高等代数教案第 章欧氏空间
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第八讲 欧氏空间
高等代数选讲
高等代数选讲
第八讲 欧氏空间
线性空间中，向量之间的基本运算只有加 法与数量乘法。作为几何空间的推广，可以发 现几何向量的度量性质，如长度、夹角等，在 线性空间的理论中没有得到反映。但是向量的 度量性质在许多问题（包括几何问题）有特殊 的地位。因此有必要在线性空间中引入度量的 概念，使其更接近于几何空间，并有更丰富的 内容与方法。
高等代数选讲 8、构造内积的方法 在实线性空间V 中构造内积使之构成欧氏空间，通 常采用如下两种方法： （1）直接构造：对任意 , V ，直接构造二元实 函数 , ，并验证其满足内积的四条公理。 （2）由正定矩阵确定内积：若V 为 n 维实线性空间， 任取V 的基 1 , 2 ,, n ，以及 n 阶正定矩阵A，定义： b1 b , a1 , a2 ,, an A 2 bn 其中 a11 a2 2 an n , b11 b2 2 bn n
高等代数选讲 欧氏空间证与内积有关的正交变换与对称变换在 现实生活中有着广泛而重要的应用，这两种变换在标 准正交基下分别对应着正交矩阵及实对称矩阵这两种 具有特殊性质的矩阵。要求掌握正交变换与对称变换 的概念及性质，能够运用它们与对应特殊矩阵之间的 关系解题对实对称矩阵A，要求能熟练地找到正交矩阵 T Q，使 Q AQ为对角阵，以及以另一种形式出现的同一 个问题，即用正交变换化实二次型为标准形。 将线性空间关于某个子空间进行直和分解是不唯 一的，但是欧氏空间关于某个子空间及其正交补空间 的直和分解是唯一的。欧氏空间的这种分解是很重要 的，要求掌握子空间的正交补的概念及基本性质，会 求某些子空间的正交补。
1 1 2 2 n n
高等代数选讲 （2） R mn －－对于实矩阵 A aij mn , B bij mn 内积为
高等代数选讲
第八讲 欧氏空间
线性空间中，向量之间的基本运算只有加 法与数量乘法。作为几何空间的推广，可以发 现几何向量的度量性质，如长度、夹角等，在 线性空间的理论中没有得到反映。但是向量的 度量性质在许多问题（包括几何问题）有特殊 的地位。因此有必要在线性空间中引入度量的 概念，使其更接近于几何空间，并有更丰富的 内容与方法。
高等代数选讲 8、构造内积的方法 在实线性空间V 中构造内积使之构成欧氏空间，通 常采用如下两种方法： （1）直接构造：对任意 , V ，直接构造二元实 函数 , ，并验证其满足内积的四条公理。 （2）由正定矩阵确定内积：若V 为 n 维实线性空间， 任取V 的基 1 , 2 ,, n ，以及 n 阶正定矩阵A，定义： b1 b , a1 , a2 ,, an A 2 bn 其中 a11 a2 2 an n , b11 b2 2 bn n
高等代数选讲 欧氏空间证与内积有关的正交变换与对称变换在 现实生活中有着广泛而重要的应用，这两种变换在标 准正交基下分别对应着正交矩阵及实对称矩阵这两种 具有特殊性质的矩阵。要求掌握正交变换与对称变换 的概念及性质，能够运用它们与对应特殊矩阵之间的 关系解题对实对称矩阵A，要求能熟练地找到正交矩阵 T Q，使 Q AQ为对角阵，以及以另一种形式出现的同一 个问题，即用正交变换化实二次型为标准形。 将线性空间关于某个子空间进行直和分解是不唯 一的，但是欧氏空间关于某个子空间及其正交补空间 的直和分解是唯一的。欧氏空间的这种分解是很重要 的，要求掌握子空间的正交补的概念及基本性质，会 求某些子空间的正交补。
1 1 2 2 n n
高等代数选讲 （2） R mn －－对于实矩阵 A aij mn , B bij mn 内积为
3-4 欧氏空间
的内积. 称 [a, b] 为向量 a 与 b 的内积 • 向量空间带有内积运算 就称为欧氏空间 向量空间带有内积运算, 就称为欧氏空间 欧氏空间.
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内积的性质 维向量, 为实数, 设 a, b, c 为 n 维向量 k 为实数 则有 (1) [a, b] = [b, a]; (2) [ka, b] = k [a, b]; (3) [a + b, c] = [a, c] + [b, c]; (4) [a, a] ≥ 0, 等号成立的充分必要条件是 a = 0. 2 2 [a, a] = a1 +L+ an 向量的内积 设有 n 维向量 a = (a1, …, an), b = (b1, …, bn), 记
R A
a
e3
O e1
e2
Q
P
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A′
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定理2 定理 n 的一个规范正交基, 设 e1,…, er 为 R 的子空间 V 的一个规范正交基 … n 对 R 中任一向量 a, 记 a′ = [a, e1]e1 +L+ [a, er ]er 正交, 中每个向量都正交. 则 a − a′ 与 V 正交 即 a − a′ 与 V 中每个向量都正交 ′ ′ R • 称 a′ 为向量 a 在向量空间 V ′ 上的正交投影向量 正交投影向量. 上的正交投影向量 A • 几何背景
提示: 提示 对于立体向量 a, b [a, b] = || a || ⋅ || b || cosϕ 其中ϕ 为向量 a 与 b 的夹角
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• 非零向量 a 的单位化 或规范化 向量 单位化(或规范化)向量 1 o a = a || a || 同向(即夹角为零 的单位向量. 即夹角为零)的单位向量 表示与 a 同向 即夹角为零 的单位向量 同时正交的单位向量. 例1 求与 a = (1,1,1), b = (1,−2,1)同时正交的单位向量 − 同时正交的单位向量 同时正交, 解 设非零向量 x = (x1, x2, x3) 与 a, b 同时正交 则有
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内积的性质 维向量, 为实数, 设 a, b, c 为 n 维向量 k 为实数 则有 (1) [a, b] = [b, a]; (2) [ka, b] = k [a, b]; (3) [a + b, c] = [a, c] + [b, c]; (4) [a, a] ≥ 0, 等号成立的充分必要条件是 a = 0. 2 2 [a, a] = a1 +L+ an 向量的内积 设有 n 维向量 a = (a1, …, an), b = (b1, …, bn), 记
R A
a
e3
O e1
e2
Q
P
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A′
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定理2 定理 n 的一个规范正交基, 设 e1,…, er 为 R 的子空间 V 的一个规范正交基 … n 对 R 中任一向量 a, 记 a′ = [a, e1]e1 +L+ [a, er ]er 正交, 中每个向量都正交. 则 a − a′ 与 V 正交 即 a − a′ 与 V 中每个向量都正交 ′ ′ R • 称 a′ 为向量 a 在向量空间 V ′ 上的正交投影向量 正交投影向量. 上的正交投影向量 A • 几何背景
提示: 提示 对于立体向量 a, b [a, b] = || a || ⋅ || b || cosϕ 其中ϕ 为向量 a 与 b 的夹角
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• 非零向量 a 的单位化 或规范化 向量 单位化(或规范化)向量 1 o a = a || a || 同向(即夹角为零 的单位向量. 即夹角为零)的单位向量 表示与 a 同向 即夹角为零 的单位向量 同时正交的单位向量. 例1 求与 a = (1,1,1), b = (1,−2,1)同时正交的单位向量 − 同时正交的单位向量 同时正交, 解 设非零向量 x = (x1, x2, x3) 与 a, b 同时正交 则有
9.1 欧氏空间定义及性质
定义 4 称向量 , ( V) 正交，记成 (, ) 0 .
由定义 3 可知， (, ) cos ，故非零向量, 具有如
下结论： , 互相垂直 夹角 为 90 度 cos 0 .
这里正交的定义与解析几何中正交定义是一致的.
(α, kβ) = ( kβ,α) = k (β,α) = k (α,β) .
6) (α,β+γ) = (α,β) + (α,γ)
(α,β+γ) = (β+γ,α) = (β,α) + (γ,α)
= (α,β) + (α,γ) .
7) (0,α) = (α,0) = 0 ( 对任意的α∈V )
3) (α+β,γ) = (α,γ) + (β,γ) 4) (α,α)≥0 ，并且α = 0 当且仅当 (αα) = 0 这时，称V是欧几里德空间.
公理1称为对称性，公理2，3合称为线性性，公理4称 为恒正性. 对称性，线性性和恒正性正是数量积（如功） 的基本属性.
在此基础上可进一步建立向量长度、夹角、距离等概 念，这均为几何空间的特征，是以欧氏几何为基础的， 故称为欧氏空间.
r
r
(a11, b11) (a22, b11) (arr , b11) (aii, b11) aib1(i, 1)
i1
i1
r
r
(a11, b22 ) (a22, b22 ) (arr , b22 ) (aii , b22 ) aib2 (i , 2 )
x1 = x2 = ···= xn = 0 当且仅当 (ξ,ξ) = x12 + ···+ xn2 = 0.
高等代数课件 第八章
由此得 | | , x12 x22 xn2 （5）
( ,) (x1 y1)2 (xn yn )2 （6）
2．标准正交基的性质
设 {1,2} 是 V2 的一个基，但不一定是
正交基。从这个基出发，只要能得出 V2 的一个
正交基 {1, 2}, 问题就解决了,因为将 1和2
再分别除以它们的长度，就得到一个规范正交
注意：（7）和（8）在欧氏空间的不等式（6） 里被统一起来. 因此通常把(6)式称为柯西-施瓦兹不 等式.
三、向量的正交
定义4 欧氏空间的两个向量ξ与η说是正交的,
如果 , 0
定理8.1.2 在一个欧氏空间里，如果向量ξ
与1,2,,r 中每一个正交，那么ξ与 1,2,,r
的任意一个线性组合也正交.
2 a1 2 a1 0,
因而 2 0,
这就得到 V2 的一个正交基 {1, 2}.
3．标准正交基的存在性
定理8.2.2（正交化方法) 设 {1,2 ,,n}
是欧氏空间V的一组线性无关的向量, 那么可以求
出V 的一个正交组 {1, 2,, n}, 使得 k 可以由 1,2,,k 线性表示，k = 1,2,…,m.
由于1,2,,k 线性无关，得 k 0,
又因为假定了 1, 2 ,, k1 两两正交，所以
k ,i
k ,i
k ,i i , i
i , i 0, i 1,2,, k 1
这样，1, 2,, k 也满足定理的要求。
定理8.2.3 任意n(n >0)维欧氏空间一定有正交
基，因而有标准正交基.
例4 在欧氏空间 R3中对基
4) 当 0 时, , 0 这里 ,, 是V的任意向量，a是任意实数，那么
, 叫做向量ξ与η的内积，而V叫做对于 这个内积来说的一个欧氏空间（简称欧氏空间）.
( ,) (x1 y1)2 (xn yn )2 （6）
2．标准正交基的性质
设 {1,2} 是 V2 的一个基，但不一定是
正交基。从这个基出发，只要能得出 V2 的一个
正交基 {1, 2}, 问题就解决了,因为将 1和2
再分别除以它们的长度，就得到一个规范正交
注意：（7）和（8）在欧氏空间的不等式（6） 里被统一起来. 因此通常把(6)式称为柯西-施瓦兹不 等式.
三、向量的正交
定义4 欧氏空间的两个向量ξ与η说是正交的,
如果 , 0
定理8.1.2 在一个欧氏空间里，如果向量ξ
与1,2,,r 中每一个正交，那么ξ与 1,2,,r
的任意一个线性组合也正交.
2 a1 2 a1 0,
因而 2 0,
这就得到 V2 的一个正交基 {1, 2}.
3．标准正交基的存在性
定理8.2.2（正交化方法) 设 {1,2 ,,n}
是欧氏空间V的一组线性无关的向量, 那么可以求
出V 的一个正交组 {1, 2,, n}, 使得 k 可以由 1,2,,k 线性表示，k = 1,2,…,m.
由于1,2,,k 线性无关，得 k 0,
又因为假定了 1, 2 ,, k1 两两正交，所以
k ,i
k ,i
k ,i i , i
i , i 0, i 1,2,, k 1
这样，1, 2,, k 也满足定理的要求。
定理8.2.3 任意n(n >0)维欧氏空间一定有正交
基，因而有标准正交基.
例4 在欧氏空间 R3中对基
4) 当 0 时, , 0 这里 ,, 是V的任意向量，a是任意实数，那么
, 叫做向量ξ与η的内积，而V叫做对于 这个内积来说的一个欧氏空间（简称欧氏空间）.
欧氏空间（Eulerspace）
欧氏空间(Euler space )一、 内积与欧氏空间1.设V 是实数域R 上的线性空间,在V 上定义一个二元实函数,称为内积,记为),(βα,它具有以下性质: )3(,)2(),,(),)(1( αββα= 这样的线性空间V 称为欧几里的空间,简称欧氏空间.2.设V 是数域P 上的线性空间,如果V 中的任意两个向量βα,都按某一法则对应P 内唯一确定的数,记为),(βαf ,且),(),(),(,,,,)1(221122112121βαβαβααβααk f k k k f V P k k +=+∈∈∀有;),(),(),(,,,,)2(221122112121βαβαββαββαl f l l l f V P l l +=+∈∈∀有 则称),(βαf 是V 上的一个双线性函数.3.内积是双线性函数.4.设V 是n 维欧氏空间,n e e e ,,,21 为V 的一组基,V ∈βα,,若n n e x e x e x +++= 2211α; n n e y e y e y +++= 2211β则j i n j ni j i j i n j n i j i y x a y x e e ∑∑∑∑====∆=1111),(),(βα,5.称 )),(()(j i ij e e a A ==为基n e e e ,,,21 的度量矩阵.6. 设n e e e ,,,21 是n 维欧氏空间V 的一组基,,A 是基n e e e ,,,21 下的度量矩阵,则任意V ∈βα,,有AY X '=),(βα.7.度量矩阵必为正定矩阵,且不同基下的度量矩阵是合同的.二、 长度与夹角1。
欧氏空间V 中向量长度 ),(||ααα=；单位化：当||0||0αααα=≠时， 2．欧氏空间中的重要不等式：① Cauchy-Буняковский不等式：对任意向量V ∈βα,有线性相关时等式成立。
，当且仅当βαβαβα|,||||),(|≤。
欧式空间
欧氏空间(Euler space )一、 内积与欧氏空间1.设V 是实数域R 上的线性空间,在V 上定义一个二元实函数,称为内积,记为),(βα,它具有以下性质: )3(,)2(),,(),)(1( αββα= 这样的线性空间V 称为欧几里的空间,简称欧氏空间.2.设V 是数域P 上的线性空间,如果V 中的任意两个向量βα,都按某一法则对应P 内唯一确定的数,记为),(βαf ,且),(),(),(,,,,)1(221122112121βαβαβααβααk f k k k f V P k k +=+∈∈∀有;),(),(),(,,,,)2(221122112121βαβαββαββαl f l l l f V P l l +=+∈∈∀有 则称),(βαf 是V 上的一个双线性函数.3.内积是双线性函数.4.设V 是n 维欧氏空间,n e e e ,,,21 为V 的一组基,V ∈βα,,若n n e x e x e x +++= 2211α; n n e y e y e y +++= 2211β则j i n j ni j i j i n j n i j i y x a y x e e ∑∑∑∑====∆=1111),(),(βα,5.称 )),(()(j i ij e e a A ==为基n e e e ,,,21 的度量矩阵.6. 设n e e e ,,,21 是n 维欧氏空间V 的一组基,,A 是基n e e e ,,,21 下的度量矩阵,则任意V ∈βα,,有AY X '=),(βα.7.度量矩阵必为正定矩阵,且不同基下的度量矩阵是合同的.二、 长度与夹角1。
欧氏空间V 中向量长度 ),(||ααα=；单位化：当||0||0αααα=≠时， 2．欧氏空间中的重要不等式：① Cauchy-Буняковский不等式：对任意向量V ∈βα,有线性相关时等式成立。
，当且仅当βαβαβα|,||||),(|≤。
欧氏空间
惠州学院数学系
事实上，我们有
2
0
1dx 2 ,
0
2
, 若m n, cos mx cos nxdx 0, 若m n,
, 若m n, sin mx sin nxdx 0, 若m n,
0
2
惠州学院数学系
2
0
cos mx sin nxdx cos nxdx sin nxdx 0
f ( x), g ( x),
b
有不等式
b 2
a f ( x) g ( x)dx a f
( x)dx
g a
b
2
( x)dx .
(8)
(8)式称为施瓦兹(Schwarz)不等式. （7）和（8）在欧氏空间的不等式（6）里被 统一 起来. 因此通常把(6)式称为柯西-施瓦兹 不等式.
惠州学院数学系
| i | i, A (aij ) nn
求 A 的行列式 | A | 的值.
惠州学院数学系
i
的长度
8.2 正交基
一、内容分布 8.2.1正交组的定义、性质 8.2.2标准正交基的定义、性质及存在性 8.2.3子空间的正交补 8.2.4正交矩阵的概念 8.2.5 n维欧氏空间同构的概念及判别
n
a1 , a 2 , a n , b1 , b2 , , bn 有不等式
(a1b1 a n bn ) 2 (a1 a n ) 2 (b1 bn ) 2
(7)
(7)式称为柯西(Cauchy)不等式.
惠州学院数学系
例7 考虑例3的欧氏空间C[a,b]，由不等式（6） 推出，对于定义在[a,b]上的任意连续函数
高等代数 第7章欧式空间 7.1 欧氏空间的定义及性质
称为n维向量x与y的夹角 .
x, y
x y
例 求向量 1,2,2,3与 3,1,5,1的夹角.
18 2 解 cos 3 261. 非负性 当 x 0时, x 0;当 x 0时, x 0; 2. 齐次性 x x ; 3. 三角不等式 x y x y .
单位向量及n维向量间的夹角
1 当 x 1时, 称 x 为单位向量 .
2 当 x 0, y 0时, arccos
(4)[ x , x ] 0, 且当x 0时有[ x , x ] 0.
则称V（R）关于这个数积构成一个欧氏空间。这里 x,y为任意向量，k为任意实数。
数积的性质： （1）（x ,ky)=k(x , y) (2) (x , y+z )=(x , y)+( x , z ) (3) (x , )=0
欧氏空间的定义及性质
定义：设V（R）是实数域R上的线性空间，
在V（R）中定义了一个叫做数积的运算，即 有一定的法则，按照这个法则，对V（R）中 的任意两个向量x,y,都能确定R中唯一一个实 数，称之为x与y的数积，记作（x,y),如果这个 运算具有性质：
(1) ( 2) ( 3)
x, y y, x ; x, y x, y; x y, z x, z y, z ;
n (4) k i i 1
, l
i j 1 i
n
n,m ki l j ( i i 1, j 1
,
i
j
)
向量的长度及性质
定义2 令
x
x, x
2 2 2 x1 x2 xn ,
称 x 为n 维向量 x的长度 或 范数 .
x, y
x y
例 求向量 1,2,2,3与 3,1,5,1的夹角.
18 2 解 cos 3 261. 非负性 当 x 0时, x 0;当 x 0时, x 0; 2. 齐次性 x x ; 3. 三角不等式 x y x y .
单位向量及n维向量间的夹角
1 当 x 1时, 称 x 为单位向量 .
2 当 x 0, y 0时, arccos
(4)[ x , x ] 0, 且当x 0时有[ x , x ] 0.
则称V（R）关于这个数积构成一个欧氏空间。这里 x,y为任意向量，k为任意实数。
数积的性质： （1）（x ,ky)=k(x , y) (2) (x , y+z )=(x , y)+( x , z ) (3) (x , )=0
欧氏空间的定义及性质
定义：设V（R）是实数域R上的线性空间，
在V（R）中定义了一个叫做数积的运算，即 有一定的法则，按照这个法则，对V（R）中 的任意两个向量x,y,都能确定R中唯一一个实 数，称之为x与y的数积，记作（x,y),如果这个 运算具有性质：
(1) ( 2) ( 3)
x, y y, x ; x, y x, y; x y, z x, z y, z ;
n (4) k i i 1
, l
i j 1 i
n
n,m ki l j ( i i 1, j 1
,
i
j
)
向量的长度及性质
定义2 令
x
x, x
2 2 2 x1 x2 xn ,
称 x 为n 维向量 x的长度 或 范数 .
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（线性双射），其次，它保持向量的内积不变. 因而欧氏空间的同构映射保持向量的长度不变，保持
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《高等代数》教案-8-第 8 章 欧氏空间
向量的夹角不变，故它保持几何形状不变. 容易证明，同构作为欧氏空间之间的关系具有反身性、对称性和传递性，因而它是欧氏空间的等.
价关系. 两个有限维欧氏空间同构的充分必要条件是它们有相同的维数. 所以，任意一个 n 维欧氏空 间都与 Rn 同构.
α
cosθ
为向量α
在向量 β
上的投影，称向量 (α , β )
β2
β
是向量α
在向量 β
上的投影向量.
注意，α
在向量 β 上的投影可表示为
α
cosθ
=
(α, β
β
)
=
α
,
β β
，
向量α 在向量 β 上的投影向量亦可以表示为
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《高等代数》教案-8-第 8 章 欧氏空间
(α, β
（1）σ (α + β ) = σ (α ) + σ (β ) ， （2）σ (kα ) = kσ (α ) ，
（3）(σ (α ),σ (β )) = (α, β ) ，
这里α, β ∈V , k ∈ R ，则称欧氏空间V 与V ′ 同构，称σ 是V 到V ′ 的一个同构映射. 注 两个欧氏空间V 到V ′ 的“同构映射”是指：首先，把V 和V ′ 看成线性空间时它是同构映射
Ⅲ.重点与难点 重点: 内积、欧氏空间的概念，向量的正交性，正交阵的性质及运用，实对称阵的正交对角化； 难点: 正交阵的性质及运用，实对称阵的正交对角化.
Ⅳ.教学内容
§8.1 欧氏空间的概念
1. 欧氏空间的概念
定义 8.1 设V 是实数域 R 上的线性空间，对于V 中的任意向量α, β ，定义实数 (α , β ) 与之对应，
) )
(
βi
,
βi
)
=
0
(i
=
1,
2,
⋅⋅
⋅,
k
−1)
.
第 5 页 共 21 页
于是， β1, β2 ,⋅⋅ ⋅, βk 两两正交，符合定理要求. 证毕.
m
∑ (α , β ) = aibi = α T β . i =1
可以验证，它满足内积的 4 条公理，因此 Rn 构成一个欧氏空间. 以后我们说欧氏空间 Rn 时，永远都
是指的如本例所定义的内积.
例 8.2 令 C [a,b] 表 示 区 间 [a,b] 上 的 全 体 连 续 实 函 数 所 成 的 向 量 空 间 . 对 任 意
β2
)
β
= α,
β β
β β
.
若 β 是一个单位向量，则α 在向量 β 上的投影向量就是 (α, β ) β . 不难看出，
α ⊥ β ⇔ (α, β ) = 0 .
在欧氏空间 Rn 中， n 维单位向量互相正交，即 ei ⊥ ej (i ≠ j ) .
定理 8.1 设V 是一个欧氏空间，对任意向量α, β ∈V , k ∈ R ，都有 （1） kα = k α ；
显然 aij = a ji (i, j = 1, 2,⋅⋅⋅, n) ，即度量矩阵是对称阵. 如果已知一个基的度量矩阵，那么任意两
个向量的内积就被唯一决定了，这就是说，度量矩阵决定向量内积.
nn
∑ ∑ 特别地， α 2 = (α,α ) =
aij xi x j = xT Ax .
i =1 j =1
定义 8.4 设V ,V ′ 是实数域 R 上的两个欧氏空间，如果存在V 到V ′ 的一个双射σ ，满足
§8.2 标准正交基
1. 正交向量组 定义 8.2 欧氏空间中的非零向量组，如果它们两两正交，则称它是一个正交向量组. 我们称一个
单位正交向量组为标准正交向量组（或规范正交向量组）.
正交向量组有如下性质
性质 1 单个非零向量所成的向量组也是正交向量组. 性质 2 正交向量组是线性无关的.
性质 3 在 n 维欧氏空间中，两两正交的向量不可能超过 n 个. 性质 4 设α1,α2 ,⋅ ⋅⋅,αm 是正交向量组，则
并且满足如下运算律：
（1）(α , β ) = ( β ,α ) ； （2）(α + β ,γ ) = (α ,γ ) + (β ,γ ) ； （3）(kα, β ) = k (α , β ) ； （4） (α ,α ) ≥ 0 ，等号当且仅当α = 0 时成立， 其中α, β ,γ 是V 中的任意向量， k 是任意实数，则称 (α , β ) 为向量α, β 的内积，称V 为欧几里德
β1, β2 ,⋅⋅⋅, βm ，使得每一个 βk 都可由α1,α2,⋅⋅⋅,αk (k = 1, 2,⋅⋅⋅, m) 线性表示.
证令
β1
= α1， β2
=
α2
−
( β1,α2 ) ( β1, β1 )
β1 .
由
(
β1
,
β
2
)
=
(
β1
,α
2
)
−
( β1,α2 ( β1, β1
) )
(
β1,
β1
)
=
0
α1 + α2 + ⋅⋅ ⋅ + αm 2 = α1 2 + α2 2 + ⋅ ⋅⋅ + αm 2 . 特别地，若向量α , β 正交，则 α + β 2 = α 2 + β 2 ，这就是所谓的勾股定理.
定理 8.3 设α1,α2 ,⋅ ⋅⋅,αm 是欧氏空间V 的一个线性无关的向量组，则一定存在一个正交向量组
βk−1 .
由假设知每一个 βi 都是α1,α2,⋅⋅⋅,αi−1 (i = 1, 2,⋅⋅⋅, k −1) 的线性组合，因此， βk 是α1,α2,⋅⋅⋅,αk 的线
性组合. 又因为 β1, β2 ,⋅⋅ ⋅, βk−1 两两正交，所以
(
βi
,
βk
)
=
(
βi
,α
k
)
−
( βi ,αk (βi , βi
故
(α, β ) < α β .
（3） α + β 2 = (α + β ,α + β )
= (α,α ) + 2(α, β ) + (β , β )
≤ α 2 +2α β + β 2
≤(α
+
β
)2 .
例 8.4 在欧氏空间 Rn 中，由定理 8.1（2）可以得到，对任意实数 a1, a2 , ⋅⋅ ⋅, an , b1, b2 ,⋅ ⋅⋅, bn 都有不
（3） kiαi , l jβ j =
kil j αi , β j .
i=1
j=1
i=1 j=1
《高等代数》教案-8-第 8 章 欧氏空间
定义 8.2 非负实数 (α,α ) 称为向量α 的长度（又叫向量α 的模），记为 α ，即 α = (α ,α ) ， 或 α 2 = (α,α ) .
，则
n×n
nn
∑ ∑ (α, β ) =
aij xi y j = xT Ay ，
i =1 j =1
其 中 x = ( x1, x2 ,⋅⋅⋅, xn )T , y = ( y1, y2,⋅⋅⋅, yn )T 分 别 是 向 量 α, β 的 坐 标 . 我 们 称 n 阶 矩 阵 A 为 基
ε1, ε2 ,⋅ ⋅⋅, εn 的度量矩阵.
第八章 欧氏空间
《高等代数》教案-8-第 8 章 欧氏空间
Ⅰ.授课题目 §8.1 欧氏空间的概念 §8.2 标准正交基 §8.3 正交阵与实镜象阵 §8.4 正交变换 §8.5 对称矩阵与对称变换
Ⅱ.教学目的与要求 1. 理解欧氏空间的相关概念； 2. 掌握向量的正交性以及标准正交基的概念和性质，掌握标准正交化方法； 3. 掌握正交阵的相关概念和性质； 4. 掌握正交变换的概念和性质； 5. 会将实对称阵正交对角化.
等式
( )( ) ( ) a1b1 + a2b2 + ⋅⋅⋅ + anbn 2 ≤ a12 + a22 + ⋅⋅⋅ + an2 b12 + b22 + ⋅⋅⋅ + bn2 .
当且仅当 a1 = a2 = ⋅ ⋅⋅ = an 时取等号，这就是著名的柯西（Cauchy）不等式.
b1 b2
bn
例 8.5 在欧氏空间 C [a,b] 中，对区间[a,b] 上的任意连续 f ( x), g ( x) ，由定理 8.1（2）得到
知 β2 与 β1 正交，显然 β2 是α1,α2 的线性组合.
假设1 < k ≤ m ，满足定理要求的 β1, β2 ,⋅⋅ ⋅, βk−1 都已作出. 取
βk
= αk
−
( β1,αk ) ( β1, β1 )
β1
−
(β2,αk ) (β2, β2 )
β2
−⋅⋅⋅−
(βk−1,αk ) ( ) βk−1, βk−1
这里α, β ,γ 是欧氏空间中的任意向量. 在解析几何中，不等式（3）的含义是：三角形两边之和大于
第三边.
最后指出，如果V1 是欧氏空间V 的一个子空间，那么V1 对于V 的内积也作成一个欧氏空间.
2. 欧氏空间的度量矩阵与同构映射
设V 是一个 n 维欧氏空间，ε1,ε2,⋅⋅⋅,εn 是V 的一个基，对于V 的任意两个向量α, β ，设 α = x1ε1 + x2ε2 + ⋅ ⋅⋅ + xnεn ， β = y1ε1 + y2ε 2 + ⋅⋅ ⋅ + ynε n ，
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《高等代数》教案-8-第 8 章 欧氏空间
向量的夹角不变，故它保持几何形状不变. 容易证明，同构作为欧氏空间之间的关系具有反身性、对称性和传递性，因而它是欧氏空间的等.
价关系. 两个有限维欧氏空间同构的充分必要条件是它们有相同的维数. 所以，任意一个 n 维欧氏空 间都与 Rn 同构.
α
cosθ
为向量α
在向量 β
上的投影，称向量 (α , β )
β2
β
是向量α
在向量 β
上的投影向量.
注意，α
在向量 β 上的投影可表示为
α
cosθ
=
(α, β
β
)
=
α
,
β β
，
向量α 在向量 β 上的投影向量亦可以表示为
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《高等代数》教案-8-第 8 章 欧氏空间
(α, β
（1）σ (α + β ) = σ (α ) + σ (β ) ， （2）σ (kα ) = kσ (α ) ，
（3）(σ (α ),σ (β )) = (α, β ) ，
这里α, β ∈V , k ∈ R ，则称欧氏空间V 与V ′ 同构，称σ 是V 到V ′ 的一个同构映射. 注 两个欧氏空间V 到V ′ 的“同构映射”是指：首先，把V 和V ′ 看成线性空间时它是同构映射
Ⅲ.重点与难点 重点: 内积、欧氏空间的概念，向量的正交性，正交阵的性质及运用，实对称阵的正交对角化； 难点: 正交阵的性质及运用，实对称阵的正交对角化.
Ⅳ.教学内容
§8.1 欧氏空间的概念
1. 欧氏空间的概念
定义 8.1 设V 是实数域 R 上的线性空间，对于V 中的任意向量α, β ，定义实数 (α , β ) 与之对应，
) )
(
βi
,
βi
)
=
0
(i
=
1,
2,
⋅⋅
⋅,
k
−1)
.
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于是， β1, β2 ,⋅⋅ ⋅, βk 两两正交，符合定理要求. 证毕.
m
∑ (α , β ) = aibi = α T β . i =1
可以验证，它满足内积的 4 条公理，因此 Rn 构成一个欧氏空间. 以后我们说欧氏空间 Rn 时，永远都
是指的如本例所定义的内积.
例 8.2 令 C [a,b] 表 示 区 间 [a,b] 上 的 全 体 连 续 实 函 数 所 成 的 向 量 空 间 . 对 任 意
β2
)
β
= α,
β β
β β
.
若 β 是一个单位向量，则α 在向量 β 上的投影向量就是 (α, β ) β . 不难看出，
α ⊥ β ⇔ (α, β ) = 0 .
在欧氏空间 Rn 中， n 维单位向量互相正交，即 ei ⊥ ej (i ≠ j ) .
定理 8.1 设V 是一个欧氏空间，对任意向量α, β ∈V , k ∈ R ，都有 （1） kα = k α ；
显然 aij = a ji (i, j = 1, 2,⋅⋅⋅, n) ，即度量矩阵是对称阵. 如果已知一个基的度量矩阵，那么任意两
个向量的内积就被唯一决定了，这就是说，度量矩阵决定向量内积.
nn
∑ ∑ 特别地， α 2 = (α,α ) =
aij xi x j = xT Ax .
i =1 j =1
定义 8.4 设V ,V ′ 是实数域 R 上的两个欧氏空间，如果存在V 到V ′ 的一个双射σ ，满足
§8.2 标准正交基
1. 正交向量组 定义 8.2 欧氏空间中的非零向量组，如果它们两两正交，则称它是一个正交向量组. 我们称一个
单位正交向量组为标准正交向量组（或规范正交向量组）.
正交向量组有如下性质
性质 1 单个非零向量所成的向量组也是正交向量组. 性质 2 正交向量组是线性无关的.
性质 3 在 n 维欧氏空间中，两两正交的向量不可能超过 n 个. 性质 4 设α1,α2 ,⋅ ⋅⋅,αm 是正交向量组，则
并且满足如下运算律：
（1）(α , β ) = ( β ,α ) ； （2）(α + β ,γ ) = (α ,γ ) + (β ,γ ) ； （3）(kα, β ) = k (α , β ) ； （4） (α ,α ) ≥ 0 ，等号当且仅当α = 0 时成立， 其中α, β ,γ 是V 中的任意向量， k 是任意实数，则称 (α , β ) 为向量α, β 的内积，称V 为欧几里德
β1, β2 ,⋅⋅⋅, βm ，使得每一个 βk 都可由α1,α2,⋅⋅⋅,αk (k = 1, 2,⋅⋅⋅, m) 线性表示.
证令
β1
= α1， β2
=
α2
−
( β1,α2 ) ( β1, β1 )
β1 .
由
(
β1
,
β
2
)
=
(
β1
,α
2
)
−
( β1,α2 ( β1, β1
) )
(
β1,
β1
)
=
0
α1 + α2 + ⋅⋅ ⋅ + αm 2 = α1 2 + α2 2 + ⋅ ⋅⋅ + αm 2 . 特别地，若向量α , β 正交，则 α + β 2 = α 2 + β 2 ，这就是所谓的勾股定理.
定理 8.3 设α1,α2 ,⋅ ⋅⋅,αm 是欧氏空间V 的一个线性无关的向量组，则一定存在一个正交向量组
βk−1 .
由假设知每一个 βi 都是α1,α2,⋅⋅⋅,αi−1 (i = 1, 2,⋅⋅⋅, k −1) 的线性组合，因此， βk 是α1,α2,⋅⋅⋅,αk 的线
性组合. 又因为 β1, β2 ,⋅⋅ ⋅, βk−1 两两正交，所以
(
βi
,
βk
)
=
(
βi
,α
k
)
−
( βi ,αk (βi , βi
故
(α, β ) < α β .
（3） α + β 2 = (α + β ,α + β )
= (α,α ) + 2(α, β ) + (β , β )
≤ α 2 +2α β + β 2
≤(α
+
β
)2 .
例 8.4 在欧氏空间 Rn 中，由定理 8.1（2）可以得到，对任意实数 a1, a2 , ⋅⋅ ⋅, an , b1, b2 ,⋅ ⋅⋅, bn 都有不
（3） kiαi , l jβ j =
kil j αi , β j .
i=1
j=1
i=1 j=1
《高等代数》教案-8-第 8 章 欧氏空间
定义 8.2 非负实数 (α,α ) 称为向量α 的长度（又叫向量α 的模），记为 α ，即 α = (α ,α ) ， 或 α 2 = (α,α ) .
，则
n×n
nn
∑ ∑ (α, β ) =
aij xi y j = xT Ay ，
i =1 j =1
其 中 x = ( x1, x2 ,⋅⋅⋅, xn )T , y = ( y1, y2,⋅⋅⋅, yn )T 分 别 是 向 量 α, β 的 坐 标 . 我 们 称 n 阶 矩 阵 A 为 基
ε1, ε2 ,⋅ ⋅⋅, εn 的度量矩阵.
第八章 欧氏空间
《高等代数》教案-8-第 8 章 欧氏空间
Ⅰ.授课题目 §8.1 欧氏空间的概念 §8.2 标准正交基 §8.3 正交阵与实镜象阵 §8.4 正交变换 §8.5 对称矩阵与对称变换
Ⅱ.教学目的与要求 1. 理解欧氏空间的相关概念； 2. 掌握向量的正交性以及标准正交基的概念和性质，掌握标准正交化方法； 3. 掌握正交阵的相关概念和性质； 4. 掌握正交变换的概念和性质； 5. 会将实对称阵正交对角化.
等式
( )( ) ( ) a1b1 + a2b2 + ⋅⋅⋅ + anbn 2 ≤ a12 + a22 + ⋅⋅⋅ + an2 b12 + b22 + ⋅⋅⋅ + bn2 .
当且仅当 a1 = a2 = ⋅ ⋅⋅ = an 时取等号，这就是著名的柯西（Cauchy）不等式.
b1 b2
bn
例 8.5 在欧氏空间 C [a,b] 中，对区间[a,b] 上的任意连续 f ( x), g ( x) ，由定理 8.1（2）得到
知 β2 与 β1 正交，显然 β2 是α1,α2 的线性组合.
假设1 < k ≤ m ，满足定理要求的 β1, β2 ,⋅⋅ ⋅, βk−1 都已作出. 取
βk
= αk
−
( β1,αk ) ( β1, β1 )
β1
−
(β2,αk ) (β2, β2 )
β2
−⋅⋅⋅−
(βk−1,αk ) ( ) βk−1, βk−1
这里α, β ,γ 是欧氏空间中的任意向量. 在解析几何中，不等式（3）的含义是：三角形两边之和大于
第三边.
最后指出，如果V1 是欧氏空间V 的一个子空间，那么V1 对于V 的内积也作成一个欧氏空间.
2. 欧氏空间的度量矩阵与同构映射
设V 是一个 n 维欧氏空间，ε1,ε2,⋅⋅⋅,εn 是V 的一个基，对于V 的任意两个向量α, β ，设 α = x1ε1 + x2ε2 + ⋅ ⋅⋅ + xnεn ， β = y1ε1 + y2ε 2 + ⋅⋅ ⋅ + ynε n ，