人教版数学八年级上册导学案：12 章全等三角形 单元复习与巩固

全等三角形单元复习与巩固一、目标与策略明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标：●了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；●探索三角形全等的条件，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式；●掌握尺规作图作角平分线，了解角的平分线的性质，能利用三角形全等证明角的平分线的性质和判定，并会利用角的平分线的性质和判定进行证明；●能用三角形的全等和角平分线性质解决实际问题。

重点难点：●重点：理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式；三角形全等的性质和条件以及角平分线的性质。

●难点：掌握用综合法证明的格式；选用合适的条件证明两个三角形全等。

学习策略：●通过观察、拼图以及三角形的平移、旋转和翻折等活动，来感知两个三角形全等，以及全等三角形的性质。

在三角形全等知识的基础上，探究理解角平分线的性质和判定，并通过练习加深本章知识的理解及灵活运用。

二、学习与应用“凡事预则立，不预则废”。

科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。

我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。

知识要点——预习和课堂学习认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习。

请在虚线部分填写预习内容，在实线部分填写课堂学习内容。

课堂笔记或者其它补知识点一：全等形能够完全的两个图形叫做全等形．知识点二：全等三角形能够完全的两个三角形叫做全等三角形．要点诠释：（1）互相重合的顶点叫做，互相重合的边叫做，互相重合的角叫做．（2）在写两个三角形全等时，通常把的字母写在对应位置上，这样容易写出对应边、对应角．例如，△ABC与△DFE全等，点A与点，点B与点，点C与点是对应顶点，记作△ABC≌△DFE，而不写作△ABC≌△EFD等其他形式．知识点三：全等三角形的性质全等三角形的对应边、对应角．知识点四：两个三角形全等的条件（一）边角边：有和它们的对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）．注：运用边角边公理判定两个三角形全等时要抓住角是两边的夹角，边是夹这个角的两边，不要错误认为：两个三角形只要有两条边和一个角对应相等，这两个三角形就一定全等．（二）角边角：有和它们的对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）．（三）边边边：对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）．（四）角角边：两个和其中一个角的对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）（五）斜边、直角边（HL）：在两个直角三角形中，和一条对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）。

注：（1）HL定理是三角形所独有的，对于一般三角形不成立．（2）判定两个直角三角形全等时，这两个直角三角形已经有一对直角相等的条件，只需找另个条件即可，而这两个条件中必须有对应相等，与一般三角形全等一样，只有三个角相等的两个直角三角形不一定全等．知识点五：如何选定判定方法（一）条件是一边、一角对应相等时，可选用SAS、AAS、．（二）条件是两角对应相等时，可选用、．（三）条件是两边对应相等时，可选用、．（四）条件是直角三角形时，可选用，也可选用SAS、AAS、ASA 、SSS。

知识点六：角平分线（一）角平分线的两种定义（1）把一个角分成两个的角的叫做角的平分线．（2）角的平分线可以看作是到角的两边的点的集合．（二）角平分线的性质定理角的平分线上的点到这个角的两边的．（三）角的平分线的判定定理到一个角的两边距离相等的点，在这个角的上．经典例题-—自主学习认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三。

若有其它补充可填在右栏空白处。

类型一：三角形全等的应用例1．如图：BE、CF相交于点D，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，且DE=DF。

求证：AB=AC。

F 总结升华：【变式2】如图：∠BAC=90°，CE⊥BE，AB=AC ，∠ABE=∠CBE，求证：BD=2EC。

答案：EDB类型二：构造全等三角形例2．如图，△ABC与△ABD中，AD与BC相交于O点，∠1=∠2，请你添加一个条件（不再添加其它线段，不再标注或使用其他字母），使AC=BD，并给出证明。

你添加的条件是：。

思路点拨：此题属于开放型题目，此类题目一般包括：条件开放型、结论开放型、综合开放型。

此类题目的答案一般不唯一。

本题答案就不唯一，若按照以下方式之一来添加条件：①，②，③，④，都可得，从而有AC=BD。

答案：总结升华：举一反三：【变式1】如图，已知AB=AD，BC=CD，AC、BD相交于E。

由这些条件可以得到若干结论，请你写出其中三个正确的结论。

（不要添加字母和辅助线，不要求证明）结论1：结论2：结论3：答案：【变式2】如图，点E在AB上，AC=AD，请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给予证明。

所添条件。

你得到的一对全等三角形是△≌△解析：类型三：角平分线的性质与判定例3．已知：如图所示，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE、CD交于点O，且AO平分∠BAC，求证：OB=OC．思路点拨：由CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，可知∠ADC=∠AEB= °，又由OA 平分∠BAC可知， ，再利用“ ”证明出△OBD ≌△OCE ，从而得到OB=OC ．证明：总结升华：举一反三：【变式】如图，在ABC △中，90C ∠=，AD 平分CAB ∠，8cm 5cm BC BD ==，，那么D 点到直线AB 的距离是 cm ．答案：ABC类型四：三角形全等和角平分线的综合应用（常见辅助线的添法）☆例4．如图所示，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC上一点，且AE垂直BD的延长线于E，AE=12BD，求证：BD是∠ABC的平分线．思路点拨：如果BD是∠ABC的角平分线，则应有= ，根据已知条件，很难找到这两个角相等的直接条件，但可以延长和，令其交于一点，先证出全等三角形，再利用全等三角形对应角相等解题．证明：总结升华：举一反三：☆【变式1】已知如图所示，PA=PB，∠1+∠2=180°，求证：OP平分∠AOB．解：☆☆【变式2】如图所示，△ABC中，AB>AC，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线DM相交于D，过D作DE⊥AB于E，作DF⊥AC于F，求证：BE=CF．证明：☆【变式3】如图所示，在△ABC中，AD是BC边上的中线，∠1=∠2，求证：AB=AC．证明：类型五：探究型题例5．我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等。

那么在什么情况下，它们会全等？（1）阅读与证明：对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等。

对于这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等（证明略）对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下：已知：△ABC、△A1B1C1均为锐角三角形，AB=A1B1，BC=B1C1，∠C=∠C1。

求证：△ABC≌△A1B1C1。

（请你将下列证明过程补充完整）（2）归纳与叙述：由（1）可得到一个正确结论，请你写出这个结论。

思路点拨：虽然已有三个条件，然而它们构不成三角形全等的条件。

但至少提供了一边一角对应相等，另一条件只能通过作来得到。

解析：总结升华：举一反三：☆【变式1】两个全等的含30°，60°角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置，E，A，C三点在一条直线上，连结BD，取BD的中点M，连结ME，MC。

试判断△EMC 的形状，并说明理由。

答案：【变式2】已知Rt△ABC中，∠C=90°（1）根据要求作图（尺规作图，保留作图痕迹，不写画法）①作∠BAC的平分线AD交BC于D；②作线段AD的垂直平分线交AB于E，交AC于F，垂足为H；③连接ED。

（2）在（1）的基础上写出一对全等三角形：△_______≌△_______并加以证明。

答案：类型六：利用三角形全等知识解决实际问题例6．要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD=•BC，再定出BF的垂线DE，使A、C、E在一条直线上，可以证明△EDC•≌△ABC，•得到ED=AB，因此测得ED的长就是AB的长（如图），判定△EDC≌△ABC的理由是（）A．边角边公理 B．角边角公理； C．边边边公理 D．斜边直角边公理思路点拨：把实际问题转化成数学语言或数学符号，然后用学过的数学知识进行解答。

答案：总结升华：举一反三：☆【变式】如图，有一湖的湖岸在A、B之间呈一段圆弧状，A、B间的距离不能直接测得．•你能用已学过的知识或方法设计测量方案，求出A、B间的距离吗？答案：三、总结与测评要想学习成绩好，总结测评少不了！课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力。

总结规律和方法——强化所学认真回顾总结本部分内容的规律和方法，熟练掌握技能技巧。

（一）证明三角形全等的一般步骤及注意的问题（1）先指明在哪两个三角形中研究问题．（2）按边、角的顺序列出全等的个条件，并用大括号括起来．（3）写出结论，让两个全等三角形中表示对应顶点的字母顺序对齐．（4）在证明中要步步有根据．（二）三角形全等的一个应用证明分别属于两个三角形的线段相等或者角相等的问题，常常通过证明两个三角形来解决。

注：本表格为建议样式，请同学们单独建立错题本。