八年级第12章全等三角形复习课时1导学案
人教版八年级数学第十二章全等三角形导学案
第十二章全等三角形12.1 全等三角形一、课前预习（一）全等形1.定义：能够完全_____的两个图形.2.特点：_____和_____完全相同.二、全等三角形1.定义：能够完全_____的两个三角形.2.对应元素：两个全等的三角形重合在一起有如下对应元素(1)对应顶点：_____的顶点.(2)对应边：_____的边.(3)对应角：_____的角.3.表示方法：(1)表示：△ABC和△DEF全等，记作△ABC___△DEF.(2)注意：记两个三角形全等时，把表示对应顶点的字母写在_____位置上.4.性质：(1)全等三角形的_______相等.(2)全等三角形的_______相等.思维诊断(打“√”或“×”)(1)两个形状相同的图形是全等形.( )(2)比例尺相同的两张中国地图是全等形.( )(3)所有的正方形都是全等形.()(4)全等三角形的面积相等.()(5)两个三角形全等时，两个三角形中最长的边是对应边. ()二、课内探究知识点 1 找全等三角形的对应元素【例1】如图所示，△ABC≌△EDA，∠BAC与∠DEA是对应角，AB与ED是对应边，写出其他对应边及对应角.【解题探究】1.两个三角形全等时，对应角所对的边是对应边，由∠BAC与∠DEA是对应角可得的一组对应边是什么？2.AB与ED是一组对应边，那么另一组对应边是什么？3.根据对应边所对的角是对应角，可知这两个三角形中未知的两组对应角是什么？【互动探究】此题还有另外的方法找对应边和对应角吗？提示：可以根据所给字母的顺序确定对应关系.【总结提升】确定两个全等三角形对应边、对应角的方法(1)确定对应边的“三种方法”①若全等三角形中有公共边，则公共边是对应边.②若已知对应角或对应顶点，则对应角或对应顶点所对的边为对应边.③若已知全等三角形中有最长(或最短)边，则一对最长(或最短)边是对应边.(2)确定对应角的“四种方法”①若全等三角形中有公共角，则公共角为对应角.②若全等三角形中有对顶角，则对顶角为对应角.③若已知全等形的对应顶点，则以对应顶点为顶点的角为对应角.④若已知全等三角形中有最大(或最小)角，则一组最大(或最小)角是对应角.知识点 2 全等三角形性质的应用【例2】如图所示，已知△ABD≌△ACE，AD=6 cm，AC=4 cm，∠ABD=50°，∠E=30°，求BE的长及∠COD的度数.【思路点拨】△ABD≌△ACE→求AE，AB的长→BE的长；根据∠ABD和∠E的大小→∠BOE的大小→∠COD的大小【总结提升】全等三角形性质的两点应用(1)求线段：全等三角形的对应边相等，可以直接确定对应边的数量关系，也可以间接求解相关线段的长度等.(2)求角：全等三角形的对应角相等，可以直接确定对应角的数量关系，也可以间接求解相关角的大小等.三、限时练习1.一个图形经过下列变换得到的图形与原图形不全等的是( )A.平移B.旋转C.翻折D.放大2．下列四个图形中，与图1全等的是( )3．如图所示，△ABC≌△CDA，且AB与CD是对应边，那么下列说法错误的是( )A.∠1与∠2是对应角B.∠B与∠D是对应角C.BC与AC是对应边D.AC与CA是对应边3题4题5题6题4．如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M，N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是( )A.POB.QPC.MOD.MQ5.如图所示，沿直线AC对折，△ABC与△ADC重合，则△ABC≌______，AB的对应边是______，AC的对应边是______，∠B的对应角是______，∠BCA的对应角是______.6.如图，△ABC≌△ADE，写出其对应顶点、对应边、对应角.7．△ABC与△DEF的边长均为整数，且△ABC≌△DEF，若AB=2，BC=4，△DEF的周长为奇数，则DF的取值为( )A.3B.4C.3或5D.3或4或58．如图，△ABC绕点A旋转到△ADE，则下列说法不正确的是( )A. AB与DE是对应边B. △ABC≌△ADEC. ∠BAD=∠CAED. AC=AE9．如图，△ABC≌△DEF，BE=4，AE=1，则DE的长是( )A.5B.4C.3D.210．如图，将长方形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的F处，如果AD=9 cm，DE=2.4 cm,∠BAF=60°，则AF=________cm,EF=________cm, ∠DAE=________.8题9题10题11题11．如图所示，将△ABC沿直线BC平移到点D，使BC=CD.(1)相等的边有________，相等的角有________.(2)∠ACE=∠E吗？为什么？四、自助练习1.如果∆ABC ≌∆ADC ，AB=AD ，∠B=70°,BC=3cm,那么∠D=____,DC=____cm.2.如果 ∆ABC ≌∆DEF,且∆ABC 的周长为100 cm,A,B 分别与D,E 对应, AB=30 cm,DF=25 cm,则BC 的长为( )A.45 cmB.55 cmC.30 cmD. 25 cm3.如图,矩形ABCD 沿AM 折叠,使D 点落在BC 上的N 点处,如果 AD=7cm,DM=5cm,则AN=___cm,NM=___cm.4.如图所示，已知△ABD ≌△ACE ，AD=6 cm ，AC=4 cm ，∠ABD=50°， ∠E=30°，求BE 的长及∠COD 的度数.5.如图，△ABD ≌△EBC ，AB=2 cm,BC=5 cm,求DE 的长.6、【想一想错在哪？】如图，△ABC ≌△DEF ，则此图中相等的线段有( ) A.1对 B.2对 C.3对 D.4对M DNBC12.2 三角形全等的判定第1课时 SSS一、课前预习1.判定三角形全等的方法： 已知：△ABC.画△A ′B ′C ′，使A ′B ′=AB,B ′C ′=BC,A ′C ′=AC. 请同学们参照下面的步骤画△A ′B ′C ′. (1)画B ′C ′=___.(2)分别以B ′，C ′为圆心，线段___，___长为半径画弧， 两弧相交于点A ′.(3)连接线段_______，_______，得△A ′B ′C ′. 请同学们把画得的△A ′B ′C ′剪下来，放到△ABC 上， 观察可发现△A ′B ′C ′与△ABC_________，即 △A ′B ′C ′___△ABC.【归纳】(1)判定方法： 分别相等的两个三角形全等. (简写成_______或____)(2)应用格式：在△ABC 和△A ′B ′C ′中，∴△ABC ≌△A ′B ′C ′(____).2.用直尺和圆规作一个角等于已知角的依据是 .(打“√”或“×”)(1)当两个三角形的三边和三角中有两个条件分别相等时，这两个三角形不一定全等.( ) (2)当两个三角形的三边和三角中有三个条件分别相等时，这两个三角形可能全等.( ) (3)当一个三角形的三边确定时，这个三角形的形状就确定了. ( ) (4)两个三角形中，只要三条边分别相等，这两个三角形就一定全等.( )AB A B ,BC B C ,AC A C ,=''⎧⎪=''⎨⎪=''⎩∵二、课内探究知识点1 应用“SSS”证明两个三角形全等【例1】如图,点B，C，D，F在同一直线上,已知AB=EC, AD=EF,BC=DF,探索AB与EC的位置关系，并说明理由.【思路点拨】先判定AB与EC的位置关系，由BC=DF先证出BD=CF，再由SSS证出△ABD与△ECF全等，得出∠B=∠ECF，从而得出答案.【总结提升】证明三角形全等的步骤及寻找边相等的方法(1)证明三角形全等的“四个步骤”①准备条件：未知的条件要先证明(公共边相等可以直接应用，不必推理说明).②写出在哪两个三角形中.③列出三个条件用大括号括起来.④写出全等结论.(2)寻找边相等的“三种方法”①图形中的隐含条件，如公共边.②利用线段中点的定义说明边相等.③多条线段共线时，利用线段的和(差)关系证明边相等.知识点2 “SSS”的实际应用【例2】如图是工人师傅自己设计的测量垂直的仪器.仪器中的AB=AC，D是BC的中点，让BC平行于地面，当铅锤经过D点时，工人师傅就断定AD垂直于地面.工人师傅的判断有道理吗？你能说明理由吗？【思路点拨】证△ABD≌△ACD→∠ADB=∠ADC→∠ADB=90°→AD⊥BC→BC∥地面→结论【总结提升】利用“SSS”解决实际问题“三步法”(1)建模：把实际问题转化为数学问题，构造两个三角形.(2)证明：利用“SSS”证明两个三角形全等.(3)应用：应用全等三角形的性质说明线段或角的大小关系.三、限时训练1.下列说法中正确的个数为( )①周长相等的两个三角形全等②周长相等的两个等腰三角形全等③周长相等的两个等边三角形全等④有三条边分别相等的两个三角形全等A.1B.2C.3D.42.如图，已知AB=AC，BD=DC，那么下列结论中不正确的是( )A.△ABD≌△ACDB.∠ADB=90°C.∠BAD是∠B的一半D.AD平分∠BAC3.如图，在△ABC中，AB=AC，EB=EC，则由“SSS”可以判定( )A.△ABD≌△ACDB.△ABE≌△ACEC.△BDE≌△CDED.以上答案都不对2题3题4题5题4.如图，若AB=AC，AD=AE，则需要______条件就可根据“SSS”判断△ABE≌△ACD.5.如图，AC=DF，BC=EF，AD=BE，∠BAC=72°，∠F=32°，则∠ABC=__________.6.如图，已知AB=DC，DB=AC，(1)求证：∠ABD=∠DCA.（注：证明过程要求给出每一步结论成立的依据.）(2)在(1)的证明过程中，需要作辅助线，它的目的是什么？7为稳固电线杆，从A处拉了两根等长的铁丝AC，AD，且C，D到杆脚B的距离相等，则有( )A.∠1>∠2B.∠1<∠2C.∠1=∠2D.∠1与∠2大小不能确定8.小明用四根竹棒扎成如图所示的风筝框架，已知AB=CD，AD=CB，下列判断不正确的是( )A.∠A=∠CB.∠ABC=∠CDAC.∠ABD=∠CDBD.∠ABD=∠C9.长为3 cm，4 cm，6 cm，8 cm的木条各两根，小明与小刚分别取了3 cm和4 cm的两根，要使两人所拿的三根木条组成的两个三角形全等，则他俩取的第三根木条应为( )A.一个人取6 cm的木条，一个人取8 cm的木条B.两人都取6 cm的木条C.两人都取8 cm的木条D. B，C中的两种取法都可以10．如图为一三角形钢架(AB=AC)，为使钢架更坚固，需在点A和BC间做一个支架，且使AD⊥BC于D，但只有一把可测长度的皮尺，应如何确定点D的位置.7题8题10题四、自助练习1、如图，D ，F 是线段BC 上的两点，AB=EC ，AF=ED ，要使△ABF ≌△ECD, 还需要条件2、如图，在四边形ABCD 中AB=CD ，则∠A=∠C ，请说明理由。
新人教版八年级数学上册第十二章 全等三角形 导学案
新人教版八年级数学上册第十二章全等三角形导学案一、本章地位中学阶段重点研究的两个平面图形间的关系是全等和相似，本章以三角形为例研究全等．对全等三角形研究的问题和研究方法将为后面相似的学习提供思路，而且全等是一种特殊的相似，全等三角形的内容是学生学习相似三角形的重要基础．本章还借助全等三角形进一步培养学生的推理论证能力，主要包括用分析法分析条件与结论的关系，用综合法书写证明格式，以及掌握证明几何命题的一般过程．由于利用全等三角形可以证明线段、角等基本几何元素相等，所以本章的内容也是后面将学习的等腰三角形、四边形、圆等内容的基础．二、课程学习目标（1）理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角，掌握并能运用全等三角形的性质．（2）经历探索三角形全等条件的过程，掌握判定三角形全等的基本事实（“边边边”“边角边”和“角边角”）和定理（“角角边”），能判定两个三角形全等．（3）能利用三角形全等证明一些结论．（4）探索并证明角平分线的性质定理，能运用角的平分线的性质．三、本章知识结构图四、课时安排：共安排11课时（仅供参考）12．1 全等三角形 1课时12．2 三角形全等的判定6课时12．3 角的平分线的性质 2课时数学活动小结 2课时五、教学建议1．用研究几何图形的基本思想和方法贯穿本章的教学学生在前面的几何学习中研究了相交线与平行线、三角形等几何图形，对于研究几何图形的基本问题、思路和方法形成了一定的认识，本章在教学中要充分利用学生已有的研究几何图形的思想方法，用几何思想贯穿全章的教学．2．让学生充分经历探究过程本章在编排判定三角形全等的内容时构建了一个完整的探究活动，包括探究的目标、探究的思路和分阶段的探究活动．教学中可以让学生充分经历这个探究过程，在明确探究目标、形成探究思路的前提下，按计划逐步探索两个三角形全等的条件．本章在编排中将画图与探究三角形的全等条件结合起来，既有用尺规画一个三角形与已知三角形全等，又有用技术手段根据已知数据画三角形．教学中要充分利用探索画图方法的过程对形成结论的价值，让学生自主探索画图的步骤、创设多种画法、解释作图依据等，在活动中发现结论．3．重视对学生推理论证能力的培养本章是初中阶段培养逻辑推理能力的重要内容，主要包括证明两个三角形全等，通过证明三角形全等从而证明两条线段或两个角相等．教学中要在学生已有推理论证经验的基础上，利用三角形全等的证明，进一步培养学生推理论证的能力．按照整套教科书对推理能力培养的循序渐进的目标，本章的教学重点是引导学生分析条件与结论的关系，书写严谨的证明格式，对于以文字形式给出的几何命题，从具体问题的证明中总结出证明的一般步骤．六、具体内容 12．1 全等三角形【教学重点】1．理解全等三角形的概念；2．能识别全等三角形中的对应边、对应角； 3．初步掌握并能运用全等三角形的性质． 【教学难点】在全等三角形中正确地找出对应边、对应角． 第一课时：全等三角形 【参考例题】1．下面是两个全等的三角形，按下列图形的位置摆放，指出它们的对应顶点、对应边、对应角．2．如图1，△ADC ≌△AEB ， 30,43=∠=∠B A ，求ADC ∠的大小．3．如图2，△EFG ≌△NMH ，∠F 和∠M 是对应角，在△EFG 中，FG 是最长边，在△NMH 中，MH 是最长边，EF =2.1㎝，EH =1.1㎝，HN =3.3㎝．求线段MN 及线段HG 的长度．4．如图3，把△ABC 绕点C 顺时针旋转35度，得到△A ′B ′C ，A ′B ′交AC 于点D ，已知 ∠A ′DC =90°，则∠A = ．o OB ACD AB C D AB CDCA B DC A BD O A BC D C BDDA B C D C A B D B C AD FE AB CD E图1 图2图3N B C A D M D F EA B C 练习:1．全等用符号 表示，读作： ．2．若△ABC ≌△DEF ，则∠B = ，∠BAC = ，BC = ， AC = ． 3．判断题1）全等三角形的对应边相等，对应角相等．（ ） 2）全等三角形的周长相等．（ ） 3）全等三角形的面积不相等．（ ） 4．找一找① 若△AOC ≌△BOD ，AC =_______ ∠A ＝______ ② ②若△ABD ≌△ACE ，BD ＝ ∠BDA ＝③若△ABC ≌△CDA ，AB = ∠BAC ＝_____ 5．拼一拼请你利用两个全等三角形画出有公共顶点或公共边或公共角的图形． 有公共边： 有公共点： 6．如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M 、N 的距离，如果△PQO ≌△NMO ，则只需测出其长度的线段是A ．POB ．PQC ．MOD ．MQ7．如图，长方形ABCD 沿AM 折叠，使D 点落在BC 上的N 点处，AD =7cm ，DM =5cm ，∠DAM =39°，则△ABC ≌△ EFD AN =___cm ， NM =___cm ， ∠NAB =___． 8．△ABC ≌△FED（1）写出图中相等的线段，相等的角；（2）图中线段除相等外，还有什么关系吗．CA DBO B AC D E AD BCB HAD CA DBC12．2 三角形全等的判定 【教学重点】1．探索判定三角形全等的条件； 2．利用三角形全等进行简单的证明． 【教学难点】利用三角形全等的判定方法进行推理论证． 第二课时：三角形全等的判定SSS (一) 【参考例题】1．如图，AB ＝AC ，BD ＝CD ，BH ＝CH ，图中有几组全等的三角形．它们全等的条件是什么．2．如图，已知AB =CD ，BC =DA ．你能说明△ABC 与△CDA 全等吗．你能说明AB ∥CD ，AD ∥BC 吗．为什么．练习：1．如图，在四边形ABCD 中，AB =AD ，CB =CD ．求证：∠B =∠D ． 2．如图，已知点A ，D ，C ，F 在同一条直线上，AB =DE ，BC =EF ，要使△ABC ≌△DEF ，还需要添加一个条件是A .∠BCA =∠F B. AD =CF C.BC ∥EF D. ∠A =∠EDF3．如图，等腰梯形ABCD 中，点M 是AD 的中点，且MB =MC ，若AD =4，AB =6，BC =8，则梯形ABCD 的周长为A ．22B ．24C ．26D ．28 4. （202X 广西玉林）根据图中尺规作图的痕迹，先判断得出结论： ，然后证明你的结论（不要求写已知、求证）ABCDEFDFOE 第三课时：三角形全等的判定SAS (二) 【课堂练习】练习一 ：在下列图中找出全等三角形，并把它们用线连起来．【例题】1．如图，AC =BD ，∠CAB = ∠DBA ，你能判断∠C =∠D 吗．说明理由． 2．如图，有—池塘，要测池塘两端A 、B 的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A 和B 的点C ，连接AC 并延长到D ，使CD ＝CA ，连接BC 并延长到E ，使CE ＝CB ．连接DE ，那么量出DE 的长就是A 、B 的距离，为什么．练习：1．如图CE =CB ，CD =CA ，∠DCA =∠ECB ，求证：DE =AB ．2．如图，AB =AE ，AD =AC ，∠BAD =∠EAC ，BC 、 DE 交于点O ． 求证：∠ABC =∠AED ．Ⅰر30º8 cm9 cmⅥ30º8 cm8 cmⅣ Ⅳ8cm5 cmⅡ30ºر8cm5 cmⅤ3xm8 cmⅧ8 cm5 cmر30º8cm9 cmⅦⅢر30º8cm8cmⅢ OEDCBAA BCD3．如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 是BC 的中点，点E 在AD 上．求证：（1）△ABD ≌△ACD ，（2）BE =CE4．小明用六根竹签做了一个如图所示的风筝，其中ED =FD ，HE =HF ．小明不测量就能知道EO =FO ．你知道小明是怎样想的．5. (202X 杭州)如图，在△ABC 中，已知AB =AC ，AD 平分∠BAC ，点M 、N 分别在AB 、AC 边上，AM =2MB ，AN =2NC ，求证：DM =DN6.（202X 燕山毕业）如图，点E ，F 在线段AC 上，AB ∥CD ，AB ＝CD ，AE ＝CF ． 求证：BE ＝DF ．7. （202X 丰台一模）已知：如图，点B ，F ，C ，E 在 一条直线上，BF ＝CE ，AC ＝DF ，且AC ∥DF . 求证：∠B =∠E .8. （202X 平谷一模）如图，AB =AD ，AC =AE ，∠CAD =∠EAB ．求证：BC =DE ．C BN M AA B C D E F F D E CB AMDECBA第四课时：三角形全等的判定ASA ，AAS (三) 【参考例题】 1．已知：点D 在AB 上，点E 在AC 上，BE 和CD 相交于点O ，AB =AC ，∠B =∠C ， 求证：BD =CE ． 2．在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BC =2cm ，CD ⊥AB ，在AC 上取一点E ，使EC =BC ，过点E 作EF ⊥AC 交CD 的延长线于点F ，若EF =5cm ，则AE = cm ．3．如图，点A 、B 、D 、E 在同一直线上，AD =EB ，BC ∥DF ，∠C =∠F ，求证：AC =EF ．练习：1．如图，在△AEC 和△DFB 中，∠E =∠F ，点A ，B ，C ，D 在同一直线上，有如下三个关系式：①AE ∥DF ，②AB =CD ，③CE =BF ．（1）请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出你认为正确的所有命题（用序号写出命题书写形式：“如果，，那么”） ，（2）选择（1）中你写出的一个命题，说明它正确的理由．2．如图，在△ABC 中，o90C ∠=，点D 是AB 边上一点，DM AB ⊥且DM AC =，过点M 作ME ⊥BC ，交AB 于点E ．求证：△ABC ≌△MED ．3. （202X 永州）如图，在△ABC 中，已知∠1=∠2，BE =CD ，AB =5，AE =2，则CE = ．4. （202X 通辽）如图，四边形ABCD 中，E 点在AD 上，其中∠BAE =∠BCE =∠ACD =90°，且BC =CE ，求证：△ABC 与△DEC 全等．DB E AOCFDCBAE5.（202X 海淀一模）如图，点A ，B ，C ，D 在同一条直线上，AB=FC ，∠A =∠F ，∠EBC =∠FCB ． 求证： BE=CD ．6. （202X 门头沟一模）如图，点A 、B 、C 、D 在同一条直线上，BE ∥DF ，∠A =∠F ，AB =FD ．求证：AE =FC ．7. 如图，点O 是直线l 上一点，点A 、B 位于直线l 的两侧，且∠AOB =90°，OA =OB ，分别过A 、B 两点作AC ⊥l ，交直线l 于点C ，BD ⊥l ，交直线l 于点D ．求证：AC =OD ．8. （202X 西城一模）如图，∠C =∠E ，∠EAC =∠DAB ，AB=AD ．求证：BC=DE ．9. （202X 昌平二模）如图，AB AD ⊥，AE AC ⊥，E C ∠=∠，DE BC =． 求证：AD AB =10. （202X 海淀二模）如图，已知∠BAC =∠BCA ，∠BAE =∠BCD =90°， BE=BD ．求证：∠E =∠D ．11. （202X 朝阳二模）已知：如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC=BC ，BE ⊥CE 于点E ，AD ⊥CE 于点D . 求证：BE=CD ．EA DFB C E D C B ADA C.,,AD BC BD AC AD BD BC AC ==⊥⊥求证：如图，例第五课时 ： 全等三角形的判定（四） HL 【参考例题】练习：1.如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上， 另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗 杆底部的距离相等吗．请说明你的理由． 2.如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度 AC 与右边滑梯水 平方向的长度DF 相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC 和∠DFE 的大小有什么关系．3．求证：有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等． 4．如图6，A ，F 和B 三点在一条直线上，CF ⊥AB 于 F ， AF ＝FH ， CF ＝FB ．求证： BE ⊥AC ． 第六课时：全等三角形的习题课 【复习小结】全等的常见图形判定两个三角形全等的方法有：______________________________________________.A CAD E D ABEFAC BDEA B OD CABODCAE FCDABED C BACD O F BCADB DCAEBAEDBEACD【练习】1．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，作射线AD，在线段AD及其延长线上分别取点E、F，连接CE、BF．添加一个条件，使得△BDF≌△CDE，并加以证明．你添加的条件是．（不添加辅助线）．2．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF=5cm，求AE．3．如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，∠B=∠C．求证：BE=CD．4.如图，点B在射线AE上，∠CAE=∠DAE，∠CBE=∠DBE．求证：AC=AD．5．如图，点A、B、D、E在同一直线上，AD=EB，BC∥DF，∠C=∠F．求证：AC=EF．6.（202X宜昌）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD=CD，AB=CB，詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论：①AC⊥BD；②AO=CO=AC；③△ABD≌△CBD，其中正确的结论有（）A．0个B．1个C．2个D．3个12．3 角的平分线的性质（一）【教学重点】1．探索并证明角的平分线的性质定理及其逆定理；2．能用角的平分线的性质解决简单问题．【教学难点】利用角的平分线的性质定理解题． 【参考例题】1．如图1，AB =AC ，BD =CD ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ．求证：DE =DF ．2．如图2，D 、E 、F 分别是△ABC 的三边上的点，CE =BF ，△DCE 和△DBF 的面积相等． 求证：AD 平分∠BAC ． 练习：1．已知△ABC 中，∠A =80°，∠B 和∠C 的角平分线交于O 点，则∠BOC = ．2．如图，已知相交直线AB 和CD ，及另一直线EF ．如果要在EF 上找出与AB 、CD 距离相等的点，方法是 ，这样的点至少有 个，最多有 个．3.如图所示，已知△ABC 中，∠C =90°，AC =BC ，AD 平分∠CAB ，交BC 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，且AB =6 cm ,则△DEB 的周长为 A .9 cmB .5 cmC .6 cmD .不能确定4.如图，AB //CD ，CE 平分∠ACD ，若∠1=250，那么∠2的度数 是 . 5．如图，OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥， 垂足分别为A ，B ．下列结论中不一定成立的是E F B C A D 图1AB C D FE 图2APA ．PA PB = B ．PO 平分APB ∠C ．OA OB =D ．AB 垂直平分OP6. （202X •永州）如图，在四边形ABCD 中，AB =CD ，BA 和CD 的延长线交于点E ，若点P 使得S △P AB =S △PCD ，则满足此条件的点P （ ） A ．有且只有1个 B ．有且只有2个 C ．组成∠E 的角平分线D ．组成∠E 的角平分线所在的直线（E 点除外） 角平分线的性质（二）【复习】1．如图所示，在△ABC 中，∠A ＝90°，BD 平分∠ABC ，AD ＝2 cm ，则点D 到BC 的距离为________cm ．2．如图，在△ABC 中，∠C ＝900，BC ＝40，AD 是∠BAC 的平分线交BC 于D ，且DC ∶DB ＝3∶5，则点D 到AB 的距离是 ． 3．如图，已知BD 是∠ABC 的内角平分线，CD 是∠ACB 的外角平分线，由D 出发，作点D 到BC 、AC 和AB 的垂线DE 、DF 和DG ，垂足分别为E 、F 、G ，则DE 、DF 、DG 的关系是 ． 4.AD 是△BAC 的角平分线，自D 向AB 、AC 两边作垂线，垂足为E 、F ，那么下列结论中错误的是 A ．DE =DF B ．AE =AF C ．BD =CD D ．∠ADE =∠ADF5．如图，已知AB ∥CD ，O 为∠A 、∠C 的角平分线的交点，OE ⊥AC3题图 DCBA于E ，且OE =2，则两平行线间AB 、CD 的距离等于 ． 6．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ） A ．三条中线的交点B ．三条高的交点C ．三条边的垂直平分线的交点D ．三条角平分线的交点【例题】1．如图，已知AC ∥BD 、EA 、EB 分别平分∠CAB 和△DBA ，CD 过点E ，则AB 与AC +BD •相等吗．请说明理由．2．在△ABC 中，∠B =60°，∠A ，∠C 的角平分线AE ，CF 相交于点O ， （1）如图1，若AB =BC ，求证：OE =OF ；（2）如图2，若AB ≠BC ，试判断线段OE 与OF 是否相等，并说明理由练习：1.如图，已知BD ⊥AE 于B ，DC ⊥AF 于C ，且DB ＝DC ，∠BAC ＝40o，∠ADG ＝130o，则∠DGF ＝_________(1题图) （2题图） （3题图） 2．如图，在△ABC 中，∠C ＝90o，AM 是∠CAB 的平分线，CM ＝20cm ，那么M 到AB 的距离为 ．3.如图，∠B ＝∠C ＝90o，M 是BC 上一点，且∠AMD ＝90o，DM 平分∠ADC ， 求证：AM 平分∠DAB ．DCABEABCD EFGM CB AMD CBAEDFCBAFED CBAABCDEONMP CBA DCBA4.如图，BD ＝CD ，BF ⊥AC ，CE ⊥AB ．求证：D 在∠BAC 的角平分线上．（4题图） （5题图） （6题图） 5.已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90o，AC ＝BC ，AD 为∠BAC 的平分线，AE ＝BC ，DE ⊥AB 垂足为E ，求证△DBE 的周长等于AB ．6.如图，已知P A ⊥ON 于A ，PB ⊥OM 于B ，且P A ＝PB ．∠MON ＝50o，∠OPC ＝30o，求∠PCA的大小．专题练习1：常见辅助线 1.倍长中线法【例1】如图，△ABC 中，AD 为中线．(1)求证：AB +AC >2AD ；(2)若AB =5，AC =3，则中线AD 的取值范围是_________________． 【例2】如图，△ABC 中，E 、F 分别在AB 、AC 上，DE ⊥DF ，D 是中点．试比较BE +CF 与EF 的大小．练习：1.已知：如图，AD 是△ABC 的中线，AB =AE ， AC =AF ，∠BAE =∠F AC =90°.试探究线段AD 与EF 数量和位置关系.提示：F2．如图，已知AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于E ， 提示：交AD 于F ，且AE =EF ．求证：AC =BF2. 截长补短法【例1】如图，AD ∥BC ，EA ，EB 分别平分∠DAB ，∠ABC ，CD 过点E ．求证：AB ＝AD +BC ．【例2】如图，在四边形ABCD 中，BC ＞BA ，AD ＝CD ，BD 平分ABC ∠，求证： 180A C ︒∠+∠=．练习：1. 已知: 如图，在△ABC 中，AB = AC ，D 为△ABC 外一点， ∠ABD = 60︒，∠ADB = 90︒ -12∠BDC . 求证: AB = BD + DC提示：ABCDEFGAB CE FDDEOEDCBA3.借助角平分线造全等【例1】如图，已知在△ABC 中，∠B =60°，△ABC 的角平分线AD ，CE 相交于点O ，求证：OE =OD【例2】如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DG ⊥BC 且平分BC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F .（1） 说明BE =CF 的理由；（2）如果AB =a ，AC =b ，求AE 、BE 的长. 练习：1.已知△ABC 中，∠B =2∠A ，AB =2BC求证：△ABC 是直角三角形.提示：4.三垂直问题 基本图形：E DGFCBAA B CB 【例1】如图，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，D 为AC 上一点，分别过A 、C 作BD 的垂线，垂足分别为E 、F ， 求证：△ABE ≌△CBF练习：如图，已知AC ⊥AB ，DB ⊥AB ，AC ＝BE ，AE ＝BD ，试猜想线段CE 与DE 的大小与位置关系，并证明你的结论. 5.共顶点的两个特殊的图形（手拉手） 基本图形【例1】 已知：如图，ABC ∆中，AB =BC ，90ABC ∠=︒，点D 在 AC 上，90DBE ∠=︒ ，BE =BD .求证：CD =AE .【例2】 如图所示，已知AE ⊥AB ，AF ⊥AC ，AE =AB ，AF =AC ．求证：（1）EC =BF ，（2）EC ⊥BF练习：如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AC =2AB ，点D 是AC 的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A 、D 重合，连结BE 、EC ． 试猜想线段BE 和EC 的数量及位置关系，并证明你的猜想．A C ED B ∠1=∠2⇒∠AOC=∠BODA EB M CFAB C D E 21ODCBA七、与中考链接 （一） 基础题1．(06北京) 已知：如图，AB ∥ED ，点F 、点C 在AD 上，AB =DE ，AF =DC ． 求证：BC =EF ．2. (07北京)已知：如图，OP 是AOC ∠和BOD ∠的平分线，OA OC OB OD ==，．求证：AB CD =．3．(08北京) 已知：如图，C 为BE 上一点， 点A 、D 分别在BE 两侧，AB ∥ED ，AB =CE ，BC =ED ． 求证：AC =CD ．4．(09北京) 已知：如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于点D ，点E 在AC上，CE =BC ，过E 点作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F ．求证：AB =FC ．5．(10北京) 已知：如图，点A B C D 、、、在同一条直线上，EA AD ⊥，FD AD ⊥，AE DF =，AB DC =．求证：ACE DBF ∠=∠．6．(11北京) 已知：如图，点A 、C 、B 、D 在同一条直线上，BE //DF ，A F ∠=∠，AB FD =．求证：AE FC =．7． (12北京) 已知：如图，点E ，A ，C 在同一直线上，AB // CD ，AB CE =，AC CD =．BC F EDAEB ACO D P求证：BC ED =．8． (13北京) 已知：如图，D 是AC 上一点，AB =DA ，DE ∥ AB ，B DAE ∠=∠．求证：BC =AE ．9． (14北京) 已知：如图，点B 在线段AD 上，BC DE ∥，AB ED =，BC DB =．求证：A E ∠=∠．10.（15北京）如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD 是BC 边上的中线，BE AC ⊥于点E .求证：CBE BAD ∠=∠.AB C D E。
人教版八年级上册第十二章《全等三角形》复习导学案-精选教学文档
第 1 页第十二章《全等三角形》复习导学案学习目标：（1）回顾全等三角形的概念、性质、判定方法，利用全等三角形的性质和判定进行计算和证算。
（2）让学生经历观察、猜想、证明、归纳的过程，发展学生合情合理的推理能力，渗透转化的数学思想。
（3）引导学生共同参与，激发数学求知欲，并养成良好的数学学习惯。
学习重难点：重点：利用全等三角形的性质和判定进行计算和证明。
难点：全等三角形的构造与证明。
一、构建全等三角形知识结构图二、自主学习重难点一 全等三角形的对应关系例1 如图，△OCA ≌△OBD ，C 和B ，A 和D 是对应顶点，请指出这两个三角形中相等的边和角． 跟踪训练1.如同△ABC ≌△CDA,且AB=CD,则下列结论错误的是（ ） A.AC 和CA 是对应边 B.∠B 和∠D 是对应角 C.DA 和BC 是对应边 D.∠DAC=∠BAC重难点二 全等三角形的性质例2 已知△ABC ≌△A ’B ’C ’,且△ABC 的周长为20。
AB=8,BC=5,则A ’C ’等于 分析：根据全等三角形对应边相等可以得到全等三角形的周长相等。
跟踪训练重难点三 三角形全等的判定 重难点四 角平分线的性质 重难点五 文字命题的证明步骤：1.明确命题中的已知和求证；2.根据题意画出图形，并用数学符号表示已知和求证；3.经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。
三、合作研讨3、如图：在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC ，过点C 在△ABC 外作直线MN ，AM ⊥MN于M ，BN ⊥MN 于N 。
求证：MN=AM+BN 。
4、如图，△AEC 和△DFB 中，点A ，B ，C ，D 在同一直线上，有如下四个关系式： ①AE∥DF， ②AB=CD， ③CE=BF ④∠E=∠F，。
（1）请用其中三个关系式作为条件，另一个作为结论，写出你认为正确的所有命题（用序号写出命题书写形式：“如果，，，那么”）；（2）选择（1）中你写出的一个命题，说明它正确的理由。
人教版八年级上册第十二章《全等三角形》复习导学案
第十二章《全等三角形》复习导教案追踪训练学习目标：（ 1）回首全等三角形的观点、性质、判断方法||，利用全等三角形的性质和判断进行计算和证算||。
（ 2）让学生经历察看、猜想、证明、概括的过程||，发展学生通情达理的推理能力||。
（ 3）指引学生共同参加 ||，激发数学求知欲 ||，并养成优秀的数学学习惯 ||。
学习重难点：||。
要点：利用全等三角形的性质和判断进行计算和证明难点：全等三角形的结构与证明||。
一、建立全等三角形知识结构图二、自主学习重难点一全等三角形的对应关系例 1 如图 ||，△ OCA≌△ OBD||，C 和 B||， A 和 D 是对应极点 ||，请指出这两个三角形中相等的边和角．追踪训练1.好像△ ABC ≌△ CDA||，且 AB=CD|| ，则以下结论错误的选项是（）A.AC 和 CA 是对应边B.∠B 和∠D 是对应角C.DA 和 BC 是对应边D.∠ DAC= ∠BAC重难点二全等三角形的性质例 2 已知△ ABC ≌△ A’B’C’||，且△ ABC 的周长为BC=5||，则 A’C’等于剖析：依据全等三角形对应边相等能够获得全等三角形角形全等的判定重难点四角均分线的性质重难点五文字命题的证明步骤： 1.明确命题中的已知和求证；2.依据题意画出图形||，并用数学符号表示已知和求证；3.经过剖析 ||，找出由已知推出求证的门路||，写出证明过程||。
三、合作商讨3、如图：在△ ABC 中 ||，∠C=90° ||，AC=BC|| ，过点 C 在△ ABC 外作直AM ⊥ MN 于 M|| ，BN ⊥MN 于 N||。
求证： MN=AM+BN|| 。
4、如图 ||，△ AEC 和△ DFB 中||，点 A||，B||，C||，D 在同向来线上个关系式：①AE ∥DF||，②AB=CD|| ，③CE=BF④∠ E=∠ F||，||。
（1）请用此中三个关系式作为条件 ||，另一个作为结论 ||，写出你以为正命题（用序号写出命题书写形式：“假如 ||， ||， ||，那么”）；第1页/共2页（2）选择（ 1）中你写出的一个命题||，说明它正确的原因 ||。
部编版人教数学八年级上册《第十二章(全等三角形)全章学案》最新精品优秀打印版整章导学案
最新精品部编版人教初中八年级数学上册第十二章全等三角形优秀学案（全章完整版）B AC 前言：该学案由多位一线国家特级教师根据最新课程标准的要求和教学对象的特点结合教材实际精心编辑而成。
实用性强。
高质量的学案是高效课堂的前提和保障。
（最新精品学案）12.1 全等三角形一.学习目的1.掌握全等三角形的性质。
2.在学习过程中培养学生的观察力和归纳能力。
3.增强学生的数学学习兴趣。
二.学习重难点全等三角形的性质及对应边和对应角的认识。
第一课时 全等三角形的性质（一）构建新知1.阅读教材31～32页（1）观察比较图（1）和图（2）①发现这两个图形_________和____________形同。
②__________和______________相等。
（2）△ABC________△EDF 。
（3）右图，在△ABC 和△EFD 中，①AB 的对应边______，BC 的对应边______， CA 的对应边______； ②∠A 的对应角______，∠B 的对应角______， ∠C 的对应角______； ③E 的对应点______，D 的对应点______， F 的对应点______；（二）合作学习1.如图，在四边形A BCD 中，若△ABC ≌△CDA 。
（1）点A 的对应点是________，点B 的对应点是________，点C 的对应点是________。
（2）AB 的对应边是__________，AC 的对应边是__________，AD 的对应边是__________。
（3）∠DAC 的对应角是_________，∠ADC 的对应角是_________， ∠ACD 的对应角是_________。
（三）课堂检查1. 如图，△ABD ≌△CBD ，若∠A=80°，∠ABC=70°，则∠ADC 的度数为________。
2. 如图，△ACB ≌△A′CB′，∠BCB′=30°，则∠ACA′的度数为________。
第十二章全等三角形总复习导学案(付淑)
《全等三角形》复习学案复习目标1. 全等三角形的概念和性质。
2.掌握全等三角形的判定条件 ，并能进行简单的证明和计算。
3.掌握角平分线的性质及判定，并能灵活应用。
题组练习一（问题习题化）1．（2013•柳州）如图，△ABC ≌△DEF ，请根据图中提供的信息，写出x =4．（2013•铁岭）如图，在△ABC 和△DEC 中，已知AB =DE ，还需添加两个条件才能使△ABC ≌△DEC ，不能添加的一组条件是（ ）A ．BC =EC ，∠B =∠E B ．BC =EC ，AC =DC C ．BC =DC ，∠A =∠D D ．∠B =∠E ，∠A =∠D 3．（2013•巴中）如图，已知点B 、C 、F 、E 在同一直线上，∠1=∠2，BC =EF ，要使△ABC ≌△DEF ，还需添加一个条件，这个条件可以是2.如图，在ABC △中，90C ∠=，AD 平分CAB ∠，8cm 5cm BC BD ==，，那么D 点到直线AB 的距离是 cm ．梳理知识点：。
一、全等图形的定义和性质 1．概念能够 的两个图形叫做全等图形． 能够 的两个三角形叫做全等三角形． 2．性质全等图形的__________、__________相等． 二、全等三角形的性质与判定 1．全等三角形的性质全等三角形的__________、__________分别相等． 2．全等三角形的判定(1)有三边对应相等的两个三角形全等，简记为( )；(2)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为( )； (3)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简记为( )； (4)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为( )； (5)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简记为( )．三、角平分线的性质与判定1.角平分线的性质：__________角平分线的判定：__________B题组练习二（知识网络化）7．（2013•舟山）如图，△ABC 与△DCB 中，AC 与BD 交于点E ，且∠A =∠D ，AB =DC ．（1）求证：△ABE ≌△DCE ； （2）当∠AEB =50°，求∠EBC 的度数？6.如图，CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，OB ＝OC.求证：∠1＝∠2.5.如图，AB ＝DE ，AC ＝DF ，BE ＝CF.求证：AB ∥DE.题组练习三（选做题）如图，∠ACB=90°,AC=BC ，BE ⊥CE ，AD ⊥CE. 求证：△ACD ≌△CBE.21E D C BAOABCDE FABCDE。
2022年人教版八年级上第12章《全等三角形》全章导学案
第十二章全等三角形12．1全等三角形1．知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素．2．知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等．3．能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边．重点：掌握全等三角形的对应元素和性质的应用．难点：全等三角形性质的应用．一、自学指导自学：自学课本P31－32页“探究、思考1、思考2〞，理解“全等形〞“全等三角形〞的概念及其对应元素，掌握全等三角形的性质及应用，完成填空．(5分钟) 总结归纳：(1)形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合，能够完全重合的两个图形叫做全等形．能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．(2)全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(7分钟)1．以下列图形中的全等图形是d与g，e与h.2．如图，△ABC与△DEF能重合，那么记作△ABC≌△DEF，读作△ABC全等于△DEF，对应顶点是：点A与点D，点B与点E，点C与点F；对应边是：AB与DE，AC与DF，BC与EF；对应角是：∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F．,第2题图),第3题图)3．如图，△OCA≌△OBD，C和B，A和D是对应顶点，相等的边有AC＝DB，AO ＝DO，CO＝BO，相等的角有∠A＝∠D，∠C＝∠B，∠COA＝∠BOD．点拨精讲：通常把对应顶点的字母写在对应的位置上．4．△OCA≌△OBD，假设OC＝3 cm，BD＝4 cm，OD＝6 cm.那么△OCA的周长为13_cm；假设∠C＝110°，∠A＝30°，那么∠BOD＝40°．点拨精讲：全等三角形的对应边、对应角、周长分别对应相等．小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(13分钟)探究1如图，下面各图的两个三角形全等，指出它们的对应顶点、对应边、对应角，其中△ABC可以经过怎样的变换得到另一个三角形？点拨精讲：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形全等，这也是寻求全等的一种策略．解：①△ABC≌△DEF，A和D，B和E，C和F是对应顶点，AB与DE，AC与DF，BC与EF是对应边，∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F是对应角，△DEF是△ABC经过平移得到的．②△ABC≌△DBC，A和D，B和B，C和C是对应顶点，AB与DB，AC与DC，BC与BC是对应边，∠A与∠D，∠ABC与∠DBC，∠ACB与∠DCB是对应角，△DBC是△ABC 沿BC所在直线向下翻折得到的．③△ABC≌△AED，A和A，B和E，C和D是对应顶点，AB与AE，AC与AD，BC与ED是对应边，∠BAC与∠EAD，∠B与∠E，∠C与∠D是对应角，△AED是△ABC绕点A 旋转180°得到的．探究2如图，△ABC≌△DEF，AB＝DE，AC＝DF，且点B，E，C，F在同一条直线上．(1)求证：BE＝CF，AC∥DF；(2)假设∠D＋∠F＝90°，试判断AB与BC的位置关系．解：(1)证明：∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF，∠ACB＝∠DFE，∴AC∥DF，BC－EC＝EF－EC，∴BE＝CF.(2)结论：AB⊥BC.证明：∵△ABC≌△DEF，∴∠A＝∠D，∠ACB＝∠F，∵∠D＋∠F＝90°，∴∠A＋∠ACB ＝90°，∴∠B＝90°，∴AB⊥BC.学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)1．如图，△ABC≌△CDA，求证：AB∥CD.证明：∵△ABC≌△CDA，∴∠BAC＝∠DCA，∴AB∥CD.2．如图，△ABE≌△ACD，∠ADE＝∠AED，∠B＝∠C，指出其他的对应边和对应角．解：对应边有AB与AC，AE与AD，BE与CD，对应角有∠BAE＝∠CAD.(3分钟)找对应元素的常用方法有两种：(一)从运动角度看1．翻折法：找到中心线，沿中心线翻折后能相互重合，从而发现对应元素．2．旋转法：三角形绕某一点旋转一定角度能与另一个三角形重合，从而发现对应元素．3．平移法：沿某一方向平移使两个三角形重合来找对应元素．(二)根据位置元素来推理1．全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．2．全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)(10分钟)三角形全等的判定(1)1．掌握三角形全等的判定(SSS )，掌握简单的证明格式．2．初步体会尺规作图．重、难点：掌握三角形全等的判定(SSS )．一、自学指导自学1：自学课本P35－36页“探究1，探究2及例1〞，掌握三角形全等的判定条件SSS ，并掌握简单的证明格式，了解三角形的稳定性，完成填空．(7分钟)画△ABC ：①使AB ＝3 cm ；②使AB ＝3 cm ，BC ＝4 cm ；③使AB ＝3 cm ，BC ＝4 cm ，AC ＝5 cm ；④使∠A ＝30°；⑤使∠A ＝30°，∠B ＝50°；⑥使∠A ＝30°，∠B ＝50°，∠C ＝100°.每画完一个，与同桌画的三角形比照一下，形状与大小是一样的吗？总结归纳：(1)三角形的一个或两个元素，三角形的形状和大小不能确定，三个角相等的三角形形状确定，但大小不确定．(2)三边分别相等的两个三角形全等，简写成边边边或SSS ．(3)三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小也就确定了．自学2：自学课本P36－37页“探究与例题〞，利用尺规作图画一个角等于角，初步体会尺规作图．(3分钟)点拨精讲：用尺规作图作一个角等于角的依据是“三边对应相等的两个三角形全等〞，可通过添加辅助线构造全等三角形加以证明．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(5分钟)1．在△ABC 和△DEF 中，假设AB ＝DE ，BC ＝EF ，AC ＝DF ，那么△ABC ≌△DEF ．2．假设两个三角形全等，那么它们的三边对应相等；反之，假设两个三角形的三边对应相等，那么这两个三角形全等．3．以下命题正确的选项是(A )A ．有一边对应相等的两个等边三角形全等B ．有两边对应相等的两个等腰三角形全等C ．有一边对应相等的两个等腰三角形全等D ．有一边对应相等的两个直角三角形全等4．AB ＝3，BC ＝4，AC ＝6，EF ＝3，FG ＝4，要使△ABC ≌△EFG ，那么EG ＝6． 小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟)探究1 如图，AB ＝AD ，CB ＝CD ，求证：(1)△ABC ≌△ADC ；(2)∠B ＝∠D.证明：(1)连接AC ，在△ABC 与△ADC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，AC ＝AC ，BC ＝DC ，∴△ABC ≌△ADC(SSS )．(2)∵△ABC ≌△ADC ，∴∠B ＝∠D.点拨精讲：在证明过程中善于挖掘如“公共边〞这个隐含条件，可以考虑添加辅助线．探究2 如图，△ABC 是一个风筝架，AB ＝AC ，AD 是连接A 与BC 中点D 的支架，求证：AD ⊥BC.证明：∵点D 的BC 中点，∴BD ＝CD ，∴在△ABD 与△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，BD ＝CD ，BD ＝AC ，∴△ABD≌△ACD(SSS )，∴∠ADB ＝∠ADC ，∵∠ADB ＋∠ADC ＝180°，∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°，∴AD ⊥BC.学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)1．如图，AD ＝BC ，AC ＝BD ，求证：(1)∠DAB ＝∠CBA ；(2)∠ACD ＝∠BDC.证明：(1)在△ABD 与△BAC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BA ，AD ＝BC ，AC ＝BD ，∴△ABD ≌△BAC(SSS )，∴∠DAB ＝∠CBA.(2)在△ADC 与△BCD 中，⎩⎪⎨⎪⎧DC ＝CD ，AD ＝BC ，AC ＝BD ，∴△ADC ≌△BCD(SSS )，∴∠ACD ＝∠BDC.点拨精讲：三角形全等的判定与性质的应用经常交替使用．(3分钟)本节课我们探索得到了三角形全等的条件，发现了证明三角形全等的一个规律SSS ，并利用它可以证明简单的三角形全等问题．添加辅助线构造公共边，可以为证明两个三角形全等提供条件，证明两个三角形全等是证明线段相等或角相等的重要方法．(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)(10分钟)三角形全等的判定(2)1．理解和掌握全等三角形判定方法2——“边角边〞，理解满足边边角的两个三角形不一定全等．2．能把证明角或线段相等的问题转化为证明它们所在的两个三角形全等．重点：能把证明角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等． 难点：理解满足边边角的两个三角形不一定全等．一、自学指导自学1：自学课本P37－38页“探究3及例2〞，掌握三角形全等的判定条件SAS ，进一步掌握证明的格式，完成填空．(5分钟)任意画出一个△ABC ，再画一个△A′B′C′，使A′B′＝AB ，A ′C ′＝AC ，∠A ′＝∠A(即两边和它们的夹角分别相等)．把画好的△A′B′C′剪下来，放到△ABC 上，它们全等吗？总结归纳：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边〞或“SAS 〞)．点拨精讲：三角形的两条边的长度和它们的夹角的大小确定了，这个三角形的形状、大小就确定了．自学2：自学课本P39页“思考〞，明白有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，并会通过画图举反例．(5分钟)画出一个△ABC ，使AB ＝3，AC ＝4，∠B ＝30°(即两边和其中一边的对角)．小组内展示各自画出来的三角形，它们的形状是一样的吗？点拨精讲：如果给定两个三角形的类型(如两个钝角三角形)，两边和其中一边的对角对应相等的这两个三角形全等．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(5分钟)1．如图，AB ＝DB ，BC ＝BE ，欲证△ABE ≌△DBC ，那么需要增加的条件是(D )A ．∠A ＝∠DB ．∠E ＝∠CC ．∠A ＝∠CD ．∠ABD ＝∠EBC2．如图，AO ＝BO ，CO ＝DO ，AD 与BC 交于E ，∠O ＝40°，∠B ＝25°，那么∠BED 的度数是(B )A ．60°B ．90°C ．75°D ．85°3．有两边和一个角对应相等的两个三角形不一定全等．(填“一定〞或“不一定〞)4．如图，AB ，CD 相交于O 点，AO ＝CO ，OD ＝OB.求证：∠D ＝∠B.证明：在△AOD 与△COB 中，⎩⎪⎨⎪⎧AO ＝CO ，∠AOD ＝∠COB ，OD ＝OB ，∴△AOD ≌△COB(SAS )，∴∠D ＝∠B.点拨精讲：利用SAS 证明全等时，要注意“角〞只能是两组相等边的夹角，在书写证明过程时相等的角应写在中间；证明过程中注意隐含条件的挖掘，如“对顶角相等〞“公共角〞“公共边〞等．小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟)探究1 如图，AB ∥CD ，AB ＝CD.求证：AD ∥BC.证明：∵AB ∥CD ，∴∠1＝∠2，在△ABD 与△CDB 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CD ，∠1＝∠2，BD ＝DB ，∴△ABD ≌△CDB(SAS )，∴∠3＝∠4，∴AD ∥BC.点拨精讲：可从问题出发，要证线段平行只需角相等即可(∠3＝∠4)，而证角相等可证角所在的三角形全等．探究2 如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接(A ，B ，D 三点共线，AB ＝CB ，EB ＝DB ，∠ABC ＝∠EBD ＝90°)，连接AE ，CD ，试确定AE 与CD 的关系，并证明你的结论．解：结论：AE ＝CD ，AE ⊥CD.证明：延长AE 交CD 于F ，在△ABE 与△CBD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CB ，∠ABE ＝∠CBD ，BE ＝BD ，∴△ABE ≌△CBD(SAS )，∴AE ＝CD ，∠EAB ＝∠DCB ，∵∠DCB ＋∠CDB ＝90°，∴∠EAB ＋∠CDB ＝90°，∴∠AFD ＝90°，∴AE ⊥CD.点拨精讲：注意挖掘等腰直角三角形中的隐藏条件，线段的关系分数量与位置两种关系．学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)1．如图，AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠1＝∠2.求证：BC ＝DE.证明：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠DAC ＝∠2＋∠DAC ，∴∠BAC ＝∠DAE ，在△BAC 与△DAE 中⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，∠BAC ＝∠DAE ，AC ＝AE ，∴△BAC ≌△DAE(SAS )，∴BC ＝DE.(3分钟)1.利用对顶角、公共角、直角用SAS 证明三角形全等．2．用“分析法〞寻找命题结论也是一种推理论证的方法，即从结论出发逐步递推到题中条件，常以此作为分析寻求推理论证的途径．(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)(10分钟)三角形全等的判定(3)理解和掌握全等三角形判定方法3——“角边角〞，判定方法4——“角角边〞，能运用它们判定两个三角形全等．重、难点：理解和掌握全等三角形判定方法3和判定方法4及应用．一、自学指导自学1：自学课本P39－40页“探究4、例3〞，理解和掌握全等三角形判定方法“ASA 〞，完成填空．(5分钟)总结归纳：两角和它们的夹边分别对应相等的两个三角形全等，简称角边角或ASA ． 自学2：自学课本P 40－41页“例4、思考〞，理解和掌握全等三角形判定方法“AAS 〞，试总结全等三角形判定方法．(5分钟)总结归纳：(1)两个角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等，简称角角边或AAS ．(2)三角形全等的条件至少需要三对相等的元素(其中至少需要一条边相等)．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(5分钟)1．能确定△ABC ≌△DEF 的条件是(D )A ．AB ＝DE ，BC ＝EF ，∠A ＝∠EB ．AB ＝DE ，BC ＝EF ，∠C ＝∠EC ．∠A ＝∠E ，AB ＝EF ，∠B ＝∠DD ．∠A ＝∠D ，AB ＝DE ，∠B ＝∠E2．如图，△ABC 的六个元素，那么下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC 全等的图形是(B )A ．甲和乙B ．乙和丙C ．只有乙D ．只有丙3．AD 是△ABC 的角平分线，作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，以下结论错误的选项是(C )A ．DE ＝DFB ．AE ＝AFC ．BD ＝CD D ．∠ADE ＝∠ADF点拨精讲：应用AAS 证三角形全等时应注意边是对应角的对边．小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟)探究1 如图，在△MPN 中，H 是高MQ 和NR 的交点，且MQ ＝NQ.求证：HN ＝PM. 证明：∵MQ ⊥PN ，NR ⊥MP ，∴∠PQM ＝90°，∠HQN ＝90°，∴∠P ＋∠PNR ＝90°，∠QHN ＋∠PNR ＝90°，∴∠P ＝∠△PQM 与△HQN 中⎩⎪⎨⎪⎧∠MPQ ＝∠NHQ ，∠PQM ＝∠HQN ，MQ ＝NQ ，∴△PQM ≌△HQN ，∴HN ＝PM.点拨精讲：有直角三角形就有互余的角，利用同角(等角)的余角相等是证角相等的常用方法．探究2 求证：三角形一边的两端点到这边的中线或中线延长线的距离相等．如图，AD 为△ABC 的中线，且CF ⊥AD 于点F ，BE ⊥AD ，交AD 的延长线于点E ，求证：BE ＝CF.证法1：∵AD 为△ABC 的中线，∴BD ＝CD.∵BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，∴∠BED ＝∠CFD＝90°.在△BED 与△CFD 中⎩⎪⎨⎪⎧∠BED ＝∠CFD ，∠BDE ＝∠CDF ，BD ＝CD ，∴△BED ≌△CFD(AAS )，∴BE ＝CF.证法2：∵S △ABD ＝12AD·BE ，S △ACD ＝12AD·CF ，且S △ABD ＝S △ACD (等底同高的两个三角形面积相等)，∴12AD·BE ＝12AD·CF ，∴BE ＝CF. 点拨精讲：对于文字命题的证明，应先根据题意画出图形，再结合题意，写出、求证，最后证明；用“面积法〞证线段相等，可使问题简化．学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)1．如图，PM ＝PN ，∠M ＝∠N.求证：AM ＝BN.证明：在△PMB 与△PNA 中⎩⎪⎨⎪⎧∠P ＝∠P ，PM ＝PN ，∠M ＝∠N ，∴△PMB ≌△PNA ，∴PB ＝PA ，∴PM －PA ＝PN－PB ，∴AM ＝BN.(3分钟)两个角和一条边对应相等得全等，三个角对应相等不能确定全等．三角形全等的判定和全等三角形的性质常在一起进行综合应用．(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)(10分钟)三角形全等的判定(4) 1．掌握判定直角三角形全等的一种特殊方法——“斜边、直角边〞(即“HL 〞)．2．能熟练地用判定一般三角形全等的方法及判定直角三角形全等的特殊方法判定两个直角三角形全等． 重、难点：直角三角形全等判定方法“斜边、直角边〞(即“HL 〞)的应用．一、自学指导自学1：自学课本P 41－42页“思考、探究5及例5〞，掌握判定直角三角形全等的特殊方法“HL 〞，完成填空．(7分钟)总结归纳：(1)斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等，简称“斜边、直角边〞或“HL 〞．(2)两直角边对应相等的两个直角三角形全等，根据是边角边或SAS ．(3)一锐角和一直角边或斜边对应相等的两个直角三角形全等，根据是角角边或AAS 和角边角或ASA ．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(5分钟)1．如图，E ，B ，F ，C 在同一条直线上，假设∠D ＝∠A ＝90°，EB ＝FC ，AB ＝DF ，那么Rt △ABC ≌Rt △DFE ，全等的根据是HL ．2．判断满足以下条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×〞，全等的注明理由：(1)一个锐角和这个角的对边对应相等；(AAS )(2)一个锐角和这个角的邻边对应相等；(×)(3)一个锐角和斜边对应相等；(AAS )(4)两直角边对应相等；(SAS )(5)一条直角边和斜边对应相等．(HL )3．以下说法正确的选项是(C )A ．一直角边对应相等的两个直角三角形全等B ．斜边相等的两个直角三角形全等C ．斜边相等的两个等腰直角三角形全等D ．一边长相等的两等腰直角三角形全等点拨精讲：直角三角形除了一般证全等的方法外，“HL 〞可使证明过程简化，但前提是两个直角三角形，即在证明格式上说明“Rt △〞．小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(13分钟)探究1 如图，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，AD ＝BC.求证：(1)AB ＝DC ；(2)AD ∥BC.证明：(1)∵AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，∴∠ABD ＝∠CDB ＝90°.在Rt △ADB 与Rt △CBD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CB ，DB ＝BD ，∴Rt △ADB ≌Rt △CBD(HL )，∴AB ＝DC. (2)∵Rt △ADB ≌Rt △CBD ，∴∠ADB ＝∠CBD ，∴AD ∥BC.探究2 如图，E ，F 分别为线段AC 上的两点，且DE ⊥AC 于点E ，BF ⊥AC 于点F ，假设AB ＝CD ，AE ＝CF ，BD 交AC 于点M.求证：BM ＝DM ，ME ＝MF.证明：∵AE ＝CF ，∴AE ＋EF ＝CF ＋EF ，∴AF Rt △ABF 与Rt △CDE 中⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CD ，AF ＝CE ，∴Rt △ABF ≌Rt △CDE(HL )，∴BF ＝DE.∵DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，∴∠DEM ＝∠BFM ＝90°.在△BFM 与△DEM 中⎩⎪⎨⎪⎧∠BFM ＝∠DEM ，∠BMF ＝∠DME ，BF ＝DE ，∴△BFM ≌△DEM(AAS )，∴BM ＝DM ，ME ＝MF.学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)如图，AE＝DF，∠A＝∠D，欲证△ACE≌△DBF，需要添加什么条件？证明全等的理由是什么？解：①假设AC＝DB，那么根据SAS，可以判定△ACE≌△DBF；②假设∠1＝∠2，那么根据AAS，可以判定△ACE≌△DBF；③假设∠E＝∠F，那么根据ASA，可以判定△ACE≌△DBF.(3分钟)1.“HL〞判别法是证明两个直角三角形全等的特殊方法，它只对两个直角三角形有效，不适合一般三角形，但两个直角三角形全等的判定，也可以用前面的各种方法．2．证明两个三角形全等的方法有：SSS，SAS，ASA，AAS，HL，注意SSA和AAA条件不能判定两个三角形全等．(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)(10分钟)12．3角的平分线的性质掌握角平分线的性质及画法．重、难点：掌握角平分线的性质及画法．一、自学指导自学1：自学课本P48－49页“思考1、思考2〞，掌握并理解三角形的三条角平分线的性质，掌握角平分线的画法和文字命题的证明方法，完成填空．(5分钟) 总结归纳：①角的平分线上的点到角的两边的距离相等．②文字命题的证明方法：a.明确命题中的和求证；b.根据题意，画出图形，并用数学符号表示和求证；c.经过分析，找出由推出要证的结论的途径，写出证明过程．自学2：自学课本P49－50页“思考3与例题〞，掌握角平分线的判定．(5分钟)总结归纳：(1)角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．(2)三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(5分钟)1．课本P50页练习题1，2.2．如图，∠C＝90°，AD平分∠BAC，BD＝2CD，假设点D到AB的距离等于5 cm，那么BC的长多少？解：过点D作DE⊥AB于点E，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DC＝DE＝5 cm，∵BD＝2CD，∴BD＝10 cm.点拨精讲：角平分线的性质是证明线段相等的另一途径．3．完成以下各命题，注意它们之间的区别与联系．(1)如果一个点在角的平分线上，那么它到角两边的距离相等；(2)如果角的内部某点到角两边的距离相等，那么这个点在角的平分线上；(3)综上所述，角的平分线是到角两边距离相等的所有点的集合．4．三角形内，到三边距离相等的点是三个内角平分线的交点．小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟)探究1 如图，直线l 1，l 2，l 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个塔台，假设要求它到三条公路的距离都相等，试问：(1)有几处可选择？(2)你能画出塔台的位置吗？解：(1)有4处可选择；(2)略．点拨精讲：在三条直线围成三角形的内部有1个点，外部有3个点．探究2 如图，OD 平分∠POQ ，DA ⊥OP 于A ，DB ⊥OQ 于B ，点C 在OD 上，CM ⊥AD 于M ，CN ⊥BD 于N.求证：CM ＝CN.证明：∵OD 平分∠POQ ，DA ⊥OP ，DB ⊥OQ ，∴OA Rt △OAD 与Rt △OBD 中⎩⎪⎨⎪⎧OD ＝OD ，DA ＝DB ，∴Rt △OAD ≌Rt △OBD(HL )，∴∠ADO ＝∠BDO ，又∵CM ⊥AD ，CN ⊥BD ，∴CM ＝CN.点拨精讲：角平分线的性质与判定通常是交叉使用，在这里先要证OD 平分∠ADB.学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)如图，在△ABC 中，AD 是△ABC 的角平分线，E ，F 分别是AB ，AC 上一点，并且有∠EDF ＋∠EAF ＝180°.试判断DE 和DF 的大小关系并说明理由．解：结论：DE ＝DF.证明：过点D 作DG ⊥AB 于点G ，作DH ⊥AC 于点C ，∵AD 是△ABC 的角平分线，∴DG ＝DH.∵∠DGA ＝∠DHA ＝90°，∴∠GDH ＋∠BAC ＝180°，∵∠EDF ＋∠EAF ＝180°，∴∠GDH ＝∠EDF ，∴∠GDH －∠EDH ＝∠EDF －∠EDH ，∴∠GDE ＝∠△DGE 与△DHF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DGE ＝∠DHF ＝90°，DG ＝DH ，∠GDE ＝∠HDF ，∴△DGE ≌△DHF(ASA )，∴DE ＝DF. 点拨精讲：在角的平分线的前提下，作两边的垂线段是常用辅助线之一．(3分钟)在角平分线的条件下，也可想到翻折构造全等的方法．角平分线的性质是证线段相等的常用方法之一，角平分线的性质与判定通常是交叉使用，作角的平分线或过角的平分线上一点作角两边的垂线段是常用的辅助线．(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)(10分钟)13．轴对称1．理解轴对称图形和两个图形关于某条直线对称的概念，了解轴对称及轴对称图形的的性质．2．能识别简单的轴对称图形及其对称轴．重点：轴对称与轴对称图形的概念．难点：轴对称与轴对称图形的性质．一、自学指导自学1：自学课本P58－59页“思考1及思考2〞，了解轴对称图形、轴对称的概念，以及它们之间的区别和联系，完成以下填空．(5分钟)总结归纳：(1)如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的局部能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．(2)把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．自学2：自学课本P59页“思考3〞，了解轴对称及轴对称图形的的性质．(5分钟) 如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，点A′，B′，C′分别是点A，B，C的对称点．(1)设AA′交对称轴于点P，将△ABC或△A′B′C′沿MN折叠后，点A与点A′重合，那么有△ABC≌△A′B′C′，PA＝PA′，∠MPA＝∠MPA′＝90度．(2)MN与线段AA′的关系为MN垂直平分线段AA′．总结归纳：(1)经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．(2)成轴对称的两个图形是全等形．(3)如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．(4)轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(5分钟)1．如下列图的图案中，是轴对称图形的有A，B，C，D．2．以下列图形中，不是轴对称图形的是(D)A．角B．等边三角形C．线段D．直角梯形3．以下列图中哪两个图形放在一起成轴对称B与F，C与D．4．轴对称与轴对称图形有什么区别与联系？答：区别为轴对称是指两个图形沿对称轴折叠后重合，而轴对称图形是指一个图形的两局部沿对称轴折叠后能完全重合；联系是都有对称轴、对称点和两局部完全重合的特性．小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟)探究1以下列图形是轴对称图形吗？如果是，指出轴对称图形的对称轴．①等边三角形；②正方形；③圆；④平行四边形．解：①等边三角形的对称轴为三条中线所在的直线；②正方形的对称轴为两条对角线所在的直线和两组对边中点所在的直线；③圆的对称轴为过圆心的直线．点拨精讲：对称轴是一条直线．探究2如图，△ABC和△ADE关于直线l对称，假设AB＝2 cm，∠C＝80°，那么AE＝2_cm，∠D＝80°．点拨精讲：根据成轴对称的两个图形全等，再根据全等的性质得到对应线段相等，对应角相等．学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)1．指出以下哪组图形是轴对称，并指出对称轴．①任意两个半径相等的圆；②正方形的一条对角线把一个正方形分成的两个三角形；③长方形的一条对角线把长方形分成的两个三角形．解：①两圆心所在的直线和连接两圆心的线段的垂直平分线；②正方形两条对角线所在的直线；③不是轴对称关系．点拨精讲：是不是轴对称看是否能沿某条直线折叠后重合．2．以下两个图形是轴对称关系的有A，B，C.3．如图，在网格中，由个数相同的白色方块与黑色方块组成一幅图案，请仿照此图案，在旁边的网格中设计出一个轴对称图案．(不得与原图案相同，黑、白方块的个数要相同)(3分钟)1.可用折叠法判断是否为轴对称图形．2．多角度、多方法思考对称轴的条数．3．对称轴是一条直线，一条垂直于对应点连线的直线．4．轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指一个具有特殊形状的图形．(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)(10分钟)线段的垂直平分线的性质(1)1．理解线段垂直平分线的性质和判定，并会运用此性质解决问题．2．会用尺规作图过直线外一点作直线的垂线．重、难点：线段垂直平分线的性质和判定定理的理解与运用．一、自学指导自学1：自学课本P61页“探究〞，理解线段垂直平分线的性质与判定定理，完成以下填空．(5分钟)1．如图，l⊥AB，垂足为C，AC＝BC，那么△PAC≌△PBC，PA＝PB.2．如图，PA＝PB，假设PC⊥AB，垂足为C，那么AC＝BC；假设AC＝BC，那么PC⊥AB．总结归纳：(1)线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．(2)与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．(3)线段的垂直平分线是到线段两个端点的距离相等的点的集合．自学2：自学课本P62页“例1〞，掌握经过直线外一点作这条直线的垂线的方法．(5分钟)如图，A，B，C三点表示三个村庄，为了解决村民子女就近入学的问题，方案新建一所小学，要使学校到三个村庄距离相等，请你在图中确定学校的位置．解：①连接AB，AC，BC；②分别作AC，BC的垂直平分线交于点P，那么点P就是所要确定的学校的位置．点拨精讲：此题主要运用了作线段垂直平分线解决问题的方法．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(5分钟)1．课本P62页练习题1，2.2．以下条件中，不能判定直线MN是线段AB的垂直平分线的是(C)A．MA＝MB，NA＝NBB．MA＝MB，MN⊥ABC．MA＝NA，MB＝NBD．MA＝MB，MN平分AB小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟)探究1如图，AB＝AC＝8 cm，AB的垂直平分线交AC于D，假设△ADB的周长为18，求DC的长．解：∵DM是AB的垂直平分线，∴AD＝BD，设CD的长为x，那么AD＝AC－CD＝8－x，∵C△ADB＝AB＋AD＋BD＝8＋(8－x)＋(8－x)＝18，∴x＝3，即CD的长为3 cm.点拨精讲：由线段垂直平分线的性质得AD＝BD进而求解．探究2如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DC⊥AC于C，求证：直线AD是CE的垂直平分线．证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝CD，∴点D在CE的垂直平分线上．在Rt△AED与Rt△ACD中，∵AD＝AD，DE＝DC，∴Rt△AED≌Rt△ACD(HL)，∴AE＝AC，∴点A在CE的垂直平分线上，∴直线AD是CE的垂直平分线．点拨精讲：证线段垂直平分线的方法1即定义，证垂直平分线的方法2即线段垂直平分线的判定方法．学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)1．如图，在△ABC中，EF是AC的垂直平分线，AF＝12，BF＝3，那么BC＝15.2．如图，直线AD是线段BC的垂直平分线．求证：∠ABD＝∠ACD.证明：∵直线AD是线段BC的垂直平分线，∴AB＝AC，DB△ABD与△ACD中。
人教版八年级数学上册(RJ) 第12章 全等三角形 导学案
第十二章全等三角形12.1 全等三角形学习目标：1．了解全等形、全等三角形的概念，能正确识别全等三角形的对应元素．2．掌握全等三角形对应边相等、对应角相等的性质．3．能够利用全等三角形的性质解决一些简单的实际问题．重点：全等三角形的性质．难点：找全等三角形的对应边、对应角．一、知识链接1．已知△ABC．（1）画出△ABC向右平移1 cm后的△DEF．（2）△ABC和△DEF的形状______，大小_______；对应点分别为__________________，对应边分别为_____________________，对应角分别为_______________________．二、新知预习1．观察下列一组图片，思考问题．问题：图中有形状和大小都相同的图形吗？试把它们指出来．它们能够完全重合吗？你能再举出一些类似的例子吗？2．自主归纳：（1）能够完全重合的两个图形叫做________，则________________叫做全等三角形．（2）“全等”符号：________读作“全等于”．（3）全等三角形的性质：________________． （4）如图：这两个三角形是完全重合的，则△ABC_____△A 1B 1C 1．点A 与A 1点是对应顶点，点B 与点___是对应顶点，点C 与点___是对应顶点；对应边：________________；对应角：________________． 3．全等变换的方式有________，_______和________． 三、自学自测如图，△OCA≌△OBD，C 和B ，A 和D 是对应顶点，则这两个三角形中相等的边有 ；相等的角有 ； 有____个三角形，分别记作：_______________________．DCABO C 1B 1CAB A 1四、我的疑惑_______________________________________________________________ _______________________________________________________________ ______________________一、要点探究探究点1：全等三角形的定义及性质问题1：观察思考：每组中的两个图形有什么特点？问题2：观察下面两组图形，它们是不是全等图形？为什么？归纳总结：全等形定义：能够________的两个图形叫做全等形．全等形性质：如果两个图形全等，它们的_____和_____一定都相等．找一找：下面哪些图形是全等形？要点归纳：全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫_______________．全等三角形的对应元素：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角．如图，点A和，点B和，点C和是对应顶点．AB和，BC和，AC和是对应边．∠A和，∠B和，∠C和是对应角．全等的表示方法：△ABC≌△FDE“全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”．注意：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位上．例1：如图，若△BOD≌△COE，指出这两个全等三角形的对应边；若△ADO≌△AEO，指出这两个三角形的对应角．找一找下列全等图形的对应元素？要点归纳：寻找对应元素的规律：1．有公共边的，公共边一般是对应边；2．有公共角的，公共角一般是对应角；3．有对顶角的，对顶角一般是对应角；4．两个全等三角形最大的边是对应边，最小的边也是对应边；5．两个全等三角形最大的角是对应角，最小的角也是对应角．探究点2：全等三角形的性质想一想：把一个三角形平移、旋转、翻折，变换前后的两个三角形全等吗？要点归纳：全等变化：一个图形经过平移、翻折、旋转后，变化了，但和都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的两个图形．全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等．全等三角形的性质的几何语言：∵△ABC≌△FDE，∴AB=FD，AC=FE，BC=DE，（全等三角形对应边相等）∠A=∠F，∠B=∠D，∠C=∠E．（全等三角形对应角相等）如图，△ABC与△ADC全等，请用数学符号表示出这两个三角形全等，并写出相等的边和角．例2 如图，△ABC≌△DEF，∠A＝70°，∠B＝50°，BF＝4，EF＝7，求∠E的度数和CF的长．例3 如图，△EFG≌△NMH，EF=2.1 cm，EH=1.1 cm，NH=3.3 cm．（1）试写出两个三角形的对应边、对应角；（2）求线段NM及HG的长度；（3）观察图形中对应线段的数量或位置关系，试提出一个正确的结论并说明理由．想一想：你还能得出其他结论吗？1．如图，△ABC≌△BAD，如果AB=4 cm， BD=3 cm，AD=5 cm，那么BC 的长是（）A．5 cm B．4 cm C．3 cm D．无法确定2．在上题中，∠CAB的对应角是（）A．∠DAB B．∠DBA C．∠DBC D．∠CAD3．如图，已知△ABC≌△BAD请指出图中的对应边和对应角．变式：如图：平移后△ABC≌△EFD，若AB＝6，AE＝2．你能求出AF的长吗？说说你的理由．解：∵△≌△，∴AB＝＝，∴AB－＝EF－．∴AF=EB=．4．如图，已知△ABC≌△AED，请指出图中对应边和对应角．变式：如图，已知△ABC≌△AED，若AB＝6，AC＝2，∠B＝25°，你还能说出△ADE中其他角的大小和边的长度吗？5．如图，长方形ABCD沿AM折叠，使D点落在BC上的N点处，AD=7 cm，DM=5 cm，∠DAM=35.5°，则△ANM≌△ADM，AN= cm，NM= cm，∠NAB=．6．如图△ABC≌△DEF，边AB和DE在同一条直线上，试说明图中有哪些线段平行，并说明理由．摆一摆：利用平移，翻折，旋转等变换所得到的三角形与原三角形组成各种各样新的图形，你还能拼出什么不同的造型吗？比一比看谁更有创意！参考答案自主学习一、知识链接1．（1）图略．（2）相同相等点A和点D，点B和点E，点C和点FAB和DE，BC和EF，AC和DF ∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F 二、新知预习1．略2．（1）全等形能够完全重合的两个三角形（2）≌（3）全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等（4）≌ B1 C1 AB和A1B1，BC和B1C1，AC和A1C1∠A和∠A1，∠B和∠B1，∠C和∠C13．平移翻折旋转三、自学自测AC和DB，OC和OB，OA和OD ∠A和∠D，∠C和∠B，∠AOC和∠DOB 两△OCA，△OBD课堂探究二、要点探究探究点1：全等三角形的定义及性质问题1 每组中的两个图形的形状、大小相等．问题2 它们不是全等图形，因为它们的形状和大小都不相等．要点归纳完全重合形状大小找一找（2）和（7），（3）和（9），（5）和（12），（6）和（10）要点归纳全等三角形点D 点E 点F DE EF DF ∠D ∠E ∠F例1 解：△BOD与△COE的对应边为：BO与CO，OD与OE，BD与CE；△ADO与△AEO的对应角为：∠DAO与∠EAO，∠ADO与∠AEO，∠AOD与∠AOE．探究点2：全等三角形的性质要点归纳位置形状大小全等解：△ABC≌△ADC；相等的边为：AB=AD，AC=AC，BC=DC；相等的角为：∠BAC=∠DAC，∠B=∠D，∠ACB=∠ACD．例2 解：∵△ABC≌△DEF，∠A＝70°，∠B＝50°，BF＝4，EF＝7，∴∠E＝∠B＝50°，BC＝EF＝7，∴CF＝BC－BF＝7－4＝3．例3 解：（1）对应边有EF和NM，FG和MH，EG和NH；对应角有∠E和∠N，∠F和∠M，∠EGF和∠NHM．（2）∵△EFG≌△NMH，∴NM=EF=2.1 cm，EG=NH=3.3 cm．∴HG=EG–EH=3.3-1.1=2.2(cm)．（3）结论：EF∥NM．证明如下：∵△EFG≌△NMH，∴∠E=∠N．∴EF∥NM．当堂检测1．A 2．B3．BA BD AD ∠ABD ∠BAD ∠D变式：ABC EFD EF 6 AE AE 6-2 44．AE AD ED ∠A ∠E ∠ADE变式：解：∵△ABC≌△AED，∴∠E＝∠B＝25°（全等三角形对应角相等），AD=AC=2，AE=AB=6（全等三角形对应边相等）．5．7 5 196．解：AC∥DF，BC∥EF．理由如下：∵△ABC≌△DEF，∴∠A＝∠2，∠1＝∠E，（全等三角形对应角相等）∴AC∥DF，BC∥EF.摆一摆：。
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M
F E C B A
第12章全等三角形复习
授课教师： 授课班级： 授课时间：
【学习目标】
1、掌握三角形全等的判定方法，利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式．
2、能用尺规进行一些基本作图．能用三角形全等和角平分线的性质进行证明。
3、极度热情、高度责任、自动自发、享受成功。
教学重点：用三角形全等和角平分线的性质进行证明有关问题
教学难点: 灵活应用所学知识解决问题，精炼准确表达推理过程
【学习过程】
一、本章知识结构梳理
三角形⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧判定：（性质：（角的平分线直角三角形一般三角形）判定方法（）性质：（）定义：（全等三角形定义)2)1321 二、方法指引
1、证明两个三角形全等的基本思路：
(1)已知两边__________)(____________)(__________)⎧⎪⎨⎪⎩
找第三边
（找夹角
看是否是直角三角形 (2)已知一边一角(_____)(_____)(_____)(_____)(_____)⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩
找这边的另一邻角已知一边与邻角找这个角的另一边找这边的对角找一角已知一边与对角已知是直角，找一边 (3)已知两角______________)(______________)⎧⎪⎨⎪⎩
找夹边
（找夹边外任意一边 2、三角形全等是证明线段相等、角相等最基本、最常用的方法。
例题1、如图：AB=AC ，ME ⊥AB ，MF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，ME=MF 。
求证：MB=MC
例题2、已知，△ABC 和△ECD 都是等边三角形，且点B ，C ，D 在一条直线上求证：BE=AD
3、当题目中有角平分线时，可通过构造等腰三角形或全等三角形来寻找解题思路，或利用角平分线性质去证线段相等
例题3、已知∠B=∠E=90°，CE=CB ，A B ∥CD.
求证：△ADC 是等腰三角形
例题4、已知：如图，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，DB=DC ， 求证：EB=FC
4、证明线段的和、差、倍、分问题时，常采用“割长”、“补短”等方法
例题5、如图,已知AC ∥BD ，EA 、EB 分别平分∠CAB 和∠DBA ，CD 过点E ，求证AB=AC+BD
提示：要证明两条线段的和与一条线段相等时常用的两种方法：
（1）、可在长线段上截取与两条线段中一条相等的一段，然后证明剩余的线段与另一条线段相等。
（割）
（2）、把一个三角形移到另一位置，使两线段补成一条线段，再证明它与长线段相等。
（补））
三、你能用尺规进行下面几种作图吗？
1、已知三边作三角形
2、作一个角等于已知角
3、已知两边和它们的夹角作三角形
4、已知两角和它们的夹边作三角形
5、已知斜边和一直角边作直角三角形 E
D
C A B A C E
B D
E D C B A 4 3
2 1 E D C B A G F E D C B A 6、作角的平分线
四、课后作业
1、如图：在△ABC 中，∠C =90°，AD 平分∠ BAC ，DE ⊥AB 交AB 于E ，BC=30，BD ：CD=3：2，则DE= 。
2、如图，已知E 在AB 上，∠1=∠2， ∠3=∠4，那么AC 等于AD 吗？为什么？
3、如图，已知，EG ∥AF ，请你从下面三个条件中，再选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题。
（只写出一种情况）①AB=AC ②DE=DF ③BE=CF 已知：EG ∥AF ，________，__________ 求证：_________
五、小结
学习全等三角形应注意以下几个问题
（1):要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与 “对角”的不同含义；
（2）：表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；
（3）：要记住“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个
三角形不一定全等；
（4）：时刻注意图形中的隐含条件，如 “公共角” 、“公共边”、“对顶角”。