02 数列
数列极限常见题型及其解法
数列极限常见题型及其解法01 什么是数列？(掌握难度：★)从字面意思就可以看出来：数列数列，就是将数排成队列。
详细点来说，就是将一堆数按照某种规律排成一排，p.s.类似军训，教官让我们按照从矮到高(某种规律)排成一排。
排成队列的数这时，有个数在开小差，教官就开始点名了。
还记得我们当时军训时教官是怎么点名的么?“第m排第n列,请出列”——这耳熟能详的语句。
由于我们的数只有一列，所以我们就变成了，“第n个数请出列”。
为了描述方便我们用符号 xn 表示，含义为第n个数，于是就有 x1=12 ， x4=116 ， x5=132 。
如果可以用某个含n的式子来表示 xn ，那么这个式子就叫做这个数列的通项公式，例如本文举例的数列，它的通项公式就是： xn=12n 。
有了它，我们就可以快速get 这一列数中的每一个数，是不是很方便。
但是，人总是贪心的。
所以一定会有人问：“你不是说每一项你都知道么？那么第无穷项是多少呢？”这个时候就涉及到了数列的极限。
02 数列的极限(掌握难度：★★)针对刚刚的问题——数列{ xn }的“无穷项”是多少？即当 n→∞时， xn 趋近于多少。
可见这是一个极限问题，用数学式来表示：limn→∞xn=？上式的结果，有些是可预测的（可计算出结果），有些是不可预测的（结果不确定），如下：例如：（1）{ (−1)n }：−1,1,−1,1,−1,1……（2）{ ln(n) } : ，ln1,ln2,ln3，……（3）{12n } ：，，，12，14，18，116……数列(1)，在-1和1间摇摆不定，"第无穷项"鬼知道是1还是-1，因此极限不存在；数列(2)，随n增大， xn 也无限制地增大，增大到无穷时，无法用一个具体的数来表示，其极限也不存在。
对于数列(1)和(2)，我们称其为发散数列，或称这个数列是发散的。
数列(3)，随n增大，每一项的分母都会无限制的增大，进而每一项会越来越小，最终 n→∞,xn→0(1∞) ，所以此时我们可以预测在“第无穷项”处，数列的值趋近于0，这个时候我们也称数列（3）收敛。
数列极限的性质
如果 lim xn = a , ∃n0 , n > n0时有xn ≥ 0, 那么a ≥ 0.
4.保不等式性 (保序性 ) 保不等式性 保序 保序性 保不等式 命题4 命题 如果 lim xn = a , lim yn = b均存在,
n →∞ n →∞
且有a > b, 那么∃N , ∀n > N ,有xn > yn . 有
仿照上面命题 的推论 可得命题 的推论2. 仿照上面命题3的推论 可得命题 的推论 命题 的推论1可得命题4的推论
5. 极限的四则运算法则 定理 1 设limxn = a,limxn = b,
n→ ∞ n→ ∞
(1) lim xn ± yn ) = a ± b; ( 则 (2) lim( xn ⋅ yn ) = a⋅ b;
n→ ∞ n→ ∞
xn a (3) lim = , 其 b ≠ 0. 中 n→ y ∞ b n xn a 对 (3) lim = ( b ≠ 0) 的 明 以 于 证 予 n→ y ∞ b n
视 明 到 极 的 号 . 重 ,证 用 了 限 保 性
a0 nm + a1nm −1 + L + am 例1 求 lim n →∞ b n n + b n n −1 + L + b 0 1 n
n→∞
例3 求 lim ( n→ ∞
1 n +1
2
n +2 n +n 1 解 倘若我们由 lim = 0 ( k = 1, 2,L , n ) , n →∞ n2 + k 根据极限的四则运算法则得 1 1 1 + +L+ lim( ) n →∞ n2 + 1 n2 + 2 n2 + n 1 1 1 = lim + lim + L + lim =0 2 2 2 n →∞ n →∞ n + 1 n→∞ n + 2 n +n 那就错了.
数学分析讲义 - CH02(数列极限)
第二章 数列极限 §1 数列极限概念一、数列极限的定义()函数:,f N n f +→R n 称为数列。
()f n 通常记作12,,,,n a a a或简单地记作，其中称为该数列的通项。
}{n a n a 例如：11{}:1,,,,2n a n ，通项1n a n=。
如何描述一个数列“随着的无限增大，无限地接近某一常数”。
下面给出数列极限的精确定义。
n n a 定义1 设为数列，a 为定数．若对任给的正数}{n a ε，总存在正整数，使得当时，有N n N >n a a ε-<则称数列收敛于，定数称为数列的极限，并记作}{n a a a }{n a a a n n =∞→lim ，或)(∞→→n a a n读作“当n 趋于无穷大时，{}n a 的极限等于或趋于”． a n a a 若数列没有极限，则称不收敛，或称为发散数列． }{n a }{n a }{n a 【注】该定义通常称为数列极限的“N ε-定义”。
例1 设（常数），证明n a c =lim n n a c →∞=.证 对0ε∀>，因为0n a c c c ε-=-=<恒成立，因此，只要取，当n 时，便有1N =N >n a c ε-<这就证得li .m n c c →∞=例2 1lim0n n→∞=(0)α>. 证 对0ε∀>，要110n nε-=< 只要1n ε>只要取11N ε⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，则当时，便有N n >110n nε-=< 这就证得1lim0n n→∞=。
例3 lim 11n nn →∞=+.证 因为11111n n n n-=<++ 对0ε∀>，取11N ε⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，则当时，便有N n >11111n n n nε-=<<++ 这就证得lim 11n nn →∞=+。
关于数列极限的“N ε-定义”，作以下几点说明： 【1】定义中不一定取正整数，可换成某个正实数。
数列ppt课件
等差数列的求和公式
总结词
等差数列的求和公式是用来计算数列 中所有项的和的数学公式。
详细描述
等差数列的求和公式是 S_n = n/2 * (2a_1 + (n - 1)d)，其中 S_n 表示前 n 项的和，a_1 表示首项，d 表示公差， n 表示项数。这个公式可以帮助我们快 速计算出等差数列中所有项的和。
03 等比数列
等比数列的定义
总结词
等比数列是一种特殊的数列，其中任意项与它的前一项的比值都相等。
详细描述
等比数列是一种有序的数字排列，其中任意一项与它的前一项的比值都等于同一个常数。这个常数被称为公比， 通常用字母q表示。
等比数列的通项公式
总结词
等比数列的通项公式是用来表示数列中每一项的数学表达式。
04 数列的极限与收敛
数列的极限定义
极限的定义
对于数列${ a_{n}}$，如果当$n$ 趋于无穷大时，$a_{n}$趋于某个
常数$a$，则称$a$为数列${ a_{n}}$的极限。
极限的性质
极限具有唯一性、有界性、保序性 等性质。
极限的运算性质
极限具有可加性、可乘性、可分离 性等运算性质。
收敛数列的性质
在经济学中的应用
在经济学中，很多问题也可以转化为求和问题，例如计算总收益、总成本等。而求和问题 同样可以转化为数列的极限问题。因此，数列的极限和收敛的概念在经济学中也有着广泛 的应用。
05 数列的级数
级数的定义与分类
要点一
定义
级数是无穷数列的和，可分为数项级数和函数项级数。
要点二
分类
根据项的正负和收敛性，级数可分为正项级数、负项级数 、交错级数等。
正项级数的审敛法
02数列极限
4.数列与函数的关系 从函数观点看，数列可以看作定义域为正整数集 N*（或它的有限子集）的函数，当自变量从 小到大依次取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列.
二、引入问题：
极限概念是在探求某些实际问题的精确解答过程中产生的.例如古代哲学家庄周“截丈
问题”体现的就是极限的思想，
庄周所著的《庄子. 天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。把每
能使条件成立。
（３） 数列极限的几何理解：在定义１中，“当 n N 时有| an a | ” “当 n N 时
有 a an a ” “当 n N 时有 an a , a U (a; ) ” 所有下标
大于Ｎ的项 an 都落在邻域U (a; ) 内；而在U (a; ) 之外，数列an 中的项至多只有Ｎ个（有
正 6 2n1 边形的面积记为 An（n∈N，）.这样，就得到一系列内接正多边形的面积
A1, A2, An ,
它们构成一个数列.当 n 越大，内接正多边形与圆的差别就越小，从而就可以越近似的代替 圆的面积。
这两个例子当中体现了无限趋近的思想，当 n 时，数列无限趋近一个常数，我们将这
个常数称之为极限。
到任何程度；② 的暂时固定性。尽管 有其任意性，但一经给出，就暂时地被确定下来，
以便依靠它来求出Ｎ；③ 的多值性。 既是任意小的正数，那么 , 3 , 2 等等，同样也 2
是任意小的正数，因此定义１中的不等式 |
an
a
|
中的
可用
2
,3 ,
2
等来代替。从而
“ | an a | ”可用“ | an a | ”代替；④正由于 是任意小正数，我们可以限定 小
则 N 101或更大的数时此不等式自然成立。所以Ｎ不是唯一的。事实上，在许多场合下，
02——数列极限
第二章 数列极限第一节 数列极限概念一、数列的概念定义：设f 定义在+上，则称:f +→ ，或(),f n n +∈ 为数列，写作12,,,,,n a a a 或简记为{}n a ，其中n a 称为该数列的通项。
例：1111,,,,,23n二、收敛数列的概念考虑数列1{}n ，不难看出10n a n=→（当n 足够大时），即随着n 的无限增大，n a 无限的接近某一常数0a =。
下面给出收敛数列及其极限的精确定义。
1、 收敛数列的定义定义1：设n a 为数列，a 为一定数，若0,N ε+∀>∃∈ ，使得n N >时，有||n a a ε-<，则称数列{}n a 收敛于a ，定数a 称为{}n a 的极限，记为lim n n a a →∞=，或()n a a n →→∞，如：1{}n收敛于0()n →∞。
2、 发散数列的定义若{}n a 没有极限，则称{}n a 不收敛，或称{}n a 为发散数列。
例：①{(1)}n -发散，②{},(||1)nq q <收敛。
3、 应注意的几个问题 （1）ε的任意性 （2）N 的相应性（3）定义1的几何意义“当n N >时有||n a a ε-<” ⇔当n N >时，有(,)n a U a ε∈。
定义'1（等价于定义1）0ε∀>，若在(,)U a ε之外{}n a 中的项只有有限个，则称{}n a 收敛于极限a 。
注：若00ε∃>，使得无穷多0(,){}n n a U a a ε∉⇒一定不以a 为极限。
4、例子24P 例3，25P 例5，28P 习题5（2）。
三、无穷小数列定义2：若lim 0n n a →∞=，则称{}n a 为无穷小数列。
如：1{},{}(||1)nq q n<。
定理2.1：lim lim()0n n n n a a a a →∞→∞=⇔-=。
四、课堂练习1、证明定理2.1，2、27P 习题1，3、27P 习题3，4、28P 习题7。
高中数学数列
高中数学数列数列，作为数学中的一个重要概念，是指按照一定规律排列的一组数的集合。
在高中数学学习中，数列是一个非常基础而重要的内容，它不仅涉及到数学的理论性知识，还有着广泛的应用价值。
本文将从数列的定义、常见数列的性质以及数列的应用等方面进行阐述，以期帮助读者对高中数学数列的理解和应用有更全面的认识。
一、数列的定义数列是指按照一定规律排列的一组数的集合。
我们通常用{a₁，a₂，a₃，...，aₙ，...}来表示一个数列，其中a₁，a₂，a₃，...，aₙ分别表示第1项、第2项、第3项、...，第n项。
数列中的每一项都有自己的位置，也就是序号。
数列中的规律可以是等差、等比等，不同的规律会导致数列的性质有所不同。
二、常见数列的性质1. 等差数列等差数列是指数列中相邻两项之间的差恒为一个常数d的数列。
我们可以用a₁，a₂，a₃，...，aₙ表示一个等差数列，其中aₙ=a₁+(n-1)d。
等差数列的性质包括初项、公差、通项公式、前n项和等等。
2. 等比数列等比数列是指数列中后一项与前一项的比恒为一个常数q的数列。
我们可以用a₁，a₂，a₃，...，aₙ表示一个等比数列，其中aₙ=a₁q^(n-1)。
等比数列的性质包括初项、公比、通项公式、前n项和等等。
3. 斐波那契数列斐波那契数列是一个非常特殊且著名的数列，它的定义是从第三项开始，每一项都是前两项的和。
斐波那契数列的性质包括初项、通项公式、性质等等。
斐波那契数列在自然界和艺术等领域都有广泛的应用。
三、数列的应用1. 数列在数学领域的应用数列作为数学中的一个重要概念和工具，在数学的不同分支中都有着广泛的应用。
例如，在代数学中，数列可以用于求和、极限、等等。
在概率和统计学中，数列可以用于描述随机事件的发生规律、计算概率等。
2. 数列在实际问题中的应用数列不仅在数学领域有着重要应用，也在实际问题中起到了关键作用。
例如，在金融领域，数列可以用于描述股票的涨跌趋势，预测未来的股票价格等。
数列的概念和常见数列的性质
数列的概念和常见数列的性质数学中，数列是一组按照特定规律排列的数的集合。
数列是一种重要的数学工具，广泛应用于各个领域，例如代数、微积分、概率等。
本文将介绍数列的概念、常见数列的性质以及它们在实际问题中的应用。
一、数列的概念数列是按照一定顺序排列的一组数，用数语言表示为{an}或(an)n∈N ，其中n∈N表示自然数的集合，an表示数列的第n个项。
数列可以是有限的，也可以是无穷的。
在数列中，第一个数字称为首项，记作a1或者a0；第二个数字称为第二项，记作a2或者a1；以此类推，第n个数字称为第n 项，记作an或者an-1。
根据数列的定义，我们可以得到数列的通项公式，通常是一个关于n的函数，用于计算数列的任意一项。
通项公式能够清晰地描述数列的规律与性质。
二、常见数列的性质1.等差数列等差数列是指数列中相邻两项之间的差值都相等的数列。
设等差数列的首项为a1，公差为d，则其通项公式为an = a1 + (n-1)d。
等差数列的性质包括：公差为常数、任意相邻两项之间的差值相等、任意三项能够构成等差数列。
等差数列在实际问题中有广泛的应用，例如计算等差数列的和可以帮助我们解决一些物理、经济问题，如速度、距离等。
2.等比数列等比数列是指数列中相邻两项之间的比值都相等的数列。
设等比数列的首项为a1，公比为q，则其通项公式为an = a1 * q^(n-1)。
等比数列的性质包括：公比为常数、任意相邻两项之间的比值相等、任意三项能够构成等比数列。
等比数列在实际问题中也具有重要的应用，例如在复利计算中，利率可看作是一个等比数列。
3.斐波那契数列斐波那契数列是一个特殊的数列，它的前两项是1，从第三项开始，每一项都是前两项之和。
斐波那契数列的通项公式为an = an-1 + an-2，其中a1 = 1，a2 = 1。
斐波那契数列在自然界中有广泛的应用，例如在植物的生长规律、动物的繁殖规律等方面都能够找到斐波那契数列的身影。
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16．已知整数对排列如下 1,1, 1,2, 2,1, 1,32,2, 3,1, 1,4, 2,3, 3,2, 4,1, 1,5, 2,4, ，则第 60 个整 数对是_______. 三、解答题： 17.数列{an}的前 n 项和记为 Sn， a1 1, an1 2Sn 1 n 1 （1）求{an}的通项公式;（2）等差数列{bn} 的各项为正，其前 n 项和为 Tn，且 T3 15 ，又 a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 成等比数列，求 Tn
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高三数学第一轮复习单元测试———《数列》
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3 22． 已知数列{ an }中，an 2 1 （n≥2，n N ） ， （1） 若 a1 ， 数列 {bn } 满足 bn 1 （ n N ） ， 5 an 1 an 1
求证数列{ bn }是等差数列； （2）若 a1
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18.设数列 {a n } 、 {bn } 、 {cn } 满足： bn an an2 ， c n a n 2a n1 3a n 2 （n=1，2，3，„） ， 证明： {a n } 为等差数列的充分必要条件是 {cn } 为等差数列且 bn bn1 （n=1，2，3，„）
A．40 B．42 C．43 D．45 4.在等差数列｛an｝中，若 aa+ab=12，SN 是数列｛an｝的前 n 项和，则 SN 的值为（ A．48 B．54 C．60 D．66 5.设 Sn 是等差数列｛an｝的前 n 项和，若 3 10 1 3
S3 1 S6 ＝ ，则 ＝（ S6 3 S12
9(a1 a9 ) =54，故选 B． 2
S3 3a1 3d 1 , 可得a1 2d 且 d 5d 27d 3 1 ，故选 A． S12 12a1 66d 90d 10
6．B． a1 a2 a3 15 3a2 15 a2 5 ， a1a2 a3 80 a2 d a2 a2 d 80 ， 将 a2 5 代入，得 d 3 ，从而 a11 a12 a13 3a12 3 a2 10d 3 5 30 105 .选 B． 7．A． 依题意，a1＋a200＝1，故选 A． 8．C．因数列 an 为等比，则 an 2qn1 ，因数列 an 1 也是等比数列，则
2
f (n) 的规律由 f (n) f (n 1) a n n(n 1) (n 2) ，所以
2
f (1) 1 22 2 2 32 2 f (3) f (2) 2 f (2) f (1) f (n) f (n 1) n2 2 2
2[1 23( n1) ] 2 n 4 (8 1) ，选 D． 1 23 7
正四面体的特征和题设构造过程，第 k 层为 k 个连续自然数的和，化简通项再裂项用公
2 2
式求和.依题设第 k 层正四面体为 1 2 3 k k k 1 k 2 k , 则前 k 层共有 1 12 2 2 k 2 1 1 2 k k k 1k 2 60 ，k 最大为 6，剩 4，选 B．
d 3 的等差数列，„„，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（ （2）应
当作为特例） ，并进行研究，你能得到什么样的结论？
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20.某市去年 11 份曾发生流感，据统计，11 月 1 日该市新的流感病毒感染者有 20 人，此后，每天 的新感染者平均比前一天的新感染者增加 50 人，由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播 得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少 30 人，到 11 月 30 日止，该 市在这 30 日内感染该病毒的患者总共 8670 人， 问 11 月几日， 该市感染此病毒的新患者人数最多？ 并求这一天的新患者人数。
数” ，已知数列 a1 ， a2 ，„„， a500 的“理想数”为 2004，那么数列 2， a1 ， a2 ，„„， a500 的“理 想数”为（ A．2002 ） B．2004 C．2006 D．2008 ）
12.已知数列 an 对任意的 p，q N* 满足 a pq ap aq ，且 a2 6 ，那么 a10 等于（ A． 165 B． 33 C． 30 D． 21
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19.已知数列 a1 , a 2 , , a30 ，其中 a1 , a 2 , , a10 是首项为 1，公差为 1 的等差数列； a10 , a11 , , a 20 是公 差为 d 的等差数列； a 20 , a 21 , , a30 是公差为 d 2 的等差数列（ d 0 ）.（1）若 a20 40 ，求 d ； （2） 试写出 a 30 关于 d 的关系式，并求 a 30 的取值范围； （3）续写已知数列，使得 a30 , a31 , , a 40 是公差为
2 2 6
11．A．认识信息，理解理想数的意义有，
2004 500a1 499a 2 498a3 a500 501 2 500a1 499a 2 498a3 a500 , 2002，选 500 501
A．
12．C．由已知 a4 ＝ a2 + a2 ＝ -12， a8 ＝ a4 + a4 ＝－24, a10 = a8 + a2 = -30，选 C． 13．由 an1 2an 3 an1 3 2(an 3) ，即
D． 1 9
）
A．
B．
C．
1 8
6.设 an 是公差为正数的等差数列，若 a1 a2 a3 15 ， a1a2a3 80 ，则 a11 a12 a13 （ A． 120 B． 105 C． 90 D． 75
）
7.已知等差数列｛an｝的前 n 项和为 Sn，若 OB a1 OA a200 OC ，且 A、B、C 三点共线（该直线不 过原点 O） ，则 S200＝（ ） A．100 B．101 C．200 D．201 ） 8.在等比数列 an 中， a1 2 ，前 n 项和为 Sn ，若数列 an 1 也是等比数列，则 Sn 等于（ A． 2n1 2 B． 3n C． 2n D． 3n 1 ）
a n 1 3 =2，所以数列｛ a n ＋3｝是以（ a1 +3）为首项，以 2 an 3
为公比的等比数列，故 a n ＋3=（ a1 +3） 2 n 1 ， a n = 2 n 1 －3.
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14．由 f 1 x f x 1 ，整体求和所求值为 5． 15． a n 1 a n n 1 a n a1 (a 2 a1 ) (a n a n 1 ) n(n 1)
二、填空题： 13．数列｛an｝中，若 a1=1，an+1=2an+3 （n≥1） ，则该数列的通项 an=
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.
x 1 2 3 10 14．设f ( x) 4 , 则f f f f x
3 ，求数列{ an }中的最大项与最小项，并说明理由； （3） （理 5
做文不做）若 1 a1 2 ，试证明： 1 an1 an 2 。
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参考答案（2）
a c 2b, a 4, 2 1．D．依题意有 bc a , b 2, a 3b c 10. c 8.
2．C．
5a1 20d 15 d 3 ，故选 5 a 25 d 30 1
C． ∴公差 d 3 ．
3．B． ∵等差数列 an 中 a1 2 ， a2 a3 13
∴ a4 a5 a6 3a1 3d 4d 5d ＝ 3a1 12d ＝42． 4．B． 5．A． 因为 a4 a6 a1 a9 12 ，所以 S9 由等差数列的求和公式可得
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姓名
）
一、选择题： 1.若互不相等的实数 a 、b 、c 成等差数列，c 、a 、b 成等比数列， 且 a 3b c 10 ， 则a= （ A．4 B．2 C．－2 D．－4 2.已知等差数列共有 10 项，其中奇数项之和 15，偶数项之和为 30，则其公差是（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 3.在等差数列 an 中，已知 a1 2, a2 a3 13, 则 a4 a5 a6 等于 （ ） ）
9.设 f (n) 2 24 27 210 23n10 (n N ) ，则 f (n) 等于（
2 2 2 2 A． (8n 1) B． (8n 1 1) C． (8n 3 1) D． (8n 4 1) 7 7 7 7 10.弹子跳棋共有 60 棵大小相同的球形弹子， 现在棋盘上将它叠成正四面体球垛， 使剩下的弹子尽 可能的少，那么剩下的弹子有（ ） A．3 B．4 C．8 D．9 S1 S 2 S n 11.设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ，令 Tn ，称 Tn 为数列 a1 ， a2 ，„„， an 的“理想 n
4 2
11
11
11
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15．在德国不莱梅举行的第 48 届世乒赛期间，某商场橱窗里用 同样的乒乓球堆成若干准“正三棱锥”形的展品，其中第一堆只 有一层，就一个乒乓球；第 2、3、4、„堆最底层（第一层）分 别按右图所示方式固定摆放.从第一层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第 n 堆第 n 层就 放一个乒乓球， 以 f (n) 表示第 n 堆的乒乓球总数， 则 f (3) ；f (n) （答案用 n 表示） .