17校联考数学试题
2023-2024学年湖北省初中多校联考九年级上学期月考数学试题
2023-2024学年湖北省初中多校联考九年级上学期月考数学试题1.下列方程是一元二次方程的是（）A．B．C．D．（a、b、c为常数）2.方程的解是（）A．B．C．，D．，3.把抛物线y=﹣2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为（）A．y =﹣2（x +1）2 +2B．y =﹣2（x +1）2﹣2C．y =﹣2（x﹣1）2 +2D．y =﹣2（x﹣1）2﹣24.已知抛物线y＝－(x－1)2＋4，下列说法错误的是（）A．开口方向向下B．形状与y＝x 2相同C．顶点(－1，4) D．对称轴是直线x＝15.设A（，），B（，），C（3，）是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（）A．B．C．D．6.关于的一元二次方程的常数项是0，则的值A．1 B．1或2 C．2 D．7.中，于F，于为的中点，若的度数为（）A．B．C．D．8.二次函数的图象如图所示，有下列结论：①，②，③，④，正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9.计算：_______．10.若一元二次方程．的一个根为，则____________．11.若是方程的根，，则的值为____________．12.若抛物线y=x2﹣kx+k﹣1的顶点在坐标轴上，则k=_____．13.如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴的正半轴上，点的坐标为，则点的坐标为_________．14.如图，抛物线y=ax2+bx与直线y=mx+n相交于点A(－3,－6)，点B(1,－2)，则关于x的不等式ax2+bx<mx+n的解集为___________.15.某加工厂九月份加工了10吨干果，十一月份加工了13吨干果．设该厂加工干果重量的月平均增长率为x，根据题意可列方程为__________．16.如图，在矩形中，，，E是上一个动点，过点E作于F，连接，取中点M，连接，则线段的最小值为____________．17.解方程：（1）（2）18.已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2＝0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，若x12+x22＝8﹣3x1x2，求m的值．19.八年级全体同学参加了学校捐款活动，随机抽取了部分同学捐款的情况统计图如图所示（1）本次共抽查学生人，并将条形统计图补充完整；（2）捐款金额的众数是，中位数是；（3）在八年级600名学生中，捐款20元及以上的学生估计有人.20.如图，海中有一小岛P，它的周围12海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在M处测得小岛P在北偏东方向上，航行16海里到N处，这时测得小岛P在北偏东方向上．(1)如果渔船不改变航线继续向东航行，是否有触礁危险，并说明理由．(2)求M点与小岛P的距离．21.如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，墙对面有一个2米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33米．（1）若墙长为18米，要围成鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各为多少米？（2）围成鸡场的面积可能达到200平方米吗？22.如图，O为矩形的对角线的中点，过O作分别交，于点E，F．(1)求证：四边形是菱形．(2)若，，求菱形的面积．23.某超市销售一种商品，成本价为20元/千克，经市场调查，每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于30元，且不高于80元．设每天的总利润为w元．(1)根据图象求出y与x之间的函数关系式；(2)请求出w与x之间的函数关系式，当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？(3)若该超市销售该商品所获利润不低于2800元，请直接写出x的取值范围．24.已知，如图抛物线与轴交于点，与轴交于、两点，点在点左侧，点的坐标为，．(1)求抛物线的解析式；(2)若点是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值；(3)若点在轴上，点在抛物线上，是否存在以为顶点且以为一边的平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．。
2024届广东省东莞市虎门中学等七校高三上学期联考数学试题及答案
东莞市2023-2024学年第一学期七校联考试卷高三数学一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.1. 已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，则S T Ç=（ ）A. ∅B. SC. TD. Z2. 在复平面内，复数z 对应点为()1,1-，则1iz=+（ ）A. 2 B. 1C. D.123. 对于定义域是R 的任意奇函数()f x ，都有（ ）A. ()()0f x f x -->B. ()()0f x f x --≤C. ()()0f x f x ⋅-≤ D. ()()0f x f x ⋅->4. 假设你有一笔资金，现有三种投资方案，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．现打算投资10天，三种投资方案的总收益分别为10A ，10B ，10C ，则( )A. 101010A B C << B. 101010A C B <<C. 101010B A C << D. 101010C A B <<5. 函数()()e x x tf x -=在()2,3上单调递减，则t 的取值范围是（ ）A. [)6,+∞B. (],6-∞C. (],4∞- D. [)4,+∞6. 等边ABC 边长为2，13BD BC = ，则AD BC ⋅=（ ）A. 1B. 1- C.23D. 23-7. 已知正实数,a b 满足3a b ab +=，则4a b +的最小值为（ ）的A. 9B. 8C. 3D.838. 向量()0,1a = ，()2,3b =- ，则b 在a 上的投影向量为（ ）A ()2,0 B. ()0,2 C. ()3,0- D. ()0,3-二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.9. 某学校一同学研究温差x （℃）与本校当天新增感冒人数y （人）的关系，该同学记录了5天的数据：x 568912y1720252835经过拟合，发现基本符合经验回归方程 2.6y x a=+，则（ ）A. 经验回归直线经过(8,25) B. 4.2a=C. 5x =时，残差为0.2- D. 若去掉样本点(8,25)，则样本的相关系数r 增大10. 已知函数()()πsin (ω0,)2f x x ωϕϕ=+><的部分图象如图所示，则（ ）A. ()f x 的图象可由曲线sin 2y x =向左平移π3个单位长度得到B ()πcos 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭C. 2π,03⎛⎫-⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心D. ()f x 在区间7π5π,64⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增11. 如图，圆锥SO 的底面圆O 的直径4AC =，母线长为B 是圆O 上异于A ，C 的动点，则下..列结论正确的是（ ）A. SC 与底面所成角为45°B. 圆锥SO的表面积为C. SAB ∠的取值范围是ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭D. 若点B 为弧AC 的中点，则二面角S BC O --的平面角大小为45°12. 已知大气压强()Pa p 随高度()m h 的变化满足关系式00ln ln p p kh p -=，是海平面大气压强，410k -=.我国陆地地势可划分为三级阶梯，其平均海拔如下表：若用平均海拔的范围直接代表各级阶梯海拔的范围，设在第一、二、三级阶梯某处的压强分别为123,,p p p ，则（ ）A. 010.4p p e ≤B. 03p p <C. 23p p ≤D. 0.1832ep p ≤三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡的相应位置上.13. 已知52345012345(1)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则3a 的值为________．14. 已知tan 2α=，则()2sin π22cos 1αα+-值为______.15. 某公司员工小明上班选择自驾、坐公交车、骑共享单车的概率分别为13，13，13，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为14，15，16，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率的是________．16. 已知,A B 是球O 的球面上两点，60AOB ∠= ，P 为该球面上的动点，若三棱锥P OAB -体积的最大值为6，则球O 的表面积为________.四､解答题：本大题共6小题，第17题10分，18､19､20､21､22题各12分，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效.17. ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos cos 2cos a C c A b B +=.（1）求B ；（2）若b =，ABC 的面积为ABC 的周长.18. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，112,AA AD DC BD ===和1B D 交于点,E F 为AB 的中点.（1）求证：//EF 平面11ADD A ；（2）求点A 到平面CEF 的距离.19. 记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知()*233n n S a n =-∈N ．（1）求n a ；（2）若3211log n n nb a a -=+，记n T 为{}n b 的前n 项和，且满足150n T <，求n 的最大值．20. 某乡镇在实施乡村振兴的进程中，大力推广科学种田，引导广大农户种植优良品种，进一步推动当地农业发展，不断促进农业增产农民增收.为了解某新品种水稻品种的产量情况，现从种植该新品种水稻的不同自然条件的田地中随机抽取400亩，统计其亩产量x （单位：吨()t ）.并以此为样本绘制了如图所示的频率分布直方图.附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++.α0.1000.05000100.001x α2.7063.8416.63510.828（1）求这400亩水稻平均亩产量的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表，精确到小数点后两位）；（2）若这400亩水稻的灌溉水源有河水和井水，现统计了两种水源灌溉的水稻的亩产量，并得到下表：试根据小概率值0.05α=的独立性检验分析，用井水灌溉是否比河水灌溉好？21. 适量的运动有助于增强自身体质，加快体内新陈代谢，有利于抵御疾病．某社区组织社区居民参加有奖投篮比赛，已知小李每次在罚球点投进的概率都为()01p p <<．（1）若每次投篮相互独立，小李在罚球点连续投篮6次，恰好投进4次的概率为()f p ，求()f p 的最大值点0p ；（2）现有两种投篮比赛规则，规则一：在罚球点连续投篮6次，每投进一次，奖励两盒鸡蛋，每次投篮相互独立，每次在罚球点投进的概率都以（1）中确定的0p 作为p 的值；规则二：连续投篮3次，每投进一次，奖励四盒鸡蛋．第一次在罚球点投篮，投进的概率以（1）中确定的0p 作为p 的值，若前次投进，则下一次投篮位置不变，投进概率也不变，若前次未投进，则下次投篮要后退1米，投进概率变为上次投.进概率的一半．请分析小李应选哪种比赛规则对自己更有利．22. 已知函数()e xm f x x =+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若12x x ≠，且()()122f x f x ==，证明：0e m <<，且122x x +<．东莞市2023-2024学年第一学期七校联考试卷高三数学一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.1. 已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，则S T Ç=（ ）A. ∅B. SC. TD. Z【答案】C 【解析】【分析】分析可得T S ⊆，由此可得出结论.【详解】任取t T ∈，则()41221t n n =+=⋅+，其中Z n ∈，所以，t S ∈，故T S ⊆，因此，S T T = .故选：C.2. 在复平面内，复数z 对应的点为()1,1-，则1iz=+（ ）A. 2B. 1C.D.12【答案】B 【解析】【分析】利用复数的几何意义及复数的除法法则，结合复数的模公式即可求解.【详解】因为复数z 在复平面内对应的点为()1,1-，所以1i z =-.所以()()()()212i i i 1i 1i 1i i 21i 1i 11i z -⨯----+====-+++⨯，所以11iz ==+.故选：B.3. 对于定义域是R 的任意奇函数()f x ，都有（ ）A. ()()0f x f x --> B. ()()0f x f x --≤C. ()()0f x f x ⋅-≤D. ()()0f x f x ⋅->【答案】C 【解析】【分析】根据()f x 为奇函数，可得()()f x f x -=-，再对四个选项逐一判断即可得正确答案.【详解】∵()f x 为奇函数，∴()()f x f x -=-，∴()()()()()2=0f x f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤⋅-⋅-=-≤⎣⎦⎣⎦，又()0=0f ，∴()20f x -≤⎡⎤⎣⎦，故选：C【点睛】本题主要考查了奇函数的定义和性质，属于基础题.4. 假设你有一笔资金，现有三种投资方案，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．现打算投资10天，三种投资方案的总收益分别为10A ，10B ，10C ，则( )A. 101010A B C << B. 101010A C B <<C. 101010B A C << D. 101010C A B <<【答案】B 【解析】【分析】设三种方案第n 天的回报分别为n a ，n b ，n c ，由条件可知{}n a 为常数列；{}n b 是首项为10，公差为10的等差数列；{}n c 是首项为0.4，公比为2的等比数列，然后求出投资10天三种投资方案的总收益为10A ，10B ，10C ，即可判断大小．【详解】解：设三种方案第n 天的回报分别为n a ，n b ，n c ，则40n a =，由条件可知{}n a 为常数列；{}n b 是首项为10，公差为10的等差数列；{}n c 是首项为0.4，公比为2的等比数列．设投资10天三种投资方案的总收益为10A ，10B ，10C ，则10400A =；101091010105502B ⨯=⨯+⨯=；10100.4(12)409.212C -==-，所以101010B C A >>．故选：B ．【点睛】本题考查数列的实际应用，关键在于根据生活中的数据，转化到数列中所需的基本量，公差，公比等，属于中档题.5. 函数()()e x x tf x -=在()2,3上单调递减，则t 的取值范围是（ ）A. [)6,+∞B. (],6-∞C. (],4∞- D. [)4,+∞【答案】A 【解析】【分析】根据复合函数的单调性可得()y x x t =-的单调性，从而可求得t 的取值范围.【详解】因为函数e x y =在R 上单调递增，所以根据复合函数的单调性可得函数()y x x t =-在()2,3上单调递减，则32t≥，解得6t ≥.故选：A6. 等边ABC 边长为2，13BD BC = ，则AD BC ⋅=（ ）A. 1B. 1- C.23D. 23-【答案】D 【解析】【分析】根据题意，结合向量的数量积的运算公式，准确运算，即可求解.【详解】如图所示，由ABC 是边长为2的等边三角形，且13BD BC = ，可得AD AB BD =+，所以()2222cos120233AD BC AB BD BC AB BC BD BC ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅⋅+⋅=-.故选：D.7. 已知正实数,a b 满足3a b ab +=，则4a b +的最小值为（ ）A. 9 B. 8C. 3D.83【答案】C 【解析】【分析】利用“1”的代换，结合基本不等式进行求解即可【详解】由条件知113a b+=，1111414(4)553333a b a b a b a b b a ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当21a b ==时取等号.故选：C8. 向量()0,1a = ，()2,3b =- ，则b 在a上投影向量为（ ）A. ()2,0B. ()0,2 C. ()3,0- D. ()0,3-【答案】D 【解析】【分析】直接由投影向量公式求解即可.【详解】b 在a 上的投影向量为.()··30,3a b a a a a=-=-故选：D.二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.9. 某学校一同学研究温差x （℃）与本校当天新增感冒人数y （人）的关系，该同学记录了5天的数据：x568912的y 1720252835经过拟合，发现基本符合经验回归方程 2.6y x a=+，则（ ）A. 经验回归直线经过(8,25) B. 4.2a=C. 5x =时，残差为0.2- D. 若去掉样本点(8,25)，则样本相关系数r 增大【答案】ABC 【解析】【分析】计算样本中心点可得验证选项A ；由样本中心点计算 a验证选项B ；根据残差的定义计算验证选项C ；根据相关系数r 的分析验证选项D ．【详解】56891285x ++++==，1720252835255y ++++==，所以样本中心点为(8,25)，则A 正确；由ˆ2.6y x a=+，得ˆ 2.625 2.68 4.2a y x =-=-⨯=，则B 正确；由B 知，ˆ 2.6 4.2yx =+，当5x =时，ˆ 2.65 4.217.2y =⨯+=，则残差为1717.20.2-=-，则C 正确；由相关系数公式可知，去掉样本点(8,25)后，相关系数r 的公式中的分子、分母的大小都不变，故相关系数r 的大小不变，故D 不正确．故选：ABC ．10. 已知函数()()πsin (ω0,)2f x x ωϕϕ=+><的部分图象如图所示，则（ ）A. ()f x 的图象可由曲线sin 2y x =向左平移π3个单位长度得到B. ()πcos 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的C. 2π,03⎛⎫-⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心D. ()f x 在区间7π5π,64⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增【答案】BC 【解析】【分析】根据函数的图象确定函数的表达式为()πsin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，即可结合选项逐一求解.【详解】由图可知：1πππ24126T T ω⎛⎫=--⇒=⇒= ⎪⎝⎭，又()f x 经过点π,112⎛⎫⎪⎝⎭，所以ππ22π,Z 122k k ϕ⨯+=+∈,故π2π,Z 3k k ϕ=+∈，由于ππ,,23ϕϕ<∴=故()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于A ，()f x 的图象可由曲线sin 2y x =向左平移π6个单位长度得到，故A 错误，对于B ，()ππππcos 2=sin 2=sin 26623f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故B 正确，对于C ， ()2πsin π03f ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，故2π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心，故C 正确，对于D ，令πππ2π22π,Z 232k x k k -+≤+≤+∈，解得ππ,Z 5ππ1212k x k k +≤≤+∈-，故()f x 的其中两个单调递增区间为7π13π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦，19π25π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故()f x 在7π5π,64⎡⎤⎢⎥⎣⎦不单调递增，故D 错误，故选:BC11. 如图，圆锥SO 的底面圆O 的直径4AC =，母线长为B 是圆O 上异于A ，C 的动点，则下列结论正确的是（ ）A. SC 与底面所成角为45°B. 圆锥SO 的表面积为C. SAB ∠的取值范围是ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭D. 若点B 为弧AC 的中点，则二面角S BC O --的平面角大小为45°【答案】AC 【解析】【分析】对于A ，根据SO ⊥面ABC ，由cos OCSCO SC<=判断；对于B ，由圆锥SO 的侧面积公式求解判断；对于C ，由π0,2ASB ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭求解判断；对于D ，取BC 的中点D ，连接OD ，SD ，易得SDO ∠为二面角S BC O --的平面角求解判断.【详解】对于A ，因为SO ⊥面ABC ，所以SCO ∠是SC 与底面所成角，在Rt SOC △中，圆锥的母线长是，半径2r OC ==，则cos OC SCO SC ∠===，所以SCO ∠=45︒，则A 正确；对于B ，圆锥SO 的侧面积为rl π=，表面积为+4π，则B 错误；对于C ，当点B 与点A 重合时，0ASB ∠=为最小角，当点B 与点C 重合时π2ASB ∠=，达到最大值，又因为B 与A ，C 不重合，则π0,2ASB ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，又2πSAB ASB ∠+∠=，可得ππ,42SAB ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，则C 正确；对于D ，如图所示，，取BC 的中点D ，连接OD ，SD ，又O 为AC 的中点，则//OD AB ，因为AB BC ⊥，所以BC OD ⊥，又SO ⊥面ABC ，BC ⊂面ABC ，所以BC SO ⊥，又SO OD O = ，BC ⊥面SOD ，故BC SD ⊥，所以SDO ∠为二面角S BC O --的平面角，因为点B 为弧AC的中点，所以AB =，12OD AB ==tan SO SDO OD∠==D 错误.故选：AC.12. 已知大气压强()Pa p 随高度()m h 的变化满足关系式00ln ln p p kh p -=，是海平面大气压强，410k -=.我国陆地地势可划分为三级阶梯，其平均海拔如下表：平均海拔/m第一级阶梯4000≥第二级阶梯10002000~第三级阶梯2001000~若用平均海拔的范围直接代表各级阶梯海拔的范围，设在第一、二、三级阶梯某处的压强分别为123,,p p p ，则（ ）A. 010.4p p e ≤B. 03p p <C. 23p p ≤D. 0.1832ep p ≤【答案】ACD 【解析】【分析】根据题意，列出不等式，根据对数函数的性质解对数不等式即可求解.【详解】设在第一级阶梯某处的海拔为1h ，则4011ln ln 10p p h --=，即41110lnp h p =.因为14000h ≥，所以40110ln4000p p ≥，解得010.4ep p ≤A 正确；由0ln ln p p kh -=，得0ekhp p =.当0h >时，0e 1khp p=>，即0p p >，所以03p p >，B 错误；设在第二级阶梯某处的海拔为2h ，在第三级阶梯某处的海拔为3h ，则40224033ln ln 10ln ln 10p p h p p h --⎧-=⎨-=⎩两式相减可得()43232ln 10p h h p -=-.因为[][]231000,2000,200,1000h h ∈∈，所以[]230,1800h h -∈，则4320ln1018000.18p p -≤≤⨯=，即0.18321e p p ≤≤，故0.18232e C,D p p p ≤≤，均正确.故选:ACD.三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡的相应位置上.13. 已知52345012345(1)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则3a 的值为________．【答案】10【解析】【分析】根据给定条件，利用二项式定理直接列式计算作答.【详解】依题意，2235C (1)10a =-=.故答案为：1014. 已知tan 2α=，则()2sin π22cos 1αα+-的值为______.【答案】43【解析】【分析】利用三角函数的诱导公式、二倍角的正余弦公式以及同角三角函数的基本关系求解.【详解】()222222sin π2sin22sin cos 2tan 4tan 2,2cos 1cos sin cos sin 1tan 3αααααααααααα+---=====----.故答案为:43.15. 某公司员工小明上班选择自驾、坐公交车、骑共享单车的概率分别为13，13，13，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为14，15，16，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是________．【答案】1537【解析】【分析】设小明迟到为事件A ，小明自驾为事件B ，由题可得()()(),,P A P B P AB ，后由条件概率公式可得答案.【详解】设小明迟到为事件A ，小明自驾为事件B ，则()11111137343536180P A =⨯+⨯+⨯=， ()1113412P AB =⨯=.则在小明迟到的条件下，他自驾去上班的概率为()()()115123737180P AB P B A P A ===.故答案为：153716. 已知,A B 是球O 的球面上两点，60AOB ∠= ，P 为该球面上的动点，若三棱锥P OAB -体积的最大值为6，则球O 的表面积为________.【答案】48π【解析】【分析】当PO ⊥平面OAB 时，三棱锥体积最大，设球O 的半径为R ，列方程求解即可.【详解】如图所示，当PO ⊥平面OAB 时，三棱锥的体积最大，设球O 的半径为R ，此时11sin 60632P OAB R V R R =⨯⨯⨯⨯⨯= －，故R =，则球O 的表面积为24π48πS R ==.故答案为：48π.四､解答题：本大题共6小题，第17题10分，18､19､20､21､22题各12分，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效.17. ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos cos 2cos a C c A b B +=.（1）求B ；（2）若b =，ABC的面积为ABC 的周长.【答案】（1）3B π=；（2）6+的【解析】【分析】（1）根据正弦定理以及两角和的正弦公式即可求出1cos 2B =，进而求出B ；（2）根据余弦定理可得到()2312a b ab +-=，再根据三角形面积公式得到 8ab =，即可求出6a b +=，进而求出ABC 的周长.【详解】解：（1）cos cos 2cos a C c A b B += ，由正弦定理得：sin cos sin cos 2sin cos A C C A B B +=，整理得：()sin 2sin cos sin A C B B B +==，∵在ABC 中，0B π<<，∴sin 0B ≠，即2cos 1B =，∴1cos 2B =，即3B π=；（2）由余弦定理得：(222122a c ac =+-⋅，∴()2312a c ac +-=，∵1sin 2S ac B ===，∴8ac =，∴()22412a c +-=，∴6a c +=，∴ABC 的周长为6+.18. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，112,AA AD DC BD ===和1B D 交于点,E F 为AB 的中点.（1）求证：//EF 平面11ADD A ；（2）求点A 到平面CEF 的距离.【答案】（1）证明见解析 （2）1【解析】【分析】（1）利用空间中直线与平面平行的判定定理，结合三角形中位线即可证明；（2）建立空间直角坐标系，求平面法向量，再根据面面夹角的向量公式及点到面的距离公式运算求解．【小问1详解】如图，连接1AD ，11B D ，BD .因为长方体1111ABCD A B C D -中,1//BB 1DD 且11BB DD =，所以四边形11BB D D 为平行四边形.所以E 为1BD 的中点，在1ABD 中，因为E ，F 分别为1BD 和AB 的中点，所以//EF 1AD .因为EF ⊄平面11ADD A ，1AD ⊂平面11ADD A ，所以//EF 平面11ADD A .【小问2详解】如图建立空间直角坐标系D xyz -，因为长方体中12A A AD ==,CD =，则(0,0,0)D ，(2,0,0)A，(0,C，B，F，1B，E .所以(1,CE =，(2,CF =，.设平面CEF 的法向量为111(,,)m x y z =，则0,0,m CE m CF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即11111020x z x ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩，令11x =，则1y =，11z =，可得m =.AF =，所以点A 到平面CEF 的距离为||1||AF m d m ⋅== .19. 记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知()*233n n S a n =-∈N ．（1）求n a ；（2）若3211log n n nb a a -=+，记n T 为{}n b 的前n 项和，且满足150n T <，求n 的最大值．【答案】（1）3nn a = （2）12【解析】【分析】（1）利用n S 与n a 的关系计算即可；（2）利用等比数列、等差数列的求和公式及分组求和法求n T ，再由函数的单调性解不等式即可.【小问1详解】当1n =时，1112332S a a =-=，解得13a =，当2n ≥时，11233n n S a --=-，因为233n n S a =-，所以1122233n n n n n S S a a a ---==-，即13n n a a -=，所以()132nn a n a -=≥，所以，{}n a 是首项为3，公比为3的等比数列，所以数列{}n a 的通项公式为3nn a =；【小问2详解】由题意知：1213n nb n =+-，所以()211112111331122313nn nn n T n ⎛⎫-⎪+-⎛⎫⎝⎭=+=-+ ⎪⎝⎭-，易知{}n T 在*n ∈N 上单调递增，而1213121311111441150,16911502323T T ⎛⎫⎛⎫=+-<=+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以满足150n T <的n 的最大值为12．20. 某乡镇在实施乡村振兴的进程中，大力推广科学种田，引导广大农户种植优良品种，进一步推动当地农业发展，不断促进农业增产农民增收.为了解某新品种水稻品种的产量情况，现从种植该新品种水稻的不同自然条件的田地中随机抽取400亩，统计其亩产量x （单位：吨()t ）.并以此为样本绘制了如图所示的频率分布直方图.附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++.α0.1000.0500.0100.001x α2.7063.8416.63510.828（1）求这400亩水稻平均亩产量的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表，精确到小数点后两位）；（2）若这400亩水稻的灌溉水源有河水和井水，现统计了两种水源灌溉的水稻的亩产量，并得到下表：亩产量超过0.7t亩产量不超过0.7t 合计河水灌溉18090270井水灌溉7060130合计250150400试根据小概率值0.05α=的独立性检验分析，用井水灌溉是否比河水灌溉好？【答案】（1）0.75（2）用河水灌溉是比井水灌溉好.【解析】【分析】（1）先根据频率之和为1求出b 的值，再根据公式求出平均值；（2）运用卡方公式进行求解.【小问1详解】由题：(0.752 1.252 1.75 2.25)0.1=1b ⨯+⨯+++⨯，解得=2b ，所以这400亩水稻平均亩产量的估计值为：(0.450.750.55 1.250.65 1.750.75 2.250.8520.95 1.25 1.050.75)0.1⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯0.75≈；【小问2详解】()()()()222()400(180607090) 6.154250*********n ad bc a b c d a c b d χ-⨯⨯-⨯==≈++++⨯⨯⨯，因为6.154 3.841>，所以根据小概率值0.05α=的独立性检验分析，有95%的把握认为亩产量与所用灌溉水源相关,用河水灌溉是比井水灌溉好.21. 适量的运动有助于增强自身体质，加快体内新陈代谢，有利于抵御疾病．某社区组织社区居民参加有奖投篮比赛，已知小李每次在罚球点投进的概率都为()01p p <<．（1）若每次投篮相互独立，小李在罚球点连续投篮6次，恰好投进4次的概率为()f p ，求()f p 的最大值点0p ；（2）现有两种投篮比赛规则，规则一：在罚球点连续投篮6次，每投进一次，奖励两盒鸡蛋，每次投篮相互独立，每次在罚球点投进的概率都以（1）中确定的0p 作为p 的值；规则二：连续投篮3次，每投进一次，奖励四盒鸡蛋．第一次在罚球点投篮，投进的概率以（1）中确定的0p 作为p 的值，若前次投进，则下一次投篮位置不变，投进概率也不变，若前次未投进，则下次投篮要后退1米，投进概率变为上次投进概率的一半．请分析小李应选哪种比赛规则对自己更有利．【答案】（1）最大值点023=p （2）小李应选规则一参加比赛．【解析】【分析】（1）先求出连续投篮6次，恰好投进4次的概率()f p 的解析式，再利用导数研究其单调性及其最值即可；（2）若选规则一,利用二项分布概念即可求出其数学期望；若选规则二，可分别求出离散型随机变量的各种情况概率，从而可求得其分布列，进而得出其数学期望，比较这两种规则下求得的数学期望，进而判断即可.【小问1详解】由题意得则()()()2446C 1,0,1f p p p p =-∈，则()()()()()24344366C 4121C 146f p p p p p p p p ⎡⎤'=---=--⎣⎦，令()0f p '=，得23p =，当20,3p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f p '>，()f p 在区间20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增，当2,13p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f p '<，()f p 在区间2,13⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减，所以()f p 的最大值点023=p ．【小问2详解】若选规则一，记X 为小李投进的次数，则X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6．的则2~6,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()2643E X =⨯=，记Y 为小李所得鸡蛋的盒数，则2Y X =，()()28E Y E X ==．若选规则二，记Z 为小李投进的次数，则Z 的所有可能取值为0，1，2，3．记小李第k 次投进为事件()1,2,3k A k =，未投进为事件k A ，所以投进0次对应事件为123,,A A A ，其概率为()()1231255033627P Z P A A A ===⨯⨯=；投进1次对应事件为123123123A A A A A A A A A ++，其概率()2121121217133333333627P Z ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=；投进2次对应事件为123123123A A A A A A A A A ++，其概率()2212111117133333333327P Z ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．投进3次对应事件为123A A A ，其概率()2228333327P Z ==⨯⨯=，所以Z 的分布列为Z 0123P527 727 727 827所以()577850123272727273E Z =⨯+⨯+⨯+⨯=；记L 为小李所得鸡蛋的盒数，则4L Z =，()203E L =，因为()()E Y E L >，所以小李应选规则一参加比赛．22. 已知函数()e xm f x x =+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若12x x ≠，且()()122f x f x ==，证明：0e m <<，且122x x +<．【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求定义域，求导，分0m ≤和0m >两种情况，得到函数的单调性；（2）变形为12,x x 是方程e (2)x m x =-的两个实数根，构造函数()e (2)xg x x =-，得到其单调性和极值最值情况，结合图象得到0e m <<，再构造差函数，证明出122x x +<.小问1详解】()f x 的定义域为R ，由题意，得e ()1e exx x m f x m'-=-=，x ∈R ，当0m ≤时，()0f x '>恒成立，()f x 在R 上单调递增；当0m >，且当(,ln )x m ∈-∞时，()0f x '<，()f x 单调递减；当(ln ,)x m ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增．综上，当0m ≤时，()f x 在R 上单调递增；当0m >时，()f x 在区间(),ln m -∞上单调递减，在区间()ln ,m +∞上单调递增．【小问2详解】证明：由()()122f x f x ==，得1x ，2x 是方程2e xmx +=的两个实数根，即12,x x 是方程e (2)x m x =-的两个实数根．令()e (2)xg x x =-，则()e (1)xg x x '=-，所以当(),1x ∈-∞时，()0g x '>，()g x 单调递增；当()1x ∈+∞，时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以()()max 1e g x g ==．因为当x →-∞时，()0g x →；当x →+∞时，()g x →-∞，()20g =，所以0e m <<．不妨设12x x <，因为1x ，2x 是方程e (2)x m x =-的两个实数根，则1212x x <<<．要证122x x +<，只需证122x x <-．因为11<x ，221x -<，【所以只需证()()122g x g x <-．因为()()12g x g x =，所以只需证()()222g x g x <-．今()()(2)h x g x g x =--，12x <<，则()22()()(2)e (1)e(1)(1)e e xxx xh x g x g x x x x --'''=+-=-+-=--22e e (1)0ex xx -=-⋅<在()1,2恒成立．所以()h x 在区间(1,2)上单调递减，所以()(1)0h x h <=，即当12x <<时，()(2)g x g x <-．所以()()222g x g x <-，即122x x +<成立．【点睛】极值点偏移问题，通常会构造差函数来进行求解，若等式中含有参数，则先消去参数.。
湖南省名校联考联合体2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题含答案
高二数学试卷（答案在最后）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4．本试卷主要考试内容：人教A 版必修第一，二册占60%，选择性必修第一册第一章至第二章第4节占40%.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集{}1,2,3,4,5U =，{}2,4A =，{}1,4,5B =，则()UB A ⋂=ð（）A.{}3B.{}4C.{}1,4 D.{}1,5【答案】D 【解析】【分析】利用补集与交集的定义可求解.【详解】因为全集{}1,2,3,4,5U =，{}2,4A =，所以{}U 1,3,5A =ð，又因为{}1,4,5B =，(){}{}{}U 51,3,51,4,51,A B == ð.故选：D.2.已知复数1i z a =+（0a >），且3z =，则a =（）A.1B.2C.D.【答案】D 【解析】【分析】利用复数的模的定义即可求解.【详解】因为1i z a =+，3z =3=，解得a =±，因为0a >，所以a =故选：D,3.已知1sin 3α=，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则πcos 22α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.9B.19-C.79-D.9-【答案】A 【解析】【分析】根据同角三角函数关系得出余弦值，再结合诱导公式化简后应用二倍角正弦公式计算即可.【详解】因为221sin ,sin cos 13ααα=+=,又因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以cos 3α===,所以π12242cos 2sin22sin cos 22339αααα⎛⎫-===⨯⨯ ⎪⎝⎭.故选：A.4.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x -+=，且当0x ≤时，()22x af x =+，则()1f =（）A.2B.4C.2- D.4-【答案】A 【解析】【分析】利用题意结合奇函数的定义判断()f x 是奇函数，再利用奇函数的性质求解即可.【详解】因为定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x -+=，所以()f x 是奇函数，且()00f =，故0202a+=，解得2a =-，故当0x ≤时，()222x f x =-+，由奇函数性质得()()11f f =--，而()121222f --=-+=-，故()()112f f =--=，故A 正确.故选：A5.在正方体1111ABCD A B C D -中，二面角1B AC B --的正切值为（）A.2B.3C.3D.【答案】D 【解析】【分析】取AC 的中点M ，连接1,MB MB ，可得1B MB ∠是二面角1B AC B --的平面角，求解即可.【详解】取AC 的中点M ，连接1,MB MB ，由正方体1111ABCD A B C D -，可得11,AB B C AB BC ==，所以1,B M AC BM AC ⊥⊥，所以1B MB ∠是二面角1B AC B --的平面角，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，可得AC =，所以BM =在1Rt B B M 中，11tan B B B MB BM =∠==,所以二面角1B AC B --.故答案为：D.6.已知线段AB 的端点B 的坐标是()3,4，端点A 在圆()()22124x y -+-=上运动，则线段AB 的中点P的轨迹方程为（）A.()()22232x y -+-= B.()()22231x y -+-=C.()()22341x y -+-= D.()()22552x y -+-=【答案】B 【解析】【分析】设出动点P 和动点A 的坐标，找到动点P 和动点A 坐标的关系，再利用相关点法求解轨迹方程即可.【详解】设(,)P x y ，11(,)A x y ，由中点坐标公式得1134,22x y x y ++==，所以1123,24x x y y =-=-，故(23,2)A x y --4，因为A 在圆()()22124x y -+-=上运动，所以()()222312424x y --+--=，化简得()()22231x y -+-=，故B 正确.故选：B7.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵.已知在堑堵111ABC A B C -中，π2ABC ∠=，1AB BC AA ==，,,D E F 分别是所在棱的中点，则下列3个直观图中满足BF DE ⊥的有（）A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】B 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明逐个判断即可.【详解】在从左往右第一个图中，因为π2ABC ∠=，所以AB BC ⊥，因为侧棱垂直于底面，所以1AA ⊥面ABC ，如图，以B 为原点建立空间直角坐标系，设12AB BC AA ===，因为,,D E F 分别是所在棱的中点，所以(0,0,0),(0,1,0),(1,0,2),(1,1,0)B E D F所以(1,1,0)BF = ，(1,1,2)DE =-- ，故110BF DE ⋅=-+=，即BF DE ⊥得证，在从左往右第二个图中，我们建立同样的空间直角坐标系，此时(0,0,0),(1,1,0),(1,0,2),(0,1,1)B E D F ，所以(0,1,1)BF = ，(0,1,2)DE =-，故121BF DE ⋅=-=-，所以,BF DE 不垂直，在从左往右第三个图中，我们建立同样的空间直角坐标系，此时(0,0,0),(1,1,0),(1,0,0),(1,1,2)B E D F ，故(1,1,2)BF = ，(0,1,0)DE = ，即1BF DE ⋅=，所以,BF DE 不垂直，则下列3个直观图中满足BF DE ⊥的有1个，故B 正确.故选：B8.已知过点()1,1P 的直线l 与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴正半轴交于点B ，O 为坐标原点，则22OA OB+的最小值为（）A.12B.8C.6D.4【答案】B 【解析】【分析】根据题意可知直线l 的斜率存在设为(0)k k <，分别解出,A B 两点的坐标，表示出22OA OB +的表达式由基本不等式即可求得最小值.【详解】由题意知直线l 的斜率存在．设直线的斜率为(0)k k <，直线l 的方程为1(x 1)y k -=-，则1(1,0),(0,1)A B k k--，所以222222121(1)(1)112OA OB k k kk k k+=-+-=-++-+22212(2)28k k k k =+--++≥++=，当且仅当22212,k k k k-=-=，即1k =-时，取等号.所以22OA OB +的最小值为8.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得分分，有选错的得0分．9.已知函数()πsin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的最小正周期为πB.()f x 的图象关于直线π85x =对称C.()f x 的图象关于点π,18⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称D.()f x 的值域为[]1,1-【答案】ABD 【解析】【分析】求得最小正周期判断A ；求得对称轴判断B ；求得对称中心判断C ；求得值域判断D.【详解】因为()πsin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以的最小正周期为2ππ2T ==，故A 正确；由ππ2π,Z 42x k k +=+∈，可得ππ,Z 28k x k =+∈，所以()f x 图象的对称轴为ππ,Z 28k x k =+∈，当1k =时，图象的关于π85x =对称，故B 正确；由Z 2ππ,4k x k =∈+，可得ππ,Z 28k x k =-∈，所以()f x 图象的对称中心为ππ(,0),Z 28k k -∈，当0k =时，图象的关于点()π8,0-对称，故C 不正确；由()πsin 2[1,1]4f x x ⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭，故()f x 的值域为[]1,1-，故D 正确.故选：ABD.10.若数据1x ，2x ，3x 和数据4x ，5x ，6x 的平均数、方差、极差均相等，则（）A.数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 与数据1x ，2x ，3x 的平均数相等B.数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 与数据1x ，2x ，3x 的方差相等C.数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 与数据1x ，2x ，3x 的极差相等D.数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 与数据1x ，2x ，3x 的中位数相等【答案】ABC 【解析】【分析】运用平均数，方差，极差，中位数的计算方法和公式计算，通过已知两组数据的平均数、方差、极差均相等这个条件，来分析这两组数据组合后的相关统计量与原数据的关系.【详解】设数据123,,x x x 的平均数为x ，数据456,,x x x 的平均数也为x .那么数据123456,,,,,x x x x x x 的平均数为123456()()3366x x x x x x x xx ++++++==，所以数据123456,,,,,x x x x x x 与数据123,,x x x 的平均数相等，A 选项正确.设数据123,,x x x 的方差为2s ，数据456,,x x x 的方差也为2s .对于数据123456,,,,,x x x x x x ，其方差计算为2222221234561[()((()()()]6x x x x x x x x x x x x -+-+-+-+-+-2222221234561[3(()(())3(((())]6x x x x x x x x x x x x =⨯-+-+-+⨯-+-+-2221(33)6s s s =+=,所以数据123456,,,,,x x x x x x 与数据123,,x x x 的方差相等，B 选项正确.设数据123,,x x x 的极差为R ，数据456,,x x x 的极差也为R .对于数据123456,,,,,x x x x x x ，其极差是这六个数中的最大值减去最小值，由于前面两组数据的极差相等，所以组合后数据的极差依然是R ，所以数据123456,,,,,x x x x x x 与数据123,,x x x 的极差相等，C 选项正确.设数据123,,x x x 按从小到大排列为123x x x ≤≤，中位数为2x .设数据456,,x x x 按从小到大排列为456x x x ≤≤，中位数为5x .对于数据123456,,,,,x x x x x x 按从小到大排列后，中位数不一定是2x ，所以数据123456,,,,,x x x x x x 与数据123,,x x x 的中位数不一定相等，D 选项错误.故选：ABC11.已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是边长为6的菱形，1AA ⊥平面ABCD ，13AA =，π3DAB ∠=，点P 满足1AP AB AD t AA λμ=++，其中λ，μ，[]0,1t ∈，则（）A.当P 为底面1111D C B A 的中心时，53t λμ++=B.当1t λμ++=时，AP 长度的最小值为2C.当1t λμ++=时，AP 长度的最大值为6D.当221t λμλμ++==时，1A P为定值【答案】BCD 【解析】【分析】根据题意，利用空间向量进行逐项进行分析求解判断.【详解】对于A ，当P 为底面1111D C B A 的中心时，由1AP AB AD t AA λμ=++ ，则11,,122t λμ===故2t λμ++=，故A 错误；对于B ，当1t λμ++=时，()22222222112·AP AB AD t AA AB AD t AA AB ADλμλμλμ=++=+++()()222223693636936t t λμλμλμλμ=+++=++-22245723636457236362t t t t λμλμ+⎛⎫=-+-≥-+- ⎪⎝⎭223273654273644t t t ⎛⎫=-+=-+⎪⎝⎭当且仅当13,84t λμ===，取最小值为2，故B 正确;对于C ，当1t λμ++=时，1AP AB AD t AA λμ=++，则点P 在1A BD 及内部，而AP是以A 为球心，以AP 为半径的球面被平面1A BD 所截图形在四棱柱1111ABCD A B C D -及内的部分，当=1=0t λμ=，时，=6AP ，当=0=10t λμ=，，时，=6AP ，可得1A P最大值为6，故C 正确；对于D ，221t λμλμ++==，()22223693636945AP t λμλμ=+++=+= ，而11=A P A A AP +，所以()22222111111=+2·=+2A P A A AP A A AP A A AP A A AB AD t AA λμ++⋅++ 22211=29452936A A AP t A A +-=+-⨯= ，则16A P = 为定值，故D 正确.故答案选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量()1,2a =- ，(),4b m =-．若()a ab ⊥+ ，则m =________．【答案】3-【解析】【分析】利用非零向量垂直时数量积为0，计算即可.【详解】()1,2a b m +=--．因为()a ab ⊥+ ，所以()1220m ---⨯=，解得3m =-．故答案为：3-.13.已知在正四棱台1111ABCD A B C D -中，()0,4,0AB = ，()13,1,1CB =- ，()112,0,0A D =-，则异面直线1DB 与11A D 所成角的余弦值为__________.【答案】19【解析】【分析】利用向量的线性运算求得1DB，根据向量的夹角公式可求异面直线1DB 与11A D 所成角的余弦值.【详解】111(0,4,0)(3,1,1)(3,3,1)DB DC CB AB CB =+=+=+-=，所以111111111·cos,19·DB A DDB A DDB A D==-，所以异面直线1DB与11A D所成角的余弦值为19.故答案为：1914.已知函数()21xg x=-，若函数()()()()()2121f xg x a g x a=+--+⎡⎤⎣⎦有三个零点，则a的取值范围为__________.【答案】()2,1--【解析】【分析】令()0f x=，可得()2g x=或()1g x a=--，函数有三个零点，则需方程()1g x a=--有两个解，则=与1y a=--的图象有两个交点，数形结合可求解.【详解】令()0f x=，可得()()()()21210g x a g x a⎡⎤+--+=⎣⎦，所以()()()[2][1]0g x g x a-++=，所以()2g x=或()1g x a=--，由()2g x=，又()21xg x=-，可得212x-=，解得21x=-或23x=，方程21x=-无解，方程23x=有一解，故()2g x=有一解，要使函数()()()()()2121f xg x a g x a⎡⎤=+--+⎣⎦有三个零点，则()1g x a=--有两解，即=与1y a=--的图象有两个交点，作出函数=的图象的示图如下：由图象可得011a<--<，解得21a-<<-.所以a的取值范围为(2,1)--.故答案为：(2,1)--.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos c b a B +=．（1）若π2A =，求B ；（2）若a =1b =，求ABC V 的面积.【答案】（1）π4（2）12【解析】【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再结合内角和定理与两角和与差的正弦公式化简等式得sin sin()B A B =-，代入π2A =求解可得；（2）由sin sin()B A B =-根据角的范围得2A B =，由正弦定理结合二倍角公式可得cos 2B =，从而得π4B =，再利用余弦定理求边c ，由面积公式可求结果.【小问1详解】因为2cos c b a B +=，所以由正弦定理得，sin sin 2sin cos C B A B +=，又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+代入上式得，所以()sin sin cos cos sin sin =-=-B A B A B A B ，由π2A =，则B 为锐角，且c sin s os n π2i B B B ⎛⎫-= ⎭=⎪⎝，所以π4B =.【小问2详解】由（1）知，()sin sin B A B =-，因为a =1b =，所以A B >，则0πA B <-<，π02B <<，故B A B =-，或πB A B A +-==（舍去）.所以2A B =，又a =1b =，由正弦定理得sin sin 22cos sin sin A B aB B B b====，则cos 2B =，则π4B =，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，则2122c =+-，化简得2210c c -+=，解得1c =，所以111sin 2222ABC S ac B === .故ABC V 的面积为12.16.甲、乙、丙三人打台球，约定：第一局由甲、乙对打，丙轮空；每局比赛的胜者与轮空者进行下一局对打，负者下一局轮空，如此循环.设甲、乙、丙三人水平相当，每场比赛双方获胜的概率都为12.（1）求甲连续打四局比赛的概率；（2）求在前四局中甲轮空两局的概率；（3）求第四局甲轮空的概率.【答案】（1）18（2）14（3）38【解析】【分析】（1）由题意知甲前三局都要打胜，计算可得甲连续打四局比赛的概率；（2）甲轮空两局的情况为，第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空，计算即可；（3）分析可得甲第四轮空有两种情况：第1种情况，第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空，第2种情况，第一局甲胜，第二局甲胜，第三局甲败，第四局轮空，计算即可.【小问1详解】若甲连续打四局，根据比赛规则可知甲前三局都要打胜，所以甲连续打四局比赛的概率311(28=；【小问2详解】在前四局中甲轮空两局的情况为，第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空，故在前四局中甲轮空两局的概率111(1(1)224-⨯-=；【小问3详解】甲第四轮空有两种情况：第1种情况，第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空，第2种情况，第一局甲胜，第二局甲胜，第三局甲败，第四局轮空，第1种情况的概率111(1)(1224-⨯-=；第2种情况的概率1111(12228⨯⨯-=；由互斥事件的概率加法公式可得第四局甲轮空的概率为113488+=.17.如图，在几何体PABCD 中，PA ⊥平面ABC ，//PA DC ，AB AC ⊥，2PA AC AB DC ===，E ，F 分别为棱PB ，BC 的中点.（1）证明：//EF 平面PAC ．（2）证明：AB EF ⊥.（3）求直线EF 与平面PBD 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）6【解析】【分析】（1）构造线线平行，证明线面平行.（2）先证AB ⊥平面PACD ，得到AB PC ⊥，结合（1）中的结论，可得AB EF ⊥.（3）问题转化为直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值.设1CD =，表示CP 的长，利用体积法求C 到平面PBD 的距离，则问题可解.【小问1详解】如图，连接CP .在BCP 中，E ，F 分别为棱PB ，BC 的中点，所以//EF CP ,，又EF ⊄平面PAC ，CP ⊂平面PAC .所以//EF 平面PAC .【小问2详解】因为PA ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以PA AB ⊥，又AB AC ⊥,,PA AC ⊂平面PAC ，且PA AC A = ，所以AB ⊥平面PAC .因为CP ⊂平面PAC ，所以AB CP ⊥.又因为//EF CP ，所以AB EF ⊥.【小问3详解】因为//EF CP ，所以直线EF 与平面PBD 所成角与直线PC 与平面PBD 所成角相等，设为θ.不妨设1CD =，则=PC 设C 到平面PBD 的距离为h .则13C PBD PBD V S h -=⋅ .又11212333C PBDB PCD PCD V V S AB --==⋅=⨯⨯= .在PBD △中，PB =BD PD ==，所以12PBD S =⨯= .所以33C PBD PBD V h S -=== .所以63sin θ6h PC ===.故直线EF 与平面PBD.18.设A 是由若干个正整数组成的集合，且存在3个不同的元素a ，b ，c A Î，使得a b b c -=-，则称A 为“等差集”．（1）若集合{}1,3,5,9A =，B A ⊆，且B 是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的B ；（2）若集合{}21,,1A m m =-是“等差集”，求m 的值；（3）已知正整数3n ≥，证明：{}23,,,,nx x x x ⋅⋅⋅不是“等差集”．【答案】（1）答案见解析（2）2m =（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据等差集的定义结合子集的定义求解即可；（2）根据等差集定义应用a b b c -=-，即2a c b +=逐个计算判断即可；（3）应用反证法证明集合不是等差集.【小问1详解】因为集合{}1,3,5,9A =，B A ⊆，存在3个不同的元素a ，b ，c B ∈，使得a b b c -=-，则{}1,3,5,9B =或{}1,3,5B =或{}1,5,9B =.【小问2详解】因为集合{}21,,1A m m =-是“等差集”，所以221m m =+-或2211m m =+-或()2221m m +=-,计算可得1132m -±=或0m =或2m =或1334m =，又因为m 正整数,所以2m =.【小问3详解】假设{}22,,,,nx x x x⋅⋅⋅是“等差集”，则存在{},,1,2,3,,,m n q n m n q ∈<< ,2n m q x x x =+成立，化简可得2m n q n x x --=+,0m n x ->因为*N ,1x q n ∈-≥,所以21q n x x ->≥≥,所以=1与{}22,,,,nx x x x ⋅⋅⋅集合的互异性矛盾，所以{}22,,,,nx x x x⋅⋅⋅不是“等差集”．【点睛】方法点睛：解题方法是定义的理解，应用反证法设集合是等差集，再化简计算得出矛盾即可证明.19.过点()00,A x y 作斜率分别为1k ，2k 的直线1l ，2l ，若()120k k μμ=≠，则称直线1l ，2l 是()A K μ定积直线或()()00,x y K μ定积直线．（1）已知直线a ：()0y kx k =≠，直线b ：13y x k=-，试问是否存在点A ，使得直线a ，b 是()A K μ定积直线？请说明理由．（2）在OPM 中，O 为坐标原点，点P 与点M 均在第一象限，且点()00,M x y 在二次函数23y x =-的图象上．若直线OP 与直线OM 是()()0,01K 定积直线，直线OP 与直线PM 是()2P K -定积直线，直线OM与直线PM 是()00,202x y K x ⎛⎫- ⎪⎝⎭定积直线，求点P 的坐标．（3）已知直线m 与n 是()()2,44K --定积直线，设点()0,0O 到直线m ，n 的距离分别为1d ，2d ，求12d d 的取值范围．【答案】（1）存在，理由见解析（2）()1,2（3）[)0,8【解析】【分析】（1）由定积直线的定义运算可求结论；（2）设直线OM 的斜率为()0λλ≠，则直线OP 的斜率为1λ，利用定积直线的定义可得01x λ=或1-，进而2003x x λ-=，计算即可；（3）设直线():42m y t x -=+，直线()4:42n y x t-=-+，其中0t ≠，计算得12d d =，利用基本不等式可求12d d 的取值范围.【小问1详解】存在点()0,0A ，使得a ，b 是()A K μ定积直线，理由如下：由题意可得1133k k ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭，由()013y kx k y x k ⎧=≠⎪⎨=-⎪⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩，故存在点()0,0A ，使得a ，b 是()A K μ定积直线，且13μ=-．【小问2详解】设直线OM 的斜率为()0λλ≠，则直线OP 的斜率为1λ，直线PM 的斜率为2λ-．依题意得()2022x λλ⋅-=-，得2201x λ=，即01x λ=或1-．直线OM 的方程为y x λ=，因为点()200,3M x x -在直线OM 上，所以2003x x λ-=．因为点M 在第一象限，所以20031x x λ-==，解得02x =或2-（舍去），12λ=，()2,1M ，所以直线OP 的方程为12y x x λ==，直线PM 的方程为()2213y x x λ=--+=-+，由23y x y x =⎧⎨=-+⎩，得12x y =⎧⎨=⎩，即点P 的坐标为()1,2．【小问3详解】设直线():42m y t x -=+，直线()4:42n y xt-=-+，其中0t ≠，则12d d ===2216171725t t ++≥=，当且仅当2216t t =，即24t =时，等号成立，所以08≤<，即1208d d ≤<，故12d d 的取值范围为[)0,8．【点睛】思路点睛：理解新定义题型的含义，利用定积直线的定义进行计算求解，考查了运算求解能力，以及基本不等式的应用.。
重庆市铜梁中学等七校2022-2023学年高二上学期第十四周(12月)联考数学试题
重庆市铜梁中学等七校2022-2023学年高二上学期第十四周（12月）联考数学试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卷规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑。
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卷规定的位置上。
4．考试结束后，将答题卷交回。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直线310x y -+=的倾斜角为（ ）A ．30°B ．120°C ．45°D ．150° 2．已知数列{a n }是等差数列，且a 2+2a 3+a 8=32，则a 4=（ ）A ．4B ．6C ．8D ．103．已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的离心率为52，则C 的渐近线方程为（ ）A ．14y x =±B ．13y x =± C ．12y x =± D ．y x =±4．已知数列满足：a 1=1且，则a 2022=（ ）A ．-B ．C ．D ．5．圆221:1C x y +=与圆()()()2222:340C x y m m -++=>内切，则实数m 的值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 6．已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ）A ．6B ．9C ．12D ．13 7．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 为棱1CC 的中点，则点B 到直线A 1M 的距离为（ ） A ． 2B ． 3C ．2D ． 58．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>上存在点P ，使得213PF PF =，其中1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭ D ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2022-2023学年陕西省安康市汉滨区七校高一上学期期末联考数学试卷含答案
2022—2023学年度第一学期期末质量检测高一数学试题考生注意：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）而部分，满分150分，考试时间120分钟．请将答案填写在答题纸相对应的位置．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{1,2,3,4},{2,3,4,5}A B ==，则A B 等于（ ）A ．{2,4}B ．{1,5}C ．{2,3,4}D ．{}1,2,3,4,52．函数()21f x x mx =++的图象关于直线1x =对称的充要条件是（ ） A ．2m =- B ．2m = C ．1m =- D ．1m =3．a b c >>，且0a b c ++=，下列不等式恒成立的是（ ）A ．ac bc >B ．ab ac >C ．||||a b c b >D ．222a b c >>4．已知sin 0,tan 0θθ<>） A ．cos θ B ．cos θ- C ．cos θ± D ．以上都不对5．指数函数x y a =与xy b =的图象如图所示，则（ ）A ．0,0a b <>B ．01,01a b <<<<C ．01,1a b <<>D ．1,01a b ><<6．sin1sin 2sin3sin 4⋅⋅⋅的符号为（ ）A ．正B ．0C ．负D ．无法确定7．若命题“2240ax ax -+>恒成立”是假命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．0a <或3a ≥B ．0a ≤或4a ≥C ．0a <或3a >D ．0a <或4a ≥8．下列函数中，是奇函数，又在定义域内为减函数的是（ ） A ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭ B ．3y x =- C ．1y x = D ．()3log y x =- 9．要得到函数212x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭=的图象，只需将函数14x y -=的图象（ ） A ．向左平移1个单位 B ．向右平移1个单位C ．向左平移12个单位D ．向右平移12个单位 10．如图所示的曲线对应的函数是（ ）A ．|sin |y x =B ．sin ||y x =C ．|sin |y x =-D ．sin ||y x =-11．已知0.30.50.53log 5,log 3,log 2,2a b c d ====，则（ ） A ．a b c d <<< B ．b a c d <<< C ．a b d c <<< D ．c a b d <<<12．函数y =） A ．2,2()33k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z B ．22,2()33k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z C ．2,2()66k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z D ．222,2()33k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．命题“0,12x R y ∃∈<≤”的否定形式是____________．14．在扇形中，已知半径为8，弧长为12，则圆心角是_____弧度，扇形面积是_____．15．函数|sin |cos ()sin |cos |x x f x x x =+的值域是________． 16．函数22sin 2cos 33y x x x ππ⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝⎭的最小值是____________． 三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）已知1tan 21tan αα+=-，求下列各式的值． （1）sin 2cos 2sin cos αααα--； （2）sin cos 2αα+． 18．（本小题满分12分）已知条件{}2:60p x x x +-=∣，条件:{10}q x mx +=∣，且p 是q 的必要条件，求m 的取值集合．19．（本小题满分12分）若函数()2()33x f x a a a =-+⋅是指数函数，求函数log (1)a y x =+在区间(0,3)上的值域．20．（本小题满分12分）（1）已知0x >，求42y x x =--的最大值； （2）已知112x -<<，求(1)(12)y x x =+-的最大值．21．（本小题满分12分）已知函数12()log |sin |f x x =．（1）求函数的定义域和值域；（2）判断函数的奇偶性；（3）判断函数的周期性，若是周期函数，求其最小正周期；（4）写出函数的单调区间．22．（本小题满分12分）已知函数2()2tan 1,[f x x x x θ=+-∈-，其中,22ππθ⎛⎫∈-⎪⎝⎭． （1）当6πθ=-时，求函数的最大值和最小值；（2）求θ的取值范围，使()y f x =在区间[-上是单调函数（增函数或减函数称为单调函数）．2022－2023学年度第一学期期末质量检测（AK ）高一数学试题参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．D 2．A 3．B 4．B 5．C 6．C 7．D 8．B 9．A 10．D 11．A 12．D二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．∀x ∈R ，y ≤1或y >2 14．23 48 15．{2，﹣2，0} 16．－41 三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）解: 由2tan 1tan 1=-+αα解得，31tan =α. （1） 51tan 22tan =--=αα原式 （2） 10232tan 1tan 2cos sin cos sin 222=++=++=αααααα原式 18．（本小题满分12分）解：条件p ：{x |x 2＋x －6＝0}＝{－3，2}＝A ，条件q ：{x |mx ＋1＝0}＝B ， 因为p 是q 的必要条件，所以B ⊆A .所以B ＝∅或{－3}或{2}．当m ＝0时，B ＝∅满足题意．当m ≠0时，若B ＝{－3}，则－3m ＋1＝0，解得m ＝13.若B ＝{2}，则2m ＋1＝0，解得m ＝－12. 综上可得，m 的取值集合是11,0,23⎧⎫-⎨⎬⎩⎭. 19．（本小题满分12分）解：函数2()(33)x f x a a a =-+⋅是指数函数 则23310,1a a a a ⎧-+=⎨≠⎩＞且解得a =2∴函数2log y x =是增函数∴函数2log (1)y x =+也是增函数，在区间（0，3）上，0<x <3，有222log (01)log (1)log (31)x +<+<+解得02y <<，即所求函数的值域为（0，2）.20．（本小题满分12分）解：（1）因为x >0，所以x ＋4x≥4， 所以y ＝2－x －4x ＝2－4x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤2－4＝－2， 所以当且仅当x ＝4x ，即x ＝2>0时，函数y ＝2－x －4x的最大值为－2. （2）因为－1<x <12， 所以1＋x >0，1－2x >0，所以y ＝（1＋x ）（1－2x ）＝12（2+2x ）（1－2x ） ≤122(22)(12)2x x ++-⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝98， 当且仅当2＋2x ＝1－2x ，即x ＝－14∈11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭时，y ＝（1＋x ）（1－2x ）的最大值为98. 21．（本小题满分12分）解：（1）由|sin x|>0,得sin x ≠0,∴x ≠k π（k ∈Z ）.∴函数的定义域为{x|x ≠k π,k ∈Z }.∵0<|sin x|≤1，∴12log |sin x|≥0.∴函数的值域为{y|y ≥0}.（2）∵函数定义域为{x|x ≠k π,k ∈Z },关于原点对称,f （－x ）=12log |sin （－x ）|=12log |sin x|=f （x ）,∴函数f （x ）是偶函数.（3）∵f （x+π）=12log |sin （x+π）|=12log |sin x|=f （x ）,∴函数f （x ）是周期函数,且最小正周期是π.（4）当x ∈,2k k πππ⎛⎤+⎥⎝⎦时,t=|sin x|是增加的; 当x ∈,2k k πππ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时,t=|sin x|是减少的.又函数y=12log t 为减函数, ∴函数f （x ）的单调递增区间为,2k k πππ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭（k ∈Z ），单调递减区间为 ,2k k πππ⎡⎫+⎪⎢⎣⎭（k ∈Z ）. 22．（本小题满分12分）解：（1）当θ＝－6π时，f （x ）＝x 2－3x －1＝x ⎛- ⎝⎭2－43.∵x ∈[－1]，∴当x ＝3时，f （x ）的最小值为－43，当x ＝－1时，f （x . （2）f （x ）＝（x ＋tan θ）2－1－tan 2θ是关于x 的二次函数．它的图象的对称轴为x ＝－tan θ.∵y ＝f （x ）在区间[－1]上是单调函数．∴－tan θ≤－1或－tan θtan θ≥1或tan θ≤， ∵θ∈,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴θ的取值范围是,23ππ⎛⎤-- ⎥⎝⎦∪,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.。
2025届广西玉林玉州区七校联考数学七年级第一学期期末检测模拟试题含解析
2025届广西玉林玉州区七校联考数学七年级第一学期期末检测模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题(每小题3分,共30分)1．历史上，数学家欧拉最先把关于x 的多项式用记号f(x)来表示，把x 等于某数a 时的多项式的值用f(a)来表示，例如x ＝﹣1时，多项式f(x)＝x 2+3x ﹣5的值记为f(﹣1)，那么f(﹣1)等于( )A ．﹣7B ．﹣9C ．﹣3D ．﹣12．下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点之间，线段最短”来解释的是（ ）A ．把弯曲的河道改直，可以缩短航程B ．用两个钉子就可以把木条固定在墙上C ．利用圆规可以比较两条线段的大小关系D ．连接两点间的线段的长度，叫做这两点之间的距离3．按如图所示图形中的虚线折叠可以围成一个棱柱的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．下列各组两个数中，互为相反数的是（ ）A ．(2)--和2B ．22和2(2)-C ．32-和3(2)-D ．m 和m -5．下列运算正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．6．甲乙两个超市为了促销一种定价相等的商品，甲超市连续两次降价10％，乙超市一次性降价20％，在哪家超市购买同样的商品最合算( )A ．甲B ．乙C ．相同D ．和商品的价格有关7．将一副三角板按如图所示位置摆放，其中α∠与β∠一定互余的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．下列说法中正确的是（ ）A ．0不是单项式B ．b a 是单项式C ．2x y 的系数是0D ．32x -是整式 9．商家常将单价不同的A B 、两种糖混合成“什锦糖”出售,记“什锦糖”的单价为: A B 、两种糖的总价与A B 、两种糖的总质量的比。
安徽省部分学校2024-2025学年高三上学期8月联考试题 数学含答案
2024～2025学年（上）安徽高三8月份联考数学（答案在最后）考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数z 满足23z z +=-（i 为虚数单位），则z =（）．A.1+B.1C.1-D.1-2.已知向量()2,1a = ，()2,b m m =- ，若a b ∥ ，则m =（）．A.4- B.2- C.2D.43.在等比数列{}n a 中，若23138a a a =，则48a a =（）．A.2B. C.4D.84.设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，若a α⊂，b β⊂，αβ⊥，则“a β⊥”是“a b ⊥r r”的（）．A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知集合()(){},ln 1A x y y x ==+，(){}22,1B x y xy =+=，则A B ⋂中的元素个数为（）．A.1B.2C.3D.46.22π7πsinsin 1212-=（）．A.2B.12C.12-D.2-7.某公司进行招聘，甲、乙、丙被录取的概率分别为23，45，34，且他们是否被录取互不影响，若甲、乙、丙三人中恰有两人被录取，则甲被录取的概率为（）．A.1013B.23 C.713D.7308.已知双曲线()222:10y C x b b-=>的左焦点为F ，过坐标原点O 作C 的一条渐近线的垂线l ，直线l 与C交于A ，B 两点，若ABF △的面积为3，则C 的离心率为（）．A.3B.C.2D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知椭圆22:416C x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是C 上的任意一点，则（）A.C 的离心率为12B.128PF PF +=C.1PF 的最大值为4+D.使12F PF ∠为直角的点P 有4个10.若01a b <<<，则（）．A.a b +>+B.cos sin a b >C .log a bb a>D.ln ln a b a b-<-11.在四棱锥S ABCD -中，已知底面ABCD 为梯形，2222AD AB BC CD SD =====，AS =，则下列说法正确的是（）．A.四边形ABCD 的面积为4B.棱SB 的长度可能为C.若SD AB ⊥，则点A 到平面SBD 的距离为1D.若SD AB ⊥，则四棱锥S ABCD -外接球的半径为2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.甲、乙、丙、丁4名老师分到3所不同的乡村学校支教，若每名老师只去一所学校，每所学校都有老师去，且甲不和别的老师去同一所学校，则不同的支教分派方案有__________种．13.已知函数()()cos f x x ωϕ=+在区间24,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，且42233f f ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()2f =__________．14.在平面直角坐标系xOy 中，M 为曲线ln xy x=上一点且位于第一象限，将线段OM 绕x 轴旋转一周，得到一个圆锥的侧面，再将其展开成扇形，则该扇形的圆心角的最大值为__________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，PD AD ⊥．（1）证明：⊥BC 平面PCD ；（2）若4PA =，E 为棱PC 的中点，求直线PC 与平面ABE 所成角的正弦值．16.在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知12cos sin 2sin sin BC A B=+．（1）求C ；（2）若32a b c +=且3a =，求ABC V 的外接圆半径．17.已知抛物线()2:20E y px p =>的焦点为F ，过点F 且互相垂直的两条动直线分别与E 交于点A ，B和点C ，D ，当AB CD =时，8AB =．（1）求E 的方程；（2）设线段AB ，CD 的中点分别为M ，N ，若直线AB 的斜率为正，且18FN FM=，求直线AB 和CD 的方程．18.无人驾驶被视为推动社会进步和改善生活质量的重要工具，但其安全性和对劳动就业的影响也受到人们的质疑．为了解某大学的学生对无人驾驶的态度，随机调查了该校96名大学生，调查结果如下表所示：对无人驾驶的态度支持中立反对频数483216用样本的频率分布估计该校每名学生对无人驾驶态度的概率分布，且学生的态度相互独立．为衡量学生对无人驾驶的支持程度，每名支持者得5分，每名中立者得3分，每名反对者得1分．（1）从该校任选2名学生，求他们的得分不相同的概率．（2）从该校任选3名学生，求他们的得分之和为7的概率．（3）从该校任选n 名学生，其中得分为5的学生人数为X ，若30.944nn P X ⎛⎫≤≤≥ ⎪⎝⎭，利用下面所给的两个结论，求正整数n 的最小值．结论一：若随机变量(),B n p ξ ，则随机变量η=近似服从正态分布()0,1N ；结论二：若随机变量()0,1N ξ ，则()1.280.9P ξ≤≈，()1.650.95P ξ≤≈．19.已知函数()221ln 11x x f x x x x -=--+-．（1）求()f x 的定义域；（2）求()f x 在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上的零点个数；（3）设10,2k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，证明：()()()22211111nk k k k k k -+++<+-L ．附：()()2222211ln 111x x x x x x x '⎛⎫-+= ⎪+--+-⎝⎭，()()22212ln 111x x x x x x x x '--⎛⎫= ⎪+--+-⎝⎭．2024～2025学年（上）安徽高三8月份联考数学考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】C【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】D【7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】B二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．【9题答案】【答案】BCD 【10题答案】【答案】AD 【11题答案】【答案】AC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．【12题答案】【答案】18【13题答案】【答案】12##0.5【14题答案】【答案】24e 1+四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【15题答案】【答案】（1）证明见详解（2）5【16题答案】【答案】（1）2π3C =（2）3【17题答案】【答案】（1）24y x=（2）:210AB x y --=，:220CD x y +-=【18题答案】【答案】（1）1118（2）772（3）11【19题答案】【答案】（1）(),111122,,⎛⎛⎫+-∞--+∞ ⎝⎭⎝⎭（2）1（3）证明见解析。
2024届江西省江西省多校联考模拟预测数学试题
2024届江西省江西省多校联考模拟预测数学试题一、单选题 1．抛物线212y x =的焦点到准线的距离为（ ） A ．2B ．1C ．12D ．142．若i 是关于x 的方程()20,x px q p q ++=∈R 的一个根，则q =（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-3．已知数列{}n a 满足()n a n a a =-∈R ，则“1a ≤”是{}n a 是递增数列的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若()e ln 0aa b b a =>，则（ ）A ．a b <B ．a b =C ．a b >D ．无法确定5．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a ，b ，m ()0m >为整数，若a 和b 同时除以m 所得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为()mod a b m ≡．若1230303030C C C a =+++L ，()mod10a b ≡，则b 的值可以是（ ） A ．2021B ．2022C ．2023D ．20246．已知函数()()sin 0f x x x ωωω=>在区间()0,π上恰有两个极值点12,x x ，则()12f x x +的值为（ ）A．1B C ．D ．27．已知点M 是圆221x y +=上一点，点N 是圆()22:33C x y -+=上一点，则CMN ∠的最大值为（ ）A ．π2B ．π3C ．π4D ．π68．现为一球形玩具设计一款球形的外包装盒（盒子厚度忽略不计）．已知该球形玩具的直径为2，每盒需放入4个玩具球，则该种外包装盒的直径的最小值为（ ）A ．2B ．2C 2-D ．2二、多选题9．设集合{}2|3210A x x x =--=，{}|10B x ax =-=，若A B A ⋃=，则a 的值可以为（ ）A ．1B ．0C ．13-D ．3-10．已知函数()f x 对任意的x ，y ∈R ，都有()()()()2f x y f x y f x f y ++-=，且()00f ≠，()21f =-，则（ ）A ．()01f =B ．()f x 是奇函数C ．()f x 的周期为4D ．()100215100n n f n ==∑，*n ∈N11．已知()2,0A -，()2,0B ，()1,0C ，动点M 满足MA 与MB 的斜率之积为34-，动点M 的轨迹记为Γ，过点C 的直线交Γ于P ，Q 两点，且P ，Q 的中点为R ，则（ ）A ．M 的轨迹方程为22143x y +=B ．MC 的最小值为1C ．若O 为坐标原点，则OPQ △面积的最大值为32D ．若线段PQ 的垂直平分线交x 轴于点D ，则R 点的横坐标是D 点的横坐标的4倍三、填空题12．已知向量a r ，b r 满足2b =r ，向量a r 在b r 上的投影向量为12b r，则a b ⋅=r r ．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线():e 1xC y x =<的一条切线l 与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，则OAB V的面积的最大值为． 14．如图是飞行棋部分棋盘，飞机的初始位置为0号格，抛掷一枚质地均匀的骰子，若抛出的点数为1，2，飞机向前移一格；若抛出的点数为3，4，5，6，飞机向前移两格．直到飞机移到第n 1-（5n ≥且n +∈N ）格（失败集中营）或第n 格（胜利大本营）时，游戏结束．则飞机移到第3格的概率为，游戏胜利的概率为．四、解答题15．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别记为a ，b ，c ，且cos sin tan cos sin B CA C B-=+．(1)若π6B =，求C 的大小． (2)若2a =，求b c +的取值范围．16．如图所示，四边形BCDE 为直角梯形，且//BC DE ，ED CD ⊥，2BC =，CD =1ED =．ABE V 为等边三角形，平面ABE ⊥平面BCDE ．(1)线段AC 上是否存在一点G ，使得DG//平面ABE ，若存在，请说明G 点的位置；若不存在，请说明理由；(2)空间中有一动点Q ，满足AQ BE ⊥，且0QB QC ⋅=u u u r u u u r．求点Q 的轨迹长度．17．已知函数()()ln ,,0f x x a x b a b a =--∈≠R ． (1)若1a b ==，求()f x 的极值； (2)若()0f x ≥，求ab 的最大值．18．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右顶点分别为A ，B ，渐近线方程为y =，过左焦点()2,0F -的直线l 与C 交于G ，H 两点． (1)设直线AG ，AH 的斜率分别为1k ，2k ，求12k k 的值；(2)若直线AG 与直线BH 的交点为P ，试问双曲线C 上是否存在定点Q ，使得PFQ △的面积为定值？若存在，求出定点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．19．在信息理论中，X 和Y 是两个取值相同的离散型随机变量，分布列分别为：()i i P X x m ==，()i i P Y x n ==，0i m >，0i n >，1,2,,i n =L ，111nni i i i m n ====∑∑．定义随机变量X 的信息量()21log ni i i H X m m ==-∑，X 和Y 的“距离”()21log nii i im KL XY m n ==∑． (1)若12,2X B ⎛⎫⎪⎝⎭:，求()H X ；(2)已知发报台发出信号为0和1，接收台收到信号只有0和1．现发报台发出信号为0的概率为()01p p <<，由于通信信号受到干扰，发出信号0接收台收到信号为0的概率为q ，发出信号1接收台收到信号为1的概率为()01q q <<．（ⅰ）若接收台收到信号为0，求发报台发出信号为0的概率；（用p ，q 表示结果） （ⅱ）记随机变量X 和Y 分别为发出信号和收到信号，证明：()0KL X Y ≥．。
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2020-2020 学年第二学期初三质量检测数学试题
命题学校 罗湖外语学校初中实验部 命题人 丁建国 审题人 段建华
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确的选项的字母代号填涂在答题卡相应位置．．．．．．．
上） 1.给出四个数0，，π，﹣1，其中最小的是（ ）
A ．0
B ．
C ．π
D ． ﹣1
2.据深圳特区报3月30日早间消息，华为公司获得2020中国质量领域最高奖。
华为公司将2020年销售收入目标定为818亿美元，是国内互联网巨头BAT 三家2020年收入的两倍以上。
其中818亿美元可用科学记数法表示为（ ）美元
A ．8.18×109
B ． 8.18×1010
C ．8.18×1011
D ．0.818×1011
3.在奔驰、宝马、丰田、三菱等汽车标志图形中，为中心对称图形的是（ ）
A B C D
4.马大哈做题很快，但经常不仔细思考，所以往往错误率很高，有一次做了四个题，但只做对了一个，他做对的是（ ）
A. a 8÷a 4=a 2 B ．a 3•a 4=a 12 C ．24±= D. 232x x ⋅ =52x
5.下列各图中，描述∠1与∠2互为余角关系最准确的是（ ）
A B C D
6.如图，正三棱柱的主视图为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 第8题图
7 . 2020赛季中超联赛中，广州恒大足球队在联赛30场比赛中除4月3日输给河南建业外，其它场次全部保持不败，取得了67个积分的骄人成绩，已知胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，设广州恒大一共胜了x 场，则可列方程为( ）
A 3x+（29-x ）=67
B x+3（29-x ）=67
C 3 x+（30-x ）=67
D x+3（30-x ）=67
8.两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD 是一个筝形，其中AD=CD ，AB=CB ，在探究筝形的性质时，得到如下结论：①△ABD ≌△CBD ；②AC ⊥BD ；③四边形ABCD 的面积= AC•BD 其中正确的结论有（ ）
A 0个
B 1个
C ．2个
D ．3个
9.深圳空气质量优良指数排名近年来一直排在全国城市前十。
下表是深圳市气象局于2020监测
点
荔园西乡华侨
城
南油盐田龙岗洪湖南澳葵涌梅沙观澜AQI15 31 25 24 31 24 25 25 34 20 26
质量优优优优优优优优优优优
上述（AQI）数据中，众数和中位数分别是（、）
A 25， 25
B 31 ， 25
C 25 ， 24
D 31， 24
10如图，在平行四边形ABCD中，以A为圆心，AB为半径画弧，交AD于F，再分别以B 、F为圆心，大于BF的长为半径画弧，两弧相交于点G,若BF=6，AB=5，则AE的长为（）.
A. 11
B. 6
C. 8
D. 10
第10题图第11题图第12题图
11如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为x=，且经过点（2，0），有下列说法：①abc＜0；②a+b=0；③a﹣b+c=0；④若（0，y1），（1，y2）是抛物线上的两点，则y1=y2．上述说法正确的是( )
A．①②③④B．③④C．①③④D．①②
12如图，两个反比例函数y1＝1
k
x
（其中k1＞0）和y2＝
3
x
在第一象限内的图象依次是C1和C2，点P在C1上．矩形PCOD交C2于A、B两点，OA的延长线交C1于点E，EF⊥x轴于F点，且图中四边形BOAP的面积为6，则EF：AC为（）A．3﹕1B．2﹕3C．2﹕1 D．29﹕14
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分，不需要写出解答过程，请把答案直
接填写在答题卡相应位置
．．．．．．．上）
13已知01
a a
b x
≠≠=
，，是方程2100
ax bx
+-=的一个解，则
22
22
a b
a b
-
-
的值是。
14周星驰拍摄的电影《美人鱼》取景地在深圳杨梅坑，据称是深圳最美的溪谷。
为估计全罗湖区8000名九年级学生去过杨梅坑的人数，随机抽取400名九年级学生，发现其中有50
E D B O C A 名学生去过该景点，由此估计全区九年级学生中有 个学生去过该景点。
15将一些相同的“○”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“稻草人”中的“○”的个数，则第20个“稻草人”中有 个“○”。
……
16题图
16如图，在等腰Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，BC=4，点D 是AC 边上一动点，连接BD ，以AD 为直径的圆交BD 于点E ，则线段CE 长度的最小值为__________．
三、解答题（本题共7小题，其中第17题5分，第18题6分，第19题7分，第20题8分，第21题8分，第22题8分，第23题10分，共52分 ）
17计算：|﹣|+（2020-π）0﹣2 sin45°+（）﹣
2 18解不等式组 ．并写出它的整数解
19九年级（1）班的全体同学根据自己的兴趣爱好参加了六个学生社团（每个学生必须参加且只参加一个），为了了解学生参加社团的情况，学生会对该班参加各个社团的人数进行了统计，绘制成了如图不完整的扇形统计图，已知参加“读书社”的学生有10人，请解答下列问题：
（1）该班的学生共有 名；该班参加“爱心社”的人数为_________名，若该班参加“吉他社”与“街舞社”的人数相同，则“吉他社”对应扇形的圆心角的度数为____________；
（2）一班学生甲、乙、丙是“爱心社”的优秀社员，现要从这三名学生中随机选两名学生参加“社区义工”活动，请你用画树状图或列表的方法求出恰好选中甲和乙的概率．
19题图 20题图
20如图，菱形ABCD 的对角线AC 和BD 交于点O ，分别过点C 、D 作CE ∥BD ，DE ∥AC ，CE 和DE 交于点E .
（1）求证：四边形ODEC 是矩形；（2）当∠ADB =60°，AD =3时，求sin ∠AED 的值.
21如图，河坝横断面背水坡AB的坡角是45°，背水坡AB长度为20米，现在为加固堤坝，将斜坡AB改成坡度为1:2的斜坡AD【备注: AC⊥CB】
（1）求加固部分【即△ABD】的横截面的面积
（2）若该堤坝的长度为100米，某工程队承包了这一加固的土石方工程，为抢在在汛期到来之际提前完成这一工程，现在每天完成的土方比原计划增加25%，这样实际比原计划提前10天完成了，求原计划每天完成的土方。
【提示土石方= 横截面x 堤坝长度】
21题图22题图
22如图，点O为Rt△ABC斜边AB上一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC 交于点E，连接AD．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若∠BAC=60°，OA=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．
23如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0）．
（1）求b、c的值
（2）如图1直线y=kx+1 ( k > 0 ) 与抛物线第一象限的部分交于D点，交y轴于F点，交线段BC于E点. 求的最大值
（3）如图2 , 抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB．
问在直线BC下方的抛物线上是否存在点Q，使得△QMB与△PMB的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由
图2
DE
EF。