考研高数总复习第九章欧几里得空间第一节
高等代数-9第九章 欧几里得空间
（线性性）
4) ( , ) 0, 当且仅当 o 时 ( , ) 0. （非负性）
则称 ( , )为 和 的内积,称这种定义了内积的 实数域 R上的线性空间V为欧几里得空间.
§1 定义与基本性质
b
§1 定义与基本性质
线性性 ( k f lg , h) a k f ( x ) lg ( x ) h( x )dx
b
k f ( x )h( x )dx l g ( x )h( x )dx
a a
b
b
k ( f , h ) l ( g , h)
非负性 ( f , f ) f ( x ) f ( x ) dx f 2 ( x ) dx 0 a a 且 ( f , f ) 0 f ( x ) 0. 故( f , g) 为一内积, C (a , b) 构成欧氏空间.
注1 欧几里得空间 V是特殊的线性空间. (1)V为实数域 R上的线性空间; (2)V既有向量的线性运算,还有内积运算; (3) , V ,( , ) R. 注2 欧几里得空间,Euclidean Space, 简称欧氏空间. 欧几里得(Euclid,约公元前330 年—前275年),古希腊数学家,是几 何学的奠基人,被称为“几何之 父”. 他最著名的著作是《几何原本》.
b b
§1 定义与基本性质
2. 内积的运算性质 设V为欧氏空间, , , , i V , k , l , ki R
1) ( , k ) k ( , ) 2) ( , ) ( , ) ( , ) 3) ( , k l ) k ( , ) l ( , ) 4) ( k l , ) k ( , ) l ( , )
北京大学数学系《高等代数》(第3版)(欧几里得空间)笔记和课后习题(含考研真题)详解【圣才出品】
第9章欧几里得空间9.1复习笔记一、定义与基本性质1．欧几里得空间定义设V是实数域R上一线性空间，在V上定义了一个二元实函数，称为内积，记作（α，β），它具有以下性质：（1）（α，β）＝（β，α）；（2）（kα，β）＝k（α，β）；（3）（α＋β，γ）＝（α，γ）＋（β，γ）；（4）（α，α）≥0，当且仅当α＝0时（α，α）＝0.这里α，β，r是V中任意的向量，k是任意实数，这样的线性空间V称为欧几里得空间．2．长度（1）定义非负实数称为向量α的长度，记为|α|．（2）关于长度的性质①零向量的长度是零，②|kα|＝|k||α|，③长度为1的向量称为单位向量.如果α≠0，向量1αα就是一个单位向量，通常称此为把α单位化．3．向量的夹角（1）柯西-布涅柯夫斯基不等式，即对于任意的向量α，β有|（α，β）|≤|α||β|当且仅当α，β线性相关时，等号才成立．（2）非零向量α，β的夹角＜α，β＞规定为（3）如果向量α，β的内积为零，即（α，β）＝0，那么α，β称为正交或互相垂直，记为α⊥β．零向量才与自己正交．（4）勾股定理，即当α，β正交时，|α＋β|2＝|α|2＋|β|2．4．有限维空间的讨论（1）度量矩阵设V是一个n维欧几里得空间，在V中取一组基ε1，ε2，…，εn，对V中任意两个向量α＝x1ε1＋x2ε2＋…＋x nεn，β＝y1ε1＋y2ε2＋…＋y nεn，由内积的性质得a ij＝（εi，εj）（i，j＝1，2，…，n），显然a ij＝a ji，于是利用矩阵，（α，β）还可以写成（α，β）＝X'AY，其中分别是α，β的坐标，而矩阵A＝（a ij）nn称为基ε1，ε2，…，εn的度量矩阵．（2）性质①设η1，η2，…，ηn是空间V的另外一组基，而由ε1，ε2，…，εn到η1，η2，…，ηn的过渡矩阵为C，即（η1，η2，…，ηn）＝（ε1，ε2，…，εn）C，于是基η1，η2，…，ηn的度量矩阵B＝（b ij）＝（ηi，ηj）＝C'AC；表明不同基的度量矩阵是合同的．②对于非零向量α，即有（α，α）＝X'AX＞0．因此，度量矩阵是正定的．二、标准正交基1．正交向量组欧式空间V中一组非零的向量，如果它们两两正交，就称为一正交向量组．按定义，由单个非零向量所成的向量组也是正交向量组．2．标准正交基（1）定义在n维欧氏空间中，由n个向量组成的正交向量组称为正交基；由单位向量组成的正交基称为标准正交基．说明：①对一组正交基进行单位化就得到一组标准正交基．②一组基为标准正交基的充分必要条件是：它的度量矩阵为单位矩阵．（2）标准正交基的求法①定理1n维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组正交基．②定理2对于n维欧氏空间中任意一组基ε1，ε2，…，εn，都可以找到一组标准正交基η1，η2，…，ηn，使L（ε1，ε2，…，εi）＝L（η1，η2，…，ηi），i＝1，2，…，n．定理2中把一组线性无关的向量变成一单位正交向量组的方法称做施密特正交化过程．例：把α1＝（1，1，0，0），α3＝（－1，0，0，1），α2＝（1，0，1，0），α4＝（1，－1，－1，1）变成单位正交的向量组．解：①先把它们正交化，得β1＝α1＝（1，1，0，0），②再单位化，得3．基变换公式设ε1，ε2，…，εn与η1，η2，…，ηn是欧氏空间V中的两组标准正交基，它们之间的过渡矩阵是A＝（a ij），即因为η1，η2，…，ηn是标准正交基，所以矩阵A的各列就是η1，η2，…，ηn在标准正交基ε1，ε2，…，εn下的坐标．4．正交矩阵n级实数矩阵A称为正交矩阵，如果A'A＝E．由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵；反过来，如果第一组基是标准正交基，同时过渡矩阵是正交矩阵，那么第二组基一定也是标准正交基．三、同构1．同构定义实数域R上欧式空间V与V'称为同构的，如果由V到V'有一个双射σ，满足（1）σ（α＋β）＝σ（α）＋σ（β），（2）σ（kα）＝kσ（α），（3）（σ（α），σ（β））＝（α，β），这里α，β∈V，k∈R，这样的映射σ称为V到V'的同构映射．同构的欧氏空间必有相同的维数．每个n维的欧氏空间都与R n同构．2．同构的性质同构作为欧氏空间之间的关系具有（1）反身性；（2）对称性；（3）传递性；（4）两个有限维欧氏空间同构的充分必要条件是它们的维数相同．.四、正交变换1．定义欧氏空间V的线性变换A称为正交变换，如果它保持向量的内积不变，即对于任意的α，β∈V，都有（Aα，Aβ）＝（α，β）．2．性质。
第九章 欧几里得空间
(1 , 2 ,, n ) (1 , 2 ,, n )C
于是不难算出，基 1 , 2 ,, n 的度量矩阵
B bij i , j C AC .
(11)
这就是说，不同基的度量矩阵是合同的. 根据条件(4) ，对于非零向量 ，即
0 0 X 0
a11 a 21 (1 , 2 ,, n ) ( 1 , 2 ,, n ) a n1
因为 1 , 2 ,, n 是标准正交基，所以
a12 a 22 an2
a1n a2n a nn
1 , 当 i j ; ( i , j ) 0 , 当 i j.
有
( , ) X AX 0
因此，度量矩阵是正定的. 反之，给定一个 n 级正定矩阵 A 及 n 维实线性空间 V 的一组基 1 , 2 ,, n . 可以规定 V 上内积， 使它成为欧几里得空间， 并且基的 1 , 2 ,, n 度量矩阵是 A . 欧几里得空间的子空间在所定义的内积之下显然也是一个欧几里得空间 . 欧几里得空间以下简称为欧氏空间 .
第九章 欧几里得空间 §1 定义与基本性质
一、向量的内积 定义 1 设 V 是实数域 R 上一个向量空间,在 V 上定义了一个二元实函数，称 为内积,记作 ( , ) ,它具有以下性质: 1) ( , ) ( , ) ; 2) (k , ) k ( , ) ; 3) ( , ) ( , ) ( , ) ; 4)
i 1 j 1 n n
令
aij ( i , j )
显然
(i , j 1 , 2 ,, n)
(8)
高等代数欧几里得空间课件
矩阵的定义
矩阵是一个由数字组成的矩形阵列，可 以表示向量之间的关系和线性变换。
VS
矩阵的性质
矩阵具有一些重要的性质，如矩阵的加法、 标量乘法和乘法满足相应的运算规则，矩 阵的转置、行列式、逆等也具有相应的性 质和定义。
矩阵的运算规则
1 2 3
矩阵的加法 矩阵的加法满足交换律和结合律，即 $A+B=B+A$和$(A+B)+C=A+(B+C)$。
运算规则二
如果 $W_1$ 和 $W_2$ 是子空间，且 $W_1 cap W_2 = {0}$， 则 $W_1 + W_2$ 是子空间。
运算规则三
如果 $W$ 是子空间，且 $u in W$，则存在唯一的 $v in W$ 使得 $u + v = 0$。
欧几里得空的同
06
构与等价
同构的定义与性质
等价性质
等价的欧几里得空间具有相同的秩，且线性变换在等价 下是可逆的。
THANKS.
矩阵运算对应线性变换运 算
矩阵的加法、标量乘法和乘法分别对应线性 变换的加法、标量乘法和复合运算。
特征与特征向量
04
特征值与特征向量的定义
特征值
对于一个给定的矩阵A，如果存在一个非零的数λ和相应的非零向量x，使得Ax=λx成立， 则称λ为矩阵A的特征值，x为矩阵A的对应于λ的特征向量。
特征向量
与特征值λ对应的非零向量x称为矩阵A的对应于λ的特征向量。
助于学生更好地理解和掌握这一概念。
04
复数域上的全体二维向量构成的集合是一个二维复数 欧几里得空间。
向量与向量的运算
ห้องสมุดไป่ตู้02
向量的定义与表示
高等代数--第九章 欧几里得空间
反过来，如果等号成立，由以上证明
过程可以看出，或者 0 ，或者 ( , ) 0, ( , ) 也就是说 , 线性相关。
结合具体例子来看一下这个不等式是很有意 思的。对于例1的空间Rn ，(5)式是:柯西不等式
| a1b1 a2b2 an bn |
这就是说，不同基的度量矩阵是合同的。
根据条件4)，对于非零向量 ，即
0 0 X 0
有
( , ) X ' AX 0,
因此，度量矩阵是正定的。 欧几里得空间以下简称为欧氏空间。 BACK
标准正交基
定义6 欧氏空间V中一组非零的向量，如果它 们两两正交，就称为一正交向量组。 按定义，由单个非零向量所成的向量组也 是正交向量组。
即对于任意的向量 , 有
| ( , ) || || | . (5)
当且仅当 , 线性相关时，等号才成立。 证明 当 0，(5)式显然成立。以下设 0。 令t是一个实变数，作向量 t . 由4)可知，不论t取何值，一定有 ( , ) ( t , t ) 0. 即 ( , ) 2( , )t ( , )t 2 0. (6)
(m1 ,i ) ( ,i ) ki (i ,i ) (i 1,2,, m).
取
( , i ) ki (i 1,2,, m). ( i , i )
有
( i , m1 ) 0 (i 1,2,, m).
m1 0 。因此 1 , 2 ,, m , m1 由 的选择可知， 1 , 2 ,, m , 是一正交向量组，根据归纳法假定， m1 可以扩充成一正交基。于是定理得证。 定理的证明实际上也就给出了一个具体的扩 充正交向量组的方法。
欧几里得空间复习
(7) 对n级实对称阵A, 都存在n级正交矩阵T， 使T AT T 1 AT 为对角阵.
9
二、基本题型
1. 欧氏空间的判定（内积是否满足4条） 2. 向量的内积，长度，距离，夹角的计算 欧氏空间中度量矩阵的计算 3.标准正交基的求法（重点） 4.子空间正交补（内射影）的计算
5.实对称矩阵对角化方法（重点）
n级实数矩阵A是正交矩阵 AA E .
标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵;
A是正交矩阵 A的列向量组和行向量组都构成 R 的标准正交基.
n
4.2. 对称变换与对称矩阵
设 是n维欧氏空间V 的一个线性变换. 是 对称变换的刻化 : 1) 对 , V ,( ( ), ) ( , ( )); 2) 是对称变换 在标准正交基下的矩阵 是对称矩阵.
内射影
4. 欧氏空间的线性变换 4.1. 正交变换与正交矩阵 设 是n维欧氏空间V 的一个线性变换. 是正
交变换的刻化 : 1) 对 , V ,( ( ), ( )) ( , ); 2) 对 V , 都有 | ( ) || |; 3) 设 1 , 2 , , n 是V 的标准正交基, 是正交 变换 ( 1 ), ( 2 ), , ( n )也是V 的标准正交基; 4) 是正交变换 在任意标准正交基下的 矩阵是正交阵.
解得基础解系1 (2, 2,1,0), 2 (5, 4,0, 3)
于是 W L(1 ,2 ).
注 : 当已知 W 的基向量时, 求正交补W 的过 程就是求一个相应的齐次线性方程组的解空间的 过程.
1 1 例 2 设1 2 , 求一个 3阶正交矩阵T , 3 2 使得T的第一列是 1 .
高等代数-欧几里得空间
2) (, ) (, ) (, )
s
s
推广： ( , i ) ( , i )
i 1
i 1
3) (0, ) 0
§9.1 定义与基本性质
二、欧氏空间中向量的长度
1. 引入长度概念的可能性
1）在 R3向量 的长度（模） . 2) 欧氏空间V中， ,V , (, ) 0
使得 有意义.
③ ( , ) R.
§9.1 定义与基本性质
例1．在 Rn 中，对于向量
a1,a2, ,an , b1,b2, ,bn
1）定义 ( , ) a1b1 a2b2 anbn
（1）
易证 ( , ) 满足定义中的性质 1 ～ 4 .
所以, ( , ) 为内积. 这样Rn 对于内积 ( , ) 就成为一个欧氏空间.
2. 向量长度的定义
,V , ( , ) 称为向量 的长度. 特别地，当 1时，称 为单位向量.
§9.1 定义与基本性质
3. 向量长度的简单性质
1) 0; 0 0
2) k k
3）非零向量 的单位化：
1.
（3）
§9.1 定义与基本性质
三、欧氏空间中向量的夹角
1. 引入夹角概念的可能性与困难
注：
① 零向量与任意向量正交.
②
, ,
2
即 cos, 0
.
§9.1 定义与基本性质
5. 勾股定理
设V为欧氏空间， , V
2 2 2
证： 2 , , 2, ,
2 2 2
( , ) 0
.
§9.1 定义与基本性质
推广：若欧氏空间V中向量1,2 , ,m 两两正交，
当 n 3 时，1）即为几何空间 R3中内积在直角 坐标系下的表达式 . ( , )即 .
欧几里得空间
例3 已知 2,1,3,2, 1,2,2,1
在通常的内积定义下，求 ,( , ), , , .
例1 C(a,b) 为闭区间 [a,b] 上的所有实连续函数
所成线性空间，对于函数 f ( x), g( x) ，定义
b
( f , g) a f ( x)g( x) dx
②
则 C(a,b) 对于②作成一个欧氏空间.
证： f ( x), g( x), h( x) C(a,b), k R
b
1 . ( f , g) a f ( x)g( x) dx
b
( g, f )=a g( x) f ( x) dx
b
b
2 . (k f , g) a k f ( x)g( x) dx ka f ( x)g( x) dx
k( f , g)
3
.
(f
g,
h)
b
a
f (x)
k 1
l 1
nn
nn
( k , l )ckiclj
aklckiclj CiAC j
k1 l 1
k1 l 1
B (i , j ) CiAC j
C1
C
2
A
C1
,
C2
,
Cn
,Cn CAC
欧氏空间的定义
设V是实数域 R上的线性空间，对V中任意两个向量
、 , 定义一个二元实函数，记作 ( , ) ，若 ( , ) 满足性质： , , V , k R
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因此，与 2) (3k)(, 相+)当=地,2k就)(()有k,=(,)；, )=) +k((,, ))；；
2 ) ( , k3)) =(4()k(+,),=,k()),3=)0)(=(，k(当,+,且))；,+仅()当=, ()=；, 0 时 ) + (( ,,
3
) (
,
+
4)
() ==,((+,),)+)0=(4，(), 当(,). 且),+仅( ), 当) 0，=当0且时仅(当,
取
t (, ) . ( , )
代入 (5) 式，得
( , ) ( , )2 0 , ( , )
即
( , )2 ( , ) ( , ) .
两边开方便得
| ( , ) | | | | | .
当 , 线性相关时，等号显然成立.
反过来，如
果等号成立，由以上证明过程可以看出，或者 =0
)==0
3) ( + , ) = ( , ) + ( , ) ； 由条件 4) (有, ( ), ) 0，0 . 当且仅所当以对于=任0意时的向( , )
量 ， (,) 是有意义的. 在几何空间中，向量 的长度为 (,) . 类似地，我们在一般的欧几
里得空间中引进向量长度的概念.
二、长度
的地位，因此有必要引入度量的概念.
解析几何中我们看到，向量的长度与夹角等度 量性质都可以通过向量的内积来表示，而且向量的 内积有明显的代数性质，所以在抽象的讨论中，我 们取内积作为基本概念.
一、内积
1. 定义
定义 1 设 V 是实数域 R 上一线性空间，在
内积 V 上定义了一个二元实函数，称为
，记作
第一节 定义与基本性质
主要内容
内积 长度 夹角 度量矩阵 举例
在线性空间中，向量之间的基本运算只有加法
与数量乘法，统称为线性运算.
如果我们以几何
空间中的向量作为线性空间理论的一个具体模型，
那么就会发现向量的度量性质，如长度、夹角等，
在线性空间的理论中没有得到反映.
但是向量的度
量性质在许多问题中(其中包括几何问题)有着特殊
式就成是就的成空为间一个C (欧a 几, b里) 中得，空对间于. 函以数后f仍(x用) , Rgn(x来) 表定示义这内
b 积个f (欧x)几g里(x得)d空x 间 .
1
b f 2 (x)dx 2
1
b g 2 (x)dx 2 .
( , )，它具有以下性质：
1) ( , ) = ( , )； 2) (k , ) = k( , )； 3) ( + , ) = ( , ) + ( , ) ； 4) ( , ) 0，当且仅当 = 0 时 ( , ) = 0 .
这里 , , 是 V 中任意的向量，k 是任意实
同样地，线性空间 R[ x ] , R[ x ]n 对于内积 (2)
也构成欧几得里空间.
内积定义中的四个性质：
3.
欧几里得空间的性质 内积定义中内的积四定个义性中质的：四个性质：
下面来看欧几1)里(得空, 间)的=一(些基, 本)性；质.
首先，定1义) (中2)条,(k件) ,=()1=), (k()表,；,明)内=)积；(是,对称)的；.
| 定a1b义1 内a积2b2 anbn |
( , a12)=aa221 b1+ a2 ba2n2+ …b12 +abn22bn . bn2 .(1
对于| (显例然, 2，) 内|在中积闭的| 欧区(1几|)间|里适得[合a|空,定间b]义C上(中a的, 的b所) 条，有件实，连这(续4样)函，数R
= (a1 , a2 , … , an ) , = (b1 , b2 , … , bn ) ,
定义内积
( , ) = a1 b1 + a2 b2 + … + an bn .
(1)
显然，内积 (1) 适合定义中的条件，这样， Rn
就成为一个欧几里得空间.
以后仍用 Rn 来表示这
个欧几里得空间. 在 n = 3 时，(1) 式就是几何空间中向量的内积
3) ( + , =) =+(t ,. ) + ( , ) ；
由 4) (可, 知，) 不0论，t 当取何且值仅，当一定有= 0 时 ( , ) = 0 .
( , ) = ( + t , + t ) 0.
即
( , ) + 2( , ) t + ( , ) t 2 0.
(5)
性质 2 柯西 - 布涅柯夫斯基不等式
设 , 是任意两个向量，则
| ( , ) | | | | |，
(4)
当且内仅当积 ,定 线义性相中关时的，等四号个才成性立. 质：
1)证(明,
)
当
=
(
=,
0 时)；，(4)
式显然成立.
以下
设 2)(0k. , )令=t k是(一个, 实)变；数，作向量
1. 定义
定义 2 非负实数
( , ) 长 称为向量 的
度，记为 | |.
显然，向量的长度一般是正数，只有零向量的
长度才是零，这样定义的长度有以下的性质：
2. 性质
性质 1 设 k R, V , 则有
| k | = | k | | |.
(3)
证明
| k | (k, k)
k 2 (,) | k || | .
或者
(, ) 0 , ( , )
也就是说 , 线性相关.
证毕
3. 两个著名的不等式
| (对,于 )例| 1| 在|中|线的 欧性| 几空里间得空R间n 中Rn，，对于(向4)量 式就
是
= (a1 , a2 , … , an ) , = (b1 , b2 , … , bn ) ,
在直角坐标系中的坐标表达式.
例 2 在闭区间 [a , b] 上的所有实连续函数所
成的空间 C (a , b) 中，对于函数 f (x) , g (x) 定义内
积
b
( f , g) a f (x)g(x)dx .
(2)
由定积分的性质不难证明，对于内积 (2)，C (a , b)
构成一欧几里得空间.
数，这样的线性空间 V 称为欧几里得空间.
在欧几里得空间的定义中，对它作为线性空间 的维数并无要求，可以是有限维的，也可以是无限 维的.
几何空间中向量的内积显然适合定义中列举的 性质，所以几何空间中向量的全体构成一个欧几里 得空间.
2. 欧几里得空间举例
下面再看两个例子.
例 1 在线性空间 Rn 中，对于向量