第二节线性空间的定义与简单性质
线性空间的定义与性质
s1(x) = A1sin(x+B1)= (A1)sin(x+B1) S[x],
所以, S[x]是一个线性空间.
例5: 在区间[a, b]上全体实连续函数构成的集合 记为C[a, b], 对函数的加法和数与函数的数量乘法, 构 成实数域上的线性空间. (2) 一个集合, 如果定义的加法和乘数运算不是通 常的实数间的加, 乘运算, 则必需检验是否满足八条线 性运算规律. 例6: 正实数的全体记作R+, 在其中定义加法及乘 数运算为: ab = ab, a = a, (R, a, bR+) 验证R+对上述加法与乘数运算构成(实数域R上的)线 性空间. 证明: 对任意a, bR+, R, ab = abR+, a = aR+, 所以对R+上定义的加法与乘数运算封闭.
说明2. 向量(线性)空间中的元素称为向量, 但不一 定是有序数组. 说明3. 判别线性空间的方法: 一个集合, 对于定义 的加法和数乘运算不封闭, 或者运算不满足八条性质 的任一条, 则此集合就不能构成线性空间. 线性空间的判定方法: (1) 如果在一个集合上定义的加法和乘数运算是 通常实数间的加, 乘运算, 则只需检验运算的封闭性. 例1: 实数域上的全体mn矩阵, 对矩阵的加法和 数乘运算构成实数域R上的线性空间, 记作Rmn. Rmn 中的向量(元素)是mn矩阵. 例2: 次数不超过n的多项式的全体记作P[x]n, 即 P[x]n ={ p(x)=a0+a1x+· · · +anxn | a0, a1, · · · , a n R } 对通常多项式加法, 数乘构成向量空间.
二、线性空间的性质
1. 零元素是唯一的. 证明: 假设01, 02是线性空间V中的两个零元素. 则对任何V有, + 01 =, + 02 = , 由于01, 02V, 则有 02+01=02, 01+02=01. 所以 01=01+02 =02+01 =02.
线性空间与线性变换
线性空间与线性变换线性空间和线性变换是线性代数中的重要概念，在数学和物理等领域有着广泛的应用。
本文将介绍线性空间和线性变换的概念、性质以及它们之间的关系。
一、线性空间的定义和性质线性空间是指具有加法运算和数乘运算的集合，满足以下条件：1. 加法运算闭合性：对于任意两个向量u和v，它们的和u+v仍然属于该集合。
2. 加法交换律：对于任意两个向量u和v，有u+v = v+u。
3. 加法结合律：对于任意三个向量u、v和w，有(u+v)+w =u+(v+w)。
4. 存在零向量：存在一个特殊的向量0，使得对于任意向量v，有v+0 = v。
5. 对于任意向量v，存在其负向量-u，使得v+(-u) = 0。
6. 数乘运算闭合性：对于任意标量c和向量v，它们的乘积cv仍然属于该集合。
7. 数乘结合律：对于任意标量c和d以及向量v，有(c+d)v = cv+dv。
8. 数乘分配律1：对于任意标量c以及向量u和v，有c(u+v) =cu+cv。
9. 数乘分配律2：对于任意标量c和d以及向量v，有(cd)v = c(dv)。
线性空间的例子包括n维向量空间和函数空间等。
它们满足上述定义中的所有条件。
二、线性变换的定义和性质线性变换是指将一个线性空间映射到另一个线性空间的映射，满足以下条件：1. 对于任意向量v和w以及标量c，线性变换T满足T(v+w) =T(v)+T(w)和T(cv) = cT(v)。
2. 线性变换T保持向量的线性组合关系，即对于任意向量v1、v2、...、vn和标量c1、c2、...、cn，有T(c1v1+c2v2+...+cnvn) =c1T(v1)+c2T(v2)+...+cnT(vn)。
3. 线性变换T将零向量映射为目标线性空间的零向量。
线性变换的例子包括平移、旋转和缩放等。
它们保持向量空间的线性结构和线性关系。
三、线性空间与线性变换的关系线性空间和线性变换之间存在着密切的联系。
给定一个线性空间V，定义一个线性变换T：V→W，其中W是另一个线性空间。
线性空间的基本内容
(3)线性变换将线性相关的向量组变为线性相关的向量组
注意：线性无关的向量组经过线性变换后可能会变成线性相关的向量组，如零变换
3、线性变换的矩阵
(1) 定义 教材P133定义3.11
(2) 求线性变换一组基下的矩阵 教材P134例8---例11。
（2） 正交基与标准正交基 教材P145定义3.17
对一组正交基进行单位化，就得到一组标准正交基
（3） 在标准正交基下，向量坐标可用内积简单表示：见教材P145 定理3.11
在标准正交基下，内积也有特别简单的表达式：设 ，在 的标准正交基 下，有 ， ，则
（4）第二章中施密特正交化方法可以推广到一般的欧氏空间 教材P146定理3.12
② 两个等价的线性无关的向量组一定含有相同个数的向量。
(4)基 教材P122定义3.5
(5)坐标 教材P122定义3.6
注意：
① 若是 为 维线性空间 的一组基，则它们线性无关，并且对于任意 ， 线性相关。
② 向量在一组基下的坐标唯一。
4、基变换与坐标变换 教材P125定理 3.4
本章小结
线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是我们碰到的第一个抽象的概念。在线性空间中，元素之间的联系是通过映射来实现的，而通常将线性空间到自身的映射称为变换。线性变换是其中最基本也是最重要的变换，它是线性代数的主要研究对象之一。本章重点介绍了两方面的内容：线性空间的概念、性质，线性空间的基与坐标；线性变换的定义,线性变换的矩阵。最后简要介绍了欧氏空间。
(3) 线性变换的像 与 的坐标之间的关系 教材P137定理3.7
4、线性变换与矩阵的一一对应关系
§6-2线性空间的定义和性质(精)
§6-2线性空间的定义和性质一、定义：设V 是一个非空集合，P 是一个数域1、 在V 中定义一种加法运算，使对于V 中任意两个元βα,都有V 中唯一的元γ与之对应，称为α与β的和，记作βαγ+=，加法满足：① α+β=β+α；② α+（β+γ）=（α+β）+γ；③ V 中有一个元素θ，使对V 中任一元α，都有α+θ=α（θ叫做零元）； ④ 对于V 中每一个元α，都有V 中元β存在，使α+β=θ（β叫做α的负元）；2、 在P 中的数与V 中的元之间定义一种数量乘法运算，使P k ∈∀及V ∈∀α都有V 中唯一的元δ 与之对应，记作αδk =，且满足：⑤αα=∙1;⑥()()ααkl l k =;⑦()αααl k l k +=+;⑧()βαβαk k k +=+;满足以上运算的V ，称为数域P 上的线性空间。
例1 ：数域P 上的一元多项式环[]x P ，按通常的多项式加法和数与多项式的乘法，构成一个数域P 上的线性空间。
如果只考虑其中次数小于n 的多项式，再添上零多项式也构成数域P 上的一个线性空间，用[]n x P 表示。
例2：元素属于数域P 的n m ⨯矩阵，按矩阵的加法和矩阵与数的乘法，构成数域P 上的一个线性空间，用n m P ⨯表示。
例3： C[a,b]关于函数的加法和数与函数的乘法来说作成实数域R 上的向量空间。
)()()(x af x g x f +例4： R 为实数域，V 为全体正实数组成的集合，定义V 中两个元素的加法运算⊕为：V b a ab b a ∈=⊕,,定义V 中元素与R 中元素的数乘运算“ ”为p R v a a a k k ∈∈=,,下面验证V 对于这两种运算满足定义中的八条规则：1 a b ba ab b a ⊕===⊕；2 )()()()(c b a c ab c ab c b a ⊕⊕==⊕=⊕⊕；3 a a a =⋅=⊕11；4 a 的负元素是a -1, 111==⊕--aa a a ;5 a lk a a k a l k lk l ===)(;6 )()()(a l a k a a a a l k l k l k ⊕=⊕==++;7 k k k k k k b a b a ab b a b a k ⊕===⊕=⊕)()()(=)()(b k a k ⊕;8 a a a ='= 1;所以V 是实数域上的向量空间。
线性空间的基与维数
线性空间的基与维数线性空间是线性代数中的重要概念，它是指具有加法和数乘运算的集合，并满足线性空间的定义和性质。
在线性空间中，基和维数是两个核心概念，它们对于理解线性空间的结构和性质具有重要意义。
一、线性空间的定义和性质线性空间是指满足以下定义和性质的集合：1. 集合中存在加法运算，即对于任意两个元素x和y，存在相应的元素x+y；2. 集合中存在数乘运算，即对于任意元素x和数k，存在相应的元素kx；3. 加法和数乘运算满足封闭性，即对于任意元素x和y，x+y和kx 仍然属于该集合；4. 加法满足结合律和交换律，即对于任意元素x、y和z，(x+y)+z=x+(y+z)和x+y=y+x；5. 加法满足单位元存在性，即存在一个元素0，对于任意元素x，有x+0=x；6. 加法满足逆元存在性，即对于任意元素x，存在相应的元素-y，使得x+(-y)=0；7. 数乘运算满足结合律和分配律，即对于任意元素x和k、l，有k(lx)=(kl)x和(k+l)x=kx+lx；8. 数乘运算满足单位元存在性，即对于任意元素x，有1x=x。
二、在线性空间中，基是指一个线性无关且能生成整个空间的向量组。
即对于线性空间V，存在向量组{v1, v2, ..., vn}，满足以下条件：1. 线性无关性：向量组中的任意有限个向量线性无关，即不存在非零标量c1, c2, ..., cn，使得c1v1 + c2v2 + ... + cnvn = 0；2. 生成性：向量组的线性组合能够生成整个线性空间V，即对于任意向量v∈V，存在标量c1, c2, ..., cn，使得v = c1v1 + c2v2 + ... + cnvn。
线性空间的维数是指基中向量的个数，用n表示。
记作dim(V) = n。
三、线性空间的基与维数的性质线性空间的基与维数具有以下性质：1. 基的个数是唯一的：线性空间V的任意两个基所含向量个数相同；2. 维数的唯一性：线性空间V的维数唯一，与基的选择无关；3. 向量组的性质：线性空间V中的任意向量组若线性无关，则含有的向量个数不超过维数；4. 维数与子空间：线性空间V的任意非零子空间的维数小于等于V的维数；5. 维数与线性变换：线性空间V到线性空间W的线性映射T是满射时，有dim(W) ≤ dim(V)；当T是一一映射时，有dim(W) ≥ dim(V)。
线性空间的定义与性质
由于, s1(x)+s2(x) = A1sin(x+B1)+A2sin(x+B2) = (a1cosx+b1sinx)+(a2cosx+b2sinx) = (a1+a2)cosx+(b1+b2)sinx
= Asin(x+B)S[x],
说明1. 凡满足以上八条运算规律的加法及乘数运 算统称为线性运算.
说明2. 向量(线性)空间中的元素称为向量, 但不一 定是有序数组.
说明3. 判别线性空间的方法: 一个集合, 对于定义 的加法和数乘运算不封闭, 或者运算不满足八条性质 的任一条, 则此集合就不能构成线性空间.
线性空间的判定方法: (1) 如果在一个集合上定义的加法和乘数运算是 通常实数间的加, 乘运算, 则只需检验运算的封闭性.
任意两个元素, V, 总有唯一的一个元素 V与之 对应, 称 为与 的和(简称加法运算), 记作 = +.
若对于任一数R与任一元素V, 总有唯一的 元素 V与之对应, 称为数与的积(简称数乘运算), 记作 = .
如果上述的两种运算满足以下八条运算规律, 那 么, 就称V为数域R上的线性空间(或向量空间):
通常的多项式加法, 数乘多项式的乘法两种运算 满足线性运算规律. 实际上
对p(x)=a0+a1x+···+anxn, q(x)=b0n, R,
p(x)+q(x) = (a0+a1x+···+anxn)+(b0+b1x+···+bnxn ) = (a0+b0)+(a1+b1)x+···+(an+bn)xnP[x]n,
高等代数 讲义 第六章
则称σ是M到M´的一个单射（或称σ为1—1的）；
3）若σ既是单射，又是满射，则称σ为双射, （或称σ为 1—1对应）
§6.1 集合 映射
☆集合的表示方法一般有两种：描述法、列举法 描述法：给出这个集合的元素所具有的特征性质.
M＝｛x | x具有性质P｝ 列举法：把构成集合的全部元素一一列举出来.
M＝｛a1，a2，…，an｝
例1 M = {( x, y) x2 + y2 = 4, x, y ∈ R} 例2 N＝ {0,1, 2, 3,LL}， 2Z＝ {0, ±2,±4,±6,LL} 例3 M = { x x2 − 1 = 0, x ∈ R} = {−1,1}
A U B ⊆ B. 又因 B ⊆ A U B，∴ A U B = B．
§6.1 集合 映射
二、映射
1、定义
设M、M´是给定的两个非空集合，如果有 一个对 应法则σ，通过这个法则σ对于M中的每一个元素a， 都有M´中一个唯一确定的元素a´与它对应, 则称 σ为
M到M´的一个映射，记作 :σ : M → M'或 M ⎯σ⎯→M' 称 a´为 a 在映射σ下的象，而 a´ 称为a在映射σ下的 原象，记作σ(a)＝a´ 或 σ : a a a′.
又对∀a ∈ R+，存在
x
=
log
a 2
∈
R
，使
σ
(log
a 2
)
=
2log
a 2
=a
线性空间的定义与简单性质
5 5
a 1 a1 a, a ③ 1 R＋， R＋，即1是零元；
④ a
1 ＋ R ， a R＋，且 a
第六章 线性空间
⑤ 1 a a a ; a R＋；
与 的和，记为 ；在P与V的元素之间还
定义了一种运算，叫做数量乘法：即 V , k P , 在V中都存在唯一的一个元素δ与它们对应，称δ为
k与 的数量乘积，记为
法还满足下述规则，则称V为数域P上的线性空间：
© 2009, Henan Polytechnic University §2 线性空间的定义与简单性质
⑦k ( l ) ( kl )
, , P n , k , l P
© 2009, Henan Polytechnic University §2 线性空间的定义与简单性质
3 3
第六章 线性空间
例2
数域P上的一元多项式环P[x]中，定义了
两个多项式的加法和数与多项式的乘法，而且 这两种运算同样满足上述这些重要的规律，即 ①f ( x ) g( x ) g( x ) f ( x ) ②( f ( x ) g( x )) h( x ) f ( x ) ( g( x ) h( x )) ③f ( x) 0 f ( x) ⑤ 1 f ( x) f ( x) ④ f ( x ) ( f ( x )) 0 ⑥ k (lf ( x )) (kl ) f ( x ) ⑧k( f ( x) g( x)) kf ( x) kg( x)
⑦ (k l ) f ( x ) kf ( x ) lf ( x )
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注 ◆ 例 8 中集合 V 满足线性空间定义中的其 他七条公理, 可见第五条虽然比较简单, 但是不可 由其他七条推出.
◆ 在 8 条公理中只有第一条加法满足交换律不 是独立的.
证明 ∵ 2( )＝2 2 ＝(1＋1) ＋(1 ＋1) ＝(1 ＋1 )＋(1 ＋1 )＝(＋ )＋( ＋ )＝ ＋( ＋ )＋ ,
, , , … 表示线性空间 V 中的元素，用小写的
拉丁字母 a, b, c, … 表示数域 P 中的数.
注 ◆ 向量空间的定义可简单记为 “1128 ” ，
即一个数域 P，这是基础域； 一个集合Ｖ； 两个
运算，又叫做线性运算；八条规则，其中前四条是
加法的运算律，这时称Ｖ对加法做成一个加群，第
例 3 全体定义在区间 [a,b]上的连续函数组成 的集合V, 对于函数的加法及实数与连续函数的乘 法, 构成实数域上的一个线性空间. 用 C [a,b] 表示.
例 4 数域 P 上一元多项式环 P[ x ]， 按通常 的多项式加法和数与多项式的乘法，构成数域 P 上 的一个线性空间. 如果只考虑其中次数小于 n 的多 项式，再添上零多项式也构成数域 P 上的一个线性 空间，用 P[ x ]n 表示. 但是，数域 P 上的 n 次多 项式集合对同样的运算不构成线性空间，因为两个 n 次多项式的和可能不是 n 次多项式.
证明 + 0 = 1 + 0 = (1 + 0) = 1 = .
所以
0 = 0 .
k0 + k = k (0 +) = k
所以
k0 = 0 .
(-1) + = (-1) + 1 =[(-1) + 1] = 0 =0 ,
所以
(-1) = - .
证毕
4. 如果 k =0，那么 k = 0 或者 = 0 .
2( ＋ ) ＝ (1＋1)( ＋ ) ＝( ＋ )＋( ＋ )＝ ＋( ＋ )＋ ,
∴ ＝ .
证毕
二、线性空间的简单性质
1. 零向量是唯一的.
证明 假设 01，02 是线性空间 V 中的两个零 向量. 于是
01 = 01 + 02 = 02 . 故零向量是唯一的.
证毕
2. 任意向量的负向量是唯一的.
5) 1 = ； 6) k( l ) = ( kl ) .
数量乘法与加法满足下面两条规则：
7) ( k + l ) = k + l ; 8) k( + ) = k + k .
在以上规则中，k , l 表示数域 P 中的任意数 ;
, , 等表示集合 V 中任意元素.
线性空间的元素也称为向量. 当然，这里所谓 向量比几何中所谓向量的涵义要广泛得多. 线性空 间有时也称为向量空间. 一般用小写的希腊字母
例 8 全体数域 P 上的 2 维向量组成的集合V , 定义数与向量的数量乘法如下:
k ⊙ (a, b) = ( ka，0) , 对于通常的向量加法及以上定义的数与向量的数量 乘法不构成数域 P 上的线性空间.
事实上 , 当 b≠0 时 1 ⊙ (a, b) = ( 1a，0) = ( a，0) ≠ (a, b) .
例 5 全体数域 P 上的 m n 矩阵组成的集合 V，按矩阵的加法和数与矩阵的数量乘法，构成数 域 P 上的一个线性空间，用 P m n 表示.
例 6 全体实函数，按函数的加法和数与函数 的数量乘法，构成实数域上的一个线性空间.
例 7 数域 P 按照本身的加法与乘法，即构成 自身上的一个线性空间.
证明 假设 k 0，于是
从而
k -1( k ) = k -10 = 0 .
(k -1k) = 0，
1 = 0 ，
即
= 0 .
证毕 ▲
高等代数
第六章 线性空间 Linear Space
第二节 线性空间的定义与简单性质
一、线性空间的概念
定义 1 设 V 是一个非空集合 , P 是一个数域 . 在集合 V 的元素之间定义了一种代数运算，叫做 加法； 这就是说，给出了一个法则，对于 V 中任
意两个元素 与 ，在 V 中都有唯一的一个元素 与它们对应，称为 与 的和，记为 = + .
在数域 P 与集合 V 的元素之间还定义了一种运算 , 叫做数量乘法； 这就是说，对于数域 P 中任一
数 k 与 V 中任一元素 ，在 V 中都有唯一的一个
元素 与它们对应，称为 k 与 的数量乘积，记
= k . 如果加法与数量乘法满足下述规则，那
么 V 称为数域 P 上的线性空间.
加法满足下面四条规则：
1) ； 2) ( ) ( )；
3) 在 V 中有一个元素 0，对于 V 中任一元素
都有
+ 0 =
(具有这个性质的元素 0 称为 V 的零元素) ；
4) 对于 V 中每一个元素 ，都有 V 中的元素 ，使得
+ = 0 ( 称为 的负元素) .
数量乘法满足下面两条规则：
证明 假设 有两个负向量 与 ， 则 + = 0， + = 0 .
那么
= + 0 = + ( + ) =( + )+ = 0 + = .
向量 的负向量记为 - .
证毕
利用负向量，定义减法如下：
- =+(- ).
3. 0 = 0 ; k0 = 0 ; (-1) = - .
五、六条是数量乘法ຫໍສະໝຸດ 律， 最后两条是分配律，表 示两种运算之间的联系.
例 1 在解析几何中， 平面或空间中一切向量 组成的集合 V, 对于向量的加法及实数与向量的乘 法, 构成实数域上的一个线性空间.
例 2 全体 n 维实向量组成的集合 V, 对于向 量的加法及实数与向量的乘法, 构成实数域上的 一个线性空间.