性变换§1.3 子空间的和与交第一章线性空间与线性变换§1.3 子空间的和与交定理1.3.3 设V1, V2 ≤ V, 则下列条件等价: (1) V1 + V2是直和; (2) V1 + V2中0分解式唯一, 即 0 = α1+α2 (αi∈Vi) ⇒ α1 = α2 = 0; (3) V1∩V2 = {0}; 当dimV1, dimV2 < ∞时, 上述条件还等价于 (4) dim(V1+V2) = dimV1 + dimV2.定理1.3.4 设V1 ≤ V, dimV = n, dimV1 = r, 则存在V的n−r维子空间V2使得 V = V1⊕V2. 定义1.3.3 设V1, …, Vs ≤ V, 则V1, …, Vs的和 V1 + … + Vs = {α1 +…+ αs | αi∈Vi}. 若对于∀α ∈ V1 + … + Vs , ∃| αi∈Vi (i = 1, …, s) s.t. α = α1 + … + αs , 则称V1 +…+ Vs为V1, …, Vs的直和, 记为V1⊕…⊕Vs .272365083@5请双面打印/复印(节约纸张)第一章线性空间与线性变换§1.3 子空间的和与交第一章线性空间与线性变换§1.3 子空间的和与交定理1.3.5 设Vi ≤ V (i = 1, …, s), 则TFAE: (1) V1 + … + Vs是直和; (2) V1 + … + Vs中0分解式唯一; (3) Vk∩Σi≠kVi = {0}, k = 1, …, s; 当dimVi < ∞ (i = 1, …, s)时, 上述条件还等价于 (4) Σ dimVi = dim( Σ Vi).i=1 i=1 s s例2. 设A2 = A ∈ Fn×n, V1 = {X ∈ Fn | AX = 0}, V2 = {X∈Fn | AX = X}. 证明: Fn = V1⊕V2. 证明: (1) 容易验证V1, V2 ≤ Fn. (2) ∀α∈Fn, 有α = (α − Aα) + Aα, A(α − Aα) = Aα − A2α = 0, A(Aα) = A2α = Aα. 可见α ∈ V1+V2. 这就证明了Fn ⊆ V1+V2. 又因为V1+V2 ⊆ Fn, 所以Fn = V1+V2.第一章线性空间与线性变换§1.3 子空间的和与交第一章线性空间与线性变换§1.4 线性映射例2. 设A2 = A ∈ Fn×n, V1 = {X ∈ Fn | AX = 0}, V2 = {X∈Fn | AX = X}. 证明: Fn = V1⊕V2. 证明: (1) 容易验证V1, V2 ≤ (2) Fn = V1+V2. (3) 若α∈V1∩V2, 则α = Aα = 0. Fn. 可见V1∩V2 ⊆ {0}. 又因为{0} ⊆ V1∩V2, 所以V1∩V2 = {0}. 综上所述, Fn = V1⊕V2.§1.4 线性映射一. 映射定义1.4.1 像原像 • • • 映射 • • • • • • 满射 • •第一章线性空间与线性变换§1.4 线性映射第一章线性空间与线性变换§1.4 线性映射• • 单射注:• • •• • • 双射• • •f:→; a → |a| ;a→ √a2(∀a∈ ) (∀a∈ )g: →f = g —— ∀a∈ , f(a) = g(a) 一般地, 若映射f, g: A → B满足 f(a) = g(a) (∀a∈A) 则称映射f与g相等, 记为f = g.• • •• • •• •• • •不是映射不是映射272365083@6请双面打印/复印(节约纸张)第一章线性空间与线性变换§1.4 线性映射第一章线性空间与线性变换§1.4 线性映射• • • f • • •• • •• • • g • • • gf• • •注① 映射的复合运算满足结合律: f: A → B, g: B → C, h: C → D (hg)f = h(gf). A B f b• g C c• h D d•• • •a•[(hg)f](a) = (hg)[f(a)] = (hg)(b) = h[g(b)] = h{g[f(a)]} = h[(gf)(a)] = [h(gf)](a)f: A → B与g: B → C的乘积 gf: A → C定义为 ( gf )(a) = g[ f(a)] (∀a∈A).第一章线性空间与线性变换§1.4 线性映射第一章线性空间与线性变换§1.4 线性映射注② 1A: A → A, f: A → B, 1B: B → B f⋅1A = f, A a• 1A A a• f 1B⋅f = f. B b• 1B B b• • • • 双射f • • • • • • • • •f的逆映射( f⋅1A)(a) = f [1A(a)] = f(a) (1B⋅f )(a) = 1B[ f(a)] = f(a)若映射f: A → B, g: B → A满足 gf = 1A, fg = 1B, 则称g为f 的逆映射, 记为g = f −1. 注① g = f −1 ⇒ f = g−1. 注② f: A → B有逆映射⇔ f: A → B为双射.第一章线性空间与线性变换§1.4 线性映射第一章线性空间与线性变换§1.4 线性映射注② f: A → B有逆映射⇔ f: A → B为双射.证明: (⇒) 设f: A → B有逆映射g: B → A, 则 (1) ∀x, y ∈ A, 由 f(x) = f(y)可得 x = 1A(x) = gf(x) = gf(y) = 1A(y) = y. 可见 f: A → B为单射. (2) ∀b ∈ B, ∃a = g(b) ∈ A s.t. f(a) = f[g(b)] = fg(b) = 1B(b) = b. 可见 f: A → B为满射. 所以 f: A → B为双射.注② f: A → B有逆映射⇔ f: A → B为双射.证明: (⇐) 设 f: A → B为双射, 则 ∀b ∈ B, ∃| a ∈ A s.t. f(a) = b. 令g(b) = a, 可得映射g: B → A. 而且 (1) ∀b ∈ B, 有 fg(b) = f[g(b)] = f(a) = b. 这就是说, fg = 1B. (2) ∀a ∈ A, 令b = f(a) ∈ B, 按g的定义, gf(a) = g[ f(a)] = g(b) = a. 这就是说, gf = 1A, 可见 f: A → B有逆映射g: B → A.272365083@7请双面打印/复印(节约纸张)第一章线性空间与线性变换§1.4 线性映射第一章线性空间与线性变换§1.4 线性映射例1. 设A为数域F上的n阶方阵, Fn = {(a1, …, an)T | a1, …, an∈F}. 映射f: Fn→ Fn定义为 f(x) = Ax. 证明下列条件等价: (1) f: Fn→ Fn为单射; (2) f: Fn→ Fn为满射; (3) A可逆.证明: (1)⇒(3) 假设A不可逆, 则|A| = 0, 故r(A) < n, 因而Ax = 0有非零解, 即存在x ≠ 0使得Ax = 0, 于是f(x) = Ax = 0 = A0 = f(0). 这与“f: F n→ F n为单射”矛盾. 所以A可逆. (3)⇒(1) 对于任意的x, y ∈ F n, 若f(x) = f(y), 即Ax = Ay, 因为A可逆, 所以x = A−1Ax = A−1Ay = y. 可见 f: F n→ F n为单射.第一章线性空间与线性变换§1.4 线性映射第一章线性空间与线性变换§1.4 线性映射证明: (2)⇒(3) 因为f: F n→ F n是满射, 所以存在n阶方阵B = (ξ1, …, ξn)使得 AB = (Aξ1, …, Aξn) = ( f(ξ1), ..., f(ξn)) = (e1, …, en) = I. 从而|A|×|B| = |AB| = |I| = 1, 故|A| ≠ 0, 因而A可逆. (3)⇒(2) 对于任意的y ∈ F n, 令x = A−1y, 则x ∈ F n, 而且f(x) = Ax = AA−1y = y. 可见f: F n→ F n为满射.二. 线性映射与线性变换定义1.4.2 设U, V为数域F上的线性空间. 若映射 f: V → U保持加法和数乘, 即 f(α+β) = f(α) + f(β), f(kα) = kf(α), ∀α, β ∈ V, k ∈ F, 则称 f 为线性映射. 特别地, 当U = V时, 称线性映射 f: V → V为V上的线性变换. 注① f(kα+lβ) = kf(α) + lf(β), ∀α, β ∈ V, k ∈ F.第一章线性空间与线性变换§1.4 线性映射第一章线性空间与线性变换§1.4 线性映射注② Hom(V, U) = { f: V → U | f为线性映射}. 注③ 若 f ∈ Hom(V, U), 则 f(0V) = 0U; f(−α) = −f(α); f(x1α1+…+xsαs) = x1 f(α1) +…+ xs f(αs); α1, …, αs线性相关 ⇒ f(α1), …, f(αs)线性相关. 注④ 若 f: V → U 满足 f(α) = 0, ∀α∈V, 则 f ∈ Hom(V, U), 称为零映射, 记为0.注⑤ 若 f: V → V 满足 f(α) = α, ∀α∈V, 则 f ∈ Hom(V, V), 称为V上的恒等变换, 记为 I 或 IdV . 注⑥ 对于 f ∈ Hom(V, U), 可以把 ( f(α1), …, f(αs))记为f(α1, …, αs). 相应地, 可以把 f(x1α1+…+xsαs) = x1 f(α1) +…+ xs f(αs) 改写成 ( α1, ), …, f(α f((α1, …, αs)X) = f(f(α1…, αs)X. s))X272365083@8请双面打印/复印(节约纸张)第一章线性空间与线性变换§1.4 线性映射第一章线性空间与线性变换§1.4 线性映射三. 线性映射的运算定义1.4.3 (1) 线性运算设 f, g ∈ Hom(V, U), k ∈ F. 定义 ( f + g)(α) = f(α) + g(α), (kf )(α) = kf(α), ∀α∈V. (2) 复合运算设 f∈Hom(V, U), g∈Hom(U, W). 定义 (gf )(α) = g[ f(α)], ∀α∈V.注: 对于V上的线性变换 f 及正整数s, 定义 f 0 = I, f 1 = f, f 2 = ff, …, f s = ff s−1. 定理1.4.1(1) 设 f, g ∈ Hom(V, U), k ∈ F, 则 f + g, kf ∈ Hom(V, U). (2) 设 f∈Hom(V, U), g∈Hom(U, W), 则 gf∈ Hom(V, W). 证明: (2) (gf )(kα+lβ) = g[ f(kα+lβ)] = g[kf(α) + lf(β)] = kg[ f(α)] + lg[ f(β)] = k(gf )(α) + l(gf )(β).第一章线性空间与线性变换§1.4 线性映射第一章线性空间与线性变换§1.5 线性映射的矩阵定理1.4.2 设 f ∈ Hom(V, U). 若 f 可逆, 则 f −1 ∈ Hom(U, V). 证明: ∀ξ, η ∈ U, k, l ∈ F, 令α = f −1(ξ ), β = f −1(η)∈ V, 则 f [ f −1(kξ + lη)] = kξ + lη = kf(α) + lf(β) = f(kα + lβ), 故 f −1(kξ + lη) = kα + lβ = kf −1(ξ ) + lf −1(η).§1.5 线性映射的矩阵一. 线性映射在给定的基偶下的矩阵设α1, …, αn为V的一组基, β1, …, βs为U的一组基, f ∈ Hom(V, U), 则存在A = (aij)s×n使得 ( f(α1), …, f(αn)) = (β1, …, βs)a11 … a1n as1 … asn,简记为 f(α1, …, αn) = (β1, …, βs)A. 称为 f 在基偶{α1, …, αn}与{β1, …, βs}下的矩阵表示. A —— f 在基偶…下的矩阵.……第一章线性空间与线性变换§1.5 线性映射的矩阵第一章线性空间与线性变换§1.5 线性映射的矩阵特别地, 设α1, …, αn为V的一组基, f ∈ Hom(V, V), 则存在A = (aij)n×n使得 ( f(α1), …, f(αn)) = (α1, …, αn)a11 … a1n an1 … ann注① 零映射在任意基偶下的矩阵都是O; 恒等变换在任一组基下的矩阵都是I. 注② 设α1, …, αn为V的一组基, ,…简记为 f(α1, …, αn) = (α1, …, αn)A. 称为 f 在基{α1, …, αn}下的矩阵表示. A —— f 在基{α1, …, αn}下的矩阵.…β1, …, βs为U的一组基, f(α1, …, αn) = (β1, …, βs)A. 若ξ = x1α1 + … + xnαn = (α1, …, αn)X, 则 f(ξ) = f(x1α1 + … + xnαn) = x1 f(α1) + … + xn f(αn) = ( f(α1), …, f(αn))X = f(α1, …, αn)X = (β1, …, βs)AX.272365083@9请双面打印/复印(节约纸张)第一章线性空间与线性变换§1.5 线性映射的矩阵第一章线性空间与线性变换§1.5 线性映射的矩阵例2. 在 [x]n中, D[p(x)] = p′(x), D(1, x, x2, …, xn−2, xn−1)0 0 0 . 0 … 0 1 0 … 0 0 0 2 … 0 … 2, …, xn−2, xn−1) 0 0 0 = (1, x, x n−2 0 0 0 … 0 0 0 0 … 0 … … …例3. D: [x]n → D(1, x, x2,[x]n−1, D[p(x)] = p′(x), …, xn−2, xn−1)0 0 0 . …0 1 0 … 0 0 0 2 … 0 = (1, x, x2, …, xn−2) 0 0 0 … … … ……n−1…0 0 0 … 0 n−1n−2例4. 设A ∈F s×n, f: F n → F s, f(X) = AX. f(e1, …, en) = (Ae1, …, Aen) = AIn = A = IsA = (ε1, …, εs)A.第一章线性空间与线性变换§1.5 线性映射的矩阵第一章线性空间与线性变换§1.5 线性映射的矩阵二. 线性映射在两对基偶下的矩阵间的联系定理1.5.1 设 f ∈ Hom(V, U), 其中 V的一组基α1, …, αn到另一组基 β1, …, βn的过渡矩阵为P; U的一组基ξ1, …, ξs到另一组基 η1, …, ηs的过渡矩阵为Q. 若 f(α1, …, αn) = (ξ1, …, ξs)A, f(β1, …, βn) = (η1, …, ηs)B, 则B = Q−1AP.证明: (β1, …, βn) = (α1, …, αn)P (η1, …, ηs) = (ξ1, …, ξs)Q f(α1, …, αn) = (ξ1, …, ξs)A f(β1, …, βn) = (η1, …, ηs)B⇒(ξ1, …, ξs)AP = f(α1, …, αn)P = f((α1, …, αn)P) = f(β1, …, βn) = (η1, …, ηs)B = (ξ1, …, ξs)QB ⇒ AP = QB ⇒ B = Q−1AP.第一章线性空间与线性变换§1.5 线性映射的矩阵第一章线性空间与线性变换§1.5 线性映射的矩阵定理1.5.2 设 f ∈ Hom(V, V), 其中 V的一组基α1, …, αn到另一组基 β1, …, βn的过渡矩阵为P. 若 f(α1, …, αn) = (α1, …, αn)A, f(β1, …, βn) = (β1, …, βn)B, 则B = P−1AP.三. 线性变换运算的矩阵设V的一组基为α1, …, αn , 线性变换 f: V→V在这组基下的矩阵记为 [ f ]. 定理1.5.3 设 f, g ∈ Hom(V, V), k ∈ F, 则 (1) [ f + g] = [ f ] + [g]. (2) [kf ] = k[ f ]. (3) [ fg] = [ f ][g]. (4) f 可逆⇒[ f −1] = [ f ]−1.272365083@10请双面打印/复印(节约纸张)第一章线性空间与线性变换§1.5 线性映射的矩阵第一章线性空间与线性变换§1.5 线性映射的矩阵证明: (1)( f + g)(α1, …, αn) = (( f + g)(α1), …, ( f + g)(αn)) = ( f(α1)+g(α1), …, f(αn)+g(αn)) = ( f(α1), …, f(αn)) + (g(α1), …, g(αn)) = f(α1, …, αn) + g(α1, …, αn) = (α1, …, αn)[ f ] + (α1, …, αn)[g] = (α1, …, αn){[ f ]+[g]}.证明: (2)(kf )(α1, …, αn) = ((kf )(α1), …, (kf )(αn)) = (kf(α1), …, kf(αn)) = k( f(α1), …, f(αn)) = kf(α1, …, αn) = k{(α1, …, αn)[ f ]} = (α1, …, αn){k[ f ]}.第一章线性空间与线性变换§1.5 线性映射的矩阵第一章线性空间与线性变换§1.5 线性映射的矩阵证明: (3)( fg)(α1, …, αn) = (( fg)(α1), …, ( fg)(αn)) = ( f(g(α1)), …, f(g(αn))) = f(g(α1), …, g(αn)) = f(g(α1, …, αn)) = f((α1, …, αn)[g]) = f(α1, …, αn)[g] = ((α1, …, αn)[ f ])[g] = (α1, …, αn)([ f ][g]).证明: (4) 设[ f −1] = B, 即 f −1(α1, …, αn) = (α1, …, αn)B, 则(α1, …, αn) = ( ff −1)(α1, …, αn) = f( f −1(α1, …, αn)) = f((α1, …, αn)B) = f(α1, …, αn)B = ((α1, …, αn)[ f ])B = (α1, …, αn)([ f ]B), 由此可得[ f ]B = I, 因而[ f −1] = B = [ f ]−1.第一章线性空间与线性变换§1.5 线性映射的矩阵第一章线性空间与线性变换§1.5 线性映射的矩阵例5. 设dimV = n, f ∈ Hom(V, V), f 2 = I. 证明: [ f ]相似于 Ir O (0 ≤ r ≤ n). O −In−r证明: 令V1 = {α∈V | f(α) = α}, V2 = {α∈V | f(α) = −α}, 则V1, V2 ≤ V 且V1∩V2 = {0}. 1 1 ∀α∈V, 令β = −(α +f(α)), γ = −(α −f(α)), 2 2 则由f 2 = I 可得 f(β) = β, f(γ) = γ, 故β ∈V1, γ ∈V2, α = β + γ ∈V1 + V2. 可见V1 + V2 ⊆ V ⊆ V1 + V2.因而V = V1 + V2 = V1⊕V2 . 设V1的一组基为α1, …, αr , V2的一组基为βr+1, …, βn , f 在V的基α1, …, αr , βr+1, …, βn下的矩阵为 Ir O . O −In−r 由定理1.5.2可知, [ f ]相似于 Ir O . O −In−r272365083@11请双面打印/复印(节约纸张)第一章线性空间与线性变换§1.5 线性映射的矩阵第一章线性空间与线性变换§1.5 线性映射的矩阵四. 不变子空间定义1.5.1 设 f ∈ Hom(V, V), W ≤ V. 若∀α∈W, 有 f(α)∈W, 则称W为V的关于 f 的不变子空间, 简称为 f 的不变子空间. 此时, 定义 f |W: W → W; α → f(α), 则 f |W ∈ Hom(W, W), 称为f 在W上的限制.例如: ① 例5中, f ∈ Hom(V, V), f 2 = I, 则 V1 = {α∈V | f(α) = α}, V2 = {α∈V | f(α) = −α} 都是 f 的不变子空间. ② ∀ f ∈ Hom(V, V), {0}和V都是 f 的不变子空间.第一章线性空间与线性变换§1.5 线性映射的矩阵第一章线性空间与线性变换§1.6 线性映射的值域与核注: 设dimV = n, f ∈ Hom(V, V), V = U⊕W, 其中U, W都是 f 的不变子空间, U的一组基为α1, …, αr , W的一组基为βr+1, …, βn , 则 f |U(βi) = 0, i = r+1, …, n, f |W(αi) = 0, i = 1, …, r. 设 f |U在U的基α1, …, αr下的矩阵为A, f |W在W的基βr+1, …, βn下的矩阵为B, 则 f 在V的基α1, …, αr , βr+1, …, βn下的矩 A O 阵为 O B .§1.6 线性映射的值域与核一. 定义设 f ∈ Hom(V, U), 则称 f(V) = { f(α) |α∈V}为 f 的值域, 记为R( f ); 称K( f ) = {α∈V | f(α) = 0}为 f 的核. VK( f )U f → f(V) 0U第一章线性空间与线性变换§1.6 线性映射的值域与核第一章线性空间与线性变换§1.6 线性映射的值域与核二. 性质定理1.6.1 设 f ∈ Hom(V, U), 则 (1) R( f ) ≤ U. (2) K( f ) ≤ V. (3) 当U = V时, R( f )和K( f )都是 f 的不变子空间. VK( f )U f → f(V) 0U例1. 设A ∈ Fs×n, f: Fn→ Fs定义为 f(X) = AX. 则R( f ) = {AX | X ∈ Fn} ≤ Fs, 这是A的列空间, 也称为A的值域, 记为R(A); K( f ) = {X ∈ Fn | AX = 0}, 这是AX = 0的解空间, 也称为A的核, 记为K(A).272365083@12请双面打印/复印(节约纸张)第一章线性空间与线性变换§1.6 线性映射的值域与核第一章线性空间与线性变换§1.6 线性映射的值域与核定理1.6.2 设 f ∈ Hom(V, U), dimV < ∞, 则 dimR( f ) + dimK( f ) = dimV. VK( f )U f → f(V) 0U ...... ...证明: 设α1, …, αk为K( f )的一组基, α1, …, αk, αk+1, …, αn为V的一组基, 则R( f ) = span{ f(αi) | i = 1, …, n} = span{ f(αi) | i = k+1, …, n}. 若ck+1 f(αk+1) + … + cn f(αn) = 0, 则 f(ck+1αk+1 + … + cnαn) = 0, 即ck+1αk+1 + … + cnαn ∈ K( f ), 故存在c1, …, ck使得 ck+1αk+1 + … + cnαn = c1α1 + … + ckαk , 即c1α1 + … + ckαk − ck+1αk+1 − … − cnαn = 0, 由此可得ck+1 = … = cn = 0. 可见 f(αk+1), …, f(αn) 线性无关, 故dimR( f ) + dimK( f ) = dimV.第一章线性空间与线性变换§1.6 线性映射的值域与核第一章线性空间与线性变换§1.6 线性映射的值域与核例2. 设A = 1 1 , f(X) = AX, ∀X∈ 2×2. (1) 分别求R( f )及K( f )的一组基, (2) R( f ) + K( f )是否为直和. 解: 取 2×2的一组基E11, E12, E21, E22. 则R( f ) = span{ f(E11), f(E12), f(E21), f(E22)}, 其中 f(E11) = f(E21) = E11 + E21, f(E12) = f(E22) = E12 + E22, 且E11 + E21, E12 + E22线性无关, 因此, E11 + E21, E12 + E22构成R( f )的一组基.1 1设X = x1 x2 , 则 3 4 AX ⇔ x1 + x3 = x2 + x4 = 0 ⇔ X = x1(E11 − E21) + x2(E12 − E22). 又因为E11 − E21, E12 − E22线性无关, 可见E11 − E21, E12 − E22构成K( f )的一组基. (E11 + E21, E12 + E22, E11 − E21, E12 − E22)1 0 1 0x x= (E11, E12, E21, E22) 0 1 0 1 ,1 0 −1 0 0 1 0 −1第一章线性空间与线性变换§1.6 线性映射的值域与核第一章线性空间与线性变换§1.6 线性映射的值域与核(E11 + E21, E12 + E22, E11 − E21, E12 − E22)1 = (E11, E12, E21, E22) 0 1 0 1 0 1 0 0 其中r 0 1 −1 1 = 4. 1 0 0 0 1 0 −1 0 1 0 1 1 0 −1 0 0 1 , 0 −1故E11 + E21, E12 + E22, E11 − E21, E12 − E22线性无关, 因而R( f ) + K( f )为直和.事实上, 若B ∈ R( f ) ∩ K( f ), 则存在X∈ 2×2 使得B = AX, 而且AB = O. 于是可得 2AX = A2X = A(AX) = AB = O, 故B = AX = O. 可见R( f ) ∩ K( f ) = {O}, 因此R( f ) + K( f )为直和.272365083@13请双面打印/复印(节约纸张)第一章线性空间与线性变换§1.6 线性映射的值域与核第一章线性空间与线性变换§1.6 线性映射的值域与核例3. 设A = 0 0 , f(X) = AX, ∀X∈ 2×2. (1) 分别求R( f )及K( f )的一组基, (2) R( f ) + K( f )是否为直和. 解: 取 2×2的一组基E11, E12, E21, E22. 则R( f ) = span{ f(E11), f(E12), f(E21), f(E22)}, 其中 f(E11) = f(E12) = O, f(E21) = E11, f(E22) = E12, 且 E11, E12 线性无关, 因此, E11, E12构成R( f )的一组基.0 1设X = x1 x2 , 则 3 4 AX ⇔ x3 = x4 = 0 ⇔ X = x1E11 + x2E12. 又因为E11, E12 线性无关, 可见E11, E12构成K( f )的一组基. 因为R( f ) = span{E11, E12} = K( f ), 因此R( f ) + K( f )不是直和.x x第一章线性空间与线性变换§1.7 几何空间线性变换的例子第一章线性空间与线性变换§1.7 几何空间线性变换的例子§1.7 几何空间线性变换的例子一. 辐射相似变换 f:3二. 平行于某矢量的投影变换对于任意的OP ∈P e23,e3→3OP → kOP (k > 0).设OP = x1e1 + x2e2 + x3e3, 令 f(OP) = x1e1 + x2e2, 则 f ∈ Hom(3, 3),e3 P O e1 1 0 0 0 0 0 e2O e1f在3的任意一组基下的矩阵都是kI.OP − f(OP) // e3,→ 0<k<1 压缩→ k>1 放大f 在e1, e2, e3下的矩阵为 0 1 0 , R( f ) = span{e1, e2}, K( f ) = span{e3}.第一章线性空间与线性变换§1.7 几何空间线性变换的例子第一章线性空间与线性变换§1.7 几何空间线性变换的例子三. 平行于某一方向的压缩(或延伸) 对于任意的OP ∈3,四. 平行于某一方向的推移对于任意的OP ∈P e23,e3e3P e2设OP = x1e1 + x2e2 + x3e3,f(OP) = x1e1 + x2e2 + ax3e3, O (a > 0).e13, 3),设OP = x1e1 + x2e2 + x3e3,O e1f(OP) = (x1+ax2)e1 + x2e2 + x3e3, (a ≠ 0). 则 f ∈ Hom(3, 3),则 f ∈ Hom(OP − f(OP) // e3,1 0 0 0 0 a→OP − f(OP) // e1, f 在e1, e2, e3下的矩阵为 0 1 0 .0 0 1 1 a 0f 在e1, e2, e3下的矩阵为 0 1 0 .272365083@14请双面打印/复印(节约纸张)第一章线性空间与线性变换§1.7 几何空间线性变换的例子第一章线性空间与线性变换§1.7 几何空间线性变换的例子五. 旋转变换见下一章. 六. 镜像变换见下一章.平面上的例子:0 • 7 • 5 7 0 • 7 • 5 6• 0 5 x 7 0 y5 0 1 0 −0.2 1 0 5 x 7 0 y • 5 −1第一章线性空间与线性变换§1.7 几何空间线性变换的例子第一章线性空间与线性变换§1.7 几何空间线性变换的例子平面上的例子:平面上的例子:β αAβ = 0.5β2 0 A = 0 0.5β αcosφ sinφ B = −sinφ cosφ π/6Aα = 2 α第一章线性空间与线性变换§1.7 几何空间线性变换的例子第一章线性空间与线性变换§1.8 线性空间的同构平面上的例子: Cβ = β§1.8 线性空间的同构一. 定义设V, U都是数域F上的线性空间. 若∃双射σ∈ Hom(V, U), 则称V与U同构, 记为V ≅ U. 并且称σ为V到U的一个同构映射.βCα = − αα0 C = −1 1 0272365083@15请双面打印/复印(节约纸张)第一章线性空间与线性变换§1.8 线性空间的同构第一章线性空间与线性变换§1.8 线性空间的同构→二. 性质定理1.8.1 设σ为线性空间V到U的同构映射, 则中向量α1, …, αk线性无关 ⇔ σ(α1), …, σ(αk)线性无关. 证明: (⇒) 设α1, …, αk线性无关, 则 c1σ(α1) + … + ckσ(αk) = 0 ⇒ σ(c1α1 + … + ckαk) = 0 = σ(0) ⇒ c1α1 + … + ckαk = 0 ⇒ c1 = … = ck = 0. 可见σ(α1), …, σ(αk)线性无关.→→第一章线性空间与线性变换§1.8 线性空间的同构第一章线性空间与线性变换§1.8 线性空间的同构二. 性质定理1.8.1 设σ为线性空间V到U的同构映射, 则中向量α1, …, αk线性无关 ⇔ σ(α1), …, σ(αk)线性无关. 证明: (⇐) 设σ(α1), …, σ(αk)线性无关, 则 c1α1 + … + ckαk = 0 ⇒ c1σ(α1) + … + ckσ(αk) = σ(c1α1 + … + ckαk) = σ(0) = 0 ⇒ c1 = … = ck = 0. 可见α1, …, αk线性无关.三. 判定定理1.8.2 设V与U是数域F上的有限维线性空间, 则V ≅ U ⇔ dimV = dimU. 证明: (⇒) 设σ为V到U的一个同构映射, 则R(σ) = U, K(σ) = {0}. 故dimV = dimR(σ) + dimK(σ) = dimU.第一章线性空间与线性变换§1.8 线性空间的同构第一章线性空间与线性变换§1.8 线性空间的同构(⇐) 设dimV = dimU = n, α1, …, αn为V的一组基, ξ1, …, ξn为U的一组基. 对于任意的α = a1α1 + … + anαn ∈ V, 令σ(α) = a1ξ1 + … + anξn, 则 (1) σ : V → U为单射. 事实上, … (2) σ : V → U为单射. 事实上, … (3) σ ∈ Hom(V, U). 事实上, … 故V ≅ U.(1) σ : V → U为单射. 事实上, 若α = a1α1 +…+ anαn, β = b1α1 +…+ bnαn, 且σ(α) = σ(β), 则 a1ξ1 + … + anξn = b1ξ1 + … + bnξn, 故(a1−b1)ξ1 + … + (an−bn)ξn = 0, 由此可得 a1−b1 = … = an−bn = 0, 即(a1, …, an) = (b1, …, bn), 因而α = a1α1 +…+ anαn = b1α1 +…+ bnαn = β.272365083@16请双面打印/复印(节约纸张)第一章线性空间与线性变换§1.8 线性空间的同构第一章线性空间与线性变换§1.8 线性空间的同构(2) σ : V → U为满射. 事实上, ∀ξ∈U, 设ξ = a1ξ1 + … + anξn, 于是令α = a1α1 +…+ anαn, 则α ∈ V 且σ(α) = a1ξ1 + … + anξn = ξ.(3) σ ∈ Hom(V, U). 事实上, ∀α = a1α1 +…+ anαn, β = b1α1 +…+ bnαn, k, l ∈ F, 有 σ(kα + lβ) = σ((ka1+ lb1)α1 +…+ (kan+ lbn)αn) = (ka1+ lb1)ξ1 + … + (kan+ lbn)ξn = k(a1ξ1 +…+ anξn) + l(b1ξ1 +…+ bnξn) = kσ(α) + lσ(β).第一章线性空间与线性变换§1.8 线性空间的同构第一章线性空间与线性变换§1.8 线性空间的同构四. 例子 1. [x]n = {a0+…+an−1xn−1 | a0, …, an−1x∈ }. dim [x]n = n = dim 事实上, 容易验证n,2. dimM2×3( ) = 6, 故M2×3( ) ≅ 事实上, 容易验证6.故 [x]n ≅n;n.σ : M2×3( ) →a11 a12 a13 a21 a22 a236;σ : [x]n →a0+…+an−1xn−1 → 为同构映射.a0 an−1 …a11 a12 a → a13 21 a22 a23为同构映射.第一章线性空间与线性变换§1.8 线性空间的同构3.= {x∈ | x > 0}. a⊕b = ab, ∀a, b∈ +; k⊗a = ak, ∀a∈ +, ∀k∈ . dim + = 1, 故 + ≅ . 事实上, 容易验证 → ; x → logax++为同构映射.272365083@17。

第1章线性空间与线性变换讲义

定义加法：
a + b = ( x 1 + y1 , x 2 + y 2 , , x n + y n ) T
定义数乘：
ka = ( kx1 , kx 2 , , kx n ) T ,
R n 是数域 R 上的线性空间。 C n 是数域 C 上的线性空间。
4
例2 实数域 R上的全体 m×n 矩阵，对矩阵的加法和数乘运算构成 R上的线性空间，记作 Rm×n
定义：设 V 是一个非空集合，F 为数域，a, b, g V, 对于任意的a, b V, 总有唯一的元素 g V
与之对应，称 g 为a 与b 的和，记作 g =a +b，且
(1) a + b = b + a ;
( 2 ) (a + b ) + g = a + ( b + g );
( 3) 存在零元素： b V , a V , a + b = a，称 b 为零元素，并记 b 为 0 ; ( 4) 存在负元素 a V , b V， a + b = 0; 称 b 为 a 的负元素，并记 b 为 - a ;
(1) a , b W , 则a + b W (2) a W , k F , 则 ka W
则称W 是V 的子空间。
21
例1. 实数域上 n 维向量的集合
W = { ( 0, x 2 , , x n ) T | x 2 , , x n R }
则 W是 R n 的子空间。
则 P 称为由基 a 1 , a 2 , , a n 到基 b 1 , b 2 , , b n 的转移矩阵（或过渡矩阵），其中
p11 p21 P= p n1 p12 p22 pn 2 p1n p2 n pnn

1-1 线性空间

2. 线性空间的基与坐标
(a) 基与坐标给定数域K上的线性空间上的线性空间V，中的r个给定数域上的线性空间，x1,x2,…,xr是V中的个中的向量。如果满足：线性无关；向量。如果满足：1. x1,x2,…,xr线性无关；2. V中中任意一个向量都可以由一个向量都可以由x 线性表出，任意一个向量都可以由 1,x2,…,xr线性表出，则称 x1,x2,…,xr是V的一组基(base)，并称 i为基向量。的一组基的一组，并称x 基向量。线性空间的维数就是基中所含基向量个数。线性空间的维数就是基中所含基向量个数。维线性空间V的一组基坐标系。称n维线性空间的一组基 1,x2,…,xn为坐标系。维线性空间的一组基x 对任意x∈ ，对任意 ∈V，在该组基下的线性表示为 x = ξ1 x1 + ξ 2 x2 + L + ξ n xn , 在该坐标系下的坐标则称ξ1,ξ2,…,ξn是x在该坐标系下的坐标在该坐标系下的 (coordinate)或分量，记为 ξ1,ξ2,…,ξn)T。或分量，记为(
第一章
线性空间与线性变换
1.1 线性空间 1.2 线性变换及其矩阵表示 1.3 常见特殊矩阵
1.1 线性空间
1. 线性空间及其性质 2. 线性空间的基与坐标 3. 线性子空间
1. 线性空间及其性质
(a) 集合集合(set):是指一些对象的总体。 :是指一些对象的总体。集合元素(element):这些对象称为集合的元素。这些对象称为集合的元素。元素这些对象称为集合的元素整数集；整数集；线性方程组的解集；线性方程组的解集；由某个平面上所有的点构成的点集。由某个平面上所有的点构成的点集。表示集合，是的元素用S表示集合，a是S的元素 a ∈ S 表示集合 a不是的元素 a ∉ S 不是S的元素不是

线性空间的基本内容

(2)线性变换保持线性组合与线性关系式不变
(3)线性变换将线性相关的向量组变为线性相关的向量组
注意：线性无关的向量组经过线性变换后可能会变成线性相关的向量组，如零变换
3、线性变换的矩阵
(1) 定义教材P133定义3.11
(2) 求线性变换一组基下的矩阵教材P134例8---例11。
（2）正交基与标准正交基教材P145定义3.17
对一组正交基进行单位化，就得到一组标准正交基
（3）在标准正交基下，向量坐标可用内积简单表示：见教材P145 定理3.11
在标准正交基下，内积也有特别简单的表达式：设，在的标准正交基下，有，，则
（4）第二章中施密特正交化方法可以推广到一般的欧氏空间教材P146定理3.12
② 两个等价的线性无关的向量组一定含有相同个数的向量。
(4)基教材P122定义3.5
(5)坐标教材P122定义3.6
注意：
① 若是为维线性空间的一组基，则它们线性无关，并且对于任意，线性相关。
② 向量在一组基下的坐标唯一。
4、基变换与坐标变换教材P125定理 3.4
本章小结
线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是我们碰到的第一个抽象的概念。在线性空间中，元素之间的联系是通过映射来实现的，而通常将线性空间到自身的映射称为变换。线性变换是其中最基本也是最重要的变换，它是线性代数的主要研究对象之一。本章重点介绍了两方面的内容：线性空间的概念、性质，线性空间的基与坐标；线性变换的定义,线性变换的矩阵。最后简要介绍了欧氏空间。
(3) 线性变换的像与的坐标之间的关系教材P137定理3.7
4、线性变换与矩阵的一一对应关系

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假设 01,02 是线性空间V中的两个零元素，
则对任何 V ，有 01 , 02 .
由于 01,02 V , 所以 02 01 02 ,01 02 01.
01 01 02 02 01 02.
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2．负元素是唯一的．
实数间的加乘运算，则只需检验对运算的封闭性．
例1 实数域上的全体 m n 矩阵，对矩阵的加法
和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作 Rmn．
Amn Bmn Cmn , Amn Dmn ,
Rmn是一个线性空间.
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例2 数域F上次数小于n的多项式的全体，记作： F[ x]n {an1 xn1 an2 xn2 L a1 x a0 ai F } 可以验证：F[ x]构成数域F上的线性空间通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运
Q F.
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三,线性空间的定义和举例
定义1 设V是一个非空集合，F 为一数域．在V上定
义运算如下：
ⅰ)对任意两个元素 x, y V ，总有唯一的一个元素 z
与之对应，称为 x 与 y 的和，记作 z x y
若对于任一数 F 与任一元素 x V ，总有唯
c d 2 (c d 2)(a b 2) பைடு நூலகம் b 2 (a b 2)(a b 2)
ac a2
2bd 2b2
ad bc a2 2b2
2 Q.
Q( 2)为数域． Gauss数域
类似可证 Q(i) a bi a,b Q, i 1 是数域.
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a
b
c
0,
a,
b,
c
R.
解 (1)不构成子空间. 因为对
A B 1 0
0 0
0 0
W1
有
2 0 0
A B 0
0
0
W1
,
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即W1 对矩阵加法不封闭，不构成子空间.
( 2) 因
0 0
0 0
0 0 W2 ,
即W2非空.
对任意
A a1 0
线性空间引论
哈尔滨工程大学理学院应用数学系
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课前预习、课中提高效率、课后复习作业要求书后要求的习题,主动自觉做,抽查和不定时收取
使用教材《矩阵论》哈尔滨工程大学主编
其他辅导类参考书（自选）
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例7. 对于任意一个有限维线性空间 V, 它必有两个
平凡子空间，即由单个零向量构成的子空间 0 以及线性空间 V 本身。
例8 .设 A Rmn ,那么线性方程组 AX O的全部解为线性空间 Rn的一个子空间，我们称其为齐次线性方程组的解空间。
A BW2, 对任意k R有
kA ka1 kb1 0 0 0 kc1
且 ka1 kb1 kc1 0,
即 kAW2 , 故W2是R23的子空间.
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张成子空间的定义:
设x1, x2 , , xm 是线性空间V (F )中的向量，
则由 x1, x2 , , xm的所有线性组合：
证明假设有两个负元素与，那么
0, 0.
则有 0
0 .
向量的负元素记为 .
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3. 0 0; 1 ; 0 0. 证明 0 1 0 1 0 1 ,
0 0.
1 1 1 1 1 0 0,
验证 R 对上述加法与乘数运算构成线性空间．
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证明: a, b R , a b ab R;
R, a R , a a R .
所以对定义的加法与乘数运算封闭．
下面一一验证八条线性运算规律：
(1) a b ab ba b a;
(2)(a b) c (ab) c (ab)c a (b c);
思考题
实数域R上的n元非齐次线性方程组AX B 的所有解向量, 对于通常的向量加法和数量乘法, 是否构成R上的一个线性空间?为什么?
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思考题解答
不能构成R上的一个线性空间.
事
实上,
设X
1
,
X
都
2
是n元
非
齐
次
线
性
方
程
组
AX B的解向量,则
AX1 B,
x y (a c) (b d ) 2 Q( 2), x y (ac 2bd ) (ad bc) 2 Q( 2) 设 a b 2 0, 于是 a b 2 也不为0．
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（否则，若 a b 2 0, 则 a b 2, 于是有 a 2 Q, b 或 a 0,b 0 a b 2 0. 矛盾）
1 .
0 1 0
0.
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4．如果 0，则 0 或 0 .
证明假设 0,
那么
1
1
0
0.
又 1 1 .
0.
同理可证：若 0 则有 0.
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(3) R中存在零元素1, 对任何a R , 有
a 1 a 1 a;
(4) a R , 有负元素a1 R , 使
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a a1 a a1 1;
(5) 1a a1 a;
(6) a a a a a;
(7) oa a aa a a
(3) 在V中存在零元素0, 对任何x V ,
都有x 0 x ; (4)对任何x V , 都有x的负元素y V ,
使x y 0 ;
(5) 1x x ; (6) x x ;
(7) x x x ; (8)x y x y .
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一般线性空间的判定方法（1）一个集合，如果定义的加法和乘数运算是通常的
Sx 是一个线性空间.
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(2) 一个集合，如果定义的加法和乘数运算不是通常的实数间的加乘运算，则必需检验是否满足八条线性运算规律．
例5. 正实数的全体，记作 R ，在其中定义加法
及乘数运算为
a b ab, a a , R,a,b R .
练习：
证明：数域F 上的线性空间V若含有一个非零向量，则V一定含有无穷多个向量
证：设 V , 且 0
k1, k2 P, k1 k2, 有 k1 , k2 V
又 k1－k2 (k1 k2 ) 0 k1 k2 .
而数域F中有无限多个不同的数，所以V中有无限多个不同的向量. 注：只含一个向量—零向量的线性空间称为零空间.
m
ki xi
| ki K,i
1,2L
m
i1
构成的集合是V (F )的子空间，称为由 x1, x2 , , xm
张成（生成）的子空间，记为：
L( x1, x2 , , xm )或：span[x1, x2 , xm ]
零向量集合与 V 本身称为平凡子空间，非平凡子空间称为 V 的真子空间
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对于通常的有序数组的加法及如下定义的乘法
( x1, , xn )T 0, ,0不构成线性空间．
解答: S n对运算封闭.
但1x O, 不满足第五条运算规律.
由于所定义的运算不是线性运算,所以S n不是线性空间.
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二,线性空间的性质
1．零元素是唯一的．证明:
坐标变换. 难点: 基变换与坐标变换
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说明：
1）若数集F中任意两个数作某一运算的结果仍在F 中，则说数集F对这个运算是封闭的．
2）数域的等价定义：如果一个包含0，1在内的数集F 对于加法，减法，乘法与除法（除数不为0）是封闭的，则称集 F为一个数域．
当齐次线性方程组 AX O 有无穷多解时，其解空间的基底即为其基础解系；解空间的维数即为基础解系所含向量的个数。
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例9 R23的下列子集是否构成子空间?为什么?
1 b 0
(1) W1
0
c
d
b,
c,
d
R;
(2) W2
a 0
b 0
0 c
第一章
线性空间与线性映射
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教学内容和基本要求
1，理解线性空间的概念，掌握基变换与坐标变换的公式； 2, 掌握子空间与维数定理，理解子空间的相关性质； 3, 理解线性变换的概念，掌握线性变换的矩阵示表示,
了解线性空间同构的含义. 重点: 线性空间的概念；子空间的维数定理；基变换与
二、数域的性质定理
任意数域F都包括有理数域Q．即:有理数域为最小数域．
证明：设F为任意一个数域．由定义可知，
0 F， 1 F . 于是有 m Z , m 1 1 L 1 F
进而有 m,n Z , m F , m 0 m F .
n
n
n